Parametrik olarak integral boyunca dönen bir cismin hacmi. Belirli bir integral kullanarak dönen bir cismin hacmi nasıl hesaplanır? Parametrik olarak belirtilen devrim yüzeyinin alanının hesaplanması

Alanı bulma probleminde olduğu gibi, kendinize güvenen çizim becerilerine ihtiyacınız var - bu neredeyse en önemli şeydir (çünkü integrallerin kendileri genellikle kolay olacaktır). Kullanarak yetkin ve hızlı grafik oluşturma tekniklerinde uzmanlaşabilirsiniz. öğretim materyalleri ve Grafiklerin Geometrik Dönüşümleri. Ama aslında çizimlerin öneminden sınıfta defalarca bahsetmiştim.

Genellikle integral hesabı kullanan birçok ilginç uygulama var belirli integral bir şeklin alanını, bir döner cismin hacmini, yay uzunluğunu, devrimin yüzey alanını ve çok daha fazlasını hesaplayabilirsiniz. Bu yüzden eğlenceli olacak, lütfen iyimser kalın!

Koordinat düzleminde düz bir şekil hayal edin. Tanıtıldı mı? ... Acaba kim neyi sundu... =))) Biz zaten alanını bulduk. Ancak ek olarak, bu şekil iki şekilde de döndürülebilir ve döndürülebilir:

– apsis ekseni etrafında;
– ordinat ekseni etrafında.

Bu makale her iki durumu da inceleyecektir. İkinci döndürme yöntemi özellikle ilginçtir; en fazla zorluğa neden olur, ancak aslında çözüm, daha yaygın olarak x ekseni etrafında döndürmeyle hemen hemen aynıdır. Bonus olarak geri döneceğim bir şeklin alanını bulma problemi ve size alanı ikinci şekilde - eksen boyunca nasıl bulacağınızı anlatacağım. Materyal konuya çok iyi uyduğu için bu pek de bir bonus değil.

En popüler rotasyon türüyle başlayalım.

bir eksen etrafında düz şekil

Örnek 1

Şeklin döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın, çizgilerle sınırlı, eksen etrafında.

Çözüm: Alanı bulma probleminde olduğu gibi, çözüm düz bir şekil çizmekle başlar. Yani düzlemde çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir ve denklemin ekseni belirlediğini unutmayın. Bir çizimin daha verimli ve hızlı bir şekilde nasıl tamamlanacağını sayfalarda bulabilirsiniz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri Ve Belirli integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Bu bir Çin hatırlatmasıdır ve şu anda Artık durmuyorum.

Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir; eksen etrafında dönen şekildir. Dönme sonucunda eksen etrafında simetrik olan hafif oval bir uçan daire elde edilir. Aslında vücudun matematiksel bir adı var ama referans kitabında herhangi bir şeyi açıklığa kavuşturamayacak kadar tembelim, o yüzden devam ediyoruz.

Bir devrim cismin hacmi nasıl hesaplanır?

Bir devrim cismin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Formülde sayının integralden önce gelmesi gerekir. Böylece oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılıdır.

Tamamlanan çizimden “a” ve “be” entegrasyon sınırlarının nasıl belirleneceğini tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

İşlev... nedir bu işlev? Çizime bakalım. Düzlem şekli üstteki parabolün grafiğiyle sınırlanmıştır. Formülde ima edilen fonksiyon budur.

İÇİNDE pratik görevler bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki integralin karesi alınır: , dolayısıyla integral her zaman negatif değildir ki bu çok mantıklı.

Dönel bir cismin hacmini kullanarak hesaplayalım. bu formül:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl önemli olan dikkatli olmaktır.

Cevap:

Cevabınızda boyutu - kübik birimleri belirtmelisiniz. Yani dönme gövdemizde yaklaşık 3,35 "küp" vardır. Neden kübik birimler? Çünkü en evrensel formülasyon. Santimetreküp olabilir, metreküp olabilir, kilometreküp olabilir vs. hayal gücünüzün bir uçan daireye kaç tane yeşil adam koyabileceği budur.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulun.

Bu bir örnektir bağımsız karar. Eksiksiz çözüm ve dersin sonunda cevap.

Pratikte de sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık sorunu daha ele alalım.

Örnek 3

, ve çizgileriyle sınırlanan şeklin apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan, çizimde , , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil çizelim:

İstenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir. Kendi ekseni etrafında döndüğünde dört köşeli gerçeküstü bir çörek haline geliyor.

Dönen cismin hacmini şu şekilde hesaplayalım: cisimlerin hacimleri arasındaki fark.

