Cum se construiește o parabolă? Ce este o parabolă? Cum se rezolvă ecuațiile pătratice? Funcții și grafice Proprietăți ale funcției ax2 bx c.

Rezumatul lecției de algebră pentru clasa a VIII-a a gimnaziului

Tema lecției: Funcție

Scopul lecției:

Educativ: definiți conceptul de funcție pătratică a formei (comparați graficele funcțiilor și ), afișați formula pentru găsirea coordonatelor vârfului parabolei (învățați cum să aplicați această formulă în practică); pentru a forma capacitatea de a determina proprietățile unei funcții pătratice dintr-un grafic (găsirea axei de simetrie, coordonatele vârfului parabolei, coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axele de coordonate).

Dezvoltarea: dezvoltarea vorbirii matematice, capacitatea de a-și exprima corect, consecvent și rațional gândurile; dezvoltarea deprinderii de scriere corectă a unui text matematic folosind simboluri și notații; dezvoltarea gândirii analitice; dezvoltarea activității cognitive a elevilor prin capacitatea de a analiza, sistematiza și generaliza materialul.

Educațional: educație pentru independență, capacitatea de a asculta pe ceilalți, formarea acurateței și a atenției în vorbirea matematică scrisă.

Tip de lecție: învățarea de materiale noi.

Metode de predare:

generalizat-reproductiv, inductiv-euristic.

Cerințe pentru cunoștințele și aptitudinile elevilor

cunoașteți ce este o funcție pătratică a formei, formula pentru găsirea coordonatelor vârfului unei parabole; să poată găsi coordonatele vârfului parabolei, coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate, să determine proprietățile unei funcții pătratice din graficul funcției.

Echipament:

Planul lecției

Moment organizatoric (1-2 min)

Actualizare de cunoștințe (10 min)

Prezentarea de material nou (15 min)

Consolidarea materialului nou (12 min)

Rezumat (3 min)

Tema pentru acasă (2 min)

În timpul orelor

Organizarea timpului

Salutarea, verificarea absenților, strângerea caietelor.

Actualizare de cunoștințe

Profesor: În lecția de astăzi vom studia o nouă temă: „Funcția”. Dar mai întâi, să revizuim ceea ce am învățat până acum.

Sondaj frontal:

Ce este o funcție pătratică? (O funcție în care numerele reale date, , o variabilă reală, se numește funcție pătratică.)

Care este graficul unei funcții pătratice? (Graficul unei funcții pătratice este o parabolă.)

Care sunt zerourile unei funcții pătratice? (Zerourile unei funcții pătratice sunt valorile la care dispare.)

Enumerați proprietățile unei funcții. (Valorile funcției sunt pozitive la și egale cu zero la ; graficul funcției este simetric față de axele ordonatelor; la funcție crește, la - scade.)

Enumerați proprietățile unei funcții. (Dacă , atunci funcția ia valori pozitive pentru , dacă , atunci funcția ia valori negative pentru , valoarea funcției este doar 0; parabola este simetrică față de axa ordonatelor; dacă , atunci funcția crește pentru și scade pentru , dacă , atunci funcția crește pentru , scade - la .)

Prezentarea de material nou

Profesor: Să începem să învățăm material nou. Deschideți caietele, notați data și tema lecției. Fii atent la bord.

Scrie pe tablă: Număr.

Funcția .

Profesor: Pe tablă vezi două grafice de funcții. Primul grafic și al doilea. Să încercăm să le comparăm.

Cunoașteți proprietățile funcției. Pe baza acestora și comparând graficele noastre, putem evidenția proprietățile funcției.

Deci, ce credeți, ce va determina direcția ramurilor parabolei?

Elevi: Direcția ramurilor ambelor parabole va depinde de coeficient.

Profesorul: Absolut dreptate. De asemenea, puteți observa că ambele parabole au o axă de simetrie. Pentru primul grafic al funcției, care este axa de simetrie?

Elevi: Pentru o parabolă de formă, axa de simetrie este axa y.

Profesorul: Corect. Care este axa de simetrie a unei parabole?

Elevi: Axa de simetrie a parabolei este linia care trece prin vârful parabolei, paralelă cu axa y.

Profesorul: Corect. Deci, vom numi axa de simetrie a graficului funcției drepte care trece prin vârful parabolei, paralelă cu axa y.

Și vârful parabolei este un punct cu coordonate. Ele sunt determinate de formula:

Scrieți formula în caiet și încercuiți-o într-o casetă.

Scrierea la tablă și în caiete

Coordonatele vârfurilor parabolei.

Profesorul: Acum, pentru a fi mai clar, să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1: Aflați coordonatele vârfului unei parabole .

Rezolvare: Conform formulei

Profesor: După cum am observat deja, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Uită-te la birou. Desenați această imagine în caiet.

