Hvordan bygge en parabel? Hva er en parabel? Hvordan løses andregradsligninger? Funksjoner og grafer Egenskaper til funksjonen ax2 bx c.

Sammendrag av en leksjon i algebra for 8. klasse på en ungdomsskole

Leksjonsemne: Funksjon

Hensikten med leksjonen:

Pedagogisk: definer konseptet med en kvadratisk funksjon av formen (sammenlign grafene til funksjoner og), vis formelen for å finne koordinatene til toppunktet til en parabel (lær hvordan du bruker denne formelen i praksis); å danne evnen til å bestemme egenskapene til en kvadratisk funksjon på en graf (finne symmetriaksen, koordinatene til toppunktet til en parabel, koordinatene til skjæringspunktene til grafen med koordinataksene).

Utvikle: utvikling av matematisk tale, evnen til å uttrykke tankene dine korrekt, konsekvent og rasjonelt; utvikle ferdighetene til å skrive en matematisk tekst riktig ved hjelp av symboler og notasjoner; utvikling av analytisk tenkning; utvikling av elevenes kognitive aktivitet gjennom evne til å analysere, systematisere og generalisere materiale.

Pedagogisk: utdanning av uavhengighet, evnen til å lytte til andre, dannelsen av nøyaktighet og oppmerksomhet i skriftlig matematisk tale.

Leksjonstype: lære nytt materiale.

Læringsmetoder:

generalisert reproduktiv, induktiv heuristikk.

Krav til kunnskap og ferdigheter til elever

vite hva en kvadratisk funksjon av formen, formelen for å finne koordinatene til toppunktet til en parabel; å kunne finne koordinatene til parabelens toppunkt, koordinatene til skjæringspunktene til grafen til funksjonen med koordinataksene, for å bestemme egenskapene til den kvadratiske funksjonen fra grafen til funksjonen.

Utstyr:

Timeplan

Organisasjonsøyeblikk (1–2 min)

Kunnskapsoppdatering (10 min)

Presentasjon av nytt materiale (15 min)

Sikring av nytt materiale (12 min)

Oppsummering (3 min)

Lekser (2 min)

I løpet av timene

Organisering av tid

Hilsen, sjekke for fravær, samle notatbøker.

Kunnskapsoppdatering

Lærer: I dagens leksjon skal vi lære et nytt emne: "Funksjon". Men først, la oss gjenta det tidligere studerte materialet.

Frontal meningsmåling:

Hva kalles en kvadratisk funksjon? (En funksjon der gitte reelle tall,, reell variabel, kalles en kvadratisk funksjon.)

Hva er en kvadratisk funksjonsgraf? (Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel.)

Hva er nullpunktene til en kvadratisk funksjon? (Nullene til en kvadratisk funksjon er verdiene der den forsvinner.)

List opp egenskapene til funksjonen. (Verdiene til funksjonen er positive ved og lik null ved; grafen til funksjonen er symmetrisk med hensyn til ordinatenes akser; ved funksjonen øker, ved - minker.)

List opp egenskapene til funksjonen. (Hvis, så tar funksjonen positive verdier ved, hvis, så tar funksjonen negative verdier ved, verdien av funksjonen er bare 0; parabelen er symmetrisk om ordinaten; hvis, så øker funksjonen ved og reduseres ved, hvis, så øker funksjonen ved, avtar - ved .)

Presentasjon av nytt materiale

Lærer: La oss begynne å lære nytt materiale. Åpne notatbøkene dine, skriv ned nummeret og emnet for leksjonen. Vær oppmerksom på tavlen.

Tavleskrift: Nummer.

Funksjon.

Lærer: På tavlen ser du to grafer over funksjoner. Den første er grafen og den andre. La oss prøve å sammenligne dem.

Du kjenner egenskapene til funksjonen. Basert på dem, og ved å sammenligne grafene våre, kan vi fremheve egenskapene til funksjonen.

Så hva tror du retningen til grenene til parablen vil avhenge av?

Elever: Retningen til grenene til begge parablene vil avhenge av koeffisienten.

Lærer: Helt riktig. Du kan også legge merke til at begge parablene har en symmetriakse. Den første grafen til funksjonen, hva er symmetriaksen?