Öncelikle kırmızı daire içine alınmış şekle bakalım. Bir eksen etrafında döndüğünde kesik koni elde edilir. Bu kesik koninin hacmini ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli düşünün. Bu şekli eksen etrafında döndürürseniz, sadece biraz daha küçük olan kesik bir koni elde edersiniz. Hacmini ile gösterelim.

Ve açıkçası, hacimlerdeki fark tam olarak "çörekimizin" hacmidir.

Kullanıyoruz standart formül bir dönel cismin hacmini bulmak için:

1) Kırmızıyla daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

3) İstenilen devir gövdesinin hacmi:

Cevap:

Bu durumda çözümün kesik koninin hacmini hesaplamak için okul formülü kullanılarak kontrol edilebilmesi ilginçtir.

Kararın kendisi genellikle daha kısa yazılır, şöyle bir şey:

Şimdi biraz dinlenelim ve size geometrik illüzyonlardan bahsedelim.

İnsanlar genellikle ciltlerle ilgili yanılsamalar yaşarlar, bu da Perelman'ın (başka biri) kitapta fark ettiği bir şeydir. Eğlenceli geometri. Çözülmüş problemdeki düz şekle bakın - alan olarak küçük görünüyor ve devrimin gövdesinin hacmi 50 kübik birimin biraz üzerinde, bu da çok büyük görünüyor. Bu arada ortalama bir insan tüm hayatı boyunca alanı 18 odaya eşdeğer olan bir sıvıyı içer. metrekare tam tersine çok küçük bir hacim gibi görünüyor.

Genel olarak SSCB'deki eğitim sistemi gerçekten en iyisiydi. Perelman'ın 1950'de yayınlanan aynı kitabı, mizahçının dediği gibi, çok iyi gelişiyor, düşünerek size orijinal, standart dışı çözümler aramayı öğretiyor. Geçenlerde bazı bölümleri büyük bir ilgiyle yeniden okudum, tavsiye ederim, hümanistlerin bile okuyabileceği bir kitap. Hayır, boş zaman teklif ettiğim için gülümsemenize gerek yok, iletişimde bilgi ve geniş ufuklar harika bir şey.

Lirik bir incelemeden sonra, yaratıcı bir görevi çözmek tam olarak uygundur:

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan bir cismin hacmini hesaplayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Lütfen tüm durumların bantta gerçekleştiğini, yani entegrasyon için hazır limitlerin verildiğini unutmayın. Grafikleri doğru çizin trigonometrik fonksiyonlar, size şu ders materyalini hatırlatmama izin verin: grafiklerin geometrik dönüşümleri: eğer argüman ikiye bölünürse: , grafikler eksen boyunca iki kez uzatılır. En az 3-4 puan bulmanız tavsiye edilir trigonometrik tablolara göreÇizimi daha doğru bir şekilde tamamlamak için. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Bu arada, görev çok rasyonel değil, rasyonel olarak çözülebilir.

Döndürülerek oluşturulan bir cismin hacminin hesaplanması
bir eksen etrafında düz şekil

İkinci paragraf birincisinden daha da ilginç olacak. Ordinat ekseni etrafında dönen bir cismin hacmini hesaplama görevi de oldukça sık karşılaşılan bir konudur. testler. Yol boyunca dikkate alınacak bir şeklin alanını bulma problemi ikinci yöntem eksen boyunca entegrasyondur, bu yalnızca becerilerinizi geliştirmenize olanak sağlamakla kalmayacak, aynı zamanda size en karlı çözüm yolunu bulmayı da öğretecektir. Bunda pratik bir hayat anlamı da var! Matematik öğretme yöntemleri öğretmenimin gülümseyerek hatırladığı gibi, birçok mezun ona şu sözlerle teşekkür etti: "Konunuzun bize çok faydası oldu, artık etkili yöneticileriz ve personeli en iyi şekilde yönetiyoruz." Bu fırsatı değerlendirerek, özellikle edinilen bilgiyi amacına uygun olarak kullandığım için ona da büyük şükranlarımı sunuyorum =).

Herkese tavsiye ederim, hatta tam mankenler bile. Ayrıca, ikinci paragrafta öğrenilenler çift katlı integrallerin hesaplanmasında paha biçilmez yardım sağlayacaktır..

Örnek 5

, , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil verildiğinde.

1) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun.
2) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun.

Dikkat! Sadece ikinci noktayı okumak isteseniz bile, önce mutlaka ilkini oku!

Çözüm: Görev iki bölümden oluşmaktadır. Kareyle başlayalım.

1) Bir çizim yapalım:

Fonksiyonun parabolün üst dalını, fonksiyonun da parabolün alt dalını belirttiğini görmek kolaydır. Önümüzde "kendi tarafında duran" önemsiz bir parabol var.

Alanı bulunacak olan istenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir.

