Den viktigste egenskapen til brøkdel, formulering, bevis, eksempler på søknad. Hovedegenskapen til Fraci: ordlyden, beviset, eksemplene på søknaden som den viktigste egenskapen til brøkdelen

I denne artikkelen vil vi analysere hva som er den viktigste egenskapen til brøkdelen, vi formulerer den, vi gir beviset og et visuelt eksempel. Deretter vurderer vi hvordan vi bruker den viktigste egenskapen til fraksjonen når vi utfører tiltak for å redusere fraksjoner og bringe fraksjoner til en ny nevner.

Alle vanlige fraksjoner har en viktig egenskap som vi kaller den viktigste egenskapen til brøkdelen, og det høres ut som følger:

Definisjon 1.

Hvis telleren og denominatoren til en fraksjon multipliseres eller delt inn i ett og det samme naturlige tallet, vil hendelsen resultere i en fraksjon som er lik den angitte.

Tenk på den grunnleggende egenskapen til fraksjonen i form av likestilling. For naturlige tall A, B og M, vil likestilling være rettferdig:

a · m b · m \u003d en b og A: M B: M \u003d A B

Tenk på beviset på de viktigste egenskapene til brøkdelen. Basert på egenskapene til å multiplisere de naturlige tallene og egenskapene til delingen av naturlige tall, skriver vi likestillingen: (a · m) · b \u003d (b · m) · a og (a: m) · b \u003d (b : m) · a. Dermed fraksjoner a · m b · m og En B, så vel som A: M B: M og A B er lik definisjonen av likestilling av fraksjoner.

Vi vil analysere et eksempel som grafisk illustrerer den viktigste egenskapen til brøkdelen.

Eksempel 1.

Anta at vi har en firkant delt inn i 9 "store" deler. Hver "stor" torg er delt inn i 4 mindre i størrelse. Det er mulig å si at det angitte firkanten er delt inn i 4 · 9 \u003d 36 "små" firkanter. Vi markerer fargen på 5 "store" firkanter. Samtidig vil det være 4 · 5 \u003d 20 "små" firkanter. La oss vise tegningen som viser våre handlinger:

Den malte delen er 5 9 kilde figurer eller 20 36, som er det samme. Dermed er fraksjoner 5 9 og 20 36 like: 5 9 \u003d 20 36 eller 20 36 = 5 9 .

Disse likestillingen, så vel som likestilling 20 \u003d 4 · 5, 36 \u003d 4 · 9, 20: 4 \u003d 5 og 36: 4 \u003d 9 gjør det mulig å konkludere med det 5 9 \u003d 5 · 4 9 · 4 og 20 36 \u003d 20 · 4 36 · 4.

For å konsolidere teorien, vil vi analysere løsningen av eksemplet.

Eksempel 2.

Det er spesifisert at telleren og nevneren av en vanlig fraksjon ble multiplisert med 47, hvorpå disse tellerne og nevnen ble delt inn i 3. Er fraksjonen gitt som et resultat av disse handlingene?

Beslutning

Basert på den viktigste egenskapen til fraksjonen, kan vi si at multiplikasjonen av telleren og nevneren av den gitte fraksjonen på det naturlige tallet 47 vil resultere i en fraksjon som er lik kilden. Vi kan argumentere for det samme, og produsere videre divisjon med 3. Til slutt vil vi få en brøkdel som er lik den angitte.

Svar: Ja, den resulterende fraksjonen vil være lik den første.

Påføring av hovedegenskapene til brøkdelen

Hovedegenskapen brukes når det er nødvendig å bringe fraksjonen til en ny nevner og med en reduksjon av fraksjoner.

Å bringe fraksjoner til en nynevner er virkningen av erstatning av en gitt fraksjon som er lik den, men med en stor neiator og nevner. For å bringe en brøkdel til en ny nevner, må du multiplisere telleren og denominatoren til fraksjonen på det nødvendige naturlige tallet. Handlinger med vanlige fraksjoner ville være umulig uten en måte å bringe en brøkdel til en ny nevner.

Definisjon 2.

