Matematiksel beklenti formülü. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi Bir ayrık rastgele değişkenin matematiksel beklentisi x

– 10 yeni doğan bebekteki erkek çocukların sayısı.

Bu sayının önceden bilinmediği kesinlikle açıktır ve doğacak sonraki on çocuk şunları içerebilir:

Veya çocuklar - bir ve tek listelenen seçeneklerden.

Ve formda kalmak için biraz beden eğitimi:

– uzun atlama mesafesi (bazı birimlerde).

Bunu bir spor ustası bile tahmin edemez :)

Ancak hipotezleriniz?

2) Sürekli rastgele değişken – kabul eder Tüm sayısal değerler sonlu veya sonsuz bir aralıktan.

Not : V eğitim literatürü popüler kısaltmalar DSV ve NSV

İlk önce ayrık rastgele değişkeni analiz edelim, sonra - sürekli.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası

- Bu yazışma bu miktarın olası değerleri ile olasılıkları arasında. Çoğu zaman yasa bir tabloda yazılır:

Terim oldukça sık karşımıza çıkıyor sıra dağıtım, ancak bazı durumlarda kulağa belirsiz geliyor ve bu yüzden "yasaya" bağlı kalacağım.

Ve şimdi Çok önemli nokta : rastgele değişkenden beri mutlaka kabul edecek değerlerden biri, ardından karşılık gelen olaylar formu tam grup ve bunların meydana gelme olasılıklarının toplamı bire eşittir:

veya kısaltılmış olarak yazılırsa:

Örneğin, bir zarın üzerine atılan noktaların olasılık dağılımı yasası aşağıdaki biçimdedir:

Yorum yok.

Ayrık bir rastgele değişkenin yalnızca "iyi" tam sayı değerleri alabileceği izlenimine kapılmış olabilirsiniz. Bu yanılsamayı ortadan kaldıralım; her şey olabilirler:

Örnek 1

Bazı oyunlarda aşağıdaki kazanan dağıtım yasası vardır:

...muhtemelen uzun zamandır bu tür görevlerin hayalini kuruyordunuz :) Size bir sır vereceğim; ben de. Özellikle çalışmayı bitirdikten sonra alan teorisi.

Çözüm: Bir rastgele değişken üç değerden yalnızca birini alabildiğinden, karşılık gelen olaylar oluşur tam grup Bu, olasılıklarının toplamının bire eşit olduğu anlamına gelir:

“Partizanı” ifşa etmek:

– dolayısıyla konvansiyonel birimleri kazanma olasılığı 0,4'tür.

Kontrol: Emin olmamız gereken şey buydu.

Cevap:

Kendi başınıza bir dağıtım kanunu hazırlamanız gerekmesi alışılmadık bir durum değildir. Bunun için kullanıyorlar olasılığın klasik tanımı, olay olasılıkları için çarpma/toplama teoremleri ve diğer cipsler tervera:

Örnek 2

Kutuda 12'si kazanan, 2'si her biri 1000 ruble ve geri kalanı - her biri 100 ruble olmak üzere 50 piyango bileti bulunuyor. Bir dağıtım yasası oluşturun rastgele değişken– kutudan rastgele bir bilet çekildiğinde kazanılacak kazanç miktarı.

Çözüm: fark ettiğiniz gibi, rastgele bir değişkenin değerleri genellikle artan sırada. Bu nedenle en küçük kazançlarla yani ruble ile başlıyoruz.

Toplamda bu tür 50 bilet var - 12 = 38 ve buna göre klasik çözünürlüklü:
– rastgele çekilen bir biletin kaybetme olasılığı.

Diğer durumlarda her şey basittir. Ruble kazanma olasılığı:

Kontrol edin: – ve bu, bu tür görevlerin özellikle keyifli bir anıdır!

