Etrafımızdaki fraktallar. Fraktallar dünyasında: Çevremizdeki fraktallar Gerçek dünyadaki çalışma nesnesindeki fraktallar

Stavropol bölgesel açık bilimsel okul çocukları konferansı

Bölüm: matematik

İş ismi:Pratik uygulama için fraktal modellerin özelliklerinin incelenmesi

9614524388, vkel [e-posta korumalı] posta . tr

İş yeri : st Grigoropolisskaya

MOU orta okulu No. 2, 8. sınıf.

Süpervizör: Kuznetsova Elena

Ivanovna, matematik ve bilgisayar bilimi öğretmeni

MOU orta okulu No. 2

Sanat. Grigoropolisskaya, 2018

Giriş____________________________________________________3-4s.

Bölüm 1. Fraktalların ortaya çıkış tarihi.

Bölüm 2. Fraktalların sınıflandırılması.____________6-10pp.

geometrik fraktallar

cebirsel fraktallar

stokastik fraktallar

Bölüm 3. "Doğanın Fraktal geometrisi" _________________________________ 11-13s.

Bölüm 4. Fraktalların Uygulanması

Bölüm 5 Pratik çalışma ______________________________ 16-24p.

Sonuç ______________________________________________________________25.sayfa

Referans listesi ve İnternet kaynakları ____________________________________ 26 s.

Tanıtım

Düzgün bir şekilde bakıldığında matematik sadece gerçeği değil, aynı zamanda eşsiz güzelliği de yansıtır.

Bertrand Russell

"Fractal" kelimesi, bugünlerde bilim adamlarından öğrencilere kadar birçok insanın hakkında konuştuğu bir şey. lise. Birçok matematik ders kitabının, bilimsel derginin ve bilgisayar yazılım kutularının kapağında yer alır. Fraktalların renkli görüntüleri bugün her yerde bulunabilir: kartpostallardan, tişörtlerden kişisel bilgisayarın masaüstündeki resimlere kadar. Peki, etrafımızda gördüğümüz bu renkli şekiller neler?

Matematik en eski bilimdir. Çoğu insan doğadaki geometrinin çizgi, daire, çokgen, küre vb. gibi basit şekillerle sınırlı olduğunu düşünüyordu. Anlaşıldığı üzere, birçok doğal sistem o kadar karmaşıktır ki, onları modellemek için yalnızca sıradan geometrinin tanıdık nesnelerini kullanmak umutsuz görünmektedir. Örneğin, geometri açısından bir dağ silsilesi veya ağaç tacı modeli nasıl oluşturulur? Bitkiler ve hayvanlar dünyasında gözlemlediğimiz biyolojik çeşitlilik çeşitliliğini nasıl tarif edebiliriz? Birçok kılcal damar ve damardan oluşan ve insan vücudunun her hücresine kan sağlayan dolaşım sisteminin tüm karmaşıklığını nasıl hayal edebilirsiniz? Yapısında dallı bir taç ile ağaçlara benzeyen akciğerlerin ve böbreklerin yapısını hayal edin?

Fraktallar, sorulan soruları keşfetmek için uygun bir araçtır. Çoğu zaman doğada gördüğümüz şey, aynı kalıbın birkaç kez büyütülmüş veya küçültülmüş sonsuz tekrarı ile ilgimizi çeker. Örneğin, bir ağacın dalları vardır. Bu dalların daha küçük dalları vardır, vb. Teorik olarak, "çatal" öğesi sonsuz sayıda tekrar eder, küçülür ve küçülür. Aynı şey fotoğrafa bakıldığında da görülüyor. Dağlık arazi. Sıradağları biraz yakınlaştırmayı deneyin --- dağları tekrar göreceksiniz. Fraktalların özellik özelliği bu şekilde kendini gösterir.kendine benzerlik.

Birçok kaolog (fraktallar ve kaos üzerinde çalışan bilim adamları) için bu sadece matematik, teorik fizik, sanat ve bilgisayar teknolojisini birleştiren yeni bir bilgi alanı değildir - bu bir devrimdir. Bu, yeni bir geometri türünün, çevremizdeki dünyayı tanımlayan ve sadece ders kitaplarında değil, aynı zamanda doğada ve sınırsız evrende her yerde görülebilen geometrinin keşfidir..

Ben de işimde güzellik dünyasına “dokunmaya” karar verdim ve kendime karar verdim…

Amaç: doğaya çok benzeyen nesneler yaratmak.

Araştırma Yöntemleri Anahtar Kelimeler: karşılaştırmalı analiz, sentez, modelleme.

Görevler:

B. Mandelbrot, G. Koch, V. Sierpinsky ve diğerlerinin kavramı, oluşum tarihi ve araştırması ile tanışma;

tanışmak çeşitli tipler fraktal kümeler;

popüler bilim literatürünün incelenmesi bu konu, tanışma

bilimsel hipotezler;

çevreleyen dünyanın fraktalite teorisinin onayını bulmak;

fraktalların diğer bilimlerde ve pratikte kullanımının incelenmesi;

kendi fraktal görüntülerinizi oluşturmak için bir deney yapmak.

İşin temel sorusu:

Matematiğin kuru, ruhsuz bir konu olmadığını, bireyin ruhsal dünyasını bireysel ve bir bütün olarak toplum içinde ifade edebileceğini gösterin.

Çalışma konusu: Fraktal geometri.

Çalışmanın amacı: matematikte ve içinde fraktallar gerçek dünya.

Hipotez: Gerçek dünyada var olan her şey bir fraktaldır.

Araştırma Yöntemleri: analitik, arama.

alaka Bildirilen konunun, her şeyden önce, araştırma konusu olan fraktal geometri tarafından belirlenir.

Beklenen sonuçlar:Çalışma sırasında matematik alanındaki bilgilerimi genişletebileceğim, fraktal geometrinin güzelliğini görebileceğim ve kendi fraktallarımı yaratmaya başlayacağım.

Çalışmanın sonucu bir bilgisayar sunumu, bir bülten ve bir kitapçık oluşturulması olacaktır.

Bölüm 1

B Enua Mandelbrot

Fraktal terimi, Benoit Mandelbrot tarafından icat edildi. Kelime, "kırılmış, parçalanmış" anlamına gelen Latince "fraktus" dan gelir.

Fraktal (lat. fraktus - ezilmiş, kırılmış, kırılmış) - karmaşık anlamına gelen bir terim geometrik şekil kendine benzerlik özelliğine sahip olan, yani her biri bir bütün olarak tüm şekle benzeyen birkaç parçadan oluşur.

Bahsettiği matematiksel nesneler, son derece ilginç özelliklerle karakterize edilir. Sıradan geometride, bir çizginin bir boyutu vardır, bir yüzeyin iki boyutu vardır ve bir uzaysal şekil üç boyutludur. Fraktallar ise çizgiler veya yüzeyler değil, hayal edebiliyorsanız, arada bir şeydir. Boyutta bir artışla, fraktalın hacmi de artar, ancak boyutu (üs) bir tam sayı değil, kesirli bir değerdir ve bu nedenle fraktal şeklin sınırı bir çizgi değildir: yüksek büyütmede netleşir bulanık olduğunu ve şeklin kendisinin küçük ölçeğinde tekrar eden spiraller ve buklelerden oluştuğunu. Bu tür geometrik düzenliliğe ölçek değişmezliği veya kendi kendine benzerlik denir. Fraktal figürlerin kesirli boyutunu belirleyen odur.

Özyinelemeli (veya fraktal) geometri Öklid'in yerini alıyor. Yeni bilim, cisimlerin ve fenomenlerin gerçek doğasını tanımlama yeteneğine sahiptir. Öklid geometrisi yalnızca üç boyuta ait yapay, hayali nesnelerle ilgilenirdi. Sadece dördüncü boyut onları gerçeğe dönüştürebilir.

Temel olarak, fraktallar üç gruba ayrılır:

cebirsel fraktallar

stokastik fraktallar

geometrik fraktallar

Her birine daha yakından bakalım.

Bölüm 2. Fraktalların sınıflandırılması. geometrik fraktallar

Benoit Mandelbrot, şimdiden bir klasik haline gelen ve hem fraktalın kendisinin tipik bir örneğini göstermek hem de araştırmacıları, sanatçıları ve sadece ilgilenen insanları cezbeden fraktalların güzelliğini göstermek için sıklıkla kullanılan bir fraktal model önerdi.

Fraktalların tarihi onlarla birlikte başladı. Bu tür fraktallar basit geometrik yapılarla elde edilir. Genellikle, bu fraktalları oluştururken, kişi şu şekilde ilerler: bir "tohum" alınır - bir aksiyom - fraktalın inşa edileceği bir dizi segment. Ayrıca, bu "tohum"a, onu bir geometrik şekle dönüştüren bir dizi kural uygulanır. Ayrıca, bu şeklin her bir parçasına aynı kurallar dizisi tekrar uygulanır. Her adımda, şekil giderek daha karmaşık hale gelecek ve (en azından zihinde) sonsuz sayıda dönüşüm gerçekleştirirsek, geometrik bir fraktal elde edeceğiz.

Bu sınıfın fraktalları en görsel olanlardır, çünkü herhangi bir gözlem ölçeğinde hemen görünür öz-benzerliktirler. İki boyutlu durumda, bu tür fraktallar, üreteç adı verilen bazı kesikli çizgiler belirtilerek elde edilebilir. Algoritmanın bir adımında, kesik çizgiyi oluşturan segmentlerin her biri, uygun ölçekte bir kesik çizgi oluşturucu ile değiştirilir. Bu prosedürün sonsuz tekrarı sonucunda (veya daha doğrusu sınıra geçerken) bir fraktal eğri elde edilir. Ortaya çıkan eğrinin görünen karmaşıklığı ile, genel biçimi yalnızca üretecin şekli tarafından verilir. Bu tür eğrilerin örnekleri şunlardır: Koch eğrisi (Şekil 7), Peano eğrisi (Şekil 8), Minkowski eğrisi.

Araştırmacı M. Brown, sudaki asılı parçacıkların yörüngesini çizdi ve bu fenomeni şu şekilde açıkladı: rastgele hareket eden sıvı atomları, asılı parçacıklara çarparak onları harekete geçirdi. Brownian hareketinin böyle bir açıklamasından sonra, bilim adamları Brownian parçacıklarının hareketini en iyi gösterecek bir eğri bulma görevi ile karşı karşıya kaldılar. Bunu yapmak için eğrinin aşağıdaki özellikleri karşılaması gerekiyordu: herhangi bir noktada teğet olmaması. Matematikçi Koch böyle bir eğri önerdi.

İle Koch eğrisi tipik bir geometrik fraktaldır. Yapılış süreci şu şekildedir: tek bir parça alıyoruz, onu üç eşit parçaya bölüyoruz ve ortadaki aralığı bu parça olmadan bir eşkenar üçgenle değiştiriyoruz. Sonuç olarak, 1/3 uzunluğunda dört bağlantıdan oluşan kesik bir çizgi oluşur. Bir sonraki adımda, ortaya çıkan dört bağlantının her biri için işlemi tekrarlıyoruz, vb.

limit eğrisi Koch eğrisi.

Kar tanesi Koch. Bir eşkenar üçgenin kenarlarında benzer bir dönüşüm gerçekleştirerek, bir Koch kar tanesinin fraktal görüntüsünü elde edebilirsiniz.

T
Geometrik fraktalın bir başka basit temsilcisi Sierpinski meydanı. Oldukça basit bir şekilde inşa edilmiştir: Kare, kenarlarına paralel düz çizgilerle 9 eşit kareye bölünmüştür. Merkez kare kareden çıkarılır. "Birinci sıranın" kalan 8 karesinden oluşan bir set ortaya çıkıyor. Birinci sıradaki karelerin her biri ile aynı şeyi yaparak, ikinci sıradaki 64 kareden oluşan bir küme elde ederiz. Bu işlemi süresiz olarak sürdürerek sonsuz bir dizi veya Sierpinski karesi elde ederiz.

cebirsel fraktallar

E Bu en büyük fraktal grubudur. Cebirsel fraktallar, basit cebirsel formüller kullanılarak oluşturuldukları için isimlerini aldılar.

Doğrusal olmayan işlemler kullanılarak elde edilirler. n-boyutlu uzaylar. lineer olmadığı bilinmektedir. dinamik sistemler birden fazla kararlı duruma sahiptir. Dinamik sistemin belirli sayıda yinelemeden sonra kendini bulduğu durum, başlangıç ​​durumuna bağlıdır. Bu nedenle, her kararlı durum (veya dedikleri gibi, bir çekici), sistemin mutlaka dikkate alınan son durumlara düşeceği belirli bir başlangıç ​​​​durumu alanına sahiptir. Matematikçiler için bir sürpriz, ilkel algoritmalar kullanarak çok karmaşık yapılar üretme yeteneğiydi.

AT Örnek olarak Mandelbrot kümesini ele alalım. Karmaşık sayılar kullanılarak oluşturulmuştur.

Mandelbrot kümesinin sınırının bir kısmı, 200 kez büyütülmüş.

Mandelbrot seti, sırasındaki noktaları içerir.sonsuz yineleme sayısı sonsuza gitmez (siyah noktalar). Kümenin sınırına ait noktalar(karmaşık yapıların ortaya çıktığı yer burasıdır) sonlu sayıda yinelemede sonsuza gider ve kümenin dışında kalan noktalar birkaç yinelemeden sonra (beyaz arka plan) sonsuza gider.

P



Başka bir cebirsel fraktal örneği Julia kümesidir.Bu fraktalın 2 çeşidi vardır.Şaşırtıcı bir şekilde, Julia kümeleri, Mandelbrot kümesiyle aynı formüle göre oluşturulmuştur. Julia seti, Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından icat edildi ve sete adını verdi.

Ve
ilginç gerçek , bazı cebirsel fraktallar, hayvanların, bitkilerin ve diğer biyolojik nesnelerin görüntülerine çarpıcı bir şekilde benzemektedir ve bunun sonucunda bunlara biyomorf adı verilmektedir.

stokastik fraktallar

Diğer bir iyi bilinen fraktal sınıfı, parametrelerinden herhangi biri yinelemeli bir süreçte rastgele değiştirilirse elde edilen stokastik fraktallardır. Bu, doğal nesnelere çok benzeyen nesnelerle sonuçlanır - asimetrik ağaçlar, girintili kıyı şeritleri vb.

Bu fraktal grubunun tipik bir temsilcisi "plazma" dır.

D

Oluşturmak için bir dikdörtgen alınır ve her köşesi için bir renk belirlenir. Daha sonra, dikdörtgenin merkez noktası bulunur ve dikdörtgenin köşelerindeki renklerin aritmetik ortalamasına ve rastgele bir sayıya eşit bir renge boyanır. Rastgele sayı ne kadar büyük olursa, resim o kadar "yırtılır".Bu fraktata bir bölümde bakarsanız, o zaman bu fraktalın hacimli olduğunu ve bir “pürüzlülüğe” sahip olduğunu göreceğiz, sırf bu “pürüzlülük” nedeniyle bu fraktalın çok önemli bir uygulaması var.

Diyelim ki bir dağın şeklini tanımlamak istiyorsunuz. Öklid geometrisinden elde edilen sıradan rakamlar, yüzey topografyasını hesaba katmadıkları için burada yardımcı olmayacaktır. Ancak geleneksel geometriyi fraktal geometriyle birleştirirken, dağın "pürüzlülüğünü" elde edebilirsiniz.

Şimdi geometrik fraktallardan bahsedelim..

Bölüm 3 "Doğanın Fraktal Geometrisi"

"Geometriye neden sıklıkla 'soğuk' ve 'kuru' denir? Bunun bir nedeni, bir bulutun, dağın, kıyı şeridinin veya ağacın şeklini betimleyememesidir." (Benoit Mandelbrot "Doğanın Fraktal Geometrisi" ).

İle Fraktalların güzelliği iki yönlüdür: Peitgen ve Richter liderliğindeki bir grup Bremen matematikçisi tarafından düzenlenen, en azından dünya çapındaki fraktal görüntüler sergisinin kanıtladığı gibi, göze hoş gelir. Daha sonra, bu görkemli serginin sergileri, aynı yazarlar tarafından "Fractalların Güzelliği" kitabının illüstrasyonlarında ele geçirildi.

Gerçek dünyaya karşılık gelince, fraktal geometri çok geniş bir doğal süreç ve fenomen sınıfını tanımlar ve bu nedenle B. Mandelbrot'u izleyerek haklı olarak doğanın fraktal geometrisinden bahsedebiliriz. Yeni - fraktal nesnelerin olağandışı özellikleri vardır. Bazı fraktalların uzunlukları, alanları ve hacimleri sıfıra eşittir, bazıları ise sonsuza döner.

