Различные "ветви" реальности. Параллельные вселенные Правило умножения вероятностей независимых событий

человека содержится некий план, с которым пришла сюда душа, все варианты развития событий, в том числе. Можно туда зайти и просмотреть последствия важных решений, которые мы принимаем. Например, о смене работы и образа жизни. Делать это можно как в самостоятельных медитациях, так и в совместных процессах ведущий-ведомый. Ниже описание того, как это было проделано в сеансе

Вероятностные линии

Проецирую три ветки:

1) остаться в Москве на имеющейся работе;

2) продать или сдать квартиру и уехать в Азию к друзьям, чтобы войти партнером в их туристический бизнес;

3) идеальный вариант: ухожу с работы, участвую в бизнесе друзей на проектной основе, при этом есть свой собственный дом, но не в Москве (то ли тоже Азия, но другая, то ли Восточная Европа, то ли Латинская Америка - большая светлая вилла, в которой можно принимать гостей и проводить ретриты), есть пара - собственные партнерские отношения, и есть свое дело.

Выстраиваем все три ветки как дороги, смотрим, есть ли ответвления.

Московская ветка - прочный толстый серый канат, тусклый и надежный, не оторвешься, не потеряешься. От каната идет несколько более тонких веревок, какие то поярче и поинтересней, но ни одна не привлекает, не зовет и не светится. Ощущение - я по прежнему люблю Москву, но эта тема себя изжила.

Ветка с Азией и друзьями - очень яркая и наглядная, но короткая и жидкая, что ли. В ней не хватает потенциала для того,чтобы уверенно развернуться в перспективе. Недостаточно ресурса.

Идеальная третья картинка разделилась на несколько географических точек на карте, каждая со своим специфическим налетом. Третья ветка, внутри которой есть моя собственная история - наиболее привлекательна, конечно же, для меня. Она не такая осязаемая сейчас как московская и не такая цветная как вторая, Но она зовет к себе. И светится, наполненная изнутри. Как тонкий живой лучик, пульсирует и переливается.

Выбор своего пути

В этой версии развития событий я свободно перемещаюсь по всему миру при желании. Доход у меня ниже, чем в Москве, но его достаточно, чтобы ни в чем не нуждаться и ни в чем себе не отказывать, пусть и в меру. Я приезжаю на проекты к друзьям, они гостят у меня. Я что-то пишу и работаю с людьми, делаю это в удовольствие. Имеется еще какой то светский бизнес проект, который тоже более-менее успешен, и дает стабильный заработок.

При этом есть близкий человек, с которым мы совместно реализуем эту историю, в паре. Для того, чтобы она проявилась, нужно не только мое намерение, и с той и с моей стороны потребуется некая плата, само собой, как за любой выбор. Как только ты что-то выбираешь, ты автоматически от чего то отказываешься.. Это всегда страшно и небезопасно, к тому же. Плата как отказ от имеющегося комфорта или свободы. Плата как позволение войти в свою жизнь чему то совершенно новому и неизвестному, пусть и заманчивому. Чистая свобода воли и чистота намерений и с той, и с другой стороны. А там уж - как сложится.. В ином ключе (не на чистом волеизъявлении) эта тема просто не взлетит.

Весь этот процесс сейчас в развертке пребывает. Эта ветка находится на стадии вызревания, и если все сложится хорошо, то она сможет полностью проявиться в моей реальности. Смотрим, есть ли помехи или камни на этой идеальной для меня линии. Вижу упавшее дерево, прямо на дороге. Это страхи и недоверие к самой себе. Из серии - это слишком хорошо, чтобы так оно все и сложилось, так не бывает, это все иллюзии и сказки, придуманные самой себе. Расчищаю дорогу.

Следующий важный шаг - принять окончательное собственное решение - нужно ли туда вообще забрасывать внимание, в эту ветку-мечту, поскольку "отмотать" так просто не получится потом. Понимаю для себя, что так или иначе уже давно напитываю ее энергией и внутренне активирую. И это происходит даже не из-за упрямства или желания, чтобы было по моему.

Гораздо более тонкие вещи и знаки, которые сигнализируют о том, что это судьба, как бы громко это ни звучало. Эта ветка постепенно становится все более и более ощутимой. Она уплотняется, медленно и верно. Хотя, конечно же, все еще крайне неопределенно и может свернуться в любой момент, но есть ощущение, что она сама ко мне идет, эта ветка.

Поскольку она давно уже была спроектирована и предопределена, заказана, можно сказать. И я понимаю, куда это ведет. И как оно складывается. И что это правильное развитие событий. Хотя иногда тупо боюсь в это поверить..

И еще очень не хочется эту ветку цементировать. Делать жесткой и однозначной.. Не нужно в нее встраивать жесткую привязку к определенному месту или роду занятий, или к чему то еще. Хочется чтобы в ней было много стихии: воздуха, воды, огня, земли, чтобы она дышала, чтобы была гибкой и неразрушимой - мобильной, трансформируемой и перенастраиваемой. И чтобы все, что в ней происходило, было бы результатом сотворчества, не автономными действиями. Это в любом случае парная история, она не может родиться как принуждение, тут важна максимальная корректность - ни в коем случае не навязывать и не давить.. Все на свободе воли. А дальше - куда позовет*

Усиление ветки вниманием

Протягиваю из своей Искры луч в направлении этой ветки, в ту точку, куда она стремится, соединяюсь с ней своим вниманием. Тем самым Искра начинает работать на реализацию этой цели, якорится в ней. Я могу этого не осознавать, но работа будет вестись: формирование событий в пространстве будет происходить таким образом, чтобы эта цель была максимально приближена к моей реальности, к своей реализации.

Луч Искры трансформируется в гравитационный луч и притягивает объекты и события из той ветки вероятностей ко мне, как магнитом. Цель становится совсем близкой, можно сказать, я сейчас в ней. Как телепорт, когда не стараешься перейти в новое место всем своим телом, а материализуешь искомое пространство вокруг себя: настраиваешься на цель и притягиваешь ее к себе. И чем ближе она к тебе находится, тем больше твоя воля распространяется на ее реализацию. А уже Искра ответственна за то, чтобы сформировать те события, которые повлекут за собой воплощение этой ветки в действительность, позволят ей сыграть.

Рисую свое будущее светом своей Искры. Там так классно, в этой линии вероятностей - очень красивая история, куда хочется всех позвать в гости.. Большая светлая комната, наполненная жизнью, солнцем и воздухом.. Даю ей топливо, заряжаю потенциалом, чтобы она получила возможность проявиться в реальности. Когда будет готовность принять финальное решение или понадобится посмотреть какие то ответы по развитию этой ветки, можно просто вспоминать это состояние притяжения, пропитываться эмоционально атмосферой и настроением этой комнаты, почувствовать эмоцию творчества и партнерства. Эмоция созидания - это всегда любовь..