Bir şeklin alanı nasıl bulunur? Sınıfta tartışılan “olağan” şekilde bulunabilir. Belirli integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Ayrıca şeklin alanı alanların toplamı olarak bulunur:
- segmentte ;
- segmentte.

Bu yüzden:

Bu durumda olağan çözüm neden kötü? Öncelikle iki integralimiz var. İkincisi, integraller köklerdir ve integrallerdeki kökler bir hediye değildir ve ayrıca integralin sınırlarını değiştirirken kafanız karışabilir. Aslında integraller elbette öldürücü değil ama pratikte her şey çok daha üzücü olabilir, ben sadece problem için "daha iyi" fonksiyonları seçtim.

Daha rasyonel bir çözüm var: bu, başka bir yere taşınmayı içerir. ters fonksiyonlar ve eksen boyunca entegrasyon.

Ters fonksiyonlara nasıl ulaşılır? Kabaca söylemek gerekirse “x”i “y”ye kadar ifade etmeniz gerekiyor. İlk önce parabole bakalım:

Bu kadar yeter ama aynı fonksiyonun alt daldan da türetilebildiğinden emin olalım:

Düz bir çizgiyle daha kolaydır:

Şimdi eksene bakın: lütfen açıklarken başınızı periyodik olarak 90 derece sağa doğru eğin (bu bir şaka değil!). İhtiyacımız olan rakam kırmızı noktalı çizgiyle gösterilen segmentin üzerinde yer alıyor. Bu durumda, segmentte düz bir çizgi parabolün üzerinde bulunur; bu, şeklin alanının zaten bildiğiniz formül kullanılarak bulunması gerektiği anlamına gelir: . Formülde neler değişti? Sadece bir mektup ve daha fazlası değil.

! Not: Eksen boyunca entegrasyonun sınırları belirlenmeli kesinlikle aşağıdan yukarıya!

Alanı bulmak:

Bu nedenle segmentte:

Lütfen entegrasyonu nasıl yaptığımı not edin, bu en rasyonel yoldur ve görevin bir sonraki paragrafında bunun nedeni açıklanacaktır.

Entegrasyonun doğruluğundan şüphe duyan okuyucular için türevleri bulacağım:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilir, bu da entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir.

Cevap:

2) Bu şeklin eksen etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayalım.

Çizimi biraz farklı bir tasarımla yeniden çizeceğim:

Yani mavi renkle gölgelenen şekil eksen etrafında dönmektedir. Sonuç, kendi ekseni etrafında dönen bir "havada uçan kelebek"tir.

Dönen cismin hacmini bulmak için eksen boyunca integral alacağız. Öncelikle ters fonksiyonlara gitmemiz gerekiyor. Bu zaten önceki paragrafta ayrıntılı olarak yapılmış ve açıklanmıştır.

Şimdi başımızı tekrar sağa eğip figürümüzü inceliyoruz. Açıkçası, dönen bir cismin hacmi, hacimler arasındaki fark olarak bulunmalıdır.

Kırmızı daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürerek kesik bir koni elde ederiz. Bu hacmi ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürüyoruz ve elde edilen dönme gövdesinin hacmiyle belirtiyoruz.

Kelebeğimizin hacmi farka eşit birimler

Dönel bir cismin hacmini bulmak için formülü kullanırız:

Önceki paragraftaki formülden farkı nedir? Sadece mektupta.

Ancak yakın zamanda bahsettiğim entegrasyonun avantajını bulmak çok daha kolay , önce integrali 4'üncü kuvvete yükseltmek yerine.

Cevap:

Ancak hasta bir kelebek değil.

Aynı düz şekil eksen etrafında döndürülürse, doğal olarak farklı hacimde, tamamen farklı bir dönüş gövdesi elde edeceğinizi unutmayın.

Örnek 6

Çizgilerle ve bir eksenle sınırlanmış düz bir şekil verilmiştir.

1) Ters fonksiyonlara gidin ve bu doğruların sınırladığı bir düzlem şeklinin alanını değişken üzerinden integral alarak bulun.
2) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İlgilenenler ayrıca bir şeklin alanını “olağan” şekilde bulabilir, böylece 1) noktasını kontrol edebilirler. Ancak tekrar ediyorum, düz bir şekli eksen etrafında döndürürseniz, farklı bir hacme sahip tamamen farklı bir dönme gövdesi elde edersiniz, bu arada, doğru cevap (ayrıca sorunları çözmeyi sevenler için).

Görevin önerilen iki noktasının tam çözümü dersin sonundadır.

Evet, dönme gövdelerini ve entegrasyonun sınırlarını anlamak için başınızı sağa eğmeyi unutmayın!

