Преобразуйте к виду уравнения в отрезках. Уравнение прямой в отрезках: описание, примеры, решение задач
Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.
Теорема 2.1. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида
Аx + By + С = О, (1)
где А, В, С R и А 2 + В 2 0. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую.
Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой .
Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда
Ах-By=-С, и .
Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим
-уравнение в отрезках .
Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.
Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M 1 (x 1 ,у 1) и М 2 (х 2 ,у 2) принадлежит l . Тогда
Аx 1 + Ву 1 + С = Ах 2 + Ву 2 + С, то есть A(x 1 -x 2) + В(у 1 -у 2) = 0.
Последнее равенство означает, что вектор =(А,В) ортогонален вектору =(x 1 -x 2 ,у 1 -у 2). т.е. Вектор (А,В) называется нормальным вектором прямой l .
Рассмотрим вектор =(-В,А). Тогда
А(-В)+ВА=0. т.е. ^ .
Следовательно, вектор =(-В,А) является направляющим вектором пряной l .
Параметрическое и каноническое уравнения прямой
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l , ее направлящий вектор = (m,n) и точка M 0 (x 0 ,y 0) принадлежащая l . Тогда для произвольной точки M (x ,у ) этой прямой имеем
и так как то .
Если обозначить и
Радиус-векторы соответственно точек M и M 0 , то
- уравнение прямой в векторной форме.
Так как =(х ,у ), =(х 0 ,у 0), то
x = x 0 + mt ,
y = y 0 + nt
- параметрическое уравнение прямой .
Отсюда следует, что
- каноническое уравнение прямой .
Наконец, если на прямой l заданы две точки M 1 (х 1 ,у 1) и
M 2 (x 2 ,у 2), то вектор =(х 2 -х 1 ,y 2 -у 1) является направляющим вектором прямой l . Тогда
- уравнение прямой проходящей через две заданные точки .
Взаимное расположение двух прямых .
Пусть прямые l 1 и l 2 заданы своими общими уравнениями
l 1: А 1 х + В 1 у + С 1 = 0, (1)
l 2: А 2 х + В 2 у + С 2 = 0.
Теорема . Пусть прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:
1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что
A 1 =λA 2 , В 1 =λB 2 ;
2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что
А 1 =λA 2 , B 1 =λB 2 , С 1 =λС 2 ;
3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что
А 1 =λA 2 , В 1 =λВ 2 , С 1 λС 2 .
Пучок прямых
Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.
Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l 1 и l 2 , проходящие через центр пучка.
Пусть в аффинной системе координат прямые l 1 и l 2 заданы уравнениями
l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.
Уравнение:
A 1 x + B 1 y + С + λ (A 2 х + В 2 y + C) = 0
- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l 1 и l 2.
В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат .
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть заданы прямые l 1 и l 2 . своими общими уравненими; = (А 1 ,B 1), = (А 2 ,В 2) – нормальные векторы этих прямых; k 1 = tgα 1 , k 2 = tgα 2 – угловые коэффициенты; = (m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) – направляющие векторы. Тогда, прямые l 1 и l 2 параллельны, в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий:
либо , либо k 1 =k 2 , либо .
Пусть теперь прямые l 1 и l 2 перпендикулярны. Тогда, очевидно, , то есть А 1 А 2 + В 1 В 2 = 0.
Если прямые l 1 и l 2 заданы соответственно уравнениями
l 1: у =k 1 x + b 1 ,
l 2: у =k 2 x + b 2 ,
то tgα 2 = tg(90º+α) = .
Отсюда следует, что
Наконец, если и направляющие векторы прямых, то ^ , то есть
m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0
Последнее соотношения выражают необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.
Угол между двумя прямыми
Под углом φ между двумя прямыми l 1 и l 2 будем понимать наименьший угол, на который надо повернуть одну прямую, чтобы она стала параллельной другой прямой или совпала с ней, то есть 0 £ φ £
Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что
cosφ=
Пусть теперь прямые l 1 и l 2 задана уравнениями с угловыми коэффициентами k 1 в k 2 соответственно. Тогда
Очевидно, что , то есть (х -х 0) + В(у -у 0) + C(z -z 0) = 0
Раскроем скобки и обозначим D= -Аx 0 - Ву 0 - Cz 0 . Получим
Ax + By + Сz + D = 0 (*)
- уравнение плоскости в общем виде или общее уравнение плоскости .
Теорема 3.1 Линейное уравнение (*) (A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.
1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.
2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ
3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.
Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.
- уравнение плоскости в отрезках . Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.
Свойства прямой в евклидовой геометрии.
Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются
параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
- прямые пересекаются;
- прямые параллельны;
- прямые скрещиваются.
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия
задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Общее уравнение прямой.
Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат
. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох
. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу
. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу
. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных
начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)
перпендикулярен прямой, заданной уравнением
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С
подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно
С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,
проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На
плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание
прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию
Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.
при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:
х + у - 3 = 0
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:
или , где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения
прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется
нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.
р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,
а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений
этой прямой.
Уравнение этой прямой в отрезках :
Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)
Уравнение прямой :
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,
параллельные осям или проходящие через начало координат.
Угол между прямыми на плоскости.
Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми
будет определяться как
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,
если k 1 = -1/ k 2 .
Теорема .
Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты
А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых
находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.
Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b
представляется уравнением:
Расстояние от точки до прямой.
Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:
Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную
прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :
(1)
Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно
заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Уравнение прямой в отрезках
Пусть дано общее уравнение прямой:
Уравнение прямой в отрезках, где - отрезки, которые отсекает прямая на соответствующих осях координат.
Построить прямую, заданную общим уравнением:
Из чего, можно построить уравнение этой прямой в отрезках:
Взаимное расположение прямых на плоскости.
Утверждение 1.
Для того чтобы прямые и, заданные уравнениями:
Совпадали, необходимо и достаточно, чтобы:
Доказательство: и совпадают, их направляющие вектора и коллинеарны, т. е.:
Возьмем точку М 0 этим прямым, тогда:
Умножая первое уравнение на и прибавляя ко второму в силу (2) получим:
Итак, формулы (2), (3) и (4) эквивалентны. Пусть выполняется (2), тогда уравнения системы (*) эквивалентны соответствующие прямые совпадают.
Утверждение 2.
Прямые и, заданные уравнениями (*) параллельны и не совпадают тогда и только тогда, когда:
Доказательство:
Пусть и не совпадают:
Несовместна, т. е., по теореме Кронекера-Капелли:
Это возможно лишь при условии:
Т. е., при выполнении условия (5).
При выполнении первого равенства (5), - невыполнение второго равенства дает несовместность системы (*) прямые параллельны и не совпадают.
Замечание 1.
Полярная система координат.
Зафиксируем на плоскости точку и назовем ее полюсом. Луч, исходящий из полюса, назовем полярной осью.
Выберем масштаб для измерения длин отрезков и условимся, что поворот вокруг т. против часовой стрелки будем считать положительным. Рассмотрим любую точку на заданной плоскости, обозначим через ее расстояние до полюса и назовем полярным радиусом. Угол, на который нужно повернуть полярную ось, чтобы она совпала с обозначим через и назовем полярным углом.
Определение 3.
Полярными координатами точки называется ее полярный радиус и полярный угол:
Замечание 2. в полюсе. Значение для точек, отличных от точки определено с точностью до слагаемого.
Рассмотрим декартовую прямоугольную систему координат: полюс совпадает с началом, а полярная ось - с положительной полуосью. Здесь. Тогда:
Что является связью между прямоугольной декартовой и полярной системами координат.
Уравнение лемнискаты Бернулли. Записать его в полярной системе координат.
Нормальное уравнение прямой на плоскости. Пусть полярная ось совпадает с, - ось, проходящая через начало координат. Пусть:
Пусть, тогда:
Условие (**) для того, чтобы точка:
Уравнение прямой в полярной системе координат.
