Kısaltılmış çarpma formülleri a2 b2. Kısaltılmış çarpma formülleri

Bir önceki dersimizde çarpanlara ayırma konusunu ele almıştık. İki yöntemde ustalaştık: ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak ve gruplamak. Bu derste - aşağıdaki güçlü yöntem: kısaltılmış çarpma formülleri. Kısacası - FSU.

Kısaltılmış çarpma formülleri (toplam ve fark karesi, toplam ve fark küpü, kareler farkı, küplerin toplamı ve farkı) matematiğin tüm dallarında son derece gereklidir. İfadeleri basitleştirmede, denklem çözmede, polinomları çarpmada, kesirleri azaltmada, integralleri çözmede vb. kullanılırlar. vesaire. Kısacası onlarla uğraşmak için her türlü neden var. Bunların nereden geldiğini, neden gerekli olduklarını, nasıl hatırlanacaklarını ve nasıl uygulanacağını anlayın.

Anladık mı?)

Kısaltılmış çarpma formülleri nereden geliyor?

Eşitlik 6 ve 7 pek tanıdık bir şekilde yazılmamıştır. Bu biraz tam tersi. Bu bilerek yapılmıştır.) Herhangi bir eşitlik hem soldan sağa hem de sağdan sola çalışır. Bu giriş FSU'ların nereden geldiğini açıkça ortaya koyuyor.

Çarpmadan alınırlar.) Örneğin:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

İşte bu, bilimsel hile yok. Sadece parantezleri çarpıyoruz ve benzerlerini veriyoruz. Bu şekilde ortaya çıkıyor tüm kısaltılmış çarpma formülleri. Kısaltılmışçarpmanın nedeni formüllerin kendisinde parantezlerin çarpımı ve benzerlerinin azaltılmasının olmamasıdır. Kısaltılmıştır.) Sonuç hemen verilir.

FSU'nun ezbere bilinmesi gerekiyor. İlk üçü olmadan C'yi hayal edemezsiniz; geri kalanı olmadan B'yi veya A'yı hayal edemezsiniz.)

Neden kısaltılmış çarpma formüllerine ihtiyacımız var?

Bu formülleri öğrenmenin, hatta ezberlemenin iki nedeni var. Birincisi, hazır bir yanıtın otomatik olarak hata sayısını azaltmasıdır. Ancak asıl sebep bu değil. Ama ikincisi...

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Ders içeriği

İki ifadenin toplamının karesi

Bir polinomun bir polinomla çarpılmasının büyük ölçüde basitleştirilebileceği birkaç durum vardır. Örneğin durum böyle (2 X+ 3sen) 2 .

İfade (2 X+ 3sen) 2, her biri (2)'ye eşit olan iki polinomun çarpımıdır. X+ 3sen)

(2X+ 3sen) 2 = (2X+ 3sen)(2X+ 3sen)

Bir polinomun bir polinomla çarpımını elde ettik. Hadi uygulayalım:

(2X+ 3sen) 2 = (2X+ 3sen)(2X+ 3sen) = 4X 2 + 6xy + 6xy + 9sen 2 = 4X 2 + 12xy+ 9sen 2

Yani, ifade (2 X+ 3sen) 2 eşittir 4X 2 + 12xy + 9sen 2

(2X+ 3sen) 2 = 4X 2 + 12xy+ 9sen 2

Daha basit olan benzer bir örneği çözelim:

(a+b) 2

İfade ( a+b) 2, her biri ('ye eşit olan) iki polinomun çarpımıdır. a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

Bu çarpımı yapalım:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = A 2 + ab + ab + B 2 = A 2 + 2ab + B 2

Yani ifade (a+b) 2 eşittir A 2 + 2ab + B 2

(a+b) 2 = A 2 + 2ab + B 2

Öyle görünüyor ki durum ( a+b) 2 herhangi birine genişletilebilir A Ve B. Çözdüğümüz ilk örnek, yani (2 X+ 3sen) 2 özdeşliği kullanılarak çözülebilir (a+b) 2 = A 2 + 2ab + B 2 . Bunu yapmak için değişkenler yerine ikame etmeniz gerekir A Ve B ifadeden karşılık gelen terimler (2 X+ 3sen) 2. Bu durumda değişken Aüye 2'ye karşılık gelir X ve değişken Büye 3'e karşılık gelir sen

A = 2X

B = 3sen

Ve sonra kimliği kullanabiliriz (a+b) 2 = A 2 + 2ab + B 2 , ancak değişkenler yerine A Ve B ifadeleri değiştirmeniz gerekir 2 X ve 3 sen sırasıyla:

(2X+ 3sen) 2 = (2X) 2 + 2 × 2 X× 3 sen + (3sen) 2 = 4X 2 + 12xy+ 9sen 2

Tıpkı geçen seferki gibi bir polinomumuz var 4X 2 + 12xy+ 9sen 2 . Çözüm genellikle kısaca yazılır ve zihindeki tüm temel dönüşümler gerçekleştirilir:

(2X+ 3sen) 2 = 4X 2 + 12xy+ 9sen 2

Kimlik (a+b) 2 = A 2 + 2ab + B 2 iki ifadenin toplamının karesi formülü denir. Bu formül şu şekilde okunabilir:

İki ifadenin toplamının karesi, birinci ifadenin karesi artı birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesine eşittir.

(2 + 3) 2 ifadesini düşünün. İki şekilde hesaplanabilir: parantez içinde toplama işlemi yapın ve elde edilen sonucun karesini alın veya iki ifadenin toplamının karesi formülünü kullanın.

İlk yol:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

İkinci yol:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Örnek 2. İfadeyi Dönüştür (5 A+ 3) 2'yi bir polinom haline getirin.

İki ifadenin toplamının karesi için formülü kullanalım:

(a+b) 2 = A 2 + 2ab + B 2

(5a+ 3) 2 = (5A) 2 + 2 × 5 bir × 3 + 3 2 = 25A 2 + 30A + 9

Araç, (5a+ 3) 2 = 25A 2 + 30A + 9.

