İşlevler Grafikler. Arksinus, Arkkosinus - Emlak, Grafikler, Formül Grafiği Arcsin x 2
Ters trigonometrik fonksiyonlarla ilişkili görevler genellikle okul final sınavlarında ve bazı üniversitelerdeki giriş sınavlarında sunulur. Bu konunun detaylı bir incelemesi sadece seçmeli sınıflarda veya seçmeli derslerde elde edilebilir. Önerilen kurs, her öğrencinin yeteneklerini geliştirmek, matematiksel eğitimini artırmak için mümkün olduğunca tasarlanmıştır.
Kurs 10 saat için tasarlanmıştır:
1. İşlevler Arcsin X, ARCCOS X, ARCTG X, ARCCTG X (4 saat).
2. Ters trigonometrik fonksiyonlar üzerindeki işlemler (4 saat).
3. Trigonometrik fonksiyonlarda (2 saat) moda trigonometrik işlemler.
Ders 1 (2 saat) Konu: İşlevler Y \u003d ARCSIN X, Y \u003d ARCCOS X, Y \u003d ARCTG X, Y \u003d ARCCTG X.
Amaç: Bu sorunun tam kapsamı.
1. İşlev Y \u003d ARCSIN X.
a) Y \u003d SIN X işlevi için, arxinusun çağrıldığı ve aşağıdaki gibi gösterdiği bir ters (açık) bir fonksiyon vardır: Y \u003d ARCSIN X. Ters fonksiyon grafiği, bisector I - III koordinat açılarına göre ana işlevin bir grafiğiyle simetriktir.
Y \u003d fonksiyonunun özellikleri ARCSIN X.
1) Tanım alanı: segment [-1; bir];
2) Değişim alanı: segment;
3) fonksiyon y \u003d ARCSIN X garip: ARCSIN (-X) \u003d - ARCSIN X;
4) fonksiyon y \u003d ARCSIN X monotonik olarak artıyor;
5) Program, ekseni geçer OH, koordinatların başlangıcında OU.
Örnek 1. A \u003d ARCSIN'i bulun. Bu örnek detaylı olarak formüle edilebilir: Böyle bir argümanı bulmak için, diğerinin altından bir yalan söyleyerek sinüs'e eşittir.
Karar. Sinüs, örneğin eşit olan sayısız argüman var: 
vb. Ancak biz sadece segmentte olan argümanla ilgileniyoruz. Bu argüman olacak. Yani, .
Örnek 2. Bulun 
.Karar. Örnek 1'deki gibi aynı şekilde tartışıyoruz, 
.
b) Oral egzersizler. Bulun: Arcsin 1, Arcsin (-1), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin 0. Örnek Cevap: 
Çünkü 
. İfade duygusu anlamına gelir; ARCSIN 1.5; 
?
c) Artan sırayla bir artış yapın: ARCSIN, ARCSIN (-0.3), ARCSIN 0.9.
II. Y \u003d ARCCOS X, Y \u003d ARCTG X, Y \u003d ARCCTG X (benzer şekilde) fonksiyonları.
Ders 2 (2 h) Tema: Ters trigonometrik fonksiyonlar, grafikleri.
Amaç: Bu derste, değerlerin belirlenmesinde becerileri çözmek gerekir. trigonometrik fonksiyonlar, D (Y), E (Y) ve gerekli dönüşümleri kullanarak ters trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin yapımında.
Bu derste, tanım alanının temeli, tip fonksiyonlarının değerlerinin değerleri de dahil olmak üzere egzersizler yapın: Y \u003d ARCSIN, Y \u003d ARCCOS (X-2), Y \u003d ARCTG (TG X), Y \u003d arccos.
İşlev grafikleri inşa edilmelidir: a) Y \u003d ARCSIN 2X; B) Y \u003d 2 ARCSIN 2X; c) y \u003d yay;
d) y \u003d yay; e) y \u003d Arcsin; e) y \u003d Arcsin; g) y \u003d | Arcsin | .
