Olası hareketlerin başlangıcı. Maxwell teoremi (birim yer değiştirmelerin karşılıklılığı üzerine teorem) Düzlem deformasyonunun potansiyel enerjisi

Dengedeki elastik bir sistemin iki durumunu ele alalım. Bu durumların her birinde sisteme belirli bir statik yük etki eder (Şekil 23, a). F 1 ve F 2 kuvvetleri yönündeki hareketleri, “i” indeksi hareketin yönünü, “j” indeksi ise buna sebep olan sebep olacak şekilde gösterelim.

Pirinç. 23

Birinci durumun yükünün (F 1 kuvveti) birinci durumun hareketleri üzerindeki işini A 11 ile, F 2 kuvvetinin bunun neden olduğu hareketler üzerindeki işini A 22 ile gösterelim:

.

(2.9) kullanılarak A 11 ve A 22 işi iç kuvvet faktörleri cinsinden ifade edilebilir:

(2.10)

Aynı sistemin statik yüklenmesi durumunu (Şekil 23, a) aşağıdaki sırayla ele alalım. İlk olarak sisteme statik olarak artan bir kuvvet F1 uygulanır (Şekil 23, b);

Statik büyüme süreci tamamlandığında sistemin deformasyonu ve ona etki eden iç kuvvetler ilk durumdaki ile aynı hale gelir (Şekil 23, a). F 1 kuvvetinin yaptığı iş şöyle olacaktır:
Daha sonra sistem üzerinde statik olarak artan bir kuvvet F2 etki etmeye başlar (Şekil 23, b). Bunun bir sonucu olarak, sistem ikinci durumda olduğu gibi ek deformasyonlar alır ve içinde ek iç kuvvetler ortaya çıkar (Şekil 23, a). F 2 kuvvetinin sıfırdan nihai değerine arttırılması işlemi sırasında, F 1 kuvveti değişmeden kalarak ilave sapma miktarı kadar aşağı doğru hareket eder.

ve dolayısıyla ek iş yapar:

Force F 2 işi yapar:

Sistemin F 1, F 2 kuvvetleriyle sıralı yüklenmesiyle toplam A işi şuna eşittir:

(2.12)

Diğer taraftan (2.4)’e göre toplam iş şu şekilde tanımlanabilir:

(2.13)

(2.11) ve (2.12) ifadelerini birbirine eşitleyerek şunu elde ederiz:

Bir 12 = Bir 21 (2,14) Eşitlik (2.14) denir iş karşılıklılık teoremleri, veya Betti'nin teoremi:

birinci durumun kuvvetlerinin, ikinci durumun kuvvetlerinin neden olduğu yönlerdeki yer değiştirmeler üzerindeki çalışması, ikinci durumun kuvvetlerinin, birinci durumun kuvvetlerinin neden olduğu yönlerdeki yer değiştirmeler üzerindeki çalışmasına eşittir.

Bu eşitliğin sağ tarafındaki her bir integrand, çubuğun kesitinde birinci durum kuvvetlerinden kaynaklanan iç kuvvet ile ikinci durum kuvvetlerinin dz elemanında neden olduğu deformasyonun çarpımı olarak düşünülebilir.

2.4 Yer değiştirmelerin karşılıklılığına ilişkin teorem

İlk durumda sisteme bir kuvvet uygulansın
ve ikincisinde -
(Şek. 24). Birim kuvvetlerin (veya birim momentlerin) neden olduğu yer değiştirmeleri gösterelim.
) sembolü . Daha sonra söz konusu sistemin birim kuvvet yönünde hareketi
) -
ilk durumda (yani kuvvetin neden olduğu)
ve kuvvet yönünde hareket
.

ikinci durumda -

İş karşılıklılığı teoremine dayanarak:
, Ancak
, Bu yüzden

(2.16)

veya herhangi bir birim kuvvetin eyleminin genel durumunda:

Pirinç. 24 Ortaya çıkan eşitliğe (2.16) denirkarşılıklılık teoremleri hareketler (veya Maxwell teoremi):

elastik bir sistemin iki birim durumu için, ikinci birim kuvvetin neden olduğu birinci birim kuvvet yönündeki yer değiştirme, birinci kuvvetin neden olduğu ikinci kuvvet yönündeki yer değiştirmeye eşittir. Maxwell teoremi, F 1 =F 2 =1 olduğunda sistem yüklemesinin özel durumu için işin karşılıklılığı üzerine bir teoremdir. Açıktır ki aynı zamanda.

