Vinkelrett direkte og deres egenskaper. Vinkelrett direkte hva kalles vinkelrett direkte

Artikkelen diskuterer spørsmålet om vinkelrett direkte på flyet og tredimensjonalt rom. Definisjonen av vinkelrett direkte og deres betegnelser med de ovennevnte eksemplene vil beskrive i detalj. Tenk på vilkårene for å anvende den nødvendige og tilstrekkelig tilstanden vinkelrettiteten til de to direkte og vurdere i detalj på eksemplet.

Vinkelen mellom kryssende rett i rommet kan være direkte. Da sier de at dataene er direkte vinkelrett. Når vinkelen mellom krysset går rett rett, så er det også vinkelrett. Det følger at vinkelrette rette linjer på flyet som skjærer, og vinkelrett direkte mellomrom kan krysses og krysse.

Det vil si at konseptene "rett A og B vinkelrett" og "rett b og en vinkelrett" anses som like. Dermed begrepet gjensidig vinkelrett direkte. Oppsummering av det foregående, vurdere definisjonen.

Definisjon 1.

To rette linjer kalles vinkelrett hvis vinkelen i løpet av krysset gir 90 grader.

Vinkelrettitet er betegnet av "⊥", og opptaket tar skjemaet en ⊥ B, som betyr rett en vinkelrett på direkte b.

For eksempel kan vinkelrett rett på flyet være siden av torget med et totalt toppunkt. I det tredimensjonale rommet er de rette linjene o x, o z, o y er vinkelrett på par: o x og o z, o x og o y, o y og o z.

Vinkelrettitet av direkte - vinkelvility forhold

Egenskapene til vinkelrettitet må vite, siden de fleste oppgaver reduseres til verifiseringen for den påfølgende løsningen. Det er tilfeller når vinkelrettheten er i spørsmålet fortsatt i stand til oppgaven eller når det er nødvendig å bruke bevis. For å bevise vinkelrettitet, er det nok for vinkelen mellom den rette linjen.

For å bestemme sin vinkelrettitet med de kjente likningene i det rektangulære koordinatsystemet, er det nødvendig å anvende den nødvendige og tilstrekkelig betingelsen for vinkelrettiteten til direkte. Vurdere ordlyden.

Theorem 1.

For at rett A og B skal være vinkelrett på, er det nødvendig og nok at styrevektoren rett har vinkelrettitet med hensyn til føringsvektoren av en gitt rett linje b.

Beviset i seg selv er basert på definisjonen av de direkte vektorene og på definisjonen av den periodendentiteten til den direkte.

Bevis 1.

La det rektangulære dekartisk koordinatsystemet til koordinatene til koordinatene til koordinatene med de angitte ligningene rett på flyet, som definerer rett A og B. Direkte vektorer av rette linjer A og B er betegnet med en → og b →. Fra ligningen av direkte A og B er vinkelens vinkelrettiteter A → og B → nødvendig og tilstrekkelig tilstand. Dette er bare mulig med et skalarprodukt av vektorer A → \u003d (AX, AY) og B → \u003d (bx, av) lik , og opptaket er sett på en →, b → \u003d A x · bx + A y · med \u003d 0. Vi oppnår at vi får den nødvendige og tilstrekkelig betingelsen for vinkelrettiteten til direkte A og B, som er i det rektangulære koordinatsystemet om XY på flyet, er en →, b → \u003d økse · bx + ay · med \u003d 0, hvor A → \u003d (AX, AY) og B → \u003d BX, av er de direkte vektorene av de rette linjene A og B.

Tilstanden gjelder når det er nødvendig å finne koordinatene til føringsvektorer eller i nærvær av kanoniske eller parametriske ligninger i direkte på planet av den angitte direkte A og B.

Eksempel 1.

Tre punkter A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) er spesifisert i det rektangulære koordinatsystemet om X Y. Bestem direkte og i og og med vinkelrett eller ikke.

Beslutning

Straight a b og a c har veiledere en b → og en C → henholdsvis. Til å begynne med beregner jeg en b → \u003d (- 2, - 3), en C → \u003d (- 6, 4). Vi oppnår at vektorer a b → og en C → vinkelrett på egenskapen til skalarproduktet av vektorer som er lik null.

En b →, en c → \u003d (- 2) · (- 6) + (- 3) · 4 \u003d 0

Det er åpenbart at den nødvendige og tilstrekkelig tilstanden utføres, betyr det at i og og vinkelrett.

Svar:direkte vinkelrett.

Eksempel 2.

Bestem den angitte rett X - 1 2 \u003d Y - 7 3 og x \u003d 1 + λ y \u003d 2 - 2 · λ vinkelrett eller ikke.

Beslutning

a → \u003d (2, 3) er styrevektoren av en gitt rett linje X - 1 2 \u003d Y - 7 3,

b → \u003d (1, - 2) er en rettlinjeføringsvektor x \u003d 1 + λ y \u003d 2 - 2 · λ.