Bu örneği toplam formülünün karesini kullanmadan çözmeye çalışalım. Aynı sonucu elde etmeliyiz:

(5a+ 3) 2 = (5a+ 3)(5a+ 3) = 25A 2 + 15A + 15A + 9 = 25A 2 + 30A + 9

İki ifadenin toplamının karesi formülü: geometrik anlamı. Bir karenin alanını hesaplamak için kenarını ikinci kuvvete yükseltmemiz gerektiğini hatırlıyoruz.

Örneğin bir kenarı olan bir karenin alanı A eşit olacak A 2. Bir karenin kenarını arttırırsanız B, o zaman alan şuna eşit olacaktır: ( a+b) 2

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:

Bu şekilde gösterilen karenin bir kenarının artırıldığını düşünelim. B. Karenin tüm kenarları eşittir. Tarafı artırılırsa B, o zaman geri kalan kenarlar da şu oranda artacaktır: B

Sonuç, öncekinden daha büyük olan yeni bir karedir. Daha net görebilmek için eksik tarafları tamamlayalım:

Bu karenin alanını hesaplamak için, içinde yer alan kare ve dikdörtgenleri ayrı ayrı hesaplayabilir, ardından sonuçları ekleyebilirsiniz.

Öncelikle kenarı olan bir kareyi hesaplayabilirsiniz. A- alanı eşit olacak A 2. Daha sonra kenarları olan dikdörtgenleri hesaplayabilirsiniz. A Ve B- eşit olacaklar ab. Daha sonra kenar ile kareyi hesaplayabilirsiniz. B

Sonuç, aşağıdaki alanların toplamıdır:

A 2 + ab+ab + B 2

Aynı dikdörtgenlerin alanlarının toplamı 2 ile çarpılarak değiştirilebilir ab, bu kelimenin tam anlamıyla şu anlama gelecektir: “ab dikdörtgeninin alanını iki kez tekrarla” . Cebirsel olarak benzer terimlerin getirilmesiyle bu elde edilir ab Ve ab. Sonuç ifadedir A 2 + 2ab+ B 2 , iki ifadenin toplamının karesi formülünün sağ tarafıdır:

(a+b) 2 = A 2 + 2ab+ B 2

İki ifadenin farkının karesi

İki ifadenin kare farkının formülü aşağıdaki gibidir:

(a - b) 2 = A 2 − 2ab + B 2

İki ifadenin farkının karesi, birinci ifadenin karesi eksi birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesine eşittir.

İki ifadenin farkının karesi formülü, iki ifadenin toplamının karesi formülüyle aynı şekilde türetilir. İfade ( a - b) 2, her biri ('ye eşit olan) iki polinomun çarpımıdır. a - b)

(a - b) 2 = (a - b)(a - b)

Bu çarpmayı yaparsanız bir polinom elde edersiniz A 2 − 2ab + B 2

(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = A 2 − ab− ab+ B 2 = A 2 − 2ab + B 2

Örnek 1. İfadeyi Dönüştür (7 X− 5) 2'yi bir polinom haline getirin.

İki ifadenin farkının karesi için formülü kullanalım:

(a - b) 2 = A 2 − 2ab + B 2

(7X− 5) 2 = (7X) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49X 2 − 70X + 25

Araç, (7X− 5) 2 = 49X 2 + 70X + 25.

Bu örneği kareler fark formülünü kullanmadan çözmeye çalışalım. Aynı sonucu elde etmeliyiz:

(7X− 5) 2 = (7X− 5) (7X− 5) = 49X 2 − 35X − 35X + 25 = 49X 2 − 70X+ 25.

İki ifadenin farkının karesi formülünün de geometrik bir anlamı vardır. Kenarı olan bir karenin alanı ise A eşit A 2, daha sonra kenarı azaltılan bir karenin alanı B, şuna eşit olacaktır ( a - b) 2

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:

Bu şekilde gösterilen karenin bir kenarının azaltıldığını düşünelim. B. Karenin tüm kenarları eşittir. Bir taraf azaltılırsa B, o zaman kalan kenarlar da azalacak B

Sonuç, öncekinden daha küçük olan yeni bir karedir. Şekilde sarı renkle vurgulanmıştır. Tarafı eşittir A− Bçünkü eski taraf A kadar azaldı B. Bu karenin alanını hesaplamak için karenin orijinal alanından yararlanabilirsiniz. A 2 Eski karenin kenarlarının azaltılması sürecinde elde edilen dikdörtgenlerin alanlarını çıkarın. Bu dikdörtgenleri gösterelim:

Daha sonra şu ifadeyi yazabilirsiniz: eski kare A 2 eksi alan ab eksi alan ( a - b)B

A 2 − ab − (a - b)B

İfadedeki parantezleri genişletelim ( a - b)B

A 2 − ab-ab + B 2

Benzer terimlere bakalım:

A 2 − 2ab + B 2

Sonuç ifadedir A 2 − 2ab + B 2 iki ifadenin farkının karesi formülünün sağ tarafı:

(a - b) 2 = A 2 − 2ab + B 2

Kare toplam ve kare fark formülleri genellikle denir kısaltılmış çarpma formülleri. Bu formüller polinomları çarpma işlemini önemli ölçüde basitleştirebilir ve hızlandırabilir.

Daha önce bir polinomun bir elemanını ayrı ayrı ele alırken önündeki işaretle birlikte dikkate alınması gerektiğini söylemiştik.

Ancak kısaltılmış çarpma formülleri kullanılırken orijinal polinomun işareti bu terimin işareti olarak değerlendirilmemelidir.

Örneğin, ifade verilirse (5 X − 2sen) 2 ve formülü kullanmak istiyoruz (a - b) 2 = A 2 − 2ab + B 2 , bunun yerine B 2'yi değiştirmem lazım sen, −2 değil sen. Bu, formüllerle çalışmanın unutulmaması gereken bir özelliğidir.