Reduksjon av fraksjoner - Overgangen til en ny del som er lik en gitt, men med en mindre numerator og nevner. For å forkorte brøkdelen, må du dele telleren og denominatoren til fraksjonen på samme naturlige tall som vil bli kalt vanlig divider.

Det kan være tilfeller når det ikke er slik vanlig divider, så foreslår de at den opprinnelige fraksjonen er inkonsekvent eller ikke gjenstand for reduksjon. Spesielt vil reduksjonen av fraksjonen ved hjelp av den største vanlige divisoren føre til en brøkdel av et uforikrespensikt.

Hvis du oppdager en feil i teksten, velg den og trykk Ctrl + Enter

Brøkdel - form for representasjon av et tall i matematikk. Den brøkdelte funksjonen indikerer driften av divisjonen. Numerator Fraci er delbar, og nevner - Deler. For eksempel er brøkdelen av telleren nummeret 5, og denominatoren er 7.

Ikke sant Det kalles en brøkdel som har en tellermodul som er større enn denominatormodulen. Hvis fraksjonen er riktig, er modulen alltid mindre enn 1. Alle andre fraksjoner er feil.

Fraksjon er kalt blandetHvis det er registrert som et heltall og fraksjon. Dette er det samme som mengden av dette nummeret og fraksjonene:

Hovedegenskapen til Fraci

Hvis telleren og denominatoren til fraksjonen multipliseres med samme nummer, vil verdien av fraksjonen ikke endres, det vil si for eksempel

Bringe fraksjoner til en fellesnevner

For å bringe to fraksjoner til en fellesnevner, trenger du:

1. Telleren av den første fraksjonen multipliserer til nevnerens nevner
2. Teller av den andre fraksjonen multipliserer nevnen
3. Rannels av begge fraksjoner erstatter sitt arbeid

Handlinger med fraksjoner

Addisjon. For å kaste to fraksjoner, trenger du

1. Foldet nye tall fra begge fraksjoner, og denominatoren er igjen uendret

Eksempel:

Subtraksjon. For å trekke en brøkdel fra en annen, trenger du

1. Ta en brøkdel til en fellesnevner
2. Trekke fra telleren til den første fraksjonen telleren andre, og denominatoren er uendret

Eksempel:

Multiplikasjon. Å multiplisere en brøkdel til en annen, multipliser sine teller og nevner.

Aksjer på en og vises i skjemaet \\ Frac (a) (b).

Slipterfraksjon (A) - Nummeret over fraksjonsfunksjonen og viser antall aksjer som enheten ble delt på.

DANNEL OF Fraksjoner (B) - Nummeret under funksjonen til brøkdelen og viser hvor mange fraksjoner delte en enhet.

Gjem Vis

Hovedegenskapen til Fraci

Hvis AD \u003d BC, deretter to fraksjoner \\ Frac (a) (b)og \\ Frac (c) (d) betraktes som like. For eksempel vil fraksjonene være like \\ Frac35.og \\ Frac (9) (15)Siden 3 \\ CDOT 15 \u003d 15 \\ CDOT 9, \\ Frac (12) (7)og \\ Frac (24) (14)Siden 12 \\ CDOT 14 \u003d 7 \\ CDOT 24.

Fra definisjonen av like fraksjoner følger det at fraksjonene vil være like \\ Frac (a) (b)og \\ Frac (am) (bm)Siden A (BM) \u003d B (AM) er et visuelt eksempel på bruken av å kombinere og bevegelige egenskaper for å multiplisere naturlige tall i aksjon.

Så \\ Frac (a) (b) \u003d \\ frac (am) (bm) - Det ser ut som hovedegenskapen til Fraci.

Med andre ord vil vi få en brøkdel som er lik dette, multiplisere eller skille telleren og denominatoren til den opprinnelige fraksjonen på samme naturlige tall.

Reduksjon av fraksjoner - Dette er prosessen med å erstatte fraksjonen, hvor en ny fraksjon oppnås lik den opprinnelige, men med en mindre numerator og nevner.

Redusere fraksjonen er laget, basert på brøkdelens hovedbolig.

