Registrer et eksempel i form av ulikhet. Lineære ulikheter

Det vil si først registrere en variabel som er inkludert i ulikheten, og deretter bruke et tegn på et tilbehør ∈ indikerer hvilket numerisk gap tilhører verdiene til denne variabelen. I dette tilfellet, uttrykket x. ∈ [2; 8] indikerer at variabelen x. ulikhet 2 ≤. x.≤ 8, tar alle verdier i intervallet fra 2 til 8 inkludert. Med disse verdiene vil ulikheten være riktig.

Merk at svaret er registrert med firkantede parenteser, siden grensene for ulikhet 2 ≤ x.≤ 8, nemlig tall 2 og 8 tilhører mange løsninger av denne ulikheten.

Mange løsninger av ulikhet 2 ≤ x.≤ 8 kan også avbildes ved hjelp av en koordinatdirektør:

Her tilsvarer grensene til det numeriske gapet 2 og 8 til grensene for ulikhet 2 ≤ x. x. 2 ≤ x.≤ 8 .

I noen grensekilder som ikke tilhører det numeriske gapet Åpen .

De kalles dem på grunn av at det numeriske gapet forblir åpent på grunn av at grensene ikke tilhører dette numeriske gapet. En tom sirkel på koordinatdirekte matematikk kalles rensing punkt . Det betyr å eliminere punktet for å utelukke det fra et numerisk intervall eller fra en rekke ulikhetsløsninger.

Og i tilfelle når grensene tilhører det numeriske gapet, kalles de lukket (eller lukket), siden slike grenser er stengt (lukket) et numerisk gap. Kremet sirkel på koordinatdirektøren indikerer også grensenes lukkede.

Det er varianter av numeriske hull. Vurder hver av dem.

Numerisk stråle

Numerisk stråle x ≥ A.hvor eN. x - Løsning av ulikhet.

La være eN.\u003d 3. Så ulikhet x ≥ A. Ta mening x.≥ 3. Beslutninger av denne ulikheten er alle tall som er mer enn 3, inkludert nummeret 3.

Vis en numerisk ray gitt av ulikhet x.≥ 3, på koordinatet direkte. For å gjøre dette, merker vi på det punktet med koordinatet 3, og resten til høyre for hennes område Vi markerer slag. Det er nettopp den høyre siden, siden ulikhetsløsninger x.≥ 3 er tall, mer enn 3. og mer enn koordinat direkte er riktig

x.≥ 3, og området som er valgt av slag, tilsvarer et sett med verdier x. som er ulikhetsløsninger x.≥ 3 .

Punkt 3, som er grensen til den numeriske bjelken, er avbildet i form av et malt krus, fordi grensen til ulikhet x.≥ 3 tilhører settet av sine løsninger.

På et brev av en numerisk ray gitt av ulikhet x ≥ A.

[ eN.; +∞)

Det kan ses at på den ene siden er grensen innrammet av en firkantet brakett, og på den andre runden. Dette skyldes at en grense på den numeriske strålen tilhører ham, og den andre er ikke, fordi uendeligheten av grensene selv ikke og menes at på den andre siden ikke er noe som lukker denne numeriske ray.

Tatt i betraktning at en av grensene til den numeriske strålen er stengt, kalles dette gapet ofte lukket numerisk stråle.

Vi skriver svaret på ulikhet x.≥ 3 med betegnelsen av den numeriske bjelken. Vi har en variabel eN. lik 3.

x. ∈ [ 3 ; +∞)

I dette uttrykket sies det at variabelen x. ulikhet x.≥ 3, tar alle verdier fra 3 til pluss uendelig.

Med andre ord er alle tall fra 3 til pluss uendelig ulikhetsløsninger x.≥ 3. Border 3 tilhører mange løsninger, fordi ulikhet x.≥ 3 er ikke strengt.

Den lukkede numeriske strålen kalles også et numerisk gap som er definert i ulikhet. x ≤ a.Ulik løsninger x ≤ A. eninkludert nummeret en.

For eksempel, hvis eN. x.≤ 2. På koordinatet vil direkte grensen 2 bli avbildet med en sirkel, og hele området som ligger venstrevil bli uthevet med slag. Denne gangen står den venstre delen, siden ulikhetsløsninger x.≤ 2 er tall mindre enn 2. og færre tall på koordinatet direkte til venstre

x.≤ 2, og området som er valgt av slag, tilsvarer et sett med verdier x. som er ulikhetsløsninger x.≤ 2 .

Punkt 2, som er grensen til den numeriske bjelken, er avbildet i form av et malt krus, fordi grensen til ulikhet x.≤ 2 tilhører settet av sine løsninger.

Vi skriver svaret på ulikhet x.≤ 2 Bruke den numeriske strålebetegnelsen:

x. ∈ (−∞ ; 2 ]

x.≤ 2. Border 2 tilhører fastsatte løsninger, siden ulikhet x.≤ 2 er ikke strengt.

Utendørs numerisk stråle

Åpen numerisk stråle referer til det numeriske gapet som er definert ulikhet x\u003e A. hvor eN. - grensen til denne ulikheten, x. - Avgjørelse av ulikhet.

En åpen numerisk stråle er i stor grad lik en lukket numerisk stråle. Forskjellen er at grensen eN. tilhører ikke et gap, som grensen til ulikhet x\u003e A. tilhører ikke settet av sine løsninger.

