Fonksiyonların grafikleri ve formülleri 9. Doğrusal fonksiyon

1. Kesirli doğrusal fonksiyon ve grafiği

P(x) ve Q(x)'in polinom olduğu y = P(x) / Q(x) formundaki bir fonksiyona kesirli rasyonel fonksiyon denir.

Muhtemelen rasyonel sayılar kavramına zaten aşinasınızdır. Aynı şekilde rasyonel fonksiyonlar iki polinomun bölümü olarak temsil edilebilen fonksiyonlardır.

Kesirli bir rasyonel fonksiyon, iki doğrusal fonksiyonun bölümü ise - birinci dereceden polinomlar, yani. formun işlevi

y = (ax + b) / (cx + d) ise buna kesirli doğrusal denir.

y = (ax + b) / (cx + d) fonksiyonunda c ≠ 0 (aksi halde fonksiyon doğrusal olur y = ax/d + b/d) ve a/c ≠ b/d (aksi takdirde fonksiyon sabittir). Doğrusal kesirli fonksiyon, x = -d/c dışındaki tüm gerçek sayılar için tanımlanır. Kesirli doğrusal fonksiyonların grafikleri bildiğiniz y = 1/x grafiğinden şekil olarak farklı değildir. y = 1/x fonksiyonunun grafiği olan bir eğriye denir abartı. X'in mutlak değeri sınırsız bir artışla, y = 1/x fonksiyonunun mutlak değeri sınırsız azalır ve grafiğin her iki dalı da apsise yaklaşır: sağdaki yukarıdan, soldaki aşağıdan yaklaşır. Bir hiperbol yaklaşımının dallarının bulunduğu çizgilere hiperbol denir. asimptotlar.

Örnek 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Çözüm.

Parçanın tamamını seçelim: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Artık bu fonksiyonun grafiğinin, y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: sağa doğru 3 birim parça kaydırma, Oy ekseni boyunca 7 kez uzatma ve 2 birim kaydırma birim segmentleri yukarı doğru.

Herhangi bir y = (ax + b) / (cx + d) kesri, "tam kısım" vurgulanarak benzer şekilde yazılabilir. Sonuç olarak, tüm kesirli doğrusal fonksiyonların grafikleri, koordinat eksenleri boyunca çeşitli şekillerde kaydırılmış ve Oy ekseni boyunca uzatılmış hiperbollerdir.

Herhangi bir keyfi kesirli-doğrusal fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, bu fonksiyonu tanımlayan kesri dönüştürmek hiç de gerekli değildir. Grafiğin bir hiperbol olduğunu bildiğimiz için, dallarının yaklaştığı düz çizgileri (x = -d/c ve y = a/c hiperbolünün asimptotlarını) bulmak yeterli olacaktır.

Örnek 2.

y = (3x + 5)/(2x + 2) fonksiyonunun grafiğinin asimptotlarını bulun.

Çözüm.

Fonksiyon x = -1'de tanımlı değildir. Bu, x = -1 düz çizgisinin dikey bir asimptot görevi gördüğü anlamına gelir. Yatay asimptotu bulmak için x argümanının mutlak değeri arttığında y(x) fonksiyonunun değerlerinin neye yaklaştığını bulalım.

Bunu yapmak için kesrin payını ve paydasını x'e bölün:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ olduğundan kesir 3/2 olacaktır. Bu, yatay asimptotun y = 3/2 düz çizgisi olduğu anlamına gelir.

Örnek 3.

y = (2x + 1)/(x + 1) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Kesrin “tam kısmını” seçelim:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Artık bu fonksiyonun grafiğinin, y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: 1 birim sola kaydırma, Ox'e göre simetrik bir gösterim ve 1 birim sola kaydırma. Oy ekseni boyunca 2 birim segment yukarı.

Etki Alanı D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Değer aralığı E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Eksenlerle kesişme noktaları: c Oy: (0; 1); c Öküz: (-1/2; 0). Fonksiyon, tanım bölgesinin her aralığında artar.

Cevap: Şekil 1.

2. Kesirli rasyonel fonksiyon

y = P(x) / Q(x) formunda kesirli bir rasyonel fonksiyon düşünün; burada P(x) ve Q(x) birinciden daha yüksek dereceli polinomlardır.

Bu tür rasyonel fonksiyonlara örnekler:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) veya y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Eğer y = P(x) / Q(x) fonksiyonu birinciden daha yüksek dereceli iki polinomun bölümünü temsil ediyorsa, bu durumda grafiği kural olarak daha karmaşık olacaktır ve bazen onu doğru bir şekilde oluşturmak zor olabilir. , tüm detaylarıyla. Ancak yukarıda tanıttığımız tekniklere benzer tekniklerin kullanılması çoğu zaman yeterlidir.

Kesir uygun bir kesir olsun (n< m). Известно, что любую несократимую rasyonel kesir Sonlu sayıda temel kesirlerin toplamı olarak ve benzersiz bir şekilde temsil edilebilir; bunun biçimi, Q(x) kesirinin paydasının gerçek faktörlerin çarpımına ayrıştırılmasıyla belirlenir:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Belli ki zamanlama kesirli rasyonel fonksiyon temel kesirlerin grafiklerinin toplamı olarak elde edilebilir.

Kesirli rasyonel fonksiyonların grafiklerini çizme

Kesirli rasyonel fonksiyonun grafiklerini oluşturmanın birkaç yolunu ele alalım.