Parametrik olarak belirtilen çizgilerle sınırlanan şekillerin alanlarını hesaplamamıza olanak tanıyan ortaya çıkan formülün uygulama örneklerini ele alalım.

Örnek.

Bir çizgiyle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın parametrik denklemler neye benziyorlar.

Çözüm.

Örneğimizde parametrik olarak Verilen satır yarı eksenleri 2 ve 3 birim olan bir elipstir. Haydi inşa edelim.

Birinci çeyrekte yer alan elipsin çeyreğinin alanını bulalım. Bu alan aralıkta yer alır . Ortaya çıkan değeri dört ile çarparak tüm şeklin alanını hesaplıyoruz.

Elimizde ne var:

İçin k = 0 aralığını elde ederiz . Bu aralıkta fonksiyon monoton olarak azalıyor (bkz. bölüm). Alanı hesaplamak ve Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integrali bulmak için formülü uyguluyoruz:

Böylece orijinal şeklin alanı eşittir .

Yorum.

Mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: Neden elipsin yarısını değil de dörtte birini aldık? Şeklin üst (veya alt) yarısını görmek mümkündü. O aralıkta . Bu durumda şunu alırız:

Yani k = 0 için aralığı elde ederiz. Bu aralıkta fonksiyon monoton bir şekilde azalıyor.

Daha sonra elipsin yarısının alanı şu şekilde bulunur:

Ancak elipsin sağ veya sol yarısını alamazsınız.

Orijinde ve a ve b yarı eksenlerinde merkezlenen bir elipsin parametrik gösterimi şu şekildedir: Analiz edilen örnekteki gibi davranırsak, şunu elde ederiz: bir elipsin alanını hesaplamak için formül .

Merkezi yarıçapı R olan bir daire, bir denklem sistemi tarafından t parametresi aracılığıyla belirtilir. Ortaya çıkan formülü bir elipsin alanı için kullanırsanız hemen yazabilirsiniz. dairenin alanını bulma formülü yarıçap R: .

Bir örnek daha çözelim.

Örnek.

Parametrik olarak belirtilen bir eğri ile sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm.

Biraz ileriye bakıldığında, eğrinin "uzun" bir asteroit olduğu görülür. (Astroid aşağıdaki parametrik gösterime sahiptir).

Şekli sınırlayan eğrinin yapısı üzerinde ayrıntılı olarak duralım. Nokta nokta inşa edeceğiz. Tipik olarak böyle bir yapı çoğu sorunu çözmek için yeterlidir. Daha karmaşık durumlarda, parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun diferansiyel hesabı kullanarak ayrıntılı bir şekilde incelenmesi şüphesiz gerekli olacaktır.

Örneğimizde.

Bu fonksiyonlar, t parametresinin tüm gerçek değerleri için tanımlanmıştır ve sinüs ve kosinüs özelliklerinden, bunların iki pi periyoduyla periyodik olduklarını biliyoruz. Böylece bazılarının fonksiyon değerlerinin hesaplanması (Örneğin ), bir dizi nokta elde ederiz .

Kolaylık sağlamak için değerleri tabloya koyalım:

Düzlemdeki noktaları işaretliyoruz ve onları TUTARLI bir şekilde bir çizgiyle birleştiriyoruz.

Birinci koordinat çeyreğinde yer alan bölgenin alanını hesaplayalım. Bu alan için .

Şu tarihte: k=0 aralığı elde ederiz , burada fonksiyon monoton olarak azalır. Alanı bulmak için formülü uyguluyoruz:

Ortaya çıkan belirli integralleri Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplıyoruz ve Newton-Leibniz formülünün ters türevlerini, formun tekrarlayan formülünü kullanarak buluyoruz. , Nerede .

Bu nedenle çeyrek rakamın alanı , o zaman tüm şeklin alanı eşittir.

Benzer şekilde şu da gösterilebilir: asteroit alanı olarak bulunur ve çizgiyle sınırlanan şeklin alanı formülle hesaplanır.

Selamlar, Argemona Üniversitesi'nin sevgili öğrencileri!

Biraz daha sonra kurs tamamlanacak ama şimdi bunu yapacağız.

Zhouli hafifçe elini salladı ve havada bir figür belirdi. Daha doğrusu dikdörtgen bir yamuktu. Yanlarından akan büyülü enerjinin yarattığı havada asılı kaldı ve aynı zamanda yamuğun içinde de dönerek onun parıldamasına ve parıldamasına neden oldu.
Daha sonra öğretmen parmaklarıyla hafifçe fark edilir bir dairesel hareket yaptı ve yamuk görünmez bir eksen etrafında dönmeye başladı. İlk başta yavaşça, sonra daha hızlı ve daha hızlı - böylece üç boyutlu bir figür havada açıkça görünmeye başladı. Sanki büyülü bir enerji onun içine yayılıyormuş gibi görünüyordu.