La være eN.\u003d 3. Så vil ulikheten ta en visning x.\u003e 3. Beslutninger av denne ulikheten er alle tall som er mer enn 3, med unntak av nummer 3

På koordinat direkte grense for den åpne numeriske strålen gitt av ulikhet x.\u003e 3 vil bli avbildet i form av et tomt krus. Hele området som ligger til høyre, vil bli fremhevet av slag:

Her tilsvarer punkt 3 til grensen til ulikhet x\u003e3, og området som er valgt av slag, tilsvarer et sett med verdier x. som er ulikhetsløsninger x\u003e 3. Punkt 3, som er grensen til den åpne numeriske strålen, er avbildet i form av et tomt krus, fordi grensen til ulikhet x\u003e 3 tilhører ikke settet av sine løsninger.

x\u003e A, angitt som følger:

(eN.; +∞)

Runde parentes indikerer at grensene til den åpne numeriske strålen ikke tilhører ham.

Vi skriver svaret på ulikhet x. \u003e 3 med betegnelsen av den åpne numeriske strålen:

x. ∈ (3 ; +∞)

I dette uttrykket sies det at alle tall fra 3 til pluss uendelig er ulikhetsløsninger x. \u003e 3. Grensen 3 tilhører ikke settet av løsninger, siden ulikhet x. \u003e 3 er streng.

En åpen numerisk stråle kalles også et numerisk intervall som ulikhet x.< a hvor eN. - grensen til denne ulikheten, x. - Løsning av ulikhet . Ulik løsninger x.< a er alle tall som er mindre enunntatt nummer en.

For eksempel, hvis eN.\u003d 2, ulikheten vil ta en visning x.< 2. På Koordinat Direkte grensen 2 vil bli avbildet med en tom sirkel, og hele området som ligger til venstre, vil bli fremhevet av slag:

Her tilsvarer punkt 2 til grensen til ulikhet x.< 2, og området som er valgt av slag, tilsvarer et sett med verdier x. som er ulikhetsløsninger x.< 2. Punkt 2, som er grensen til den åpne numeriske strålen, er avbildet i form av et tomt krus, fordi grensen til ulikhet x.< 2 tilhører ikke settet av sine løsninger.

På brevet en åpen numerisk ray gitt av ulikhet x.< a , angitt som følger:

(−∞ ; eN.)

Vi skriver svaret på ulikhet x.< 2 med betegnelsen av den åpne numeriske strålen:

x. ∈ (−∞ ; 2)

I dette uttrykket er det sagt at alle tall fra minus uendelighet til 2 er ulikheter for løsninger x.< 2. Grensen 2 tilhører ikke settet av løsninger, siden ulikhet x.< 2 er streng.

Seksjon

Kutte opp en ≤ x ≤ b hvor eN. og b. x. - Avgjørelse av ulikhet.

La være eN. = 2 , b. \u003d 8. Så ulikhet en ≤ x ≤ b vil ta et skjema 2 ≤ x.≤ 8. Ulik løsninger 2 ≤ x.≤ 8 er alle tall som er større enn 2 og mindre enn 8. Samtidig tilhører grensene for ulikhet 2 og 8 settet av sine løsninger, siden ulikhet 2 ≤ x.≤ 8 er ikke-streng.

Vis et segment gitt av dobbelt ulikhet 2 ≤ x.≤ 8 på koordinatet direkte. For å gjøre dette, merker vi på det poengene med koordinater 2 og 8, og området av området er plassert mellom dem, distribuerer slag:

≤ x.≤ 8, og området som er valgt av slag, tilsvarer et sett med verdier x. x.≤ 8. Poeng 2 og 8, som er segmentets grenser, er avbildet i form av malte sirkler, siden grensene for ulikhet 2 ≤ x.≤ 8 tilhører settet av sine løsninger.

På brevet av segmentet gitt av ulikhet en ≤ x ≤ b angitt som følger:

[ en; B. ]

Firkantede parenteser på begge sider indikerer at grensene til segmentet eid hans. Vi skriver svaret på ulikhet 2 ≤ x.

x. ∈ [ 2 ; 8 ]

I dette uttrykket sies det at alle tall fra 2 til 8 inkluderende er løsninger av ulikhet 2 ≤ x.≤ 8 .

Intervall

Intervall ring et numerisk gap som er satt av dobbelt ulikhet eN.< x < b hvor eN. og b. - grenser av denne ulikheten, x. - Avgjørelse av ulikhet.

La være a \u003d 2., b \u003d 8. . Så ulikhet eN.< x < b Type 2.< x.< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Jeg vil skildre et intervall på koordinatet direkte:

Her tilsvarer poeng 2 og 8 til grensene for ulikhet 2< x.< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x. < x.< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x.< 8 не принадлежат множеству его решений.

I brevet definert intervallet i ulikhet eN.< x < b, angitt som følger:

(en; B.)

Runde parentes på begge sider indikerer at intervallgrensene hører ikke til hans. Vi skriver svaret på ulikhet 2< x.< 8 с помощью этого обозначения:

x. ∈ (2 ; 8)

Dette uttrykket sier at alle tall fra 2 til 8, eksklusive tall 2 og 8, er løsninger av ulikhet 2< x.< 8 .

Halvintervall

Halvintervall referer til det numeriske gapet som er definert ulikhet en ≤ x.< b hvor eN. og b. - grenser av denne ulikheten, x. - Avgjørelse av ulikhet.

Semi-intervallet refererer også til et numerisk gap som er satt i ulikhet eN.< x ≤ b .

En av grensene til halvintervallet tilhører ham. Derfor navnet på dette numeriske gapet.