Örnek 4.

y = 1/x 2 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Y = 1/x 2 grafiğini oluşturmak için y = x 2 fonksiyonunun grafiğini kullanırız ve grafikleri “bölme” tekniğini kullanırız.

Tanım alanı D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Değer aralığı E(y) = (0; +∞).

Eksenler ile kesişme noktaları yoktur. Fonksiyon eşittir. (-∞; 0) aralığından itibaren tüm x için artar, x için 0'dan +∞'a azalır.

Cevap: Şekil 2.

Örnek 5.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Etki Alanı D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Burada çarpanlara ayırma, azaltma ve doğrusal bir fonksiyona indirgeme tekniğini kullandık.

Cevap: Şekil 3.

Örnek 6.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Tanım alanı D(y) = R'dir. Fonksiyon çift olduğundan grafik ordinatlara göre simetriktir. Bir grafik oluşturmadan önce, ifadenin tamamını vurgulayarak ifadeyi yeniden dönüştürelim:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Kesirli bir rasyonel fonksiyonun formülündeki tamsayı kısmı izole etmenin, grafik oluştururken ana kısımlardan biri olduğunu unutmayın.

Eğer x → ±∞ ise, o zaman y → 1, yani. y = 1 düz çizgisi yatay bir asimptottur.

Cevap: Şekil 4.

Örnek 7.

y = x/(x 2 + 1) fonksiyonunu ele alalım ve onun en büyük değerini doğru bir şekilde bulmaya çalışalım; Grafiğin sağ yarısındaki en yüksek nokta. Bu grafiği doğru bir şekilde oluşturmak için günümüzün bilgisi yeterli değildir. Açıkçası, eğrimiz çok yükseğe "yükselemez" çünkü payda hızla payı "sollamaya" başlar. Bakalım fonksiyonun değeri 1'e eşit olabilecek mi? Bunun için x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 denklemini çözmemiz gerekiyor. Bu denklemin gerçel kökleri yoktur. Bu, varsayımımızın yanlış olduğu anlamına gelir. En fazlasını bulmak için büyük değer fonksiyonunu kullanmak için A = x/(x 2 + 1) denkleminin hangi en büyük A değerinde çözüme sahip olacağını bulmanız gerekir. Orijinal denklemi ikinci dereceden bir denklemle değiştirelim: Аx 2 – x + А = 0. Bu denklemin 1 – 4А 2 ≥ 0 olduğunda bir çözümü vardır. Buradan şunu buluruz: en yüksek değer bir = 1/2.

Cevap: Şekil 5, maksimum y(x) = ½.

Hala sorularınız mı var? Fonksiyonların grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

İlk önce fonksiyonun tanım kümesini bulmaya çalışın:

Başarabildin mi? Cevapları karşılaştıralım:

Her şey yolunda mı? Tebrikler!

Şimdi fonksiyonun değer aralığını bulmaya çalışalım:

Buldun mu? Karşılaştırma yapalım:

Anladım? Tebrikler!

Tekrar grafiklerle çalışalım, ancak şimdi biraz daha karmaşık olacak - hem fonksiyonun tanım alanını hem de fonksiyonun değer aralığını bulun.

Bir işlevin hem etki alanını hem de aralığını bulma (ileri düzey)

İşte olanlar:

Sanırım grafikleri anladınız. Şimdi formüllere göre bir fonksiyonun tanım tanım kümesini bulmaya çalışalım (nasıl yapılacağını bilmiyorsanız ilgili bölümü okuyun):

Başarabildin mi? Hadi kontrol edelim cevaplar:

1. çünkü radikal ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir.
2. çünkü sıfıra bölemezsiniz ve radikal ifade negatif olamaz.
3. , çünkü sırasıyla herkes için.
4. çünkü sıfıra bölünemez.

Ancak hala cevaplayamadığımız bir nokta daha var...

Tanımı bir kez daha tekrarlayıp vurgulayacağım:

Fark ettin mi? "Bekar" kelimesi tanımımızın çok ama çok önemli bir unsurudur. Bunu size parmaklarımla anlatmaya çalışacağım.

Diyelim ki düz bir çizgiyle tanımlanan bir fonksiyonumuz var. . Ne zaman yerine koyarız verilen değer“kuralımıza” gireriz ve bunu elde ederiz. Bir değer bir değere karşılık gelir. Hatta kendi gözümüzle görmek için farklı değerlerin bir tablosunu oluşturabilir ve bu fonksiyonun grafiğini çizebiliriz.

"Bakmak! - ““ iki kez oluyor!” diyorsunuz Yani belki bir parabol bir fonksiyon değildir? Hayır, öyle!

“ ” ifadesinin iki kez görünmesi, parabolün belirsizlikle suçlanması için bir neden değildir!

Gerçek şu ki, hesaplarken bir oyun aldık. Ve hesaplarken bir oyun aldık. Yani bu doğru, parabol bir fonksiyondur. Grafiğe bakın:

Anladım? Değilse, buyurun hayat örneği matematikten çok uzak!

Diyelim ki, belgeleri sunarken tanışan ve her biri yaşadığı yerdeki bir sohbette şunları söyleyen bir grup başvuru sahibimiz var:

Katılıyorum, birkaç erkeğin bir şehirde yaşaması oldukça mümkün, ancak bir kişinin aynı anda birkaç şehirde yaşaması imkansız. Bu bizim "parabolümüzün" mantıksal bir temsili gibidir - Birkaç farklı X aynı oyuna karşılık gelir.