Doğa genellikle mükemmel geometri ve hayranlıktan donup kalacağınız bir uyumla şaşırtıcı ve güzel fraktallar yaratır. Ve işte onların örnekleri:

deniz kabukları

Yıldırım güzelliklerine hayran. Yıldırımın yarattığı fraktallar rastgele veya düzenli değildir.

fraktal şekil karnabahar alt türleri(Brassica karnabahar). Bu özel tür, özellikle simetrik bir fraktaldır.

P eğreltiotu ayrıca flora arasında bir fraktalın güzel bir örneğidir.

tavus kuşu herkes, içinde katı fraktalların saklandığı renkli tüyleriyle tanınır.

Buz, don desenleri pencerelerde bunlar da fraktallar

Ö
t büyütülmüş resim broşür, önceki Ağaç dalları- her şeyde fraktallar bulabilirsiniz

Fraktallar, çevremizdeki doğada her yerde ve her yerdedir. Tüm evren, matematiksel hassasiyetle şaşırtıcı derecede uyumlu yasalara göre inşa edilmiştir. Bundan sonra gezegenimizin rastgele bir parçacık kümesi olduğunu düşünmek mümkün mü? Zorlu.

Bölüm 4

Fraktallar bilimde giderek daha fazla uygulama buluyor. Bunun temel nedeni, gerçek dünyayı bazen geleneksel fizik veya matematikten bile daha iyi tanımlamalarıdır. İşte bazı örnekler:

Ö
fraktalların en güçlü uygulamalarının günleri bilgisayar grafikleri. Bu, görüntülerin fraktal sıkıştırmasıdır.

mekanik ve fizikte Fraktallar, birçok doğal nesnenin ana hatlarını tekrarlama özelliğinden dolayı kullanılır. Fraktallar, ağaçları, dağ yüzeylerini ve çatlakları, çizgi segmentleri veya çokgenler (aynı miktarda depolanmış veri ile) ile yapılan yaklaşımlardan daha yüksek doğrulukla tahmin etmenize olanak tanır.

T
Fraktal geometri de kullanılır anten cihazlarının tasarımı. Bu, ilk olarak, daha sonra binalara harici anten kurulumunun yasak olduğu Boston'un merkezinde yaşayan Amerikalı mühendis Nathan Cohen tarafından kullanıldı. Fraktalların kullanımı hakkında da birçok hipotez vardır - örneğin, lenfatik ve dolaşım sistemleri, akciğerler ve çok daha fazlası fraktal özelliklere sahiptir.

Bölüm 5. Pratik çalışma.

İlk olarak, "Kolye", "Zafer" ve "Kare" fraktallarına odaklanalım.

Birinci - "Kolye"(Şek. 7). Daire, bu fraktalın başlatıcısıdır. Bu daire belirli sayıda aynı daireden oluşur, ancak daha küçük boyutlardadır ve kendisi aynı olan ancak daha büyük boyutlarda olan birkaç daireden biridir. Yani eğitim süreci sonsuzdur ve hem bir yönde hem de ters yönde gerçekleştirilebilir.

İkinci fraktal ise "Zafer"(Şek. 8). Bu ismi aldı çünkü Latince “V” harfine, yani “zafer”-zafere benziyor. Bu fraktal, büyük bir "V" oluşturan belirli sayıda küçük "v" den oluşur ve küçüklerin yerleştirildiği sol yarıda, sol yarıları bir düz çizgi oluşturacak şekilde sağ kısım inşa edilir. aynı şekilde. Bu "v"lerin her biri aynı şekilde inşa edilir ve bunu sonsuza kadar devam ettirir.

Üçüncü fraktal ise "Kare" (Şek. 9). Kenarlarının her biri, kenarları aynı zamanda hücre sıralarını temsil eden kareler şeklinde bir hücre dizisinden oluşur ve bu böyle devam eder.

Fraktal "Gül" (Şekil 10), bu çiçeğe dış benzerlik nedeniyle. Her daireye, bir kenarı etrafındaki dairenin yarıçapına eşit olan düzenli bir altıgen yazılmıştır.

Ardından, köşegenlerini çizdiğimiz normal beşgene dönüyoruz. Ardından, karşılık gelen bölümlerin kesişiminde elde edilen beşgende tekrar köşegenler çiziyoruz. Bu işlemi sonsuza kadar sürdürelim ve "Pentagram" fraktalını alalım (Şekil 12).

Deney No. 1 "Ağaç"

Artık bir fraktalın ne olduğunu ve nasıl oluşturulacağını anladığıma göre, kendi fraktal görüntülerimi yaratmaya çalıştım.

Başlangıç ​​olarak, 600'e 600 çözünürlükte gelecekteki fraktalimiz için bir arka plan oluşturdum. Sonra bu arka plana 3 çizgi çizdim - gelecekteki fraktalimizin temeli.

Böylece, tam teşekküllü bir fraktal aldım! Bu fraktalın temeli, araştırma çalışmasının başında bahsettiğim ilk üç satırdır.

Fraktal özelliği, ana Noel ağacının kenarlarındaki mini Noel ağaçlarıdır, küçük Noel ağaçlarının da kendi küçük Noel ağaçları vardır ve bu sonsuza kadar sürer. Bu sefer keyfi çizgiler çizeceğiz - gelecekteki fraktalımızın temeli.

P
Daha fazla tekrardan sonra, çok güzel bir Noel ağacı elde edersiniz!

2. Deney

P
PascalABC ortamında özyineleme yöntemini kullanarak fraktallar oluşturmak.

Pisagor ağacı, "Pisagor Pantolonu" olarak bilinen bir figüre dayanan bir tür fraktaldır. Klasik Pisagor ağacında açı 45 derece ise, diğer açıları kullanarak genelleştirilmiş bir Pisagor ağacı oluşturmak da mümkündür. Böyle bir ağaca genellikle rüzgarla savrulan Pisagor ağacı denir.

Yalnızca üçgenlerin seçilen "merkezlerini" bir şekilde bağlayan bölümleri temsil edersek, çıplak bir Pisagor ağacı elde ederiz. Yukarıda açıklanan prosedürleri tek bir programda birleştirerek fraktal bir manzara elde ettim.

Çözüm

Bu çalışma fraktallar dünyasına bir giriş niteliğindedir. Fraktalların ne olduğunu, hangi ilkelere dayanarak oluşturduklarının yalnızca en küçük kısmını düşündüm.

Fraktal grafikler sadece kendi kendini tekrar eden bir dizi görüntü değil, herhangi bir varlığın yapısının ve ilkesinin bir modelidir. Tüm hayatımız fraktallarla temsil edilir. Çevremizdeki tüm doğa onlardan oluşur. Fraktalların bilgisayar oyunlarında yaygın olarak kullanıldığı, fraktalların yardımıyla birçok özel efekt, çeşitli muhteşem ve inanılmaz resimler vb. Oluşturulduğuna dikkat edilmelidir. Ayrıca fraktal geometri yardımıyla ağaçlar, bulutlar, kıyılar ve diğer tüm doğa çizilir. Fraktal grafiklere her yerde ihtiyaç duyulur ve "fraktal teknolojilerin" geliştirilmesi günümüzün en önemli görevlerinden biridir.

Gelecekte, daha detaylı çalıştığımda cebirsel fraktalların nasıl oluşturulacağını öğrenmeyi planlıyorum. Karışık sayılar. Ayrıca fraktal imajımı döngüleri kullanarak Pascal programlama dilinde oluşturmaya çalışmak istiyorum.

Bir bilgisayar ekranında güzel görüntüler oluşturmaya ek olarak, bilgisayar teknolojisinde fraktalların kullanımına dikkat edilmelidir. Bilgisayar teknolojisindeki fraktallar aşağıdaki alanlarda kullanılır:

1. Görüntüleri ve bilgileri sıkıştırın

2. Görüntüde, seste bilgi gizleme, ...

3. Fraktal algoritmalar kullanarak veri şifreleme

4. Fraktal müzik yaratmak

5. Sistem modelleme

Çalışmamda, fraktal teorisinin uygulamasını bulduğu insan bilgisinin tüm alanları verilmez. Sadece teorinin ortaya çıkışından bu yana üçte bir asırdan fazla bir zaman geçmediğini söylemek istiyorum, ancak bu süre zarfında birçok araştırmacı için fraktallar, şimdiye kadar bilinmeyen gerçekleri ve belirli kalıpları aydınlatan gecede aniden parlak bir ışık haline geldi. veri alanları. Fraktallar teorisi yardımıyla galaksilerin evrimini ve hücrenin gelişimini, dağların ortaya çıkışını ve bulutların oluşumunu açıklamaya başladılar. Bu çalışmayı hazırlarken, TEORİ'nin UYGULAMA içindeki uygulamalarını bulmak bizim için çok ilginçti. Çünkü çoğu zaman teorik bilginin hayatın gerçeklerinden ayrı olduğu hissi vardır.

Fraktal bilimi hala çok genç ve önünde harika bir gelecek var. Fraktalların güzelliği tükenmekten uzaktır ve bize hâlâ birçok şaheser verecektir - göze hoş gelenler ve akla gerçek zevk getirenler.

10. Referanslar

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktallar ve multifraktallar. 2001 .

Vitolin D. Fraktalların bilgisayar grafiklerinde kullanımı. // Computerworld-Rusya.-1995

Mandelbrot B. Kendine yakın fraktal kümeler, "Fizikte Fraktallar". M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Doğanın fraktal geometrisi. - M.: "Bilgisayar Araştırma Enstitüsü", 2002.

Morozov A.D. Fraktallar teorisine giriş. Nizhny Novgorod: Nizhegorod Yayınevi. üniversite 1999

Paytgen H.-O., Richter P. H. Fraktalların güzelliği. - M.: "Mir", 1993.

İnternet kaynakları

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Ek

pilav. 7. Fraktal "Kolye" Fig.8. Fraktal "Zafer"

Şekil 9. Fraktal "Kare" 10. Fraktal "Gül"

Pirinç. 12. Fraktal "Pentagram" fraktal "Kara Delik"

Fraktallar neredeyse bir asırdır biliniyor, iyi çalışılıyor ve hayatta sayısız uygulamaları var. Bununla birlikte, bu fenomen çok basit bir fikre dayanmaktadır: sadece iki işlem kullanılarak - kopyalama ve ölçekleme - nispeten basit yapılardan güzellik ve çeşitlilikte sonsuz sayıda figür elde edilebilir.

Evgeny Epifanov

Bir ağaç, bir deniz kıyısı, bir bulut veya elimizdeki kan damarlarının ortak noktası nedir? İlk bakışta, tüm bu nesnelerin ortak hiçbir yanı yokmuş gibi görünebilir. Bununla birlikte, aslında, listelenen tüm nesnelerde bulunan yapının bir özelliği vardır: kendilerine benzerler. Daldan ve bir ağacın gövdesinden, onlardan daha küçük süreçler ayrılır - hatta daha küçük olanlar, vb., yani bir dal tüm ağaca benzer. Dolaşım sistemi benzer şekilde düzenlenmiştir: arteriyoller arterlerden ayrılır ve onlardan oksijenin organlara ve dokulara girdiği en küçük kılcal damarlar. Deniz kıyısının uydu görüntülerine bakalım: koyları ve yarımadaları göreceğiz; bir de kuşbakışı bakalım: koylar ve burunlar göreceğiz; şimdi kumsalda durduğumuzu ve ayaklarımıza baktığımızı hayal edin: her zaman suya diğerlerinden daha fazla çıkıntı yapan çakıl taşları olacaktır. Yani yakınlaştırıldığında kıyı şeridi kendisine benzer kalıyor. Amerikalı matematikçi Benoit Mandelbrot (Fransa'da yetiştirilmiş olsa da) nesnelerin bu özelliğini fraktalite olarak adlandırdı ve bu tür nesnelerin kendileri - fraktallar (Latin fraktusundan - kırık).

Bu kavramın kesin bir tanımı yoktur. Bu nedenle "fraktal" kelimesi matematiksel bir terim değildir. Genellikle, bir fraktal, aşağıdaki özelliklerden bir veya daha fazlasını karşılayan geometrik bir şekildir: Herhangi bir büyütmede karmaşık bir yapıya sahiptir (örneğin, herhangi bir kısmı en basit geometrik şekil olan düz bir çizginin aksine - bir segment). (Yaklaşık olarak) kendine benzer. Topolojik olandan daha büyük olan kesirli bir Hausdorff (fraktal) boyutuna sahiptir. Özyinelemeli prosedürlerle oluşturulabilir.

Geometri ve Cebir

19. ve 20. yüzyılların başında fraktalların incelenmesi sistematik olmaktan çok epizodikti, çünkü daha önceki matematikçiler esas olarak, kullanılarak incelenebilecek “iyi” nesneler üzerinde çalıştılar. yaygın yöntemler ve teoriler. 1872'de Alman matematikçi Karl Weierstrass, hiçbir yerde türevlenemeyen sürekli bir fonksiyon örneği oluşturur. Ancak, yapısı tamamen soyuttu ve anlaşılması zordu. Bu nedenle, 1904'te İsveçli Helge von Koch, hiçbir yerde teğeti olmayan sürekli bir eğri buldu ve onu çizmek oldukça basit. Bir fraktalın özelliklerine sahip olduğu ortaya çıktı. Bu eğrinin bir varyasyonu Koch kar tanesi olarak adlandırılır.

Figürlerin kendi kendine benzerlik fikirleri, Benoit Mandelbrot'un gelecekteki akıl hocası Fransız Paul Pierre Levy tarafından alındı. 1938'de, başka bir fraktalın tanımlandığı “Düzlem ve Uzamsal Eğriler ve Bütüne Benzer Parçalardan Oluşan Yüzeyler” adlı makalesi yayınlandı - Lévy C-eğrisi. Yukarıda listelenen tüm bu fraktallar, şartlı olarak bir yapıcı (geometrik) fraktal sınıfına bağlanabilir.

Başka bir sınıf, Mandelbrot kümesini içeren dinamik (cebirsel) fraktallardır. Bu yöndeki ilk araştırmalar 20. yüzyılın başında başlamış ve Fransız matematikçi Gaston Julia ve Pierre Fatou'nun isimleriyle ilişkilendirilmiştir. 1918'de Julia, karmaşık olayların yinelemelerine adanmış neredeyse iki yüz sayfa anı yayınladı. rasyonel fonksiyonlar Mandelbrot kümesiyle yakından ilişkili bütün bir fraktal ailesi olan Julia kümelerini tanımlayan . Bu eser Fransız Akademisi ödülüne layık görüldü, ancak tek bir illüstrasyon içermediği için keşfedilen nesnelerin güzelliğini takdir etmek imkansızdı. Bu çalışmanın Julia'yı zamanın matematikçileri arasında ünlü yapmasına rağmen, çabucak unutuldu. Yine, dikkatler ancak yarım yüzyıl sonra bilgisayarların ortaya çıkmasıyla çevrildi: fraktallar dünyasının zenginliğini ve güzelliğini görünür kılan onlardı.

fraktal boyutlar

Bildiğiniz gibi bir geometrik şeklin boyutu (ölçü sayısı), bu şekil üzerinde bulunan bir noktanın konumunu belirlemek için gerekli olan koordinat sayısıdır.
Örneğin, bir eğri üzerindeki bir noktanın konumu bir koordinatla, bir yüzeyde (mutlaka bir düzlem değil) iki koordinatla, üç boyutlu uzayda üç koordinatla belirlenir.
Daha genel bir matematiksel bakış açısından, boyut şu şekilde tanımlanabilir: tek boyutlu (topolojik bir bakış açısından) nesneler (segment) için doğrusal boyutlardaki bir artış, diyelim ki iki kez, boyutta (uzunluk) bir artışa yol açar. ) iki faktörlü, iki boyutlu (kare ) için doğrusal boyutlardaki aynı artış, boyutta (alan) 4 kat, üç boyutlu (küp) - 8 kat artışa yol açar. Yani, "gerçek" (hausdorff olarak adlandırılan) boyut, bir nesnenin "boyutundaki" artışın logaritmasının, doğrusal boyutundaki artışın logaritmasına oranı olarak hesaplanabilir. Yani, bir segment için D=log (2)/log (2)=1, bir düzlem için D=log (4)/log (2)=2, bir hacim için D=log (8)/log (2 )=3.
Şimdi, birim segmentin üç eşit parçaya bölündüğü ve orta aralığın bu segment olmadan bir eşkenar üçgen ile değiştirildiği yapı için Koch eğrisinin boyutunu hesaplayalım. Minimum segmentin lineer boyutlarında üç kat artışla, Koch eğrisinin uzunluğu log (4) / log (3) ~ 1.26'da artar. Yani, Koch eğrisinin boyutu kesirlidir!