For eksempel, \\ Frac (45) (60) \u003d \\ frac (15) (20)(Teller og nevner er delt inn i nummer 3); Den resulterende fraksjonen kan reduseres igjen, dividere på 5, det vil si \\ Frac (15) (20) \u003d \\ frac 34.

Ustabil fraksjon - det fraksjon som \\ Frac 34.hvor telleren og nevneren er gjensidig enkle tall. Hovedmålet med kutting av brøkdelen er å gjøre en fraksjonsdrift.

Bringe fraksjoner til en fellesnevner

Ta to fraksjoner som et eksempel: \\ Frac (2) (3)og \\ Frac (5) (8) med forskjellige nevner 3 og 8. For å bringe disse fraksjonene til en fellesnevner og først endre telleren og denominatoren \\ Frac (2) (3)på 8. Vi får følgende resultat: \\ Frac (2 \\ cdot 8) (3 \\ cdot 8) \u003d \\ frac (16) (24). Deretter multipliser telleren og denominatoren \\ Frac (5) (8)med 3. Vi kommer til slutt: \\ Frac (5 \\ cdot 3) (8 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (15) (24). Så, de opprinnelige fraksjonene er gitt til den totale nevneren 24.

Aritmetiske handlinger på vanlige fraksjoner

Tilsetning av vanlige fraksjoner

a) Med de samme nevner, er telleren til den første fraksjonen foldet med nisringen av den andre fraksjonen, og forlater nevnen for det samme. Som det kan ses i eksemplet:

\\ Frac (a) (b) + \\ frac (c) (b) \u003d \\ frac (a + c) (b);

b) Med forskjellige nevner, fører fraksjonene først til en fellesnevner, og utfører deretter tilsetning av tall i henhold til regel A):

\\ Frac (7) (3) + \\ frac (1) (4) \u003d \\ frac (7 \\ cdot 4) (3) + \\ frac (1 \\ cdot 3) (4) \u003d \\ frac (28) (12) + \\ Frac (3) (12) \u003d \\ frac (31) (12).

Subtraherer vanlige fraksjoner

a) Med de samme nevnerne fra telleren til den første fraksjonen, trekkes telleren til den andre fraksjonen, som forlater denominatoren for det samme:

\\ Frac (a) (b) - \\ frac (c) (b) \u003d \\ frac (a-c) (b);

b) Hvis nevnerne av fraksjoner er forskjellige, fører først fraksjonene til en fellesnevner, og gjentar deretter handlingene som i avsnitt A).

Multiplikasjon av vanlige fraksjoner

Multiplikasjon av fraksjoner adlyder følgende regel:

\\ Frac (a) (b) \\ cdot \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (a \\ cdot c) (b \\ cdot d),

det er separat tall og nevner.

For eksempel:

\\ Frac (3) (5) \\ cdot \\ frac (4) (8) \u003d \\ frac (3 \\ cdot 4) (5 \\ cdot 8) \u003d \\ frac (12) (40).

Divisjon av vanlige fraksjoner

Divisjon Fraksjoner produserer på følgende måte:

\\ Frac (a) (b): \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (annonse) (bc),

det er en brøkdel \\ Frac (a) (b) multiplisert med fraksjon \\ Frac (d) (c).

Eksempel: \\ Frac (7) (2): \\ frac (1) (8) \u003d \\ frac (7) (2) \\ cdot \\ frac (8) (1) \u003d \\ frac (7 \\ cdot 8) (2 \\ cdot 1 ) \u003d \\ Frac (56) (2).

Gjensidig omvendt tall

Hvis ab \u003d 1, så er tallet b tilbake For nummer a.

Eksempel: For nummer 9 omvendt er \\ Frac (1) (9), som 9 \\ cdot \\ frac (1) (9) \u003d 1for nummer 5 - \\ Frac (1) (5), som 5 \\ cdot \\ frac (1) (5) \u003d 1.

Desimalfraksjoner

Desimalfraksjon Det kalles riktig fraksjon, den som er 10, 1000, 10 \\ 000, ..., 10 ^ n.

For eksempel: \\ Frac (6) (10) \u003d 0,6; \\ Enspace \\ frac (44) (1000) \u003d 0,044.