Cevap: Kazançların dağıtımında arzu edilen yasa:

Sonraki görev bağımsız karar:

Örnek 3

Atıcının hedefi vurma olasılığı . Rastgele bir değişken için bir dağıtım yasası hazırlayın - 2 atıştan sonraki isabet sayısı.

...onu özlediğini biliyordum :) Hatırlayalım çarpma ve toplama teoremleri. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Dağıtım kanunu tamamen bir rastgele değişkeni tanımlar, ancak pratikte bunun yalnızca bir kısmını bilmek faydalı olabilir (ve bazen daha faydalı olabilir) sayısal özellikler .

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi

Konuşuyorum basit bir dille, Bu ortalama beklenen değer Test birçok kez tekrarlandığında. Rastgele değişkenin olasılıklı değerler almasına izin verin sırasıyla. Daha sonra matematiksel beklenti bu rastgele değişkenin değeri eşittir ürünlerin toplamı tüm değerleri karşılık gelen olasılıklara göre:

veya çöktü:

Örneğin, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, yani bir zarın üzerine atılan puan sayısını hesaplayalım:

Şimdi varsayımsal oyunumuzu hatırlayalım:

Şu soru ortaya çıkıyor: Bu oyunu oynamak hiç karlı mı? ...kimlerin izlenimi var? Yani bunu “hazırlıksız” söyleyemezsiniz! Ancak bu soru matematiksel beklentinin hesaplanmasıyla kolaylıkla cevaplanabilir: ağırlıklı ortalama kazanma olasılığına göre:

Dolayısıyla bu oyunun matematiksel beklentisi kaybetmek.

Gösterimlerinize güvenmeyin; sayılara güvenin!

Evet burada 10 hatta 20-30 kez üst üste kazanabilirsiniz ama uzun vadede kaçınılmaz bir yıkım bizi bekliyor. Ve size bu tür oyunlar oynamanızı tavsiye etmem :) Peki, belki sadece eğlence için.

Yukarıdakilerin hepsinden, matematiksel beklentinin artık RASTGELE bir değer olmadığı sonucu çıkmaktadır.

Şunun için yaratıcı görev: bağımsız araştırma:

Örnek 4

Bay X, Avrupa ruletini aşağıdaki sistemi kullanarak oynuyor: "kırmızı" üzerine sürekli olarak 100 ruble bahis oynuyor. Rastgele bir değişkenin kazançlarının dağılım yasasını çizin. Kazançların matematiksel beklentisini hesaplayın ve bunu en yakın kopeğe yuvarlayın. Kaç tane ortalama olarak Oyuncu bahis oynadığı her yüz için kaybeder mi?

Referans : Avrupa ruletinde 18 kırmızı, 18 siyah ve 1 yeşil sektör (“sıfır”) bulunur. Eğer “kırmızı” görünürse, oyuncuya bahsin iki katı ödeme yapılır, aksi halde bahis kumarhanenin gelirine gider.

Kendi olasılık tablolarınızı oluşturabileceğiniz başka birçok rulet sistemi de vardır. Ancak herhangi bir dağıtım kanununa veya tablosuna ihtiyacımız olmadığında durum böyledir çünkü oyuncunun matematiksel beklentisinin tamamen aynı olacağı kesin olarak tespit edilmiştir. Sistemden sisteme değişen tek şey

En tam açıklama rastgele bir değişken dağıtım yasasıdır. Ancak her zaman bilinmiyor ve bu durumlarda az bilgiyle yetinmek gerekiyor. Bu tür bilgiler şunları içerebilir: bir rastgele değişkenin değişim aralığı, en büyük (en küçük) değeri, rastgele değişkeni özet bir şekilde tanımlayan diğer bazı özellikler. Bu miktarların tümüne denir sayısal özellikler rastgele değişken. Genellikle bunlar bazılarıdır rastgele olmayan bir şekilde rastgele bir değişkeni karakterize eden sayılar. Ana amaç sayısal özellikler– Belirli bir dağılımın en temel özelliklerini kısa ve öz bir biçimde ifade edin.

