Ev Coğrafya Bile değil. Çift ve tek fonksiyonlar

Bile değil. Çift ve tek fonksiyonlar

Bir fonksiyonun düzgünlüğü ve tekliği onun ana özelliklerinden biridir ve eşlik, okul matematik dersinin etkileyici bir bölümünü oluşturur. Büyük ölçüde fonksiyonun davranışını belirler ve karşılık gelen grafiğin oluşturulmasını büyük ölçüde kolaylaştırır.

Fonksiyonun paritesini belirleyelim. Genel olarak konuşursak, tanım alanında bulunan bağımsız değişkenin (x) zıt değerleri için, y'nin (fonksiyonun) karşılık gelen değerleri eşit olsa bile, incelenen fonksiyon dikkate alınır.

Daha kesin bir tanım verelim. D bölgesinde tanımlanan bir f(x) fonksiyonunu düşünün. Tanımın alanında bulunan herhangi bir x noktası için bile olacaktır:

-x (karşı nokta) da bu kapsamda yer alır,

f(-x) = f(x).

Yukarıdaki tanımdan, böyle bir fonksiyonun tanım alanı için gerekli olan koşul, yani koordinatların orijini olan O noktasına göre simetri gelir, çünkü eğer bir b noktası çift sayının tanım alanında yer alıyorsa fonksiyonu varsa, karşılık gelen b noktası da bu alanda yer alır. Dolayısıyla yukarıdakilerden şu sonuç çıkar: çift fonksiyon ordinat eksenine (Oy) göre simetrik bir forma sahiptir.

Pratikte bir fonksiyonun paritesi nasıl belirlenir?

h(x)=11^x+11^(-x) formülü kullanılarak belirtilsin. Doğrudan tanımı takip eden algoritmayı takip ederek öncelikle tanım alanını inceliyoruz. Açıkçası, argümanın tüm değerleri için tanımlanmıştır, yani ilk koşul karşılanmıştır.

Bir sonraki adım, (x) argümanının yerine zıt değeri (-x) koymaktır.
Şunu elde ederiz:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Toplama değişme (değişme) yasasını sağladığı için h(-x) = h(x) olduğu açıktır ve verilen fonksiyonel bağımlılık- eşit.

h(x)=11^x-11^(-x) fonksiyonunun eşliğini kontrol edelim. Aynı algoritmayı takip ederek h(-x) = 11^(-x) -11^x sonucunu elde ederiz. Eksileri çıkararak sonunda elimizde
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Bu nedenle h(x) tektir.

Bu arada, bu kriterlere göre sınıflandırılamayan fonksiyonlar olduğunu da hatırlamak gerekir; bunlara ne çift ne de tek denir.

Fonksiyonların bile bir takım ilginç özellikleri vardır:

benzer işlevlerin eklenmesi sonucunda çift sayı elde edilir;
bu tür fonksiyonların çıkarılması sonucunda çift bir tane elde edilir;
hatta, hatta;
bu tür iki fonksiyonun çarpılması sonucunda çift bir tane elde edilir;
tek ve çift fonksiyonların çarpılması sonucunda tek bir elde edilir;
tek ve çift fonksiyonların bölünmesi sonucunda tek bir elde edilir;
böyle bir fonksiyonun türevi tektir;
Tek bir fonksiyonun karesini alırsanız çift bir fonksiyon elde edersiniz.

Bir fonksiyonun paritesi denklemleri çözmek için kullanılabilir.

Denklemin sol tarafının çift fonksiyon olduğu g(x) = 0 gibi bir denklemi çözmek için değişkenin negatif olmayan değerlerinin çözümlerini bulmak oldukça yeterli olacaktır. Denklemin ortaya çıkan kökleri zıt sayılarla birleştirilmelidir. Bunlardan biri doğrulamaya tabidir.

Bu aynı zamanda çözmek için başarıyla kullanılır. standart dışı görevler parametre ile.

Örneğin, a parametresinin 2x^6-x^4-ax^2=1 denkleminin üç kökü olacak herhangi bir değeri var mı?

Değişkenin denkleme çift kuvvetlerle girdiğini dikkate alırsak, x'in - x ile değiştirilmesi gerektiği açıktır. verilen denklem değişmeyecek. Buradan belli bir sayının kökü olması durumunda karşıt sayının da kök olduğu sonucu çıkar. Sonuç açıktır: sıfırdan farklı bir denklemin kökleri, çözüm kümesine "çiftler halinde" dahil edilir.