På samme måte er det skrevet feil med en nevner 10 ^ n eller blandede tall.

For eksempel: 5 \\ frac (1) (10) \u003d 5.1; \\ Enspace \\ frac (763) (100) \u003d 7 \\ frac (63) (100) \u003d 7.63.

I form av en desimalfraksjon er enhver vanlig fraksjon med en nevner representert, som er en divider av et nummer 10.

Eksempel: 5 - Divider av nummeret 100, så fraksjonen \\ Frac (1) (5) \u003d \\ frac (1 \\ cdot 20) (5 \\ cdot 20) \u003d \\ frac (20) (100) \u003d 0,2.

Aritmetiske handlinger over desimalfraksjoner

Tilsetning av desimalfraksjoner

For å legge til to desimalfraksjoner, er det nødvendig å plassere dem slik at hverandre er de samme utslippene, og kommaet dilatert, og gjør deretter brøkdelen av fraksjoner som vanlige tall.

Subtraksjons desimalfraksjoner

Utført ligner på tillegget.

Multiplisere desimalfraksjoner

Ved å multiplisere desimaltall er det tilstrekkelig å formere de angitte tallene, ikke å være oppmerksom på kommaene (som naturlige tall), og i det resulterende svaret på kommaet til høyre, så mange sifre er skilt, som de er etter semikolonet i begge faktorer totalt.

La oss utføre en multiplikasjon på 2,7 per 1,3. Vi har 27 \\ cdot 13 \u003d 351. Vi skiller de riktige to sifrene i semikolonet (ved første og andre nummer - ett siffer etter kommaet 1 + 1 \u003d 2). Som et resultat får vi 2,7 \\ cdot 1,3 \u003d 3,51.

Hvis det i det resulterende resultatet er færre tall enn det er nødvendig å skille kommaet, blir de manglende nullene skrevet fremover, for eksempel:

For multiplikasjon med 10, 100, 1000, er det nødvendig i desimalfraksjonen for å overføre kommaet til 1, 2, 3 siffer til høyre (om nødvendig, et visst antall nuller tilskrives høyre).

For eksempel: 1.47 \\ CDOT 10 \\, 000 \u003d 14 700.

Divisjon av desimalfraksjoner

Divisjonen av desimalfraksjonen på et naturlig tall er også produsert som deling av et naturlig tall på naturlig. Kommaet i privat er plassert etter at delingen av hele delen er fullført.

Hvis en hel del av den delbare mindre divider, viser det seg å være null også, for eksempel:

Vurder delingen av desimalfraksjonen på desimalen. La det være nødvendig å dele 2,576 per 1,12. Først av alt, Smart Dividimit og Divider of Fraksjoner 100, det vil si, det vil si at vi overfører kommaet til høyre i Delima og divideren til så mange tegn som de er i divideren etter et komma (i dette eksemplet for to). Da er det nødvendig å utføre delingen av fraksjonen 257.6 til det naturlige nummeret 112, det vil si at oppgaven er redusert til saken som allerede er vurdert:

Det skjer at den ultimate desimalfraksjonen ikke alltid er oppnådd når man deler ett nummer til et annet. Som et resultat oppnås en uendelig desimalfraksjon. I slike tilfeller overføringer til vanlige fraksjoner.

2.8: 0.09 \u003d \\ frac (28) (10): \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (28 \\ cdot 100) (10 \\ cdot 9) \u003d \\ frac (280) (9) \u003d 31 \\ FRAC ( 1) (9).

Dette emnet er tilstrekkelig viktig på de grunnleggende egenskapene til fraksjoner, alle ytterligere matematikk og algebra er basert. De som vurderte egenskapene til fraksjoner, til tross for dens betydning, veldig enkelt.

Å forstå de viktigste egenskapene til fraksjoner Vurder en sirkel.

På sirkelen kan det ses at 4 deler eller malt fra åtte mulige. Vi skriver den resulterende fraksjonen \\ (\\ frac (4) (8) \\)

På neste sirkel kan det ses at en del av to mulige er malt. Vi skriver ned fraksjonen \\ (\\ frac (1) (2) \\)

Hvis du ser nøye ut, vil vi se at i det første tilfellet i det andre tilfellet har vi en halv sirkel, så de resulterende fraksjonene er lik \\ (\\ frac (4) (8) \u003d \\ frac (1) (2 ) \\), det er dette er det samme nummeret.