Şimdi bağımlılığın bir fonksiyon olmadığı bir örnekle gelelim. Diyelim ki aynı adamlar bize hangi uzmanlıklara başvurduklarını anlattılar:

Burada tamamen farklı bir durumla karşı karşıyayız: Bir kişi, bir veya daha fazla yöne kolayca belge gönderebilir. yani bir element setler yazışmalara konur birkaç elementçokluk. Sırasıyla, bu bir fonksiyon değil.

Bilginizi pratikte test edelim.

Resimlerden neyin fonksiyon olup neyin olmadığını belirleyin:

Anladım? Ve işte burada cevaplar:

• Fonksiyon - B, E'dir.
• Fonksiyon - A, B, D, D değildir.

Nedenini soruyorsun? Evet, nedeni şu:

hariç tüm resimlerde İÇİNDE) Ve e) Bir tane için birkaç tane var!

Artık bir işlevi işlev olmayandan kolayca ayırt edebileceğinize, bir argümanın ne olduğunu ve bağımlı değişkenin ne olduğunu söyleyebileceğinize ve ayrıca bir argümanın izin verilen değerlerinin aralığını ve bir fonksiyonun tanım aralığını belirleyebileceğinize eminim. . Bir sonraki bölüme geçelim; bir fonksiyon nasıl ayarlanır?

Bir işlevi belirtme yöntemleri

Sizce kelimeler ne anlama geliyor? "işlevi ayarla"? Doğru, bu herkese bu durumda fonksiyonun ne olduğunu açıklamak anlamına geliyor. hakkında konuşuyoruz. Ve bunu öyle bir şekilde anlatın ki herkes sizi doğru anlasın ve insanların sizin açıklamanıza dayanarak çizdiği fonksiyon grafikleri aynı olsun.

Bu nasıl yapılabilir? Bir işlev nasıl ayarlanır? Bu makalede zaten birden fazla kez kullanılmış olan en basit yöntem, formülü kullanarak. Bir formül yazıyoruz ve içine bir değer koyarak değeri hesaplıyoruz. Ve hatırladığınız gibi, formül bir yasadır, bir X'in nasıl Y'ye dönüştüğünü bize ve başka bir kişiye açık hale getiren bir kuraldır.

Genellikle yaptıkları tam olarak budur - görevlerde formüllerle belirtilen hazır işlevleri görüyoruz, ancak herkesin unuttuğu bir işlevi ayarlamanın başka yolları da var ve bu nedenle "bir işlevi başka nasıl ayarlayabilirsiniz?" saptırmalar. Her şeyi sırayla anlayalım ve analitik yöntemle başlayalım.

Bir işlevi belirtmenin analitik yöntemi

Analitik yöntem, bir formülü kullanarak bir fonksiyonu belirtmektir. Bu en evrensel, kapsamlı ve net yöntemdir. Bir formülünüz varsa, o zaman bir fonksiyon hakkında kesinlikle her şeyi bilirsiniz - ondan bir değerler tablosu oluşturabilir, bir grafik oluşturabilir, fonksiyonun nerede arttığını ve nerede azaldığını belirleyebilir, genel olarak onu inceleyebilirsiniz. tam olarak.

Fonksiyonu ele alalım. Fark nedir?

"Bu ne anlama geliyor?" - sen sor. Şimdi açıklayacağım.

Gösterimde parantez içindeki ifadeye argüman denildiğini hatırlatmama izin verin. Ve bu argüman basit olması gerekmeyen herhangi bir ifade olabilir. Buna göre argüman ne olursa olsun (parantez içindeki ifade) ifadenin yerine onu yazacağız.

Örneğimizde şöyle görünecek:

Sınavda alacağınız bir fonksiyonu belirlemenin analitik yöntemiyle ilgili başka bir görevi ele alalım.

İfadesinin değerini bulun.

Eminim ilk başta böyle bir ifadeyi gördüğünüzde korkmuşsunuzdur ama bunda kesinlikle korkutucu bir şey yok!

Her şey önceki örnektekiyle aynı: argüman ne olursa olsun (parantez içindeki ifade), ifadenin yerine onu yazacağız. Örneğin bir fonksiyon için.

Örneğimizde ne yapılması gerekiyor? Bunun yerine yazmanız gerekir ve bunun yerine -:

ortaya çıkan ifadeyi kısaltın:

İşte bu!

Bağımsız çalışma

Şimdi aşağıdaki ifadelerin anlamını kendiniz bulmaya çalışın:

1. , Eğer
2. , Eğer

Başarabildin mi? Cevaplarımızı karşılaştıralım: Fonksiyonun şu forma sahip olmasına alışığız:

Örneklerimizde bile fonksiyonu tam olarak bu şekilde tanımlıyoruz ancak analitik olarak fonksiyonu örneğin örtülü bir biçimde tanımlamak mümkündür.

Bu işlevi kendiniz oluşturmayı deneyin.

Başarabildin mi?

Ben bu şekilde inşa ettim.

Sonunda hangi denklemi elde ettik?

Sağ! Doğrusal, yani grafiğin düz bir çizgi olacağı anlamına gelir. Hangi noktaların doğrumuza ait olduğunu belirlemek için bir tablo yapalım:

İşte tam da bundan bahsediyorduk... Bir, birçok şeye karşılık geliyor.