(5X − 2sen) 2
A = 5X
B = 2sen
(5X − 2sen) 2 = (5X) 2 − 2 × 5 X× 2 sen + (2sen) 2 = 25X 2 − 20xy + 4sen 2

-2 yerine koyarsak sen, o zaman bu, orijinal ifadenin parantezlerindeki farkın toplamla değiştirildiği anlamına gelecektir:

(5X − 2sen) 2 = (5X + (−2sen)) 2

ve bu durumda kareler fark formülünü değil, kareler toplam formülünü kullanmanız gerekir:

(5X + (−2sen) 2
A = 5X
B = −2sen
(5X + (−2sen)) 2 = (5X) 2 + 2 × 5 X× (−2 sen) + (−2sen) 2 = 25X 2 − 20xy + 4sen 2

Formun ifadeleri bir istisna olabilir (X− (−sen)) 2 . Bu durumda formülü kullanarak (a - b) 2 = A 2 − 2ab + B 2 yerine B değiştirilmelidir (- sen)

(X− (−sen)) 2 = X 2 − 2 × X× (− sen) + (−sen) 2 = X 2 + 2xy + sen 2

Ancak formun ifadelerinin karesini alma X − (−sen), çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirmek daha uygun olacaktır x+y. Daha sonra orijinal ifade şu formu alacaktır ( x+sen) 2 ve fark yerine toplamın karesi formülünü kullanmak mümkün olacaktır:

(x+sen) 2 = X 2 + 2xy + sen 2

Toplamın küpü ve farkın küpü

İki ifadenin toplamının küpü ve iki ifadenin farkının küpü formülleri aşağıdaki gibidir:

(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3ab 2 + B 3

(a - b) 3 = A 3 − 3A 2 B + 3ab 2 − B 3

İki ifadenin toplamının küpü formülü şu şekilde okunabilir:

İki ifadenin toplamının küpü, birinci ifadenin küpü artı birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımının ve ikinci ifadenin karesi artı ikinci ifadenin küpünün üç katıdır. ikinci ifade.

Ve iki ifadenin farkının küpü formülü şu şekilde okunabilir:

İki ifadenin farkının küpü, birinci ifadenin küpü eksi birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımının üç katı ve ikinci ifadenin karesi eksi ikinci ifadenin küpüne eşittir. ikinci ifade.

Sorunları çözerken bu formülleri ezberlemeniz tavsiye edilir. Hatırlamıyorsan sorun yok! Bunları kendiniz kaldırabilirsiniz. Bunu nasıl yapacağımızı zaten biliyoruz.

Toplamın küpünün formülünü kendimiz türetelim:

(a+b) 3

İfade ( a+b) 3, her biri ('ye eşit olan) üç polinomun çarpımıdır. A+ B)

(a+b) 3 = (A+ B)(A+ B)(A+ B)

Ancak ifade ( a+b) 3 şu şekilde de yazılabilir: (A+ B)(A+ B) 2

(a+b) 3 = (A+ B)(A+ B) 2

Bu durumda faktör ( A+ B) 2, iki ifadenin toplamının karesidir. Bu kare toplamı şu ifadeye eşittir: A 2 + 2ab + B 2 .

Daha sonra ( a+b) 3 olarak yazılabilir (A+ B)(A 2 + 2ab + B 2) .

(a+b) 3 = (A+ B)(A 2 + 2ab + B 2)

Bu da bir polinomun bir polinomla çarpılmasıdır. Hadi uygulayalım:

(a+b) 3 = (A+ B)(A 2 + 2ab + B 2) = A 3 + 2A 2 B + ab 2 + A 2 B + 2ab 2 + B 3 = A 3 + 3A 2 B + 3ab 2 + B 3

Benzer şekilde, iki ifadenin farkının küpünün formülünü de türetebilirsiniz:

(a - b) 3 = (a – B)(A 2 − 2ab + B 2) = A 3 − 2A 2 B + ab 2 − A 2 B + 2ab 2 − B 3 = A 3 − 3A 2 B+ 3ab 2 − B 3

Örnek 1. İfadeyi dönüştürün ( X+ 1) 3'ü bir polinom haline getirin.

(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3ab 2 + B 3

(X+ 1) 3 = X 3+3× X 2 × 1 + 3 × X× 1 2 + 1 3 = X 3 + 3X 2 + 3X + 1

Bu örneği iki ifadenin toplamının küpü formülünü kullanmadan çözmeye çalışalım.

(X+ 1) 3 = (X+ 1)(X+ 1)(X+ 1) = (X+ 1)(X 2 + 2X + 1) = X 3 + 2X 2 + X + X 2 + 2X + 1 = X 3 + 3X 2 + 3X + 1

Örnek 2. İfadeyi Dönüştür (6A 2 + 3B 3) 3 bir polinomun içine.

İki ifadenin toplamının küpü formülünü kullanalım:

(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3ab 2 + B 3

(6A 2 + 3B 3) 3 = (6A 2) 3 + 3 × (6 A 2) 2×3 B 3 + 3 × 6 A 2 × (3B 3) 2 + (3B 3) 3 = 216A 6 + 3 × 36 A 4×3 B 3 + 3 × 6 A 2×9 B 6 + 27B 9

Örnek 3. İfadeyi Dönüştür ( N 2 − 3) 3'ü bir polinom haline getirin.

(a - b) = A 3 − 3A 2 B + 3ab 2 − B 3

(N 2 − 3) 3 = (N 2) 3 − 3 × ( N 2) 2 × 3 + 3 × N 2 × 3 2 − 3 3 = N 6 − 9N 4 + 27N 2 − 27

Örnek 4. İfadeyi Dönüştür (2X 2 − X 3) 3 bir polinomun içine.