Bilim ve sanat

1982'de Mandelbrot'un, yazarın o sırada mevcut olan fraktallar hakkında neredeyse tüm bilgileri toplayıp sistematize ettiği ve kolay ve erişilebilir bir şekilde sunduğu "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabı yayınlandı. Mandelbrot sunumunda ana vurguyu hantal formüller ve matematiksel yapılar üzerinde değil, okuyucuların geometrik sezgileri üzerinde yaptı. Yazarın monografın bilimsel bileşenini ustaca seyrelttiği bilgisayar tarafından oluşturulan çizimler ve tarihi hikayeler sayesinde kitap en çok satanlar haline geldi ve fraktallar halk tarafından bilinir hale geldi. Matematikçi olmayanlar arasındaki başarıları, büyük ölçüde, bir lise öğrencisinin bile anlayabileceği çok basit yapılar ve formüllerin yardımıyla, şaşırtıcı karmaşıklık ve güzellikteki görüntülerin elde edilmesinden kaynaklanmaktadır. Kişisel bilgisayarlar yeterince güçlü hale geldiğinde, sanatta bütün bir eğilim bile ortaya çıktı - fraktal resim ve hemen hemen her bilgisayar sahibi bunu yapabilirdi. Artık internette bu konuya adanmış birçok siteyi kolayca bulabilirsiniz.

Koch eğrisini elde etme şeması

Savaş ve Barış

Yukarıda belirtildiği gibi, fraktal özelliklere sahip doğal nesnelerden biri kıyı şerididir. Onunla veya daha doğrusu, uzunluğunu ölçme girişimi ile, temelini oluşturan ilginç bir hikaye bağlanır. bilimsel makale Mandelbrot ve ayrıca "Doğanın Fraktal Geometrisi" adlı kitabında da tanımladı. Çok yetenekli ve eksantrik bir matematikçi, fizikçi ve meteorolog olan Lewis Richardson tarafından kurulan bir deneyden bahsediyoruz. Araştırmasının yönlerinden biri, iki ülke arasında silahlı bir çatışmanın nedenleri ve olasılığının matematiksel bir tanımını bulma girişimiydi. Hesaba kattığı parametreler arasında iki savaşan ülke arasındaki ortak sınırın uzunluğu da vardı. Sayısal deneyler için veri toplarken, farklı kaynaklarda ortak sınırİspanya ve Portekiz çok farklı. Bu onu şu keşfe götürdü: ülkenin sınırlarının uzunluğu, onları ölçtüğümüz cetvele bağlıdır. Ölçek ne kadar küçük olursa, kenarlık o kadar uzun olur. Bunun nedeni, daha yüksek büyütmede, ölçümlerin pürüzlülüğü nedeniyle daha önce göz ardı edilen kıyı kıvrımlarının giderek daha fazla dikkate alınmasının mümkün hale gelmesidir. Ve her yakınlaştırma ile daha önce hesaplanmamış çizgi kıvrımları açılırsa, o zaman sınırların uzunluğunun sonsuz olduğu ortaya çıkar! Doğru, aslında bu olmaz - ölçümlerimizin doğruluğunun sınırlı bir sınırı vardır. Bu paradoksa Richardson etkisi denir.

Yapıcı (geometrik) fraktallar

Genel durumda yapıcı bir fraktal oluşturmaya yönelik algoritma aşağıdaki gibidir. Öncelikle iki uygun geometrik şekle ihtiyacımız var, bunlara taban ve parça diyelim. İlk aşamada, gelecekteki fraktalın temeli tasvir edilmiştir. Daha sonra bazı parçaları uygun bir ölçekte alınan bir parça ile değiştirilir - bu, yapının ilk yinelemesidir. Sonra ortaya çıkan şekilde, bazı parçalar tekrar bir parçaya benzer şekillere dönüşür, vb. Bu işleme süresiz olarak devam ederseniz, limitte bir fraktal elde edersiniz.

Bu işlemi Koch eğrisi örneğini kullanarak düşünün (önceki sayfadaki kenar çubuğuna bakın). Koch eğrisinin temeli olarak herhangi bir eğri alınabilir (Koch kar tanesi için bu bir üçgendir). Ancak kendimizi en basit durumla sınırlıyoruz - bir segment. Parça, şeklin üst kısmında gösterilen kesik bir çizgidir. Algoritmanın ilk yinelemesinden sonra, bu durumda, orijinal parça parça ile çakışacak, daha sonra onu oluşturan parçaların her birinin kendisi parçaya benzer kesikli bir çizgi ile değiştirilecektir, vb. Şekil ilk dördü göstermektedir. bu sürecin adımları.

Matematik dili: dinamik (cebirsel) fraktallar

Bu tür fraktallar, doğrusal olmayan dinamik sistemlerin (dolayısıyla adı) incelenmesinde ortaya çıkar. Böyle bir sistemin davranışı, karmaşık bir doğrusal olmayan fonksiyon (polinom) f(z) ile tanımlanabilir. Karmaşık düzlemde bir z0 başlangıç ​​noktası alalım (kenar çubuğuna bakın). Şimdi karmaşık düzlemde her biri bir öncekinden elde edilen böyle sonsuz bir sayı dizisini düşünün: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Başlangıç ​​noktası z0'a bağlı olarak, böyle bir dizi farklı davranabilir: n -> ∞ gibi sonsuzluğa yönelir; bir son noktaya yakınsama; döngüsel olarak bir dizi sabit değer alın; daha karmaşık seçenekler mümkündür.

Karışık sayılar

Karmaşık bir sayı, iki bölümden oluşan bir sayıdır - gerçek ve hayali, yani x + iy resmi toplamı (burada x ve y gerçek sayılardır). ben sözde. hayali birim, yani denklemi sağlayan bir sayı ben^ 2 = -1. Karmaşık sayılar üzerinde temel matematiksel işlemler tanımlanır - toplama, çarpma, bölme, çıkarma (sadece karşılaştırma işlemi tanımlanmaz). Karmaşık sayıları görüntülemek için, genellikle geometrik bir temsil kullanılır - düzlemde (karmaşık olarak adlandırılır), gerçek kısım apsis ekseni boyunca ve hayali kısım ordinat ekseni boyunca çizilir, karmaşık sayı bir noktaya karşılık gelir. Kartezyen koordinatları x ve y ile.

Böylece, karmaşık düzlemin herhangi bir z noktası, f (z) fonksiyonunun yinelemeleri sırasında kendi davranış karakterine sahiptir ve tüm düzlem parçalara bölünür. Ayrıca, bu parçaların sınırları üzerinde bulunan noktalar şu özelliğe sahiptir: keyfi olarak küçük bir yer değiştirme için, davranışlarının doğası çarpıcı biçimde değişir (bu noktalara çatallanma noktaları denir). Böylece, belirli bir davranış tipine sahip nokta kümelerinin yanı sıra çatallanma noktaları kümelerinin de genellikle fraktal özelliklere sahip olduğu ortaya çıkıyor. Bunlar f(z) fonksiyonu için Julia kümeleridir.

ejderha ailesi

Tabanı ve parçayı değiştirerek, çarpıcı çeşitlilikte yapıcı fraktallar elde edebilirsiniz.
Ayrıca üç boyutlu uzayda da benzer işlemler yapılabilir. Hacimsel fraktal örnekleri "Menger süngeri", "Sierpinski piramidi" ve diğerleridir.
Ejderha ailesi aynı zamanda yapıcı fraktallar olarak da adlandırılır. Bazen kaşiflerin adıyla "Heiwei-Harter ejderhaları" olarak anılırlar (şekillerinde Çin ejderhalarına benzerler). Bu eğriyi oluşturmanın birkaç yolu vardır. Bunlardan en basit ve en belirgin olanı şudur: yeterince uzun bir kağıt şeridi almanız (kağıt ne kadar ince olursa o kadar iyi) ve ikiye bükmeniz gerekir. Ardından, ilk kez aynı yönde tekrar ikiye bükün. Birkaç tekrardan sonra (genellikle beş veya altı kattan sonra şerit daha fazla bükülemeyecek kadar kalınlaşır), şeridi geriye doğru düzeltmeniz ve kıvrımlarda 90˚ açı oluşturmaya çalışmanız gerekir. Daha sonra ejderhanın eğrisi profilde ortaya çıkacaktır. Elbette bu, fraktal nesneleri tasvir etmeye yönelik tüm girişimlerimiz gibi yalnızca bir yaklaşıklık olacaktır. Bilgisayar, bu süreçte daha birçok adımı tasvir etmenizi sağlar ve sonuç çok güzel bir rakamdır.

Mandelbrot seti biraz farklı bir şekilde inşa edilmiştir. fc (z) = z 2 +c fonksiyonunu düşünün, burada c bir karmaşık sayıdır. Bu fonksiyonun bir dizisini z0=0 ile oluşturalım, c parametresine bağlı olarak sonsuza kadar uzaklaşabilir veya sınırlı kalabilir. Ayrıca, bu dizinin sınırlandığı tüm c değerleri Mandelbrot kümesini oluşturur. Mandelbrot'un kendisi ve bu kümenin birçok ilginç özelliğini keşfeden diğer matematikçiler tarafından ayrıntılı olarak incelenmiştir.

Julia ve Mandelbrot kümelerinin tanımlarının birbirine benzediği görülmektedir. Aslında, bu iki küme yakından ilişkilidir. Yani, Mandelbrot kümesi, Julia kümesinin fc (z) bağlı olduğu karmaşık parametre c'nin tüm değerleridir (bazı ek koşullarla kesişmeyen iki parçaya bölünemezse bir küme bağlı olarak adlandırılır).

fraktallar ve hayat

Günümüzde, fraktal teorisi, insan faaliyetinin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Araştırma için tamamen bilimsel bir nesneye ve daha önce bahsedilen fraktal resme ek olarak, bilgi teorisinde fraktallar grafik verilerini sıkıştırmak için kullanılır (burada, fraktalların kendi kendine benzerlik özelliği esas olarak kullanılır - sonuçta, küçük bir parçayı hatırlamak için Parçaların geri kalanını alabileceğiniz bir çizim ve dönüşümler, tüm dosyayı depolamaktan çok daha az bellek gerektirir). Fraktalı tanımlayan formüllere rastgele pertürbasyonlar ekleyerek, bazı gerçek nesneleri çok makul bir şekilde ileten stokastik fraktallar elde edilebilir - kabartma elementler, su kütlelerinin yüzeyi, bazı bitkiler, başarılı bir şekilde fizikte, coğrafyada ve bilgisayar grafiklerinde başarıyla kullanılır. simüle edilmiş nesnelerin gerçek nesnelerle daha fazla benzerliği. Radyo elektroniğinde, son on yılda fraktal şekle sahip antenler üretmeye başladılar. Az yer kaplayarak oldukça yüksek kaliteli sinyal alımı sağlarlar. Ekonomistler, para birimi dalgalanma eğrilerini tanımlamak için fraktalları kullanır (bu özellik, 30 yıl önce Mandelbrot tarafından keşfedilmiştir). Bu, güzelliği ve çeşitliliği ile şaşırtıcı olan fraktallar dünyasına yapılan bu kısa geziyi sonlandırıyor.

FRAKTAL DÜNYASINI KEŞFETMEK

Vasilyeva Marina Vladimirovna

3. sınıf öğrencisi, Bilişim Fakültesi, SSAU im. Akademisyen S.P. Koroleva, Rusya Federasyonu, Samara

Tişin Vladimir Viktorovich

Danışman, Doçent, Uygulamalı Matematik Bölümü, SSAU

onlara. Akademisyen S.P. Koroleva, Rusya Federasyonu, Samara

Tanıtım

Fraktallar dünyası inanılmaz, devasa ve çeşitli bir dünyadır. Büyüler, fetheder, ancak bazen onu anlamak zordur. Fraktal çizimler, matematik, bilgisayar bilimi ve sanatın mükemmel birliğine giden yolda ustanın ilhamının zirvesidir. Son zamanlarda, doğal nesnelerin geometrik modelleri, çizgiler, üçgenler, daireler, küreler, çokyüzlüler gibi basit şekillerin kombinasyonları kullanılarak tasvir edilmiştir. Ancak bu iyi bilinen figürlerden oluşan bir setle, örneğin gözenekli malzemeler, bulut şekilleri, ağaç taçları gibi daha karmaşık doğal nesneleri tanımlamak kolay değildir. Olmadan Yapamayacağınız Yeni Bilgisayar Araçları modern bilim, matematiği son derece yüksek bir seviyeye getirin. Fraktallar üzerinde çalıştığınızda, matematik ve bilgisayar bilimi arasında bir çizgi çizmenin çok zor olduğunu anlarsınız, çünkü bunlar yakından iç içe geçmiştir, benzersiz, benzersiz modeller keşfetmeye çalışırlar. Fraktallar bizi bazı doğal süreçleri ve fenomenleri anlamaya yaklaştırır. Bu nedenle fraktallar konusu ilgimi çekti.

Bir problemle karşılaştım: matematiksel formülleri kullanarak bir fraktal nasıl oluşturulur.

Hipotez: Fraktal oluşturma kalıplarını incelerseniz, bunlar modellenebilir.

Araştırma yöntemleri: analiz, sentez, modelleme.

Amaç: bilgisayar teknolojisini kullanarak fraktallar oluşturmak.

Görevler: fraktalları keşfetmek; Fraktalların ortaya çıkış tarihini ve kullanım tarihini incelemek.

Uygunluk: Fraktalların gelecek olduğuna inanıyorum, değişen ve karmaşık dünyamızı daha iyi aktarıyorlar. Fraktallar, çeşitli süreçleri ve fenomenleri incelemeye yardımcı olur.

Araştırma sonucu: fraktallar oluşturmak için bir algoritmanın geliştirilmesi.

Teorik ve pratik önem: özelliklerini incelemek için fraktallar oluşturmak için bir algoritmanın kullanılması.

"Fractal" kavramı

"Fractal" ve "fraktal geometri" kavramları XX yüzyılın 70-80'lerinde ortaya çıktı. Matematikçilerin ve programcıların kullanımına sıkı sıkıya bağlıdırlar. Latincede kırılmış, parçalara ayrılmış anlamına gelen "fraktal" kelimesi, 1975 yılında Amerikalı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından düzensiz kendine benzer yapıları belirtmek için önerilmiştir. Mandelbrot şu tanımı yaptı: "fraktal, bir anlamda bütüne benzeyen parçalardan oluşan bir yapıdır." Kendine benzerlik özelliğinin yansıttığına dikkat edilmelidir. ana özellik doğal nesneler.

Matematik açısından bakıldığında, bir fraktal, her şeyden önce, bir dizi kesirli boyuttur. Bir parçanın boyutunun 1, kare - 2, küp ve paralelyüz - 3 olduğu bilinmektedir. Kesirli boyut, fraktalların ana özelliğidir.

Mandelbrot'un 1977'de "Doğanın Fraktal Geometrisi" adlı kitabının yayınlanmasıyla, fraktal geometrinin doğuşu ilişkilendirilir. 1875-1925 döneminde çalışan Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff gibi bilim adamlarının bilimsel sonuçlarını uyguladı. aynı bölgede. Ve sadece zamanımızda bu çalışmaları tek bir sistemde birleştirmek mümkün oldu.

Fraktal geometri, matematikte ve doğanın matematiksel tanımında bir devrimdir. Fraktal geometrinin kaşifi Benoit Mandelbrot, bu konuda şöyle yazıyor: “Bulutlar küre değildir, dağlar koni değildir, kıyı şeritleri daire değildir ve kabuk pürüzsüz değildir ve yıldırım düz bir çizgide yayılmaz. Doğa bize sadece daha yüksek bir derece değil, tamamen farklı bir karmaşıklık seviyesi gösterir. Yapılardaki farklı uzunluk skalalarının sayısı sonsuzdur.”

Fraktal nesneleri farklı ölçeklerde görüntüleyerek, aynı temel öğeler kolayca tespit edilebilir. Tekrarlanan desenler, alışılmadık bir geometrik figürün kesirli boyutunu belirler.

fraktal sınıflandırma

Tüm fraktal çeşitlerini temsil etmek için genel kabul görmüş sınıflandırmalarına başvurmak uygundur. Fraktallar geometrik, cebirsel ve stokastik olarak ayrılır.

Geometrik fraktallar şunları içerir: Koch eğrisi, ejderha eğrisi, Levy eğrisi, Minkowski eğrisi, Sierpinski üçgeni, Sierpinski halısı, Cantor seti ve Pisagor ağacı.

