Paralelkenar, üçgen, yamuk alanı nasıl bulunur? Paralelkenarın alanı nasıl bulunur? İki yüksekliğe sahip bir paralelkenarın alanı

Görev 4.

Uzunluğu 4√6 olan bir paralelkenarın köşegenlerinden biri tabanla 60°, ikinci köşegen ise aynı tabanla 45° açı yapar. İkinci köşegeni bulun.

Çözüm.

1.AO = 2√6.

2. Sinüs teoremini AOD üçgenine uyguluyoruz.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Cevap: 12.

Görev 5.

Kenarları 5√2 ve 7√2 olan bir paralelkenar için köşegenler arasındaki küçük açı, paralelkenarın küçük açısına eşittir. Köşegenlerin uzunluklarının toplamını bulun.

Çözüm.

Paralelkenarın köşegenleri d 1, d 2 olsun ve köşegenler ile paralelkenarın küçük açısı arasındaki açı φ'ye eşit olsun.

1. İki farklı sayalım
alanıdır.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f veya eşitliğini elde ederiz.

2 · 5√2 · 7√2 = d1d2;

2. Paralelkenarın kenarları ve köşegenleri arasındaki ilişkiyi kullanarak eşitliği yazıyoruz

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Bir sistem oluşturalım:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d1 + d2 = 140.

Sistemin ikinci denklemini 2 ile çarpıp birinciye ekleyelim.

(d 1 + d 2) 2 = 576 elde ederiz. Dolayısıyla Id 1 + d 2 I = 24.

d 1, d 2 paralelkenarın köşegenlerinin uzunlukları olduğundan d 1 + d 2 = 24 olur.

Cevap: 24.

Görev 6.

Paralelkenarın kenarları 4 ve 6'dır. Köşegenler arasındaki dar açı 45 derecedir. Paralelkenarın alanını bulun.

Çözüm.

1. AOB üçgeninden kosinüs teoremini kullanarak paralelkenarın kenarı ile köşegenler arasındaki ilişkiyi yazıyoruz.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · çünkü AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Benzer şekilde AOD üçgeni için de bağıntıyı yazıyoruz.

Bunu dikkate alalım<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 denklemini elde ederiz.

3. Bir sistemimiz var
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Birinciyi ikinci denklemden çıkararak 2d 1 · d 2 √2 = 80 elde ederiz veya

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Not: Bu ve önceki problemde, alanı hesaplamak için köşegenlerin çarpımına ihtiyacımız olduğunu öngörerek sistemi tamamen çözmeye gerek yoktur.

Cevap: 10.

Görev 7.

Paralelkenarın alanı 96, kenarları 8 ve 15'tir. Küçük köşegenin karesini bulun.

Çözüm.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Formülde bir değişiklik yapalım.

96 = 8 · 15 · sin ВAD elde ederiz. Dolayısıyla günah ВAD = 4/5.

2. Çünkü VAD'ı bulalım. günah 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25.

Problemin koşullarına göre küçük köşegenin uzunluğunu buluyoruz. ВАD açısı dar ise ВD köşegeni daha küçük olacaktır. O zaman VAD = 3/5 olduğundan.

3. ABD üçgeninden kosinüs teoremini kullanarak BD köşegeninin karesini buluyoruz.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · çünkü ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145.

Cevap: 145.

Hala sorularınız mı var? Bir geometri problemini nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Paralelkenarın alanı

Teorem 1

Paralelkenarın alanı, kenarının uzunluğu ile ona çizilen yüksekliğin çarpımı olarak tanımlanır.

burada $a$ paralelkenarın bir kenarıdır, $h$ bu kenara çizilen yüksekliktir.

Kanıt.

Bize $AD=BC=a$ olan bir $ABCD$ paralelkenarı verilsin. $DF$ ve $AE$ yüksekliklerini çizelim (Şekil 1).

Resim 1.

Açıkçası, $FDAE$ rakamı bir dikdörtgendir.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\açı A=\açı BAE\]

Sonuç olarak, $CD=AB,\ DF=AE=h$ olduğundan, üçgenlerin eşitliği için $I$ kriterine göre $\triangle BAE=\triangle CDF$. Daha sonra

Yani dikdörtgenin alanı teoremine göre:

Teorem kanıtlandı.