δ 12 = δ 21

İkinci durumun birim kuvvetinin etkisi altında birinci durumun noktasının yer değiştirmesi, birinci durumun birim kuvvetinin etkisi altında ikinci durumun noktasının yer değiştirmesine eşittir. 38. İşi belirleme formülü iç kuvvetler

(formülde yer alan tüm miktarların açıklamasıyla birlikte).

Şimdi iç kuvvetlerin olası işini belirleyelim. Bunu yapmak için sistemin iki durumunu göz önünde bulundurun: 1) kuvvet eylemleri P ben ve iç çabalara neden olur;

Mi ben , Q ben , N ben 2) kuvvet eylemleri Pj küçük bir elementin içinde olan dx

olası deformasyonlara neden olur

D Mj = dx, D Qj =m dx, D Nj = dx.

Birinci durumun iç kuvvetleri, ikinci durumun deformasyonları (olası yer değiştirmeler) üzerinde olası işi gerçekleştirecektir. –dW ij =M i D Mj +Q i D Qj +N i D Nj = dx+m

dx+dx.

Bu ifadeyi l elemanının uzunluğu boyunca entegre edersek ve sistemdeki n çubuğun varlığını hesaba katarsak, iç kuvvetlerin olası işi için formülü elde ederiz:
–W ij =

dx.

EI – bükülme sertliği

GA – Kesme Sertliği

E – elastik modül karakterinin fiziksel parametreleri

E – elastik modül doğası geometrik parametreler

G-kesme modülü

A - kesit alanı

EA – boyuna sertlik

39. Mohr'un yer değiştirmeleri belirleme formülü (formülde yer alan tüm miktarların açıklamasıyla birlikte).

1) Çubuk sisteminin iki durumunu ele alalım: (Şekil 6.6 a), burada etkili olan yük iç kuvvetlere neden olur MP, QP, NP;

2) tek devlet (Şekil 6.6 b), burada etkili olan birim kuvvet P=1 iç çabalara neden olur .

Tek durum deformasyonlarında yük durumunun iç kuvvetleri , , olası işi yapmak

–V ij =
dx.

Bir birim kuvvet P=1 hareketli kargo durumunda tek devlet DP mümkün işe yarıyor mu

W ij =1×D P =D P .

Bilinenlere göre teorik mekanik prensip olası hareketler elastik sistemlerde bu işler eşit olmalıdır; W ij = –V ij. Bu, bu ifadelerin sağ taraflarının eşit olması gerektiği anlamına gelir:

DP =
dx.

Bu formül denir Mohr formülü ve çubuk sisteminin harici bir yükten kaynaklanan yer değiştirmesini belirlemek için kullanılır.

40. S.O.S.'deki hareketleri belirleme prosedürü. Mohr formülünü kullanarak.

Np, Qp, Mp koordinatların bir fonksiyonu olarak X Belirli bir yükün etkisi altında çubuk sisteminin tüm bölümleri için isteğe bağlı kesit.

İstenilen hareket yönünde karşılık gelen bir birim yük uygulayın (doğrusal hareket belirlenirse birim kuvvet; açısal hareket belirlenirse konsantre birim moment).

Dahili çabalar için ifadeleri tanımlama koordinatların bir fonksiyonu olarak X Tek bir yükün etkisinden çubuk sisteminin tüm bölümleri için isteğe bağlı kesit.