Misal.Bir grafik oluştururuz Y \u003d Arccos
Ödevde, aşağıdaki alıştırmalar dahil edilebilir: İşlevlerin grafikleri oluşturun: Y \u003d Arccos, Y \u003d 2 Arcctg X, Y \u003d Arccos | X | .
Ters fonksiyon çizelgeleri
Ders sayısı 3 (2 saat) Konu:
Ters trigonometrik fonksiyonlar üzerindeki işlemler.Amaç: Matematiksel bilgiyi genişletmek (bu, özellikle matematiksel preparat için artan gereklilikleri olan adaylıklar için bu önemlidir) ters trigonometrik fonksiyonlar için temel ilişkiler getirerek önemlidir.
Ders için malzeme.
Ters trigonometrik fonksiyonlar üzerinde bazı basit trigonometrik işlemler: günah (Arcsin x) \u003d x, ben xi? bir; Cos (ascos x) \u003d x, ben xi? bir; Tg (arctg x) \u003d x, x i r; CTG. (Arcctg X) \u003d x, x i R.
Egzersizler.
a) TG (1.5 + ARCTG 5) \u003d - CTG (ARCTG 5) \u003d 
.
cTG (ARCTG X) \u003d; Tg (arcctg x) \u003d.
b) COS (+ ARCSIN 0.6) \u003d - COS (ARCSIN 0.6). Arcsin 0,6 \u003d a, günah bir \u003d 0,6;
cos (artcsin x) \u003d; günah (Arccos x) \u003d.
Not: "+" işaretini rooktan önce alın, çünkü A \u003d ARCSIN X MESLEKİ.
c) günah (1.5 + artsel). Cevap:;
d) CTG (+ ARCTG 3). Cevap:;
e) Tg (- Arcctg 4). Cevap:.
e) COS (0.5 + ARCCOS). Cevap:.
Hesaplamak:
a) Günah (2 ARCTG 5).
ARCTG 5 \u003d a, sonra günah 2 a \u003d 
veya günah (2 ARCTG 5) \u003d 
;
b) COS (+ 2 ARCSIN 0.8). Cevap: 0.28.
c) ARCTG + ARCTG.
A \u003d ARCTG, B \u003d ARCTG,
sonra TG (A + B) \u003d 
.
d) Günah (Arcsin + Arcsin).
e) Bunu kanıtlamak için [-1; 1] Gerçek ARCSIN X + ARCCOS X \u003d.
Kanıt:
aRCSIN X \u003d - ARCCOS X
günah (Arcsin x) \u003d günah (- Arccos x)
x \u003d COS (ARCCOS X)
Kendi kendine çözümler için:sIN (ARCCOS), COS (ARCSIN), COS (ARCSIN ()), SIN (ARCTG (- 3)), TG (ARCCOS), CTG (ARCCOS).
Ev çözme için: 1) Günah (ARCSIN 0.6 + ARCTG 0); 2) Arcsin + Arcsin; 3) CTG (- Arccos 0.6); 4) COS (2 ARCCTG 5); 5) Günah (1.5 - Arcsin 0.8); 6) ARCTG 0.5 - ARCTG 3.
Ders Numarası 4 (2H.) Konu: Ters trigonometrik fonksiyonlar üzerindeki işlemler.
Amaç: Bu derste, daha karmaşık ifadeleri dönüştürmede oranların kullanımını göstermektir.
Ders için malzeme.
Sözlü olarak:
a) Günah (ARCCOS 0.6), COS (ARCSIN 0.8);
b) TG (ARCSTG 5), CTG (ARCTG 5);
c) günah (ARCTG -3), COS (ARCSTG ());
d) TG (ARCCOS), CTG (ARCCOS ()).
Yazı:
1) COS (ARCSIN + ARCSIN + ARCSIN).