Scrierea la tablă și în caiete:

Profesor: În desen: - ecuaţia axei de simetrie a parabolei cu vârful în punctul în care se află abscisa vârfului parabolei.

Luați în considerare un exemplu.

Exemplul 2: Din graficul funcției, determinați ecuația pentru axa de simetrie a parabolei.

Ecuația axei de simetrie are forma: , deci, ecuația axei de simetrie a parabolei date.

Raspuns: - ecuatia axei de simetrie.

Repararea materialului nou

Profesor: Există sarcini pe tablă care trebuie rezolvate în clasă.

Scriere la tablă: nr. 609(3), 612(1), 613(3)

Profesor: Dar mai întâi, să rezolvăm un exemplu nu dintr-un manual. Vom decide la tablă.

Exemplul 1: Aflați coordonatele vârfului unei parabole

Rezolvare: Conform formulei

Răspuns: coordonatele vârfului parabolei.

Exemplul 2: Găsiți coordonatele punctelor de intersecție a parabolelor cu axe de coordonate.

Rezolvare: 1) Cu axa:

Acestea.

Conform teoremei lui Vieta:

Puncte de intersecție cu axa absciselor (1;0) și (2;0).

Să considerăm o expresie de forma ax 2 + în + c, unde a, b, c sunt numere reale și este diferită de zero. Această expresie matematică este cunoscută sub numele de trinom pătrat.

Amintiți-vă că axa 2 este termenul principal al acestui trinom pătrat și este coeficientul său principal.

Dar trinomul pătrat nu are întotdeauna toți cei trei termeni. Luați de exemplu expresia 3x 2 + 2x, unde a=3, b=2, c=0.

Să trecem la funcția pătratică y \u003d ax 2 + în + c, unde a, b, c sunt numere arbitrare. Această funcție este pătratică deoarece conține un termen de gradul doi, adică x pătrat.

Este destul de ușor să trasezi o funcție pătratică, de exemplu, poți folosi metoda pătratului complet.

Luați în considerare un exemplu de trasare a unei funcții y egală cu -3x 2 - 6x + 1.

Pentru a face acest lucru, primul lucru de reținut este schema de evidențiere a pătratului complet în trinomul -3x 2 - 6x + 1.

Scoatem -3 din primii doi termeni între paranteze. Avem -3 ori suma lui x plus 2x și adunăm 1. Adunând și scăzând unitatea dintre paranteze, obținem formula pentru pătratul sumei, care poate fi restrânsă. Obținem -3 ori suma (x + 1) pătrat minus 1, se adună 1. Deschizând parantezele și adăugând termeni similari, iese expresia: -3 ori pătratul sumei (x + 1) se adună 4.

Să construim un grafic al funcției rezultate mergând la sistemul de coordonate auxiliar cu originea în punctul cu coordonatele (-1; 4).

În figura din videoclip, acest sistem este indicat prin linii punctate. Legăm funcția y egal cu -3x 2 la sistemul de coordonate construit. Pentru comoditate, luăm puncte de control. De exemplu, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). În același timp, le punem deoparte în sistemul de coordonate construit. Parabola obținută în timpul construcției este graficul de care avem nevoie. În figură, aceasta este o parabolă roșie.

Aplicând metoda de selecție a pătratului complet, avem o funcție pătratică de forma: y = a * (x + 1) 2 + m.

Graficul parabolei y \u003d ax 2 + bx + c este ușor de obținut din parabola y \u003d ax 2 prin translație paralelă. Acest lucru este confirmat de o teoremă care poate fi demonstrată luând pătratul complet al binomului. Expresia ax 2 + bx + c după transformări succesive se transformă într-o expresie de forma: a * (x + l) 2 + m. Să desenăm un grafic. Să efectuăm o mișcare paralelă a parabolei y \u003d ax 2, combinând vârful cu punctul cu coordonatele (-l; m). Important este că x = -l, ceea ce înseamnă -b / 2a. Deci această linie este axa parabolei ax 2 + bx + c, vârful său se află în punctul cu abscisa x zero egal cu minus b împărțit la 2a, iar ordonata este calculată prin formula greoaie 4ac - b 2 /. Dar această formulă nu este necesară de memorat. Deoarece, prin substituirea valorii abscisei în funcție, obținem ordonata.

Pentru a determina ecuația axei, direcția ramurilor sale și coordonatele vârfului parabolei, luați în considerare următorul exemplu.

Să luăm funcția y \u003d -3x 2 - 6x + 1. După ce am întocmit ecuația pentru axa parabolei, avem că x \u003d -1. Și această valoare este coordonata x a vârfului parabolei. Rămâne de găsit doar ordonata. Înlocuind valoarea -1 în funcție, obținem 4. Vârful parabolei este în punctul (-1; 4).