Проявление и закрепление результата

Чтобы запечатлеть ту картинку, которая выглядит такой привлекательной, но зыбкой сейчас, нужно пропустить через него свет, влить эмоцию, зарядить позитивом. Войти в состояние ананды - радостного подъема, любящего и любимого существа, влюбленного и наполненного любовью и перенаправить это свое внутреннее топливо в идеальный вариант развития событий.

Прочистить путь и снять вопросы. Сонастроить с другими ветками реальности, окружающими меня и сопричастных игроков, чтобы все это синхронизировалось по месту и по времени. Совпало с намерениями, волей и свободой выбора. Напитать все это своим собственным светом, теплом и любовью для реализации в будущем своего творческого потенциала в том ключе, который так нравится. Экспонировать нужный результат так, чтобы изображение впечаталось светом в чувствительную пленку - канву грядущих событий, прожгло в ней свой оттиск как световая проекция. И выдержать немного, чтобы эффект был как можно ярче.

Теперь нужно обработать созданный отпечаток мечты, чтобы он перешел в слой материальной реальности. Следующий этап - стабилизация. Нужно добавить в картинку немного энергии темноты и холода, чтобы она выкристаллизовалась и приобрела более твердые очертания, перешла из состояния волшебного миража в более плотные слои, закрепилась и проявилась.

Работа с негативным отпечатком.. Результат буквально фиксируется на листе реальности, примерно также, как когда на аналоговую фотобумагу проецируем изображение с аналоговой фотопленки, а потом льем по очереди проявитель и закрепитель чтобы можно было в деталях рассмотреть, что же такое мы запечатлели с помощью света и намерения и войти туда, когда это будет уместно и своевременно.

Поскольку за общение с миром и творческую реализацию отвечает горловая чакра, отправляю туда, в избранную ветку луч из горловой чакры. За ним попросился луч и из второй чакры, следом - из третьей. Потом и остальные чакры подключились, получился такой лучевой душ, как из цветика-семицветика. Промываю и просушиваю все получившееся, наполняю движением, материальной энергией земли, видением, всеми качествами жизненной силы и магнетизма, притягиваю ветку вероятности в свою реальность еще больше, связываю напрямую с каждым из чакральных центров, прописываю ее там в них..

* человек забывает, что будущее многовариантно и часто приявзывается к шаблонным моделям (таковые обычно определяются нумерологией, астрологией и тп). На самом деле каждый из нас -- это поток, а потоку нужно течь, не зацикливаться на рамках, с легкостью отпускать старое и впускать новое, адаптироваться. Поэтому, если будете делать подобные практики, ни в коем случае не "цементируйте" свое намерение, тк мир всегда предлагает еще более классыне варианты, о которых мы сами можем даже не догадываться, особенно сейчас.

Реальность многомерна, мнения о ней многогранны. Здесь показана лишь одна или несколько граней. Не стоит принимать их за истину в последней инстанции, ибо , а у каждого уровня сознания и . Учимся отделять наше от не нашего, либо добывать информацию автономно)

ТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗДЕЛЫ:
| | | | | | | | |

1. Ω = {11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66},

2. Ω = {2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12}

3. ● A = {16,61,34, 43, 25, 52};

● B = {11,12, 21,13,31,14, 41,15, 51,16, 61}

● C = {12, 21,36,63,45, 54,33,15, 51, 24,42,66}.

● D = {СУММА ОЧКОВ РАВНА 2 ИЛИ 3 };

● E = {СУММА ОЧКОВ РАВНА 10}.

Описать событие: С = {ЦЕПЬ ЗAМКНУТA} для каждого случая.

Решение. Введем обозначения: событие A - контакт 1 за­мкнут; событие В - контакт 2 замкнут; событие С - цепь замкнута, лампочка горит.

1. Для параллельного соединения цепь замкнута, когда хотя бы один из контактов замкнут, поэтому С = A + В ;

2. Для последовательного соединения цепь замкнута, ко­гда замкнуты оба контакта, поэтому С = A · В .

Задача. 1.1.4 Составлены две электрические схемы:

Событие A - цепь замкнута, событие A i - I –й кон­такт замкнут. Для какой из них справедливо соотноше­ние

A1 · (A2 + A3 · A4) · A5 = A?

Решение . Для первой схемы A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), так как параллельному соединению соответствует сумма собы­тий, а последовательному соединению - произведение событий. Для второй схемы A = A 1 (A2 + A3 A4 A5). Сле­довательно, данное соотношение справедливо для второй схемы.

Задача. 1.1.5 Упростить выражение (A + B)(B + C)(C+ A).

Решение. Воспользуемся свойствами операций сложения и умножения событий.

(A + B)(B + C)(A + C) =

(AB + AC + B B + BC)(A + C) =

= (AB + AC + B + BC)(A + C) =

(AB + AC + B)(A + C) = (B + AC)(A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC.

Задача. 1.1.6 Доказать, что события A, AB и A+B Обра­зуют полную группу.

Решение. При решении задачи воспользуемся свойства­ми операций над событиями. В начале покажем, что эти события попарно несовместны.

A теперь покажем, что сумма этих событий дает простран­ство элементарных событий.

Задача. 1.1.7 С помощью схемы Эйлера–Венна проверить правило де-Моргана:

А) Заштриховано событие AB.

Б) Событие A - вертикальная штриховка; событие B - горизонтальная штриховка. Событие

{A+B} - заштрихованная область.

Из сопоставления рисунков а) и в) следует:

Задача. 1.2.1 Сколькими способами можно рассадить 8 человек:

1. В один ряд?

2. За круглым столом?

Решение.

1. Искомое число способов равно числу перестановок из 8, т. е.

P8 = 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320

2. Так как за круглым столом выбор первого человека не влияет на чередование элементов, то первым можно взять любого, а оставшихся упорядочим относительно выбранного. Это действие можно осуществить 8!/8 = 5040 способами.

Задача. 1.2.2 На курсе изучается 5 предметов. Скольки­ми способами можно составить расписание на субботу, ес­ли в этот день должны быть две различные пары?

Решение. Искомое число способов есть число размещений

Из 5 по 2, так как нужно учесть порядок пар:

Задача. 1.2.3 Сколько экзаменационных комиссий, состо­ящих из 7 человек, можно составить из 15 преподавате­лей?

Решение. Искомое число комиссий (без учета порядка) - это число сочетаний из 15 по 7:

Задача. 1.2.4 Из корзины, содержащей двадцать прону­мерованных шаров выбирают на удачу 5 шаров. Опреде­лить число элементов пространства элементарных собы­тий этого опыта, если:

Шары выбираются последовательно один за другим с возвращением после каждого извлечения;

Шары выбирают один за другим, не возвращая;

Выбирают сразу 5 шаров.