Teorem 2

Paralelkenarın alanı, bitişik kenarlarının uzunluğunun bu kenarlar arasındaki açının sinüsü ile çarpımı olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

burada $a,\ b$ paralelkenarın kenarlarıdır, $\alpha $ aralarındaki açıdır.

Kanıt.

Bize $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $ olan bir $ABCD$ paralelkenarı verilsin. $DF=h$ yüksekliğini çizelim (Şekil 2).

Şekil 2.

Sinüs tanımı gereği şunu elde ederiz:

Buradan

Yani, $1$ Teoremine göre:

Teorem kanıtlandı.

Bir üçgenin alanı

Teorem 3

Bir üçgenin alanı, bir kenarının uzunluğu ile kendisine çizilen yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

burada $a$ üçgenin bir tarafıdır, $h$ bu tarafa çizilen yüksekliktir.

Kanıt.

Figür 3.

Yani, $1$ Teoremine göre:

Teorem kanıtlandı.

Teorem 4

Bir üçgenin alanı, bitişik kenarlarının uzunluğunun çarpımının yarısı ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsü olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

burada $a,\b$ üçgenin kenarlarıdır, $\alpha$ aralarındaki açıdır.

Kanıt.

Bize $AB=a$ olan bir $ABC$ üçgeni verilsin. $CH=h$ yüksekliğini bulalım. Bunu $ABCD$ paralelkenarına dönüştürelim (Şekil 3).

Açıkçası, üçgenlerin eşitliği için $I$ kriterine göre, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Daha sonra

Yani, $1$ Teoremine göre:

Teorem kanıtlandı.

Yamuk alanı

Teorem 5

Bir yamuğun alanı, taban uzunlukları ile yüksekliğinin toplamının çarpımının yarısı olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

Kanıt.

Bize bir yamuk $ABCK$ verilsin, burada $AK=a,\ BC=b$. $BM=h$ ve $KP=h$ yüksekliklerini ve ayrıca $BK$ köşegenini de içine çizelim (Şekil 4).

Şekil 4.

$3$ Teoremine göre şunu elde ederiz:

Teorem kanıtlandı.

Örnek görev

örnek 1

Kenar uzunluğu $a.$ ise eşkenar üçgenin alanını bulun

Çözüm.

Üçgen eşkenar olduğundan tüm açıları $(60)^0$'a eşittir.

O zaman $4$ Teoremine göre elimizde

Cevap:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Bu problemin sonucunun, belirli bir kenara sahip herhangi bir eşkenar üçgenin alanını bulmak için kullanılabileceğini unutmayın.

Paralelkenarın alanını nasıl bulacağımızı öğrenmeden önce paralelkenarın ne olduğunu ve yüksekliğinin ne olduğunu hatırlamamız gerekir. Paralelkenar, karşıt kenarları ikili paralel olan (paralel çizgiler üzerinde uzanan) bir dörtgendir. Karşı taraftaki rastgele bir noktadan bu kenarı içeren bir çizgiye çizilen dikmeye paralelkenarın yüksekliği denir.

Kare, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen paralelkenarın özel durumlarıdır.

Paralelkenarın alanı (S) ile gösterilir.

Paralelkenarın alanını bulmak için formüller

S=a*h, burada a taban, h tabana çizilen yüksekliktir.

S=a*b*sinα, burada a ve b tabanlardır ve α, a ve b tabanları arasındaki açıdır.

S =p*r, burada p yarı çevredir, r ise paralelkenarın içine yazılan dairenin yarıçapıdır.

A ve b vektörleri tarafından oluşturulan paralelkenarın alanı, verilen vektörlerin çarpımının modülüne eşittir:

1 numaralı örneği ele alalım: Kenarı 7 cm ve yüksekliği 3 cm olan bir paralelkenar verildiğinde, paralelkenarın alanı nasıl bulunur, çözüm için bir formüle ihtiyacımız var.

Böylece S= 7x3. S=21. Cevap: 21 cm2.