Elever: For en parabel av et syn er symmetriaksen ordinaten.

Lærer: Rett. Og hva er symmetriaksen til parablen

Elever: Symmetriaksen til en parabel er linjen som går gjennom toppen av parabelen, parallelt med ordinaten.

Lærer: Rett. Så symmetriaksen til grafen til funksjonen vil bli kalt linjen som går gjennom toppunktet til parablen, parallelt med ordinataksen.

Og toppunktet til parabelen er punktet med koordinatene. De bestemmes av formelen:

Skriv formelen ned i en notatbok og sett den inn.

Skriving på tavle og i notatbøker

Koordinatene til toppunktet til parabelen.

Lærer: Nå, for å gjøre det klarere, la oss se på et eksempel.

Eksempel 1: Finn koordinatene til toppunktet til en parabel .

Løsning: Etter formel

Lærer: Som vi allerede har lagt merke til, går symmetriaksen gjennom toppen av parabelen. Se på skrivebordet. Tegn denne tegningen i notatboken.

Skrive på tavlen og i notatbøker:

Lærer: På tegningen: - ligningen for symmetriaksen til en parabel med apex på punktet der abscissen til parabelens toppunkt.

La oss se på et eksempel.

Eksempel 2: Fra grafen til funksjonen bestemmer du ligningen for symmetriaksen til en parabel.

Ligningen for symmetriaksen har formen: derfor ligningen for symmetriaksen til den gitte parabelen.

Svar: - ligningen for symmetriaksen.

Sikring av nytt materiale

Lærer: Det er oppgaver på tavla som skal løses i timen.

Skriving i styret: nr. 609 (3), 612 (1), 613 (3)

Lærer: Men først, la oss løse et eksempel som ikke er fra læreboken. Vi bestemmer på tavlen.

Eksempel 1: Finn koordinatene til toppunktet til en parabel

Løsning: Etter formel

Svar: koordinatene til toppunktet til parablen.

Eksempel 2: Finn koordinatene til skjæringspunktene til en parabel med koordinatakser.

Løsning: 1) Med akse:

De.

Etter Vietas teorem:

Skjæringspunktene med abscisseaksen (1; 0) og (2; 0).

Tenk på et uttrykk på formen ax 2 + bx + c, der a, b, c er reelle tall, og er forskjellige fra null. Dette matematiske uttrykket er kjent som kvadrattrinomialet.

Husk at akse 2 er det ledende leddet i dette kvadratiske trinomialet, og er dets ledende koeffisient.

Men kvadrattrinomialet har ikke alltid alle tre ledd. Ta for eksempel uttrykket 3x 2 + 2x, der a = 3, b = 2, c = 0.

Vi går over til den kvadratiske funksjonen y = ax 2 + bx + c, hvor a, b, c er alle vilkårlige tall. Denne funksjonen er kvadratisk, siden den inneholder et ledd av andre grad, det vil si x i annen.

Det er ganske enkelt å plotte en kvadratisk funksjon, for eksempel kan du bruke metoden for valg av full kvadrat.

Tenk på et eksempel på å plotte en funksjon y er lik -3x 2 - 6x + 1.

For å gjøre dette er det første vi husker ordningen for å tildele et komplett kvadrat i trinomialet -3x 2 - 6x + 1.

Ta -3 ut av parentesene for de to første leddene. Vi har -3 multiplisert med summen av x kvadrat pluss 2x og legger til 1. Legger vi til og trekker fra en i parentes, får vi en formel for kvadratet av summen, som kan kollapses. Vi får -3 multiplisert med summen (x + 1) i annen minus 1 legg til 1. Ved å utvide parentesene og gi lignende ledd, får vi uttrykket: -3 multiplisert med kvadratet av summen (x + 1) legg til 4.

La oss bygge en graf av den resulterende funksjonen, og gå videre til hjelpekoordinatsystemet med origo i punktet med koordinatene (-1; 4).

På bildet fra videoen er dette systemet indikert med stiplede linjer. La oss binde funksjonen y er lik -3x 2 til det konstruerte koordinatsystemet. La oss ta kontrollpunkter for enkelhets skyld. For eksempel (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12). Samtidig vil vi utsette dem i det konstruerte koordinatsystemet. Den resulterende parabelen er grafen vi trenger. På bildet er det en rød parabel.