I en situasjon med et halvintervall en ≤ x.< b Han (halvintervall) tilhører den venstre grensen.

Og i en situasjon med et halvintervall eN.< x ≤ b Han eier den rette grensen.

La være eN.= 2 , b.\u003d 8. Så ulikhet en ≤ x.< b vil ta et skjema 2 ≤ x. < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Bilde halvintervall 2 ≤ x. < 8 на координатной прямой:

x. < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x. som er ulikhetsløsninger 2 ≤ x. < 8 .

Punkt 2, som er venstre grense halvintervall, avbildet i form av et malt krus, som den venstre grensen for ulikhet 2 ≤ x. < 8 tilhørersettet av sine løsninger.

Og punkt 8, som er høyre grensen halvintervall, avbildet i form av et tomt krus, som den rette grensen for ulikhet 2 ≤ x. < 8 ikke tilhører Settet av sine løsninger.

en ≤ x.< b, angitt som følger:

[ en; B.)

Det kan ses at på den ene siden er grensen innrammet av en firkantet brakett, og på den andre runden. Dette skyldes at en grense av semi-intervallet tilhører ham, og den andre er ikke. Vi skriver svaret på ulikhet 2 ≤ x. < 8 с помощью этого обозначения:

x. ∈ [ 2 ; 8)

I dette ekspresjonen sies det at alle tall fra 2 til 8, inkludert nummer 2, men unntatt tallet 8, er løsninger av ulikhet 2 ≤ x. < 8 .

På samme måte kan koordinatindustrien avbildet av et halvintervall definert i ulikhet eN.< x ≤ b . La være eN.= 2 , b.\u003d 8. Så ulikhet eN.< x ≤ b Type 2.< x.≤ 8. Beslutninger av denne dobbelt ulikhet er alle tall som er større enn 2 og mindre enn 8, unntatt nummer 2, men inkludert nummeret 8.

Jeg vil vise halvintervall 2.< x.≤ 8 på koordinatet Direkte:

Her tilsvarer poeng 2 og 8 til grensene for ulikhet 2< x.≤ 8, og området som er valgt av slag, tilsvarer et sett med verdier x. som er avgjørelser av ulikhet 2< x.≤ 8 .

Punkt 2, som er venstre grense halvintervall, avbildet i form av et tomt krus, som den venstre grensen for ulikhet 2< x.≤ 8 tilhører ikkesettet av sine løsninger.

Og punkt 8, som er høyre grensen halvintervall, avbildet i form av et malt krus, som den rette grensen for ulikhet 2< x.≤ 8 tilhørersettet av sine løsninger.

I brevet av halvintervallet definert ulikhet eN.< x ≤ b, betegner som dette: ( en; B. ]. Vi skriver svaret på ulikhet 2< x.≤ 8 med denne betegnelsen:

x. ∈ (2 ; 8 ]

I dette uttrykket er det sagt at alle tall fra 2 til 8, unntatt nummer 2, men inkludert tallet 8, er løsninger av ulikhet 2< x.≤ 8 .

Et bilde av numeriske intervaller på koordinatet direkte

Numerisk gap kan spesifiseres ved hjelp av ulikhet eller med betegnelsen (runde eller firkantede parentes). I begge tilfeller må du kunne skildre dette numeriske gapet på koordinatet direkte. Vurder flere eksempler.

Eksempel 1.. Pictulate en numerisk gap gitt av ulikhet x.> 5

Husk at ulikhet av skjemaet x.> eN. Sett en åpen numerisk stråle. I dette tilfellet, variabelen eN. lik 5. ulikhet x.\u003e 5 strenge, derfor vil grensen 5 bli avbildet som en tom sirkel. Vi er interessert i alle verdier. x. som er mer enn 5, så hele området til høyre vil bli fremhevet av slag:

Eksempel 2.. Skildrer det numeriske gapet (5; + ∞) på koordinatet direkte

Dette er det samme numeriske gapet som vi avbildet i det forrige eksempelet. Men denne gangen er det ikke definert ved hjelp av ulikhet, men ved betegnelsen av det numeriske gapet.

Grensen 5 er innrammet av en rund brakett, noe som betyr at det ikke tilhører gapet. Følgelig forblir sirkelen tomt.

+ ∞-symbolet indikerer at vi er interessert i alle tallene som er mer 5. Følgelig er hele området til høyre for grensen 5 fremhevet med slag:

Eksempel 3.. Pynt et numerisk intervall (-5; 1) på koordinatet direkte.

Runde parentes på begge sider er intervaller. Intervallgrensene tilhører ikke ham, derfor vil grensene på -5 og 1 bli avbildet på koordinatlinjen i form av tomme sirkler. Hele området mellom dem vil bli fremhevet av slag:

Eksempel 4.. Pictulate en numerisk gap angitt ulikhet -5< x.< 1

Dette er det samme numeriske gapet som vi avbildet i det forrige eksempelet. Men denne gangen er det definert ikke ved betegnelsen av gapet, men ved hjelp av dobbelt ulikhet.

Ulikhet av TYPE eN.< x < b Intervallet er satt. I dette tilfellet, variabelen eN. lik -5 og variabel b. lik en. Ulikhet -5.< x.< 1 streng, derfor vil grenser -5 og 1 bli avbildet i form av et tomt krus. Vi er interessert i alle verdier. x. som er mer -5, men mindre enn en, vil derfor hele området mellom poeng -5 og 1 bli fremhevet av slag:

Eksempel 5.. Portretter på koordinat direkte numeriske intervaller [-1; 2] I.