Здесь - длина, проведенного от начала координат на прямую, - угол наклона нормали к оси.
Уравнение (7) можно переписать:
Нормальное уравнение прямой на плоскости.
Продолжаем изучение раздела «Уравнение прямой на плоскости» и в этой статье разберем тему «Уравнение прямой в отрезках». Последовательно рассмотрим вид уравнения прямой в отрезках, построение прямой линии, которая задается этим уравнением, переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках. Все это будет сопровождаться примерами и разбором решения задач.
Пусть на плоскости расположена прямоугольная система координат O x y .
Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат O x y задается уравнением вида x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях O x и O y . Длины отрезков считаются от начала координат.
Как мы знаем, координаты любой из точек, принадлежащих прямой линии, заданной уравнением прямой, удовлетворяют уравнению этой прямой. Точки a , 0 и 0 , b принадлежат данной прямой линии, так как a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 и 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 . Точки a , 0 и b , 0 расположены на осях координат O x и O y и удалены от начала координат на a и b единиц. Направление, в котором нужно откладывать длину отрезка, определяется знаком, который стоит перед числами a и b . Знак « - » обозначает, что длину отрезка необходимо откладывать в отрицательном направлении координатной оси.
Поясним все вышесказанное, расположив прямые относительно фиксированной декартовой системы координат O x y на схематическом чертеже. Уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 применяется для построения прямой линии в декартовой системе координат O x y . Для этого нам необходимо отметить на осях точки a , 0 и b , 0 , а затем соединить эти точки линией при помощи линейки.
На чертеже показаны случаи, когда числа a и b имеют различные знаки, и, следовательно, длины отрезков откладываются в разных направлениях координатных осей.
Рассмотрим пример.
Пример 1
Прямая линия задана уравнением прямой в отрезках вида x 3 + y - 5 2 = 1 . Необходимо построить эту прямую на плоскости в декартовой системе координат O x y .
Решение
Используя уравнение прямой в отрезках, определим точки, через которые проходит прямая линия. Это 3 , 0 , 0 , - 5 2 . Отметим их и проведем линию.
Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках
Переход от заданного уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках облегчает нам решение различных задач. Имея полное общее уравнение прямой, мы можем получить уравнение прямой в отрезках.
Полное общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 , где А, В и C не равны нулю. Мы переносим число C в правую часть равенства, делим обе части полученного равенства на – С. При этом, коэффициенты при x и y мы отправляем в знаменатели:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
Для осуществления последнего перехода мы воспользовались равенством p q = 1 q p , p ≠ 0 , q ≠ 0 .
В результате, мы осуществили переход от общего уравнения прямой A x + B y + C = 0 к уравнению прямой в отрезках x a + y b = 1 , где a = - C A , b = - C B .
Разберем следующий пример.
Пример 2
Осуществим переход к уравнению прямой в отрезках, имея общее уравнение прямой x - 7 y + 1 2 = 0 .
Решение
Переносим одну вторую в правую часть равенства x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
Делим обе части равенства на - 1 2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
Преобразуем полученное равенство к нужному виду: 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 ⇔ x - 1 2 + y 1 14 = 1 .
Мы получили уравнение прямой в отрезках.
Ответ: x - 1 2 + y 1 14 = 1
В тех случаях, когда прямая линия задана каноническим или параметрическим уравнением прямой на плоскости, то сначала мы переходим к общему уравнению прямой, а затем уже к уравнению прямой в отрезках.
Перейти от уравнения прямой в отрезках и общему уравнению прямой осуществляется просто: мы переносим единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 в левую часть с противоположным знаком, выделяем коэффициенты перед неизвестными x и y .
x a + y b = 1 ⇔ x a + y b - 1 = 0 ⇔ 1 a · x + 1 b · y - 1 = 0
Получаем общее уравнение прямой, от которого можно перейти к любому другому виду уравнения прямой на плоскости. Процесс перехода мы подробно разобрали в теме «Приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой».