İki ifadenin farkının küpü formülünü kullanalım:

(a - b) = A 3 − 3A 2 B + 3ab 2 − B 3

(2X 2 − X 3) 3 = (2X 2) 3 − 3 × (2 X 2) 2× X 3 + 3 × 2 X 2×( X 3) 2 − (X 3) 3 =
8X 6 − 3 × 4 X 4× X 3 + 3 × 2 X 2× X 6 − X 9 =
8X 6 − 12X 7 + 6X 8 − X 9

İki ifadenin farkının toplamlarıyla çarpılması

İki ifadenin farkını toplamlarıyla çarpmanız gereken problemler vardır. Örneğin:

(a - b)(a+b)

Bu ifadede iki ifadenin farkı A Ve B aynı iki ifadenin toplamı ile çarpılır. Bu çarpımı yapalım:

(a - b)(a+b) = A 2 + ab − ab − B 2 = A 2 − B 2

Yani ifade (a - b)(a+b) eşittir A 2 − B 2

(a - b)(a+b) = A 2 − B 2

İki ifadenin farkını toplamlarıyla çarptığımızda bu ifadelerin karelerinin farkını elde ettiğimizi görüyoruz.

İki ifadenin farkının toplamı ile çarpımı bu ifadelerin karelerinin farkına eşittir.

oluyor (a - b)(a+b) herkese dağıtılabilir A Ve B. Basitçe söylemek gerekirse, bir problemi çözerken iki ifadenin farkını toplamlarıyla çarpmanız gerekiyorsa, bu çarpımın yerini bu ifadelerin karelerinin farkı alabilir.

Örnek 1. Çarpmayı gerçekleştir (2X − 5)(2X + 5)

Bu örnekte ifadelerin farkı 2'dir. X ve 5 aynı ifadelerin toplamı ile çarpılır. Daha sonra formüle göre (a - b)(a+b) = A 2 − B 2 sahibiz:

(2X − 5)(2X + 5) = (2X) 2 − 5 2

Sağ tarafı hesaplayalım, 4 elde edelim X 2 − 25

(2X − 5)(2X + 5) = (2X) 2 − 5 2 = 4X 2 − 25

Bu örneği formülü kullanmadan çözmeye çalışalım. (a - b)(a+b) = A 2 − B 2 . Aynı sonucu elde edeceğiz 4 X 2 − 25

(2X − 5)(2X + 5) = 4X 2 − 10X + 10X − 25 = 4X 2 − 25

Örnek 2. Çarpmayı gerçekleştir (4X − 5sen)(4X + 5sen)

(a - b)(a+b) = A 2 − B 2

(4X − 5sen)(4X + 5sen) = (4X) 2 − (5sen) 2 = 16X 2 − 25sen 2

Örnek 3. Çarpmayı gerçekleştir (2A+ 3B)(2A− 3B)

İki ifadenin farkını toplamlarıyla çarpmak için formülü kullanalım:

(a - b)(a+b) = A 2 − B 2

(2a+ 3B)(2a – 3B) = (2A) 2 − (3B) 2 = 4A 2 − 9B 2

İÇİNDE bu örnekte terimlerin toplamı 2 A ve 3 B Bu terimlerin farkı daha önce yer alıyordu. Ve formülde (a - b)(a+b) = A 2 − B 2 fark daha erken bulunur.

Faktörlerin nasıl düzenlendiği önemli değildir ( a - b) V ( a+b) formülde. Şu şekilde yazılabilirler: (a - b)(a+b) , Bu yüzden (a+b)(a - b) . Sonuç yine eşit olacak A 2 − B 2, çünkü çarpanların yeniden düzenlenmesiyle ürün değişmez.

Yani bu örnekte faktörler (2 a+ 3B) ve (2 a – 3B) olarak yazılabilir (2a+ 3B)(2a – 3B) , Bu yüzden (2a – 3B)(2a+ 3B) . Sonuç yine 4 olacak A 2 − 9B 2 .

Örnek 3. Çarpmayı gerçekleştir (7 + 3X)(3X − 7)

İki ifadenin farkını toplamlarıyla çarpmak için formülü kullanalım:

(a - b)(a+b) = A 2 − B 2

(7 + 3X)(3X − 7) = (3X) 2 − 7 2 = 9X 2 − 49

Örnek 4. Çarpmayı gerçekleştir (X 2 − sen 3)(X 2 + sen 3)

(a - b)(a+b) = A 2 − B 2

(X 2 − sen 3)(X 2 + sen 3) = (X 2) 2 − (sen 3) 2 = X 4 − sen 6

Örnek 5. Çarpmayı gerçekleştir (−5X− 3sen)(5X− 3sen)

İfadede (−5 X− 3sen) parantezlerin dışına -1 koyarsak, orijinal ifade aşağıdaki formu alacaktır:

(−5X− 3sen)(5X− 3sen) = −1(5X + 3sen)(5X − 3sen)

İş (5X + 3sen)(5X − 3sen) kareler farkıyla değiştirin:

(−5X− 3sen)(5X− 3sen) = −1(5X + 3sen)(5X − 3sen) = −1((5X) 2 − (3sen) 2)

Kareler farkı parantez içine alındı. Bu yapılmazsa, -1'in yalnızca (5) ile çarpıldığı ortaya çıkar. X) 2. Bu da hataya ve orijinal ifadenin değerinin değişmesine yol açacaktır.

(−5X− 3sen)(5X− 3sen) = −1(5X + 3sen)(5X − 3sen) = −1((5X) 2 − (3sen) 2) = −1(25X 2 − 9X 2)

Şimdi -1'i parantez içindeki ifadeyle çarpın ve nihai sonucu elde edin:

(−5X− 3sen)(5X− 3sen) = −1(5X + 3sen)(5X − 3sen) = −1((5X) 2 − (3sen) 2) =
−1(25X 2 − 9sen 2) = −25X 2 + 9sen 2

İki ifadenin farkının toplamlarının kısmi karesiyle çarpılması

İki ifadenin farkını toplamlarının kısmi karesiyle çarpmanız gereken problemler vardır. Bu parça şuna benziyor:

(a - b)(A 2 + ab + B 2)

İlk polinom ( a - b) iki ifadenin farkıdır ve ikincisi bir polinomdur (A 2 + ab + B 2) bu iki ifadenin toplamının kısmi karesidir.