La oss slå til beregningen av skalarproduktet av vektorer A → og B →. Uttrykket vil bli registrert:

en →, b → \u003d 2 · 1 + 3 · - 2 \u003d 2 - 6 ≠ 0

Resultatet av arbeidet er ikke , det kan konkluderes med at vektorene ikke er vinkelrett på, det betyr at de rette linjene ikke er vinkelrett.

Svar:rett er ikke vinkelrett.

Påkrevd og tilstrekkelig betingelse for vinkelrettheten til direkte A og B brukes til tredimensjonalt rom, skrevet i skjemaet A →, B → \u003d Axe · bx + ay · av + AZ · bz \u003d 0, hvor a → \u003d (Axe , Ay, az) og b → \u003d (bx, bz) er veiledere av direkte A og b.

Eksempel 3.

Kontroller vinkelrettheten til den direkte i det rektangulære koordinatsystemet til det tredimensjonale rommet som er angitt av ligningene x 2 \u003d y - 1 \u003d z + 1 0 og x \u003d λ y \u003d 1 + 2 · λ z \u003d 4 · λ

Beslutning

Denominatorene fra de canoniske ligningene i direkte regnes som koordinatene til styringsvektoren direkte. Koordinatene til styrevektoren fra parametrisk ligning er koeffisienter. Det følger av dette at A → \u003d (2, - 1, 0) og B → \u003d (1, 2, 4) er styrevektorene i den angitte direkte. For å identifisere sin vinkelrettitet, finner vi et skalarprodukt av vektorer.

Uttrykket vil ta skjemaet A →, B → \u003d 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 \u003d 0.

Vektorene er vinkelrett, da arbeidet er null. Den nødvendige og tilstrekkelig tilstanden er oppfylt, betyr det direkte vinkelrett.

Svar:direkte vinkelrett.

Kontrollere perpendicularitet kan utføres på grunnlag av andre nødvendige og tilstrekkelige forhold for vinkelrettitet.

Theorem 2.

Straight A og B på flyet anses som vinkelrett på vinkelrettheten til den normale vektoren direkte A med en vektor B, er dette den nødvendige og tilstrekkelig tilstanden.

Bevis 2.

Denne tilstanden gjelder når ligningene i direkte gir koordinatene til normale vektorer av den angitte direkte. Det vil si at hvis det er en generell ligning av en direkte form en X + med + C \u003d 0, er ligningene rett i segmenter av skjemaet XA + YB \u003d 1, ligningene til den rette linjen med den vinkelkoeffisienten av skjemaet Y \u003d KX + B Koordinatene til vektorene kan bli funnet.

Eksempel 4.

Finn ut, vinkelrett på den rette 3 x - y + 2 \u003d 0 og x 3 2 + y 1 2 \u003d 1.

Beslutning

Basert på deres ligninger er det nødvendig å finne koordinatene til normale vektorer av direkte. Vi oppnår at N α → \u003d (3, - 1) er en normal vektor for en rett linje 3 x - y + 2 \u003d 0.

Vi forenkler ligningen x 3 2 + y 1 2 \u003d 1 til skjemaet 2 3 x + 2 y - 1 \u003d 0. Nå er koordinatene til den normale vektoren, som vi skriver i dette skjemaet n b → \u003d 2 3, 2 tydelig synlige.

Vektorer n a → \u003d (3, - 1) og n b → \u003d 2 3, 2 vil være vinkelrett, siden deres skalarprodukt vil til slutt verdsette lik 0. Vi får n a →, n b → \u003d 3 · 2 3 + (- 1) · 2 \u003d 0.

Den nødvendige og tilstrekkelig tilstanden ble oppfylt.

Svar:direkte vinkelrett.

Når rett A på flyet bestemmes ved hjelp av en ligning med en vinkelkoeffisient y \u003d k 1 x + b 1, og rett b - y \u003d k 2 x + b 2, følger det at normale vektorer vil ha koordinater (k 1, - 1) og (k 2, - 1). Tilstanden for vinkelrettitet er redusert til k 1 · k2 + (- 1) · (- 1) \u003d 0 ⇔ 1 · k 2 \u003d - 1.

Eksempel 5.

Finn ut om de rette linjene y \u003d - 3 7 x og y \u003d 7 3 x - 1 2 er vinkelrett.

Beslutning

Straight y \u003d - 3 7 x har en vinkelkoeffisient lik 3 7, og rett y \u003d 7 3 x - 1 2 - 7 3.

Produktet av vinkelkoeffisienter gir verdi til 1, - 3 7 · 7 3 \u003d - 1, det vil si den direkte er vinkelrett.

Svar:den angitte direkte vinkelrett.