Sonra şunlar oldu: Figürün ve iç kısmının ışıltılı hatları bir miktar maddeyle dolmaya başladı, parıltı giderek daha az fark edilir hale geldi, ancak figürün kendisi giderek daha somut bir şeye benzemeye başladı. Malzeme tanecikleri şeklin üzerine eşit şekilde dağılmıştı. Ve sonra her şey bitti: dönüş ve parlaklık. Havada asılı huniye benzeyen bir nesne vardı. Zhouli onu dikkatlice masaya taşıdı.

Hadi bakalım. Bu, bazı düz şekilleri hayali düz çizgiler etrafında döndürerek birçok nesneyi kabaca bu şekilde hayata geçirebilirsiniz. Tabii ki, maddileşme için, büyülü enerjinin yardımıyla oluşan ve geçici olarak tutulan tüm hacmi dolduracak belirli miktarda maddeye ihtiyacınız var. Ancak ne kadar maddeye ihtiyaç duyulduğunu doğru bir şekilde hesaplamak için ortaya çıkan cismin hacmini bilmeniz gerekir. Aksi takdirde az miktarda madde varsa tüm hacmi doldurmaz ve vücut kusurlu, kırılgan hale gelebilir. Ancak büyük miktarda maddeyi cisimleştirmek ve hala korumak, gereksiz bir büyü enerjisi harcamasıdır.
Peki ya sınırlı miktarda maddemiz varsa? Daha sonra cisimlerin hacimlerini hesaplayabildiğimizde, fazla büyü enerjisi harcamadan ne büyüklükte bir beden yapabileceğimizi tahmin edebiliriz.
Fazla malzemenin çekilmesiyle ilgili başka bir düşünce daha var. Fazla madde nereye gidiyor? Katılmadıklarında parçalanıyorlar mı? Yoksa rastgele mi vücuda yapışıyorlar?
Genel olarak hala düşünülmesi gereken bir şey var. Aniden herhangi bir düşünceniz olursa, onları dinlemekten memnuniyet duyarım. Bu arada bu şekilde elde edilen cisimlerin hacimlerini hesaplamaya geçelim.
Burada birkaç vaka ele alınmaktadır.

Durum 1.

Döndüreceğimiz alan en klasik kavisli yamuktur.

Doğal olarak onu yalnızca OX ekseni etrafında döndürebiliyoruz. Bu yamuk OY eksenini kesmeyecek şekilde yatay olarak sağa kaydırılırsa bu eksene göre de döndürülebilir. Her iki durum için de büyü formülleri aşağıdaki gibidir:

Sen ve ben, işlevler üzerindeki temel büyülü etkilerde zaten oldukça iyi ustalaştık, bu yüzden gerekirse, şekli koordinat eksenlerinde hareket ettirerek onunla çalışmak için uygun bir konuma getirmenin sizin için zor olmayacağını düşünüyorum.

Durum 2.

Yalnızca klasik kavisli yamuğu değil, aynı zamanda şuna benzer bir şekli de döndürebilirsiniz:

Döndürdüğümüzde bir çeşit yüzük elde ediyoruz. Şekli pozitif alana taşıyarak OY eksenine göre döndürebiliriz. Yüzüğü de alacağız ya da alamayacağız. Her şey şeklin nasıl konumlandırılacağına bağlıdır: sol kenarı tam olarak OY ekseni boyunca geçerse, halka çalışmayacaktır. Bu tür dönüş gövdelerinin hacimlerini aşağıdaki büyüleri kullanarak hesaplayabilirsiniz:

Durum 3.

Harika eğrilerimiz olduğunu ama bunların alışılmış şekilde değil parametrik biçimde tanımlandığını hatırlayalım. Bu tür eğriler genellikle kapalıdır. T parametresi, kapalı şekil eğri (sınır) boyunca dolaşırken solda kalacak şekilde değiştirilmelidir.

Ardından, OX veya OY eksenine göre dönüş gövdelerinin hacimlerini hesaplamak için aşağıdaki büyüleri kullanmanız gerekir:

Aynı formüller kapatılmamış eğriler için de kullanılabilir: her iki uç da OX ekseninde veya OY ekseninde olduğunda. Şeklin herhangi bir şekilde kapalı olduğu ortaya çıkıyor: uçlar eksenin bir bölümü tarafından kapatılıyor.

Durum 4.