Toplamın kısmi karesi şu şekilde bir polinomdur A 2 + ab + B 2 . Toplamın olağan karesine benzer A 2 + 2ab + B 2

Örneğin, ifade 4X 2 + 6xy + 9sen 2 2 ifadelerinin toplamının tamamlanmamış karesidir X ve 3 sen .

Aslında ifadenin ilk terimi 4X 2 + 6xy + 9sen 2 , yani 4 X 2, 2 ifadesinin karesidir X, beri (2 X) 2 = 4X 2. Üçüncü ifade terimi 4X 2 + 6xy + 9sen 2 , yani 9 sen 2, 3 ifadesinin karesidir sen, beri (3 sen) 2 = 9sen 2. Ortadaki üye 6 xy, ifadeler 2'nin ürünüdür X ve 3 y.

O halde farkı çarpalım ( a - b) toplamın eksik karesi ile A 2 + ab + B 2

(a - b)(A 2 + ab + B 2) = A(A 2 + ab + b 2) − B(A 2 + ab + B 2) =
A 3 + A 2 B + ab 2 − A 2 B − ab 2 − B 3 = A 3 − B 3

Yani ifade (a - b)(A 2 + ab + B 2) eşittir A 3 − B 3

(a - b)(A 2 + ab + B 2) = A 3 − B 3

Bu özdeşliğe, iki ifadenin farkını toplamlarının kısmi karesiyle çarpma formülü denir. Bu formül şu şekilde okunabilir:

İki ifadenin farkı ile toplamlarının eksik karesinin çarpımı, bu ifadelerin küplerinin farkına eşittir.

Örnek 1. Çarpmayı gerçekleştir (2X − 3sen)(4X 2 + 6xy + 9sen 2)

İlk polinom (2 X − 3sen) iki ifadenin farkıdır 2 X ve 3 sen. İkinci polinom 4X 2 + 6xy + 9sen 2 bu iki ifadenin toplamının kısmi karesidir 2 X ve 3 sen. Bu, uzun hesaplamalar yapmadan formülü kullanmanızı sağlar (a - b)(A 2 + ab + B 2) = A 3 − B 3 . Bizim durumumuzda çarpma (2X − 3sen)(4X 2 + 6xy + 9sen 2) küp farkı 2 ile değiştirilebilir X ve 3 sen

(2X − 3sen)(4X 2 + 6xy + 9sen 2) = (2X) 3 − (3sen) 3 = 8X 3 − 27sen 3

(a - b)(A 2 + ab+ B 2) = A 3 − B 3 . Aynı sonucu elde edeceğiz ancak çözüm daha uzun olacaktır:

(2X − 3sen)(4X 2 + 6xy + 9sen 2) = 2X(4X 2 + 6xy + 9sen 2) − 3sen(4X 2 + 6xy + 9sen 2) =
8x 3 + 12X 2 sen + 18xy 2 − 12X 2 sen − 18xy 2 − 27sen 3 = 8X 3 − 27sen 3

Örnek 2. Çarpmayı gerçekleştir (3 − X)(9 + 3X + X 2)

İlk polinom (3 − X) iki ifadenin farkıdır ve ikinci polinom bu iki ifadenin toplamının kısmi karesidir. Bu, formülü kullanmamızı sağlar (a - b)(A 2 + ab + B 2) = A 3 − B 3

(3 − X)(9 + 3X + X 2) = 3 3 − X 3 = 27 − X 3

İki ifadenin toplamının farklarının kısmi karesiyle çarpılması

İki ifadenin toplamını farklarının kısmi karesiyle çarpmanız gereken problemler vardır. Bu parça şuna benziyor:

(a+b)(A 2 − ab + B 2)

İlk polinom ( a+b (A 2 − ab + B 2) bu iki ifadenin farkının eksik karesidir.

Farkın kısmi karesi şu şekilde bir polinomdur: A 2 − ab + B 2 . Düzenli fark karesine benziyor A 2 − 2ab + B 2 ancak birinci ve ikinci ifadelerin çarpımı iki katına çıkmaz.

Örneğin, ifade 4X 2 − 6xy + 9sen 2 2 ifadelerinin farkının tamamlanmamış karesidir X ve 3 y.

(2X) 2 − 2X× 3 sen + (3sen) 2 = 4X 2 − 6xy + 9sen 2

Orijinal örneğe dönelim. Toplamı çarpalım a+b farkın kısmi karesi ile A 2 − ab + B 2

(a+b)(A 2 − ab + B 2) = A(A 2 - ab + b 2) + B(A 2 − ab + B 2) =
A 3 − A 2 B + ab 2 + A 2 B − ab 2 + B 3 = A 3 + B 3

Yani ifade (a+b)(A 2 − ab + B 2) eşittir A 3 + B 3

(a+b)(A 2 − ab + B 2) = A 3 + B 3

Bu özdeşliğe, iki ifadenin toplamını farklarının eksik karesiyle çarpma formülü denir. Bu formül şu şekilde okunabilir:

İki ifadenin toplamı ile farklarının kısmi karesinin çarpımı, bu ifadelerin küplerinin toplamına eşittir.