Решение.

Число способов извлечь первый шар из корзины равно 20. Так как извлеченный шар вернулся в корзину, то число способов извлечь второй шар также равно 20 и т. д. Тогда число способов извлечь 5 шаров в этом слу­чае равно 20 · 20 · 20 · 20 · 20 = 3200000.

Число способов извлечь первый шар из корзины рав­но 20. Так как извлеченный шар после извлечения не вернулся в корзину, то число способов извлечь второй шар стало равно 19 и т. д. Тогда число способов извлечь 5 шаров без возвращения равно 20 · 19 · 18 · 17 · 16 = A52 0

Число способов извлечь из корзины 5 шаров сразу рав­но числу сочетаний из 20 по 5:

Задача. 1.2.5 Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна единица.

Решение. На каждой кости может выпасть любое число очков от 1 до 6. Поэтому пространство элементарных со­бытий содержит 36 равновозможных исходов. Событию A благоприятствуют 11 исходов: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (1,5), (5,1), (1,6), (6,1), поэтому

Задача. 1.2.6 На красных карточках написаны буквы у, и, я, к, ц, ф, н, на синих - буквы а, а, о, т, т, с, ч. После тща­тельного перемешивания, что вероятнее: с первого раза из букв на красных карточках составить слово «функция» или из букв на синих карточках слово «частота»?

Решение. Пусть событие A - наудачу составленное из 7 букв слово «функция», событие B - наудачу составлен­ное из 7 букв слово «частота». Так как упорядочиваются два множества из 7 букв, то число всех исходов для со­бытий A и B равно n = 7!. Событию A благоприятствует один исход m = 1, так как все буквы на красных карточ­ках различны. Событию B благоприятствуют m = 2! · 2! ис­ходов, так как буквы «а» и «т» встречаются дважды. Тогда P(A) = 1/7! , P(B) = 2! 2! /7! , P(B) > P(A).

Задача. 1.2.7 На экзамене студенту предлагается 30 би­летов; в каждом билете два вопроса. Из 60 вопросов, вошед­ших в билеты, студент знает только 40. Найти вероят­ность того, что взятый студентом билет будет состо­ять

1. из известных ему вопросов;

2. из неизвестных ему вопросов;

3. из одного известного и одного неизвестного вопроса.

Решение. Пусть A - событие, состоящее в том, что на оба вопроса студент знает ответ; B - не знает ответа на оба вопроса; C - на один вопрос знает ответ, на другой - не знает. Выбор двух вопросов из 60 можно осуществить n = C260 = 60 2·59 = 1770 способами.

1. Имеется m = C240 = 40 2·39 = 780 возможностей выбора известных студенту вопросов. Тогда P(A) = M N = 17 78 70 0 = 0,44

2. Выбор двух неизвестных вопросов из 20 можно осуществить m = C220 = 20 2·19 = 190 способами. В таком случае

P(B) = M N = 11 79 70 0 = 0,11

3. Существует m = C14 0 ·C21 0 = 40·20 = 800 способов выбрать билет с одним известным и одним неизвестным вопроcом. Тогда P(C) = 18 70 70 0 = 0,45.

Задача. 1.2.8 По трем каналам послана некоторая ин­формация. Каналы работают независимо друг от друга. Найти вероятность того, что информация достигнет це­ли

1. Только по одному каналу;

2. Хотя бы по одному каналу.

Решение. Пусть A - событие, состоящее в том, что инфор­мация достигает цели только по одному каналу; B - хотя бы по одному каналу. Опыт - передача информации по трем каналам. Исход опыта - информация достигла цели. Обозначим Ai - информация достигает цели по i-му каналу. Пространство элементарных событий имеет вид:

Событию B благоприятствуют 7 исходов: все исходы, кро­меТогда n = 8; mA = 3; mB = 7; P(A) = 3 8 ; P(B) = 7 8.

Задача. 1.2.9 На отрезке единичной длины случайным об­разом появляется точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка больше 1/8.

Решение. По условию задачи искомому событию удовле­творяют все точки, появляющиеся на интервале (a; b).

Так как его длина s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4, а длина всего отрезка S = 1, то искомая ве­роятность равна P = s/S = 3/14 = 0.75.

Задача. 1.2.10 В партии из N изделий K изделий являются бракованными. Для контроля выбирается m изделий. Най­ти вероятность того, что из M Изделий L Окажутся брако­ванными (событие А).

Решение. Выбор m изделий из n можно осуществить способами, а выбор L бракованных из k бракованных - способами. После выбора L бракованных изделий останется (m - L ) годных, находящихся среди (n - k) изделий. Тогда число исходов, благоприятствующих событию A, равно·

И искомая вероятность

Задача. 1.3.1 B урне 30 шаров: 15 красных, 10 синих и 5 белых. Найти вероятность того, что наугад вынутый шар - цветной.

Решение. Пусть событие A - вынут красный шар, собы­тие B - вынут синий шар. Тогда события (A + B) - вынут цветной шар. Имеем P(A) = 1 3 5 0 = 1 2 , P(B) = 1 3 0 0 = 1 3. Так как

События A и B несовместны, то P(A + B) = P(A) + P(B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0.83.

Задача. 1.3.2 Вероятность того, что будет снег (событие A), равна 0.6, А того, что будет дождь (событие B), равна 0.45. Найти вероятность плохой погоды, если вероятность дождя со снегом (событие AB) равна 0.25.

Решение. События A и B совместны, поэтому P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.6 + 0.45 - 0.25 = 0.8

Задача. 1.3.3 B первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором - 3 белых и 9 черных шаров, в третьем - 6 бе­лых и 6 черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые.

Решение. Событие A - вынут белый шар из первого ящи­ка, B - из второго ящика, C – из третьего. Тогда P(A) = 12 2 = 1 6; P(B) = 13 2 = 1 4; P(C) = 16 2 = 1 2. Событие ABC - все вынутые

Шары - белые. События A, B,C - независимые, поэтому

P(ABC) = P(A)·P (B)·P (C) = 1 6 · 1 4 · 1 2 = 41 8 = 0.02

Задача. 1.3.4 B электрическую цепь последовательно включены 5 Элементов, работающие независимо друг от друга. Вероятность отказов первого, второго, третье­го, четвертого, пятого элементов соответственно равны 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет (событие A).

Решение. Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один эле­мент. Событие Ai(i =1...5) - откажет I - й элемент. События

Задача. 1.3.5 Цепь состоит из независимых блоков, соеди­ненных в систему с одним входом и одним выходом.

Выход из строя за время Т различных элементов цепи - независимые события, имеющие следующие вероятно­сти P 1 = 0.1; P2 = 0.2; P3 = 0.3; P4 = 0.4. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Найти надежность системы.