Harika eğrilerimizden bazıları kutupsal koordinatlarla (r=r(fi)) belirtilir. Ve sonra şekil kutup ekseni etrafında döndürülebilir. Bu durumda Kartezyen koordinat sistemi kutupsal olanla birleştirilir ve varsayılır.
x=r(fi)*cos(fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Böylece, fi parametresinin, eğriyi geçerken alanın solda kalacağı şekilde değişmesi gereken eğrinin parametrik bir formuna ulaşıyoruz.
Ve 3. durumdaki büyü formüllerini kullanıyoruz.

Ancak kutupsal koordinatlar için ayrıca bir büyü formülü de vardır:

Kesinlikle, düz rakamlar Ayrıca yalnızca OX ve OY eksenlerine göre değil, diğer düz çizgilere göre de döndürebilirsiniz, aynı zamanda bu manipülasyonlar zaten daha karmaşıktır, bu nedenle kendimizi derste tartışılan durumlarla sınırlayacağız.

Ve şimdi Ev ödevi . Size kesin rakamlar vermeyeceğim. Zaten birçok işlevi inceledik ve sizden majikal uygulamada ihtiyaç duyabileceğiniz bir şeyi kendiniz tasarlamanızı istiyorum. Derste belirtilen tüm durumlar için dört örneğin yeterli olacağını düşünüyorum.

Konuyla ilgili derslerde düzlemde düz bir çizginin denklemi Ve uzayda düz bir çizginin denklemleri.

Eski bir arkadaşla tanışın:

Eğrisel yamuk gururla bir grafikle taçlandırılmıştır ve bildiğiniz gibi alan belirli bir integral kullanılarak hesaplanır temel formüle göre veya kısaca: .

Duruma göre düşünelim aynı işlev parametrik formda verilmiştir.

Bu durumda alan nasıl bulunur?

Bazılarında oldukça spesifik Parametrenin değeri, parametrik denklemler noktanın koordinatlarını belirleyecek ve bir diğeri için oldukça spesifik değer – noktanın koordinatları. “Te”, kapsayıcıya dönüştüğünde, parametrik denklemler eğriyi “çizir”. Entegrasyonun sınırları konusunda her şeyin netleştiğini düşünüyorum. Şimdi integrale girelim yerine“X” ve “Y” fonksiyonlarını değiştirip diferansiyeli açıyoruz:

Not : fonksiyonların olduğu varsayılmaktadır. sürekli entegrasyon aralığına ve ek olarak fonksiyona monotonüzerinde.

Dönen bir cismin hacminin formülü de aynı derecede basittir:

Kavisli bir yamuğun eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır: veya: . Parametrik fonksiyonların yanı sıra entegrasyon limitlerini de yerine koyuyoruz:

Lütfen her iki çalışma formülünü de referans kitabınıza kaydedin.

Gözlemlerime göre hacim bulma sorunları oldukça nadirdir ve bu nedenle bu dersteki örneklerin önemli bir kısmı alan bulma konusuna ayrılacaktır. İşleri uzun süre ertelemeyelim:

Örnek 1

Kavisli bir yamuğun alanını hesaplayın , Eğer

Çözüm: formülü kullanın .

Klasik sorun her zaman ve her yerde konuşulan bir konu hakkında:

Örnek 2

Bir elipsin alanını hesaplayın

Çözüm: kesinlik için parametrik denklemlerin tanımladığını varsayıyoruz kanonik elips merkezi orijinde olacak şekilde yarı ana eksen “a” ve yarı küçük eksen “be”dir. Yani, şarta göre bize bundan başka bir şey teklif edilmiyor.

elipsin alanını bulun

Parametrik fonksiyonların periyodik olduğu açıktır ve . Görünüşe göre formülü ücretlendirebilirsiniz, ancak her şey o kadar şeffaf değil. Hadi öğrenelim yön Parametrik denklemlerin bir elips "çizdiği". Kılavuz olarak en basit parametre değerlerine karşılık gelen birkaç nokta bulacağız:

“Te” parametresi sıfırdan “iki pi”ye değiştiğinde parametrik denklemlerin bir elips “çizdiğini” anlamak kolaydır. saat yönünün tersine:


Şeklin simetrisi nedeniyle alanın 1. koordinat çeyreğindeki kısmını hesaplıyoruz ve sonucu 4 ile çarpıyoruz. Burada temelde biraz önce yorumladığım resmin aynısını görüyoruz: parametrik denklemler yayı “çiziyor”. elips eksenin "ters yönünde", ancak alan rakamları soldan sağa doğru sayılır! Bu yüzden daha düşük entegrasyon sınırı değere karşılık gelir ve tepe sınır – değer.

Derste zaten tavsiye ettiğim gibi Kutupsal koordinatlarda alan, sonucu dört katına çıkarmak daha iyidir hemen:

İntegral (biri aniden böyle inanılmaz bir boşluk keşfederse) sınıfta analiz edildi. Trigonometrik fonksiyonların integralleri.