2 numaralı örneği ele alalım: Verilen tabanlar 6 ve 7 cm'dir ve ayrıca tabanlar arasında 60 derecelik bir açı verilmiştir. Paralelkenarın alanı nasıl bulunur? Çözüm için kullanılan formül:

Böylece ilk önce açının sinüsünü buluyoruz. Sinüs 60 = 0,5, sırasıyla S = 6*7*0,5=21 Cevap: 21 cm2.

Bu örneklerin sorunları çözmenize yardımcı olacağını umuyorum. Ve unutmayın, asıl önemli olan formül bilgisi ve dikkattir

paralelkenarın tanımı

Paralelkenar karşılıklı kenarları eşit ve paralel olan bir dörtgendir.

Cevrimici hesap makinesi

Paralelkenarın, bu şekli içeren problemlerin çözümünü kolaylaştıran bazı yararlı özellikleri vardır. Örneğin özelliklerden biri paralelkenarın zıt açılarının eşit olmasıdır.

Basit örnekleri çözerek çeşitli yöntemleri ve formülleri ele alalım.

Tabanına ve yüksekliğine göre paralelkenarın alanı için formül

Alanı bulmanın bu yöntemi muhtemelen en temel ve basit olanlardan biridir, çünkü birkaç istisna dışında bir üçgenin alanını bulma formülüyle neredeyse aynıdır. Öncelikle rakamları kullanmadan genelleştirilmiş duruma bakalım.

Tabanı olan keyfi bir paralelkenar verilsin bir bir A, taraf b b B ve yükseklik h h Hüssümüze taşındı. O zaman bu paralelkenarın alanının formülü şöyledir:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=bir ⋅H

bir bir A- temel;
h h H- yükseklik.

Tipik problemleri çözme pratiği yapmak için kolay bir probleme bakalım.

Tabanının 10 (cm) ve yüksekliğinin 5 (cm) olduğu bilinen paralelkenarın alanını bulun.

Çözüm

bir = 10 bir=10 bir =1 0
sa = 5 sa=5 saat =5

Bunu formülümüzde yerine koyarız. Şunu elde ederiz:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (bkz. kare)

Cevap: 50 (bkz. metrekare)

İki tarafa ve aralarındaki açıya dayalı bir paralelkenarın alanı için formül

Bu durumda gerekli değer şu şekilde bulunur:

S = a ⋅ b ⋅ günah ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=bir ⋅b ⋅günah(α)

A, b a, b a, b- paralelkenarın kenarları;
α\alfa α - kenarlar arasındaki açı bir bir A Ve b b B.

Şimdi başka bir örnek çözelim ve yukarıda anlatılan formülü kullanalım.

Kenar biliniyorsa paralelkenarın alanını bulun bir bir A taban olan ve uzunluğu 20 (cm) olan ve çevresi olan p p P, sayısal olarak 100 (cm)'ye eşit, bitişik kenarlar arasındaki açı ( bir bir A Ve b b B) 30 dereceye eşittir.

Çözüm

bir = 20 bir=20 bir =2 0
p=100 p=100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Cevabı bulmak için bu dörtgenin sadece ikinci kenarını biliyoruz. Onu bulalım. Paralelkenarın çevresi aşağıdaki formülle verilir:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =a+a+b+B
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+B
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2b
60 = 2b 60=2b 6 0 = 2b
b = 30 b=30 b =3 0

En zor kısım bitti, geriye sadece kenarlar ve aralarındaki açı yerine kendi değerlerimizi koymak kalıyor:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ günah ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ günah(3 0 ∘ ) = 3 0 0 (bkz. kare)

Cevap: 300 (bkz. metrekare)

Köşegenlere ve aralarındaki açıya dayalı bir paralelkenarın alanı için formül

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ günah ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ​ ⋅ D⋅d⋅günah(α)

D D D- büyük diyagonal;
g d D- küçük diyagonal;
α\alfa α - köşegenler arasındaki dar açı.

Verilen bir paralelkenarın köşegenleri 10 (cm) ve 5 (cm)'dir. Aralarındaki açı 30 derecedir. Alanını hesaplayın.