Graficul funcției y \u003d -3x 2 - 6x + 1 a fost obținut prin transferul paralel al graficului funcției y \u003d -3x 2, ceea ce înseamnă că se comportă similar. Coeficientul de conducere este negativ, deci ramurile sunt îndreptate în jos.

Vedem că pentru orice funcție de forma y = ax 2 + bx + c, cea mai ușoară întrebare este ultima întrebare, adică direcția ramurilor parabolei. Dacă coeficientul a este pozitiv, atunci ramurile sunt în sus, iar dacă sunt negative, atunci sunt în jos.

Următoarea întrebare cea mai dificilă este prima întrebare, deoarece necesită calcule suplimentare.

Iar cel mai dificil este al doilea, pentru că, pe lângă calcule, este nevoie și de cunoașterea formulelor prin care x este zero și y este zero.

Să diagramăm funcția y \u003d 2x 2 - x + 1.

Determinăm imediat - graficul este o parabolă, ramurile sunt îndreptate în sus, deoarece coeficientul de conducere este 2, iar acesta este un număr pozitiv. Conform formulei, găsim că abscisa x este zero, este egală cu 1,5. Pentru a găsi ordonata, amintiți-vă că zero este egal cu o funcție de 1,5, când calculăm obținem -3,5.

Sus - (1,5; -3,5). Axa - x=1,5. Luați punctele x=0 și x=3. y=1. Rețineți aceste puncte. Pe baza a trei puncte cunoscute, construim graficul necesar.

Pentru a reprezenta graficul funcției ax 2 + bx + c, aveți nevoie de:

Aflați coordonatele vârfului parabolei și marcați-le în figură, apoi desenați axa parabolei;

Pe axa x, luați două puncte care sunt simetrice față de axa parabolei, găsiți valoarea funcției în aceste puncte și marcați-le pe planul de coordonate;

Prin trei puncte, construiți o parabolă, dacă este necesar, puteți mai lua câteva puncte și construiți un grafic pe baza lor.

În exemplul următor, vom învăța cum să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției -2x 2 + 8x - 5 pe segment.

Conform algoritmului: a \u003d -2, b \u003d 8, atunci x zero este 2 și zero y este 3, (2; 3) este vârful parabolei și x \u003d 2 este axa.

Să luăm valorile x=0 și x=4 și să găsim ordonatele acestor puncte. Acesta este -5. Construim o parabolă și determinăm asta cea mai mică valoare funcția -5 la x=0, iar cel mai mare 3, la x=2.

Sarcinile privind proprietățile și graficele unei funcții pătratice, așa cum arată practica, provoacă dificultăți serioase. Acest lucru este destul de ciudat, deoarece funcția pătratică este trecută în clasa a 8-a, iar apoi întregul prim trimestru al clasei a IX-a este „extorcat” de proprietățile parabolei și graficele acesteia sunt construite pentru diverși parametri.

Acest lucru se datorează faptului că forțând elevii să construiască parabole, practic nu dedică timp „citirea” graficelor, adică nu exersează înțelegerea informațiilor primite din imagine. Aparent, se presupune că, după ce a construit două duzini de grafice, un student inteligent va descoperi însuși și va formula relația dintre coeficienții din formulă și aspectul graficului. În practică, acest lucru nu funcționează. Pentru o astfel de generalizare este necesară o experiență serioasă în mini-cercetare matematică, pe care, desigur, majoritatea elevilor de clasa a IX-a nu o au. Între timp, în GIA își propun să se determine semnele coeficienților tocmai după grafic.

Nu vom cere imposibilul de la școlari și pur și simplu oferim unul dintre algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

Deci, o funcție a formei y=ax2+bx+c se numește pătratic, graficul său este o parabolă. După cum sugerează și numele, componenta principală este toporul 2. Acesta este A nu trebuie să fie egal cu zero, coeficienții rămași ( bși Cu) poate fi egal cu zero.

Să vedem cum semnele coeficienților săi afectează aspectul parabolei.

Cea mai simplă dependență pentru coeficient A. Majoritatea școlarilor răspund cu încredere: „dacă A> 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

În acest caz A = 0,5

Și acum pentru A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

În acest caz A = - 0,5

Influența coeficientului Cu de asemenea, destul de ușor de urmărit. Imaginați-vă că vrem să găsim valoarea unei funcții într-un punct X= 0. Înlocuiți zero în formula:

y = A 0 2 + b 0 + c = c. Se pare că y = c. Acesta este Cu este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa y. De regulă, acest punct este ușor de găsit pe diagramă. Și stabiliți dacă se află peste zero sau mai jos. Acesta este Cu> 0 sau Cu < 0.

