Funksjoner grafikk. Arksinus, Arkkosinus - Egenskaper, Grafer, Formler Chart Arcsin x 2
Oppgavene knyttet til inverse trigonometriske funksjoner tilbys ofte på skolen avsluttende eksamener og på inngangseksamen i enkelte universiteter. En detaljert studie av dette emnet kan bare oppnås ved valgfrie klasser eller i valgfag. Det foreslåtte kurset er utformet så fullt som mulig for å utvikle evnen til hver elev, for å øke sin matematiske opplæring.
Kurset er designet for 10 timer:
1. Funksjoner ARCSIN X, ARCCOS X, ARCTG X, ARCCTG X (4 timer).
2. Operasjoner over inverse trigonometriske funksjoner (4 timer).
3. Mote trigonometriske operasjoner på trigonometriske funksjoner (2 timer).
Leksjon 1 (2 timer) Emne: Funksjoner Y \u003d ArcSin X, Y \u003d ArcCOS X, Y \u003d Arctg X, Y \u003d ArcCTG X.
Formål: Full dekning av dette problemet.
1. Funksjon Y \u003d ArcSin X.
a) For funksjonen Y \u003d SIN X på segmentet er det en omvendt (entydig) funksjon som ARXINUS ble kalt og betegnet som følger: Y \u003d ArcSin X. Omvendt funksjonsgraf er symmetrisk med en graf av hovedfunksjonen i forhold til bisektoren I-III-koordinatvinkler.
Egenskapene til funksjonen y \u003d arcsin x.
1) Definisjonsområdet: segment [-1; en];
2) Området for endring: Segment;
3) Funksjon Y \u003d ArcSin X er merkelig: Arcsin (-x) \u003d - Arcsin X;
4) Funksjon Y \u003d Arcsin X Monotonisk øker;
5) Planen krysser aksen oh, ou i begynnelsen av koordinatene.
Eksempel 1. Finn A \u003d Arcsin. Dette eksemplet kan formuleres i detalj: for å finne et slikt argument som liggende fra bunnen av som er lik sinus.
Beslutning. Det er utallige argumenter, den bihule som er lik, for eksempel: 
etc. Men vi er bare interessert i argumentet som er på segmentet. Dette argumentet vil være. Så ,.
Eksempel 2. Finn 
.Beslutning. Argumenterer på samme måte som i eksempel 1, får vi 
.
b) orale øvelser. Finn: Arcsin 1, Arcsin (-1), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin 0. Eksempel svar: 
fordi 
. Forsøker sans for uttrykk:; Arcsin 1.5; 
?
c) Legg en økning i stigende rekkefølge: Arcsin, Arcsin (-0,3), Arcsin 0,9.
II. Funksjoner Y \u003d ARCCOS X, Y \u003d ARCTG X, Y \u003d ARCCTG X (på samme måte).
Leksjon 2 (2 h) tema: inverse trigonometriske funksjoner, deres grafer.
Mål: På denne leksjonen er det nødvendig å utarbeide ferdigheter i å bestemme verdier trigonometriske funksjoner, i konstruksjonen av grafer av inverse trigonometriske funksjoner som bruker D (Y), E (Y) og nødvendige transformasjoner.
På denne leksjonen, utfør øvelser, inkludert grunnlaget for definisjonsområdet, verdiene av verdiene til typen funksjoner: y \u003d arcsin, y \u003d arccos (x-2), y \u003d arktg (tg x), Y \u003d arccos.
Funksjonsgrafer skal bygges: a) y \u003d arcsin 2x; b) y \u003d 2 arcsin 2x; c) y \u003d arcsin;
d) y \u003d arcsin; e) y \u003d arcsin; e) y \u003d arcsin; g) y \u003d | Arcsin | .
Eksempel.Vi bygger en graf y \u003d ArcCOS
I leksene kan følgende øvelser inkluderes: Bygg grafer av funksjoner: Y \u003d ArcCOS, Y \u003d 2 ArcCTG X, Y \u003d ArcCOS | X | .
Omvendt funksjonskart
Leksjonsnummer 3 (2 h.) Emne:
Operasjoner over inverse trigonometriske funksjoner.Formål: Utvidelse av matematisk kunnskap (dette er viktig for søkere i spesialitet med økte krav til matematisk forberedelse) ved å introdusere grunnleggende relasjoner for inverse trigonometriske funksjoner.
Materiale for leksjon.
Noen enkle trigonometriske operasjoner over inverse trigonometriske funksjoner: synd (Arcsin x) \u003d x, i xi? en; Cos (ascos x) \u003d x, i xi? en; TG (ARCTG X) \u003d X, X I R; CTG. (ArcCTG X) \u003d X, X I R.