Çözüm

D=10 D=10 d=1 0
d = 5 d=5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ günah ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ günah(3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (bkz. kare)

Tıpkı Öklid geometrisinde olduğu gibi, düzlem teorisinin ana unsurları bir nokta ve düz bir çizgidir, dolayısıyla paralelkenar da dışbükey dörtgenlerin temel şekillerinden biridir. Ondan, bir topun iplikleri gibi, "dikdörtgen", "kare", "eşkenar dörtgen" ve diğer geometrik büyüklükler kavramları akar.

Temas halinde

paralelkenarın tanımı

dışbükey dörtgen, Her bir çifti paralel olan parçalardan oluşan geometriye paralelkenar denir.

Klasik bir paralelkenarın neye benzediği bir ABCD dörtgeniyle tasvir edilmiştir. Kenarlara tabanlar (AB, BC, CD ve AD), herhangi bir köşeden bu köşenin karşısındaki kenara çizilen dikmeye yükseklik (BE ve BF), AC ve BD doğrularına köşegenler adı verilir.

Dikkat! Kare, eşkenar dörtgen ve dikdörtgen paralelkenarın özel durumlarıdır.

Kenarlar ve açılar: ilişkinin özellikleri

Genel olarak temel özellikler, atamanın kendisi tarafından önceden belirlenmiş teoremi ile kanıtlanırlar. Bu özellikler aşağıdaki gibidir:

1. Zıt taraflar çiftler halinde aynıdır.
2. Karşılıklı açılar çiftler halinde eşittir.

İspat: ABCD dörtgeninin AC düz çizgisine bölünmesiyle elde edilen ∆ABC ve ∆ADC'yi düşünün. ∠BCA=∠CAD ve ∠BAC=∠ACD, çünkü AC onlar için ortaktır (sırasıyla BC||AD ve AB||CD için dikey açılar). Bundan şu sonuç çıkar: ∆ABC = ∆ADC (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti).

∆ABC'deki AB ve BC doğru parçaları çiftler halinde ∆ADC'deki CD ve AD doğrularına karşılık gelir, bu da onların aynı olduğu anlamına gelir: AB = CD, BC = AD. Dolayısıyla ∠B, ∠D'ye karşılık gelir ve eşittirler. ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD de ikili özdeş olduğundan, ∠A = ∠C olur. Özelliği kanıtlanmıştır.

Bir şeklin köşegenlerinin özellikleri

Ana özellik Bir paralelkenarın bu çizgilerinin kesişme noktası onları ikiye böler.

İspat: ABCD şeklinin AC ve BD köşegenlerinin kesişme noktası olsun. İki orantılı üçgen oluştururlar - ∆ABE ve ∆CDE.

AB=CD zıt oldukları için. Doğrulara ve kesenlere göre ∠ABE = ∠CDE ve ∠BAE = ∠DCE.

İkinci eşitlik kriterine göre ∆ABE = ∆CDE. Bu, ∆ABE ve ∆CDE elemanlarının: AE = CE, BE = DE olduğu ve aynı zamanda AC ve BD'nin orantılı parçaları olduğu anlamına gelir. Özelliği kanıtlanmıştır.

Bitişik köşelerin özellikleri

Bitişik kenarların açılarının toplamı 180°'ye eşittir, çünkü paralel doğruların ve bir çaprazın aynı tarafında yer alırlar. ABCD dörtgeni için:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180°

Ortayörün özellikleri:

1. bir tarafa indirilmiş, diktir;
2. zıt köşelerin paralel açıortayları vardır;
3. bir açıortay çizilerek elde edilen üçgen ikizkenar olacaktır.

Teoremi kullanarak bir paralelkenarın karakteristik özelliklerinin belirlenmesi

Bu şeklin özellikleri, aşağıdakileri ifade eden ana teoreminden kaynaklanmaktadır: bir dörtgen bir paralelkenar olarak kabul edilir köşegenlerinin kesişmesi durumunda ve bu nokta onları eşit parçalara böler.

İspat: ABCD dörtgeninin AC ve BD doğrularının kesiştiğine izin verin; ∠AED = ∠BEC ve AE+CE=AC BE+DE=BD olduğuna göre, ∆AED = ∆BEC (üçgenlerin eşitliğine ilişkin ilk kritere göre). Yani ∠EAD = ∠ECB. Bunlar aynı zamanda AD ve BC doğruları için AC keseninin iç çapraz açılarıdır. Dolayısıyla paralelliğin tanımı gereği - AD || M.Ö. BC ve CD doğrularının da benzer bir özelliği türetilmiştir. Teorem kanıtlandı.