Sayının kendisinin 0 olmadığı, yani böyle bir denklemin kök sayısının yalnızca çift olabileceği ve doğal olarak parametrenin herhangi bir değeri için üç kökü olamayacağı açıktır.

Ancak 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 denkleminin kök sayısı tek olabilir ve parametrenin herhangi bir değeri için. Aslında, belirli bir denklemin kökler kümesinin “çiftler halinde” çözümler içerdiğini kontrol etmek kolaydır. 0'ın kök olup olmadığını kontrol edelim. Bunu denklemde yerine koyarsak 2=2 elde ederiz. Böylece, “eşli” olanların yanı sıra 0 da bir köktür ve bu da onların tek sayısını kanıtlar.

Temmuz 2020'de NASA, Mars'a bir keşif gezisi başlatacak. Uzay aracı, Mars'a tüm kayıtlı keşif katılımcılarının adlarının yer aldığı elektronik bir ortam sunacak.

Bu gönderi sorununuzu çözdüyse veya beğendiyseniz, bağlantıyı sosyal ağlarda arkadaşlarınızla paylaşın.

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Hepsi bu. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve yerleştirmeye hazırsınız matematiksel formüller sitenizin web sayfalarına.

Yine bir yılbaşı gecesi... ayaz hava ve pencere camındaki kar taneleri... Bütün bunlar beni tekrar yazmaya sevk etti... fraktallar ve Wolfram Alpha'nın bu konuda bildikleri. Bu vesileyle ilginç makale iki boyutlu fraktal yapıların örneklerini içerir. Burada daha fazlasına bakacağız karmaşık örneklerüç boyutlu fraktallar.

Bir fraktal, ayrıntıları orijinal şeklin kendisiyle aynı şekle sahip olan geometrik bir şekil veya cisim (her ikisinin de bir küme, bu durumda bir dizi nokta olduğu anlamına gelir) olarak görsel olarak temsil edilebilir (tanımlanabilir). Yani bu, ayrıntılarını incelediğimizde büyütüldüğünde büyütülmeden aynı şekli göreceğimiz, kendine benzeyen bir yapıdır. Oysa sıradan bir durumda geometrik şekil(fraktal değil), yakınlaştırıldığında orijinal şeklin kendisinden daha basit bir şekle sahip ayrıntıları göreceğiz. Örneğin, yeterince yüksek bir büyütmede elipsin bir kısmı düz bir çizgi parçası gibi görünür. Fraktallarda bu olmaz: Fraktallardaki herhangi bir artışla, her artışta tekrar tekrar tekrarlanacak olan aynı karmaşık şekli tekrar göreceğiz.

Fraktal biliminin kurucusu Benoit Mandelbrot, Fraktallar ve Bilim Adına Sanat adlı makalesinde şöyle yazmıştır: “Fraktallar geometrik şekiller genel biçimleriyle olduğu kadar ayrıntılarıyla da aynı derecede karmaşıktır. Yani bir fraktalın bir kısmı bütünün boyutuna kadar büyütülürse, ya tam olarak ya da belki biraz deformasyonla bütün olarak görünecektir."

Tanım 1. Fonksiyon çağrılır eşit(garip), eğer her değişken değeriyle birlikte
Anlam - X aynı zamanda ait
ve eşitlik geçerlidir

Bu nedenle, bir fonksiyon ancak tanım bölgesi sayı doğrusundaki koordinatların (sayı) orijinine göre simetrikse çift veya tek olabilir. X Ve - X aynı zamanda ait
). Örneğin, fonksiyon
tanım alanı olduğundan ne çift ne de tektir
orijine göre simetrik değildir.

İşlev
hatta çünkü
orijine göre simetriktir ve.

İşlev
tuhaf çünkü
Ve
.

İşlev
çift ve tek değil, çünkü
ve orijine göre simetrik olduğundan eşitlikler (11.1) sağlanmaz. Örneğin,.

Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir Ahçünkü eğer amaç

aynı zamanda programa aittir. Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir, çünkü eğer
grafiğe aitse, o zaman nokta
aynı zamanda programa aittir.