Решение. Если событие A - {СИСТЕМА НАДЕЖНА}, Ai - {i - й БЛОК РАБОТАЕТ БЕЗОТКАЗНО}, то A = (A1 + A2)(A3 + A4). События A1+A2, A3+A4 - независимые, события A1 и A2, A3 и A4 - совместные. По формулам умножения и сложения вероятностей

Задача. 1.3.6 Рабочий обслуживает 3 станка. Вероят­ность того, что в течение часа станок не потребует вни­мания рабочего, равна для первого станка 0.9, для второго станка - 0.8, для третьего станка - 0.7.

Найти вероятность того, что в течение некоторого часа

1. Потребует внимания второй станок;

2. Потребуют внимания два станка;

3. Потребуют внимания не менее двух станков.

Решение. Пусть Ai - i-й станок потребует внимания ра­бочего,- i-й станок не потребует внимания рабочего. Тогда

Пространство элементарных событий:

1. Событие A - потребует внимания второй станок: Тогда

Так как события несовместные и независимые. P(A) = 0.9·0.8·0.7 + 0.1·0.8·0.7 + 0.9·0.8·0.3 + 0.1·0.8·0.3 = 0.8

2. Событие B - потребуют внимания два станка:

3. Событие C - потребуют внимания не менее двух стан­
ков:

Задача. 1.3.7 B машину «Экзаменатор» введено 50 Вопро­сов. Студенту предлагается 5 Вопросов и ставится оценка «отлично», если на все вопросы получен верный ответ. Най­ти вероятность получить “отлично”, если студент подго­товил только 40 Вопросов.

Решение. A - {ПОЛУЧЕНА ОЦЕНКА «ОТЛИЧНО»}, Ai - {ОТВЕТИЛ НА i - й ВОПРОС}. Тогда A = A1A2A3A4A5, имеем:

Или, другим способом - c помощью формулы классической вероятности:И

Задача. 1.3.8 Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в I , II , III , IV ящике, соответственно рав­ны 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Найти вероятность того, что сборщику придется проверить все 4 ящика (событие A ).

Решение. Пусть Ai - {Нужная сборщику деталь находит­ся в i-м ящике.} Тогда

Так как события несовместны и независимы, то

Задача. 1.4.1 Обследовалась группа из 10000 человек в возрасте свыше 60 лет. Оказалось, что 4000 человек яв­ляются постоянно курящими. У 1800 курящих обнаружи­лись серьезные изменения в легких. Среди некурящих изме­нения в легких имели 1500 человек. Какова вероятность того, что наугад обследованный человек, имеющий изме­нения в легких, является курящим?

Решение. Введем гипотезы: H1 - обследованный является постоянно курящим, H2 - является некурящим. Тогда по условию задачи

P(H1)= ------- =0,4, P(H2)=--------- =0,6

Обозначим через A событие, состоящее в том, что об­следованный имеет изменения в легких. Тогда по условию задачи

По формуле (1.15) находим

Искомая вероятность того, что обследованный человек является курящим, по формуле Байеса равна

Задача. 1.4.2 В продажу поступают телевизоры трех за­водов: 30% с первого завода, 20% - со второго, 50% - с третьего. Продукция первого завода содержит 20% теле­визоров со скрытым дефектом, второго - 10% , третьего - 5%. Какова вероятность приобрести исправный телеви­зор?

Решение. Рассмотрим события: A - приобретен исправ­ный телевизор; гипотезы H1, H2, H3 - телевизор поступил в продажу соответственно с первого, второго, третьего заво­да. По условию задачи

По формуле (1.15) находим

Задача. 1.4.3 Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом 20 белых шаров, во втором - 10 белых и 10 черных шаров, в третьем - 20 черных шаров. Из наугад выбран­ного ящика вынут белый шар. Найти вероятность того, что этот шар из второго ящика.

Решение. Пусть событие A - вынут белый шар, гипотезы H1, H2, H3 - шар вынут соответственно из первого, второго, третьего ящика. Из условия задачи находим

Тогда
По формуле (1.15) находим

По формуле (1.16) находим

Задача. 1.4.4 Телеграфное сообщение состоит из сигна­лов «точка» и «тире». Статистические свойства помех та­ковы, что искажаются в среднем 2/5 Сообщений «точка» и 1/3 Сообщений «тире». Известно, что среди передавае­мых сигналов «точка» и «тире» встречаются в соотноше­нии 5: 3. Определить вероятность того, что принят пе­редаваемый сигнал, если:

А) принят сигнал «точка»;

Б) принят сигнал «тире».

Решение. Пусть событие A - принят сигнал «точка», а со­бытие B - принят сигнал «тире».

Можно сделать две гипотезы: H1 - передан сигнал «точ­ка», H2 - передан сигнал «тире». По условию P(H1) : P(H2) =5: 3. Кроме того, P(H1) + P(H2) = 1. Поэтому P(H1) = 5/8, P(H 2 ) = 3/8. Известно, что

Вероятности событий A И B Находим по формуле пол­ной вероятности:

Искомые вероятности будут:

Задача. 1.4.5 Из 10 каналов радиосвязи 6 каналов защи­щены от воздействия помех. Вероятность того, что за­щищенный канал в течении времени T не выйдет из строя, равна 0.95, для незащищенного канала - 0.8. Найти ве­роятность того, что случайно выбранные два канала не выйдут из строя в течение времени T , причем оба канала не защищены от воздействия помех.

Решение. Пусть событие A - оба канала не выйдут из строя в течение времени t, событие A1 - Выбран защищен­ный канал, A2 - Выбран незащищенный канал.

Запишем пространство элементарных событий для опыта - {выбрано два канала}:

Ω = {A1A1, A1A2, A2A1, A2A2}

Гипотезы:

H1 - оба канала защищены от воздействия помех;

H2 - первый выбранный канал защищен, второй вы­бранный канал не защищен от воздействия помех;

H3 - первый выбранный канал не защищен, второй выбранный канал защищен от воздействия помех;

H4 - оба выбранных канала не защищены от помех. Тогда

И

Задача. 1.5.1 По каналу связи передается 6 Сообщений. Каждое из сообщений может быть искажено помехами с вероятностью 0.2 Независимо от других. Найти вероят­ность того, что

1. 4 сообщения из 6 не искажены;

2. Не менее 3 из 6 переданы искаженными;

3. Хотя бы одно сообщение из 6 искажено;

4. Не более 2 из 6 не искажены;

5. Все сообщения переданы без искажения.

Решение. Так как вероятность искажения 0.2, то вероят­ность передачи сообщения без помех - 0.8.