Ved å bruke metoden for å isolere et komplett kvadrat, har vi en kvadratisk funksjon av formen: y = a * (x + 1) 2 + m.

Grafen til parablen y = ax 2 + bx + c kan enkelt fås fra parabelen y = ax 2 ved parallell translasjon. Dette bekreftes av et teorem som kan bevises ved å velge hele kvadratet til binomialet. Uttrykket ax 2 + bx + c etter suksessive transformasjoner blir til et uttrykk på formen: a * (x + l) 2 + m. La oss tegne en graf. La oss utføre en parallell bevegelse av parabelen y = akse 2, og justere toppunktet med et punkt med koordinater (-l; m). Det viktige er at x = -l, som betyr -b / 2a. Dette betyr at denne rette linjen er aksen til parabelen akse 2 + bx + c, dens toppunkt er i punktet med abscissen x, null er lik minus b, delt på 2a, og ordinaten beregnes ved å bruke den tungvinte formelen 4ac - b 2 /. Men du trenger ikke å huske denne formelen. Siden vi erstatter verdien av abscissen i funksjonen, får vi ordinaten.

For å bestemme likningen til aksen, retningen til dens grener og koordinatene til toppunktet til parabelen, vurder følgende eksempel.

Ta funksjonen y = -3x 2 - 6x + 1. Etter å ha satt sammen ligningen for parabelaksen, har vi at x = -1. Og denne verdien er x-koordinaten til toppunktet til parablen. Det gjenstår å finne bare ordinaten. Ved å erstatte verdien -1 i funksjonen får vi 4. Toppunktet til parablen er i punktet (-1; 4).

Grafen til funksjonen y = -3x 2 - 6x + 1 ble oppnådd med en parallell overføring av grafen til funksjonen y = -3x 2, noe som betyr at den oppfører seg likt. Seniorkoeffisienten er negativ, så grenene er rettet nedover.

Vi ser at for enhver funksjon av formen y = ax 2 + bx + c, er det enkleste spørsmålet det siste spørsmålet, det vil si retningen til grenene til parabelen. Hvis koeffisienten a er positiv, er grenene oppover, og hvis de er negative, så nedover.

Det første spørsmålet er neste i kompleksitet, fordi det krever ytterligere beregninger.

Og det vanskeligste er det andre, siden det i tillegg til beregninger også er nødvendig med kunnskap om formlene som x er null og y er null.

La oss bygge en graf av funksjonen y = 2x 2 - x + 1.

Vi bestemmer umiddelbart - grafen er en parabel, grenene er rettet oppover, siden seniorkoeffisienten er 2, og dette er et positivt tall. Ved å bruke formelen finner vi abscissen x null, den er lik 1,5. For å finne ordinaten, husk at null er lik en funksjon av 1,5, ved beregning får vi -3,5.

Toppunkt - (1,5; -3,5). Akse - x = 1,5. Ta punktene x = 0 og x = 3. y = 1. La oss markere disse punktene. Ved å bruke tre kjente punkter bygger vi den ønskede grafen.

For å plotte funksjonen ax 2 + bx + c, må du:

Finn koordinatene til parabelens toppunkt og merk dem i figuren, tegn deretter aksen til parablen;

På okseaksen, ta to symmetriske, om aksen, parabelpunkter, finn verdien av funksjonen i disse punktene og merk dem på koordinatplanet;

Bygg en parabel gjennom tre punkter, om nødvendig kan du ta noen flere punkter og bygge en graf basert på dem.

I det neste eksemplet vil vi lære hvordan du finner de største og minste verdiene av funksjonen -2x 2 + 8x - 5 på et segment.

I følge algoritmen: a = -2, b = 8, så x null er lik 2, og y null er 3, (2; 3) er toppunktet til parablen, og x = 2 er aksen.

Ta verdiene x = 0 og x = 4 og finn ordinatene til disse punktene. Dette er -5. Vi bygger en parabel og bestemmer det minste verdi funksjoner -5 ved x = 0, og den største 3, ved x = 2.