Hvordan bevise det matematisk? Veldig enkelt, husk multiplikasjonstabellen og med den første fraksjonen på multiplikatorer.

\\ (\\ Frac (4) (8) \u003d \\ frac (1 \\ cdot \\ farge (rød) (4)) (2 \\ cdot \\ farge (rød) (4)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ Farge (rød) (\\ frac (4) (4)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ farge (rød) (1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)

Hva gjorde vi? Signert en teller og nevner for multiplikatorer \\ (\\ frac (1 \\ cdot \\ farge (rød) (4)) (2 \\ cdot \\ farge (rød) (4)) \\), og deretter delt fraksjonene \\ (\\ frac ( 1) (2) \\ cdot \\ farge (rød) (\\ frac (4) (4)) \\). Fire delt inn i fire dette er 1, og enheten multiplisert til et hvilket som helst tall er dette selv. Hva vi gjorde i eksemplet kalt redusere fraksjoner.

La oss se et annet eksempel og redusere brøkdelen.

\\ (\\ Frac (6) (10) \u003d \\ frac (3 \\ cdot \\ farge (rød) (2)) (5 \u200b\u200b\\ cdot \\ farge (rød) (2)) \u003d \\ frac (3) (5) \\ Cdot \\ farge (rød) (\\ frac (2) (2)) \u003d \\ frac (3) (5) \\ cdot \\ farge (rød) (1) \u003d \\ frac (3) (5) \\)

Vi malte igjen telleren og denominatoren for multiplikatorer og samme nummer i tallene og denominatorene har vist. Det vil si at to delt inn i to ga en enhet, og enheten multiplisert til et hvilket som helst tall gir samme nummer.

Den viktigste egenskapen til brøkdelen.

Derfor den viktigste egenskapen til Fraci:

Hvis telleren, og nevneren av FRACI multipliserer det samme nummeret (unntatt null), vil fraksjonen ikke endres.

\\ (\\ Bf \\ frac (a) (b) \u003d \\ frac (a \\ cdot n) (b \\ cdot n) \\)

Du kan også fly telleren og denominatoren for å dele nummeret på samme tid.
Vurder et eksempel:

\\ (\\ Frac (6) (8) \u003d \\ frac (6 \\ div \\ farge (rød) (2)) (8 \\ div \\ farge (rød) (2)) \u003d \\ frac (3) (4) \\)

Hvis telleren, og denomote denoteren skal dele tallet (unntatt null), vil størrelsen på fraksjonen ikke endres.

\\ (\\ Bf \\ frac (a) (b) \u003d \\ frac (a \\ div n) (b \\ div n) \\)

Fraksjonene som er i tallene, og i nevnerne kalles vanlige ordinære dividers sosialt svindel.

Eksempel på redusert fraksjon: \\ (\\ frac (2) (4), \\ frac (6) (10), \\ frac (9) (15), \\ frac (10) (5), ... \\)

Det er også ustabile fraksjoner.

Ustabil fraksjon - Dette er en brøkdel som det ikke er noen tall og nevner av vanlige vanlige diverse.

Eksempel på en inkonsekvent brøkdel: \\ (\\ frac (1) (2), \\ frac (3) (5), \\ frac (5) (7), \\ frac (13) (5), ... \\)

Et hvilket som helst tall kan representeres som en brøkdel, fordi et hvilket som helst tall er delt med en, f.eks:

\\ (7 \u003d \\ frac (7) (1) \\)

Spørsmål til emnet:
Hva tror du at noen kan forkorte eller ikke?
Svar: Nei, det er reduserte fraksjoner og ikke-tolkbare fraksjoner.

Sjekk om likestilling er sant: \\ (\\ frac (7) (11) \u003d \\ frac (14) (22) \\)?
Svar: Scrollfraksjon \\ (\\ Frac (14) (22) \u003d \\ frac (7 \\ cdot 2) (11 \\ cdot 2) \u003d \\ frac (7) (11) \\)Ja, med rette.