1. Используя формулу Бернулли (1.17), найдем вероят­
ность передачи 4 сообщений из 6 без помех:

2. не менее 3 из 6 переданы искаженными:

3. хотя бы одно сообщение из 6 искажено:

4. хотя бы одно сообщение из 6 искажено:

5. все сообщения переданы без искажения:

Задача. 1.5.2 Вероятность того, того, что летом день будет ясным, равна 0.42; вероятность пасмурного дня рав­на 0.36 и переменной облачности - 0.22. Сколько дней из 59 можно ожидать ясных и пасмурных?

Решение. Из условия задачи видно, что надо искать наи­более вероятное число ясных и пасмурных дней.

Для ясных дней P = 0.42, N = 59. Составляем неравен­ства (1.20):

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ Mo ≤ 25.2 → Mo = 25.

Для пасмурных дней P = 0.36, N = 59 и

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ M 0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

Следовательно 20.16 ≤ M 0 ≤ 21.60; → M 0 = 21.

Таким образом, наиболее вероятное число ясных дней Mo =25, пасмурных дней - M0 = 21. Тогда летом можно ожи­дать Mo + M0 =46 ясных и пасмурных дней.

Задача. 1.5.3 На лекции по теории вероятностей при­сутствует 110 студентов курса. Найти вероятность того что

1. k студентов (k = 0,1,2) из присутствующих родились первого сентября;

2. хотя бы один студент курса родился первого сентя­бря.

P =1/365 очень мала, поэтому используем фор­мулу Пуассона (1.22). Найдем параметр Пуассона. Так как

N = 110, то λ = np = 110 1 /365 = 0.3.

Тогда по формуле Пуассона

Задача. 1.5.4 Вероятность того, что деталь не стан­дартная, равна 0.1. Сколько деталей нужно отобрать, чтобы с вероятностью P = 0.964228 Можно было утвер­ждать, что относительная частота появления нестан­дартных деталей отклоняется от постоянной вероятно­сти p = 0.1 По абсолютной величине не более, чем на 0.01 ?

Решение.

Требуемое число N Найдем по формуле (1.25). Имеем:

P = 1.1; q = 0.9; P = 0.96428. Подставим данные в формулу:

Откуда находим

По таблице значений функции Φ(X ) находим, что

Задача. 1.5.5 Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0.2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов выйдут из строя

1. Ровно 10 конденсаторов;

2. Не менее 20 конденсаторов;

3. Менее 28 конденсаторов;

4. От 14 до 26 конденсаторов.

Решение. Имеем П = 100, P = 0.2, Q = 1 - P = 0.8.

1. Ровно 10 конденсаторов.

Так как П Велико, воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа:

Вычислим

Так как функция φ(х) - четная, то φ(-2,5) = φ(2,50) = 0,0175 (находим по таблице значений функции φ(х). Искомая вероятность

2. Не менее 20 конденсаторов;

Требование, чтобы из 100 конденсаторов из строя вы­шли не менее 20, означает, что из строя выйдут либо 20, либо 21, ..., либо 100. Таким образом, Т1 = 20, Т 2 =100. Тогда

По таблице значений функции Φ(x) Найдем Φ(x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = Φ(20) = 0.5. Искомая вероятность:

3. Менее 28 конденсаторов;

(здесь было учтено, что функция Лапласа Ф(x) - нечет­ная).

4. От 14 до 26 конденсаторов. По условию M1= 14, m2 = 26.
Вычислим x 1,x2:

Задача. 1.5.6 Вероятность появления некоторого собы­тия в одном опыте равна 0.6. Какова вероятность, что это событие появиться в большинстве из 60 опытов?

Решение. Количество M Появлений события в серии ис­пытаний находится в промежутке . «В большинстве опытов» означает, что M Принадлежит промежутку По условию N = 60, P = 0.6, Q = 0.4, M 1 = 30, m2 = 60. Вычислим x1 и x2:

Случайные величины и их распределения

Задача. 2.1.1 Дана таблица, где в верхней строке указа­ны возможные значения случайной величины X, а в нижней - их вероятности.

Может ли эта таблица быть рядом распределения X?

Ответ: Да, так как p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

Задача. 2.1.2 Выпущено 500 Лотерейных билетов, причем 40 Билетов принесут их владельцам выигрыш по 10000 Руб., 20 Билетов - по 50000 Руб., 10 Билетов - по 100000 Руб., 5 Билетов - по 200000 Руб., 1 Билет - 500000 Руб., осталь­ные - без выигрыша. Найти закон распределения выигры­ша для владельца одного билета.

Решение.

Возможные значения X: x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. Вероятности этих возможных значений:

Искомый закон распределения:

Задача. 2.1.3 Стрелок, имея 5 Патронов, стреляет до первого попадания в цель. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.7. Построить закон распределе­ния числа использованных патронов, найти функцию рас­пределения F (X ) и построить ее график, найти P(2 < x < 5).

Решение.

Пространство элементарных событий опыта

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

Где событие {1} - попал в цель, событие {0} - не попал в цель. Элементарным исходам соответствуют следующие значения случайной величины числа использованных па­тронов: 1, 2, 3, 4, 5. Так как результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущего, то вероятности воз­можных значений:

P1 = P(x1 = 1) = P(1) = 0.7; P2 = P(x2 = 2) = P(01) = 0.3 · 0.7 = 0.21;

P3 = P(x3 = 3) = P(001) = 0.32 · 0.7 = 0.063;

P4 = P(x4 = 4) = P(0001) = 0.33 · 0.7 = 0.0189;

P5 = P(x5 = 5) = P(00001 + 00000) = 0.34 · 0.7 + 0.35 = 0.0081.

Искомый закон распределения:

Найдем функцию распределения F (X ), Пользуясь формулой (2.5)

X ≤1, F(x) = P(X < x) = 0

1 < x ≤2, F(x) = P(X < x) = P1 (X1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = P1 (X = 1) + P2(x = 2) = 0.91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4(x = 4) = 0.973 + 0.0189 = 0.9919

X > 5, F (x) = 1

Найдем P(2 < x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < X < 5) = F(5) - F (2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

Задача. 2.1.4 Дана F (X ) некоторой случайной величины:

Записать ряд распределения дляX.

Решение.

Из свойств F (X ) Следует, что возможные значения слу­чайной величины X - Точки разрыва функции F (X ), А со­ответствующие им вероятности - скачки функции F (X ). Находим возможные значения случайной величины X={0,1,2,3,4}.

Задача. 2.1.5 Установить, какая из функций

Является функцией распределения некоторой случайной величины.

В случае утвердительного ответа, найти вероят­ность того, что соответствующая случайная величина принимает значения на [-3,2].

Решение. Построим графики функций F1(x) и F2(x):

Функция F2(x) не является функцией распределения, так как не является неубывающей. Функция F1(x) является

Функцией распределения некоторой случайной величины, так как является неубывающей и удовлетворяет условию (2.3). Найдем вероятность попадания на промежуток:

Задача. 2.1.6 Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X:

Найти:

1. Коэффициент C;

2. Функцию распределения F(x);

3. Вероятность попадания случайной величины в интер­вал (1, 3).

