Определить множество функция отображает множество. Отображения

Отображения (функции)

Функции играют центральную роль в математике, где они используются для описания любых процессов, при которых элементы одного множества каким-то образом переходят в элементы другого. Такие преобразования элементов - фундаментальная идея, имеющая первостепенное значение для всех вычислительных процессов.

Определение. Отношение f на AB называется отображением (функцией) из A в B, если для каждого xA существует один и только один yB. множество бинарный отношение эквивалентность

f: AB или y=f(x)

Множество A называется областью определения. Множество B - областью значений.

Если y=f(x), то x называют аргументом , а y - значением функции.

Пусть f: AB, тогда

множество определения функции:

множество значений функции:

Множество определения функции является подмножеством области определения, т.е. Dom f A, а множество значений функции является подмножеством области значений функции, т.е. Im f B. Если, то функция называется тотальной, а если частичной функцией. Так диаграмма Венна служит удобной иллюстрацией функции, определенной на множестве A со значениями в множестве B.

Способы задания функции:

• 1) Словесный.
• 2) Аналитический.
• 3) С помощью графика, рисунка.
• 4) С помощью таблиц.

Определение. Если MA, то множество f(M)=y f(x)=y для некоторого x из M называется образом множества M.

Если KB, то множество f -1 (K)=x f(x)K называется прообразом множества K.

Определение Функция называется функцией n аргументов, или n-местной функцией. Такая функция отображает кортеж в элемент bB, .

Свойства отображений (функций).

1) Отображение f: AB называется инъективным , если оно различные элементы из A отображает в различные элементы из B: .

Это свойство можно показать с помощью диаграмм Венна.

2) Отображение f: AB называется сюръективным или отображением на все мно-жество B, если в каждый элемент множества B отображается хотя бы один элемент из A: .

Это свойство тоже можно показать с помощью диаграмм Венна.

3) Отображение f: AB, которое одновременно инъективно и сюръективно, называется биективным или взаимно однозначным отображением множества A на множество B.

Пример. Пусть дано отображение f: RR, которое определено таким образом, что. Выяснить, какими свойствами обладает это отображение.

Решение. Функция f не является инъективной, т.к. f (2)=f (2), но 2 2.

Функция f не является также и сюръективной, поскольку не существует такого действительного числа x, для которого f (x)= 1.

Определение. Пусть f биективное отображение множества A в множество B. Если поставить в соответствие каждому элементу из B связанный с ним элемент из A, то такое соответствие является отображением B в A. Это отображение обозначается и называется отображением, обратным отображению f.

Обратное отображение обладает некоторыми свойствами, которые сформулируем в следующей теореме.

Теорема 3. Если f: AB - биекция, то

1) для любого y из B;

2) для любого x из A.

Доказательство. 1) Пусть yB и. Тогда f(x)=y. Но поскольку

2) Аналогично доказывается, что для любого x из A.

Определение. Композицией (суперпозицией, произведением) отображений f: AB и g: BC называется отображение h: , которое записывается h=g f.

Такой способ записи суперпозиции функций объясняется тем, что обозначение функции принято писать слева от списка аргументов:

Понятие отображения множеств играет важную роль во всех областях математики.

Определение 1. ПустьХ иY – некоторые множества и. Если каждому элементу
поставлен в соответствие один и только один элемент
, то говорят, что заданоотображение из Х в Y с областью задания А .

Отображения обычно обозначают малыми латинскими буквами
.

Пример 1. ПустьХ – множество натуральных чисел,. Каждому числу
поставим в соответствие остаток от его деления на 2:
. Получим отображение изХ в множество действительных чиселR , при котором каждому
соответствует либо 0, либо 1.

Множество Х называют такжемножеством отправления , а множествоY –множеством прибытия .

Определение 2. Элемент
, соответствующий элементу
в отображенииf , называетсяобразом элементах и обозначается
. При этом сам элементх называетсяпрообразом элементау . ЕслиА – область задания при отображенииf , то множествоназываютобразом множества А при отображенииf илиобластью значений отображенияf .

Определение 3. Если область задания совпадает с областью отправления, т.е
, тоf называют отображением Х вY обозначают
. Если
, тоf называют отображениемХ на Y .

Определение 4. Отображение
называетсяобратимым , если разным элементам

, т.е. для любых
имеем
.

Например, отображение
с областью заданияR не является обратимым, так как
и
, т.е.
, хотя
.

Определение 5. Обратимое отображениеХ наY называетсявзаимно однозначным отображением.

Введенные понятия проиллюстрируем рисунками.

f не является отображением

Пусть f – обратимое отображение изХ вY с областью заданияА . Тогда каждому элементу
соответствует один и только один элемент
, причем разным элементам
соответствуют различные элементыу . Поэтому определено отображение
множества
вХ (наА ). Определено так, что.

Определение 6. Если отображениеf изХ вY обратимо, то отображение
изY вХ , определяемое соотношением, называетсяобратным к f .

Пусть теперь f – отображениеХ вY , аg – отображениеY вZ . Определим отображениеХ вZ следующим образом:. Таким образом,
, то есть
. Такое отображение называетсякомпозицией отображенийf иg и обозначается
. Итак, для всех

Операция композиции отображений обладает следующими свойствами.

Ассоциативность:

Действительно, если
, то

.

Действительно, пусть
и
. В силу обратимостиf
. В силу обратимостиg и, значит, отображение
обратимо. Если
, то
, а, то есть, что и требовалось доказать.

Действительная функция есть частный случай отображения, когда множества X иY являются числовыми множествами.

Определение 7. ПустьX – числовое множество. Отображение
, сопоставляющее каждому числу
число
, называетсядействительной функцией, заданной на множествеХ . При этомх называетсяаргументом функцииf ,Х –областью ее определения ,
–значением функции. Множество
называетсямножеством значений функции.

Определение 8. Если функцияf ставит в соответствие каждому числу
одно и то же значениеа , то функциюf называютпостоянной .

Из определения действительной функции следует, что для задания функции f надо задать ее область определения – множествоХ и закон, по которому каждому числу
ставится в соответствие число
.

В зависимости от того, каким образом задается закон функциональной зависимости, различают несколько способов задания функции.

Аналитический способ. Закон функциональной зависимости задается с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно произвести над аргументомх , чтобы получить значение функции.

Примеры:
и т.д.

В случае аналитического способа задания функции множество Х часто не указывают. Областью определения функции в этом случае считаютестественную область определения функции – множество значений аргумента, для которых имеет смысл данное аналитической выражение.

Например, для функции
область определения
, для функции
.

Если функция отражает зависимость между конкретными величинами (физическими, геометрическими и другими), то область ее определения может не совпадать с той областью, где формула имеет смысл. Например, функция
, рассматриваемая абстрактно, определена наR , если же она выражает закон свободного падения тела, то
.

Заметим, что функция может быть задана не одной, а несколькими формулами.

Например,
Для этой функции
.

Табличный способ. При этом способе задания закон функциональной зависимости устанавливается таблицей, в которой различным значениям аргумента сопоставлены соответствующие значения функции.

Табличный способ используется в экспериментальных исследованиях, когда, например, снимаются показания приборов через определенные промежутки времени.

Составлены таблицы значений многих функций, часто применяемых при технических расчетах, которые позволяют находить значения функций без вычислений.

Недостаток табличного способа состоит в том, что по таблице можно найти значения функции только для тех значений аргумента, которые в ней есть. Другие значения можно находить с помощью интерполирования приближенно.

Графический способ.

Определение 9.Графиком функции
, заданной на множествеХ , называется множество всех точек плоскости
, координаты которыхх иу связаны соотношением
. Равенство
называетсяуравнением этого графика.

Функция считается заданной графически, если начерчен ее график. Например, для измерения давления атмосферы на различных высотах используется специальный самопишущий аппарат – барограф, который на движущейся ленте записывает в виде кривой изменение давления в зависимости от высоты.

Не всякая кривая может служить графиком некоторой функции. Необходимо, чтобы не содержалось на ней никаких двух точек с одинаковыми абсциссами.

Кривая определяет Кривая не определяет

функцию никакой функции

Преимущество графического способа задания функции перед другими – в наглядности, недостаток в том, что значения функции можно найти лишь приближенно. Не для всякой функции можно построить график. Например, нельзя изобразить графически функцию Дирихле (Петер Густав Лежен-Дирихле (1805-1859) – немецкий математик)

так как между любыми двумя значениями х имеется бесконечно много как рациональных, так и иррациональных точек.

Словесный способ. Функция задается словами. Например, целая часть числах – это наибольшее целое число, не превосходящеех.

Определение 10. Функции
и
, заданные на некотором промежуткеХ , называютсятождественно равными на этом промежутке:
, если их значения в каждой точке
совпадают.

Пример . Тождественны ли функции:

1)
и
;

2)
и
для
;

3)
и
?

Решение. 1), т.е., т.е. функции тождественно равны.

2) по свойству
.

3) , т.е.
, функции не являются тождественно равными.

Сюръекция, инъекция и биекция

Правило, задающее отображение f: X (или функцию /), можно условно изобразить стрелками (рис. 2.1). Бели в множестве У есть хотя бы один элемент) на который не указывает ни одна из стрелок, то это свидетельствует о том, что область значений функции f не заполняет все множество У, т.е. f(X) С У.

Если же область значений / совпадает с У, т.е. f{X) = У, то такую функцию называют сюръективной} или короче - сюръекцией, и говорят, что функция / отображает множество X на множество У (в отличие от общего случая отображения множества X в множество У согласно определению 2.1). Итак, / : X есть сюръекция, если Vy 6 У Зх € X: /(х) = у. На рисунке в таком случае к каждому элементу множества У ведет хотя бы одна стрелка (рис. 2.2). При этом к некоторым элементам из У могут вести несколько стрелок. Если к любому элементу у € У ведет не более одной стрелки, то / называют инъективной функцией, или инъекцией. Эта функция не обязательно сюръективна, т.е. стрелки ведут не ко всем элементам множества У (рис. 2.3).

• Итак, функция /: X -У У представляет собой инъекцию, если два любых различных элемента из X имеют своими образами при отображении / два различных элемента из У, или Vy £ f{X) С У 3хеХ: f{x) = y. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Отображение /: X->У именуют биективным, или би-екцией, если каждый элемент у 6 У является образом некоторого и призом единственного элемента из X, т.е. Vy € f(X) = У Э!х € X: f(x) = у.

По сути, функция / в этом случае устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами X и У, и потому ее часто называют взаимно однозначной функцией. Очевидно, что функция / биективна тогда и только тогда, когда она одновременно инъективна и сюръективна. В этом случае стрелки (рис. 2.4) соединяют попарно каждый элемент из X с каждым элементом из У. При этом никакие два элемента из X не могут быть соединены стрелкой с одним и тем же элементом из У, ибо / инъективна, и никакие два элемента из У не могут быть соединены стрелками с одним и тем же элементом из X из-за требования единственности образа в определении 2.1 отображения. Каждый элемент из X участвует в попарном соединении, поскольку X - область определения функции /. Наконец, каждый элемент из У тоже участвует в одной из пар, ибо / сюръективна. Роли X и У в этом случае как бы совершенно одинаковы, и если повернуть все стрелки вспять (рис. 2.5), то получим иное отображение или иную функцию д), которое тоже и инъективно, в сюръективно. Отображения (функции), допускающие такое обращение, будут играть большую роль в дальнейшем.

В частном случае множества X и У могут совпадать (X = У). Тогда биективная функция будет осуществлять отображение множества X на себл. Биекцию множества на себя называют также пре-образов анием. 2.3. Обратное отображение Пусть /: X -? У - некоторая биекция и пусть у € У. Обозначим через /_1(у) единственный элемент х€Х, такой, что /(г) = у. Тем самым мы определим некоторое отображение 9: Y Xу которое является снова биекцией. Ее называют обратным отображением, или обратной биекцией к /. Часто ее также называют просто обратной функцией и обозначают /"*. На рис. 2.5 функция д как раз и является обратной к /, т.е. д = f"1.

Примеры решения в задачах

Отображения (функции) / и являются взаимно обратными. Ясно, что>если функция не является биекцией, то обратной к ней функции не существует. Действительно, если / не инъек-тивна, то некоторому элементу у € У могут соответствовать несколько элементов х из множества X, что противоречит определению функции. Если же / не сюръективна, то в У найдутся элементы, для которых в X нет прообразов, т.е. для этих элементов обратная функция не определена. Пример 2.1. а. Пусть X = У = R - ^комсество действительных чисел. Функция /, определяемая формулой у = За - 2, я,у € R, является биекцией. Обратной функцией будет х = (у + 2)/3. б. Действительная функция f(x) = х2 действительного переменного х не является сюръективной, поскольку отрицаг тельные числа из У = R не являются образами элементов из Х=К при /: ЛГ->У. Пример 2.2. Пусть Л" = R, а У = R+ - множество положительных действительных чисел. Функция f(x) = ах, а > 0, аф 1, является биекцией. Обратной функцией будет Z"1 (У) = 1°8а У

• Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. 2.4. Композиция отображений Если f:X-*Y и g:Y-*Zy то отображение (р:Х -+Z, заданное для каждого а: 6 А" формулой =, именуют композицией (суперпозицией) отображений (функций) / и д> или сложной функцией, и обозначают ро/ (рис. 2.6).
• Таким образом, сложная функция до f реализует правило: я Применяй сначала /, а затем ди, т.е. в композиции операций «до/ надо начинать с операции /, расположенной справа. Отметим, что композиция Рис. 2.6 отображений ассоциативна, т.е.если /: X -+Y , д: Y Z и h: Z-*H> то тогда (hog)of = = ho(gof)i что проще записывают в виде ho до /. Проверим это следующим образом: На любом wK«oaicecmee X определено отображение 1х -X X, называемое тождественным, обозначаемое часто также idx и задаваемое формулой Ix(x) = x Vx € А". Его -действие состоит в том, что оно оставляет все на своих местах.

Так, если является биекцией, обратной к биекции /: Х-+У, то /"1о/ = /х, а /о/-1 = /у, где и /у - тождественные отображения множеств X и У соответственно. Обратно, если отображения f: X ->Y и р: У Л" таковы, что gof = Ix и fog = /у, то функция / является биекцией, а у - ее обратной биекцией. Очевидно, что если / - биекция Л" на У, а $ - биекция У на Z, то gof является биекцией X на Z, а будет по отношению к ней обратной биекцией. 2.5. Произведение множеств. График отображения Напомним, что две взаимно перпендикулярные координатные оси с масштабом, одинаковым для обеих осей, задают на плоскости прямоугольную декартову систему координат (рис. 2.7). Точку О пересечения координатных осей называют начало* координат.

Каждой точке М можно поставить в соответствие пару (я, у) действительных чисел где х - координата точки Мх на ко-ординатной оси Ох, а у - координата точки Му на координатной оси Оу. Точки Мх и Му являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки М соответственно на оси Ох и Оу. Числа х и у называют координатами точки М (в выбранной системе координат), причем х называют абсциссой точки М, а у - ординатой этой точки. Очевидно, что каждой паре (а, Ь) действительных чисел а, 6 6R соответствует на плоскости точка М, имеющая эти числа своими координатами. И обратно, каждой точке М плоскости соответствует пара (а, 6) действительных чисел а и 6. В общем случае пары (а, Ь) и (6, а) определяют разные точки, т.е. существенно, какое из двух чисел а и b стоит в обозначении пары на первом месте. Таким образом, речь идет об упорядоченной паре. В связи с этим пары (а, 6) и (6, а) считают равными между собой, и они определяют одну и ту же точку на плоскости, если только а = 6. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение.

Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Множество всех пар действительных чисел, а также множество точек плоскости обозначают R2. Это обозначение связано с важным в теории множеств понятием прямого (или дек ар-това) произведения множеств (часто говорят просто о произведении множеств). Определение 2.2. Произведением множеств А и В называют множество Ах В возможных упорядоченных пар (ж, у), где первый элемент взят из А, а второй - из В, так что Равенство двух пар (х, у) и (&", у") определяют условиями х = х" и у = у7. Пары (я, у) и (у, х) считают различными, если хфу. Это особенно важно иметь в виду, когда множества А и В совпадают. Поэтому в общем случае А х В ф В х Л, т.е. произведение произвольных множеств не коммутативно, но оно дистрибутивно по отношению к объединению, пересечению и разности множеств: где обозначает одну из трех названных операций. Произведение множеств существенно отличается от указанных операций над двумя множествами. Результатом выполнения этих операций является множество, элементы которого (если оно не пустое) принадлежат одному или обоим исходным множествам. Элементы же произведения множеств принадлежат новому множеству и представляют собой объекты иного рода по сравнению с элементами исходных множеств. Аналогично определению 2.2

Можно ввести понятие произведения более чем двух множеств. Множества (А х В) х С и А*х (В х С) отождествляют и обозначают просто А х В х С, так что. Произведения Ах Ау Ах Ах А и т.д. обозначают, как правило, через А2 , А3 и т.д. Очевидно, плоскость R2 можно рассматривать как произведение R х R двух экземпляров множества действительных чисел (отсюда и происходит обозначение множества точек плоскости как произведения двух множеств точек числовой прямой). Множеству точек геометрического (трехмерного) пространства соответствует произведение R х R х R трех экземпляров множества точек числовой прямой, обозначаемое R3.

• Произведение п множеств действительных чисел обозначают Rn. Это множество представляет собой всевозможные наборы (xj, Х2, хп) из п действительных чисел Х2) хп £ R, а любая точка х* из Rn есть такой набор (xj, х, х*) действительных чисел хп € К*
• Произведение п произвольных множеств есть множество упорядоченных наборов из п (в общем случае разнородных) элементов. Для таких наборов употребляют названия кортеж или n-ка (произносят „энка"). Пример 2.3. Пусть А = { 1, 2} и В = {1, 2}. Тогда, и множество А х В можно отождествить с четырьмя точками плоскости R2, координаты которых указаны при перечислении элементов этого множества. Если С={ 1,2} и D={3,4}, то. Пример 2.4. Пусть Тогда Геометрическая интерпретация множеств Е х F и F х Е представлена на рис. 2.8. # Для отображения /: X можно составить множество упорядоченных пар (г, у), которое является подмножеством прямого произведения X х У.
• Такое множество называют графиком отображения f (или графиком функции я*»- Пример 2.5. В случае XCR и Y = К каждая упорядоченная пара задает координаты точки на плоскости R2. Если при этом X является промежутком числовой прямой R, то график функции может представлять некоторую линию (рис. 2.9). Пример 2.6. Ясно, что при XCR2 и У = R график функции есть некоторое множество точек в R3, которое может представлять некоторую поверхность (рис. 2.10).

Если же X С R, а У = R2, то график функции также есть множество точек в R3, которое может представлять некоторую линию, пересекаемую плоскостью х = const лишь в одной точке М с тремя координатами х} yi, у2 (рис. 2.11). # Все упомянутые примеры графиков функции являются важнейшими объектами математического анализа, и в дальнейшем они будут подробно рассмотрены.

Изучим теперь некоторые вопросы, связанные с отношениями между множествами.

Будем говорить, что между множествами изаданоотношение (инаходятся в отношении), если некоторым (возможно всем) элементам изсоответствуют некоторые элементы из. Если множествонаходится в отношениис множеством, то будем писать:

Если при этом элементу ставится в соответствие элемент, то обозначать это будем

Определение 1.1.2. Отношение между множествамииназываетсяотображением , если каждому изпоставлен в соответствие один и только один элементиз(см. рис. 1.1.2. и 1.1.3). При специализации природы множествивозникают специальные типы отображений, которые носят особые названия “функция”," вектор-функция", "оператор", "мера", "функционал" и т.д. Мы столкнемся с ними в дальнейшем.

Для обозначения функции (отображения) из вбудем пользоваться записью

Рис.1.1.2. Отображение Рис.1.1.3.Отношение, не являющееся

отображением

Определение 1.1.3 . Если - элемент из, то отвечающий ему элементиз, называется его образом (при отображении), а множество всех тех, для которых, называется прообразоми обозначается(см.рис.1.1.4).

Рис.1.1.4. Прообраз b

Определение 1.1.4. Отображение называетсявзаимно однозначным отображением , если каждый элемент из имеет единственный образ при отображениии каждый элемент изимеет единственный прообраз при этом отображении.

Рис.1.1.5. Взаимно однозначное отображение

Мы в дальнейшем будем рассматривать только отображения, поскольку имеются приемы, сводящие многозначные отображения к однозначным, которые мы называем просто отображениями.

Понятие отображения играет важнейшую роль в математике, в частности в математическом анализе центральное место занимает понятие функции , которой называется отображение одного числового множества в другое.

1.7. Мощность множества

При исследовании отношений между множествами большой интерес представляет "объем" множеств, число элементов в них. Но разговор о числе элементов понятен и обоснован, если это число конечное. Множества, состоящие из конечного числа элементов, будем называть конечными . Однако, многие из множеств, рассматриваемых в математике, не являются конечными, например, множество действительных чисел, множество точек на плоскости, множество непрерывных функций, заданных на некотором отрезке и т.д. Для количественной характеристики бесконечных (да и конечных) множеств в теории множеств используется понятие мощности множества .

Будем говорить, что множества иимеютодинаковую мощность , если существует взаимно однозначное отображение множества на множество(заметим, что в этом случае существует и взаимно однозначное отображение множества B на множество A).

Если множества иимеют одинаковую мощность, то будем говорить, что ониэквивалентны , это обозначается: .

Пусть - произвольные множества, тогда

т.е. любое множество эквивалентно самому себе; если множество эквивалентно множеству, тоэквивалентно; если, наконец, множествоэквивалентно множеству, которое эквивалентно множеству, тоэквивалентно.

Множество, эквивалентное некоторому своему собственному подмножеству, называется бесконечным .

Если конечные множества имеют разное число элементов, то ясно, что одно из них содержит меньше элементов, чем другое. А как сравнить в этом смысле бесконечные множества? Будем говорить, что мощность множества меньше мощности множества, если существует подмножество множества, эквивалентное множеству, но сами множестваине являются эквивалентными.

Мощность конечного множества равна числу его элементов. Для бесконечных множеств понятие "мощность" является обобщением понятия "количество элементов".

Укажем некоторые, полезные для дальнейшего, классы множеств.

Множество называется счетным , если оно имеет такую же мощность как и некоторое подмножество множества (множества натуральных чисел). Счетное множество может быть конечным или бесконечным.

Бесконечное множество является счетным тогда и только тогда, когда оно эквивалентно множеству натуральных чисел .

Заметим, что любое множество, мощность которого меньше мощности бесконечного счетного множества, является конечным.

Множество действительных чисел на отрезке от нуля до единицы имеет мощность континуум , и само часто называется континуумом . Мощность этого множества больше мощности бесконечного счетного множества. Возникает вопрос: имеется ли множество, мощность которого больше мощности бесконечного счетного множества, но меньше мощности континуум. Эта задача была сформулирована в 1900 году одним из крупнейших математиков мира Давидом Гильбертом. Оказалось, что эта задача имеет несколько неожиданный ответ: можно считать, что такое множество существует, а можно считать, что его не существует. Получающиеся при этом математические теории будут непротиворечивыми. Доказательство этого факта было доложено американским ученым Коэном в 1965 году на всемирном конгрессе математиков в Москве. Отметим, что ситуация с этой задачей напоминает ситуацию с пятым постулатом Евклида: через точку, лежащую вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Как показал Лобачевский, отказ от этого постулата не приводит к противоречиям. Мы можем строить геометрию, для которой этот постулат имеет место, и геометрии, для которых он не верен.

В заключение приведем несколько примеров, демонстрирующих методику доказательства эквивалентности множеств.

Пример 1.11. Множество целых чисел счетное.

Понятно, что рассматриваемое множество бесконечное (множество натуральных чисел является его подмножеством).

Для доказательства счетности множества целых чисел надо построить взаимно однозначное отображение между множеством натуральных чисел и рассматриваемым множеством. Требуемое отображение задается правилом: расположим целые числа следующим образом:

и перенумеруем их натуральными числами, присвоив им номера (они указаны рядом с рассматриваемыми целыми числами). Очевидно, что каждое целое число получит свой номер, при этом разные числа получат разные номера. Верно и обратное: для каждого натурального числа (для каждого номера) найдется и при том единственное целое число, стоящее под этим номером. Таким образом, требуемое взаимно однозначное отображение построено.

Пример 1.12 . Множество рациональных чисел счетное.

Известно, что любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби p/q, используя это представление расположим рациональные числа в соответствии со схемой:

. . . . . .

Перенумеруем эти числа примерно так же, как и в предыдущем примере (номера указаны сверху в скобках рядом с числами). Нетрудно убедиться в том, что сформулированное правило нумерации рациональных чисел дает требуемое взаимно однозначное отображение множества натуральных чисел в множество рациональных чисел.