Cu > 0:

y=x2+4x+3

Cu < 0

y = x 2 + 4x - 3

În consecință, dacă Cu= 0, atunci parabola va trece neapărat prin origine:

y=x2+4x

Mai dificil cu parametrul b. Punctul prin care îl vom găsi depinde nu numai de b dar si din A. Acesta este vârful parabolei. Abscisa sa (coordonatele axei X) se găsește prin formula x în \u003d - b / (2a). În acest fel, b = - 2ax in. Adică procedăm astfel: pe grafic găsim vârful parabolei, determinăm semnul abscisei acesteia, adică privim în dreapta lui zero ( x in> 0) sau la stânga ( x in < 0) она лежит.

Cu toate acestea, acesta nu este tot. Trebuie să fim atenți și la semnul coeficientului A. Adică pentru a vedea unde sunt îndreptate ramurile parabolei. Și numai după aceea, după formula b = - 2ax in determina semnul b.

Luați în considerare un exemplu:

Ramuri îndreptate în sus A> 0, parabola traversează axa la sub zero înseamnă Cu < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Deci b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Cu < 0.

Lecție: cum se construiește o parabolă sau o funcție pătratică?

PARTEA TEORETICĂ

O parabolă este un grafic al unei funcții descrisă prin formula ax 2 +bx+c=0.
Pentru a construi o parabolă, trebuie să urmați un algoritm simplu de acțiuni:

1) Formula parabolă y=ax 2 +bx+c,
dacă a>0 apoi ramurile parabolei sunt dirijate sus,
iar apoi ramurile parabolei sunt dirijate jos.
membru liber c acest punct intersectează parabola cu axa OY;

2) , se găsește prin formula x=(-b)/2a, înlocuim x găsit în ecuația parabolei și găsim y;

3)Zerourile funcției sau cu alte cuvinte, punctele de intersecție ale parabolei cu axa OX, se mai numesc și rădăcinile ecuației. Pentru a găsi rădăcinile, echivalăm ecuația cu 0 ax2+bx+c=0;

Tipuri de ecuații:

a) Ecuația pătratică completă este ax2+bx+c=0și este rezolvată de discriminant;
b) Ecuație pătratică incompletă de formă ax2+bx=0. Pentru a o rezolva, trebuie să scoateți x din paranteze, apoi să echivalați fiecare factor cu 0:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 și ax+b=0;
c) Ecuație pătratică incompletă de formă ax2+c=0. Pentru a o rezolva, trebuie să mutați necunoscutul într-o parte și cunoscutul în cealaltă. x =±√(c/a);

4) Găsiți câteva puncte suplimentare pentru a construi funcția.

PARTEA PRACTICĂ

Și acum, cu un exemplu, vom analiza totul prin acțiuni:
Exemplul #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 înseamnă că parabola intersectează OY în punctul x=0 y=3. Ramurile parabolei se uită în sus pentru că a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 partea de sus este în punctul (-2;-1)
Aflați rădăcinile ecuației x 2 +4x+3=0
Găsim rădăcinile de la discriminant
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3

Să luăm câteva puncte arbitrare care sunt aproape de vârf x=-2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Înlocuim în loc de x în ecuația y \u003d x 2 + 4x + 3 valori
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Din valorile funcției se poate observa că parabola este simetrică față de linia dreaptă x \u003d -2

Exemplul #2:
y=-x 2 +4x
c=0 înseamnă că parabola intersectează OY în punctul x=0 y=0. Ramurile parabolei privesc în jos deoarece a=-1 -1 Aflați rădăcinile ecuației -x 2 +4x=0
O ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0. Pentru a o rezolva, trebuie să scoateți x din paranteze, apoi să echivalați fiecare factor cu 0.
x(-x+4)=0, x=0 și x=4.

Să luăm câteva puncte arbitrare care sunt în apropierea vârfului x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Înlocuim în loc de x în ecuația y \u003d -x 2 +4x valori
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Din valorile funcției se poate observa că parabola este simetrică față de linia dreaptă x \u003d 2

Exemplul #3
y=x 2 -4
c=4 înseamnă că parabola intersectează OY în punctul x=0 y=4. Ramurile parabolei se uită în sus pentru că a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 vârful este în punctul (0;-4 )
Aflați rădăcinile ecuației x 2 -4=0
O ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +c=0. Pentru a o rezolva, trebuie să mutați necunoscutul într-o parte și cunoscutul în cealaltă. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x 2 \u003d -2

Să luăm câteva puncte arbitrare care sunt aproape de vârful x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Înlocuim în loc de x în ecuația y \u003d x 2 -4 valori
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Din valorile funcției se poate observa că parabola este simetrică față de dreapta x=0

Abonati-va pe canalul de pe YOUTUBE pentru a fi la curent cu toate noutățile și a se pregăti alături de noi pentru examene.