Rasgele bir değişkenin en basit sayısal özelliği X onu aradım matematiksel beklenti:

M(X)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n. (1.3.1)

Burada x 1, x 2, …, xn– rastgele değişkenin olası değerleri X, A sayfa 1, sayfa 2, …, р n– olasılıkları.

Örnek 1. Dağıtım yasası biliniyorsa, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun:

Çözüm. M(X)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.

Örnek 2. Bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisini bulun A bir denemede bu olayın olasılığı eşitse R.

Çözüm. Eğer X– olayın gerçekleşme sayısı A bir testte, o zaman açıkça dağıtım yasası Xşu forma sahiptir:

Daha sonra M(X)=0×(1–р)+1×р=р.

Yani: bir olayın bir denemede meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi, olasılığına eşittir.

Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı

Üretilsin N rastgele değişkenin kullanıldığı testler X kabul edildi m 1çarpı değer x 1, m2çarpı değer x 2, …, mkçarpı değer xk. Daha sonra tüm değerlerin toplamı N testler eşittir:

x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.

Rasgele değişkenin aldığı tüm değerlerin aritmetik ortalamasını bulalım:

Değerler – değerlerin göreceli oluşum sıklıkları x ben (i=1, …, k). Eğer N yeterince büyük (n®¥), bu durumda bu frekanslar yaklaşık olarak olasılıklara eşittir: . Ama sonra

=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).

Dolayısıyla matematiksel beklenti yaklaşık olarak eşittir (ne kadar doğru olursa, daha büyük sayı testler) rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması. Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı budur.

Matematiksel beklentinin özellikleri

1. Bir sabitin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir.

M(C)=C×1=C.

2. Matematiksel beklenti işaretinden sabit faktör çıkarılabilir

M(CX)=C×M(X).

Kanıt. Dağıtım kanunu olsun X tablo tarafından verilmiştir:

Daha sonra rastgele değişken Müşteri Deneyimi değerleri alır CX 1, Cx2, …, Сх n aynı olasılıklarla, yani dağıtım kanunu Müşteri Deneyimişu forma sahiptir:

M(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =

=C(x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n)=CM(X).

3. İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir:

M(XY)=M(X)×M(Y).

Bu ifade kanıt olmadan verilmiştir (kanıt matematiksel beklentinin tanımına dayanmaktadır).

Sonuçlar. Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Özellikle üç bağımsız rastgele değişken için

M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).

Örnek. İki zar atıldığında ortaya çıkabilecek puan sayısının çarpımının matematiksel beklentisini bulun.

Çözüm. İzin vermek X ben– başına düşen puan sayısı Ben kemikler. Sayılar olabilir 1 , 2 , …, 6 olasılıklarla. Daha sonra

M(X i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .

İzin vermek X=X 1 ×X 2. Daha sonra

M(X)=M(X 1)×M(X 2)= =12,25.

4. İki rastgele değişkenin (bağımsız veya bağımlı) toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Bu özellik, keyfi sayıda terim durumuna genelleştirilmiştir.

Örnek. Hedefi vurma olasılığı eşit olan 3 atış yapılır p1 =0,4, p2 =0,3 Ve p3 =0,6. Toplam isabet sayısının matematiksel beklentisini bulun.

Çözüm. İzin vermek X ben– isabet sayısı Ben-th atış. Daha sonra

М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.

Böylece,

M(X 1 +X 2 +X 3)= =0,4+0,3+0,6=1,3.

Rastgele değişken her denemenin sonucunda bir şeyi önceden alan bir değişkendir bilinmeyen değer rastgele nedenlere bağlı olarak. Rastgele değişkenler büyük Latin harfleriyle gösterilir: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Türlerine göre rastgele değişkenler şunlar olabilir: ayrık Ve sürekli.