Решение. Из условия нормировки (2.9)находим

Следовательно,

По формуле (2.10) находим:

Таким образом,

По формуле (2.4) находим

Задача. 2.1.7 Случайное время простоя радиоэлектрон­ной аппаратуры в ряде случаев имеет плотность вероят­ности

Где M = lge = 0.4343...

Найти функцию распределения F(x).

Решение. По формуле (2.10) находим

Где

Задача. 2.2.1 Дан ряд распределения дискретной случай­ной величины X:

Найти математическое ожидание, дисперсию, сред­нее квадратичное отклонение, M, D[-3X + 2].

Решение.

По формуле (2.12) находим математическое ожидание:

M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 · 0.2 + 20 · 0.15 + 30 · 0.25 + 40 · 0.4 = 28.5

M = 2M[X] + M = 2M[X] + 5 = 2 · 28.5 + 5 = 62. По формуле (2.19) найдем дисперсию:

Задача. 2.2.2 Найти математическое ожидание, диспер­сию и среднее квадратичное отклонение непрерывной слу­чайной величины X, функция распределения которой

.

Решение. Найдем плотность вероятности:

Математическое ожидание найдем по формуле (2.13):

Дисперсию найдем по формуле (2.19):

Найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины:

Среднее квадратичное отклонение

Задача. 2.2.3 X имеет ряд распределения:

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = EX.

Решение. M [ Y ] = M[ EX] = e -- 1 · 0.2 + e0 · 0.3 + e1 · 0.4 + e2 · 0.1 =

0.2 · 0.3679 + 1 · 0.3 + 2.71828 · 0.4 + 7.389 · 0.1 = 2.2.

D[Y] = D = M[(eX)2 - M2 [E X] =

[(e-1)2 0.2 + (e0)2 0.3 + (e1)2 0.4 + (e2)2 0.1] - (2.2)2 =

= (e--2 0.2 + 0.3 + e2 0.4 + e4 0.1) - 4.84 = 8.741 - 4.84 = 3.9.

Задача. 2.2.4 Дискретная случайная величина X Может принимать только два значения X1 И X2, причем X1 < x2. Известны вероятность P1 = 0.2 Возможного значения X1, математическое ожидание M[X] = 3.8 И дисперсия D[X] = 0.16. Найти закон распределения случайной величины.

Решение. Так как случайная величина X принимает толь­ко два значения x1 и x2, то вероятность p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0.2 = 0.8.

По условию задачи имеем:

M[X] = x1p1 + x2p2 = 0.2x1 + 0.8x2 = 3.8;

D[X] = (x21p1 + x22p2) - M2[X] = (0.2x21 + 0.8x22) - (0.38)2 = 0.16.

Таким образом получили систему уравнений:

Условию x1

Задача. 2.2.5 Случайная величина X подчинена закону распределения, график плотности которого имеет вид:

Найти математическое ожидание, дисперсию и сред­нее квадратичное отклонение.

Решение. Найдем дифференциальную функцию распре­деления f(x). Вне интервала (0, 3) f(x) = 0. На интервале (0, 3) график плотности есть прямая с угловым коэффици­ентом k = 2/9, проходящая через начало координат. Таким образом,

Математическое ожидание:

Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклоне­ние:

Задача. 2.2.6 Найти математическое ожидание и дис­персию суммы очков, выпадающих на четырех игральных кубиках при одном бросании.

Решение. Обозначим A - число очков на одном кубике при одном бросании, B – число очков на втором кубике, C - на третьем кубике, D - на четвертом кубике. Для случайных ве­личин A, B, C, D за­кон распределения один.

Тогда M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.5

Задача. 2.3.1 Вероятность того, что частица, вылетев­шая из радиоактивного источника, будет зарегистриро­вана счетчиком, равна 0.0001. За время наблюдения из ис­точника вылетело 30000 Частиц. Найти вероятность то­го, что счетчик зарегистрировал:

1. Ровно 3 частицы;

2. Ни одной частицы;

3. Не менее 10 частиц.

Решение. По условию П = 30000, P = 0.0001. События, со­стоящие в том, что частицы, вылетевшие из радиоактив­ного источника, зарегистрированы, независимы; число П Велико, а вероятность P Мала, поэтому воспользуемся рас­пределением Пуассона:Найдем λ: λ = п P = 30000 0.0001 = 3 = М[Х]. Искомые вероятности:

Задача. 2.3.2 В партии 5% нестандартных деталей. На­удачу отобраны 5 деталей. Написать закон распределе­ния дискретной случайной величины X - числа нестан­дартных деталей среди пяти отобранных; найти мате­матическое ожидание и дисперсию.

Решение. Дискретная случайная величина X - число нестандартных деталей - имеет биномиальное распреде­ление и может принимать следующие значения: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. Вероятность нестандарт­ной детали в партии p = 5/100 = 0.05. Найдем вероятности этих возможных значений:

Напишем искомый закон распределения:

Найдем числовые характеристики:

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

M[X] = N p = 5 0.05 = 0.25.

D[X] = M – M 2 [X] = 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

Или D [ X ] = n p (1 - P) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

Задача. 2.3.3 Время обнаружения цели радиолокатором распределено по показательному закону

Где 1/ λ = 10 Сек. - среднее время обнаружения цели. Найти вероятность того, что цель будет обнаружена за время от 5 До 15 Сек. после начала поиска.

Решение. Вероятность попадания случайной величины X В интервал (5, 15) Найдем по формуле (2.8):

ПриПолучаем

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

Задача. 2.3.4 Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону с параметрами a = 0, σ = 20 Мм . За­писать дифференциальную функцию распределения F (X ) и найти вероятность того, что при измерении допущена ошибка в интервале от 5 До 10 Мм .