Eksempel nummer 1:
a) Finn fraksjonen med denominatoren 15 lik brøkdelen \\ (\\ Frac (2) (3) \\).
b) Finn en brøkdel med en teller 8 lik brøkdelen \\ (\\ Frac (1) (5) \\).

Beslutning:
a) Vi trenger nummeret 15 i nevneren. Nå i nevnerenummeret 3. Hvilket nummer trenger å multiplisere nummeret 3 for å få 15? Husk multiplikasjonstabellen 355. Vi må dra nytte av hovedegenskapen til fraksjoner og multipliserer og numerator, og denominator \\ (\\ Frac (2) (3) \\)med 5.

\\ (\\ Frac (2) (3) \u003d \\ frac (2 \\ cdot 5) (3 \\ cdot 5) \u003d \\ frac (10) (15) \\)

b) Vi trenger et nummer 8 i telleren 8. Nå er det tall i numeratorer 1. Hvilket nummer trenger du å multiplisere nummer 1 for å få 8? Selvfølgelig, 1⋅8. Vi må dra nytte av hovedegenskapen til fraksjoner og multipliserer og numerator, og denominator \\ (\\ Frac (1) (5) \\) På 8. Vi får:

\\ (\\ Frac (1) (5) \u003d \\ frac (1 \\ cdot 8) (5 \\ cdot 8) \u003d \\ frac (8) (40) \\)

Eksempel nummer 2:
Finn en inkonsekvent brøkdel, lik brøkdelen: a) \\ (\\ Frac (16) (36) \\),b) \\ (\\ Frac (10) (25) \\).

Beslutning:
men) \\ (\\ Frac (16) (36) \u003d \\ frac (4 \\ cdot 4) (9 \\ cdot 4) \u003d \\ frac (4) (9) \\)

b) \\ (\\ Frac (10) (25) \u003d \\ frac (2 \\ cdot 5) (5 \\ cdot 5) \u003d \\ frac (2) (5) \\)

Eksempel nummer 3:
Skriv ned tallet i form av en brøkdel: a) 13 b) 123

Beslutning:
men) \\ (13 \u003d \\ frac (13) (1) \\)

b) \\ (123 \u003d \\ frac (123) (1) \\)

Fra kurset går algebraen i skoleprogrammet til spesifikk. I denne artikkelen vil vi undersøke den spesielle typen rasjonelle uttrykk i detalj - rasjonelle fraksjonerog også vil vi analysere hva karakteristisk identisk transformasjon av rasjonelle fraksjoner ta plass.

Merk øyeblikkelig at rasjonelle fraksjoner i den forstand vi vil definere dem nedenfor, i noen lærebøker, heter Algebra algebraiske fraksjoner. Det vil si, i denne artikkelen vil vi forstå det samme under rasjonelle og algebraiske fraksjoner.

La oss begynne med definisjon og eksempler. Deretter, la oss snakke om å bringe en rasjonell fraksjon til en ny nevner og om endringen av tegn i fraksjonens medlemmer. Etter det vil vi analysere hvordan brennene er redusert. Til slutt vil vi fokusere på representasjonen av en rasjonell fraksjon i form av en sum av flere fraksjoner. All informasjon vil bli levert med eksempler med detaljerte beskrivelser av løsninger.

Navigeringsside.

Definisjon og eksempler på rasjonelle fraksjoner

Rasjonelle fraratorer studeres i leksjonene i algebra i klasse 8. Vi vil bruke definisjonen av rasjonell fraksjon, som er gitt i læreboken til algebra for 8 klasser Yu. N. Makarychev, etc.

I denne definisjonen er det ikke spesifisert om polynomene i telleren og nevneren til den rasjonelle fraksjonen skal være polynomer av standardformen eller ikke. Derfor antar vi at i registreringene av rasjonelle fraksjoner kan finnes både polynomer av standardarter og ikke standard.

Vi gir noen få eksempler på rasjonelle fraksjoner. Så, x / 8 og - Rasjonelle fraksjoner. Og fraci. Og de er ikke egnet for den voiced-definisjonen av rasjonell fraksjon, siden i den første av dem i telleren er det ikke et polynom, men i det andre og i telleren og i nevneren er uttrykk som ikke er polynomiske.