Ayrık rastgele değişken- bu, değerleri sayılabilirden fazla olamayacak, yani sonlu veya sayılabilir olan rastgele bir değişkendir. Sayılabilirlik derken, bir rastgele değişkenin değerlerinin numaralandırılabileceğini kastediyoruz.

Örnek 1 . Ayrık rastgele değişkenlerin örnekleri şunlardır:

a) $n$ atışla hedefe yapılan isabet sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

b) Yazı tura atıldığında düşen amblem sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

c) gemiye gelen gemi sayısı ( sayılabilir küme değerler).

d) PBX'e gelen çağrıların sayısı (sayılabilir değerler kümesi).

1. Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu.

Ayrık bir rastgele değişken $X$, $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ olasılıklarıyla $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerini alabilir. Bu değerler ile olasılıkları arasındaki yazışmaya denir ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Kural olarak, bu yazışma, ilk satırında $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve ikinci satırda olasılıkların $p_1,\dots ,\ p_n$ olduğu bir tablo kullanılarak belirtilir. bu değerlere karşılık gelenler belirtilmektedir.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(dizi)$

Örnek 2 . Rastgele değişken $X$, bir zar atıldığında atılan puanların sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken $X$ şu değerleri alabilir: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Tüm bu değerlerin olasılıkları 1/6$'a eşittir. O zaman $X$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı yasası:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(dizi)$

Yorum. Ayrık bir rastgele değişken $X$'in dağılım yasasında $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ olayları tam bir olay grubu oluşturduğundan, olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır, yani $ \sum(p_i)=1$.

2. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi.

Rastgele bir değişkenin beklentisi“merkezi” anlamını belirtir. Ayrık bir rastgele değişken için matematiksel beklenti, $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve bu değerlere karşılık gelen $p_1,\dots ,\ p_n$ olasılıklarının çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır; yani : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. İngiliz dili literatüründe başka bir gösterim $E\left(X\right)$ kullanılır.

Matematiksel beklentinin özellikleri$M\sol(X\sağ)$:

1. $M\left(X\right)$ en küçük ile arasında bulunur en yüksek değerler rastgele değişken $X$.
2. Bir sabitin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir, yani. $M\sol(C\sağ)=C$.
3. Sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Örnek 3 . $2$ örneğinden $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulalım.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1) )\over (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$ öğesinin, $X$ rastgele değişkeninin en küçük ($1$) ve en büyük ($6$) değerleri arasında yer aldığını fark edebiliriz.

Örnek 4 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3X+5$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ elde ederiz. cdot 2 +5=11$.

Örnek 5 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=4$'a eşit olduğu bilinmektedir. $2X-9$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ elde ederiz. cdot 4 -9=-1$.

3. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı.

Eşit matematiksel beklentilere sahip rastgele değişkenlerin olası değerleri, ortalama değerleri etrafında farklı şekilde dağılabilir. Örneğin iki öğrenci grubunda olasılık teorisi sınavının ortalama puanı 4 çıktı, ancak bir grupta herkes iyi öğrenci çıktı, diğer grupta ise sadece C öğrencileri ve mükemmel öğrenciler vardı. Bu nedenle, bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafındaki yayılımını gösterecek sayısal bir karakteristiğe ihtiyaç vardır. Bu özellik dağılımdır.

Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı$X$ şuna eşittir:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

İngiliz edebiyatında $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ gösterimi kullanılır. $D\left(X\right)$ varyansı sıklıkla $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) formülü kullanılarak hesaplanır. sol(X \sağ)\sağ))^2$.

Dispersiyon özellikleri$D\sol(X\sağ)$:

1. Varyans her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir; $D\sol(X\sağ)\ge 0$.
2. Sabitin varyansı sıfırdır, yani. $D\sol(C\sağ)=0$.
3. Sabit faktör, karesi olması koşuluyla dağılım işaretinden çıkarılabilir, yani. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir; $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenler arasındaki farkın varyansı, varyanslarının toplamına eşittir; $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Örnek 6 . Örnek $2$'dan $X$ rastgele değişkeninin varyansını hesaplayalım.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\yaklaşık 2,92.$$

Örnek 7 . $X$ rastgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. $4X+1$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak şunu buluruz: $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ sol(X\sağ)=16\cdot 2=32$.