Denne gangen vil vi bli vist på koordinatet direkte umiddelbart to hull.

Firkantede parenteser er utpekt på begge sider. Grensene til segmentet tilhører ham, derfor grensene til segmenter [-1; 2] og vil bli avbildet på koordinatlinjen i form av malte sirkler. Hele området mellom dem vil bli fremhevet av slag.

For å se intervaller [-1; 2] Og den første kan avbildes på det øvre området, og det andre på bunnen. Så gjør:

Eksempel 6.. Portretter på koordinat direkte numeriske intervaller [-1; 2) og (2; 5]

En firkantet brakett på den ene siden og rundt med den andre er intervaller. En av grensene til halvintervallet tilhører ham, og den andre er ikke.

I tilfelle av et halvintervall [-1; 2) Den venstre grensen vil tilhøre ham og det høyeste. Så den venstre grensen vil bli avbildet i form av et malt krus. Den rette grensen vil bli avbildet som et tomt krus.

Og i tilfelle av semi-intervallet (2; 5] vil det bare ha den rette grensen, og den venstre vil ikke. Så den venstre grensen vil bli avbildet i form av et malt krus. Den rette grensen vil være avbildet som et tomt krus.

Skildre intervallet [-1; 2) på det øvre området av koordinatet direkte, og gapet (2; 5] - på bunnen:

Eksempler på ulikhetsløsninger

Ulikhet, som ved identiske transformasjoner kan hentes i tankene axe\u003e B. (eller i tankene ØKS.< b ) La oss ringe lineær ulikhet med en variabel.

I lineær ulikhet axe\u003e B. , x. - Dette er en variabel, hvor verdiene du trenger for å finne, men - Koeffisienten til denne variabelen, b. - Grensen til ulikhet, som, avhengig av tegn på ulikhet, kan tilhøre settet av sine løsninger eller ikke tilhører det.

For eksempel, ulikhet 2 x.\u003e 4 er ulikheten til typen axe\u003e B. . I den rollen som variabelen eN. Spiller nummer 2, rollvariabel b. (Grensene for ulikhet) spiller nummeret 4.

Ulikhet 2. x.\u003e 4 kan gjøres enda enklere. Hvis vi deler begge deler med 2, vil vi få ulikhet x.> 2

Mottatt ulikhet x.\u003e 2 er også ulikhet av typen axe\u003e B. , det vil si lineær ulikhet med en variabel. I denne ulikheten er rollen som variabelen eN. Spiller en enhet. Tidligere sa vi at koeffisienten 1 ikke er skrevet. Den variable rollen b. Spiller nummer 2.

Stripping fra denne informasjonen, la oss prøve å løse flere enkle ulikheter. Under løsningen skal vi utføre elementære identiske transformasjoner for å oppnå ulikheten av skjemaet axe\u003e B.

Eksempel 1.. Løse ulikhet x.− 7 < 0

Legg til begge deler av ulikhetsnummer 7

x.− 7 + 7 < 0 + 7

I den venstre delen vil forbli x. og høyre side vil bli lik 7

x.< 7

Ved de grunnleggende transformasjonene førte vi ulikhet x.− 7 < 0 к равносильному неравенству x.< 7 . Решениями неравенства x.< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Når ulikhet er gitt i tankene x.< a (eller x\u003e A. ), det kan betraktes som allerede løst. Vår ulikhet x.− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x.< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Vi skriver svaret med et numerisk gap. I dette tilfellet vil svaret være en åpen numerisk stråle (du husker at den numeriske ray er gitt ulikhet x.< a og betegner hvordan (-∞; eN.)

x. ∈ (−∞ ; 7)

På koordinatet vil direkte grensen 7 bli avbildet i form av et tomt krus, og hele området som ligger til venstre for grensen, vil bli uthevet av slag:

For å sjekke, ta et tall fra intervallet (-∞, 7) og erstatt det til ulikhet x.< 7 вместо переменной x. . Ta for eksempel nummer 2

2 < 7

Det viste seg den riktige numeriske ulikheten, det betyr at løsningen er riktig. Ta et annet nummer, for eksempel nummer 4

4 < 7

Det viste seg sant numerisk ulikhet. Så beslutningen er riktig.

Og siden ulikhet x.< 7 равносильно исходному неравенству x -7 < 0 , то решения неравенства x.< 7 будут совпадать с решениями неравенства x -7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x -7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Eksempel 2.. Løse ulikhet -4. x. < −16

Vi deler begge deler av ulikhet på -4. Ikke glem det når du deler begge deler av ulikhet på et negativt tall, tegn på ulikhet endringer i motsatt:

Vi ledet ulikhet -4 x. < −16 к равносильному неравенству x.\u003e 4. Ulik løsninger x.\u003e 4 Det vil være alle tall som er mer enn 4. Grensen 4 tilhører ikke settet av løsninger, siden ulikheten er streng.

x.\u003e 4 på koordinatet Direkte og skriv svaret i form av et numerisk gap:

Eksempel 3.. Løse ulikhet 3y +. 1 > 1 + 6y.