Bu sınıfın fraktalları en görsel olanıdır, çünkü kendi kendine benzerlik onlarda hemen görülür. İki boyutlu durumda, üç boyutlu durumda - bir yüzeyde jeneratör adı verilen kesikli bir çizgi kullanılarak elde edilebilirler. Algoritmanın bir adımında, kesik çizgiyi oluşturan bölümlerin her biri, uygun ölçekte bir kesik çizgi oluşturucu ile değiştirilir. Böylece bu işlemin sonsuz tekrarı sonucunda fraktal bir eğri elde edilir. Ortaya çıkan eğrinin görünen karmaşıklığı ile, genel biçimi yalnızca üretecin şekli tarafından verilir.

Cebirsel fraktallar: Mandelbrot kümesi, Julia kümesi, Newton havzaları, biyomorflar.

Cebirsel fraktallar en çoktur. Cebirsel fraktalları oluşturmak için, basit cebirsel formüllerle verilen doğrusal olmayan eşlemelerin yinelemeleri kullanılır. İki boyutlu süreçler en çok çalışılan olarak kabul edilir. Doğrusal olmayan dinamik sistemlerin birkaç kararlı duruma sahip olduğuna dikkat edilmelidir. Başlangıç ​​durumu, belirli sayıda yinelemeden sonra dinamik sistemin kendisini bulduğu durumu belirler. İlkel algoritmaların yardımıyla çok karmaşık, önemsiz olmayan yapılar oluşturma yeteneği, matematikçiler için bir sürpriz oldu.

Stokastik fraktallar, plazma ve randomize fraktal içerir.

"Stokastiklik" terimi, Yunanca kelimeden gelir ve "varsayım" anlamına gelir.

Kıyı şeridine ne kadar benzer olursa olsun, Koch eğrisi model olarak kullanılamaz, çünkü her yerde aynıdır, kendine benzer ve denilebilir ki, fazla “doğru”. Tüm doğal nesneler doğanın kaprisiyle yaratılır, bu süreçte her zaman bir tesadüf vardır. Stokastik fraktallar, yapımında yinelemeli bir sistemde rastgele bazı parametrelerin değiştiği böyle fraktallardır. Aynı zamanda asimetrik ağaçlar, girintili çıkıntılı kıyı şeritleri gibi doğal nesnelere çok benzer elde edilir. Arazi ve deniz yüzeyinin modellenmesinde iki boyutlu stokastik fraktallar kullanılır.

fraktalların uygulanması

Fraktalların ana uygulaması modern bilgisayar grafikleridir. Onların yardımıyla, verilen denklemlerdeki parametreleri değiştirirken çok karmaşık bir şekle sahip düz kümeler ve yüzeyler oluşturabilirsiniz.

Fraktal geometri, yapay bulutlar, dağ manzaraları, denizler oluşturmak için vazgeçilmezdir. Bilim adamları, görüntülerin doğal formlara benzediği karmaşık nesneleri tasvir etmenin basit bir yolunu buldular.

Fraktalların bilgisayar biliminde en yararlı kullanımı, fraktal veri sıkıştırma olarak kabul edilir. Bu tür sıkıştırmanın temeli, fraktal geometrinin gerçek dünyayı oldukça iyi tanımlamasıdır. Resimler, geleneksel yöntemlerden çok daha iyi sıkıştırılır. Görüntü büyütüldüğünde pikselleşme etkisi görülmez, bu da fraktal sıkıştırmanın bir başka avantajıdır. Fraktal sıkıştırma ile, yakınlaştırmadan sonra resim genellikle eskisinden daha iyi görünür.

Fraktal algoritmalar kullanılarak veri şifrelemede fraktalların kullanıldığına dikkat edilmelidir.

Verileri bir mesafeden iletmek için, ağırlıklarını ve boyutlarını büyük ölçüde azaltan fraktal şekillere sahip antenler kullanılır.

Ayrıca, fraktalların yardımıyla, örneğin alevler gibi karmaşık fiziksel süreçleri simüle edebilirsiniz. Fraktal şekiller, çok karmaşık bir geometrik yapıya sahip olan gözenekli malzemeleri taşımada oldukça iyidir. Bu tür bilgiler petrol biliminde kullanılır.

Fraktallar teorisi, Evrenin yapısının incelenmesinde de kullanılır.

Biyolojide biyosensör etkileşimleri ve kalp atışları, kaotik süreçlerin modellenmesi gibi örnekler sayılabilir. Fraktallar eserlerinde sanatçılar, tasarımcılar ve besteciler tarafından kullanılır.

Fraktallar oluşturmak için algoritmalar

Mandelbrot kümesini düşünün. Matematikte Mandelbrot kümesi, karmaşık düzlemde bir noktalar kümesi olarak tanımlanan, yinelemeli dizi sonsuza gitmez ve z 0 =0, Z n +1 = Z n 2 formülleriyle verilen bir fraktaldır. +M. Belirli bir nokta dizisini, yani bir fraktal oluşturmak için, dönüşümleri kullanarak karmaşık bir notasyon biçiminden inşaat için uygun formüllere geçelim.

Z n +1 \u003d Z n 2 + M ifadesi, karmaşık x ve y düzleminin koordinat değerlerinin yinelemeli bir dizisi olarak yeniden formüle edilirse, yani Z \u003d X + iY ve M \u003d p + iq alınır (burada i sanal birimdir), sonra formül (1) ile algoritma elde ederiz: X n +1 =X n 2 –Y n 2 +p; Y n +1 \u003d 2X n Y n + q, p \u003d - 0,5219 parametreleriyle;

İlk önce X n = 0 belirledik; Y n = 0 ve (1) formüllerine göre hesaplamaların ilk adımında şunu elde ederiz: X n +1 =0 2 –0 2 –0.5219= –0.5219; Y n +1 \u003d 2 0 0 + 0.4999.

Şimdi X n \u003d X n +1 \u003d - 0.5219; Y n = Y n +1 = 0.4999 ve formül (1)'e göre ikinci adımda şunu elde ederiz: X n +1 = (–0.5219) 2 – (0.4999) 2 – 0.5219 = – 0, 4994...;

Y n +1 \u003d 2 (-0,5219) (0,4999) + 0,4999 \u003d - 0,0218 ....

O zaman X n = X n +1 = – 0,4994...; Y n \u003d Y n +1 \u003d -0.0218 ve yine formüllere (1) göre daha da devam ediyoruz. Yani, sonraki her hesaplama adımında (yinelemeler), X n +1 ve Y n +1'in önceki değerleri, X n ve Y n'nin yeni değerleri olarak formüllere (1) değiştirilmelidir.

bir programda" Microsoft Excel"32.000 benzer "adım" -hesaplama yapabilir ve ardından Y n +1 = f (X n +1) fonksiyonunun bir "kızgın güneş" gibi görünecek bir grafiğini oluşturabilirsiniz ("noktalar"). Ayrıca p ve q parametrelerinin sayısal değerleri değiştirilerek aynı grafik üzerinde başka nesneler de görülebilir; örneğin, p = – 0,5'te; q = 0.4999 "güneş" yerine bir "sarmal galaksi" elde edersiniz.

Mandelbrot fraktallarını "blazing sun" ve "spiral galaxy" oluşturmak için derlediğim algoritmayı Microsoft Excel programında sunacağım. Pratikte, kabul edilebilir doğruluk elde etmek için 100 yineleme yeterlidir.

Tablo1 .

Microsoft Excel'de "yanan güneş" Mandelbrot fraktalını oluşturmak için algoritma (100 yineleme için)

6. H1 hücresine Y n +1 değişkenini yazın. 7. A2 hücresine 0 değerini girin. 8. B2 hücresine 0 değerini girin. 11.D2 hücresine -0.5219 değerini girin.
Ekle->Çizelgeler->Scatter->Scatter ile düzgün eğriler

Tablo2 .

"Microsoft Excel" programında Mandelbrot fraktal "sarmal gökada" oluşturmak için algoritma (100 yineleme için)

1. A1 hücresine X n değişkenini yazın 2. Y n değişkenini B1 hücresine yazın. 3. p parametresini D1 hücresine yazın. 4. q parametresini E1 hücresine yazın. 5. X n +1 değişkenini G1 hücresine yazın. 6. H1 hücresine Y n +1 değişkenini yazın. 7. A2 hücresine 0 değerini girin. 8. B2 hücresine 0 değerini girin. 9. A3 hücresine =G2 formülünü girin.

10. B3 hücresine =H2 formülünü girin. 11.D2 hücresine -0.5 değerini girin. 12. E2 hücresine 0,4999 değerini girin. 13. G2 hücresine =A2^2-B2^2+$D$2 formülünü girin 14. H2 hücresine =2*A2*B2+$E$2 formülünü girin 15. Sağ alt köşedeki A3 hücresini A101'e uzatın. 16. Sağ alt köşedeki B3 hücresini B101'e uzatın. 17. Sağ alt köşedeki G2 hücresini G101'e uzatın. 18. Sağ alt köşedeki H2 hücresini H101'e uzatın. 19.G2 ile H101 arasındaki aralığı seçin. 20. Bir figür oluşturmak için aşağıdakileri yapın: Ekle->Çizelgeler->Scatter->Scatter ile düzgün eğriler

Formül (2) ile verilen "Hilbert eğrisi" fraktalını göz önünde bulundurun:

y(x) = (cos 0,5 x⋅ çünkü 200 x + |x| 0,5 − 0,7)(4 − x 2) 0.01 . Bu ifadenin izin verilen değer aralığını bulalım. Aritmetik karekök altında cos(x) fonksiyonu vardır, yani cos(x) ≥ 0.

Bu formüle (2) göre “Microsoft Excel” programında “Hilbert eğrisi” fraktalını oluşturmak için derlediğim algoritmayı 0,01'e eşit bir adım seçerek izin verilen değerler aralığında sunacağım.

Tablo3 .

"Microsoft Excel" programında "Hilbert eğrisi" fraktalını oluşturmak için algoritma

1. x değişkenini A1 hücresine yazın. 2. y değişkenini B1 hücresine yazın. 3. A2 hücresine -π/2 değerini, izin verilen XЄ[-π/2 değerleri aralığına göre yazın; π/2, 4. =A2+0.01 formülünü A3 hücresine girin.
5. A3 hücresini sağ alt köşeden A316 hücresine uzatın (1,57 değerine kadar). 6. Formülü B2 hücresine girin =((SQRT(COS(A2)))*COS(200*A2)+SQRT(ABS(A2))-0.7)*(4-A2*A2)^0.01 7. B2 hücresini sağ alt köşeden B316 hücresine uzatın. 8. A2'den B316'ya kadar olan değer aralığını seçin. 9. Bir figür oluşturmak için aşağıdakileri yapın: Ekle->Çizelgeler->Scatter->Scatter ile düzgün eğriler

Sırasıyla denklem (3) ve (4) sistemleri tarafından verilen Mandelbrot fraktal "Dragon eğrisini" göz önünde bulundurun:

İlk önce X n = 0 belirledik; Y n = 0. 0 ile 1 arasında değişen m parametresini rastgele ayarladık. Eğer m > 0,5 ise, bir fraktal oluşturmak için denklem sistemini (3) uygularız, aksi takdirde - (4). Her yeni değer, aşağıdakilere bağlı olarak bir öncekinden elde edilir. rastgele sayı.

Mandelbrot fraktal “Dragon Curve” oluşturmak için derlediğim algoritmayı Microsoft Excel programında sunacağım.

Tablo4 .

"Microsoft Excel" programında Mandelbrot fraktal "Dragon Curve" oluşturmak için algoritma

1. n sayısını A1 hücresine yazın. 2. B1 hücresine rastgele bir değişken m yazın. 3. C1 hücresine x yazın. 4. D1 hücresine y yazın. 5. A2 hücresine 1 yazın.

6. A3 hücresine =A2+1 formülünü girin 7. A3'ü A hücresine uzatın 11363 8. B2 hücresine rasgele sayı işlevini yazın =RAND() 9. Gerdirme hücresi B2'den B 11363'e 10. C2 hücresine 0 değerini girin 11. C3 hücresine =EĞER(B3>0.5;-0.4*C2-1;0.76*C2-0.4*D2) formülünü girin 12. C3 hücresini C 11363 hücresine uzatın 13. D2 hücresine 0 değerini girin. 14. D3 hücresine =EĞER(B3>0.5;-0.4*D2+0.1;0.4*C2+0.76*D2) formülünü girin 15. D3 hücresini D11363 hücresine uzatın 16. C2'den D11363'e kadar olan hücreleri seçin 17. Bir figür oluşturmak için aşağıdakileri yapın: Ekle->Grafikler->Scatter

Çözüm

Bilgisayar, yeni bir biliş aracı olarak nitelendirilebilir. Onun sayesinde şimdiye kadar bizden gizlenen bağlantıları ve anlamları görebilirsiniz.

yerine getirme Araştırma çalışması, Fraktalların kapsamının son derece geniş olduğuna ikna oldum. Örneğin, birkaç katsayı kullanarak çok karmaşık bir şekle sahip çizgileri ve yüzeyleri tanımlamak gerektiğinde, onların yardımına ihtiyaç duyulur.

Aslında, görüntüleri doğal olanlara benzeyen karmaşık Öklid dışı nesnelerin kolay ve uygun bir temsili için bir yol bulunduğu söylenebilir.

Fraktallar matematiğe tamamen farklı bir perspektiften bakmamızı sağlar, gözlerimizi açar. Sıradan hesaplamalar sıradan sayılarla yapılıyor gibi görünebilir, ancak bu bize kendi tarzında benzersiz, taklit edilemez sonuçlar verir ve bu da doğanın bir yaratıcısı gibi hissetmemizi sağlar. Fraktallar, matematiğin aynı zamanda güzellik bilimi olduğunu açıkça ortaya koymaktadır.

Kaynakça:

1.Benoit Mandelbrot. "Doğanın Fraktal Geometrisi", 1977.

2. Mandelbrot B. Doğanın fraktal geometrisi. M.: Bilgisayar Araştırma Enstitüsü, 2002. - 656 s.

3.Morozov A.D. Fraktallar teorisine giriş. Moskova-Izhevsk: Bilgisayar Araştırma Enstitüsü, 2002. - 160 s.

4. Fraktallar hakkında. [Elektronik kaynak] - Erişim modu. - URL: http://elementy.ru/posters/fraktals

5. Pererva L.M., Yudin V.V. P 27 Fraktal modelleme: öğretici/ toplamın altında ed. V.N. Griyanik. Vladivostok: VGUES Yayınevi, 2007. - 186 s.

Kazakistan Cumhuriyeti Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Karaganda Devlet Teknik Üniversitesi

Bölüm ____CAD______

AÇIKLAYICI NOT

dönem ödevi

Disipline göre: "Uygulamalı sistemler teorisi"

Tema: "Fraktallar"

süpervizör

Trakeal tüplerin dalları, ağaçlardaki yapraklar, koldaki damarlar, nehrin çalkalanması ve kıvrılması, borsa - bunların hepsi fraktallardır. Eski uygarlıkların temsilcilerinden Michael Jackson'a kadar, bilim adamları, matematikçiler ve sanatçılar, bu gezegenin diğer tüm sakinleri gibi, fraktallardan büyülendiler ve onları çalışmalarında kullandılar.

Basit ev bilgisayarlarında basit formüllerle sonsuz karmaşıklık ve güzellikte fraktallar oluşturulabildiğinden, programcılar ve bilgisayar bilimcileri de fraktallar konusunda deli oluyorlar. Fraktalların keşfi, yeni bir sanat, bilim ve matematik estetiğinin keşfi ve aynı zamanda insanın dünyayı algılamasında bir devrimdi.

2. Teorik kısım

2.1 "Fractal" kavramı

70'lerin sonlarında ortaya çıkan fraktal ve fraktal geometri kavramları, 80'lerin ortalarından beri matematikçilerin ve programcıların günlük yaşamında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Fraktal kelimesi Latince fraktustan türetilmiştir ve çeviri anlamında parçalardan oluşan anlamındadır. 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından, incelediği düzensiz fakat kendine benzer yapılara atıfta bulunmak için önerildi. Fraktal geometrinin doğuşu, genellikle Mandelbrot'un Doğanın Fraktal Geometrisi kitabının 1977'de yayımlanmasıyla ilişkilendirilir. Çalışmalarında, 1875-1925 döneminde aynı alanda çalışan diğer bilim adamlarının (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) bilimsel sonuçlarından yararlanılmıştır. Ancak sadece bizim zamanımızda çalışmalarını tek bir sistemde birleştirmek mümkün oldu.