Örnek 1. Çarpmayı gerçekleştir (2X + 3sen)(4X 2 − 6xy + 9sen 2)

İlk polinom (2 X + 3sen) iki ifadenin toplamıdır 2 X ve 3 sen ve ikinci polinom 4X 2 − 6xy + 9sen 2 bu, bu ifadelerin farkının tamamlanmamış karesidir. Bu, uzun hesaplamalar yapmadan formülü kullanmanızı sağlar (a+b)(A 2 − ab + B 2) = A 3 + B 3 . Bizim durumumuzda çarpma (2X + 3sen)(4X 2 − 6xy + 9sen 2) küplerin toplamı 2 ile değiştirilebilir X ve 3 sen

(2X + 3sen)(4X 2 − 6xy + 9sen 2) = (2X) 3 + (3sen) 3 = 8X 3 + 27sen 3

Aynı örneği formülü kullanmadan çözmeye çalışalım. (a+b)(A 2 − ab+ B 2) = A 3 + B 3 . Aynı sonucu elde edeceğiz ancak çözüm daha uzun olacaktır:

(2X + 3sen)(4X 2 − 6xy + 9sen 2) = 2X(4X 2 − 6xy + 9sen 2) + 3sen(4X 2 − 6xy + 9sen 2) =
8X 3 − 12X 2 sen + 18xy 2 + 12X 2 sen − 18xy 2 + 27sen 3 = 8X 3 + 27sen 3

Örnek 2. Çarpmayı gerçekleştir (2X+ sen)(4X 2 − 2xy + sen 2)

İlk polinom (2 X+ sen) iki ifadenin toplamıdır ve ikinci polinom (4X 2 − 2xy + sen 2) bu ifadelerin farkının eksik karesidir. Bu, formülü kullanmamızı sağlar (a+b)(A 2 − ab+ B 2) = A 3 + B 3

(2X+ sen)(4X 2 − 2xy + sen 2) = (2X) 3 + sen 3 = 8X 3 + sen 3

Aynı örneği formülü kullanmadan çözmeye çalışalım. (a+b)(A 2 − ab+ B 2) = A 3 + B 3 . Aynı sonucu elde edeceğiz ancak çözüm daha uzun olacaktır:

(2X+ sen)(4X 2 − 2xy + sen 2) = 2X(4X 2 − 2xy + sen 2) + sen(4X 2 − 2xy + sen 2) =
8X 3 − 4X 2 sen + 2xy 2 + 4X 2 sen − 2xy 2 + sen 3 = 8X 3 + sen 3

Bağımsız çözüm için görevler

Dersi beğendin mi?
Yeni VKontakte grubumuza katılın ve yeni derslerle ilgili bildirimler almaya başlayın

Kısaltılmış çarpma formülleri (FMF), sayıları ve ifadeleri üstel almak ve çarpmak için kullanılır. Çoğu zaman bu formüller hesaplamaları daha kompakt ve hızlı yapmanızı sağlar.

Bu makalede kısaltılmış çarpmanın ana formüllerini listeleyeceğiz, bunları bir tablo halinde gruplandıracağız, bu formüllerin kullanım örneklerini ele alacağız ve ayrıca kısaltılmış çarpma için formüllerin ispatının ilkeleri üzerinde duracağız.

FSU konusu ilk kez 7. sınıf Cebir dersi kapsamında ele alınıyor. Aşağıda 7 temel formül bulunmaktadır.

Kısaltılmış çarpma formülleri

1. toplamın karesi formülü: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. kare fark formülü: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. toplam küp formülü: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. fark küp formülü: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. kare fark formülü: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. küp toplamı formülü: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. küp farkı formülü: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Bu ifadelerdeki a, b, c harfleri herhangi bir sayı, değişken veya ifade olabilir. Kullanım kolaylığı açısından yedi temel formülü ezberlemek daha iyidir. Bunları bir tabloya yerleştirip, etrafını bir çerçeveyle çevreleyerek aşağıda sunalım.

İlk dört formül, iki ifadenin toplamının veya farkının sırasıyla karesini veya küpünü hesaplamanıza olanak tanır.

Beşinci formül, ifadelerin kareleri arasındaki farkı, bunların toplamını ve farkını çarparak hesaplar.

Altıncı ve yedinci formüller sırasıyla ifadelerin toplamını ve farkını farkın eksik karesi ve toplamın eksik karesi ile çarpmaktır.

Kısaltılmış çarpma formülüne bazen kısaltılmış çarpma özdeşlikleri de denir. Her eşitlik bir kimlik olduğundan bu şaşırtıcı değildir.

Pratik örnekleri çözerken, sol ve sağ tarafları değiştirilen kısaltılmış çarpma formülleri sıklıkla kullanılır. Bu özellikle bir polinomu çarpanlarına ayırırken kullanışlıdır.

Ek kısaltılmış çarpma formülleri

Kendimizi 7. sınıf cebir dersiyle sınırlamayalım ve FSU tablomuza birkaç formül daha ekleyelim.

Öncelikle Newton'un binom formülüne bakalım.

a + b n = C n 0 · bir n + C n 1 · bir n - 1 · b + C n 2 · bir n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Burada C n k Pascal üçgenindeki n numaralı satırda görünen binom katsayılarıdır. Binom katsayıları aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n(n-1)(n-2) . . (n - (k - 1)) k !

Gördüğünüz gibi farkın ve toplamın karesi ve küpü için FSU özel durum Sırasıyla n=2 ve n=3 için Newton'un binom formülleri.

Peki ya toplamda bir kuvvete yükseltilmesi gereken ikiden fazla terim varsa? Üç, dört veya daha fazla terimin toplamının karesi formülü faydalı olacaktır.

bir 1 + bir 2 +. . + bir n 2 = bir 1 2 + bir 2 2 + . . + bir n 2 + 2 bir 1 bir 2 + 2 bir 1 bir 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 bir 2 bir n + 2 bir n - 1 bir n

Yararlı olabilecek başka bir formül de iki terimin n'inci kuvvetleri arasındaki fark formülüdür.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Bu formül genellikle sırasıyla çift ve tek kuvvetler için iki formüle ayrılır.

2 m'lik göstergeler için bile:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Tek üsler için 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Kareler farkı ve küpler farkı formülleri tahmin ettiğiniz gibi bu formülün sırasıyla n = 2 ve n = 3 için özel durumlarıdır. Küp farkı için b'nin yerini de - b alır.

Kısaltılmış çarpma formülleri nasıl okunur?