Kjøp 6. y. Fra høyre side til venstre, endrer du tegnet. Og 1 fra venstre side ved å overføre til høyre side, igjen endre tegnet:

3y.− 6y.> 1 − 1

Vi gir lignende vilkår:

−3y. > 0

Vi deler begge deler på -3. Ikke glem at når du deler begge deler ulikhet til et negativt tall, endres tegn på ulikhet til motsatt:

Ulik løsninger y.< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y.< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Eksempel 4.. Løse ulikhet 5(x.− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x.+ 2)

Tilbakekallingsbraketter i begge deler av ulikhet:

Vi lider -3. x. Fra høyre side til venstre, endrer du tegnet. Medlemmer -5 og 7 fra venstre side ved å overføre til høyre side, igjen endre tegnene:

Vi gir lignende vilkår:

Vi deler begge deler av den mottatte ulikheten på 8

Avslutninger av ulikheter er alle tall som er mindre. Grensen tilhører mange beslutninger, siden ulikheten er utrolig.

Eksempel 5.. Løse ulikhet

Multipliser begge deler av ulikhet på 2. Dette vil tillate deg å bli kvitt frekaret på venstre side:

Nå flytter vi 5 fra venstre side til høyre ved å endre skiltet:

Etter å ha tatt med lignende vilkår, får vi ulikhet 6 x.\u003e 1. Vi deler begge deler av denne ulikheten med 6. Da får vi:

Ulikhetsløsninger er alle tall som er mer. Grensen tilhører ikke settet av løsninger, siden ulikheten er streng.

Vi vil vise mange ulik løsninger på koordinatet direkte og skrive svaret i form av en numerisk gap:

Eksempel 6.. Løse ulikhet

Multipliser begge deler på 6

Etter å ha tatt med lignende vilkår, får vi ulikhet 5 x.< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Ulik løsninger x.< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x.< 6 строгим.

Jeg vil vise mange ulik løsninger x.< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Eksempel 7.. Løse ulikhet

Multipliser begge deler av ulikhet på 10

I den resulterende ulikheten vil vi avsløre parentes i venstre side:

Vi overfører medlemmer uten x. På høyre side

Vi gir lignende vilkår i begge deler:

Vi deler begge deler av den resulterende ulikheten for 10

Ulik løsninger x.≤ 3.5 er alle tall som er mindre enn 3,5. Grensen 3.5 tilhører mange løsninger, siden ulikhet er x.≤ 3,5 utrolig.

Jeg vil vise mange ulik løsninger x.≤ 3.5 på koordinatet Direkte og skriv svaret i form av et numerisk intervall:

Eksempel 8.. Løs ulikhet 4.< 4x.< 20

For å løse en slik ulikhet, trenger du en variabel x. Fri fra koeffisienten 4. Da kan vi si i hvilket intervall er løsningen av denne ulikheten.

Å frigjøre variabelen x. Fra koeffisienten kan du dele medlem 4 x. Ved 4. Men regelen i ulikheter er slik at hvis vi deler et medlem av ulikhet til et annet tall, så skal det samme gjøres med resten av medlemmene som tilhører denne ulikheten. I vårt tilfelle må 4 dele alle tre medlemmer av ulikhet 4< 4x.< 20

Ulik løsninger 1.< x.< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x.< 5 является строгим.

Jeg vil vise mange løsninger av ulikhet 1< x.< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Eksempel 9.. Løse ulikhet -1 ≤ -2 x.≤ 0

Vi deler alle medlemmer av ulikhet til -2

Mottatt ulikhet 0,5 ≥ x.≥ 0. Dobbel ulikhet er fortrinnsvis registrert slik at en mindre pikk er plassert til venstre, og mer til høyre. Derfor omskriver vi vår ulikhet som følger:

0 ≤ x.≤ 0,5

Avgjørelser av ulikhet 0 ≤ x.≤ 0,5 er alle tall som er større enn 0 og mindre enn 0,5. Grensene 0 og 0,5 tilhører settet av løsninger, siden ulikhet 0 ≤ x.≤ 0,5 er ikke strengt.

Bilder Mange løsninger av ulikhet 0 ≤ x.≤ 0,5 på koordinatet Direkte og skriv svaret i form av et numerisk gap:

Eksempel 10.. Løse ulikhet

Multipliser begge ulikheter på 12

Vi vil avsløre parentes i den resulterende ulikheten og gi lignende vilkår:

Vi deler begge deler av de mottatte ulikhetene for 2

Ulik løsninger x.≤ -0,5 er alle tall som er mindre -0,5. Border -0.5 tilhører mange løsninger, siden ulikhet x.≤ -0,5 er utrolig.

Jeg vil vise mange ulik løsninger x.≤ -0,5 på koordinatet Direkte og skriv svaret i form av et numerisk gap:

Eksempel 11.. Løse ulikhet

Multipliser alle deler av ulikhet på 3

Nå fra hver del av den resulterende ulikheten vil trekke 6

Hver del av den mottatte ulikheten er adskilt med -1. Ikke glem at når du deler alle deler av ulikhet til et negativt tall, endres tegn på ulikhet til motsatt:

Ulik løsninger 3 ≤ en ≤.9 er alle tall som er større enn 3 og mindre enn 9. grenser 3 og 9 tilhører flere løsninger, siden ulikhet 3 ≤ en ≤.9 er utrolig.

Jeg vil vise mange løsninger av ulikhet 3 ≤ en ≤.9 på koordinatet direkte og skriv svaret i form av et numerisk gap:

Når det ikke er noen løsninger

Det er ulikheter som ikke har løsninger. For eksempel er for eksempel ulikhet 6 x.> 2(3x.+ 1). I prosessen med å løse denne ulikheten, vil vi komme til det faktum at tegn på ulikhet\u003e ikke vil rettferdiggjøre sin plassering. La oss se hvordan det ser ut.

Vi vil avsløre parentes i den rette delen av denne ulikheten, vi får 6 x.> 6x.+ 2. Vi overfører 6. x. fra høyre side til venstre side ved å endre skiltet, får vi 6 x.− 6x.\u003e 2. Vi gir slike komponenter, og vi får ulikhet 0\u003e 2, som ikke er sant.

For den beste forståelsen, skriv om opprettelsen av lignende vilkår på venstre side som følger:

Mottatt ulikhet 0. x.\u003e 2. På venstre side er det et arbeid som vil være null på noen x. . Og null kan ikke være større enn nummeret 2. så ulikhet 0 x.\u003e 2 har ingen løsninger.

x.\u003e 2, det har ikke løsninger og innledende ulikhet 6 x.> 2(3x.+ 1) .

Eksempel 2.. Løse ulikhet

Multipliser begge deler av ulikhet for 3

I den resulterende ulikheten utsetter vi et medlem 12 x. Fra høyre side til venstre, endrer du tegnet. Så gir vi lignende vilkår:

Høyre del av ulikheten i noen x. Det vil være null. Og ikke mindre null enn -8. Så ulikhet 0. x.< −8 не имеет решений.

Og hvis det ikke har løsninger gitt ekvivalent ulikhet 0 x.< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Svar: Ingen løsninger.

Når løsninger er uendelig mye

Det er ulikheter som har utallige løsninger. Slike ulikheter blir trofaste på noen x. .

Eksempel 1.. Løse ulikhet 5(3x.− 9) < 15x.

Vi vil avsløre parenteser i den rette delen av ulikheten:

Kjøp 15. x. Fra høyre side til venstre, endrer du tegnet:

La oss gi lignende vilkår i venstre side:

Mottatt ulikhet 0. x.< 45. På venstre side er det et arbeid som vil være null på noen x. . Og null mindre enn 45. betyr avgjørelsen av ulikhet 0 x.< 45 er et hvilket som helst nummer.

x.< 45 har utallige løsninger, deretter den første ulikheten 5(3x.− 9) < 15x. har de samme løsningene.

Svaret kan skrives som et numerisk intervall:

x. ∈ (−∞; +∞)

Dette uttrykket sier at løsninger ulikhet 5(3x.− 9) < 15x. det er alle tall fra minus uendelig å pluss uendelig.

Eksempel 2.. Løs ulikhet: 31(2x.+ 1) − 12x.> 50x.

Vi vil avsløre parenteser i den venstre delen av ulikhet:

Vi lider 50. x. Fra høyre side til venstre, endrer du tegnet. Og medlem av 31 fra venstre side ved å legge ut til høyre side, igjen endring av tegnet:

Vi gir lignende vilkår:

Mottatt ulikhet 0. x\u003e -31. På venstre side er det et arbeid som vil være null på noen x. . Og null mer enn -31. Det betyr avgjørelse av ulikhet 0 x.< -31 er et hvilket som helst nummer.

Og hvis den reduserte ekvivalente ulikheten 0 x\u003e -31 har utallige løsninger, deretter den første ulikheten 31(2x.+ 1) − 12x.> 50x. har de samme løsningene.

Vi skriver svaret i form av en numerisk gap:

x. ∈ (−∞; +∞)

Oppgaver for selvbeslutninger

Likte du leksjonen?
Bli med i vår nye gruppe VKontakte og begynn å motta varsler om nye leksjoner

Ulikhet - omvendt side av likestilling. Materialet i denne artikkelen gir definisjonen av ulikhet og innledende informasjon om det i sammenheng med matematikk.

Begrepet ulikhet, så vel som begrepet likestilling, er knyttet til øyeblikket å sammenligne to objekter. Mens likestilling betyr "den samme", så angis ulikhet, tvert imot, angir forskjellene i objekter som sammenlignes. For eksempel og - identiske objekter eller like. Og - objekter som avviger fra hverandre eller ulik.

Ulikheten av objekter bestemmes av den semantiske belastningen med slike ord som ovenfor - under (ulikhet på grunnlag av høyde); Tykkere - tynnere (ulikhet på grunnlag av tykkelse); Lang - kortere (ulikhet basert på lengden) og så videre.

Det er mulig å argumentere både på likestilling-ulikhet av gjenstander generelt og sammenligningen av deres individuelle egenskaper. Anta at to objekter er spesifisert: og. Uten tvil er disse objektene ikke de samme, dvs. Generelt er de ikke like: på grunnlag av størrelse og farge. Men samtidig kan vi argumentere for at de er lik deres former - begge objekter er sirkler.

I sammenheng med matematikk er følelsen av ulikhetsbelastningen bevart. Men i dette tilfellet snakker vi om ulikheten til matematiske gjenstander: tall, verdier av uttrykk, verdier av mengder (lengde, område, etc.), vektorer, figurer, etc.

Ikke like, mer, mindre

Avhengig av formålet med oppgavens oppgave, kan vi allerede være bare det faktum at de klargjør ulikhetene av objekter, men følger vanligvis med etableringen av ulikhetens faktum, forklarer det hvor mye verdien er større, og hva som er mindre .

Betydningen av ordene "mer" og "mindre" til oss intuitivt kjent fra begynnelsen av livet vårt. Tydelig er ferdigheten til å bestemme overlegenheten til objektet i størrelse, mengde, etc. Men til slutt fører enhver sammenligning oss til å sammenligne tall som definerer noen av egenskapene til de sammenlignende gjenstandene. Faktisk finner vi ut hvilket nummer som er mer, og hva - mindre.

Enkelt eksempel:

Eksempel 1.

Om morgenen utgjorde lufttemperaturen 10 grader Celsius; På to om ettermiddagen var denne figuren 15 grader. Basert på sammenligningen av naturlige tall, kan vi hevde at temperaturverdien om morgenen var mindre enn verdien klokken to om ettermiddagen (eller klokken to i den tiden temperaturen økte, ble større enn temperaturen om morgenen).

Registrere ulikheter med tegn

Det er generelt aksepterte betegnelser for registrering av ulikheter:

Definisjon 1.

• tegnet er "ikke like", som er et krysset tegn "lik": ≠. Dette skiltet er plassert mellom ulik gjenstander. For eksempel: 5 ≠ 10 fem er ikke ti;
• "Mer" -tegnet:\u003e og "mindre" tegn:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | > |. C D | antyder at kuttet en b er mer segment med D;
• skiltet "større enn eller like": ≥ og "mindre eller lik" tegn: ≤.

Mer deres mening vil bli beskrevet nedenfor. Vi gir definisjonen av ulikhet i henhold til deres poster.

Definisjon 2.

Ulikheter - Algebraiske uttrykk som har betydning og registrert med tegn på ≠,\u003e,< , ≤ , ≥ .

Strenge og utrolige ulikheter

Tegn på strenge ulikheter - Dette er tegnene på "mer" og "mindre":\u003e og< Неравенства, составленные с их помощью – strenge ulikheter.

Tegn på ikke-strategiske ulikheter - Disse er "større enn eller like" tegn og "mindre eller like": ≥ og ≤. Ulikheter samlet med deres hjelp - ikke-fett ulikheter.

Hvor streng ulikhet gjelder, vi demonteres ovenfor. Hvorfor er de utrolige ulikhetene? I praksis kan slike ulikheter muligens spørre saker som er beskrevet av ordene "ikke mer" og "ikke mindre". Uttrykket "ikke mer" betyr mindre eller så mye - dette sammenligningen tilsvarer "mindre eller lik" -tegnet ≤. I sin tur betyr "ikke mindre" - så mye eller mer, og dette er et tegn "større enn eller like" ≥. Dermed gir ikke-strenge ulikheter, i motsetning til streng, muligheten for likestilling av objekter.

Trofaste og feil ulikheter

Trofast ulikhet - så ulikhet, som tilsvarer betydningen av ulikhet nevnt ovenfor. Ellers er det ugyldig.

Vi gir enkle eksempler for synlighet:

Eksempel 2.

Ulikhet 5 ≠ 5 er feil, siden nummeret 5 og 5 faktisk er likeverdig.

Eller en slik sammenligning:

Eksempel 3.

Anta s - området av en slags figur, i dette tilfellet s< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

I likhet med mening, begrepet "sant ulikhet" er setninger "Fair ulikhet", "Det er ulikhet", etc.

Egenskaper av ulikheter

Vi beskriver egenskapene til ulikheter. Det åpenbare faktum at objektet ikke kan være ulikt for seg selv, og dette er den første egenskapen til ulikhet. Den andre egenskapen høres ut som dette: Hvis det første objektet ikke er lik det andre, er det andre ikke lik den første.

Vi beskriver egenskapene som svarer til skiltene "mer" eller "mindre":

Definisjon 5.

• antireflektivitet. Denne egenskapen kan uttrykkes som dette: for ethvert objekt k ulikhet k\u003e K og k< k неверны;
• antisymmetri. Denne egenskapen antyder at hvis det første objektet er større eller mindre enn det andre, så er det andre objektet henholdsvis mindre eller mer av den første. Vi skriver: hvis m\u003e n, deretter n< m . Или: если m < n , то n > m;
• transittivitet. I en alfabet, vil den angitte egenskapen se slik ut: Hvis det er spesifisert som en< b и b < с, то a < c . Наоборот: a > B og b\u003e C, som betyr a\u003e c. Denne egenskapen er intuitiv og naturlig: Hvis det første objektet er større enn det andre, og det andre er mer enn det tredje, blir det klart at det første objektet er mer enn det tredje.

Tegn på utrolige ulikheter er også iboende i enkelte eiendommer:

Definisjon 6.

• refleksivitet: A ≥ A og A ≤ a (dette inkluderer også en sak når A \u003d A);
• antisymmetri: Hvis en ≤ b, deretter b ≥ a. Hvis en ≥ b, deretter b ≤ a;
• transittivitet: Hvis en ≤ b og b ≤ c, så er det åpenbart at en ≤ c. Og også: hvis en ≥ b, en b ≥ s, deretter og ≥ s.

Dobbeltrom, trippel, etc. ulikheter

Transitivitetsiteten gjør det mulig å registrere dobbelt, trippel og så på ulikheter, som er i hovedsak kjede av ulikheter. For eksempel: dobbelt ulikhet - E\u003e F\u003e g eller tredoblet ulikhet k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4.

Vær oppmerksom på at det er praktisk å registrere ulikhet som en kjede, inkludert forskjellige tegn: Like, ikke lik tegn på strenge og utrolige ulikheter. For eksempel x \u003d 2< y ≤ z < 15 .

Hvis du oppdager en feil i teksten, velg den og trykk Ctrl + Enter

For eksempel er en ulikhet et uttrykk \\ (x\u003e 5 \\).

Typer av ulikheter:

Hvis \\ (a \\) og \\ (b \\) er tall eller, blir ulikheten kalt numerisk. Faktisk er det bare en sammenligning av to tall. Slike ulikheter er delt inn i lojal og stemmer ikke.