Ne olduğunu çizmeye çalışalım:

Sahip olduğumuz şeyin bir işlevi var mı?

Bu doğru, hayır! Neden? Bu soruyu bir çizim yardımıyla cevaplamaya çalışın. Ne aldın?

“Çünkü bir değer birden fazla değere karşılık gelir!”

Bundan ne gibi bir sonuç çıkarabiliriz?

Doğru, bir fonksiyon her zaman açıkça ifade edilemez ve fonksiyon olarak "gizlenen" şey her zaman fonksiyon değildir!

Bir işlevi belirtmenin tablo yöntemi

Adından da anlaşılacağı gibi bu yöntem basit bir işarettir. Evet, evet. Senin ve benim daha önce yaptığımız gibi. Örneğin:

Burada hemen bir desen fark ettiniz - Y, X'ten üç kat daha büyük. Ve şimdi “çok dikkatli düşünme” görevi: Tablo şeklinde verilen bir fonksiyonun bir fonksiyona eşdeğer olduğunu düşünüyor musunuz?

Uzun süre konuşmayalım ama çizelim!

Bu yüzden. Duvar kağıdının belirttiği işlevi aşağıdaki şekillerde çiziyoruz:

Farkı görüyor musun? Her şey işaretli noktalarla ilgili değil! Daha yakından bakın:

Şimdi gördün mü? Bir fonksiyon tanımladığımızda tablo yöntemi, grafiğe yalnızca tabloda sahip olduğumuz noktaları yansıtırız ve çizgi (bizim durumumuzda olduğu gibi) yalnızca bunlardan geçer. Bir fonksiyonu analitik olarak tanımladığımızda herhangi bir noktayı alabiliriz ve fonksiyonumuz bunlarla sınırlı değildir. Bu tuhaflıktır. Hatırlamak!

Bir fonksiyon oluşturmanın grafiksel yöntemi

Bir fonksiyon oluşturmanın grafiksel yöntemi daha az kullanışlı değildir. Fonksiyonumuzu çizeriz ve ilgilenen başka bir kişi belirli bir x noktasında y'nin neye eşit olduğunu bulabilir ve bu şekilde devam eder. Grafiksel ve analitik yöntemler en yaygın yöntemler arasındadır.

Ancak burada en başta bahsettiğimizi hatırlamanız gerekiyor - koordinat sisteminde çizilen her "dalgalı çizgi" bir fonksiyon değildir! Hatırlıyor musun? Her ihtimale karşı, fonksiyonun ne olduğunun tanımını buraya kopyalayacağım:

Kural olarak, insanlar genellikle bir fonksiyonu belirtmenin daha önce tartıştığımız üç yolunu tam olarak adlandırırlar: analitik (bir formül kullanarak), tablosal ve grafiksel, bir fonksiyonun sözlü olarak tanımlanabileceğini tamamen unutarak. Bu nasıl? Evet, çok basit!

Fonksiyonun sözlü açıklaması

Bir fonksiyon sözlü olarak nasıl tanımlanır? Son örneğimizi ele alalım - . Bu fonksiyon “x'in her gerçek değeri onun üçlü değerine karşılık gelir” şeklinde tanımlanabilir. Hepsi bu. Karmaşık bir şey yok. Elbette itiraz edeceksiniz - “öylesine var ki karmaşık işlevler, bunu sözlü olarak sormak kesinlikle imkansızdır! Evet var ama sözlü olarak anlatılması formülle tanımlamaktan daha kolay olan işlevler de var. Örneğin: "x'in her doğal değeri, onu oluşturan rakamlar arasındaki farka karşılık gelirken, eksilen sayının gösteriminde yer alan en büyük rakam olarak alınır." Şimdi nasıl yaptığımıza bakalım sözlü açıklama işlevler pratikte uygulanır:

Belirli bir sayıdaki en büyük rakam sırasıyla eksidir, o zaman:

Ana fonksiyon türleri

Şimdi en ilginç kısma geçelim - okul ve üniversite matematiği dersinde çalıştığınız/çalıştığınız ve çalışacağınız ana fonksiyon türlerine bakalım, yani tabiri caizse onları tanıyalım. ve onlara ver kısa açıklama. İlgili bölümde her işlev hakkında daha fazla bilgi edinin.

Doğrusal fonksiyon

Gerçel sayılar olan formun bir fonksiyonu.

Bu fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir, dolayısıyla doğrusal bir fonksiyon oluşturmak iki noktanın koordinatlarını bulmaktan ibarettir.

Düz çizginin koordinat düzlemindeki konumu açısal katsayıya bağlıdır.

Bir fonksiyonun kapsamı (diğer bir deyişle geçerli argüman değerlerinin kapsamı) .

Değer aralığı - .

İkinci dereceden fonksiyon

Formun işlevi, burada

Fonksiyonun grafiği bir paraboldür; parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirildiğinde, dallar yukarı doğru yönlendirildiğinde.

İkinci dereceden bir fonksiyonun birçok özelliği diskriminantın değerine bağlıdır. Diskriminant şu formül kullanılarak hesaplanır:

Parabolün değere ve katsayıya göre koordinat düzlemindeki konumu şekilde gösterilmiştir:

Tanım alanı

Değer aralığı, verilen fonksiyonun ekstremumuna (parabolün tepe noktası) ve katsayısına (parabolün dallarının yönü) bağlıdır.