Решение. Подставим значения параметров a и σ в диффе­ренциальную функцию распределения (2.35):

По формуле (2.42) найдем вероятность попадания слу­чайной величины X В интервале , т. е. A = 0, B = 0.1. То­гда дифференциальная функция распределения F(x) Будет иметь вид

Ночь. Свет полной луны, висящей на звездном небе, через витражи на окнах освещал мрачные коридоры Змиулана, от стен которых отражался гулкий звук бега. -Ну что за девчонка! - сбивая дыхание, пробурчал Фэш. - Испугалась она, понимаешь ли… Только время зря потерял! Надеюсь, мне всё же удастся сбежать…в этот раз… Несясь к Каменной Зале, он молился, чтобы ему никто не попался на пути. Но всё произошло с точностью да наоборот. Во тьме коридоров (где не удосужились сделать окна) Драгоций столкнулся с кем-то, услышав знакомый голос: ,Кто тут носится, как угорелый?! "". Брюнет вызвал часовую стрелу и зажег на острие её огонек. В свет импровизированного светильника попала… Василиса?! -Ты?! - одновременно воскликнули эти двое. Фэш испытал одновременно с удивлением и облегчение: всё-таки с Огневой они в ладах, и его она не сдаст…ну, он на это надеялся. Парень подумал, что рыжеволосая испытала нечто подобное. -Что ты здесь делаешь? - протянул Василисе руку Драгоций. Та, приняв помощь, поднялась и отряхнулась: -Тот же вопрос хотелось бы задать тебе. -Я первый спросил, - скрестил руки на груди Фэш. -Не важно. Вообще, это не твоё дело, - огрызнулась Василиса. -Ну, значит, и то, что я делаю, не твое дело, - спокойно пожал плечами Драгоций. Рыжеволосая поджала губы и задумчиво взглянула на брюнета: -Я скажу только после тебя. -Ну…я… - начал Фэш, пытаясь подобрать слова, но ничего не выходило. - Ладно, я хочу сбежать, - выпалил Драгоций. Глаза Василисы расширились: -Ты что, умом тронулся? Фэш закатил глаза и раздраженно взглянул на Огневу: -Нет, но я не хочу оставаться здесь. -Если тебя поймают, то накажут. Вспомни, что было в прошлые разы, - скрестила руки на груди рыжеволосая. Драгоций скривился: -Слушай, лучше не мешай мне. Василиса задумчиво взглянула на брюнета: -Хорошо, мешать не буду…тем более, я сегодня такая добрая, что даже сдавать тебя не буду, - хихикнула Огнева и, развернувшись, хотела уходить, но Фэш остановил её окликом: -Василиса, - девушка развернулась и выжидающе взглянула на брюнета, - спасибо, - улыбнулся Драгоций и убежал. Огнева улыбнулась и направилась к себе… *** -Это было огромной ошибкой, племянник, - Астрагор возвышался над лежащим полуголым Фэшем. Ученики стали тихо перешептываться. - Ты не раз пытался сбежать и всегда получал наказание… - Шакл, который пришел специально для исполнения расправы, достал один из прутьев и взмахнул пару раз. Послышался хлесткий звук. -Надеюсь, ты всё-таки поймешь, что бежать бесполезно, - великий дух Осталы повернулся к провинившемуся спиной, лицом - к остальным ученикам: -Думаю, это послужит примером и вам. Прут, рассекая воздух, тут же прошелся по спине Фэша, оставляя красные, даже кровавые полосы. Удар за ударом. Брюнет стоически выносил все удары, лишь иногда издавая полустон - полурык. Ученики смотрели на это с неким ехидством. Только Василиса и Захарра взволнованно смотрели на брюнета… *** Фэш сидел в темнице и раздумывал. Раньше его просто сажали в подземелье, оставляя без еды, но сейчас, видимо, дяде надоело, что его племянник наказан так легко. Брюнет повел плечом, болезненно скривившись. Он не обращал внимания на холод, сырость, погрузившись в свои мысли. Из раздумий его вывел звук шагов, раздавашийся по коридору. Вскоре под свет факела вышла Василиса. Фэш тут же подошел к решетке: -Ты чего здесь делаешь? -Держи, - Огнева между прутьями просунула руку и отдала Драгоцию довольно приличный кусок еще теплого хлеба с семечками. Фэш принял еду. -И что это за приступы щедрости? - усмехнулся он. -Это Захарра попросила передать. Ее не пропускали, - пожала плечами Огнева. -То есть, Захарру не пустили, а тебя, ту, что не является родственницей Астрагора, спокойно пропустили? - усмехнулся брюнет. -Ну, это не я решаю, - Василиса вновь пожала плечами, правда, Фэш в её глазах заметил волнение. -Ну, я спрошу потом у Захарры об этом, - спокойно сказал Драгоций, откусив немного хлеба. -Спроси, а мне пора уже, - Огнева развернулась и спокойно прошла до угла и завернула за него. Вскоре Фэш услышал звуки бега и усмехнулся. ,Всё-таки это её инициатива. Наверное, к сестричке побежала договариваться на всякий случай""…

К интересным выводам в ходе исследования свойств времени и возможности путешествий в прошлое и будущее пришел кандидат технических наук В.Чернобров. Так, в частности, он пишет:

«Настоящее есть переход, превращение многовариантного, легко изменяемого Будущего в одновариантное и неизменное Прошлое. Отсюда следует, что полеты в Прошлое (при «отрицательной» плотности-скорости t/tо) и в Будущее будут происходить по-разному.

В какой-то степени их можно сравнить с перемещениями муравья по дереву: из любой точки дерева (из Настоящего) для муравья открывается всего 1 путь вниз (в Прошлое) и множество путей вверх (в Будущее).

Однако среди всех путей в Будущее несомненно существуют наиболее вероятные варианты, маловероятные и почти невероятные. Движение в Будущее будет тем более нестабильным и энергоемким, чем менее вероятным окажется данный вариант Будущего.

В соответствии с данным «законом кроны дерева», возвращение в Настоящее возможно только в том случае, если при пребывании в Прошлом путешествующий не вмешивается в происходящее вокруг него и не изменяет ход прошедшей Истории; в противном случае хронопутешественник вернется в параллельное Настоящее из Прошлого по другой ветви Истории.

Проникновение в Будущее из Настоящего затруднено выбором ветви перемещения, но возвращение из любого варианта Будущего в Настоящее возможно при любом сценарии поведения. Если перед вами не окажется слияний разных вариантов Истории».

Таким образом, даже современные научные исследования подтверждают многомерность времени и разновариантность будущего, а также возможность перемещений в различные его вероятности.

Существует гипотеза, согласно которой ключевые моменты судьбы каждого человека, так называемые «развилки» вероятностей, порождают различные «ветви» реальности в зависимости от наших поступков.

Все эти «ветви» существуют во Вселенной одновременно. Но человеку доступно существование только на одной такой «ветви», хотя иногда и происходят случаи спонтанного перехода с одной «ветви» реальности на другую.

В пользу существования различных вероятностей будущей («ветвей» Древа Жизни, «бороздок» Колеса Времени и т.п.) свидетельствует история, происшедшая с Густавом и Йоханом Шредерманами. Началась она весной 1973 года, когда семья Шредерманов (муж, жена и сын) переехали из Берлина на ферму под Зальцбургом.

Младший из Шредерманов все лето бегал по окрестностям и однажды обнаружил в лесу покосившийся домик, обходя который чуть не провалился в заросший колодец, но вовремя уцепился за куст. Возвращаясь домой, он испытал странное головокружение и дома сразу же лег в постель. На следующее утро в дверь дома раздался стук, а когда мальчик открыл ее, то увидел самого себя, мокрого и перепачканного грязью.