Som praksis viser, forårsaker oppgaver for egenskapene og grafene til en kvadratisk funksjon alvorlige vanskeligheter. Dette er ganske rart, for den andregradsfunksjonen er bestått i 8. klasse, og så blir hele første kvartal av 9. klasse "tvunget ut" egenskapene til parablen og dens grafer plottes for ulike parametere.

Dette skyldes det faktum at ved å tvinge elevene til å bygge parabler, bruker de praktisk talt ikke tid til å "lese" grafer, det vil si at de ikke øver seg på å forstå informasjonen som er hentet fra bildet. Tilsynelatende antas det at etter å ha bygget et dusin grafer, vil en smart student selv oppdage og formulere forholdet mellom koeffisientene i formelen og utseendet til grafen. I praksis går ikke dette. For en slik generalisering kreves seriøs erfaring med matematisk miniforskning, noe de fleste niendeklassinger selvsagt ikke har. I mellomtiden foreslår GIA å bestemme tegnene til koeffisientene nøyaktig i henhold til tidsplanen.

Vi vil ikke kreve det umulige fra skolebarn og vil ganske enkelt tilby en av algoritmene for å løse slike problemer.

Altså en funksjon av skjemaet y = akse 2 + bx + c kalles kvadratisk, grafen er en parabel. Som navnet antyder, er hovedbegrepet øks 2... Det er en skal ikke være null, andre koeffisienter ( b og Med) kan være lik null.

La oss se hvordan tegnene på koeffisientene påvirker utseendet til en parabel.

Det enkleste forholdet for koeffisienten en... De fleste skoleelever svarer selvsikkert: "hvis en> 0, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis en < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой en > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

I dette tilfellet en = 0,5

Og nå for en < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

I dette tilfellet en = - 0,5

Påvirkning av koeffisienten Med er også lett nok å spore. La oss forestille oss at vi ønsker å finne verdien av funksjonen ved punktet X= 0. Erstatt null i formelen:

y = en 0 2 + b 0 + c = c... Det viser seg at y = c... Det er Med er ordinaten til skjæringspunktet mellom parabelen og y-aksen. Vanligvis er dette punktet lett å finne på et diagram. Og avgjør om den ligger over null eller under. Det er Med> 0 eller Med < 0.

Med > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Med < 0

y = x 2 + 4x - 3

Følgelig, hvis Med= 0, da vil parabelen nødvendigvis gå gjennom origo:

y = x 2 + 4x

Vanskeligere med parameteren b... Punktet vi vil finne det avhenger ikke bare av b men også fra en... Dette er toppen av parabelen. Abscissen (koordinat langs aksen X) finnes av formelen x i = - b / (2a)... På denne måten, b = - 2х в... Det vil si at vi handler som følger: på diagrammet finner vi toppen av parabelen, vi bestemmer tegnet på abscissen, det vil si at vi ser til høyre for null ( x inn> 0) eller til venstre ( x inn < 0) она лежит.

Dette er imidlertid ikke alt. Vi må også ta hensyn til koeffisientens tegn en... Det vil si å se hvor grenene til parablen er rettet. Og først etter det, i henhold til formelen b = - 2х в identifisere skiltet b.

La oss vurdere et eksempel:

Grenene er rettet oppover, som betyr en> 0, parablen krysser aksen på under null betyr Med < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x inn> 0. Derfor b = - 2х в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: en > 0, b < 0, Med < 0.

Leksjon: hvordan konstruere en parabel eller en kvadratisk funksjon?

TEORETISK DEL

En parabel er en graf for en funksjon beskrevet av formelen ax 2 + bx + c = 0.
For å bygge en parabel må du følge en enkel handlingsalgoritme:

1) Parabelformel y = ax 2 + bx + c,
hvis a> 0 så blir grenene til parabelen rettet opp,
ellers er grenene til parablen rettet ned.
Gratis medlem c dette punktet skjærer parabelen med OY-aksen;

2), er det funnet av formelen x = (- b) / 2a, erstatter vi funnet x i parabelligningen og finner y;

3)Funksjonsnuller eller på annen måte skjæringspunktene til parabelen med OX-aksen, de kalles også røttene til ligningen. For å finne røttene setter vi likhetstegn mellom ligningen til 0 ax 2 + bx + c = 0;

Typer ligninger:

a) Den komplette andregradsligningen er ax 2 + bx + c = 0 og avgjøres av diskriminanten;
b) Ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + bx = 0. For å løse det må du sette x utenfor parentesene, og deretter sette lik hver faktor til 0:
ax 2 + bx = 0,
x (ax + b) = 0,
x = 0 og ax + b = 0;
c) Ufullstendig andregradsligning av formen akse 2 + c = 0. For å løse det, må du flytte det ukjente i én retning, og det kjente i den andre. x = ± √ (c/a);

4) Finn noen tilleggspunkter for å bygge funksjonen.

PRAKTISK DEL

Og nå, ved å bruke et eksempel, vil vi analysere alt i henhold til handlingene:
Eksempel nr. 1:
y = x 2 + 4x + 3
c = 3 betyr at parabelen skjærer OY i punktet x = 0 y = 3. Parabolens grener ser oppover siden a = 1 1> 0.
a = 1 b = 4 c = 3 x = (- b) / 2a = (- 4) / (2 * 1) = - 2 y = (-2) 2 +4 * (- 2) + 3 = 4- 8 + 3 = -1 toppunktet er i punktet (-2; -1)
Finn røttene til ligningen x 2 + 4x + 3 = 0
Finn røttene ved diskriminanten
a = 1 b = 4 c = 3
D = b 2 -4ac = 16-12 = 4
x = (- b ± √ (D)) / 2a
x 1 = (- 4 + 2) / 2 = -1
x 2 = (- 4-2) / 2 = -3

Ta noen vilkårlige punkter som er nær toppunktet x = -2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Bytt inn x i ligningen y = x 2 + 4x + 3 verdier
y = (- 4) 2 +4 * (- 4) + 3 = 16-16 + 3 = 3
y = (- 3) 2 +4 * (- 3) + 3 = 9-12 + 3 = 0
y = (- 1) 2 +4 * (- 1) + 3 = 1-4 + 3 = 0
y = (0) 2 + 4 * (0) + 3 = 0-0 + 3 = 3
Det kan sees fra verdiene til funksjonen at parablen er symmetrisk i forhold til den rette linjen x = -2

Eksempel #2:
y = -x 2 + 4x
c = 0 betyr at parabelen skjærer OY i punktet x = 0 y = 0. Grenene til parabelen ser ned som a = -1 -1 Finn røttene til ligningen -x 2 + 4x = 0
Ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + bx = 0. For å løse det, må du ta x ut av parentesene, og deretter likestille hver faktor til 0.
x (-x + 4) = 0, x = 0 og x = 4.

Ta noen vilkårlige punkter som er nær toppunktet x = 2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Bytt inn x-en i ligningen y = -x 2 + 4x-verdier
y = 0 2 + 4 * 0 = 0
y = - (1) 2 + 4 * 1 = -1 + 4 = 3
y = - (3) 2 + 4 * 3 = -9 + 13 = 3
y = - (4) 2 + 4 * 4 = -16 + 16 = 0
Det kan sees fra verdiene til funksjonen at parabelen er symmetrisk i forhold til den rette linjen x = 2

Eksempel nr. 3
y = x 2-4
c = 4 betyr at parabelen skjærer OY i punktet x = 0 y = 4. Parabolens grener ser oppover siden a = 1 1> 0.
a = 1 b = 0 c = -4 x = (- b) / 2a = 0 / (2 * (1)) = 0 y = (0) 2 -4 = -4 toppunktet er i punktet (0; -4)
Finn røttene til ligningen x 2 -4 = 0
Ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c = 0. For å løse det, må du flytte det ukjente i én retning, og det kjente i den andre. x = ± √ (c / a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 = -2

Ta noen vilkårlige punkter som er nær toppunktet x = 0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Bytt inn x-en i ligningen y = x 2 -4 verdier
y = (- 2) 2 -4 = 4-4 = 0
y = (-1) 2-4 = 1-4 = -3
y = 1 2 -4 = 1-4 = -3
y = 2 2 -4 = 4-4 = 0
Det kan sees fra verdiene til funksjonen at parablen er symmetrisk i forhold til den rette linjen x = 0

Abonnere per kanal på YOUTUBEå holde seg à jour med alle nye produkter og forbereder med oss ​​til eksamen.