Ters orantılılık

Formül tarafından verilen fonksiyon, burada

Bu sayıya ters orantı katsayısı denir. Değere bağlı olarak hiperbolün dalları farklı karelerdedir:

Tanımın kapsamı - .

Değer aralığı - .

ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER

1. Fonksiyon, bir kümenin her öğesinin kümenin tek bir öğesiyle ilişkilendirildiği bir kuraldır.

• - bu, bir işlevi, yani bir değişkenin diğerine bağımlılığını ifade eden bir formüldür;
• - değişken değer veya argüman;
• - bağımlı miktar - argüman değiştiğinde, yani bir miktarın diğerine bağımlılığını yansıtan herhangi bir özel formüle göre değişir.

2. Geçerli bağımsız değişken değerleri, veya bir fonksiyonun alanı, fonksiyonun anlamlı olduğu olasılıklarla ilişkili olan şeydir.

3. Fonksiyon aralığı- kabul edilebilir değerler göz önüne alındığında, aldığı değerler budur.

4. Bir işlevi ayarlamanın 4 yolu vardır:

• analitik (formülleri kullanarak);
• tablo halinde;
• grafik
• sözlü açıklama.

5. Ana fonksiyon türleri:

• : , burada gerçek sayılardır;
• : , Nerede;
• : , Nerede.

Bilgi temel temel fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleriçarpım tablosunu bilmekten daha az önemli değil. Onlar temel gibidir, her şey onların üzerine kuruludur, her şey onlardan inşa edilmiştir ve her şey onlara inmiştir.

Bu yazıda tüm ana konuları listeleyeceğiz. temel işlevler, grafiklerini sunuyoruz ve bunları sonuç veya kanıt olmadan veriyoruz temel temel fonksiyonların özelliklerişemaya göre:

• fonksiyonun tanım alanının sınırlarındaki davranışı, dikey asimptotlar (gerekirse makaleye bakın) fonksiyon süreksizlik noktalarının sınıflandırılması);
• çift ​​ve tek;
• dışbükeylik aralıkları (yukarı doğru dışbükeylik) ve içbükeylik (aşağı doğru dışbükeylik), bükülme noktaları (gerekirse makaleye bakın) bir fonksiyonun dışbükeyliği, dışbükeyliğin yönü, bükülme noktaları, dışbükeylik ve bükülme koşulları);
• eğimli ve yatay asimptotlar;
• fonksiyonların tekil noktaları;
• bazı fonksiyonların özel özellikleri (örneğin, trigonometrik fonksiyonların en küçük pozitif periyodu).

Veya ile ilgileniyorsanız, teorinin bu bölümlerine gidebilirsiniz.

Temel temel işlevlerşunlardır: sabit fonksiyon (sabit), n'inci kök, kuvvet fonksiyonu, üstel, logaritmik fonksiyon, trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonlar.

Sayfada gezinme.

Kalıcı işlev.

Tüm gerçek sayılar kümesinde sabit bir fonksiyon aşağıdaki formülle tanımlanır; burada C bir gerçek sayıdır. Bir sabit fonksiyon, bağımsız değişken x'in her gerçek değerini, bağımlı değişken y'nin aynı değeri olan C değeriyle ilişkilendirir. Sabit bir fonksiyona sabit de denir.

Sabit bir fonksiyonun grafiği, x eksenine paralel ve koordinatları (0,C) olan noktadan geçen düz bir çizgidir. Örnek olarak, aşağıdaki şekilde sırasıyla siyah, kırmızı ve mavi çizgilere karşılık gelen y=5, y=-2 ve sabit fonksiyonlarının grafiklerini göstereceğiz.

Sabit bir fonksiyonun özellikleri.

• Etki Alanı: Gerçek sayılar kümesinin tamamı.
• Sabit fonksiyon çifttir.
• Değer aralığı: aşağıdakilerden oluşan set tekilİLE .
• Sabit bir fonksiyon artmayan ve azalmayan bir fonksiyondur (bu yüzden sabittir).
• Bir sabitin dışbükeyliği ve içbükeyliğinden bahsetmenin bir anlamı yok.
• Asimptot yok.
• Fonksiyon koordinat düzleminin (0,C) noktasından geçer.

N'inci derecenin kökü.

Formül tarafından verilen temel temel fonksiyonu ele alalım, burada n – doğal sayı, birden büyük.

N'inci derecenin kökü, n bir çift sayıdır.

Kök üssü n'nin çift değerleri için n'inci kök fonksiyonuyla başlayalım.

Örnek olarak burada fonksiyon grafiklerinin resimlerini içeren bir resim bulunmaktadır. ve siyah, kırmızı ve mavi çizgilere karşılık gelirler.

Çift dereceli kök fonksiyonlarının grafikleri, üssün diğer değerleri için de benzer bir görünüme sahiptir.

Çift n için n'inci kök fonksiyonunun özellikleri.

N'inci kök, n tek bir sayıdır.

Tek kök üssü n olan n'inci kök işlevi, tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlanır. Örneğin, burada fonksiyon grafikleri var ve siyah, kırmızı ve mavi eğrilere karşılık gelirler.

Kök üssünün diğer tek değerleri için fonksiyon grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Tek n için n'inci kök fonksiyonunun özellikleri.

Güç fonksiyonu.

Güç fonksiyonuşeklinde bir formülle verilir.