Fraktalların günümüzde bilgisayar grafiklerindeki rolü oldukça büyüktür. Örneğin, çok karmaşık bir şekle sahip çizgileri ve yüzeyleri tanımlamak için birkaç katsayı yardımıyla gerektiğinde kurtarmaya gelirler. Bilgisayar grafikleri açısından bakıldığında, yapay bulutların, dağların ve deniz yüzeyinin oluşturulması için fraktal geometri vazgeçilmezdir. Aslında, görüntüleri doğal olanlara çok benzeyen karmaşık Öklid olmayan nesneleri kolayca temsil etmenin bir yolu bulundu.

Fraktalların temel özelliklerinden biri kendine benzerliktir. En basit durumda, fraktalın küçük bir kısmı tüm fraktal hakkında bilgi içerir.

Fraktallar bilimde giderek daha fazla uygulama buluyor. Bunun temel nedeni, gerçek dünyayı bazen geleneksel fizik veya matematikten bile daha iyi tanımlamalarıdır. İşte bazı örnekler:

2.2 Fraktalların Uygulanması

Bilgisayar sistemleri.

Fraktalların bilgisayar biliminde en faydalı kullanımı fraktal veri sıkıştırmadır. Bu tür sıkıştırma, gerçek dünyanın fraktal geometri tarafından iyi tanımlandığı gerçeğine dayanmaktadır. Aynı zamanda, resimler geleneksel yöntemlerle (jpeg veya gif gibi) yapıldığından çok daha iyi sıkıştırılır. Fraktal sıkıştırmanın bir diğer avantajı, görüntü büyütüldüğünde pikselleşme etkisinin olmamasıdır (görüntüyü bozan boyutlara noktaların boyutunu artırma). Fraktal sıkıştırma ile, yakınlaştırmadan sonra resim genellikle eskisinden daha iyi görünür.

Akışkanlar mekaniği.

Akışlardaki türbülans çalışması fraktallara çok iyi uyum sağlar. Türbülanslı akışlar kaotiktir ve bu nedenle doğru bir şekilde modellenmesi zordur. Ve burada, mühendislerin ve fizikçilerin çalışmalarını büyük ölçüde kolaylaştıran ve karmaşık dinamikleri daha iyi anlamalarını sağlayan fraktal bir temsile geçiş yardımcı olur.

Akışlardaki türbülans çalışması fraktallara çok iyi uyum sağlar. Türbülanslı akışlar kaotiktir ve bu nedenle doğru bir şekilde modellenmesi zordur. Ve burada, mühendislerin ve fizikçilerin çalışmalarını büyük ölçüde kolaylaştıran ve karmaşık akışların dinamiklerini daha iyi anlamalarını sağlayan fraktal bir temsile geçiş yardımcı olur.

Alevler fraktallar kullanılarak da modellenebilir.

Gözenekli malzemeler, çok karmaşık bir geometriye sahip oldukları için fraktal biçimde iyi temsil edilirler. Petrol biliminde kullanılır.

Telekomünikasyon.

Verileri mesafeler üzerinden iletmek için, boyutlarını ve ağırlıklarını büyük ölçüde azaltan fraktal şekilli antenler kullanılır.

Yüzeylerin fiziği.

Fraktallar, yüzeylerin eğriliğini tanımlamak için kullanılır. Düz olmayan bir yüzey, iki farklı fraktalın bir kombinasyonu ile karakterize edilir.

İlaç.

1. Biyosensör etkileşimleri

2. Kalp atışları

Biyoloji.

Özellikle popülasyon modellerinin tanımlanmasında kaotik süreçlerin modellenmesi.

2.3 Kaos teorisi

Kaos teorisi, karmaşık doğrusal olmayan dinamik sistemlerin doktrinidir. Gerçek durum, bu bilim alanıyla ilgili birçok hatalı düşünceye bir yanıt olarak aşağıda ele alınmaktadır.

2.3.1 Kaos teorisine giriş

Kaos teorisi nedir?

Resmi olarak, kaos teorisi, karmaşık doğrusal olmayan dinamik sistemlerin doktrini olarak tanımlanır. Karmaşık terimiyle kastedilen budur ve doğrusal olmayan terimi özyineleme ve yüksek matematikten gelen algoritmalar anlamına gelir ve son olarak dinamik, sabit olmayan ve periyodik olmayan anlamına gelir. Bu nedenle, kaos teorisi, ister özyinelemeli bir süreç biçiminde isterse fiziksel bir sistemi modelleyen bir dizi diferansiyel denklem biçiminde olsun, matematiksel olmayan özyineleme kavramlarına dayanan sürekli değişen karmaşık sistemlerin bir çalışmasıdır.

2.3.2 Düzensizlik hakkında kaos teorisi

En yaygın tutarsızlık, insanların kaos teorisinin düzensizlikle ilgili bir teori olduğunu varsaymasıdır. Hiçbir şey gerçeklerden bu kadar uzak olamaz! Bu, determinizmin bir reddi veya düzenli sistemlerin imkansız olduğunun bir ifadesi değildir; bu, deneysel kanıtların inkarı veya karmaşık sistemlerin yararsızlığı hakkında bir açıklama değildir. Kaos teorisindeki kaos, düzendir - ve hatta sadece düzen değil, düzenin özüdür.

Kaos teorisinin küçük değişikliklerin büyük sonuçlar doğurabileceğini iddia ettiği doğrudur. Ancak teorideki temel kavramlardan biri, bir sistemin durumunu doğru bir şekilde tahmin etmenin imkansızlığıdır. Genel olarak, sistemin genel davranışını modelleme görevi oldukça uygulanabilir, hatta basittir. Bu nedenle, kaos teorisi sistemin düzensizliğine - sistemin kalıtsal öngörülemezliğine - değil, onun miras aldığı düzene - benzer sistemlerin ortak davranışına odaklanır.

Dolayısıyla kaos teorisinin düzensizlikle ilgili olduğunu söylemek yanlış olur. Bunu bir örnekle açıklamak için Lorenz çekicisini ele alalım. Üç üzerine kuruludur diferansiyel denklemler, üç sabit ve üç başlangıç ​​koşulu.

Şekil 1. Lorentz çekicisi.

Çekici, gazın herhangi bir andaki davranışını temsil eder ve belirli bir andaki durumu, verilen andan önceki zamanlardaki durumuna bağlıdır. Giriş verileri çok küçük değerlerle bile değiştirilirse, diyelim ki bu değerler, tek tek atomların Avogadro sayısına katkısı ile orantılı olacak kadar küçüktür (ki bu, mertebe değerlerine kıyasla çok küçük bir sayıdır). 1024), çekicinin durumunu kontrol etmek tamamen farklı sayılar gösterecektir. Bunun nedeni, küçük farklılıkların özyineleme tarafından büyütülmesidir.

Ancak buna rağmen, çekici grafiği oldukça benzer görünecektir. Her iki sistem de herhangi bir zamanda tamamen farklı değerlere sahip olacaktır, ancak sistemin genel davranışını ifade ettiği için çekici grafiği aynı kalacaktır.

Kaos teorisi, karmaşık doğrusal olmayan sistemlerin kalıtsal olarak tahmin edilemez olduğunu söylüyor, ancak aynı zamanda, kaos teorisi, bu tür öngörülemeyen sistemleri ifade etmenin yolunun, tam eşitliklerde değil, sistemin davranışının temsillerinde - garip grafiklerde doğru olduğunu iddia ediyor. çekiciler veya fraktallarda. Böylece birçok kişinin öngörülemezlik olarak düşündüğü kaos teorisi, aynı zamanda en istikrarsız sistemlerde bile öngörülebilirliğin bilimi olarak karşımıza çıkıyor.

2.3.3 Kaos teorisini gerçek dünyaya uygulamak

Yeni teoriler ortaya çıktığında, herkes onlar hakkında neyin iyi olduğunu bilmek ister. Peki kaos teorisi hakkında iyi olan nedir?

Her şeyden önce, kaos teorisi bir teoridir. Bu, çoğunun doğrudan uygulanabilir bilgiden çok bilimsel bir temel olarak kullanıldığı anlamına gelir. Kaos teorisi, dünyadaki olaylara Newton'un zamanından beri bilime egemen olan daha geleneksel katı determinist görüşten farklı bakmanın çok iyi bir yoludur. Jurassic Park'ı izleyen izleyiciler, şüphesiz kaos teorisinin insanların dünyayı algılamasını büyük ölçüde etkileyebileceğinden korkmaktadır ve aslında kaos teorisi bilimsel verileri yeni bir şekilde yorumlamanın bir aracı olarak faydalıdır. Bilim adamları, geleneksel X-Y çizimleri yerine artık - herhangi bir değişkenin belirli bir zaman noktasındaki tam konumunu tanımlamak yerine - sistemin genel davranışını temsil eden uzay-faz diyagramlarını yorumlayabilirler. İstatistiksel verilere dayalı kesin eşitliklere bakmak yerine, artık doğası gereği statik verilere benzer davranışa sahip dinamik sistemlere bakabiliriz - yani. Benzer çekicilere sahip sistemler. Kaos teorisi, bilimsel bilginin gelişimi için sağlam bir çerçeve sağlar.

Bununla birlikte, yukarıdakilere göre, kaos teorisinin hiçbir uygulaması olmadığı sonucu çıkmaz. gerçek hayat.

Kaos teorisi teknikleri, şüphesiz akla gelebilecek en kaotik sistemlerden bazıları olan biyolojik sistemleri modellemek için kullanılmıştır. Nüfus artışı ve salgın hastalıklardan düzensiz kalp atışlarına kadar her şeyi modellemek için dinamik denklem sistemleri kullanılmıştır.

Aslında, hemen hemen her kaotik sistem modellenebilir - borsa, kesin oranlar yerine tuhaf çekicilerle kolayca analiz edilebilen eğriler üretir; sızdıran bir musluktan damlaların düşme süreci çıplak kulağa bakıldığında rastgele gibi görünse de garip bir çekici olarak tasvir edilirse, geleneksel yöntemlerle beklenmeyen doğaüstü bir düzen ortaya çıkar.

Fraktallar her yerdedir, en çok son derece başarılı Fraktal Tasarım Boyacısı ürün serisi gibi grafik programlarında görünür. Fraktal veri sıkıştırma teknikleri hala geliştirilmektedir, ancak 600 sıkıştırma faktörü gibi şaşırtıcı sonuçlar vaat etmektedir:

1. Filmlerdeki özel efekt endüstrisi, fraktal grafik teknolojisi olmadan çok daha az gerçekçi manzara öğelerine (bulutlar, kayalar ve gölgeler) sahip olurdu.

Ve elbette, kaos teorisi, insanlara günümüzün en az popüler bilgi alanlarından biri olan matematikle ilgilenmek için şaşırtıcı derecede ilginç bir yol sunar.

2.3.4 Brownian hareketi ve uygulamaları

Brownian hareketi, örneğin, suda asılı duran toz parçacıklarının rastgele ve kaotik hareketidir. Bu tür hareket, fraktal geometrinin belki de en pratik yönüdür. Rastgele Brownian hareketi, büyük miktarda veri ve istatistik içeren şeyleri tahmin etmek için kullanılabilecek bir frekans modeli üretir. Mandelbrot'un Brownian hareketini kullanarak tahmin ettiği yün fiyatları buna iyi bir örnektir.

Şekil 2. Frekans diyagramı.

Brown sayılarından çizilerek oluşturulan frekans diyagramları da müziğe dönüştürülebilir. Elbette bu tür fraktal müzik, müzikal olmaktan başka bir şey değildir ve dinleyiciyi gerçekten yorabilir. Brown sayılarını rastgele çizerek, burada örnek olarak gösterilene benzer bir Toz Fraktal elde edebilirsiniz.

Fraktallardan fraktallar oluşturmak için Brownian hareketini kullanmaya ek olarak, manzaralar oluşturmak için de kullanılabilir. Star Trek gibi birçok bilim kurgu filmi, tepeler ve yüksek platoların topolojik resimleri gibi uzaylı manzaraları yaratmak için Brown hareket tekniğini kullanmıştır. Bu teknikler çok etkilidir ve Mandelbrot'un Doğanın Fraktal Geometrisi kitabında bulunabilir. Mandelbrot, fraktal kıyı şeritlerinin ve ada haritalarının (gerçekten rastgele çizilmiş noktalardı) kuşbakışı görünümünü oluşturmak için Brown çizgilerini kullandı.

Şekil 3. Rölyef.

2.4 Deterministik fraktalların ve kaosun entegrasyonu

Yukarıdaki deterministik fraktal örneklerinden, herhangi bir kaotik davranış sergilemedikleri ve aslında oldukça öngörülebilir oldukları görülebilir. Bildiğiniz gibi, kaos teorisi, örneğin kuş göçü sorunu gibi, doğadaki birçok sistemin davranışını tahmin etmek için kalıpları yeniden oluşturmak veya bulmak için bir fraktal kullanır.

Şimdi bunun gerçekte nasıl olduğunu görelim. Burada tartışılmayan (bu arada Pisagor tarafından icat edilmemiş ve Pisagor teoremi ile ilgisi olmayan) Pisagor Ağacı adlı bir fraktal ve (kaotik olan) Brown hareketi kullanarak, gerçek bir ağacın taklidi yapmaya çalışalım. . Bir ağaçtaki yaprakların ve dalların sıralaması oldukça karmaşık ve rastgeledir ve muhtemelen 12 satırlık kısa bir programın taklit edebileceği kadar basit bir şey değildir.

İlk önce bir Pisagor Ağacı oluşturmanız gerekir (Şekil 4). Sonuç eski anaokulu çizimlerini andırıyor... O halde namluyu daha kalın yapalım. Bu aşamada Brownian hareketi kullanılmaz. Bunun yerine, her bir doğru parçası artık gövde haline gelen dikdörtgen ve dışarıdaki dallar için bir simetri çizgisi haline gelmiştir.

Şekil 4. Pisagor ağacı

Ancak sonuç hala fazla resmi ve düzenli görünüyor. Ağaç henüz canlı bir şeye benzemiyor. Şimdi edindiğimiz deterministik fraktallar alanındaki bazı bilgileri uygulamaya çalışalım.

Şekil 5

Artık sayıları iki basamağa yuvarlayarak değiştiren rastgele bir rastgelelik oluşturmak için Brownian hareketini kullanabilirsiniz. Orijinalde 39 bitlik ondalık sayılar kullanılmıştır. Sonuç (solda) bir ağaç gibi görünmüyor. Bunun yerine, akıllı bir olta gibi görünüyor!

Şekil 6

Belki 2 basamağa yuvarlamak çok fazla oldu? Brownian hareketini tekrar uygulayın, bu sefer 7 haneye yuvarlayın. Sonuç hala bir olta gibi görünüyor, ancak bu sefer logaritmik bir spiral şeklinde!

Şekil 7

Sol taraf (tüm tek sayıları içeren) bir kanca etkisi oluşturmadığından, Brownian hareketinin ürettiği rastgele rastgelelik, sol taraftaki tüm sayılara iki kez ve sağdaki sayılara yalnızca bir kez uygulanır. Belki bu, logaritmik sarmalın etkisini ortadan kaldırmak veya azaltmak için yeterli olacaktır. Yani sayılar 24 basamağa kadar yuvarlanır. Bu sefer sonuç, gerçek bir ağacın güzel görünümlü bilgisayarlı kaotik öykünmesidir.

Şekil 8

2.5 Fraktal türleri

Sierpinski kafesi.

Bu, Mandelbrot'un fraktal boyutlar ve yinelemeler kavramlarını geliştirirken denediği fraktallardan biridir. Daha büyük üçgenin orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşturulan üçgenler, ana üçgenden kesilerek daha fazla delikli bir üçgen oluşturulur. Bu durumda, başlatıcı büyük bir üçgendir ve şablon, daha büyük olana benzer üçgenleri kesme işlemidir. Ayrıca sıradan bir tetrahedron kullanarak ve daha küçük tetrahedraları keserek bir üçgenin 3B versiyonunu elde edebilirsiniz. Böyle bir fraktalin boyutu ln3/ln2 = 1.584962501'dir.

Bir Sierpinski halısı elde etmek için bir kare alıyoruz, dokuz kareye bölüyoruz ve ortadakini kesiyoruz. Aynısını geri kalan daha küçük kareler için de yapacağız. Sonunda, alanı olmayan, ancak sonsuz bağlantıları olan düz bir fraktal ızgara oluşur. Mekansal biçiminde, Sierpinski süngeri, her bir geçiş öğesinin sürekli olarak kendi türüyle değiştirildiği bir geçiş biçimleri sistemine dönüştürülür. Bu yapı, kemik dokusunun bir bölümüne çok benzer. Bir gün bu tür tekrar eden yapılar, bina yapılarının bir unsuru haline gelecek. Mandelbrot, statik ve dinamiklerinin yakından incelenmeyi hak ettiğine inanıyor.