Det er en annen tilstand som brukes til å bestemme vinkelrettiteten til direkte på flyet.

Theorem 3.

For vinkelrettitet av direkte A og B på planet er den nødvendige og tilstrekkelige tilstanden kollineariteten til føringsvektoren til en av de rette linjen med den normale vektoren av den andre rett.

Bevis 3.

Tilstanden gjelder når det er mulighet for å finne styrevektoren til en rett og koordinater av den normale vektoren. Med andre ord er en direkte definert av en kanonisk eller parametrisk ligning, og den andre med direkte ligning, ligning i segmenter eller en rett linje med en vinkelkoeffisient.

Eksempel 6.

Bestem om de angitte rette linjene X - Y - 1 \u003d 0 og X 0 \u003d Y - 4 2 vinkelrett.

Beslutning

Vi får at den normale vektoren rett linje X er Y - 1 \u003d 0 har koordinert n a → \u003d (1, - 1) og b → \u003d (0, 2) - styrevektoren er rett x 0 \u003d y - 4 2 .

Det kan ses at vektorer n a → \u003d (1, - 1) og b → \u003d (0, 2) er ikke kollinear, fordi tilstanden til kollinearitet ikke utføres. Det er ikke noe slikt tall T slik at likestillingen n a → \u003d t · b →. Derfor er konklusjonen at de rette linjene ikke er vinkelrett.

Svar:rett er ikke vinkelrett.

Hvis du oppdager en feil i teksten, velg den og trykk Ctrl + Enter

Perpendikulære rette linjer danner en hel dannelse av figurer, konstruksjoner og beregninger i geometri. Uten forståelse av vinkelrette rette linjer unnlater å løse slike figurer som høyre trekant, rektangel, firkantet eller rektangulært trapezium. Derfor er det verdt å være spesielt oppmerksom på disse konseptene.

Hva er vinkelrett direkte

Når du krysser to rette linjer, dannes 4 hjørner. Definisjonen av vinkelrette rette linjer høres ut som dette: det er rett, vinkelen mellom som er 90 grader. Kun hjørner 4, full vinkel er 360 grader. Hvis en av hjørnene er 90 grader, så vil 3 andre være 90.

For at segmentene skal være vinkelrett, bør to forhold utføres: Segmentene må krysse, og kryssvinkelen mellom dem skal være 90 grader.

Fig. 1. Vinkelrette linjer.

Eiendommer

Vinkelrett Direkte er ikke så mange egenskaper. Alle av dem krever ikke bevis, da de går videre fra definisjonen av vinkelrettitet.

• Hvis hver av de to direkte vinkelrette på den tredje, er disse direkte parallelle. Og parallelt skyldes de det faktum at de resulterende ensidige hjørner vil i mengden av å gi 180 grader. Så, rett parallelt med 3 tegn på parallellisme. Denne egenskapen kan bevises på noen av de tre tegnene på parallellismen.
• Det vinkelrette segmentet fra punktet til direkte eller segmentet vil bli kalt avstanden fra punktet til direkte.
• Avstanden fra direkte til linjen er også vinkelrett, senket fra ethvert punkt en rett til en annen direkte.
• Hvis i lengden på to direkte avstander mellom dem ikke endres, vil den direkte være parallell.

Figurer med vinkelrett rett

En av de første figurene som en person blir kjent, er et firkantet og et rektangel.

Rette vinkler er hyggelige for det menneskelige utseendet, så ofte er torget eller rektangelet brukt som et skjema for bordplater, stoler, nattbord og andre elementer. Hele i verden som omgir verden består av parallelle og vinkelrette linjer.

Fig. 2. Square.

Siden tiden for gammel Hellas er en rektangulær trekant kjent. Formen på en rektangulær trekant ble tatt av forskjellige navigasjonsenheter, dessuten, i lang tid å studere egenskapene til den rektangulære trekanten ble gitt til pythagores. Det er hans forfatterskap at Pythagora Theorem tilhører, som er ekstremt etterspurt i løsninger på oppgaver.

Det er et rektangulært trapezium, som en av sidene er rektangulært for begge basene. Og planometrien er i det hele tatt pisset av vinkelrett i rommet: riktig prisme, den rektangulære pyramiden og den mest vanlige kuben.

I tillegg kan du i en trekant du bruke høyden som er nødvendig for å finne området på figuren. Den vinkelrette for å finne området er nyttig i parallellogrammet, og den rektangulære trekanten og torget har en høyde av sine parter, og derfor er området av disse tallene mye lettere å finne.

Overholdelse av ditt privatliv er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernregler som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernpolicy og informer oss om du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personlig informasjon

Under personlig informasjon er det underlagt data som kan brukes til å identifisere en bestemt person eller kommunisere med den.

Du kan bli bedt om å gi dine personlige opplysninger når som helst når du kobler til oss.