Transformasjon av telleren og denominatoren for rasjonell fraksjon

Telleren og denominatoren til enhver fraksjon er selvforsynte matematiske uttrykk, i tilfelle av rasjonelle fraksjoner, er disse polynomene, i det spesielle tilfellet - er ubebodd og tall. Derfor, med en teller og nevner for rasjonell fraksjon, som med ethvert uttrykk, kan utføres identiske konverteringer. Med andre ord kan uttrykket i den rasjonelle fraksjonen telleren erstattes av et identisk uttrykk som er lik det, så vel som nevneren.

I telleren og nevneren av rasjonell fraksjon kan identiske konverteringer utføres. For eksempel, i telleren kan du utføre en gruppering og bringe lignende vilkår, og i nevneren - erstattet produktet av flere tall det med en verdi. Og siden telleren og denominatoren til rasjonell fraksjon er polynomene, så med dem kan du også utføre og karakteristiske for polynomene i transformasjonen, for eksempel å bringe til en standardform eller representasjon i form av et stykke.

For klarhet, vurder løsninger på flere eksempler.

Eksempel.

Konvertere rasjonell fraksjon Slik at polynomet er et polynom av en standard arter i telleren, og i nevneren - produktet av polynomene.

Beslutning.

Opprettelsen av rasjonelle fraksjoner til en ny nevner er hovedsakelig brukt når man legger til og subtraherer rasjonelle fraksjoner.

Bytte skilt før brøkdel, så vel som i sin numeriske og nevner

Hovedegenskapen til fraksjonen kan brukes til å endre tegnene fra medlemmene av brøkdelen. Faktisk er multiplikasjonen av telleren og nevneren til den rasjonelle fraksjonen på -1 ekvivalent med endringen av deres tegn, og resultatet er en brøkdel, identisk lik dette. Det er ofte nødvendig å kontakte denne transformasjonen når de jobber med rasjonelle fraksjoner.

Således, hvis du samtidig endrer skiltene i telleren og denominatoren til fraksjonen, vil den vise ut av fraksjonen som er lik den opprinnelige. Likestilling er ansvarlig for denne utsagnet.

La oss gi et eksempel. Den rasjonelle fraksjonen kan erstattes av identisk lik fraksjonen med de endrede tegnene på telleren og nevnen til arten.

Med fraksjoner kan en mer identisk konvertering utføres der tegnet endres enten i telleren eller i nevneren. La oss stemme den aktuelle regelen. Hvis du bytter ut fraksjonskiltet sammen med tallet til tallet eller nevnen, vil den vise seg til fraksjonen, identisk lik kilden. Registrert erklæring samsvarer med likestilling og.

Å bevise at disse likestillingen ikke er vanskelig. Beviset er basert på multiplikasjonsegenskapene til tall. Vi bevise den første av dem :. Ved hjelp av lignende transformasjoner er likestilling vist.

For eksempel kan brøkdelen erstattes av uttrykk eller.

Som konklusjon av dette avsnittet gir vi to mer nyttige likestilling og. Det vil si, hvis du bare endrer tegnet i telleren eller bare av nevnen, vil fraksjonen endre tegnet. For eksempel, og .

Betraktet transformasjoner som gjør at du kan endre skiltet i brøkdelene, gjelder ofte når du konverterer fraksjonelle rasjonelle uttrykk.

Redusere rasjonelle fraksjoner

I hjertet av følgende transformasjon av rasjonelle fraksjoner som har en reduksjon av rasjonelle fraksjoner, er også den viktigste egenskapen til brøkdelen. Denne transformasjonen tilsvarer likestilling hvor A, B og C er noen polynomier, og B og C - nonzero.

Fra den oppgitte likestilling blir det klart at reduksjonen av den rasjonelle fraksjonen innebærer avhending av totalfaktoren i sin teller og nevner.

Eksempel.

Redusere den rasjonelle fraksjonen.

Beslutning.