2) COS (ARCTG 5-ARCCOS 0.8) \u003d COS (ARCTG 5) COS (ARCCOS 0.8) + SIN (ARCTG 5) SIN (ARCCOS 0.8) \u003d
3) TG (- ARCSIN 0,6) \u003d - TG (ARCSIN 0.6) \u003d 
4) 
Bağımsız iş, materyali masteding seviyesini tanımlamaya yardımcı olacaktır.
| 1) TG (ARCTG 2 - ARCTG) 2) COS (- ARCTG2) 3) Arcsin + Arccos |
1) COS (ARCSIN + ARCSIN) 2) Günah (1.5 - ARCTG 3) 3) ARCCTG3 - ARCTG 2 |
Ödev için, sunabilirsiniz:
1) CTG (ARCTG + ARCTG + ARCTG); 2) Sin 2 (ARCTG 2 - ARCCTG ()); 3) Günah (2 ARCTG + TG (ARCSIN)); 4) Günah (2 ARCTG); 5) TG ((ARCSIN))
Ders Numarası 5 (2H) Konu: Trigonometrik fonksiyonlarda ters trigonometrik işlemler.
Amaç: Öğrencilerin trigonometrik fonksiyonlar üzerindeki ters trigonometrik işlemlerle ilgili sunumunu oluşturmak için, odaklanma, çalışma altındaki teorinin anlamlılığının artmasıyla ilgilidir.
Bu konuyu incelirken, ezberlenecek teorik materyalin hacmini sınırladığı varsayılmaktadır.
Ders için malzeme:
Yeni malzemenin incelenmesi, Y \u003d ARCSIN (SIN X) işlevinin işlevinden başlatılabilir ve programını oluşturabilir.
3. Her X i R, yani, yani.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. İşlev garip: günah (-x) \u003d - günah x; ARCSIN (SIN (-X)) \u003d - ARCSIN (SIN X).
6. Zamanlama Y \u003d ARCSIN (SIN X) ON:
a) 0.<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sIN Y \u003d SIN (- X) \u003d SINX, 0<= - x <= .
Yani, 
BUING Y \u003d ARCSIN (SIN X) Açık, [-; 0], bu fonksiyonun doğruluğu göz önüne alındığında. Frekansı kullanarak, tüm sayısal eksene devam edeceğiz.
O zaman bazı oranlar yazın: arcsin (SIN A) \u003d A<= a <= ; arccos (cos A. ) \u003d a eğer 0<= a <= ; arctg (tg a) \u003d a< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
Ve aşağıdaki alıştırmaları yapın: a) ARCCOS (SIN 2). Sonuç: 2 -; b) Arcsin (COS 0,6). Sonuç: - 0.1; c) ARCTG (TG 2). Cevap: 2 -;
d) ARCCTG (TG 0.6). Cevap: 0.9; e) ArcCOS (COS (- 2)). Cevap: 2 -; e) Arcsin (günah (- 0.6)). Cevap: - 0.6; g) ARCTG (TG 2) \u003d ARCTG (TG (2 -)). Cevap: 2 -; h) ArcCTG (TG 0.6). Cevap: - 0.6; - ARCTG X; e) Arccos + Arccos
İşlevler Grafik
Fonksiyon sinüsü
- bir çok R.tüm geçerli numaralar.
Birçok fonksiyon değerleri - segment [-1; 1], yani sinüs fonksiyonu - sınırlı.
İşlev Tek: günah (-x) \u003d - tüm x ∈ için günah x R..
Periyodik fonksiyon
günah (x + 2π · k) \u003d günah x, burada k ∈ Z. Tüm x ∈ için R..
günah x \u003d 0 x \u003d π · k, k ∈ ile Z..
günah x\u003e 0 (pozitif) tüm x ∈ (2π · k, π + 2π · k), K ∈ Z..
günah X.< 0 (negatif) tüm x ∈ (π + 2π · k, 2π + 2π · k), K ∈ Z..
Kosinüs fonksiyonu
İşlev Tanım Alanı- bir çok R.tüm geçerli numaralar.
Birçok fonksiyon değerleri - segment [-1; 1], yani Kosinüs fonksiyonu - sınırlı.
Fonksiyon bile: Cos (-x) \u003d COS X için x ∈ R..