Оказалось, что все прошлое у обоих мальчиков полностью совпадает, разные вероятности судеб начинаются после инциндента у колодца, в который один из них провалился, а другой удержался.

Возможно, что сильный стресс и испуг провалившегося мальчика благодаря измененному состоянию сознания переместили его в другую ветвь реальности, где уже существовал он же, но не провалившийся в колодец.

Характерно, что в последствии родители присвоили мальчикам новые имена и каждый из них жил собственной судьбой: один занялся экспортом пива, другой стал архитектором.

Что такое вероятность?

Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.

Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие.

Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор.

Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.

Но каков этот шанс?

Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь.

Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:

1. Ты позвонил в 1ю дверь
2. Ты позвонил в 2ю дверь
3. Ты позвонил в 3ю дверь

А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:

а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью

Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает.

Как видишь всего возможно вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.

А благоприятных исходов всего . То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. .

Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.

Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:

Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов.

Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на:

Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.

Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.

Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?

Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться.

У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:

1) Позвонить в 1-ую дверь
2) Позвонить во 2-ую дверь

Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):

а) Друг за 1-ой дверью
б) Друг за 2-ой дверью

Давай снова нарисуем таблицу:

Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна.

А почему не?

Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий. Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь.

А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, .

Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые ? Верно, бывают.

Хрестоматийный пример - бросание монетки.

1. Бросаем монетку раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел? Правильно - , ведь вариантов всего (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только.
2. Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же. Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.

И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - .

Отличить зависимые события от независимых легко:

1. Если эксперимент проводится раз (раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
2. Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет - независимые.

Давай немного потренируемся определять вероятность.

Пример 1.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?

Решение:

Рассмотрим все возможные варианты:

1. Орел-орел
2. Орел-решка
3. Решка-орел
4. Решка-решка

Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность:

Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на.

Ответ:

Пример 2.

В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой.

Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.

Решение:

Сколько всего возможных исходов? .

То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке.

А сколько благоприятных исходов?

Потому что в коробке только конфет с орехами.

Ответ:

Пример 3.

В коробке шаров. из них белые, - черные.

1. Какова вероятность вытащить белый шар?
2. Мы добавили в коробку еще черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?

Решение:

а) В коробке всего шаров. Из них белых.

Вероятность равна:

б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - .

Ответ:

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?

Вероятность вытащить красный шар

Зеленый шар:

Красный или зеленый шар:

Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.

Пример 4.

В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный.

Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?

Решение:

Давай посчитаем количество благоприятных исходов.

НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.

Вероятность всех событий. А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) - .

Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер - .

Ответ:

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Что такое независимые события ты уже знаешь.

А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?

Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла?

Мы уже считали - .

А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд?

Всего возможных вариантов:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый).

Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.

Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.

Другими словами,

Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.

Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз.

Какова вероятность выпадения раз подряд орла?

Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.

Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также.

Вероятность выпадения решка - , орла - .

Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:

Можешь проверить сам, составив таблицу.

Правило сложения вероятностей несовместных событий.

Так стоп! Новое определение.

Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза.
Возможные варианты:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события.

Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий.

Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события.

Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?

Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.

Всего вариантов, нам подходит.

То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:

Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.

Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:

Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз.
Что должно произойти?

Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 5.

В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?

Решение:

Что должно произойти? Мы должны вытащить (красный ИЛИ зеленый).

Теперь понятно, складываем вероятности этих событий:

Ответ:

Пример 6.

Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?

Решение.

Как мы можем получить очков?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятность выпадения одной (любой) грани - .

Считаем вероятность:

Ответ:

Тренировка.

Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.

Задачи:

Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти.

1. Какова вероятность вытащить трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
2. Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
3. Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
4. Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
5. Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию - (валет, дама или король) и туз Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.

Ответы:

1. В колоде карты каждого достоинства, значит:
2. События зависимы, так как после первой вытащенной карты количество карт в колоде уменьшилось (как и количество «картинок»). Всего вальтов, дам, королей и тузов в колоде изначально, а значит вероятность первой картой вытащить «картинку»:

   Поскольку мы убираем из колоды первую карту, то значит в колоде осталось уже карта, из них картинок. Вероятность второй картой вытащить картинку:

   Поскольку нас интересует ситуация, когда мы достаем из колоды: «картинку» И «картинку», то нужно перемножать вероятности:

   Ответ:

3. После первой вытащенной карты, количество карт в колоде уменьшится.Таким образом, нам подходит два варианта:
   1) Первой картой вытаскиваем Туза, второй - валета, даму или короля
   2) Первой картой вытаскиваем валета, даму или короля, второй - туза.Т.е. (туз и (валет или дама или король)) или ((валет или дама или король) и туз). Не забываем про уменьшение количества карт в колоде!

Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До.

Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает.

В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным).

Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.

А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или).

Определение:

Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий . То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.

Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность).

Принято измерять вероятность в процентах (см. темы и ) . Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность.

А в процентах: .

Примеры (реши сам):

1. С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
2. С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой - нечетное?
3. В ящике простых, синих и красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?

Решения:

1. Сколько всего вариантов? Орел и решка - всего два. А сколько из них благоприятных? Только один - орел. Значит, вероятность

   С решкой то же самое: .

2. Всего вариантов: (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: (это все четные числа:).
   Вероятность. С нечетными, естественно, то же самое.
3. Всего: . Благоприятных: . Вероятность: .

Полная вероятность

Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -).

Такое событие называется невозможным .

А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или.

Такое событие называется достоверным .

Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - .

В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или.

Пример:

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый?

Решение:

Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна.

Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Независимые события и правило умножения

Ты кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого?

Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще?

Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна.

Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ).

Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения :

Вероятности независимых событий переменожаются.

Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки.

Еще примеры:

1. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет?
2. Монетку бросают раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
3. Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна?

Ответы:

1. События независимы, значит, работает правило умножения: .
2. Вероятность орла равна. Вероятность решки - тоже. Перемножаем:
3. 12 может получиться только, если выпадут две -ки: .

Несовместные события и правило сложения

Несовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка.

Пример.

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный?

Решение .

Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - .

Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна.

Эту же вероятность можно представить в таком виде: .

Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются.

Задачи смешанного типа

Пример.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?

Решение .

Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.

Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае:

Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).

Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение:

Попробуй сам:

1. С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
2. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет очков?

Решения:

1. (Выпал орел и выпал орел) или (выпала решка и выпала решка): .
2. Какие есть варианты? и. Тогда:
   Выпало (и) или (и) или (и): .

Еще пример:

Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?

Решение:

Ой, как же не хочется перебирать варианты… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А и не надо! Вспоминаем про полную вероятность. Вспомнил? Какова вероятность, что орел не выпадет ни разу ? Это же просто: все время летят решки, значит.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Вероятность - это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

Независимые события

Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий

Несовместные события

Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.

Вероятности несовместных событий складываются.

Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений...