Finn området av parallellogrammet på sidene. Firkantet pollogram
Hva er et parallellogram? Parallellogrammet kalles en kvadrilateral som har motsatte sider parallar.
1. Området på parallellogrammet beregnes med formelen:
\\ [\\ Stor s \u003d a \\ cdot h_ (a) \\]
hvor:
A - side av parallellogrammet,
H A er høyden utført til denne siden.
2. Hvis lengden på to tilstøtende sider av parallellogrammet og vinkelen mellom dem er kjent, beregnes det parallellogramområdet med formelen:
\\ [\\ Stor s \u003d a \\ cdot b \\ cdot sin (\\ alpha) \\]
3. Hvis diagonal parallellogram er satt og vinkelen er kjent mellom dem, beregnes parallellogramområdet med formelen:
\\ [\\ Stor s \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot d_ (1) \\ cdot d_ (2) \\ cdot sin (\\ alpha) \\]
Egenskaper av parallellogram
I parallellogrammet er de motsatte retninger like: \\ (ab \u003d cd \\), \\ (bc \u003d ad \\)
I parallellogrammet er motsatte vinkler like: \\ (\\ Angle A \u003d \\ Angle C \\), \\ (\\ Angle B \u003d \\ Angle D \\)
Diagonalen til parallellogrammet i krysset er delt med halvparten \\ (AO \u003d OC \\), \\ (BO \u003d OD \\)
Diagonalen til parallellogrammet deler det i to like trekanter.
Summen av vinklene i parallellogrammet, ved siden av den ene siden lik 180 o:
\\ (\\ Angle A + \\ Angle B \u003d 180 ^ (o) \\), \\ (\\ vinkel B + \\ Anle C \u003d 180 ^ (o) \\)
\\ (\\ Angle C + \\ Angle D \u003d 180 ^ (o) \\), \\ (\\ Angle D + \\ Angle A \u003d 180 ^ (o) \\)
Diagonalene og siden av parallellogrammet er forbundet med følgende forhold:
\\ (D_ (1) ^ (2) + D_ (2) ^ 2 \u003d 2a ^ (2) + 2b ^ (2) \\)
I et parallellogram er vinkelen mellom høyder lik det akutte hjørnet: \\ (\\ Angle K B H \u003d \\ Angle A \\).
Bisektoren i vinklene ved siden av den ene siden av parallellogrammet er gjensidig vinkelrett.
Bisctrix av to motsatte hjørner av parallellogrammet er parallelle.
Tegn på parallellogram
Quadrilateral vil være et parallellogram hvis:
\\ (Ab \u003d cd \\) og \\ (ab || cd \\)
\\ (Ab \u003d cd \\) og \\ (bc \u003d ad \\)
\\ (Ao \u003d oc \\) og \\ (bo \u003d od \\)
\\ (\\ Angle A \u003d \\ Angle C \\) og \\ (\\ Angle B \u003d \\ Angle D \\)
JavaScript er deaktivert i nettleseren din.For å gjøre beregninger, må du løse elementene i ActiveX!
Utgangen fra området av parallellogrammet er redusert til konstruksjonen av et rektangel som tilsvarer dette parallellogrammet i området. Vi tar den ene siden av parallellogrammet for basen, og den vinkelrett, utført fra et hvilket som helst punkt på motsatt side til en rett linje, som inneholder basen, vil bli kalt en parallellogramhøyde. Deretter vil området av parallellogrammet være lik produktet av basen til høyde.
Theorem.Området på parallellogrammet er lik produktet av basen til høyde.
Bevis. Vurder parallellogrammer med et område. La oss møte basen og utføre høyden (figur 2.3.1). Det er nødvendig å bevise det.
Figur 2.3.1.
Vi viser først at området av rektangelet også er like. Trapezion er laget av et trekant parallellogram. På den annen side består den av et rektangel av NVCC og en trekant. Men rektangulære trekanter er lik hypotenuse og akutt vinkel (deres hypothenuisaer, som motsatte sider, parallellogrammet, og vinklene 1 og 2 er lik både respektive vinkler når de krysser parallelt direkte), slik at de er like. Følgelig er området av parallellogrammet til rektangelet lik, det vil si at området er rektangel. Av rektangelområdet teorem, men siden da.
Teorem er bevist.
Eksempel 2.3.1.
I en rhombus med en fest og et skarpt hjørne er en sirkel innskrevet. Bestem området på Quadriller, hvis hjørner er poenget med å røre sirkelen med sidene av rhombusen.
Beslutning:
Radiusen som er innskrevet i sirkelenes rhombus (figur 2.3.2), siden det quadrikulære rektangelet, siden vinklene er basert på sirkelens diameter. Hans område, hvor (katat ligger mot vinkelen) ,. 
Figur 2.3.2.
Så, 
Svar:
Eksempel 2.3.2.
Danzh, diagonalen som er 3 cm og 4 cm. Fra toppen av den dumme vinkelen ble et tranny-område tatt
Beslutning:
Roma-området (figur 2.3.3).
Så, 
Svar:
Eksempel 2.3.3.
Området i quadril er lik å finne området av parallellogrammet, hvor sidene er like og parallelle med kvadrilens diagonaler.
Beslutning:
Siden både (figur 2.3.4), så parallellogrammer og, betyr det.
Figur 2.3.4.
På samme måte kommer vi fra hvor det følger det.
Svar:.
2,4 Triangle Square
Det er flere formler for å beregne trekantområdet. Vurdere de som studeres på skolen.
Den første formelen strømmer ut av formelen i forurensningsområdet og tilbys av studenter i form av theorem.
Theorem. Trekantenes område er lik halvparten av arbeidet med sin base til høyde.
Bevis. La - området av trekanten. La oss møte bunnen av trekanten og tilbringe høyden. Vi bevise at:
Figur 2.4.1.
Thunderstand triangelen til parallellogrammet, som vist på figuren. Triangler på tre sider (- deres felles parti, og de motsatte sider av parallelle gram), derfor er deres firkant like. Følgelig er området S ABS-trekanten er lik halvparten av parallellogrammet, dvs. 
Teorem er bevist.
Det er viktig å tegne elevene oppmerksomheten til to konsekvenser som oppstår som følge av denne theorem. Nemlig:
område rektangulær trekant Det er halvparten av sitt katets arbeid.
hvis høyden på to trekanter er like, tilhører deres områder som grunnlag.
Disse to konsekvensene spiller viktig rolle I å løse en annen form for oppgaver. Med en støtte for dette, er en annen teorem vist, som har utbredt bruk når man løser problemer.
Theorem. Hvis vinkelen til en trekant er lik vinkelen til en annen trekant, er deres områder relatert som fester i like vinkler.
Bevis. La gjenstandene til trekantene som er kulert.
Figur 2.4.2.
Vi bevise at: 
.
Ta en trekant. På trekantet å topp opp med topp og fester, henholdsvis på Lucia.
Figur 2.4.3.
Triangles har derfor en total høyde. Triangles har en total høyde - derfor. Multiplisere likestilling oppnådd, vi får 
.
Teorem er bevist.
Andre formel.Trekantområdet er lik halvparten av to sider på sine av hjørnet mellom dem. Det er flere måter å bevise denne formelen, og jeg vil vant en av dem.
Bevis.Fra den geometri som kjente teoremen om at området av trekanten er lik halvparten av produktet av basen for høyde, senkes til denne basen:
I tilfelle en akutt trekant. I tilfelle kjedelig vinkel. Ho, og derfor 
. Så, i begge tilfeller. Ved å erstatte en triangelfirkant i den geometriske formelen, får vi den trigonometriske formelen i trekantområdet:
Teorem er bevist.
Tredje formel For trekantområdet er formelen i Geron, oppkalt etter den gamle greske forskeren Gerona Alexandrian, som bodde i det første århundre i vår tid. Denne formelen lar deg finne området av trekanten, og kjenne den. Det er praktisk fordi det lar deg gjøre noen ekstra konstruksjoner og ikke måle hjørnene. Dens konklusjon er basert på den andre vi betraktet formlene i trekantenes område og cosine theorem: og.
Før vi går videre til implementeringen av denne planen, merker vi det
På samme måte har vi:
Nå vil vi uttrykke cosine gjennom og:
Siden en vinkel i trekanten er større og mindre, da. Det betyr 
.
Nå forvandler vi hver av faktorene i det guoked-uttrykket. Vi har:
Ved å erstatte dette uttrykket i formelen for området, får vi:
Emnet "torget av trekanten" er av stor betydning i skolens kurs i matematikk. Triangelen er den enkleste av geometriske former. Det er et "strukturelt element" av skole geometri. Det overveldende flertallet av geometriske oppgaver reduseres til å løse trekanter. Ikke et unntak og oppgave å finne området av høyre og vilkårlig n-parlament.
Eksempel 2.4.1.
Hva er et rettferdig trekantområde, hvis basen og sidesiden?
Beslutning:
-likebent,
Figur 2.4.4.
Vi utfører eiendommen til en likevekts trekant - median og høyde. Deretter 
I Pythagores teorem:
Vi finner området av trekanten:
Svar:
Eksempel 2.4.2.
I den rektangulære trekanten av bisektor av en akutt vinkel deler den motsatte catt på segmentene på 4 og 5 cm. Bestem området av trekanten.
Beslutning:
La (figur 2.4.5). Da (siden BD - bisektor). Herfra har du 
, dvs. Det betyr
Figur 2.4.5.
Svar: 
Eksempel 2.4.3.
Finn et rettferdig trekantområde hvis basen er lik, og lengden på høyden som utføres til basen, er lik lengden på segmentet som forbinder midten av basen og siden.
Beslutning:
Etter betingelse, midtlinjen (figur 2.4.6). Så hva du liker:
eller 
På suksess, 
Før du vet hvordan du finner et parallellogramområde, må vi huske hva et parallellogram er og det som kalles det høyt. Parallellogrammet er en quadrangle, de motsatte sider er parallelle parallelle (løgn på parallelle rette linjer). Vinkelrett, utført fra et vilkårlig punkt på motsatt side til en direkte, som inneholder denne siden kalt en parallellogram høyde.
Firkantet, rektangel og rhombus er spesielle tilfeller av et parallellogram.
Området på parallellogrammet er angitt som (e).
Formler som finner området av parallellogrammet
S \u003d A * H, hvor A er basen, H er høyden som utføres til basen.
S \u003d A * B * Sina, hvor A og B er basen, og α er vinkelen mellom basene A og B.
S \u003d P * R, hvor P er en halvmåler, R er radiusen til sirkelen som er skrevet i parallellogrammet.
Området av parallellogrammet, som dannes av vektorer A og B er lik modulen av produktet av de angitte vektorer, nemlig:
Tenk på eksempel # 1: Dan pollogram, som er 7 cm, og høyden er 3 cm. Hvordan finne et parallellogramområde, formelen for å løse vi trenger.
Således, s \u003d 7x3. S \u003d 21. Svar: 21 cm 2.
Tenk på eksempel # 2: Basene på 6 og 7 cm er gitt, og vinkelen mellom basene på 60 grader er gitt. Hvordan finne et parallellogramområde? Formelen som brukes til å løse:
Dermed finner vi først bihulevinkelen. Sinus 60 \u003d 0,5, henholdsvis S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Svar: 21 cm 2.
Jeg håper disse eksemplene vil hjelpe deg når du løser oppgaver. Og husk, det viktigste er kunnskap om formler og oppmerksomhet.
Når du løser oppgaver på dette emnet, unntatt grunnleggende egenskaper parallellogram Og de tilsvarende formlene kan huskes og påføres som følger:
- Bissectrice av det indre hjørnet parallellogrammet kutter av fra det en rettferdig trekant
- Inner vinkler bisektorer ved siden av en side parallellogram gjensidig vinkelrett
- Bissectrix, som kommer fra motsatte indre vinkler, parallellogram, parallelt med hverandre eller ligger på en rett linje
- Summen av firkantene av diagonalene til parallellogrammet er lik summen av firkantene på sidene
- Området i parallellogrammet er lik halvparten av diagonalens arbeid på sinushjørnet mellom dem
Vurder oppgavene når de løser disse egenskapene.
Oppgave 1.
Bistigheten i vinkelen med parallellogrammet av AVD krysser siden av annonsen på punktet M og fortsettelsen av siden av AV Per Point A på punktet E. Finn omkretsen av parallellogrammet hvis AE \u003d 4, DM \u003d 3.
Beslutning.
1. Trekantskyggen er en ledet. (Eiendom 1). Derfor, CD \u003d MD \u003d 3 cm.
2. Triangle Eam er en forutgående.
Følgelig, AE \u003d AM \u003d 4 cm.
3. AD \u003d AM + MD \u003d 7 cm.
4. Perimeter ABSD \u003d 20 cm.
Svar. 20 cm.
Oppgave 2.
I den konvekse fire-triggeren ble AVD-diagonal utført. Det er kjent at torget i trianglene til AVD, ACD, ADD er lik. Bevis at denne Quadril er et parallellogram.
Beslutning.
1. La være - høyden på AVD-trekanten, jfr er høyden på ACD-trekanten. Siden, ifølge tilstanden til oppgaven med trekantens område, har de også en felles base av annonse, så er høyden på disse trekantene like. Ve \u003d jfr
2. VE, CF vinkelrett på AD. Poeng i og fra er plassert på den ene siden i forhold til direkte annonsen. Ve \u003d jfr Følgelig, den direkte solen || AD. (*)
3. La Al - Høyden på ACD Triangle, BK - Høyden på BCD-trekanten. Siden, ifølge tilstanden til oppgaven med trekanter, har de også en generell base av CD, så er høyden på disse trekantene like. Al \u003d bk.
4. Al og BK vinkelrett på CD. Poeng i og A ligger på den ene siden i forhold til den rette CDen. Al \u003d bk. Følgelig direkte AV || CD (**)
5. Fra forholdene (*), (**) strømmer - AVD parallellogrammer.
Svar. Bevist. AVD - parallellogram.
Oppgave 3.
På sidene av flyet og CDen, er parallellogrammet til ASSDS-ABSD-punktet M og H, slik at segmentene av VM og HD skjærer ved punktet O;<ВМD = 95 о,
Beslutning.
1. I Triangle Dom<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. I den rektangulære trekanten DNS Deretter<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Men CD \u003d AV. Så AV: ND \u003d 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Svar: AV: HD \u003d 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Oppgave 4. En av diagonalene til parallellogrammet med lengde på 4,6 er basert på en vinkel på 60 o, og den andre diagonal er med samme basisvinkel 45 o. Finn den andre diagonalen. Beslutning.
1. AO \u003d 2√6. 2. Til trekantet AOD Påfør SINUES SINUES. JSC / SIN D \u003d OD / SIN A. 2√6 / SIN 45 O \u003d OD / SIN 60 O. Od \u003d (2√6sin 60 o) / SIN 45O \u003d (2√6 · √3 / 2) / (√2 / 2) \u003d 2√18 / √2 \u003d 6. Svar: 12.
Oppgave 5. Parallellogrammet med partene 5√2 og 7.2, er den mindre vinkelen mellom diagonalene lik et mindre hjørne av parallellogrammet. Finn summen av lengden av diagonaler. Beslutning.
La D 1, D 2 - Diagonalt parallellogrammet, og vinkelen mellom diagonalene og den mindre vinkelen til parallellogrammet er lik f. 1. telle to forskjellige S abcd \u003d ab · ad · synd a \u003d 5√2 · 7√2 · sin f, S ABCD \u003d 1/2 AS · CD · SIN AOS \u003d 1/2 · D 1 D 2 SIN F. Vi får likestilling 5√2 · 7√2 · SIN F \u003d 1/2D 1 D 2 SIN F ELLER 2 · 5√2 · 7√2 \u003d D 1 D 2; 2. Bruk av forholdet mellom partene og diagonalene til parallellogrammet vil installere likestilling (AB 2 + AD 2) · 2 \u003d AC 2 + CD 2. ((5√2) 2 + (7.2) 2) · 2 \u003d D 1 2 + D 2 2. d 1 2 + D 2 2 \u003d 296. 3. Lag et system: (D 1 2 + D 2 2 \u003d 296, Multipliser den andre ligningen av systemet på 2 og foldes med den første. Vi oppnår (D 1 + D 2) 2 \u003d 576. Derav ID 1 + D 2 I \u003d 24. Siden D 1, D 2 - lengden på diagonalene til parallellogrammet, så D 1 + D 2 \u003d 24. Svar: 24.
Oppgave 6. Sider parallellogram 4 og 6. Det skarpe hjørnet mellom diagonalene er 45 o. Finn pollogramområdet. Beslutning.
1. Fra trekanten AOS, ved hjelp av cosine theorem, skriver vi forholdet mellom siden av parallellogrammet og diagonalene. AB 2 \u003d AO 2 + i 2 2 · JSC · COS AOS. 4 2 \u003d (D 1/2) 2 + (D 2/2) 2 - 2 · (D 1/2) · (D 2/2) COS 45 O; d 1 2/4 + D 2 2/4 - 2 · (D 1/2) · (D 2/2) √2 / 2 \u003d 16. d 1 2 + D 2 2 - D 1 · D 2 √2 \u003d 64. 2. På samme måte skriv ned forholdet for AOD-trekanten. Vi tar hensyn til hva<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Vi får ligningen D 1 2 + D 2 2 + D 1 · D 2 √2 \u003d 144. 3. Vi har systemet Overlevd fra den andre ligningen først, oppnår vi 2D 1 · D 2 √2 \u003d 80 eller d 1 · D 2 \u003d 80 / (2√2) \u003d 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AS · CD · SIN AOS \u003d 1/2 · D1 D2 SIN α \u003d 1/2 · 20√2 · √2 / 2 \u003d 10. Merk: I dette og i det forrige problemet er det ikke nødvendig å løse et fullt system, forutsetter at vi trenger et produkt av diagonaler i denne oppgaven for å beregne området. Svar: 10. Oppgave 7. Området på parallellogrammet er lik 96, og partene er 8 og 15. Finn kvadratet av den minste diagonalen. Beslutning.
1. S ABCD \u003d AV · AD · SIN VAD. Lag en substitusjon i formelen. Vi får 96 \u003d 8 · 15 · SIN VAD. Dermed synd vad \u003d 4/5. 2. Finn COS WD. SIN 2 VAD + COS 2 WD \u003d 1. (4/5) 2 + COS 2 WD \u003d 1. COS 2 WD \u003d 9/25. Ved betingelsen av problemet finner vi lengden på en mindre diagonal. BD-diagonalen vil være mindre hvis vinkelen er skarp. Så cos wad \u003d 3/5. 3. Fra AVD-trekanten på Cosine theorem vil finne torget i VD-diagonalen. CD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 · AV · CD · COS WAD. CD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 · 8 · 15 · 3/5 \u003d 145. Svar: 145.