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu kanıtlarken aşağıdaki ifadeler faydalıdır.

Teorem 1. a) İki çift (tek) fonksiyonun toplamı bir çift (tek) fonksiyondur.

b) İki çift (tek) fonksiyonun çarpımı bir çift fonksiyondur.

c) Çift ve tek bir fonksiyonun çarpımı tek bir fonksiyondur.

d) Eğer F– sette eşit işlev X ve fonksiyon G sette tanımlanmış
, ardından fonksiyon
- eşit.

d) Eğer F– setteki tek işlev X ve fonksiyon G sette tanımlanmış
ve çift (tek), o zaman fonksiyon
– çift (tek).

Kanıt. Örneğin b) ve d)'yi kanıtlayalım.

b) izin ver
Ve
– hatta işlevler. O zaman bu nedenle. Tek fonksiyonların durumu da benzer şekilde ele alınır
Ve
.

d) izin ver F eşit bir fonksiyondur. Daha sonra.

Teoremin geri kalan ifadeleri benzer şekilde kanıtlanabilir. Teorem kanıtlandı.

Teorem 2. Herhangi bir işlev
, sette tanımlı X Orijine göre simetrik olan , çift ve tek fonksiyonların toplamı olarak temsil edilebilir.

Kanıt. İşlev
şeklinde yazılabilir

İşlev
– hatta çünkü
ve fonksiyon
– tuhaf çünkü. Böylece,
, Nerede
– hatta ve
– garip işlevler. Teorem kanıtlandı.

Tanım 2. İşlev
isminde periyodik bir sayı varsa
, öyle ki herhangi biri için
sayılar
Ve
aynı zamanda tanım alanına da aittir
ve eşitlikler sağlanıyor

Böyle bir sayı T isminde dönem işlevler
.

Tanım 1'den şu sonuç çıkıyor: T– fonksiyonun süresi
, ardından sayı – T Aynı fonksiyonun periyodu
(değiştirildiğinden beri T Açık - T eşitlik korunur). Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak şu şekilde gösterilebilir: T– fonksiyonun süresi F, Daha sonra
, aynı zamanda bir dönemdir. Buradan, eğer bir fonksiyonun bir periyodu varsa, o zaman sonsuz sayıda periyodu olduğu sonucu çıkar.

Tanım 3. Bir fonksiyonun pozitif periyotlarının en küçüğüne denir ana dönem.

Teorem 3. Eğer T– işlevin ana dönemi F, bu durumda kalan periyotlar bunun katlarıdır.

Kanıt. Bunun tersini varsayalım, yani bir periyot var işlevler F (>0), çoklu değil T. Daha sonra bölme Açık T geri kalanıyla şunu elde ederiz
, Nerede
. Bu yüzden

yani – fonksiyonun süresi F, Ve
ve bu şu gerçekle çelişiyor: T– işlevin ana dönemi F. Teoremin ifadesi sonuçta ortaya çıkan çelişkiden kaynaklanmaktadır. Teorem kanıtlandı.

Trigonometrik fonksiyonların periyodik olduğu iyi bilinmektedir. Ana dönem
Ve
eşittir
,
Ve
. Fonksiyonun periyodunu bulalım
. İzin vermek
- bu işlevin süresi. Daha sonra

(Çünkü
.

ya da
.

Anlam T Birinci eşitlikten belirlenen , aşağıdakilere bağlı olduğundan bir nokta olamaz: X yani bir fonksiyonudur X ve sabit bir sayı değil. Dönem ikinci eşitlikten belirlenir:
. Sonsuz sayıda dönem vardır
en küçük pozitif periyot elde edilir
:
. Bu fonksiyonun ana dönemidir
.

Daha karmaşık bir periyodik fonksiyonun örneği Dirichlet fonksiyonudur

şunu unutmayın: T bir rasyonel sayıdır o zaman
Ve
rasyonel sayılar rasyoneldir X ve mantıksızken mantıksız X. Bu yüzden

herhangi bir rasyonel sayı için T. Bu nedenle herhangi bir rasyonel sayı T Dirichlet fonksiyonunun periyodudur. Bu fonksiyonun bir ana periyodu olmadığı açıktır, çünkü keyfi olarak sıfıra yakın pozitif rasyonel sayılar vardır (örneğin, seçilerek bir rasyonel sayı yapılabilir). N keyfi olarak sıfıra yakın).