Birinci ve ikinci durumdaki iç kuvvetlerin bulunan ifadeleri Mohr integraline yerleştirilir ve tüm çubuk sistemi içindeki bölümlere entegre edilir.

41. Bükülebilir sistemlerde yer değiştirmelerin belirlenmesinde Mohr formülünün uygulanması (tüm açıklamalarla birlikte).

kirişlerde(Şekil 6.7 a) üç durum mümkündür:

- eğer > 8 , formülde yalnızca momentleri içeren terim kalır:

DP = ;

- eğer 5≤ ≤8 , enine kuvvetler de dikkate alınır:

DP =
dx;

2. Çerçeveli(Şekil 6.7 b) elemanlar esas olarak yalnızca bükülme için çalışır. Bu nedenle Mohr formülünde yalnızca momentler dikkate alınır.

Yüksek çerçevelerde boylamasına kuvvet de dikkate alınır:

DP =
dx.

3. Kemerlerde(Şekil 6.7 c) kemerin ana boyutları arasındaki ilişkiyi dikkate almak gerekir. ben Ve F:

1) eğer £5(dik kemer), yalnızca anlar dikkate alınır;

2) eğer >5 (düz kemer), momentler ve boyuna kuvvetler dikkate alınır.

4. Çiftliklerde(Şekil 6.7 d) yalnızca boyuna kuvvetler ortaya çıkar. Bu yüzden

DP = küçük bir elementin içinde olan= = .

42. Vereshchagin'in Mohr integrallerini hesaplama kuralı: özü ve kullanım koşulları.

Vereshchagin'in Mohr integrallerini hesaplama kuralı: özü ve kullanım koşulları.

c, yük diyagramı alanının ağırlık merkezidir.

Y c koordinatı, yük diyagramı alanının ağırlık merkezinin altında bulunan bir birim diyagramından alınır.

EI - bükülme sertliği.

Toplam yer değiştirmeyi hesaplamak için, yük diyagramının çarpımlarını sistemin tüm basit bölümlerinin ordinatına göre birer birer eklemek gerekir.

Bu formül yalnızca bükülme momentinin etkilerinden kaynaklanan belirli yer değiştirmeleri gösterir. Bu, noktaların hareketi üzerindeki ana etkinin bükülme momentinin büyüklüğü ve enine ve enine etki olduğu bükme sistemleri için geçerlidir. boyuna kuvvetler pratikte ihmal edilen önemsizdir.

Aynı elastik sistemin iki farklı durumunu (yüklenme sırasına göre) ele alalım: Şekil 33'teki kiriş örneğini kullanarak durum 1, bir grup kuvvetin etkisi altında ve durum 2, bir grup kuvvetin etkisi altında, A. Aşağıdaki varsayımlar altında dış kuvvetlerin işini belirleyip karşılaştıralım. Öncelikle sistem 1. durum kuvvetleri ile kademeli olarak yüklenecek ve daha sonra kuvvetler nihai değerine ulaştığında 2. durum kuvvetleri ile sistem kademeli olarak yüklenecektir. İkinci seçenekte ise kuvvetlerin uygulanma sırası değişmektedir. . Sistem önce durum 2'nin kuvvetleri, ardından durum 1'in kuvvetleri tarafından yüklenir. Önce birinci durumun yükünün yavaş yavaş sistem üzerinde, ardından ikinci durumun üzerinde etki etmeye başladığını varsayalım. Dış kuvvetlerin toplam işi cebirsel toplam olarak ifade edilecektir. .

Şimdi, önce ikinci, sonra da birinci durumun yükü uygulandığında, yükü ters sırada uygulamayı düşünelim. Bu durumda dış kuvvetlerin toplam işi aşağıdaki cebirsel toplamla ifade edilecektir: , ikinci durumun dış kuvvetlerinin, birinci durumun kuvvetlerinin eyleminin neden olduğu yer değiştirmeler üzerindeki işi nerede.