Üssün değerine bağlı olarak bir kuvvet fonksiyonunun grafik biçimini ve bir kuvvet fonksiyonunun özelliklerini ele alalım.

Tam sayı üssü a olan bir kuvvet fonksiyonuyla başlayalım. Bu durumda kuvvet fonksiyonlarının grafiklerinin görünümü ve fonksiyonların özellikleri, üssün işaretine olduğu kadar düzgünlüğüne veya tekliğine de bağlıdır. Bu nedenle, önce a üssünün tek pozitif değerleri için, sonra çift pozitif üsler için, sonra tek negatif üsler için ve son olarak da negatif a için kuvvet fonksiyonlarını ele alacağız.

Kesirli ve irrasyonel üslü güç fonksiyonlarının özellikleri (ve bu tür güç fonksiyonlarının grafiklerinin türü), a üssünün değerine bağlıdır. Bunları ilk olarak a'dan bire kadar, ikinci olarak birden büyük için, üçüncü olarak a eksi birden sıfıra kadar, dördüncü olarak eksi birden küçük için ele alacağız.

Bu bölümün sonunda, bütünlüğü sağlamak için sıfır üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu tanımlayacağız.

Tek pozitif üslü kuvvet fonksiyonu.

Tek pozitif üssü olan, yani a = 1,3,5,... olan bir kuvvet fonksiyonunu düşünelim.

Aşağıdaki şekilde güç fonksiyonlarının grafikleri gösterilmektedir – siyah çizgi, – mavi çizgi, – kırmızı çizgi, – yeşil çizgi. a=1 için elimizde doğrusal fonksiyon y=x.

Tek pozitif üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Çift pozitif üslü kuvvet fonksiyonu.

Çift pozitif üssü olan, yani a = 2,4,6,... için bir kuvvet fonksiyonunu düşünelim.

Örnek olarak güç fonksiyonlarının grafiklerini veriyoruz – siyah çizgi, – mavi çizgi, – kırmızı çizgi. a=2 için elimizde ikinci dereceden fonksiyon, kimin grafiği ikinci dereceden parabol.

Çift pozitif üslü bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Tek negatif üslü kuvvet fonksiyonu.

Üssün tek negatif değerleri için, yani a = -1, -3, -5,... için güç fonksiyonunun grafiklerine bakın.

Şekilde güç fonksiyonlarının grafikleri örnek olarak gösterilmektedir - siyah çizgi, - mavi çizgi, - kırmızı çizgi, - yeşil çizgi. a=-1 için elimizde ters orantı, kimin grafiği hiperbol.

Tek negatif üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Çift negatif üslü kuvvet fonksiyonu.

a=-2,-4,-6,… için kuvvet fonksiyonuna geçelim.

Şekilde güç fonksiyonlarının grafikleri gösterilmektedir – siyah çizgi, – mavi çizgi, – kırmızı çizgi.

Çift negatif üslü bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Değeri sıfırdan büyük ve birden küçük olan rasyonel veya irrasyonel üssü olan bir kuvvet fonksiyonu.

Dikkat etmek! Eğer a, paydası tek olan pozitif bir kesir ise, bazı yazarlar güç fonksiyonunun tanım kümesinin aralık olduğunu düşünürler. a üssünün indirgenemez bir kesir olduğu öngörülmektedir. Artık cebir ve analizin başlangıcı üzerine birçok ders kitabının yazarları, argümanın negatif değerleri için tek paydalı bir kesir biçimindeki üslü kuvvet fonksiyonlarını TANIMLAMAZ. Biz de tam olarak bu görüşe bağlı kalacağız, yani kümeyi, kesirli pozitif üslü güç fonksiyonlarının tanım alanları olarak ele alacağız. Anlaşmazlıkların önüne geçebilmek için öğrencilerin bu ince nokta hakkında öğretmeninizin fikrini öğrenmelerini öneririz.

Rasyonel veya irrasyonel üssü a ve olan bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım.

a=11/12 (siyah çizgi), a=5/7 (kırmızı çizgi), (mavi çizgi), a=2/5 (yeşil çizgi) için güç fonksiyonlarının grafiklerini sunalım.

Tamsayı olmayan rasyonel veya irrasyonel üssü birden büyük olan kuvvet fonksiyonu.

Tamsayı olmayan rasyonel veya irrasyonel üssü a ve olan bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım.

Formüllerin verdiği güç fonksiyonlarının grafiklerini sunalım (sırasıyla siyah, kırmızı, mavi ve yeşil çizgiler).

>

a üssünün diğer değerleri için fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Güç fonksiyonunun özellikleri.

Gerçek üssü eksi birden büyük ve sıfırdan küçük olan bir kuvvet fonksiyonu.

Dikkat etmek! Eğer a, paydası tek olan negatif bir kesir ise, bazı yazarlar bir kuvvet fonksiyonunun tanım tanım kümesinin aralık olduğunu düşünürler. . a üssünün indirgenemez bir kesir olduğu öngörülmektedir. Artık cebir ve analizin başlangıcı üzerine birçok ders kitabının yazarları, argümanın negatif değerleri için tek paydalı bir kesir biçimindeki üslü kuvvet fonksiyonlarını TANIMLAMAZ. Tam olarak bu görüşe bağlı kalacağız, yani kesirli kesirli negatif üslü güç fonksiyonlarının tanım alanlarını sırasıyla bir küme olarak ele alacağız. Anlaşmazlıkların önüne geçebilmek için öğrencilerin bu ince nokta hakkında öğretmeninizin fikrini öğrenmelerini öneririz.