Teorem 4. Eğer fonksiyon F sette tanımlanmış X ve bir dönemi var T ve fonksiyon G sette tanımlanmış
, o zaman karmaşık bir fonksiyon
bir de dönemi var T.

Kanıt. Bu nedenle elimizde

yani teoremin ifadesi kanıtlanmıştır.

Örneğin, o zamandan beri çünkü X bir dönemi var
, ardından işlevler
bir dönemim var
.

Tanım 4. Periyodik olmayan fonksiyonlar çağrılır periyodik olmayan.

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Hedefler:

Bir fonksiyonun parite ve teklik kavramını oluşturma, bu özellikleri belirleme ve gerektiğinde kullanma becerisini öğretmek fonksiyon araştırması, çizim;
geliştirmek yaratıcı aktiviteöğrenciler, mantıksal düşünme karşılaştırma, genelleme yeteneği;
sıkı çalışmayı ve matematik kültürünü geliştirmek; iletişim becerilerini geliştirmek .

Ekipman: multimedya kurulumu, interaktif beyaz tahta, bildiriler.

Çalışma biçimleri: arama ve araştırma faaliyetleri unsurları içeren ön ve grup.

Bilgi kaynakları:

1. Cebir 9. sınıf A.G. Mordkovich. Ders kitabı.
2. Cebir 9. sınıf A.G. Mordkovich. Sorun kitabı.
3. Cebir 9. sınıf. Öğrenci öğrenmesi ve gelişimi için görevler. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DERSİN İLERLEMESİ

1. Organizasyon anı

Ders için amaç ve hedeflerin belirlenmesi.

2. Ödevleri kontrol etmek

10.17 (9. sınıf problem kitabı. A.G. Mordkovich).

A) en = F(X), F(X) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2.E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 X ~ 0,4
4. F(X) >0 en X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Fonksiyon şu durumlarda artar: X € [– 2; + ∞)
6. Fonksiyon aşağıdan sınırlandırılmıştır.
7. en isim = – 3, en naib mevcut değil
8. Fonksiyon süreklidir.

(Bir işlev keşfetme algoritması kullandınız mı?) Slayt.

2.Slayttan size sorulan tabloyu kontrol edelim.

Tabloyu doldurun
	Tanım alanı	Fonksiyon sıfırları	İşaret sabitliği aralıkları		Grafiğin Oy ile kesiştiği noktaların koordinatları
	Tanım alanı	Fonksiyon sıfırları			Grafiğin Oy ile kesiştiği noktaların koordinatları
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U Ü (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U Ü (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Bilginin güncellenmesi

– Fonksiyonlar verilmiştir.
– Her fonksiyonun tanım kapsamını belirtin.
– Her bir bağımsız değişken değeri çifti için her işlevin değerini karşılaştırın: 1 ve – 1; 2 ve – 2.
– Tanım alanındaki bu işlevlerden hangisi için eşitlikler geçerlidir? F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (elde edilen verileri tabloya girin) Slayt

		F(1) ve F(– 1)	F(2) ve F(– 2)	grafikler	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = \| X \|
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		ve tanımlanmadı

4. Yeni malzeme

– Bu çalışmayı yaparken arkadaşlar, fonksiyonun size tanıdık gelmeyen ama diğerlerinden daha az önemli olmayan başka bir özelliğini belirledik - bu, fonksiyonun düzgünlüğü ve tuhaflığıdır. Dersin konusunu yazın: "Çift ve tek fonksiyonlar", görevimiz bir fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini belirlemeyi öğrenmek, bu özelliğin fonksiyonların incelenmesinde ve grafiklerin çizilmesinde önemini bulmaktır.
O halde ders kitabındaki tanımları bulalım ve okuyalım (s. 110) . Slayt

Def. 1 İşlev en = F (X X kümesinde tanımlanan ) denir eşit herhangi bir değer için ise XЄ X yürütülür eşitlik f(–x)= f(x). Örnekler verin.

Def. 2 İşlev y = f(x) X kümesinde tanımlanan , denir garip herhangi bir değer için ise X? X f(–х)= –f(х) eşitliği geçerlidir. Örnekler verin.