(63) numaralı ifadeye göre toplam iş K Dış kuvvetlerin mutlak değeri işe eşittir A ters işaretle alınan iç kuvvetler veya potansiyel deformasyon enerjisi sen.

Doğrusal olarak deforme olabilen bir sistemde deformasyonun potansiyel enerjisinin, dış kuvvetlerin uygulama sırasına bağlı olmadığı, yalnızca sistemin başlangıç ​​ve son durumlarına bağlı olduğu bilinmektedir. Her iki yükleme durumunda da sistemin başlangıç ​​ve son durumları aynı olduğundan dış kuvvetlerin toplam işi eşit olacaktır. veya nereden

Ortaya çıkan analitik ilişki, işin karşılıklılığı hakkındaki teoremi ifade eder ve şu şekilde oluşturulur: doğrusal olarak deforme olabilen bir gövdede, birinci durumun dış veya iç kuvvetlerinin, uygulama noktalarının hareketinin neden olduğu yer değiştirmeler üzerindeki olası çalışması ikinci durumun kuvvetleri, ikinci durumun iç ve dış kuvvetlerinin, birinci durumun etki kuvvetlerinin neden olduğu yer değiştirmeler üzerindeki olası çalışmasına eşittir. Bu sözde Betti-Rayleigh teoremidir.

Yer değiştirmelerin karşılıklılığına ilişkin teorem şu şekilde temsil edilebilir: özel durum iş karşılıklılık teoremleri. Birinci durumda kirişe sadece bir birim kuvvet etki etsin, ikinci durumda da bir birim kuvvet etki etsin (Şekil 34, a, b). Kuvvet 1 noktasına uygulanır ve kuvvet 2 noktasına uygulanır. İş karşılıklılık teoremine dayanarak, birinci durumun dış kuvvetlerinin ikinci durumun yer değiştirmeleri üzerindeki olası işini, ikinci durumun kuvvetlerinin işine eşitliyoruz. birinci durumun yer değiştirmelerine ilişkin ikinci durum:

Bu, yer değiştirmelerin karşılıklılığı teoreminin analitik bir ifadesidir ve şu şekilde formüle edilir: birinci birim kuvvetin uygulama noktasının, ikinci birim kuvvetin eyleminin neden olduğu yöndeki yer değiştirmesi, yer değiştirmedeki yer değiştirmeye eşittir. Birinci birim kuvvetin eyleminin neden olduğu ikinci birim kuvvetin yönü, bu Maxwell teoremi olarak adlandırılan ve yapı mekaniğinde temel öneme sahip olan teoremdir.

Şekil 34 – Hareketlerin karşılıklılığının belirlenmesi

Edebiyat:

Ana: 6[bölüm 3: 29-31 arası; bölüm 5: 36-47'den itibaren].

Güvenlik soruları:

1 Panellerin boyutunu küçültmek neden gereklidir ve hangi amaçla ek iki destekli kafes kirişlerin eklendiği, kafes kirişlerde kaç tane ve hangi kategorilerin ayırt edildiği ve ana elemanların içindeki kuvvetler nasıldır? ve ek kirişler belirlendi mi?

2 Elastik sistemlerdeki deformasyonlar (yer değiştirmeler) ile hangi işlevler ifade edilir ve bu analitik olarak nasıl yazılabilir ve ayrıca hangi varsayımlar altında bunları adlandırın, söz konusu elastik sistemlerin yer değiştirmeleri ve deformasyonları, hareketin bağımsızlığı yasasına uygundur. kuvvetler?

3 Elastik bir cismin dış ve iç kuvvetlerinin çalışmasını neden analiz ediyorlar ve yapısal mekaniğinde hangi kavramların kullanıldığını ve ayrıca dış kuvvetin statik uygulaması altında bir yapının elemanlarının deformasyon işini belirlemek için hangi bağımlılığın kullanıldığını analiz ediyorlar. kuvvetler, Clayperon teoreminin tanımını verir misiniz?