Şekil 9. Sierpinski kafesi.

Şekil 10. Sierpinski süngeri.

Sierpinski üçgeni.

Bu fraktalı Sierpinski kafesi ile karıştırmayın. Bunlar tamamen farklı iki nesnedir. Bu fraktalda başlatıcı ve üreteç aynıdır. Her yinelemede, başlatıcının daha küçük bir kopyası jeneratörün her köşesine eklenir ve bu böyle devam eder. Bu fraktal oluşturulurken sonsuz sayıda yineleme yapılırsa, tek bir delik bırakmadan tüm düzlemi kaplar. Bu nedenle, fraktal boyutu ln9/ln3 = 2.0'dır.

Şekil 11. Sierpinski üçgeni.

Eğri Koch.

Koch eğrisi en tipik deterministik fraktallardan biridir. On dokuzuncu yüzyılda, Georg Kontor ve Karl Weierstraße'nin çalışmalarını incelerken alışılmadık davranışlara sahip bazı garip eğrilerin tanımlarıyla karşılaşan Helge von Koch adlı bir Alman matematikçi tarafından icat edildi. Başlatıcı - doğrudan hat. Jeneratör, kenarları daha büyük parçanın uzunluğunun üçte birine eşit olan bir eşkenar üçgendir. Bu üçgenler her parçanın ortasına tekrar tekrar eklenir. Mandelbrot araştırmasında Koch eğrileri ile çok deney yaptı ve Koch Adaları, Koch Haçları, Koch Kar Taneleri gibi figürler ve hatta bir tetrahedron kullanarak ve her yüzüne daha küçük tetrahedra ekleyerek Koch eğrisinin üç boyutlu temsillerini elde etti. Koch eğrisi ln4/ln3 = 1.261859507 boyutuna sahiptir.

Şekil 12. Koch eğrisi.

Fraktal Mandelbrot.

Bu, oldukça sık gördüğünüz Mandelbrot kümesi DEĞİLDİR. Mandelbrot kümesi doğrusal olmayan denklemlere dayanır ve karmaşık bir fraktaldır. Bu aynı zamanda, bu nesnenin öyle görünmemesine rağmen, Koch eğrisinin bir çeşididir. Başlatıcı ve oluşturucu da Koch eğrisi ilkesine dayalı fraktallar oluşturmak için kullanılanlardan farklıdır, ancak fikir aynı kalır. Bir eğri parçasına eşkenar üçgenler eklemek yerine, kareler bir kareye eklenir. Bu fraktal, her yinelemede ayrılan alanın tam olarak yarısını kapladığı için, 3/2 = 1.5'lik basit bir fraktal boyutuna sahiptir.

Şekil 13. Mandelbrot fraktal.

Ejderha Eğrisi.

İtalyan matematikçi Giuseppe Peano tarafından icat edilen Dragon Curve veya Dragon Sweep, Minkowski sosisine çok benzer. Daha basit bir başlatıcı kullanılır, ancak üreteç aynıdır. Mandelbrot bu fraktalı Double Dragon Nehri olarak adlandırdı. Fraktal boyutu yaklaşık olarak 1.5236'ya eşittir.

Şekil 14. Giuseppe Peano'nun Ejderhası.

Mandelbrot seti.

Mandelbrot ve Julia kümeleri, muhtemelen karmaşık fraktallar arasında en yaygın olan iki kümedir. Birçok bilimsel dergide, kitap kapağında, kartpostalda ve bilgisayar ekran koruyucularında bulunabilirler. Benoit Mandelbrot tarafından inşa edilen Mandelbrot seti, muhtemelen insanların fraktal kelimesini duyduklarında sahip oldukları ilk çağrışımdır. Parlayan ağaç ve ona bağlı daire alanları olan bir karta benzeyen bu fraktal, basit formülle üretilir.

Zn+1=Zna+C, burada Z ve C karmaşık sayılardır ve a pozitif bir sayıdır.

En sık görülen Mandelbrot kümesi 2. derece Mandelbrot kümesidir, yani a=2. Mandelbrot kümesinin sadece Zn+1=ZnІ+C değil, formüldeki üssü herhangi bir pozitif sayı olabilen bir fraktal olması birçok kişiyi yanılttı. Bu sayfada, a üssünün çeşitli değerleri için Mandelbrot kümesinin bir örneğini görüyorsunuz.

Z=Z*tg (Z+C) işlemi de popülerdir. Tanjant fonksiyonunun dahil edilmesi sayesinde, bir elmaya benzeyen bir alanla çevrili Mandelbrot kümesi elde edilir. Kosinüs fonksiyonunu kullanırken hava kabarcığı efektleri elde edilir. Kısacası, çeşitli güzel resimler üretmek için Mandelbrot setini değiştirmenin sonsuz sayıda yolu vardır.

Şekil 15. Mandelbrot seti.

Şekil 16. a=3.5 için Mandelbrot seti.

Bir sürü Julia.

Şaşırtıcı bir şekilde, Julia kümeleri, Mandelbrot kümesiyle aynı formüle göre oluşturulmuştur. Julia seti, Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından icat edildi ve sete adını verdi. Mandelbrot ve Julia kümeleriyle görsel olarak tanıştıktan sonra ortaya çıkan ilk soru şudur: "Eğer her iki fraktal da aynı formülle üretiliyorsa, neden bu kadar farklılar? Önce Julia setinin resimlerine bakın. Yeterince garip, ama var farklı şekiller Julia ayarlar. Farklı başlangıç ​​noktaları kullanarak (yineleme sürecini başlatmak için) bir fraktal çizerken, farklı görüntüler oluşturulur. Bu sadece Julia seti için geçerlidir.

Resimde görülmemesine rağmen, bir Mandelbrot fraktal aslında birbirine bağlı bir grup Julia fraktalıdır. Mandelbrot kümesinin her noktası (veya koordinatı) bir Julia fraktalına karşılık gelir. Julia kümeleri bu noktalar kullanılarak Z=ZI+C denkleminde başlangıç ​​değerleri olarak oluşturulabilir. Ancak bu, Mandelbrot fraktalı üzerinde bir nokta seçip onu artırırsanız, bir Julia fraktal elde edebileceğiniz anlamına gelmez. Bu iki nokta aynıdır, ancak yalnızca matematiksel anlamda. Bu noktayı alıp bu formüle göre hesaplarsak, Mandelbrot fraktalının belirli bir noktasına karşılık gelen Julia fraktalını elde edebiliriz.

Şekil 17. Julia seti.

Feigenbaum ağacı.

Lojistik denklem, Mitchell Feigenbaum'un fraktal teorisini oluştururken esas olarak üzerinde çalıştığı formüldür. Bu formül, nüfus gelişiminin dinamiklerini tanımlamalıdır:

f(x) = (1 - x) rx

En basit model, sayının bir önceki yıla orantılı oranıdır. Diyelim ki geçen yıl x hayvanımız oldu. Bu yıl rx hayvanları olmalı. Ancak bu gerçek koşullarda yapılmaz. Nüfusun daha fazla gelişme potansiyeline bağlı olarak bir faktör eklersek ve x'in 0 ile 1 arasında değişen tamlık katsayısı olmasına izin verirsek, gerçeklikle en iyi örtüşme elde edilecektir. bölge neredeyse tamamen dolu, nüfus üst sınırın üzerine çıkmayacak.

Lojistik ifadeyi genişleterek şunları elde ederiz:

f (x) = eksen - eksen2

LT Bifurcator programında Feigenbaum fraktalının özünü açıklamak için kullanılan formül - (1 + r) x - rx2 yukarıdaki formülden pek farklı değildir. Prensip olarak, teoriyi incelemek için herhangi bir formül kullanılabilir, örneğin, bu tür formüllerin en basiti - xІ - r. Tek fark, resimdeki pencerelerin koordinatlarındaki farklılıklar ve görüntünün biraz değiştirilmiş görünümüdür.

Şekil 18. Feigenbaum ağacı.

2.6 Feigenbaum ağacı ve Mandelbrot seti

Mandelbrot z=z2 + x kümesi formülünü daha önce gördüyseniz, bu formül ile Feigenbaum ağaç formüllerinin en basiti x2 - r arasında bir benzerlik fark edebilirsiniz. Ve gerçekten öyle. Benzerlik mevcuttur. Ama Feigenbaum ağacı tam tersi şekilde büyür. Feigenbaum formülünü x2 + r olarak değiştirin ve benzerliği göreceksiniz. Mandelbrot kümesine gelince, Mandelbrot sayısının karmaşık kısmının sıfır olduğu tek konum olduğu için yatay eksen boyunca bakmanız gerekir. Mandelbrot figürünün ana gövdesinin, Feigenbaum ağacındaki fonksiyonun sadece bir değer aldığı yer olduğunu göreceksiniz. Çizginin ilk ayrımı (çatallanma) meydana geldiğinde, Mandelbrot figüründe yeni bir cisim belirir ve bu böyle devam eder. Ayrıca, ağaçta ana pencere açıldığında, Mandelbrot figüründe bir alt gövdenin göründüğünü unutmayın.

Şekil 19. Feigenbaum ağacı ve Mandelbrot kümesi.

3. Sorunun ifadesi

Fraktal grafiklerin görüntülerini görsel olarak görüntülemenin mümkün olduğu bir yazılım ürünü tasarlamak ve geliştirmek gereklidir. Program, fraktalın özünü ortaya çıkarmaya izin vermelidir - çoklu kendini tekrarlama (görüntünün tamamı veya belirli bir kısmı). Arayüz mümkün olduğunca açık olmalıdır. İşin hızı, verimlilik ve kaliteyi dengeleyecek şekilde olmalıdır, yani. bu hızda oldukça net bir görüntü çizilir. Ayrıca fraktal bir görüntü kaydetme yeteneğine de ihtiyacınız var. Program sezgisel olmalı ve "ilk bakışta itici olmamalıdır". Programın yetenekleri en az on cebirsel ve en az iki geometrik fraktal çizebilecek durumda olmalıdır.

Karar.

Bu sorunun çözümü, birkaç cebirsel ve geometrik fraktal grafik örneğini görüntüleyebileceğiniz bir yazılım ürünüdür. Program, görüntünün gerçek boyutuyla orantılı yerleşik bir büyütmeye (çoklu) sahip olmalıdır. Arayüzün hafif, hoş, muhtemelen WindowsXP renklerinde olması gerekir. Örneğin, formun kendisinin degrade dolgusunu kullanabiliriz. Bir kişinin uzun beklemeleri sevmediği düşünülürse program büyük bir tuval boyutu kullanmaz ancak bu boyutta bile fraktal grafiklerin tüm avantajlarını göz önünde bulundurmak mümkündür. Program, bir grafik görüntüyü * olarak kaydetmek için standart seçenekleri kullanır. bmp, bu formattaki grafik görüntüleri kendi içine yükleyemez, çünkü bu program görüntülemek için değil, görüntü oluşturmak içindir. Program gökyüzü renklerini kullanır, kullanıcı dostu bir arayüze sahiptir ve kullanımı kolaydır. Her düğme, parametre ve diğer kontroller, programın yardıma ihtiyacı olmaması için imzalanmıştır, ancak standartlarla çakışmaları önlemek için yine de yardımla desteklenmektedir. Programın yetenekleri yirmi bir cebirsel ve üç geometrik fraktal çizmek için mevcuttur.

Yapı.

Program iki formdan oluşur (ana form ve geliştiricilerin isimleri ve logoları ile form). Ana form iki arayüze sahip olabilir:

cebirsel fraktallar

Geometrik fraktallar.

Ayrıca bir yardım penceresi var.

Arayüzün diğer yapısı "Kullanıcı Kılavuzu" bölümünde açıklanacaktır.

Program yapısı, her biri bir fraktal çizmek için bir "formül" olan bir dizi fonksiyondur. Ve çizim prosedürünün kendisi.

Şekil 20. Programın şeması.

Bu şema (Şekil 20) programın iç prensibini göstermektedir. Tek bir çizim prosedürünün kullanılması, arayüz bileşenlerinin kodunu ve hacmini önemli ölçüde azaltır. Ancak, her bir küme formülünün ayrı bir fonksiyon olarak gösterilmesi çizim süresini önemli ölçüde azaltır.

Kullanici rehberi.

Bu yazılım ürününü kurmak için, sürücüye programın lisanslı bir sürümünü içeren bir disk yerleştirmelisiniz. Kurulum sihirbazı ekranda görünecektir. Yorumlarını okuyarak, kurulu dosyaların konumunu değiştirebilirsiniz. Yükleyici tarafından önerilen adresleri kabul ediyorsanız, "İleri"ye tıklayın. Ardından, bilgisayarınızın masaüstünde "Fractal Graphics" programının adında bir simge görünecektir. Açmak için fare işaretçisini üzerine getirmeniz ve üzerine çift tıklamanız gerekir.

Bu program yirmi bir cebirsel ve üç geometrik fraktalın görüntülerini görmenizi sağlar. Program başladığında, bize otomatik olarak cebirsel fraktalların bir arayüzünü sağlar. Geometriye geçmek için menü çubuğundaki "Göster"->"Geometrik fraktallar" düğmesine basmanız gerekir.

Çizim, program penceresinin sol yarısında tuval adı verilen dikdörtgen bir alanda gerçekleşir.

Cebirsel fraktallar menüsü aşağıdaki kontrollere ve giriş parametrelerine sahiptir:

R - kırmızı rengin doygunluğu

G - yeşil doygunluk

B - mavi doygunluk

Yineleme sayısı - belirli bir alana ait olduğunu belirlerken nokta koordinatlarının tekrar sayısı (görüntü kalitesi buna bağlıdır)

Olası fraktal seçeneklerin listesi:

Çiz - çiz düğmesi

Temizle - temizle düğmesi

Varsayılan - başlangıç ​​değerleri

beraberlik süresi

Geometrik fraktallarla çalışırken:

Sierpinski - sağ parametrede Sierpinski üçgenini çizin - yineleme sayısı

Dragon D. Piano - sağ parametrede ejderha D. Piano'nun çizilmesi - yineleme sayısı

Feigenbaum - Feigenbaum ağacının çizilmesi, aşağıdaki parametrelerin listesi

Temiz temiz.

Görüntüyü * içine kaydetmek de mümkündür. bmp. Bunu yapmak için, bir fraktal çizmeniz (istenirse büyütmeniz), ardından "Dosya"->"Kaydet" menüsüne girin, uzantıyı belirtmeden dosya adını girin ve Enter tuşuna basın.

Fraktal yapıyı görmeniz gerekiyorsa, fare imlecini tuvalin alanı üzerinde hareket ettirmeniz, sol düğmeye tıklamanız ve ardından sağa hareket ettirerek gerekli alanı uzatmanız ve fare düğmesini serbest bırakmanız gerekir.

Şekil 21. Program arayüzü.

Parametrelerin etkisi.

Bu program geliştirilirken sadece müşterinin gereksinimleri dikkate alınmamış, bazı çalışmalar da yapılmıştır. Aşağıdaki kalıplar ve gerçekler ortaya çıktı:

Yineleme sayısı arttıkça görüntü kalitesi artar ancak çizim hızı da artar. Ayrıca, fraktal çok sayıda yineleme ile büyütüldüğünde, daha fazla görsel görüntü görebiliriz ve olası artışın çokluğu gözle görülür şekilde artar.

Renk katsayılarının seçimi, büyük bir adam-saat kaynağı gerektiren çok karmaşık ve özenli bir iştir.

Oluşturma süresi ayrıca seçilen işlevlere de bağlıdır. Böyle güç fonksiyonlarıörneğin güçlü olanlardan çok daha hızlı çizilir.

Çalışma sırasında, en iyileri görsel kontrolle seçilen önemli sayıda fraktal oluşturuldu. Çizildikleri formüller yalnızca geliştiriciler tarafından türetilmiştir ve onların özel mülkiyetidir.

Fonksiyonlardaki değişkenlerin ilk değerleri, fraktalın görünümünü değiştirebilir, böylece orijinali görsel olarak bir klon gibi görünmez. Örneğin, böyle bir ilke Julia tarafından uygulandı.

Dairenin yarıçapı - üzerinde noktaların oluşturulduğu standart - en önemli parametredir. Örneğin, Mandelbrot seti - Spider (i) temelinde oluşturulan Fraktallar yalnızca bu yarıçapta farklılık gösterir.