En generell multiplikator 2 er synlig, vi vil utføre en reduksjon på den (når opptak, generelle faktorer som er redusert, praktisk å krysse ut). Ha . Siden x 2 \u003d x · x og y 7 \u003d y 3 · y 4 (se om nødvendig), er det klart at X er en vanlig multiplikator av telleren og denominatoren til den resulterende fraksjon, som Y 3. Vi vil redusere disse faktorene: . Denne reduserte reduksjonen.

Over, har vi redusert den rasjonelle fraksjonen konsekvent. Og det var mulig å redusere reduksjonen i ett trinn, og umiddelbart redusere fraksjonen med 2 · x · y 3. I dette tilfellet vil løsningen se slik ut: .

Svar:

.

Med en reduksjon i rasjonelle fraksjoner er hovedproblemet at den totale multiplikatoren av telleren og nevnen ikke alltid er synlig. Dessuten eksisterer det ikke alltid. For å finne en felles faktor eller sørg for at det ikke er nødvendig for en teller og nevner for rasjonell brøkdel å dekomponere på multiplikatorer. Hvis det ikke er vanlig faktor, trenger den første rasjonelle fraksjonen ikke en reduksjon, ellers er det en reduksjon.

I ferd med reduksjon av rasjonelle fraksjoner kan det forekomme forskjellige nyanser. De viktigste finessene på eksemplene og i detaljene demonteres i artikkelen som reduserer algebraiske fraksjoner.

Ved å fullføre samtalen om reduksjonen av rasjonelle fraksjoner, merker vi at denne transformasjonen er identisk, og hovedkompleksiteten i sin oppførsel er å dekomponere polynomene i telleren og denominatoren.

Representasjon av rasjonell fraksjon i form av mengden av fraksjoner

Ganske spesifikk, men i noen tilfeller svært nyttig, viser det seg å forvandle en rasjonell fraksjon, som består i sin representasjon som en sum av flere fraksjoner, eller summen av hele uttrykket og fraksjonen.

Den rasjonelle fraksjonen, i telleren som det er et polynom, som er en sum av flere universioner, kan alltid skrives som mengden fraksjoner med de samme nevnte nevner, i hvis teller er passende. For eksempel, . En slik innsending forklares av addisjonsregelen og subtraherer algebraiske fraksjoner med samme nevner.

Generelt kan enhver rasjonell fraksjoner være representert som en brøkdel av en rekke forskjellige måter. For eksempel kan fraksjonen A / B være representert som summen av to fraksjoner - vilkårlig fraksjoner C / D og brøkdel, lik forskjellen Fraksjoner A / B og C / D. Denne erklæringen er rettferdig, da det er likestilling . For eksempel kan en rasjonell fraksjoner være representert som en sum av fraksjoner på forskjellige måter: Tenk den første fraksjonen i form av summen av hele uttrykket og fraksjonen. Etter å ha dividere telleren til nevneren, får vi likestilling . Verdien av uttrykket N 3 +4 for alle n er et heltall. Og fraksjonsverdien er et heltall enn og bare hvis dens nevner er 1, -1, 3 eller -3. Disse verdiene tilsvarer henholdsvis n \u003d 3, n \u003d 1, n \u003d 5 og n \u003d -1.

Svar:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografi.

• Algebra: studier. For 8 cl. allmennutdanning. institusjoner / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. NESHKOV, S. B. SUVOROV]; Ed. S. A. TELIKOVSKY. - 16. Ed. - M.: Opplysning, 2008. - 271 s. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. klasse. I 2 ts. 1. Tutorial for studenter av generelle utdanningsinstitusjoner / A. Mordkovich. - 13. Ed., Act. - M.: MNEMOZINA, 2009. - 160 p.: IL. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. klasse. I 2 ts. 1. Tutorial for studenter av generelle utdanningsinstitusjoner / A. Mordkovich. - 11. Ed., Ched. - M.: MNEMOZINA, 2009. - 215 s.: IL. ISBN 978-5-346-01155-2.
• GUSEV V. A., Mordkovich A. G. Matematikk (fordel for søkere i tekniske skoler): Studier. nytte. - m.; Høyere. Shk., 1984.-351 p., Il.