Hadi güç fonksiyonuna geçelim, kgod.

Güç fonksiyonlarının grafiklerinin şekli hakkında iyi bir fikir sahibi olmak için, fonksiyon grafiklerine örnekler veriyoruz. (sırasıyla siyah, kırmızı, mavi ve yeşil eğriler).

Üssü a olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Tamsayı olmayan gerçek üssü eksi birden küçük olan bir kuvvet fonksiyonu.

Güç fonksiyonlarının grafiklerine örnekler verelim. sırasıyla siyah, kırmızı, mavi ve yeşil çizgilerle gösterilmiştir.

Tamsayı olmayan negatif üssü eksi birden küçük olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

a = 0 olduğunda, bir fonksiyonumuz olur - bu, (0;1) noktasının hariç tutulduğu düz bir çizgidir (0 0 ifadesine herhangi bir anlam verilmemesi kararlaştırıldı).

Üstel fonksiyon.

Temel temel fonksiyonlardan biri üstel fonksiyondur.

Takvim üstel fonksiyon, nereden alıyor farklı tür a tabanının değerine bağlı olarak. Bunu çözelim.

İlk olarak, üstel fonksiyonun tabanının sıfırdan bire kadar bir değer aldığı durumu düşünün, yani.

Örnek olarak a = 1/2 – mavi çizgi, a = 5/6 – kırmızı çizgi için üstel fonksiyonun grafiklerini sunuyoruz. Üstel fonksiyonun grafikleri, aralığın tabanının diğer değerleri için benzer bir görünüme sahiptir.

Tabanı birden küçük olan üstel bir fonksiyonun özellikleri.

Üstel fonksiyonun tabanının birden büyük olduğu duruma yani ’ye geçelim.

Örnek olarak üstel fonksiyonların (mavi çizgi ve - kırmızı çizgi) grafiklerini sunuyoruz. Tabanın birden büyük diğer değerleri için üstel fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Tabanı birden büyük olan üstel bir fonksiyonun özellikleri.

Logaritmik fonksiyon.

Bir sonraki temel temel fonksiyon logaritmik fonksiyondur; burada , . Logaritmik fonksiyon yalnızca argümanın pozitif değerleri için, yani .

Takvim logaritmik fonksiyon a tabanının değerine bağlı olarak farklı biçimler alır.

Ne zaman olacağıyla başlayalım.

Örnek olarak a = 1/2 – mavi çizgi, a = 5/6 – kırmızı çizgi için logaritmik fonksiyonun grafiklerini sunuyoruz. Tabanın biri aşmayan diğer değerleri için logaritmik fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Tabanı birden küçük olan logaritmik bir fonksiyonun özellikleri.

Logaritmik fonksiyonun tabanının birden büyük olduğu duruma geçelim ().

Logaritmik fonksiyonların grafiklerini gösterelim - mavi çizgi, - kırmızı çizgi. Tabanın birden büyük diğer değerleri için logaritmik fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Tabanı birden büyük olan logaritmik bir fonksiyonun özellikleri.

Trigonometrik fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.

Tüm trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant) temel temel fonksiyonlara aittir. Şimdi onların grafiklerine bakıp özelliklerini listeleyeceğiz.

Trigonometrik fonksiyonlar şu kavrama sahiptir: sıklık(dönem itibariyle birbirinden farklı olan argümanın farklı değerleri için fonksiyon değerlerinin yinelenmesi , burada T dönemdir), bu nedenle öğe trigonometrik fonksiyonların özellikleri listesine eklenmiştir. "en küçük pozitif dönem". Ayrıca her trigonometrik fonksiyon için, ilgili fonksiyonun sıfırlandığı argümanın değerlerini göstereceğiz.

Şimdi herkesle ilgilenelim trigonometrik fonksiyonlar sırayla.

Sinüs fonksiyonu y = sin(x) .

Sinüs fonksiyonunun bir grafiğini çizelim, buna “sinüs dalgası” denir.

Sinüs fonksiyonunun özellikleri y = sinx.

Kosinüs fonksiyonu y = cos(x) .

Kosinüs fonksiyonunun ("kosinüs" olarak adlandırılır) grafiği şuna benzer:

Kosinüs fonksiyonunun özellikleri y = cosx.

Teğet fonksiyonu y = tan(x) .

Teğet fonksiyonunun grafiği ("teğetoid" olarak adlandırılır) şuna benzer:

Teğet fonksiyonunun özellikleri y = tanx.

Kotanjant fonksiyonu y = ctg(x) .

Kotanjant fonksiyonunun bir grafiğini çizelim (“kotanjantoid” olarak adlandırılır):

Kotanjant fonksiyonunun özellikleri y = ctgx.

Ters trigonometrik fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.

Ters trigonometrik fonksiyonlar (ark sinüs, ark kosinüs, ark tanjant ve ark kotanjant) temel temel fonksiyonlardır. Genellikle "yay" öneki nedeniyle ters trigonometrik fonksiyonlara yay fonksiyonları denir. Şimdi onların grafiklerine bakıp özelliklerini listeleyeceğiz.

Arksinüs fonksiyonu y = arksin(x) .

Ark sinüs fonksiyonunun grafiğini çizelim:

Arkkotanjant fonksiyonunun özellikleri y = arcctg(x) .