“Çift” ve “tek” terimlerini nerede karşıladık?
Bu işlevlerden hangisinin çift olacağını düşünüyorsunuz? Neden? Hangileri tuhaf? Neden?
Formun herhangi bir işlevi için en= xn, Nerede N– bir tamsayı olduğunda fonksiyonun tek olduğu iddia edilebilir. N– tek ve fonksiyon çift olduğunda N- eşit.
– İşlevleri görüntüle en= ve en = 2X– 3 ne çift ne de tektir çünkü eşitlikler tatmin edici değil F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunun incelenmesine, bir fonksiyonun eşlik açısından incelenmesi denir. Slayt

Tanım 1 ve 2'de fonksiyonun x ve –x'deki değerlerinden bahsediyorduk, dolayısıyla fonksiyonun aynı zamanda değerde de tanımlandığı varsayılıyor. X ve - X.

Tanım 3. Bir sayısal küme, x öğelerinin her biriyle birlikte, aynı zamanda karşıt öğe olan –x'i de içeriyorsa, bu küme X simetrik küme denir.

Örnekler:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simetrik kümelerdir ve , [–5;4] asimetriktir.

– sen eşit işlevler Tanım alanı simetrik bir küme midir? Garip olanlar mı?
– Eğer D( F) asimetrik bir küme ise fonksiyon nedir?
– Böylece, eğer fonksiyon en = F(X) – çift veya tek ise tanım alanı D('dir) F) simetrik bir kümedir. Tersi ifade doğru mu: Bir fonksiyonun tanım tanım kümesi simetrik bir küme ise, o zaman çift mi yoksa tek mi?
– Bu, tanım alanının simetrik bir kümesinin varlığının gerekli bir koşul olduğu ancak yeterli olmadığı anlamına gelir.
– Peki bir fonksiyonu eşlik açısından nasıl incelersiniz? Bir algoritma oluşturmaya çalışalım.

Slayt

Eşlik fonksiyonunu incelemek için algoritma

1. Fonksiyonun tanım tanım kümesinin simetrik olup olmadığını belirleyin. Değilse, o zaman fonksiyon ne çift ne de tektir. Cevabınız evet ise algoritmanın 2. adımına geçin.

2. için bir ifade yazın F(–X).

3. Karşılaştırın F(–X).Ve F(X):

Eğer F(–X).= F(X), o zaman fonksiyon çifttir;
Eğer F(–X).= – F(X), o zaman fonksiyon tektir;
Eğer F(–X) ≠ F(X) Ve F(–X) ≠ –F(X), bu durumda fonksiyon ne çift ne de tektir.

Örnekler:

Eşlik açısından a) fonksiyonunu inceleyin en= x 5 +; B) en= ; V) en= .

Çözüm.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrik küme.

2) h (– x) = (– x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => fonksiyon h(x) = x 5 + tek.

b) y =,

en = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrik bir kümedir; bu, fonksiyonun ne çift ne de tek olduğu anlamına gelir.

V) F(X) = , y = f(x),

1)D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Seçenek 2

1. Verilen küme simetrik midir: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Eşlik fonksiyonunu inceleyin:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Şek. bir grafik oluşturuldu en = F(X), herkes için X, koşulu karşılayan X? 0.
Fonksiyonun Grafiği en = F(X), Eğer en = F(X) eşit bir fonksiyondur.

3. Şek. bir grafik oluşturuldu en = F(X), x koşulunu sağlayan tüm x'ler için? 0.
Fonksiyonun Grafiği en = F(X), Eğer en = F(X) tek bir fonksiyondur.

Slaytta akran değerlendirmesi.

6. Ödev: No. 11.11, 11.21, 11.22;

Parite özelliğinin geometrik anlamının kanıtı.

***(Birleşik Devlet Sınavı seçeneğinin atanması).

1. y = f(x) tek fonksiyonu sayı doğrusunun tamamında tanımlıdır. x değişkeninin negatif olmayan herhangi bir değeri için, bu fonksiyonun değeri, g( fonksiyonunun değeriyle çakışır. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( fonksiyonunun değerini bulun X) = en X = 3.

7. Özetleme

Herhangi biri ve eşitlik için bir fonksiyona çift (tek) denir

Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir
.

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

Örnek 6.2.