Пример 3
Уравнение прямой в отрезках имеет вид x 2 3 + y - 12 = 1 . Необходимо написать общее уравнение прямой на плоскости.
Решение
Действует по заранее описанному алгоритму:
x 2 3 + y - 12 = 1 ⇔ 1 2 3 · x + 1 - 12 · y - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 · x - 1 12 · y - 1 = 0
Ответ: 3 2 · x - 1 12 · y - 1 = 0
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим
Xcosj + ysinj - p = 0 –
нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.
уравнение этой прямой в отрезках:
уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)
нормальное уравнение прямой:
; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.
Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.
Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .
Уравнение прямой имеет вид: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.
a = -4 не подходит по условию задачи.
Итого: или х + у – 4 = 0.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.
Уравнение прямой имеет вид: , где х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
Перпендикулярно данной прямой.
Определение. Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
Угол между прямыми на плоскости.
Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 .
Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/k 2 .
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А 1 = lА, В 1 = lВ. Если еще и С 1 = lС, то прямые совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Расстояние от точки до прямой.
Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:
Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2 tgj = ; j = p/4.
Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.
Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.
k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .
Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.
Кривые второго порядка.
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.
1) - уравнение эллипса.
2) - уравнение “мнимого” эллипса.
3) - уравнение гиперболы.
4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
5) y 2 = 2px – уравнение параболы.
6) y 2 – a 2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
7) y 2 + a 2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
8) y 2 = 0 – пара совпадающих прямых.
9) (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – уравнение окружности.
Окружность.
В окружности (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 центр имеет координаты (a; b).
Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:
2x 2 + 2y 2 – 8x + 5y – 4 = 0.
Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:
x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0
x 2 – 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0
(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16
Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.
Эллипс.
Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением .
Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.
F 1 , F 2 – фокусы. F 1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)
с – половина расстояния между фокусами;
a – большая полуось;
b – малая полуось.
Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:
a 2 = b 2 + c 2 .
Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r 1 + r 2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r 1 + r 2 – постоянная величина, то, приравнивая, получаем:
a 2 = b 2 + c 2
r 1 + r 2 = 2a.
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом .
Т.к. с < a, то е < 1.
Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.
Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k 2 = 1 – e 2 .
Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.
Если для точки М(х 1 , у 1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.
Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения :
R 1 = a – ex, r 2 = a + ex.
Доказательство. Выше было показано, что r 1 + r 2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:
После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:
Аналогично доказывается, что r 2 = a + ex. Теорема доказана.
С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами . Их уравнения:
X = a/e; x = -a/e.
Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:
1) Координаты нижней вершины: x = 0; y 2 = 16; y = -4.
2) Координаты левого фокуса: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).
3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), большая ось равна 2.
Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:
2c = , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = ½
по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =
Гипербола.
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
По определению ïr 1 – r 2 ï= 2a. F 1 , F 2 – фокусы гиперболы. F 1 F 2 = 2c.
Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:
обозначим с 2 – а 2 = b 2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)
Получили каноническое уравнение гиперболы.
Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.
Ось 2а называется действительной осью гиперболы.
Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.
С учетом того, что с 2 – а 2 = b 2:
Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).
Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .
Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.
Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.
Из очевидных геометрических соотношений можно записать:
a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.
(x – c) 2 + y 2 = r 2
Из канонического уравнения: , с учетом b 2 = c 2 – a 2:
Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.
Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.
Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .
Для эллипса: c 2 = a 2 – b 2 .
Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 .
Уравнение гиперболы: .
Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.
Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;
MF 2 = y 2 + (x – p/2) 2
(x + p/2) 2 = y 2 + (x – p/2) 2
x 2 +xp + p 2 /4 = y 2 + x 2 – xp + p 2 /4
Уравнение директрисы: x = -p/2.
Пример. На параболе у 2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.
Из уравнения параболы получаем, что р = 4.
r = x + p/2 = 4; следовательно:
x = 2; y 2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).
Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид:
Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.
Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: ;
Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c 2 = a 2 + b 2 ; c = 5; e = c/a = 5/4.
Фокусы F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).
Построим график этой гиперболы.