4 Kirişe etki eden tüm dış kuvvetlerin işi hangi bağımlılıkla belirlenir ve elastik çubuk sisteminin iç kuvvetlerinin işi hangi kuvvetlerle ifade edilebilir?

5 Hangi bağımlılığa göre belirlenir tam zamanlı iş iç kuvvetler ve neden dış ve iç kuvvetlerin çalışmasına mümkün deniyor?

6 İş karşılıklılığı teoremini hangi analitik ilişki ifade eder ve nasıl formüle edilir (Betti-Rayleigh teoremi)?

Birinci kuvvetin, ikinci kuvvetin uygulama noktasını hareket ettirirken yaptığı iş, ikinci kuvvetin, birinci kuvvetin uygulama noktasını hareket ettirirken yaptığı işe eşittir.

(Doğrusal elastik sistemler, korunumlu kuvvetlerle, yani potansiyele sahip kuvvetlerle yüklenmişlerse her zaman korunumludurlar).

Sistemin modeli olarak konsol kirişi seçeceğiz. Yer değiştirmeyi kuvvetin neden olduğu kuvvet yönündeki hareket olarak tanımlayacağız.

Sistemi önce kuvvetle yükleyelim, sonra kuvvet uygulayalım. Sisteme uygulanan kuvvetlerin işi yazılacaktır:

(Neden ilk iki terimin çarpanı var da sonuncusunun çarpanı yok?)

Daha sonra birinci ve ikinci olarak kuvvet uyguluyoruz - .

Çünkü sistem muhafazakardır ve ayrıca her iki durumda da başlangıç ​​ve son durumlar çakıştığı için iş zorunlu olarak eşittir;

Eğer koyarsak, Betti teoreminin özel bir durumunu, yani yer değiştirmelerin karşılıklılığına ilişkin teoremi elde ederiz.

Birim kuvvetlerin neden olduğu yer değiştirmeleri göstereceğiz (indekslerin anlamı aynıdır). Daha sonra

Düzlem deformasyonunun potansiyel enerjisi

Çubuk sistemi.

dikkate alacağız düz sistem, yani tüm çubukların ve tüm kuvvetlerin aynı düzlemde olduğu bir sistem. Böyle bir sistemin çubuklarında genel olarak iç kuvvet faktörlerinden dolayı aşağıdaki durumlar ortaya çıkabilir:

Elastik bir sistem deforme olduğunda enerji (elastik enerji) biriktirir. potansiyel gerilim enerjisi.

a) Çekme ve basma sırasında deformasyonun potansiyel enerjisi.

dz uzunluğundaki küçük bir elementte biriken potansiyel enerji, bu elemente uygulanan kuvvetlerin çalışmasına eşit olacaktır.

Çubuğun potansiyel enerjisi:

Yorum. ve mutlaka sabit değerler değildir.

b) Bükülme sırasındaki potansiyel enerji.

Çubuk için:

c) Enine kuvvetler kesmeye neden olur ve bunlar aşağıdakilere karşılık gelir:

potansiyel kayma enerjisi. Ancak bu enerji çoğu durumda küçüktür ve bunu dikkate almayacağız.

Yorum. Göz önünde bulundurulan nesneler düz çubuklardı, ancak elde edilen sonuçlar aynı zamanda eğrilik yarıçapının kesit yüksekliğinden yaklaşık 5 kat veya daha fazla olduğu küçük eğriliğe sahip kavisli çubuklara da uygulanabilir.

Bir çubuk sisteminin potansiyel enerjisi şu şekilde yazılabilir:

Burada, çekme ve sıkıştırma sırasında bölümlerin dönmediği, dolayısıyla bükülme momentlerinin herhangi bir iş yapmadığı ve bükülme sırasında bitişik bölümler arasındaki eksenel mesafenin değişmediği ve normal kuvvetlerin işinin olduğu gerçeğini dikkate alıyoruz. sıfır. Onlar. eğilme ve çekme-sıkıştırmanın potansiyel enerjisi bağımsız olarak hesaplanabilir.