1)
; 2)
; 3)
.

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu inceleyin.

Çözüm
1) Fonksiyon şu durumlarda tanımlanır:
.

. bulacağız
Onlar.

. Bu, bu fonksiyonun eşit olduğu anlamına gelir.

. bulacağız
2) Fonksiyon ne zaman tanımlanır?

. Dolayısıyla bu fonksiyon tuhaftır.

,
3) fonksiyon için tanımlanmıştır, yani. İçin

. Bu nedenle fonksiyon ne çift ne de tektir. Buna genel formun bir fonksiyonu diyelim.

İşlev
3. Monotonluk fonksiyonunun incelenmesi.

bu aralıkta argümanın her daha büyük değeri, fonksiyonun daha büyük (daha küçük) bir değerine karşılık geliyorsa, belirli bir aralıkta artan (azalan) olarak adlandırılır.

Belirli bir aralıkta artan (azalan) fonksiyonlara monoton denir.
Eğer fonksiyon
aralıkta türevlenebilir
, ardından fonksiyon
ve pozitif (negatif) bir türevi vardır

bu aralıkta artar (azalır).

1)
; 3)
.

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu inceleyin.

Örnek 6.3. Fonksiyonların monotonluk aralıklarını bulun

1) Bu fonksiyon sayı doğrusunun tamamında tanımlanmıştır. Türevini bulalım.
Ve
Türev sıfıra eşit ise
,
. Tanım alanı, noktalara bölünmüş sayı eksenidir

aralıklarla. Her aralıktaki türevin işaretini belirleyelim.
aralıkta

aralıklarla. Her aralıktaki türevin işaretini belirleyelim.
türev negatiftir, fonksiyon bu aralıkta azalır.

türev pozitiftir, dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta artar.
2) Bu fonksiyon şu şekilde tanımlanır:

veya

Her aralıkta ikinci dereceden trinomiyalin işaretini belirleriz.

Böylece fonksiyonun tanım alanı
,
Türevini bulalım
, Eğer
yani
, Ancak
.

aralıklarla. Her aralıktaki türevin işaretini belirleyelim.
. Aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim
türev negatiftir, dolayısıyla fonksiyon aralıkta azalır
. aralıkta
.

türev pozitiftir, fonksiyon aralık boyunca artar

4. Fonksiyonun ekstremumdaki incelenmesi.
Nokta
fonksiyonun maksimum (minimum) noktası denir eğer noktanın böyle bir mahallesi varsa
bu herkes için

.

bu mahallede eşitsizlik devam ediyor

Belirli bir aralıkta artan (azalan) fonksiyonlara monoton denir.
Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına ekstrem noktalar denir. bu noktada

bir ekstremuma sahipse, fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfıra eşittir veya mevcut değildir (bir ekstremun varlığı için gerekli bir koşul).

5. Bir ekstremun varlığı için yeterli koşullar.

Kural 1. Kritik noktadan geçiş sırasında (soldan sağa) türev
işareti “+”dan “-”ye değiştirir, ardından noktada işlev
bir maksimumu vardır; “-” ile “+” arasında ise minimum; Eğer
işaret değişmiyorsa ekstremum yoktur.

Kural 2. Gelin bu noktada
bir fonksiyonun birinci türevi
sıfıra eşit
ve ikinci türev mevcuttur ve sıfırdan farklıdır. Eğer
, O – maksimum nokta, eğer
, O – fonksiyonun minimum noktası.

Örnek 6.4. Maksimum ve minimum işlevleri keşfedin:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Çözüm.

1) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir
.

Böylece fonksiyonun tanım alanı
ve denklemi çöz
, Eğer
.Buradan
– kritik noktalar.

Aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim,
.

Noktalardan geçerken
Ve
türevin işareti “–”den “+”ya değişir, dolayısıyla kural 1'e göre
– minimum puanlar.

Bir noktadan geçerken
türevin işareti “+”dan “-”ye değişir, yani
– maksimum nokta.

,
.

2) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir
. Türevini bulalım
.

Denklemi çözdükten sonra
, bulacağız
Ve
– kritik noktalar. Payda ise
, Eğer
ise türev mevcut değildir. Bu yüzden,
– üçüncü kritik nokta. Türevin işaretini aralıklarda belirleyelim.