Nedenfor er noen eksempler på typer personlige opplysninger som vi kan samle, og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon vi samler inn:

• Når du forlater et program på nettstedet, kan vi samle ulike opplysninger, inkludert ditt navn, telefonnummer, e-postadresse, etc.

Som vi bruker dine personlige opplysninger:

• Samlet av oss personlig informasjon Tillater oss å kontakte deg og rapportere om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og nærmeste arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke dine personlige opplysninger til å sende viktige varsler og meldinger.
• Vi kan også bruke personlig informasjon til interne formål, for eksempel revisjon, dataanalyse og ulike studier for å forbedre tjenestene til tjenestene våre og gi deg anbefalinger for våre tjenester.
• Hvis du deltar i premiene, konkurranse eller lignende stimulerende begivenhet, kan vi bruke informasjonen du oppgir for å administrere slike programmer.

Informasjonsopplysning til tredjeparter

Vi avslører ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Hvis det er nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettssaken og / eller på grunnlag av offentlige spørsmål eller forespørsler fra statlige organer på Russlands territorium - for å avsløre dine personlige opplysninger. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi definerer at en slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikte på sikkerhet, opprettholdelse av lov og orden eller andre sosialt viktige tilfeller.
• I tilfelle av omorganisering, fusjoner eller salg, kan vi formidle den personlige informasjonen vi samler inn tilsvarende tredjepart - en etterfølger.

Beskyttelse av personlig informasjon

Vi gjør forholdsregler - inkludert administrativ, teknisk og fysisk - for å beskytte dine personlige opplysninger mot tap, tyveri og skruppelløs bruk, samt fra uautorisert tilgang, avsløring, endringer og ødeleggelse.

Overholdelse av ditt privatliv på bedriftsnivået

For å sikre at din personlige informasjon er trygg, bringer vi normen for konfidensialitet og sikkerhet til våre ansatte, og følger strengt gjennomføringen avr.

Perpendicularity kalles forholdet mellom en rekke gjenstander i euklidanområdet - rett, fly, vektorer, underrom og så videre. I dette materialet vil vi nøye vurdere vinkelrette direkte og karakteristiske trekk, knyttet til dem. To rette linjer kan kalles vinkelrett (eller mutallypendicular), hvis alle fire hjørner som dannes av skjæringspunktet, er strengt nittiegrader.

Det er visse egenskaper av vinkelrett direkte, implementert på flyet:

Bygging av vinkelrette linjer

Perpendikulære rette linjer er bygget på flyet med hjelp av torget. Enhver Drawler må huske på at et viktig trekk ved hvert firkant er at det nødvendigvis har et rett hjørne. For å skape to vinkelrett rett, må vi kombinere en av to sider direkte hjørne VÅRE

et tegningssett med en gitt rett og utfør den andre rett langs den andre siden av denne direkte vinkelen. Således vil to vinkelrette rette linjer bli opprettet.

Tredimensjonal plass

Interessant det faktum at vinkelrett direkte kan implementeres, og i dette tilfellet vil bli kalt to rette linjer, hvis de er parallelle med noen andre direkte, ligger i samme plan og også vinkelrett på det. I tillegg, hvis bare to rette linjer kan være vinkelrett på flyet, så tre i tredimensjonal plass. Videre kan antall vinkelrette linjer (eller fly) enda mer økt.

Den rette linjen (kuttet rett) er betegnet av to store bokstaver i det latinske alfabetet eller et lite brev. Poenget er kun angitt av et stort latinsk brev.

Direkte kan ikke krysse, krysse eller sammenfalle. Intersecting rette linjer har bare ett vanlig punkt, ikke-kraftig direkte - ikke et enkelt punktpunkt, i sammenfallende direkte alle punkter er vanlige.

Definisjon. To rett, krysset i rette vinkler kalles vinkelrett. Den vinkelrettiteten til direkte (eller deres segmenter) er indikert av tegn på vinkelrett "⊥".

For eksempel:

Din AB. og CD. (Fig. 1) skjærer på punktet OM og ∠. AOS. = ∠Hvile = ∠AOD. = ∠Bod. \u003d 90 °, deretter AB. ⊥ CD..

Hvis en AB. ⊥ CD. (Fig. 2) og skjærer på punktet I, så ∠. Abc. = ∠Abd. \u003d 90 °.

Egenskaper vinkelrette linjer

1. Gjennom punktet MEN (Fig. 3) kan bare utføres en vinkelrett rett AU. å vise Cd; Resten av retten, passerer gjennom poenget MEN og krysser CD.kalles skrånende rett (figur 3, direkte AE. og AF.).

2. Fra punktet EN. Du kan senke vinkelrett på den rette CD.; Vinkelrett lengde (kutt lengde AU.) brukt fra punktet MEN på rett CD.- Dette er den korteste avstanden fra EN. før CD. (Fig. 3).