İlk çizim koordinatları, tuval üzerindeki görüntünün doluluğunu belirler. Yanlış yerleştirilirlerse fraktal tam olarak görünmeyebilir.

Fraktalın güzelliğini birçok parametre etkiler. İnşa edildiğinde, tüm parametreler doğru bir şekilde hesaplanmalı ve düşünülmelidir. Bu, kaliteli bir görüntünün garantisidir.

Çözüm

Fraktal grafikler sadece kendi kendini tekrar eden bir dizi görüntü değil, herhangi bir varlığın yapısının ve ilkesinin bir modelidir. Tüm hayatımız fraktallarla temsil edilir. Sadece görsel olarak değil, bu görüntünün yapısı da hayatımızı yansıtmaktadır. Örneğin, DNA'yı alın, bu sadece temel, bir yineleme ve tekrarlandığında ... bir kişi ortaya çıkıyor! Ve bunun gibi birçok örnek var. Fraktalların, arazilerin genellikle üç boyutlu karmaşık kümeler ve Brownian hareketi modellerine dayanan fraktal görüntüler olduğu bilgisayar oyunlarında yaygın olarak kullanıldığı belirtilmelidir. Fraktal grafiklere her yerde ihtiyaç duyulur ve "fraktal teknolojilerin" geliştirilmesi günümüzün en önemli görevlerinden biridir.

Bilimdeki en dahiyane keşifler insan yaşamını kökten değiştirebilir. İcat edilen aşı milyonlarca insanı kurtarabilir, silahların yaratılması tam tersine bu canları alır. Daha yakın zamanlarda (insan evrimi ölçeğinde) elektriği "ehlileştirmeyi" öğrendik - ve şimdi elektrik kullanan tüm bu kullanışlı cihazlar olmadan hayatı hayal edemiyoruz. Ancak, hayatımızı büyük ölçüde etkilemelerine rağmen, çok az insanın önem verdiği keşifler de var.

Bu “algılanamaz” keşiflerden biri de fraktallardır. Muhtemelen bu akılda kalıcı kelimeyi duymuşsunuzdur, ancak bunun ne anlama geldiğini ve bu terimde kaç tane ilginç şeyin gizlendiğini biliyor musunuz?

Her insanın doğal bir merakı, etrafındaki dünya hakkında bilgi edinme arzusu vardır. Ve bu özlemde, kişi yargılarda mantığa bağlı kalmaya çalışır. Etrafında meydana gelen süreçleri analiz ederek, olup bitenlerin mantığını bulmaya ve bir miktar düzenlilik çıkarmaya çalışır. Gezegendeki en büyük beyinler bu görevle meşgul. Kabaca konuşursak, bilim adamları olmaması gereken bir model arıyorlar. Bununla birlikte, kaosta bile, olaylar arasında bir bağlantı bulunabilir. Ve bu bağlantı bir fraktaldır.

Dört buçuk yaşındaki küçük kızımız, “Neden?” Sorularının sayısının arttığı o harika yaşta şimdi. yetişkinlerin vermek için zamanları olan cevapların sayısından çok daha fazla. Çok uzun zaman önce, yerden kaldırılmış bir dala bakarken, kızım aniden düğümleri ve dalları olan bu dalın kendisinin bir ağaca benzediğini fark etti. Ve elbette, ebeveynlerin çocuğun anlayabileceği basit bir açıklama araması gereken olağan “Neden?” Sorusunu takip etti.

Tek bir dalın, bir çocuğun keşfettiği bütün bir ağaçla benzerliği, doğadaki öz-benzerlik ilkesini bir kez daha kanıtlayan çok doğru bir gözlemdir. Doğada pek çok organik ve inorganik form benzer şekilde oluşur. Bulutlar, deniz kabukları, bir salyangozun "evi", ağaçların kabuğu ve tepesi, dolaşım sistemi ve benzeri - tüm bu nesnelerin rastgele şekilleri fraktal bir algoritma ile tanımlanabilir.

⇡ Benoit Mandelbrot: fraktal geometrinin babası

"Fractal" kelimesi, parlak bilim adamı Benoît B. Mandelbrot sayesinde ortaya çıktı.

Bu terimi 1970'lerde kendisi icat etti ve kelimenin tam anlamıyla "kırık" veya "ezilmiş" anlamına gelen fraktus kelimesini Latince'den ödünç aldı. Bu ne? Günümüzde "fraktal" kelimesi en çok kendisine benzeyen bir yapının daha büyük ölçekte grafik temsili anlamında kullanılmaktadır.

Fraktallar teorisinin ortaya çıkışının matematiksel temeli, Benoit Mandelbrot'un doğumundan yıllar önce atıldı, ancak bu ancak bilgisayar cihazlarının ortaya çıkmasıyla gelişebildi. Benoit, bilimsel kariyerinin başlangıcında Araştırma Merkezi IBM şirketi. O sırada, merkezin çalışanları uzaktan veri aktarımı üzerinde çalışıyorlardı. Araştırma sırasında bilim adamları, gürültü girişiminden kaynaklanan büyük kayıplar sorunuyla karşı karşıya kaldılar. Benoit, zor ve çok önemli bir görevle karşı karşıya kaldı - elektronik devrelerde gürültü girişiminin oluşumunu nasıl tahmin edeceğinizi anlamak. istatistiksel yöntem etkisiz olduğu ortaya çıkıyor.

Gürültü ölçümlerinin sonuçlarına bakan Mandelbrot, garip bir kalıba dikkat çekti - farklı ölçeklerdeki gürültü grafikleri aynı görünüyordu. Bir gün, bir hafta veya bir saat için bir gürültü grafiği olup olmadığına bakılmaksızın özdeş bir model gözlemlendi. Grafiğin ölçeğini değiştirmeye değerdi ve resim her seferinde tekrarlandı.

Benoit Mandelbrot yaşamı boyunca defalarca formüllerle ilgilenmediğini, sadece resimlerle oynadığını söyledi. Bu adam çok mecazi düşündü ve herhangi bir cebirsel problemi, ona göre doğru cevabın her zaman açık olduğu geometri alanına çevirdi.

Fraktal geometrinin babası olanın bu kadar zengin bir uzaysal hayal gücüne sahip bir adam olması şaşırtıcı değil. Sonuçta, fraktalların özünün kavranması, tam olarak çizimleri incelemeye başladığınızda ve garip girdap desenlerinin anlamını düşündüğünüzde gelir.

Bir fraktal desen aynı öğelere sahip değildir, ancak herhangi bir ölçekte benzerliğe sahiptir. Yüksek derecede ayrıntılı böyle bir görüntüyü manuel olarak oluşturmak daha önce imkansızdı, çok fazla hesaplama gerektiriyordu. Örneğin, Fransız matematikçi Pierre Joseph Louis Fatou, bu seti Benoit Mandelbrot'un keşfinden yetmiş yıldan fazla bir süre önce tanımladı. Kendine benzerlik ilkeleri hakkında konuşursak, Leibniz ve Georg Cantor'un eserlerinde bahsedildi.

Fraktalın ilk çizimlerinden biri, Gaston Maurice Julia'nın araştırmasından doğan Mandelbrot kümesinin grafiksel bir yorumuydu.

Gaston Julia (her zaman maskeli - Birinci Dünya Savaşı yaralanması)

Bu Fransız matematikçi, bir döngü tarafından yinelenen basit bir formülden oluşturulmuş bir kümenin nasıl görüneceğini merak etti. geri bildirim. "Parmaklarda" açıklanırsa, bu, belirli bir sayı için formülü kullanarak yeni bir değer bulduğumuz, ardından onu tekrar formüle yerleştirip başka bir değer elde ettiğimiz anlamına gelir. Sonuç, büyük bir sayı dizisidir.

Böyle bir kümenin tam bir resmini elde etmek için çok sayıda hesaplama yapmanız gerekir - yüzlerce, binlerce, milyonlarca. Bunu manuel olarak yapmak imkansızdı. Ancak matematikçilerin kullanımına güçlü bilgi işlem cihazları göründüğünde, uzun süredir ilgi çeken formüllere ve ifadelere yeni bir bakış atabildiler. Mandelbrot, klasik fraktal hesaplamak için bir bilgisayar kullanan ilk kişiydi. Çok sayıda değerden oluşan bir diziyi işleyen Benoit, sonuçları bir grafiğe aktardı. İşte aldığı şey.

Daha sonra, bu görüntü renklendirildi (örneğin, renklendirme yollarından biri yineleme sayısıdır) ve insan tarafından yaratılmış en popüler görüntülerden biri haline geldi.

Efesli Herakleitos'a atfedilen eski bir atasözünün dediği gibi, "Aynı nehre iki kez giremezsiniz." Fraktalların geometrisini yorumlamak için en uygun olanıdır. Fraktal bir görüntüyü ne kadar detaylı incelersek inceleyelim, her zaman benzer bir model göreceğiz.

Mandelbrot uzayının bir görüntüsünün defalarca büyütüldüğünde nasıl görüneceğini görmek isteyenler, hareketli bir GIF yükleyerek bunu yapabilirler.

⇡ Lauren Carpenter: doğanın yarattığı sanat

Fraktallar teorisi kısa sürede pratik uygulama buldu. Kendine benzer görüntülerin görselleştirilmesiyle yakından ilgili olduğu için, alışılmadık formlar oluşturmak için algoritmaları ve ilkeleri ilk benimseyenlerin sanatçılar olması şaşırtıcı değildir.

Efsanevi Pixar stüdyosunun gelecekteki kurucu ortağı Loren C. Carpenter, 1967'de yeni uçakların geliştirilmesiyle uğraşan tanınmış şirketin bölümlerinden biri olan Boeing Bilgisayar Hizmetleri'nde çalışmaya başladı.

1977'de uçan modellerin prototipleriyle sunumlar yaptı. Lauren, tasarlanan uçağın görüntülerini geliştirmekten sorumluydu. Gelecekteki uçakları farklı açılardan gösteren yeni modellerin resimlerini oluşturması gerekiyordu. Bir noktada, Pixar Animation Studios'un gelecekteki kurucusu, arka plan olarak dağların görüntüsünü kullanmak için yaratıcı bir fikir buldu. Bugün, herhangi bir okul çocuğu böyle bir sorunu çözebilir, ancak geçen yüzyılın yetmişli yıllarının sonunda bilgisayarlar böyle bir sorunla başa çıkamadı. karmaşık hesaplamalar- üç boyutlu grafikler için uygulamalardan bahsetmemek için grafik düzenleyici yoktu. 1978'de Lauren, bir mağazada yanlışlıkla Benoit Mandelbrot'un Fraktallar: Form, Rastgelelik ve Boyut adlı kitabını gördü. Bu kitapta Benoit'in gerçek hayatta birçok fraktal form örneği vermesine ve bunların matematiksel bir ifadeyle tanımlanabileceğini kanıtlamasına dikkat çekildi.

Bu benzetme tesadüfen değil, matematikçi tarafından seçilmiştir. Gerçek şu ki, araştırmasını yayınlar yayınlamaz bir sürü eleştiriyle yüzleşmek zorunda kaldı. Meslektaşlarının onu suçladığı ana şey, geliştirilen teorinin yararsızlığıydı. “Evet” dediler, “bunlar çok güzel resimler, ama daha fazlası değil. Fraktallar teorisinin pratik bir değeri yoktur.” Ayrıca, genel olarak fraktal modellerin, yetmişlerin sonlarında pek çok kişiye tamamen güvenilemeyecek kadar karmaşık ve keşfedilmemiş bir şey gibi görünen "şeytan makineleri" çalışmasının bir yan ürünü olduğuna inananlar da vardı. Mandelbrot, fraktallar teorisinin bariz bir uygulamasını bulmaya çalıştı, ancak genel olarak bunu yapmasına gerek yoktu. Önümüzdeki 25 yıl boyunca Benoit Mandelbrot'un takipçileri böyle bir "matematiksel merak" için çok faydalı olduklarını kanıtladılar ve Lauren Carpenter fraktal yöntemi ilk uygulamaya koyanlardan biriydi.

Kitabı inceledikten sonra, gelecekteki animatör fraktal geometrinin ilkelerini ciddi şekilde inceledi ve onu bilgisayar grafiklerinde uygulamanın bir yolunu aramaya başladı. Lauren, sadece üç günlük bir çalışmayla, bilgisayarında dağ sisteminin gerçekçi bir görüntüsünü görselleştirebildi. Başka bir deyişle, formüllerin yardımıyla tamamen tanınabilir bir dağ manzarası çizdi.

Lauren'in amacına ulaşmak için kullandığı ilke çok basitti. Daha büyük bir geometrik figürü küçük elemanlara bölmekten ibaretti ve bunlar da daha küçük boyutlu benzer figürlere bölündü.

Carpenter daha büyük üçgenler kullanarak onları dört küçük üçgene ayırdı ve ardından gerçekçi bir dağ manzarası elde edene kadar bu prosedürü tekrar tekrar tekrarladı. Böylece, görüntü oluşturmak için bilgisayar grafiklerinde fraktal bir algoritma kullanan ilk sanatçı olmayı başardı. Yapılan iş hakkında bilgi sahibi olur olmaz, dünyanın dört bir yanındaki meraklılar bu fikri benimsediler ve gerçekçi doğal formları simüle etmek için fraktal algoritmayı kullanmaya başladılar.

Fraktal algoritmayı kullanan ilk 3B işlemelerden biri

Sadece birkaç yıl sonra Lauren Carpenter, başarılarını çok daha büyük bir projede uygulayabildi. Animatör, onları 1980'de Siggraph'ta gösterilen Vol Libre adlı iki dakikalık bir demoya dayandırdı. Bu video gören herkesi şoke etti ve Lauren Lucasfilm'den bir davet aldı.

Animasyon, Digital Equipment Corporation'dan bir VAX-11/780 bilgisayarında beş megahertzlik bir saat hızında oluşturuldu ve her karenin çizilmesi yaklaşık yarım saat sürdü.

Lucasfilm Limited için çalışan animatör, Star Trek destanındaki ikinci uzun metrajlı film için aynı 3B manzaraları yarattı. Khan'ın Gazabı'nda Carpenter, aynı fraktal yüzey modelleme ilkesini kullanarak tüm bir gezegeni yaratmayı başardı.

Şu anda, 3B manzaralar oluşturmaya yönelik tüm popüler uygulamalar, aynı doğal nesneler oluşturma ilkesini kullanır. Terragen, Bryce, Vue ve diğer 3D editörler, fraktal bir yüzey ve doku modelleme algoritmasına güvenir.

⇡ Fraktal antenler: daha azı daha iyidir, ancak daha iyidir

Son yarım yüzyılda hayat hızla değişti. Çoğumuz modern teknolojideki gelişmeleri doğal karşılıyoruz. Hayatı kolaylaştıran her şeye çok çabuk alışıyorsunuz. Nadiren kimse “Bu nereden geldi?” Sorularını soruyor. ve "Nasıl çalışır?". Mikrodalga fırın kahvaltıyı ısıtır - harika, akıllı telefon başka biriyle konuşmanıza izin verir - harika. Bu bize açık bir ihtimal gibi görünüyor.

Ancak bir kişi meydana gelen olaylar için bir açıklama aramadıysa, hayat tamamen farklı olabilirdi. Örneğin cep telefonlarını ele alalım. İlk modellerdeki geri çekilebilir antenleri hatırlıyor musunuz? Müdahale ettiler, cihazın boyutunu artırdılar, sonunda sık sık kırıldılar. Sonsuza dek unutulmaya yüz tuttuklarına inanıyoruz ve kısmen de bu ... fraktallar yüzünden.

Fraktal çizimler desenleriyle büyülüyor. Kesinlikle uzay nesnelerinin görüntülerine benziyorlar - bulutsular, galaksi kümeleri vb. Bu nedenle, Mandelbrot fraktal teorisini dile getirdiğinde, araştırmasının astronomi okuyanlar arasında artan ilgiyi uyandırması oldukça doğaldır. Nathan Cohen adlı böyle bir amatör, Budapeşte'deki Benoit Mandelbrot tarafından verilen bir konferansa katıldıktan sonra, edindiği bilgilerin pratik olarak uygulanması fikrinden ilham aldı. Doğru, bunu sezgisel olarak yaptı ve keşfinde şans önemli bir rol oynadı. Bir radyo amatörü olarak Nathan, mümkün olan en yüksek hassasiyete sahip bir anten yaratmaya çalıştı.