Her formüle uygun formülasyonları vereceğiz ancak önce formül okumanın prensibini anlayacağız. Bunu yapmanın en uygun yolu bir örnektir. İki sayının toplamının karesi için ilk formülü alalım.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Şöyle derler: a ve b iki ifadenin toplamının karesi toplamına eşit birinci ifadenin karesi, ifadelerin çarpımının iki katı ve ikinci ifadenin karesi.

Diğer tüm formüller benzer şekilde okunur. a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 farkının karesi için şunu yazıyoruz:

a ve b gibi iki ifade arasındaki farkın karesi, bu ifadelerin karelerinin toplamı eksi birinci ve ikinci ifadelerin çarpımının iki katıdır.

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 formülünü okuyalım. a ve b gibi iki ifadenin toplamının küpü, bu ifadelerin küplerinin toplamına eşittir; birinci ifadenin karesinin ikinciyle çarpımı üç katına ve ikinci ifadenin karesinin çarpımı üçle çarpılır. ilk ifade.

Şimdi a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 küplerinin farkı formülünü okumaya devam edelim. a ve b gibi iki ifade arasındaki farkın küpü, birinci ifadenin küpünden birinci ve ikinci ifadenin karesinin üçlü çarpımı artı ikinci ifadenin ve birinci ifadenin karesinin üçlü çarpımına eşittir. , eksi ikinci ifadenin küpü.

Beşinci formül a 2 - b 2 = a - b a + b (kareler farkı) şu şekildedir: iki ifadenin karelerinin farkı, farkın çarpımına ve iki ifadenin toplamına eşittir.

Kolaylık olması açısından a 2 + a b + b 2 ve a 2 - a b + b 2 gibi ifadelere sırasıyla toplamın tamamlanmamış karesi ve farkın tamamlanmamış karesi adı verilir.

Bunu dikkate alarak küplerin toplamı ve farkı formülleri şu şekilde okunabilir:

İki ifadenin küplerinin toplamı, bu ifadelerin toplamı ile farklarının kısmi karesinin çarpımına eşittir.

İki ifadenin küpleri arasındaki fark, bu ifadeler arasındaki fark ile toplamlarının kısmi karesinin çarpımına eşittir.

FSU'nun kanıtı

FSU'yu kanıtlamak oldukça basittir. Çarpma özelliklerine göre formüllerin parantez içindeki kısımlarını çarpacağız.

Örneğin farkın karesi formülünü düşünün.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Bir ifadenin ikinci kuvvetine ulaşmak için bu ifadeyi kendisiyle çarpmanız gerekir.

a - b 2 = a - b a - b .

Parantezleri genişletelim:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formül kanıtlanmıştır. Geri kalan FSU'lar da benzer şekilde kanıtlanmıştır.

FSU uygulaması örnekleri

Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılmasının amacı, ifadeleri hızlı ve net bir şekilde çarpmak ve kuvvetlere yükseltmektir. Ancak bu, FSU'nun tüm uygulama kapsamı değildir. İfadelerin azaltılmasında, kesirlerin azaltılmasında ve polinomların çarpanlara ayrılmasında yaygın olarak kullanılırlar. Örnekler verelim.

Örnek 1. FSU

9 y - (1 + 3 y) 2 ifadesini basitleştirelim.

Kareler toplamı formülünü uygulayalım ve şunu elde edelim:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Örnek 2. FSU

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 kesrini azaltalım.

Paydaki ifadenin küp farkı, paydadaki ifadenin ise kareler farkı olduğunu not ediyoruz.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Azaltıyoruz ve elde ediyoruz:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU'lar ayrıca ifadelerin değerlerinin hesaplanmasına da yardımcı olur. Önemli olan formülü nereye uygulayacağınızı fark edebilmektir. Bunu bir örnekle gösterelim.

79 sayısının karesini alalım. Zahmetli hesaplamalar yerine şunu yazalım:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Görünüşe göre karmaşık hesaplama kısaltılmış çarpım formülleri ve çarpım tabloları kullanılarak hızlı bir şekilde gerçekleştirilir.

Bir diğer önemli nokta- binomun karesinin belirlenmesi. 4 x 2 + 4 x - 3 ifadesi, 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4'e dönüştürülebilir. Bu tür dönüşümler entegrasyonda yaygın olarak kullanılmaktadır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Hesaplarken cebirsel polinomlar hesaplamaları basitleştirmek için kullanılır kısaltılmış çarpma formülleri. Toplamda bu tür yedi formül var. Hepsini ezbere bilmeniz gerekiyor.

Formüllerde “a” ve “b” yerine sayıların veya başka herhangi bir cebirsel polinomun bulunabileceği de unutulmamalıdır.

Karelerin farkı

Hatırlamak!

Karelerin farkı iki sayı, bu sayıların farkı ve toplamlarının çarpımına eşittir.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 ile 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Toplamın karesi

Hatırlamak!

İki sayının toplamının karesi, birinci sayının karesi artı birinci sayı ile ikinci sayının çarpımının iki katı artı ikinci sayının karesine eşittir.

(A + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Lütfen bu kısaltılmış çarpma formülüyle bunun kolay olduğunu unutmayın. kareleri bul büyük sayılar hesap makinesi veya uzun çarpma kullanmadan. Bir örnekle açıklayalım:

112 2'yi bulun.

• 112 sayısını, karelerini iyi hatırladığımız sayıların toplamına ayrıştıralım.
  112 = 100 + 1
• Sayıların toplamını parantez içine yazın ve parantezlerin üzerine bir kare yerleştirin.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Toplamın karesi için formülü kullanalım:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544

Kare toplam formülünün herhangi bir cebirsel polinom için de geçerli olduğunu unutmayın.

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c2

Uyarı!

(a + b) 2, (a 2 + b 2)'ye eşit değildir

Kare farkı

Hatırlamak!

İki sayının farkının karesi, birinci sayının karesinden birinci ve ikinci sayının çarpımının iki katı artı ikinci sayının karesine eşittir.

(A − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Ayrıca çok faydalı bir dönüşümü hatırlamakta fayda var:

(a − b) 2 = (b − a) 2

Yukarıdaki formül parantezlerin açılmasıyla kanıtlanabilir:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Toplamın küpü

Hatırlamak!