For eksempel:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\\ (17 + 3 \\ GEQ 115 \\) er en feil numerisk ulikhet, siden \\ (17 + 3 \u003d 20 \\ \\), og \\ (20 \\ \\) mindre \\ (115 \\) (og ikke mer enn eller lik).

Hvis \\ (a \\) og \\ (b \\) er uttrykk som inneholder en variabel, så har vi ulikhet med en variabel. Slike ulikheter er delt av typer avhengig av innholdet:

Hva er løsningen av ulikhet?

Hvis i ulikheten i stedet for en variabel for å erstatte et hvilket som helst nummer, vil det bli til en tallerken.

Hvis denne verdien for IKS forvandler den opprinnelige ulikheten, er det riktige numeriske, da kalles det ved avgjørelse av ulikhet. Hvis ikke - denne verdien er ikke løsningen. Og til løse ulikhet - Det er nødvendig å finne alle sine løsninger (eller vise at de ikke er).

For eksempel, Hvis vi er i lineær ulikhet \\ (x + 6\u003e 10 \\), erstatter vi i stedet for nummeret \\ (7 \\) - den riktige numeriske ulikheten: \\ (13\u003e 10 \\). Og hvis vi erstatter \\ (2 \\), vil det bli en feil numerisk ulikhet \\ (8\u003e 10 \\). Det er \\ (7 \\) er løsningen av den første ulikheten, og \\ (2 \\) er ikke.

Imidlertid har ulikheten \\ (x + 6\u003e 10 \\) andre løsninger. Faktisk vil vi få trofaste numeriske ulikheter ved substitusjon og \\ (5 \\), og \\ (12 \\ \\), og \\ (138 \\) ... og hvordan finner vi alle mulige løsninger? For å gjøre dette, bruk for vårt tilfelle vi har:

\\ (x + 6\u003e 10 \\) \\ (| -6 \\)
\\ (x\u003e 4 \\)

Det vil si at vi passer til et hvilket som helst nummer mer enn fire. Nå må du registrere svaret. Forskjellige løsninger, som regel, rekord numerisk, i tillegg noterer dem på den numeriske akse av klekkingen. For vårt tilfelle har vi:

Svar: \\ (X \\ IN (4; + \\ Infty) \\)

Når endres skiltet i ulikhet?

I ulikheter er det en stor felle, hvor elevene elsker å "komme over:

Når du multipliserer (eller divisjon) ulikheter for et negativt tall, endres til det motsatte ("mer" til "mindre", "mer eller lik" til "mindre eller lik" og så videre)

Hvorfor skjer dette? For å forstå dette, la oss se omdannelsen av numerisk ulikhet \\ (3\u003e 1 \\). Det er sant, Troika er virkelig mer forent. For det første, prøv å formere det til et positivt tall, for eksempel en to:

\\ (3\u003e 1 \\) \\ (| \\ cdot2 \\)
\(6>2\)

Som du kan se, etter å ha multiplikasjon, forblir ulikheten fortsatt sant. Og for det positive tallet blir vi multiplisert - vi vil alltid motta sann ulikhet. La oss nå prøve å multiplisere på et negativt tall, for eksempel minus toppen:

\\ (3\u003e 1 \\) \\ (| \\ cdot (-3) \\)
\(-9>-3\)

Det viste seg feil ulikhet, fordi minus ni mindre enn minus tre! Det vil si for at ulikheten er trofast (og derfor transformasjonen av multiplikasjon på en negativ var "lovlig"), må du snu sammenligningskiltet, slik: \\ (- 9<− 3\).
Med divisjon viser det seg på samme måte, du kan sjekke deg selv.

Regelen som er registrert ovenfor, gjelder for alle typer ulikheter, og ikke bare numerisk.

Svar: \\ (x \\ in (-1; \\ kny) \\)

Ulikheter og ...

Ulikheter, samt ligninger kan ha restriksjoner på, det vil si verdiene til ICA. Følgelig bør disse verdiene som er uakseptabelt av OTZ, utelukkes fra løsningene.

Eksempel: Løse ulikhet \\ (\\ sqrt (x + 1)<3\)

Beslutning: Det er klart at i henhold til den venstre delen er det mindre \\ (3 \\), bør fôringsuttrykket være mindre \\ (9 \\) (på grunn av \\ (9 \\) bare \\ (3 \\)). Vi får:

\\ (x + 1<9\) \(|-1\)
\\ (X.<8\)

Alt? Vi passer til enhver mening av ICA mindre \\ (8 \\)? Ikke! Fordi hvis vi for eksempel tar det ser ut til at verdien er egnet for kravet \\ (- 5 \\) - det vil ikke være en løsning på den opprinnelige ulikheten, da den vil lede oss til beregningen av roten fra en negativ Nummer.

\\ (\\ Sqrt (-5 + 1)<3\)
\\ (\\ Sqrt (-4)<3\)

Derfor må vi fortsatt ta hensyn til begrensningene på verdiene til ICA - det kan ikke være slik at under roten var det et negativt tall. Dermed har vi et andre krav til X:

\\ (X + 1 \\ geq0 \\)
\\ (X \\ GEQ-1 \\)

Og slik at X er den endelige avgjørelsen, bør den umiddelbart tilfredsstille med begge kravene: det må være mindre \\ (8 \\) (å være en løsning) og mer \\ (- 1 \\) (for å være tillatt i prinsippet). Søk på en numerisk akse, vi har et siste svar:

Svar: \\ (\\ venstre [-1; 8 \\ rett) \\)