Teşvik işaretleri tüm sistem için potansiyel enerjinin hesaplandığı anlamına gelir.

Castellano'nun teoremi.

İfade (3), potansiyel gerinim enerjisinin düzgün olduğunu gösterir ikinci dereceden fonksiyon ve bunlar da sisteme etki eden kuvvetlere doğrusal olarak bağlıdır, dolayısıyla kuvvetlerin ikinci dereceden bir fonksiyonudur.

Teorem. Potansiyel enerjinin bir kuvvete göre kısmi türevi, bu kuvvetin uygulama noktasının ikincisi yönünde yer değiştirmesine eşittir.

Kanıt:

Sistemin kuvvetlerine karşılık gelen potansiyel enerji olsun. İki durumu ele alalım.

1) Başlangıçta tüm kuvvetler uygulanır ve ardından bunlardan biri küçük bir artış alırsa, toplam potansiyel enerji şuna eşit olur:

2) Önce kuvvet uygulanır, sonra kuvvetler uygulanır. Bu durumda potansiyel enerji şuna eşittir:

Çünkü her iki durumda da başlangıç ​​ve son durumlar aynıdır ve sistem korunumludur, bu durumda potansiyel enerjiler eşitlenmelidir

İkinci dereceden küçük olanları atarak şunu elde ederiz:

Mohr integrali.

Castellano teoremi bize yer değiştirmeleri belirleme yeteneği kazandırdı. Bu teorem levha ve kabuklardaki yer değiştirmeleri bulmak için kullanılır. Ancak potansiyel enerjinin hesaplanması zahmetli bir işlemdir ve şimdi çubuk sistemlerindeki yer değiştirmeleri belirlemenin daha basit ve daha genel bir yolunun ana hatlarını çizeceğiz.

Keyfi bir çubuk sistemi verilsin ve içindeki bir noktanın sistemin tüm kuvvetlerinin neden olduğu yöndeki hareketini belirlememiz gerekiyor -

8 sayfa (Word dosyası)

Tüm sayfaları görüntüle

15. Bükülme sırasında deformasyonun potansiyel enerjisi.

Bükülme sırasında ve diğer deformasyon türlerinde, dış kuvvetlerin ürettiği iş, deforme olmuş çubuğun potansiyel enerjisini değiştirmek için harcanır.

Çubuğun elastik deformasyonu sırasında dış momentin çalışması:

Anın uygulama noktasında bölümün dönme açısı nerede.

Bükülme (iç) momentinin temel çalışması, ifadeden (gerilme-sıkıştırma durumuna benzetilerek) belirlenir:

, ancak bükerken elimizde: .

Eğrilik, eğrilik yarıçapının tersi olarak şu ifadeyle belirlenir:

, burada: - birinci türden esneklik modülü;

Kesitin tarafsız eksenine göre kesitin atalet momenti.

Bu nedenle şunu yazabiliriz:

.

Uzun bir kiriş için toplam eğilme momenti işi ben:

.

Ters işaretle alınan iç kuvvetlerin çalışmasına eşit potansiyel bükülme enerjisi şu ifadeyle belirlenir:

.

Kesme nedeniyle potansiyel enerjinin eklenmesi (doğrudan bükülme yerine enine bükülmenin genel durumu için) işe karşılık gelir kesme kuvveti. Ancak bu katkı maddesinin mutlak değeri küçüktür ve pratik hesaplamalarda genellikle ihmal edilir.

16. İşin karşılıklılığı ve hareketlerin karşılıklılığı üzerine teorem.

İki farklı yüke karşılık gelen iki farklı durumdaki elastik, doğrusal olarak deforme olabilen bir sistemi ele alalım. P1 Ve P2(Şekil 47). Bu durumda, basit bir kiriş her iki durumda da basit bir yükle (her biri bir konsantre kuvvet) yüklenir. P1 Ve P2).