Bir şeklin alanının hesaplanması

Bu rakamın alanı çeşitli yöntemlerle bulundu En basitlerinden biri: yüksekliğin ve çizildiği tabanın çarpılması.

Kanıt: B ve C köşelerinden BE ve CF dikmelerini çizin. AB = CD ve BE = CF olduğundan ∆ABE ve ∆DCF eşittir. ABCD, orantılı rakamlardan oluştuğu için EBCF dikdörtgeninin boyutuna eşittir: S ABE ve S EBCD'nin yanı sıra S DCF ve S EBCD. Bundan, bu geometrik şeklin alanının dikdörtgenin alanıyla aynı olduğu anlaşılmaktadır:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Paralelkenarın alanının genel formülünü belirlemek için yüksekliği şu şekilde gösterelim: hb ve yan - B. Sırasıyla:

Alanı bulmanın diğer yolları

Alan hesaplamaları paralelkenarın kenarları ve açı boyunca Oluşturdukları yöntem ise bilinen ikinci yöntemdir.

,

Spr-ma - alan;

a ve b onun kenarlarıdır

α, a ve b bölümleri arasındaki açıdır.

Bu yöntem pratik olarak ilkine dayanmaktadır, ancak bilinmemesi durumunda. her zaman parametreleri trigonometrik özdeşliklerle bulunan bir dik üçgeni keser, yani. İlişkiyi dönüştürerek şunu elde ederiz. Birinci yöntemin denkleminde yüksekliği bu çarpımla değiştirip bu formülün geçerliliğinin kanıtını elde ediyoruz.

Paralelkenarın köşegenleri ve açısı boyunca, kesiştiklerinde oluşturdukları alanı da bulabilirsiniz.

Kanıt: AC ve BD dört üçgen oluşturacak şekilde kesişir: ABE, BEC, CDE ve AED. Toplamları bu dörtgenin alanına eşittir.

Bu ∆'ların her birinin alanı, a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB olmak üzere ifadeyle bulunabilir. O zamandan beri hesaplamalar tek bir sinüs değeri kullanıyor. Yani . AE+CE=AC= d 1 ve BE+DE=BD= d 2 olduğundan alan formülü şu şekilde azalır:

.

Vektör cebirinde uygulama

Bu dörtgeni oluşturan parçaların özellikleri, vektör cebirinde, yani iki vektörün toplanmasında uygulama alanı bulmuştur. Paralelkenar kuralı şunu belirtir: vektörler verilirseVeOlumsuzeşdoğrusal ise, bunların toplamı, tabanları bu vektörlere karşılık gelen bu şeklin köşegenine eşit olacaktır.

Kanıt: keyfi olarak seçilmiş bir başlangıçtan - yani. - vektörler oluşturun ve . Daha sonra, OA ve OB bölümlerinin kenar olduğu bir paralelkenar OASV oluşturuyoruz. Dolayısıyla işletim sistemi vektöre veya toplama dayalıdır.

Paralelkenarın parametrelerini hesaplamak için formüller

Kimlikler aşağıdaki koşullar altında verilir:

1. a ve b, α - taraflar ve aralarındaki açı;
2. d 1 ve d 2, γ - köşegenler ve kesişme noktalarında;
3. h a ve h b - a ve b taraflarına indirilen yükseklikler;

Parametre	Formül
Tarafları bulmak
köşegenler boyunca ve aralarındaki açının kosinüsü
köşegenler ve kenarlar boyunca
yükseklik ve karşı tepe noktası boyunca
Köşegen uzunluğunu bulma
yanlarda ve aralarındaki tepenin büyüklüğü
kenarlar boyunca ve köşegenlerden biri	 Çözüm Geometrinin temel figürlerinden biri olan paralelkenar, yaşamda, örneğin inşaatta, bir alanın alanını veya diğer ölçümleri hesaplarken kullanılır. Bu nedenle, ayırt edici özellikleri ve çeşitli parametrelerini hesaplama yöntemleri hakkında bilgi, yaşamın herhangi bir döneminde faydalı olabilir.