Referanslar.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders Kitabı. 10-11 sınıflar için. genel eğitim kurumları.
• Vygodsky M.Ya. İlköğretim Matematik El Kitabı.
• Novoselov S.I. Cebir ve temel fonksiyonlar.
• Tumanov S.I. Temel cebir. Kendi kendine eğitim için bir el kitabı.

Ulusal Araştırma Üniversitesi

Uygulamalı Jeoloji Bölümü

Özet yüksek matematik

Konuyla ilgili: “Temel temel işlevler,

özellikleri ve grafikleri"

Tamamlanmış:

Kontrol edildi:

Öğretmen

Tanım. y=ax (burada a>0, a≠1) formülüyle verilen fonksiyona a tabanlı üstel fonksiyon denir.

Üstel fonksiyonun ana özelliklerini formüle edelim:

1. Tanımın tanım kümesi tüm reel sayılar kümesidir (R).

2. Aralık - tüm pozitif gerçek sayıların kümesi (R+).

3. a > 1 için fonksiyon sayı doğrusu boyunca artar; 0'da<а<1 функция убывает.

4. Genel formun bir fonksiyonudur.

, xО [-3;3] aralığında, xО [-3;3] aralığında

n'nin ОR sayısı olduğu y(x)=x n formundaki bir fonksiyona kuvvet fonksiyonu denir. N sayısı farklı değerler alabilir: hem tam sayı hem de kesirli, hem çift hem de tek. Buna bağlı olarak güç fonksiyonu farklı bir forma sahip olacaktır. Güç fonksiyonları olan ve bu tür bir eğrinin temel özelliklerini aşağıdaki sırayla yansıtan özel durumları ele alalım: güç fonksiyonu y=x² (çift üslü fonksiyon - bir parabol), güç fonksiyonu y=x³ (tek üslü fonksiyon) - kübik parabol) ve fonksiyon y=√x (x üssü ½) (kesirli üslü fonksiyon), negatif tamsayı üslü fonksiyon (hiperbol).

Güç fonksiyonu y=x²

1. D(x)=R – fonksiyon tüm sayısal eksende tanımlanır;

2. E(y)= ve aralıkta artar

Güç fonksiyonu y=x³

1. y=x³ fonksiyonunun grafiğine kübik parabol denir. y=x³ kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

2. D(x)=R – fonksiyon tüm sayısal eksende tanımlanır;

3. E(y)=(-∞;∞) – fonksiyon, tanım alanındaki tüm değerleri alır;

4. x=0 y=0 olduğunda – fonksiyon O(0;0) koordinatlarının orijininden geçer.

5. Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca artar.

6. Fonksiyon tektir (kökene göre simetriktir).

, xО [-3;3] aralığında

X³'ün önündeki sayısal faktöre bağlı olarak fonksiyon dik/düz ve artan/azalan olabilir.

Negatif tamsayı üslü kuvvet fonksiyonu:

Eğer n üssü tek ise, böyle bir kuvvet fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Tamsayı negatif üssü olan bir kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Herhangi bir n için D(x)=(-∞;0)U(0;∞);

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), eğer n tek sayı ise; E(y)=(0;∞), eğer n bir çift sayı ise;

3. Eğer n tek sayı ise fonksiyon tüm tanım alanı boyunca azalır; n bir çift sayı ise fonksiyon (-∞;0) aralığında artar ve (0;∞) aralığında azalır.

4. Eğer n tek bir sayı ise fonksiyon tektir (kökene göre simetriktir); n bir çift sayıysa, bir işlev çifttir.

5. Fonksiyon, n tek sayı ise (1;1) ve (-1;-1) noktalarından, n çift sayı ise (1;1) ve (-1;1) noktalarından geçer.

, xО [-3;3] aralığında

Kesirli üslü kuvvet fonksiyonu

Kesirli üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun (resim) şekilde gösterilen fonksiyonun grafiği vardır. Kesirli üssü olan bir kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir: (resim)

1. D(x) ОR, eğer n tek bir sayı ise ve D(x)= , xО aralığında, xО aralığında [-3;3]

Logaritmik fonksiyon y = log a x aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Tanım kümesi D(x)О (0; + ∞).

2. Değer aralığı E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Fonksiyon ne çift ne de tektir (genel biçimde).

4. Fonksiyon a > 1 için (0; + ∞) aralığında artar, 0 için (0; + ∞) aralığında azalır< а < 1.

y = log a x fonksiyonunun grafiği, y = a x fonksiyonunun grafiğinden, y = x düz çizgisine göre bir simetri dönüşümü kullanılarak elde edilebilir. Şekil 9'da a > 1 için logaritmik fonksiyonun grafiği ve Şekil 10'da 0 için bir grafik gösterilmektedir.< a < 1.

; xО aralığında; xО aralığında

y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x fonksiyonlarına trigonometrik fonksiyonlar denir.

y = sin x, y = tg x, y = ctg x fonksiyonları tektir ve y = cos x fonksiyonu çifttir.

Fonksiyon y = sin(x).

1. Tanım alanı D(x) ОR.

2. Değer aralığı E(y) О [ - 1; 1].

3. Fonksiyon periyodiktir; ana periyot 2π'dir.

4. Fonksiyon tektir.

5. Fonksiyon [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ve [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

y = sin(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 11’de gösterilmektedir.