Şekil 47

a) Sistemin ilk durumu (yük altında) P1);

b) sistemin ikinci durumu (yük altında) P2).

Δ 11 – yük yönünde hareket P1 P1.

Δ 21 – yük yönünde hareket P2 eylemden başvuru yerinde P1.

Δ 22 – yük yönünde hareket P2 eylemden başvuru yerinde P2.

– yük yönünde hareket P1 eylemden başvuru yerinde P2.

Δ 11'den Δ 22'ye kadar olan hareketlere ana, Δ 12'den Δ 21'e kadar olan hareketlere ikincil denir.

Teorem: Birinci durumun dış kuvvetlerinin, ikinci durumun kuvvetlerinin neden olduğu yer değiştirmeler üzerindeki işi, ikinci durumun dış kuvvetlerinin, birinci durumun kuvvetlerinin neden olduğu yer değiştirmeler üzerindeki çalışmasına eşittir.

Kanıt.

1) İlk önce kuvvet uyguluyoruz P1, ve sonra deforme olmuş kirişe kuvvet uygulayın P2.

Dış kuvvetlerin yaptığı işi hesaplayalım (Şekil 48'e dikkat ederek).

Statik olarak uygulanan kuvvetin yaptığı iş P1 Bu kuvvetin neden olduğu Δ 11 kendi yer değiştirmesi şu ifadeden belirlenecektir:

Statik olarak uygulanan kuvvetin yaptığı iş P2 kendi yer değiştirmesinde Δ 22 benzer bir ifadeyle belirlenecektir:

Şekil 48

Bu durumda, halihazırda sürekli olarak uygulanan kuvvetin ek işi P1 kuvvetin neden olduğu Δ 12 yer değiştirmesinde P2 ifadesinden belirlenecektir:

(kuvvet nedeniyle 1/2 faktörünün ifadede bulunmadığına dikkat edin) P1 yer değiştirmede sabit Δ 12).

Yüklerin dikkate alınan uygulama sırası altında dış kuvvetlerin toplam işi:

.

2) Şimdi önce kuvvet uygulayalım P2 ve sonra deforme olmuş sisteme bir kuvvet uygulayın P1.

İlk duruma benzer şekilde mantık yürütüyoruz. Zorla yapılan iş P2 bu kuvvetin neden olduğu kendi Δ 22 yer değiştirmesine göre:

Zorla yapılan iş P 1 kendi yer değiştirmesinde Δ 11:

Ek kuvvet işi P2 kuvvetin neden olduğu Δ 21 yer değiştirmesinde P 1:

(1/2 faktörü yoktur çünkü kuvvet P2 yer değiştirme sırasında sabit Δ 21).

Daha sonra dikkate alınan yük uygulama sırası için dış kuvvetlerin toplam işi:

.

Kuvvetlerin işi uygulanma sırasına bağlı olmadığından, bu nedenle:

veya başka:

Söz konusu dava için ise;

.

Uygulanan kuvvetlerin birim olduğunu varsayarsak P1 =P2 =1 birim kuvvetlerin neden olduğu yer değiştirmelerin eşitliğini elde ederiz:

Son eşitlik, yer değiştirmelerin karşılıklılığı hakkındaki teoremi kanıtlar:

Bir birim kuvvetin uygulama noktasının, ikinci birim kuvvetin neden olduğu yöndeki hareketi, ikinci birim kuvvetin uygulama noktasının, ikinci birim kuvvetin hareketinin neden olduğu sonuncu yöndeki hareketine eşittir. Birinci birim kuvvet.

Benzer şekilde, iç kuvvetlerin ek işinin karşılıklılığını kanıtlayabiliriz:

Bunu yapmak için uzunluğa sahip bir kiriş elemanı düşünün. dz(Şekil 49).