O zamanlar bilinen antenin parametrelerini iyileştirmenin tek yolu geometrik boyutlarını artırmaktı. Ancak, Nathan'ın kiraladığı Boston şehir merkezindeki dairenin sahibi, çatıya büyük cihazların kurulmasına kesinlikle karşıydı. Sonra Nathan deneyler yapmaya başladı. çeşitli formlar antenler, minimum boyutla maksimum sonucu almaya çalışıyor. Fraktal formlar fikriyle ateşlenen Cohen, dedikleri gibi, telden en ünlü fraktallardan birini rastgele yaptı - “Koch kar tanesi”. İsveçli matematikçi Helge von Koch bu eğriyi 1904'te buldu. Parçanın üç parçaya bölünmesi ve orta parçanın bu parçaya denk gelen kenarı olmayan bir eşkenar üçgen ile değiştirilmesiyle elde edilir. Tanımı anlamak biraz zor ama şekil açık ve basit.

"Koch eğrisinin" başka çeşitleri de vardır, ancak eğrinin yaklaşık şekli benzer kalır.

Nathan anteni radyo alıcısına bağladığında çok şaşırdı - hassasiyet çarpıcı biçimde arttı. Bir dizi deneyden sonra, Boston Üniversitesi'ndeki müstakbel profesör, fraktal bir desene göre yapılmış bir antenin yüksek verimliliğe sahip olduğunu ve klasik çözümlere kıyasla çok daha geniş bir frekans aralığını kapsadığını fark etti. Ek olarak, antenin fraktal eğri şeklindeki şekli, geometrik boyutları önemli ölçüde azaltabilir. Nathan Cohen, geniş bantlı bir anten oluşturmak için ona kendine benzer bir fraktal eğri şekli vermenin yeterli olduğunu kanıtlayan bir teorem bile geliştirdi.

Yazar, keşfinin patentini aldı ve fraktal antenlerin geliştirilmesi ve tasarımı için bir firma kurdu Fraktal Anten Sistemleri, gelecekte, keşfi sayesinde cep telefonlarının hacimli antenlerden kurtulabileceğine ve daha kompakt hale geleceğine haklı olarak inanıyor.

Temel olarak, olan buydu. Doğru, bu güne kadar Nathan, keşfini kompakt iletişim cihazları üretmek için yasa dışı olarak kullanan büyük şirketlerle bir davada. Motorola gibi bazı tanınmış mobil cihaz üreticileri, fraktal antenin mucidi ile şimdiden bir barış anlaşmasına vardılar.

⇡ Fraktal boyutlar: zihin anlamaz

Benoit, bu soruyu ünlü Amerikalı bilim adamı Edward Kasner'dan ödünç aldı.

İkincisi, diğer birçok ünlü matematikçi gibi, çocuklarla iletişim kurmayı, onlara sorular sormayı ve beklenmedik cevaplar almayı çok severdi. Bazen bu şaşırtıcı sonuçlara yol açtı. Örneğin, Edward Kasner'ın dokuz yaşındaki yeğeni, şimdi iyi bilinen "googol" kelimesini buldu ve yüz sıfırlı bir birimi ifade etti. Ama fraktallara geri dönelim. Amerikalı matematikçi, ABD kıyı şeridinin ne kadar uzun olduğunu sormayı severdi. Muhatabın görüşünü dinledikten sonra Edward'ın kendisi doğru cevabı söyledi. Haritadaki uzunluğu kırık parçalarla ölçerseniz, kıyı şeridinde çok sayıda düzensizlik olduğu için sonuç yanlış olacaktır. Ve mümkün olduğunca doğru bir şekilde ölçerseniz ne olur? Her bir eşitsizliğin uzunluğunu hesaba katmanız gerekecek - her bir pelerini, her körfezi, kayayı, kayalık bir çıkıntının uzunluğunu, üzerinde bir taşı, bir kum tanesini, bir atomu vb. ölçmeniz gerekecek. Düzensizliklerin sayısı sonsuz olma eğiliminde olduğundan, kıyı şeridinin ölçülen uzunluğu her yeni düzensizlik ile sonsuza kadar artacaktır.

Ölçerken ölçü ne kadar küçükse, ölçülen uzunluk o kadar büyük olur

İlginç bir şekilde, Edward'ın talimatlarını takiben, çocuklar doğru cevabı yetişkinlerden çok daha hızlı söylerken, yetişkinler böyle inanılmaz bir cevabı kabul etmekte zorlandılar.

Bu problemi örnek olarak kullanan Mandelbrot, ölçümlere yeni bir yaklaşım kullanmayı önerdi. Kıyı şeridi bir fraktal eğriye yakın olduğu için, fraktal boyut olarak adlandırılan bir karakterize edici parametrenin buna uygulanabileceği anlamına gelir.

Olağan boyutun ne olduğu herkes için açıktır. Boyut bire eşitse, iki - düz bir rakam, üç - hacim ise düz bir çizgi elde ederiz. Bununla birlikte, matematikte böyle bir boyut anlayışı, bu parametrenin kesirli bir değere sahip olduğu fraktal eğrilerle çalışmaz. Matematikte fraktal boyut şartlı olarak "pürüzlülük" olarak kabul edilebilir. Eğrinin pürüzlülüğü ne kadar yüksek olursa, fraktal boyutu da o kadar büyük olur. Mandelbrot'a göre, topolojik boyutundan daha yüksek bir fraktal boyuta sahip bir eğri, boyutların sayısına bağlı olmayan yaklaşık bir uzunluğa sahiptir.

Şu anda, bilim adamları fraktal teorinin uygulanması için giderek daha fazla alan buluyorlar. Fraktalların yardımıyla, hisse senedi fiyatlarındaki dalgalanmaları analiz edebilir, tür sayısındaki dalgalanmalar gibi her türlü doğal süreci keşfedebilir veya akış dinamiklerini simüle edebilirsiniz. Fraktal algoritmalar, örneğin görüntü sıkıştırma gibi veri sıkıştırma için kullanılabilir. Bu arada, bilgisayar ekranınızda güzel bir fraktal elde etmek için doktora derecesine sahip olmanız gerekmez.

⇡ Tarayıcıda fraktal

Belki de en çok biri basit yollar fraktal bir desen elde edin - genç yetenekli programcı Toby Schachman'ın çevrimiçi vektör düzenleyicisini kullanın. Bu basit grafik düzenleyicinin araç takımı, aynı öz-benzerlik ilkesine dayanmaktadır.

Elinizde sadece iki basit şekil var - bir kare ve bir daire. Bunları tuvale ekleyebilir, ölçekleyebilir (eksenlerden biri boyunca ölçeklendirmek için Shift tuşunu basılı tutun) ve döndürebilirsiniz. Boolean toplama işlemleri ilkesiyle örtüşen bu en basit öğeler, yeni, daha az önemsiz biçimler oluşturur. Ayrıca, bu yeni formlar projeye eklenebilir ve program bu görüntülerin oluşturulmasını süresiz olarak tekrarlayacaktır. Bir fraktal üzerinde çalışmanın herhangi bir aşamasında, karmaşık bir şeklin herhangi bir bileşenine dönebilir ve konumunu ve geometrisini düzenleyebilirsiniz. Çok eğlenceli, özellikle de yaratıcı olmak için ihtiyacınız olan tek aracın bir tarayıcı olduğunu düşündüğünüzde. Bu özyinelemeli vektör editörüyle çalışma prensibini anlamıyorsanız, videoyu projenin resmi web sitesinde izlemenizi tavsiye ederiz, bu da tüm fraktal oluşturma sürecini ayrıntılı olarak gösterir.

⇡ XaoS: her zevke uygun fraktallar

Birçok grafik düzenleyicide, fraktal desenler oluşturmak için yerleşik araçlar bulunur. Ancak, bu araçlar genellikle ikincildir ve oluşturulan fraktal desende ince ayar yapmanıza izin vermez. Matematiksel olarak doğru bir fraktal oluşturmanın gerekli olduğu durumlarda, XaoS çapraz platform düzenleyicisi kurtarmaya gelecektir. Bu program, yalnızca kendine benzer bir görüntü oluşturmayı değil, aynı zamanda onunla çeşitli manipülasyonlar yapmayı da mümkün kılar. Örneğin, gerçek zamanlı olarak, ölçeğini değiştirerek bir fraktalda "yürüyebilirsiniz". Bir fraktal boyunca animasyonlu hareket, bir XAF dosyası olarak kaydedilebilir ve ardından programın kendisinde oynatılabilir.

XaoS, rastgele bir parametre seti yükleyebilir ve çeşitli görüntü işleme filtreleri kullanabilir - bulanık bir hareket efekti ekleyebilir, fraktal noktalar arasındaki keskin geçişleri yumuşatabilir, bir 3D görüntüyü simüle edebilir, vb.

⇡ Fraktal Zoomer: kompakt fraktal üreteci

Diğer fraktal görüntü oluşturucularla karşılaştırıldığında, birçok avantajı vardır. İlk olarak, boyutu oldukça küçüktür ve kurulum gerektirmez. İkincisi, resmin renk paletini tanımlama yeteneğini uygular. RGB, CMYK, HVS ve HSL renk modellerinde gölgeler seçebilirsiniz.

Rastgele renk tonu seçimi seçeneğini ve resimdeki tüm renkleri tersine çevirme işlevini kullanmak da çok uygundur. Rengi ayarlamak için, döngüsel gölge seçimi işlevi vardır - ilgili mod açıldığında, program görüntüyü canlandırır, üzerindeki renkleri döngüsel olarak değiştirir.

Fraktal Zoomer 85 farklı fraktal fonksiyonu görselleştirebilir ve formüller program menüsünde açıkça gösterilir. Programda az miktarda da olsa görüntü işleme sonrası filtreler bulunmaktadır. Atanan her filtre herhangi bir zamanda iptal edilebilir.

⇡ Mandelbulb3D: 3B fraktal düzenleyici

"Fractal" terimi kullanıldığında, çoğunlukla düz iki boyutlu bir görüntü anlamına gelir. Ancak fraktal geometri 2B boyutun ötesine geçer. Doğada, hem düz fraktal form örnekleri, örneğin yıldırım geometrisi hem de üç boyutlu üç boyutlu şekiller bulunabilir. Fraktal yüzeyler 3B olabilir ve 3B fraktalların en açıklayıcı örneklerinden biridir. Günlük yaşam- lahana başı. Fraktalları görmenin belki de en iyi yolu, karnabahar ve brokolinin bir melezi olan Romanesco'dur.

Ve bu fraktal yenebilir

Mandelbulb3D programı, benzer bir şekle sahip üç boyutlu nesneler oluşturabilir. Fraktal algoritmayı kullanarak bir 3B yüzey elde etmek için, bu uygulamanın yazarları Daniel White ve Paul Nylander, Mandelbrot setini küresel koordinatlara dönüştürdüler. Oluşturdukları Mandelbulb3D programı, fraktal yüzeyleri modelleyen gerçek bir üç boyutlu düzenleyicidir. farklı şekiller. Doğada fraktal desenleri sıklıkla gözlemlediğimiz için, yapay olarak oluşturulmuş fraktal üç boyutlu bir nesne inanılmaz derecede gerçekçi ve hatta “canlı” görünüyor.

Bir bitki gibi görünebilir, garip bir hayvana, bir gezegene veya başka bir şeye benzeyebilir. Bu efekt, gerçekçi yansımalar elde etmeyi, şeffaflık ve gölgeleri hesaplamayı, alan derinliği efektini simüle etmeyi vb. mümkün kılan gelişmiş bir işleme algoritması ile geliştirilmiştir. Mandelbulb3D, çok sayıda ayar ve işleme seçeneğine sahiptir. Işık kaynaklarının gölgelerini kontrol edebilir, modellenen nesnenin arka planını ve ayrıntı düzeyini seçebilirsiniz.

Incendia fraktal düzenleyicisi çift görüntü yumuşatmayı destekler, elli farklı üç boyutlu fraktaldan oluşan bir kitaplık içerir ve temel şekilleri düzenlemek için ayrı bir modüle sahiptir.

Uygulama, bağımsız olarak yeni fraktal yapı türlerini tanımlayabileceğiniz fraktal komut dosyası kullanır. Incendia, doku ve malzeme düzenleyicilere ve hacimsel sis efektlerini ve çeşitli gölgelendiricileri kullanmanıza izin veren bir işleme motoruna sahiptir. Program, uzun süreli oluşturma sırasında arabelleği kaydetme seçeneğine sahiptir, animasyon oluşturma desteklenir.

Incendia, bir fraktal modeli popüler 3D grafik formatlarına (OBJ ve STL) aktarmanıza olanak tanır. Incendia, küçük bir Geometrica yardımcı programını içerir - fraktal bir yüzeyin üç boyutlu bir modele dışa aktarılmasını ayarlamak için özel bir araç. Bu yardımcı programı kullanarak, bir 3B yüzeyin çözünürlüğünü belirleyebilir, fraktal yinelemelerin sayısını belirleyebilirsiniz. Dışa aktarılan modeller, Blender, 3ds max ve diğerleri gibi 3B düzenleyicilerle çalışırken 3B projelerde kullanılabilir.

Son zamanlarda, Incendia projesi üzerindeki çalışmalar biraz yavaşladı. Şu anda yazar, programı geliştirmesine yardımcı olacak sponsorlar arıyor.

Bu programda güzel bir üç boyutlu fraktal çizecek kadar hayal gücünüz yoksa önemli değil. INCENDIA_EX\parameters klasöründe bulunan parametre kitaplığını kullanın. PAR dosyalarının yardımıyla, animasyonlu olanlar da dahil olmak üzere en sıra dışı fraktal şekilleri hızla bulabilirsiniz.

⇡ İşitsel: fraktallar nasıl şarkı söyler

Genelde üzerinde çalışılan projelerden bahsetmiyoruz ama bu durumda bir istisna yapmamız gerekiyor, bu çok sıra dışı bir uygulama. Incendia ile aynı kişiyle Aural adlı bir proje ortaya çıktı. Doğru, bu sefer program fraktal kümeyi görselleştirmiyor, ancak seslendirerek elektronik müziğe dönüştürüyor. Fikir, özellikle fraktalların olağandışı özellikleri göz önüne alındığında çok ilginç. Aural, fraktal algoritmalar kullanarak melodiler üreten bir ses editörüdür, yani aslında bir ses sentezleyici-sıralayıcıdır.

Bu program tarafından verilen seslerin sırası alışılmadık ve ... güzel. Yazmak için kullanışlı olabilir modern ritimler ve özellikle TV ve radyo girişleri için film müzikleri ve bilgisayar oyunları için arka plan müziği "döngüleri" oluşturmak için çok uygun olduğunu düşünüyoruz. Ramiro henüz programının bir demosunu sağlamadı, ancak yaptığında, Aural ile çalışmak için fraktallar teorisini öğrenmesine gerek kalmayacağını vaat ediyor - sadece bir not dizisi oluşturmak için algoritmanın parametreleriyle oynayın . Fraktalların nasıl ses çıkardığını dinleyin ve.

Fraktallar: müzikal duraklama

Aslında, fraktallar yazılım olmadan bile müzik yazmaya yardımcı olabilir. Ancak bu, yalnızca doğal uyum fikriyle gerçekten iç içe olan ve aynı zamanda talihsiz bir “inek” haline gelmemiş biri tarafından yapılabilir. Diğer şeylerin yanı sıra Popular Science dergisi için besteler yazan Jonathan Coulton adlı bir müzisyenden ipucu almak mantıklı. Ve diğer sanatçılardan farklı olarak, Colton tüm eserlerini Creative Commons Atıf-Ticari Olmayan lisansı altında yayınlar; bu lisans (ticari olmayan amaçlarla kullanıldığında) ücretsiz kopyalama, dağıtım, eserin başkalarına aktarılması ve aynı zamanda değiştirilmesini (oluşturma) sağlar. türev çalışmalar) ihtiyaçlarınıza göre uyarlamak için.

Jonathan Colton'ın elbette fraktallarla ilgili bir şarkısı var.

⇡ Sonuç

Bizi çevreleyen her şeyde sık sık kaos görürüz, ancak aslında bu bir tesadüf değil, fraktalların ayırt etmemize yardımcı olan ideal bir formdur. Doğa en iyi mimar, ideal inşaatçı ve mühendistir. Çok mantıklı bir şekilde düzenlenmiştir ve eğer bir yerde kalıp görmüyorsak, bu onu farklı bir ölçekte aramamız gerektiği anlamına gelir. İnsanlar bunu giderek daha iyi anlıyor, doğal formları birçok yönden taklit etmeye çalışıyor. Mühendisler, bir kabuk şeklinde hoparlör sistemleri tasarlar, kar tanesi geometrisine sahip antenler oluşturur vb. Fraktalların hala birçok sır sakladığından eminiz ve birçoğu henüz insan tarafından keşfedilmemiştir.