Örnek 8 . $X$ rastgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=3$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3-2X$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= değerini buluruz. 4D\ sol(X\sağ)=4\cdot 3=12$.

4. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu.

Ayrık bir rastgele değişkeni bir dağılım serisi biçiminde temsil etme yöntemi tek yöntem değildir ve en önemlisi evrensel değildir, çünkü sürekli bir rastgele değişken bir dağılım serisi kullanılarak belirlenemez. Rastgele bir değişkeni temsil etmenin başka bir yolu daha vardır: dağıtım fonksiyonu.

Dağıtım işlevi$X$ rastgele değişkenine $F\left(x\right)$ fonksiyonu adı verilir ve bu, $X$ rastgele değişkeninin bazı sabit $x$ değerlerinden, yani $F\'den daha düşük bir değer alma olasılığını belirler. sol(x\sağ )=P\sol(X< x\right)$

Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. $X$ rastgele değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değer alma olasılığı, bunun uçlarındaki dağıtım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. aralık: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - azalmayan.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.

Örnek 9 . $2$ örneğinden $X$ ayrık rastgele değişkeninin dağıtım yasası için $F\left(x\right)$ dağıtım fonksiyonunu bulalım.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(dizi)$

Eğer $x\le 1$ ise, o zaman açıkça $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X dahil) olur< 1\right)=0$).

1$ ise< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

2$ ise< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

3$ ise< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

4$ ise< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

5$ ise< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Eğer $x > 6$ ise, $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\sol(X=4\sağ)+P\sol(X=5\sağ)+P\sol(X=6\sağ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Yani $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,\ 1'de< x\le 2,\\
1/3,\ 2'de< x\le 3,\\
1/2,\3'te< x\le 4,\\
2/3,\ 4'te< x\le 5,\\
5/6,\ 4'te< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Her bir değer tamamen kendi dağılım fonksiyonu tarafından belirlenir. Ayrıca pratik problemleri çözmek için, rastgele bir değişkenin ana özelliklerini kısa bir biçimde sunmanın mümkün olduğu birkaç sayısal özelliği bilmek yeterlidir.

Bu miktarlar öncelikle şunları içerir: matematiksel beklenti Ve dağılım .

Beklenti- olasılık teorisindeki rastgele bir değişkenin ortalama değeri. Olarak belirtilir.

En çok basit bir şekilde rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X(w), nasıl olduğunu bul integralLebesgue olasılık ölçüsüyle ilgili olarak R orijinal olasılık alanı

Bir değerin matematiksel beklentisini de şu şekilde bulabilirsiniz: Lebesgue integrali itibaren X olasılık dağılımına göre Rx miktarlar X:

hepsinin seti nerede olası değerler X.

Rastgele bir değişkenden fonksiyonların matematiksel beklentisi X dağıtım yoluyla bulundu Rx. Örneğin, Eğer X- ve değerlerine sahip rastgele bir değişken f(x)- kesin Borel'inişlev X , O:

Eğer F(x)- dağıtım işlevi X, o zaman matematiksel beklenti temsil edilebilir integralLebesgue - Stieltjes (veya Riemann - Stieltjes):

bu durumda entegre edilebilirlik X Açısından ( * ) integralin sonluluğuna karşılık gelir

Belirli durumlarda, eğer X sahip olmak ayrık dağıtım olası değerlerle xk, k=1, 2, . ve olasılıklar, o zaman

Eğer X kesinlikle var sürekli dağıtım olasılık yoğunluğu ile p(x), O

bu durumda matematiksel bir beklentinin varlığı, karşılık gelen serinin veya integralin mutlak yakınsamasına eşdeğerdir.

Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri.

• Sabit bir değerin matematiksel beklentisi şu değere eşittir:

C- devamlı;

• M=C.M[X]

• Rastgele alınan değerlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

• Bağımsız rastgele alınan değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi = matematiksel beklentilerinin çarpımı:

M=M[X]+M[Y]

Eğer X Ve e bağımsız.

seri yakınsarsa:

Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma.

Ayrık rastgele değişkenlerin özellikleri: tüm değerleri yeniden numaralandırılabilir doğal sayılar; her değere sıfır olmayan bir olasılık atayın.

1. Çiftleri birer birer çarpın: x ben Açık ben.

2. Her çiftin ürününü ekleyin x ben p ben.

Örneğin, İçin N = 4 :

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olasılıkları pozitif işaretli olan noktalarda adım adım aniden artar.

Örnek: Formülü kullanarak matematiksel beklentiyi bulun.

Ayrık bir olasılık uzayı üzerinde verilen bir X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi (ortalama değeri), serinin mutlak yakınsaması durumunda m =M[X]=∑x i p i sayısıdır.

Hizmetin amacı. Çevrimiçi hizmeti kullanma matematiksel beklenti, varyans ve standart sapma hesaplanır(örneğe bakın). Ek olarak F(X) dağılım fonksiyonunun bir grafiği çizilir.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri

1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi kendisine eşittir: M[C]=C, C – sabit;
2. M=C M[X]
3. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M=M[X]+M[Y]
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: M=M[X] M[Y], eğer X ve Y bağımsızsa.

Dispersiyon özellikleri

1. Sabit bir değerin varyansı sıfırdır: D(c)=0.
2. Sabit faktör, dağılım işaretinin altından karesi alınarak çıkarılabilir: D(k*X)= k 2 D(X).
3. X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, toplamın varyansı varyansların toplamına eşittir: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. X ve Y rastgele değişkenleri bağımlı ise: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Aşağıdaki hesaplama formülü dağılım için geçerlidir:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Örnek. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin matematiksel beklentileri ve varyansları bilinmektedir: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerine göre: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Dağılımın özelliklerine göre: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma

Ayrık rastgele değişkenlerin özellikleri: tüm değerleri doğal sayılarla yeniden numaralandırılabilir; Her değere sıfır olmayan bir olasılık atayın.

1. Çiftleri birer birer çarpıyoruz: x i x p i .
2. Her x i p i çiftinin çarpımını ekleyin.
   Örneğin, n = 4 için: m = ∑x ben p ben = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olasılıkları pozitif olan noktalarda adım adım aniden artar.

Örnek No.1.

x ben	1	3	4	7	9
ben	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Matematiksel beklentiyi m = ∑x i p ben formülünü kullanarak buluyoruz.
Beklenti M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Varyansı d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 formülünü kullanarak buluyoruz.
Varyans D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standart sapma σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Örnek No. 2. Ayrık bir rastgele değişken aşağıdaki dağılım serisine sahiptir:

X	-10	-5	0	5	10
R	A	0,32	2A	0,41	0,03

Bu rastgele değişkenin a değerini, matematiksel beklentisini ve standart sapmasını bulun.

Çözüm. a'nın değeri şu ilişkiden bulunur: Σp i = 1
Σp ben = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 veya 0,24=3 a , buradan a = 0,08

Örnek No. 3. Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı biliniyorsa dağılım yasasını belirleyin ve x 1 x1 =6; x2 =9; x3 =x; x 4 =15
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96

Çözüm.
Burada d(x) varyansını bulmak için bir formül oluşturmanız gerekir:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
burada beklenti m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Verilerimiz için
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
veya -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Buna göre denklemin köklerini bulmamız gerekiyor ve bunlardan iki tane olacak.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 koşulunu sağlayanı seçin x3 =12

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
x1 =6; x2 =9; x3 =12; x 4 =15
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3