Har spørsmål? Vet ikke hvordan du skal løse det geometriske problemet? nettstedet, med full eller delvis kopiering av materialreferansen til den opprinnelige kilden er nødvendig. Formel for firkantet parallellogram Området på parallellogrammet er lik produktet av sin side til høyden, senket på denne siden. Bevis Hvis parallellogrammet er et rektangel, blir likestrekningen laget av rektangelområdet teoret. Deretter tror vi at hjørnene på parallellogrammet ikke er direkte. La $ vinkle $ \\ vinkel dårlig $ akutt og $ ad\u003e ab $. Ellers omdanner vi vertices. Så høyden på $ BH $ fra toppen $ B $ til å lede $ ad $ faller til siden av $ ad $, som cattat $ ah $ kortere hypotenuse $ ab $, og $ ab ab< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. Sammenlign området på $ ABCD $ parallellogram og $ HBCK $ rektangelområdet. Det parallellogramområdet er større på området på $ \\ Triangle ABH $, men mindre på området på $ \\ Triangle DCK $. Siden disse trekantene er like, så er kvadratet likeverdig. Så er området av parallellogrammet lik torget av rektangelet med siden av siden til siden og høyden på parallellogrammet. Formel for firkantet parallellogram gjennom side og bihule Området på parallellogrammet er lik produktet av nærliggende sider til hjørnet sinus mellom dem. Bevis $ ABCD $ parallellogram Høyde, senket til $ ab $ side er lik et stykke $ BC $ segment på en $ \\ vinkel angc $ vinkel. Det gjenstår å anvende den forrige uttalelsen. Formel for firkantet parallellogram via diagonal Området på parallellogrammet er lik halvparten av diagonaler på sinushjørnet mellom dem. Bevis La diagonalen av $ ABCD $ parallellogram krysset på $ O $s punkt på $ \\ alpha $. Deretter $ Ao \u003d OC $ og $ BO \u003d OD $ for egenskapen til parallellogrammet. Bihules av hjørnene, i mengden $ 180 ^ \\ curc $ er lik, $ \\ vinkel aob \u003d \\ vinkel torsk \u003d 180 ^ \\ circ - \\ vinkel boc \u003d 180 ^ \\ circ - \\ vinkel AOD $. Så, erisene av vinkler med skjæringspunktet mellom diagonaler lik $ \\ sin \\ alpha $. $ S_ (ABCD) \u003d S _ (\\ Triangle AOB) + S _ (\\ Triangle BOC) + S _ (\\ Triangle COD) + S _ (\\ Triangle AOD) $ i henhold til måleområdets aksiom. Påfør formelen av trekantområdet $ S_ (ABC) \u003d \\ DFRAC (1) (2) \\ CDOT AB \\ CDOT BC \\ SIN \\ angc $ for disse trekanter og vinkler når du krysser diagonaler. Sidene av hver er lik halvparten av diagonalene, er sines også like. Følgelig er området av alle fire trekanter lik $ s \u003d \\ dfrac (1) (2) \\ cdot \\ dfrac (AC) (2) \\ cdot \\ dfrac (bd) (2) \\ cdot \\ sin \\ alpha \u003d \\ Dfrac (AC \\ cdot bd) (8) \\ sin \\ alpha $. Summering alt ovenfor, vi får $ S_ (ABCD) \u003d 4S \u003d 4 \\ CDOT \\ DFRAC (AC \\ CDOT BD) (8) \\ SIN \\ Alpha \u003d \\ DFRAC (AC \\ CDOT BD \\ CDOT \\ SIN \\ Alpha) (2) $
(
(Siden i en rektangulær trekantatat, som ligger mot en vinkel på 30 o, er lik halvparten av hypotenuse).
måter til sitt område.
(D 1 + D 2 \u003d 140.
(D 1 2 + D 2 2 - D 1 · D 2 √2 \u003d 64,
(D 1 2 + D2 2 + D 1 · D 2 √2 \u003d 144.
For å få hjelp til å få hjelp - registrer deg.
Den første leksjonen er gratis!