Cevap:

Temel olarak alanı bulmak için bir formül türettik elips. Ve pratikte belirli "a" ve "olma" değerlerine sahip bir görevle karşılaşırsanız, sorun genel bir biçimde çözüldüğü için kolayca bir mutabakat/kontrol gerçekleştirebilirsiniz.

Elipsin alanı da dikdörtgen koordinatlarda hesaplanır; bunun için denklemden “Y”yi ifade etmeniz ve sorunu tam olarak makalenin 4 numaralı örneğindeki gibi çözmeniz gerekir. Belirli integralleri çözmek için etkili yöntemler. Bu örneğe baktığınızdan ve parametrik olarak tanımlanmışsa bir elipsin alanını hesaplamanın ne kadar kolay olduğunu karşılaştırdığınızdan emin olun.

Ve elbette parametrik denklemlerin kanonik olmayan bir konumda bir daire veya elips tanımlayabildiğini neredeyse unutuyordum.

Örnek 3

Bir sikloidin bir yayının alanını hesaplayın

Bir sorunu çözmek için onun ne olduğunu bilmeniz gerekir sikloid veya en azından çizimi tamamen resmi olarak tamamlayın. Dersin sonunda örnek bir tasarım. Ancak sizi çok uzağa göndermeyeceğim; aşağıdaki problemde bu doğrunun grafiğine bakabilirsiniz:

Örnek 4

Çözüm: parametrik denklemler bir sikloidi tanımlar ve kısıtlama onun hakkında konuştuğumuzu gösterir. ilk kemer parametre değeri içinde değiştiğinde "çizilir". Lütfen burada bu "çizimin" "doğru" yönünün (soldan sağa) olduğunu unutmayın, bu da entegrasyonun sınırlarında herhangi bir sorun olmayacağı anlamına gelir. Ama bir sürü harika şey daha ortaya çıkacak =) Denklem ortaya çıkıyor doğrudan, x eksenine paralel ve ek koşul (santimetre. doğrusal eşitsizlikler) bize aşağıdaki şeklin alanını hesaplamamız gerektiğini söylüyor:

İstenilen gölgeli şekle “evin çatısı”, dikdörtgene “evin duvarı” ve tüm yapıya (duvar + çatı) “evin cephesi” olarak adlandıracağım. Her ne kadar bu yapı daha çok bir tür ahırı andırıyor olsa da =)

"Çatı" alanını bulmak için "duvar" alanını "cephe" alanından çıkarmak gerekir.

İlk önce "cephe" ile ilgilenelim. Alanını bulmak için, çizginin sikloidin ilk yayı ile kesişme noktalarını (noktalar ve ) belirten değerleri bulmanız gerekir. Parametrik denklemde yerine koyalım:

Bir trigonometrik denklem basit bir şekilde bakarak kolayca çözülebilir. kosinüs grafiği: aralıkta eşitlik iki kök tarafından sağlanır: . Prensip olarak her şey açıktır, ancak yine de tedbirli davranalım ve bunları denklemde yerine koyalım:

– bu noktanın “x” koordinatıdır;

– ve bu noktanın “X” koordinatıdır.

Böylece parametre değerinin noktaya, değerin ise noktaya karşılık geldiğine ikna olduk.

"Cephe" alanını hesaplayalım. Daha kompakt gösterim için, fonksiyon genellikle doğrudan integralin altında türevlenir:

“Duvarın” alanı, dikdörtgenin bitişik kenarlarının uzunlukları çarpılarak “okul” yöntemi kullanılarak hesaplanabilir. Uzunluğu belli, geriye sadece onu bulmak kalıyor. “Tse” ve “be” noktalarının (daha önce bulundu) “X” koordinatları arasındaki fark olarak hesaplanır:

Duvar alanı:

Elbette en basitinin yardımıyla bile onu bulmakta utanılacak bir şey yok. belirli integral segmentteki fonksiyondan:

Sonuç olarak çatı alanı:

Cevap:

Ve elbette elimizde bir çizim varsa, elde edilen sonucun gerçeğe benzer olup olmadığını kutu kutu tahmin ederiz. Benzer

Aşağıdaki görev kendi başınıza çözmeniz içindir:

Örnek 5

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın verilen denklemler

Çözüm algoritmasını kısaca sistematize edelim:

– Çoğu durumda bir çizim yapıp alanını bulmak istediğiniz şekli belirlemeniz gerekecektir.

– İkinci adımda gerekli alanın nasıl hesaplandığını anlamalısınız: tek bir alan olabilir kavisli yamuk belki alanların farkı, belki alanların toplamı, kısacası derste incelediğimiz tüm o çipler.