Periyodik fonksiyon En küçük pozitif döneme sahip 2π:
cos (x + 2π · k.) \u003d Cos x, nerede k. ∈ Z. Tüm x ∈ için R..
| cos x \u003d 0için |  |
| cos x\u003e 0 hepsi için |  |
| cOS X.< 0 hepsi için |  |
| İşlev artıyor aralıklarla -1 ila 1 arasında: | |
| Fonksiyon azalır aralıklarla -1 ila 1 arasında: | |
| Fonksiyonun en büyük değeri x \u003d 1 Noktalarda: |  |
| Günah fonksiyonunun en küçük değeri x \u003d -1 Noktalarda: |
Teğet özelliği
Birçok fonksiyon değerleri - Tüm sayısal düz, yani. Teğet - İşlev sınırsız.
İşlev Tek: Tg (-x) \u003d - tg x
İşlevin grafiği, oy eksenine göre simetriktir.
Periyodik fonksiyon En küçük pozitif dönem ile π, yani Tg (x + π · k.) \u003d Tg x, k. ∈ Z. Tanım alanından tüm x için.
Cotanence özelliği
Birçok fonksiyon değerleri - Tüm sayısal düz, yani. Kotanjent - İşlev sınırsız.
İşlev Tek: CTG (-X) \u003d - tanım alanından tüm x için CTG X.İşlevin grafiği, oy eksenine göre simetriktir.
Periyodik fonksiyon En küçük pozitif dönem ile π, yani CTG (x + π · · k.) \u003d CTG X, k. ∈ Z. Tanım alanından tüm x için.
Arksinus özelliği
İşlev Tanım Alanı- segment [-1; bir]
Birçok fonksiyon değerleri - Cut -π / 2 ARCSIN X π / 2, yani. Arksinus - Fonksiyon sınırlı.
İşlev Tek: Arcsin (-x) \u003d - Tüm X ∈ için Arcsin X R..
İşlevin grafiği, koordinatların başlangıcında simetriktir.
Tüm tanım alanında.
Arkkosinus fonksiyonu
İşlev Tanım Alanı- segment [-1; bir]
Birçok fonksiyon değerleri - Kesim 0 Arccos X π, yani. Arkkosinus - Fonksiyon sınırlı.
İşlev artıyor Tüm tanım alanında.
Fonksiyon arctgernes
İşlev Tanım Alanı- bir çok R.tüm geçerli numaralar.
Birçok fonksiyon değerleri - Kesim 0 π, yani. ArctanHance - İşlev sınırlı.
İşlev Tek: ARCTG (-X) \u003d - Tüm X ∈ için ARCTG X R..
İşlevin grafiği, koordinatların başlangıcında simetriktir.
İşlev artıyor Tüm tanım alanında.
Fonksiyon arkkothange
İşlev Tanım Alanı- bir çok R.tüm geçerli numaralar.
Birçok fonksiyon değerleri - Kesim 0 π, yani. Arkotangangent - Fonksiyon sınırlı.
İşlev ne bile ne de tuhaf.
İşlevin grafiği asimetrik veya koordinatların başlangıcına veya oy eksenine göre görecelidir.
İşlev azalan Tüm tanım alanında.
Tanım ve Notasyon
Arksinus (y \u003d arcsin X.) - Bu bir fonksiyondur, Sinus'a geri (x \u003d sIN Y. -1 ≤ x ≤ 1 ve birçok değer -π / 2 ≤ Y ≤ π / 2.günah (artcsin x) \u003d x ;
arcsin (SIN X) \u003d x .
Arksinus bazen gösterilir:
.
Arksinus fonksiyonlarının grafiği
Program fonksiyonu y \u003d arcsin X.
AbScissa'yı değiştirirseniz ve eksen yerlerini değiştirirseniz, Arksinus programı sinüs grafiğinden elde edilir. Çok bilinci ortadan kaldırmak için, değerler aralığı monotonna işlevinin hangi aralığı sınırlandırır. Böyle bir tanım, Arksinus'un ana değeri denir.
Arkkosinus, Arccos.
Tanım ve Notasyon
Arkkosinus (y \u003d arccos X.) kosinine ters bir fonksiyondur (x \u003d rAHAT.). Bir tanım tarlası var -1 ≤ x ≤ 1 ve birçok değer 0 ≤ y ≤ π.cos (ardcos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .
Arkkosinus bazen gösterir:
.
Arkkosinusun işlevi grafiği
Program fonksiyonu y \u003d arccos X.
Abscissa'yı değiştirirseniz ve eksen yerlerini değiştirirseniz, Arkkosinus'un grafiği kosinüs grafiğinden elde edilir. Çok bilinci ortadan kaldırmak için, değerler aralığı monotonna işlevinin hangi aralığı sınırlandırır. Böyle bir tanım arkkosinusun ana değeri olarak adlandırılır.
Parite
Arksinus işlevi garip:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin Arcsin x) \u003d arcsin (günah (-arcsin x)) \u003d - Arcsin X.
Arcowinus'un işlevi bile ya da tek değildir:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arcCOS (COS (π-arccos x)) \u003d π - Arccos X ≠ ± Arccos x
Özellikler - uçlar, artan, silahsızlandırma
Arksinus ve Arkskosinus'un fonksiyonları, tanım alanlarında süreklidir (bkz. Süreklilik kanıtı). Arksinus ve Arkkosinusun ana özellikleri masada sunulmaktadır.
| y \u003d. arcsin X. | y \u003d. arccos X. | |
| Tanım ve Süreklilik Alanı | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Değerlerin bölgesi | ||
| Artan azalan | Monotonca artış | Monotonca azalma |
| Maksimum | ||
| Minima | ||
| Zeros, y \u003d 0 | x \u003d. 0 | x \u003d. 1 |
| Koruyucu eksen ile kesişme noktası, x \u003d 0 | y \u003d. 0 | y \u003d π / 2 |
Arksinuses ve Arkkosinusov'un Tablosu
Bu tablo, ArcSinuses ve Arcsinuses'in değerlerini, derecelerde ve radyan cinsinden, argümanın bazı değerleri ile gösterir.
| X. | arcsin X. | arccos X. | ||
| Grad. | memnun. | Grad. | memnun. | |
| - 1 | - 90 ° | - | 180 ° | π |
| - | - 60 ° | - | 150 ° | |
| - | - 45 ° | - | 135 ° | |
| - | - 30 ° | - | 120 ° | |
| 0 | 0° | 0 | 90 ° | |
| 30 ° | 60 ° | |||
| 45 ° | 45 ° | |||
| 60 ° | 30 ° | |||
| 1 | 90 ° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formüller
Ayrıca bakınız: Ters trigonometrik fonksiyonların formüllerinin çıktısıToplamın ve farkın formülleri
ya
I'de
I'de
ya
I'de
I'de
için
için
için
için
Logaritma, karmaşık sayılarla ifadeler
Ayrıca bakınız: Formüllerin sonucuHiperbolik fonksiyonlarla ifadeler
Türevler
;
.
Arksinus ve Arkkosinus Türevlerinin Türevlerine Bakın \u003e\u003e\u003e
Yüksek Siparişlerin Türevleri:
,
bir polinom derecesi nerede. Formüller tarafından belirlenir:
;
;
.
Arksinus ve Arkkosinus'un en yüksek emirlerinin türevlerini görün \u003e\u003e\u003e
İntegraller
Değiştirmeyi x \u003d sIN T.. -2 / tanıtımın verdiği parçaları entegre ediyoruz 2 ≤ t ≤ π / 2,
cos t ≥ 0:
.
Arkkosinus'u Arksinus ile ifade eder:
.
Bir sayıdaki ayrışma
İle | x |< 1
Aşağıdaki ayrışma gerçekleşir:
;
.
Ters fonksiyonlar
Arkkosinus'a dönüş, sırasıyla sinüs ve kosinüs.
Aşağıdaki formüller tüm tanım alanı boyunca geçerlidir:
günah (artcsin x) \u003d x
cos (ardcos x) \u003d x .
Aşağıdaki formüller yalnızca ARCSINUS ve ARCSINUS değerleri kümesinde geçerlidir:
arcsin (SIN X) \u003d x için
arccos (cos x) \u003d x AT.
Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve Katılımcıların Öğrencileri, "LAN", 2009 için matematik hakkında bir referans kitabı.