Пример 1.13 . Объединение счетного множества счетных множеств есть множество счетное.

Доказательство этого факта аналогично доказательству утверждения предыдущего примера.

В заключение приведем важное для дальнейшего утверждение. Но для этого нам потребуется еще одна операция над множествами.

Прямым произведением множеств и(декартовым произведением ) называется множество всех упорядоченных пар , гдеи. Это множество обозначается. Таким образом:

Обозначим , произведениесомножителейбудем обозначать.

Теорема 1.1 . для любого бесконечного множестваБолее того.

В частности , т.е. множество точек на прямой имеет такую мощность, что и множество точек на плоскости. Более того, точек в пространстве столько, сколько и на прямой.

На этом мы заканчиваем знакомство с основными понятиями математической логики и теории множеств - основ современной математики. Отметим, что многие аспекты этих теорий остались, к сожалению, за рамками этой главы, познакомиться с ними можно, например, по и .

Пусть заданы два множества X и У. Определение 2.1. Отображением f множества X в множество У, или функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве У, называют соответствие, которое каждому элементу х£Х соотносит некоторый единственный элемент у € У. Множество X называют областью определенил функции / и обозначают D(f), элемент хбХ - аргументом функции, а элемент у £ У - зависшим* перелсенныл. При этом элемент у £ У, соответствующий элементу z £ X, именуют образом элемента х при отображении / или значением функции f в точке х и обозначают f(x). Областью значений функции / (или образом множества X при отображении /) называют множество обозначаемое Д(/). Множество X = D(f) является прообразом множества f(X) = R(f) при отображении /. При заданном элементе у £ У совокупность всех таких элементов х 6 Xу что f(x) = у, называют прообразом элемента у и обозначают /-1(у), т.е. Факту задания отображения (или функции) соответствует запись / : X У, или /: х у, или просто у = /(я). Таким образом, Часто функцию / обозначают /(ж). Обозначение функции и ее значения в точке х € X одним и тем же символом f(x) обычно не вызывает недоразумений, поскольку в каждом конкретном случае, как правило, ясно, что имеют в виду. Обозначение f(x) часто удобнее, чем f:x-+y. Например, -при аналитических преобразованиях запись f(x) = х2 удобнее по сравнению с / : х -> х2. Чтобы отличать обозначение конкретного значения f(x) функции при конкретном значении ее аргумента х от обозначения самой функции, в последнем случае иногда пишут /(я), х еХ. Итак, понятие функции состоит из трех неотъемлемых частей: 1) области определения Х\ 2) множества У, содержащего значения функции; 3) правила /, которое для каждого элемента х £ X задает единственный элемент у = f(x) £ У. На множества X и Y определение 2.1 не накладывает никаких ограничений. В зависимости от того, какими являются эти множества, получим тот или иной класс функций. Так, если Y С R, то f(x) называют действительной (или скалярной) функцией, а если У С Rn, то f(x) называют векторной функцией. Когда область определения X функции f(x) есть множество R или некоторое его подмножество, f(x) именуют функцией действительного (или вещественного) переменного. Когда и XCR.h У CR, f(x) называют действительной функцией действительного переменного. Если областью определения функции является множество натуральных чисел N= {1, 2, ...}, то ее называют последовательностью элементов множества У и обозначают Уп] или {уп}, имея в виду, что уп = /п = /(п)€У при n€ N, а при У С R - числовой последовательностью (или просто последовательностью). Подмножество является образом подмножества А С X при отображении / : X У. Для образов подмножеств Л С X и В С X справедливы соотношения а в случае Л С В Подмножество будет прообразом подмножества S С У при отображении f:X->Y. Итак, прообраз множества 5 состоит из всех тех элементов х € Xу которые функция / отображает в элементы из S, или, что то же самое, прообраз множества 5 состоит из всех прообразов элементов у G 5, т.е. Для прообразов множеств 5 С У и Г С У справедливы соотношения, и при условии S СТ /-1(S) С /-1(Г). В случае А С X отображение / : X порождает отображение /д: А Y) определяемое формулой /а(«) = f(x) для х € А. Это отображение называют сужением отображения (функции) f на множество А. Говорят также, что f является продолжением отображения (функции) fA множества А в множество Y на множество X, но обычно продолжают писать / вместо