İki sayının toplamının küpü, birinci sayının küpü artı birinci sayının karesinin çarpımının üç katı ve ikinci sayının üç katı artı birinci sayının çarpımının ikincinin karesi artı ikincinin küpüne eşittir. .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Bir toplamın küpü nasıl hatırlanır

Bu “korkutucu” görünen formülü hatırlamak oldukça kolaydır.

• Başta “3”ün geldiğini öğrenin.
• Ortadaki iki polinomun katsayıları 3'tür.
• Herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin 1 olduğunu hatırlayın.
  (bir 0 = 1, b 0 = 1) . Formülde “a” derecesinde bir azalma ve “b” derecesinde bir artış olduğunu fark etmek kolaydır. Bunu doğrulayabilirsiniz:

Uyarı!

(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a + b) 3, a 3 + b 3'e eşit değildir

Hatırlamak!

Fark küpü iki sayı, birinci sayının küpü eksi birinci sayının karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci sayının çarpımının üç katı ve ikinci sayının karesi eksi ikinci sayının küpüne eşittir.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Bu formül bir öncekine benzer şekilde hatırlanır, ancak yalnızca "+" ve "-" işaretlerinin değişimi dikkate alınır.

İlk terim olan “a 3”ün önüne “+” gelir (matematik kurallarına göre bunu yazmıyoruz). Bu, bir sonraki terimin önüne “-”, ardından tekrar “+” vb. konulacağı anlamına gelir.

(a - b) 3 =

+ a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Hatırlamak!

Küplerin toplamı Toplam küp ile karıştırılmamalıdır!

Küplerin toplamı

iki sayının toplamı ile farkın kısmi karesinin çarpımına eşittir.

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)
• Küplerin toplamı iki parantezin çarpımıdır.
  İlk parantez iki sayının toplamıdır.
  İkinci parantez sayılar arasındaki farkın tamamlanmamış karesidir. Farkın tamamlanmamış karesi şu ifadedir:

(a 2 - ab + b 2)

Bu kare eksiktir, çünkü ortada çift çarpım yerine sayıların olağan çarpımı vardır.

Hatırlamak!

Küplerin farkı Fark küpüyle karıştırılmamalıdır!

Küplerin farkı

iki sayının farkı ile toplamın kısmi karesinin çarpımına eşittir.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

İşaretleri yazarken dikkatli olun.

Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanma

• Yukarıda verilen formüllerin tamamının sağdan sola doğru da kullanıldığı unutulmamalıdır.
• Ders kitaplarındaki birçok örnek, formülleri kullanarak bir polinomu tekrar bir araya getirmeniz için tasarlanmıştır.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2

(ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

! Tüm kısaltılmış çarpma formüllerini içeren bir tabloyu “bölümden indirebilirsiniz” Bir polinomun bir polinomla çarpılmasıİle

bir polinomu bir polinomla çarpmak , bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.

Dikkat olmak! Her terimin kendi işareti vardır.

Kısaltılmış çarpma formülleriPolinomlar genellikle çarpım polinomlarının 7 (yedi) yaygın halidir.

Tanımlar ve

Kısaltılmış çarpma formülleri. Masa

1. Tablo 2. Kısaltılmış çarpma formüllerinin tanımları (büyütmek için tıklayın)

Kareler için üç kısaltılmış çarpma formülü Kare toplam formülü.

Toplamın karesi

iki ifade, birinci ifadenin karesi artı birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesine eşittir.

Formülü daha iyi anlamak için önce ifadeyi basitleştirelim (toplamın karesi formülünü genişletelim)

1. hangi monomların karesinin alındığını belirleyin ( 5 Ve 3m);
2. çift ​​çarpımlarının formülün ortasında olup olmadığını kontrol edin (2 5 3m = 30 dakika);
3. cevabı yaz (5 + 3 m) 2.

2. Kare fark formülü

Kare farkı iki ifade, birinci ifadenin karesi eksi birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesine eşittir.

Öncelikle ifadeyi basitleştirelim (formülü genişletelim):

Ve tam tersini de çarpanlara ayıralım (formülü daraltalım):

3. Kare fark formülü

İki ifadenin toplamı ile farklarının çarpımı, bu ifadelerin karelerinin farkına eşittir.

Formülü daraltalım (çarpma yapalım)

Şimdi formülü genişletelim (faktörlerine ayıralım)

Küpler için dört kısaltılmış çarpma formülü

4. İki sayının toplamının küpü formülü

İki ifadenin toplamının küpü, birinci ifadenin küpü artı birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımının ve ikinci ifadenin karesi artı ikinci ifadenin küpünün üç katıdır. ikinci ifade.

Formülü "çöktürürken" yapılacak eylemlerin sırası:

1. küpü alınmış monomları bulun (burada 4x Ve 1 );
2. formüle uygunluk açısından ortalama şartları kontrol edin;
3. cevabını yaz.

5. İki sayının farkının küpü formülü

İki ifadenin farkının küpü, birinci ifadenin küpü eksi birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımının üç katı ve ikinci ifadenin karesi eksi ikinci ifadenin küpüne eşittir. ikinci ifade.

6. Küp toplamı formülü

İki ifadenin küplerinin toplamı, birinci ve ikinci ifadelerin toplamı ile bu ifadelerin farkının eksik karesinin çarpımına eşittir.

Ve geri:

7. Küp formülünün farkı

İki ifadenin küpleri arasındaki fark, birinci ve ikinci ifadeler arasındaki fark ile bu ifadelerin toplamının kısmi karesinin çarpımına eşittir.

Kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması. Masa

Formüllerin pratikte kullanılmasına bir örnek (sözlü hesaplama).

Görev: Kenar uzunluğu a = 71 cm olan karenin alanını bulun.

Çözüm: S = a 2 . Kare toplamı formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm2

Cevap: 5041 cm2