Сформулировать основные свойства интегралов. Простейшие свойства интегралов
Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.
Изучаем понятие « интеграл»
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
« Интеграл»
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Линейность:
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a , b и с :
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.
Изучаем понятие « интеграл»
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
« Интеграл»
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Линейность:
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a , b и с :
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
В этой статье мы перечислим основные свойства определенного интеграла. Большинство этих свойств доказываются на основе понятий определенного интеграла Римана и Дарбу .
Вычисление определенного интеграла очень часто проводится с использованием первых пяти свойств, так что мы будем при надобности на них ссылаться. Остальные свойства определенного интеграла, в основном, применяются для оценки различных выражений.
Прежде чем перейти к основным свойствам определенного интеграла , условимся, что a не превосходит b .
Для функции y = f(x) , определенной при x = a , справедливо равенство .
То есть, значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю. Это свойство является следствием определения интеграла Римана, так как в этом случае каждая интегральная сумма для любого разбиения промежутка и любого выбора точек равна нулю, так как , следовательно, пределом интегральных сумм является ноль.
Для интегрируемой на отрезке функции выполняется .
Другими словами, при перемене верхнего и нижнего пределов интегрирования местами значение определенного интеграла меняется на противоположное. Это свойство определенного интеграла также следует из понятия интеграла Римана, только нумерацию разбиения отрезка следует начинать с точки x = b .
для интегрируемых на отрезке функций y = f(x) и y = g(x) .
Доказательство.
Запишем интегральную сумму функции для данного разбиения отрезка и данного выбора точек :
где и - интегральные суммы функций y = f(x)
и y = g(x)
для данного разбиения отрезка соответственно.
Переходя к пределу при получим , что по определению интеграла Римана равносильно утверждению доказываемого свойства.
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. То есть, для интегрируемой на отрезке функции y = f(x) и произвольного числа k справедливо равенство .
Доказательство этого свойства определенного интеграла абсолютно схоже с предыдущим:
Пусть функция y = f(x) интегрируема на интервале X , причем и , тогда .
Это свойство справедливо как для , так и для или .
Доказательство можно провести, опираясь на предыдущие свойства определенного интеграла.
Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на любом внутреннем отрезке .
Доказательство основано на свойстве сумм Дарбу: если к имеющемуся разбиению отрезка добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу не уменьшится, а верхняя – не увеличиться.
Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке и для любого значения аргумента , то .
Это свойство доказывается через определение интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек при будет неотрицательной (не положительной).
Следствие.
Для интегрируемых на отрезке
функций y = f(x)
и y = g(x)
справедливы неравенства:
Это утверждение означает, что допустимо интегрирование неравенств. Этим следствием мы будем пользоваться при доказательстве следующих свойств.
Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке , тогда справедливо неравенство .
Доказательство.
Очевидно, что . В предыдущем свойстве мы выяснили, что неравенство можно почленно интегрировать, поэтому, справедливо . Это двойное неравенство можно записать как .
Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке и для любого значения аргумента , тогда , где и .
Доказательство проводится аналогично. Так как m и M – наименьшее и наибольшее значение функции y = f(x) на отрезке , то . Домножение двойного неравенства на неотрицательную функцию y = g(x) приводит нас к следующему двойному неравенству . Интегрируя его на отрезке , придем к доказываемому утверждению.
Следствие.
Если взять g(x) = 1 , то неравенство примет вид .
Первая формула среднего значения.
Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке , и , тогда существует такое число , что .
Следствие.
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то найдется такое число , что .
Первая формула среднего значения в обобщенной форме.
Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке , и , а g(x) > 0 для любого значения аргумента . Тогда существует такое число , что .
Вторая формула среднего значения.
Если на отрезке функция y = f(x) интегрируема, а y = g(x) монотонна, то существует такое число , что справедливо равенство .
Пусть функция y = f (x ) определена на отрезке [a , b ], a < b . Выполним следующие операции:
1) разобьем [a , b ] точками a = x 0 < x 1 < ... < x i - 1 < x i < ... < x n = b на n частичных отрезков [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i - 1 , x i ], ..., [x n - 1 , x n ];
2) в каждом из частичных отрезков [x i - 1 , x i ], i = 1, 2, ... n , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: f (z i ) ;
3) найдем произведения f (z i ) · Δx i , где – длина частичного отрезка [x i - 1 , x i ], i = 1, 2, ... n ;
4) составиминтегральную сумму функции y = f (x ) на отрезке [a , b ]:
С геометрической точки зрения эта сумма σ представляет собой сумму площадей прямоугольников, основания которых – частичные отрезки [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i - 1 , x i ], ..., [x n - 1 , x n ], а высоты равны f (z 1 ) , f (z 2 ), ..., f (z n ) соответственно (рис. 1). Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:
5) найдем предел интегральной суммы, когда λ → 0.
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка [a , b ] на частичные отрезки, ни от выбора точек z i в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f (x ) на отрезке [a , b ] и обозначается
Таким образом,
В этом случае функция f (x ) называется интегрируемой на [a , b ]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x ) – подынтегральной функцией, f (x ) dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; отрезок [a , b ] называется промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], то она интегрируема на этом отрезке.
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
Если a > b , то, по определению, полагаем
2. Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке [a , b ] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x ) . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f (x ) , снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).
Определенный интеграл от неотрицательной функции y = f (x ) с геометрической точки зрения равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x ) , слева и справа – отрезками прямых x = a и x = b , снизу – отрезком оси Ох.
3. Основные свойства определенного интеграла
1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
4.Если функция y = f (x ) интегрируема на [a , b ] и a < b < c , то
5. (теорема о среднем) . Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], то на этом отрезке существует точка , такая, что
4. Формула Ньютона–Лейбница
Теорема 2. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и F (x ) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность F (b ) - F (a ) принято записывать следующим образом:
где символ называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение. Для подынтегральной функции f (x ) = x 2 произвольная первообразная имеет вид
Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид:
5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3. Пусть функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ]. Если:
1) функция x = φ (t ) и ее производная φ "(t ) непрерывны при ;
2) множеством значений функции x = φ (t ) при является отрезок [a , b ];
3) φ (a ) = a , φ (b ) = b , то справедлива формула
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
В отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования α и β (для этого надо решить относительно переменной t уравнения φ (t ) = a и φ (t ) = b ).
Вместо подстановки x = φ (t ) можно использовать подстановку t = g (x ) . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: α = g (a ) , β = g (b ) .
Пример 2 . Вычислить интеграл
Решение. Введем новую переменную по формуле . Возведя в квадрат обе части равенства , получим 1 + x = t 2 , откуда x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt = 2tdt . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы x = 3 и x = 8. Получим: , откуда t = 2 и α = 2; , откуда t = 3 и β = 3. Итак,
Пример 3. Вычислить
Решение. Пусть u = ln x , тогда , v = x . По формуле (4)