– Üçüncü adımda, şeklin simetrisini kullanmanın tavsiye edilip edilmeyeceğini analiz etmemiz (eğer simetrikse) ve ardından entegrasyonun sınırlarını (parametrenin başlangıç ​​ve son değeri) bulmamız gerekiyor. Genellikle bu, basit bir trigonometrik denklemin çözülmesini gerektirir; burada şunu kullanabilirsiniz: analitik yöntem, grafiksel yöntem veya gerekli köklerin basit seçimi trigonometrik tablo.

! unutma parametrik denklemlerin sağdan sola doğru bir çizgi çizebildiğini, bu durumda çalışma formülünde uygun bir rezervasyon ve değişiklik yapıyoruz.

– Ve son aşamada teknik hesaplamalar yapılır. Çizimden elde edilen cevabın inandırıcılığını değerlendirmek her zaman güzeldir.

Ve şimdi yıldızla uzun zamandır beklenen buluşma:

Örnek 6

Denklemlerle verilen çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın

Çözüm: Denklemlerin verdiği eğri asteroit, Ve doğrusal eşitsizlikçizimdeki gölgeli şekli benzersiz şekilde tanımlar:

Doğrunun ve asteroitin kesişim noktalarını belirleyen parametre değerlerini bulalım. Bunu yapmak için parametrik denklemde yerine koyalım:

Böyle bir denklemi çözme yöntemleri yukarıda zaten listelenmiştir, özellikle bu kökler aşağıdakilere göre kolayca seçilebilir; trigonometrik tablo.

Şekil x eksenine göre simetrik olduğundan alanın üst yarısını hesaplayalım (mavi gölgeli) ve sonucu iki katına çıkaralım.

Değeri parametrik denklemde yerine koyalım:
Sonuç olarak, astroid ile düz çizginin üst (ihtiyacımız olan) kesişme noktasının “Yunan” koordinatını elde ettik.

Astroidin sağ tepe noktası açıkça değere karşılık gelir. Her ihtimale karşı kontrol edelim:
, kontrol edilmesi gereken şey buydu.

Elipste olduğu gibi, parametrik denklemler asteroitin yayını sağdan sola "çizir". Çeşitlilik sağlamak için sonunu ikinci şekilde biçimlendireceğim: parametre sınırlar dahilinde değiştiğinde fonksiyon azalır, bu nedenle (çiftlemeyi unutmayın!):

İntegralin oldukça hantal olduğu ortaya çıktı ve "her şeyi yanınızda taşımamak" için çözümü yarıda kesmek ve integrali ayrı ayrı dönüştürmek daha iyidir. Standart dereceyi düşürmek kullanarak trigonometrik formüller:

Son dönemde uygun fonksiyonu diferansiyel işaretinin altına koyalım:

Cevap:

Evet yıldızlarla biraz zor =)

Aşağıdaki ödev ileri düzey öğrenciler içindir:

Örnek 7

Denklemlerle verilen çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın

Bunu çözmek için zaten dikkate aldığımız yeterli malzeme olacak, ancak olağan yol çok uzun ve şimdi size bir tane daha anlatacağım. etkili yöntem. Bu fikir aslında dersten tanıdık geliyor Belirli bir integral kullanarak alan hesaplama– bu “y” değişkeni üzerinden entegrasyon ve formülün kullanımıdır . Parametrik fonksiyonları yerine koyarak bir ayna çalışma formülü elde ederiz:

Gerçekten de neden “standart” olandan daha kötü? Bu parametrik formun başka bir avantajıdır - denklem yalnızca “sıradan” bir rolü oynayabilmekle kalmıyor, aynı zamanda aynı anda Ve ters fonksiyon.

Bu durumda fonksiyonların geçerli olduğu varsayılmaktadır. sürekli entegrasyon aralığı ve fonksiyon hakkında monotonüzerinde. Üstelik eğer azalır entegrasyon aralığında (parametrik denklemler grafiği “ters yönde” “çizir” (dikkat!!) ekseni), o zaman daha önce tartışılan teknolojiyi kullanarak entegrasyonun sınırlarını yeniden düzenlemelisiniz veya başlangıçta integralin önüne bir "eksi" koymalısınız.

Örnek 7'nin çözümü ve cevabı dersin sonundadır.

Son mini bölüm daha nadir bir soruna ayrılmıştır:

Dönen cismin hacmi nasıl bulunur?
şekil parametrik olarak tanımlanmış bir çizgiyle sınırlıysa?

Dersin başında elde ettiğimiz formülü güncelleyelim: . Genel teknikÇözüm, alanı bulmayla tamamen aynıdır. Kumbaramdan birkaç görev çıkaracağım.