Øvelser.
a) TG (1,5 + ARCTG 5) \u003d - CTG (ARCTG 5) \u003d 
.
cTG (ARCTG X) \u003d; TG (ARCCTG X) \u003d.
b) cos (+ arcsin 0.6) \u003d - cos (Arcsin 0,6). La Arcsin 0,6 \u003d A, Sin A \u003d 0,6;
cos (arcsin x) \u003d; SIN (ARCCOS X) \u003d.
Merk: Ta "+" -tegnet før roten fordi A \u003d ArcSin X tilfredsstiller.
c) Sin (1,5 + Arcsin). Svaret :;
d) CTG (+ ARCTG 3). Svaret :;
e) TG (- ArcCtg 4). Svaret :.
e) cos (0,5 + ArcCOS). Svar:.
Regne ut:
a) Sin (2 arktg 5).
La arktg 5 \u003d a, så synd 2 a \u003d 
eller synd (2 arktg 5) \u003d 
;
b) cos (+ 2 arcsin 0,8). Svaret: 0,28.
c) ARCTG + ARCTG.
La A \u003d Arctg, B \u003d Arctg,
så TG (A + B) \u003d 
.
d) Sin (Arcsin + Arcsin).
e) å bevise at for alle x i [-1; 1] True Arcsin x + ArcCOS x \u003d.
Bevis:
arcsin x \u003d - arccos x
sIN (ARCSIN X) \u003d SIN (- ARCCOS X)
x \u003d cos (arccos x)
For selvløsninger:sIN (ArcCOS), COS (Arcsin), COS (Arcsin ()), SIN (ARCTG (- 3)), TG (ARCCOS), CTG (ARCCOS).
For hjemmeoppløsning: 1) SIN (ARCSIN 0,6 + ARCTG 0); 2) Arcsin + Arcsin; 3) CTG (- ARCCOS 0.6); 4) COS (2 ARCCTG 5); 5) SIN (1,5 - Arcsin 0,8); 6) ARCTG 0.5 - ARCTG 3.
Leksjonsnummer 4 (2H.) Emne: Operasjoner over inverse trigonometriske funksjoner.
Formål: På denne leksjonen er det å vise bruk av forhold i å konvertere mer komplekse uttrykk.
Materiale for leksjon.
Oralt:
a) Sin (ArcCOS 0.6), COS (Arcsin 0,8);
b) Tg (ArcStg 5), CTG (ARCTG 5);
c) SIN (ARCTG -3), COS (ArcStg ());
d) TG (ARCCOS), CTG (ARCCOS ()).
Skrive:
1) cos (Arcsin + Arcsin + Arcsin).
2) COS (ARCTG 5-ARCCOS 0.8) \u003d COS (ARCTG 5) COS (ARCCOS 0,8) + SIN (ARCTG 5) SIN (ARCCOS 0.8) \u003d
3) TG (- Arcsin 0,6) \u003d - TG (Arcsin 0,6) \u003d 
4) 
Uavhengig arbeid vil bidra til å identifisere nivået på å mestre materialet
| 1) TG (ARCTG 2 - ARCTG) 2) cos (- arktg2) 3) Arcsin + ArcCOS |
1) cos (Arcsin + Arcsin) 2) SIN (1.5 - ARCTG 3) 3) ARCCTG3 - ARCTG 2 |
For lekser kan du tilby:
1) CTG (ARCTG + ARCTG + ARCTG); 2) SIN 2 (ARCTG 2 - ARCCTG ()); 3) SIN (2 ARCTG + TG (ARCSIN)); 4) SIN (2 ARCTG); 5) TG ((ARCSIN))
LESSON NUMBER 5 (2H) Emne: Inverse trigonometriske operasjoner på trigonometriske funksjoner.
Formål: Å danne en presentasjon av studenter om inverse trigonometriske operasjoner over trigonometriske funksjoner, er fokuset på økningen i meningsfyllingen i teorien under studiet.
Når du studerer dette emnet, antas det å begrense volumet av teoretisk materiale som skal heves.
Materiale for leksjon:
Studien av det nye materialet kan startes fra funksjonen til Y \u003d ArcSin (SIN X) og bygge sin tidsplan.
3. Hver X I R er satt i samsvar med Y I, dvs.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Funksjonen er merkelig: SIN (-X) \u003d - SIN X; Arcsin (SIN (-X)) \u003d - Arcsin (SIN X).
6. Planlegg Y \u003d Arcsin (SIN X) på:
a) 0.<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sIN Y \u003d SIN (- X) \u003d SINX, 0<= - x <= .
Så, 
Buing y \u003d arcsin (synd x) på, vil fortsette symmetrisk i forhold til starten av koordinater på [-; 0], gitt nøyaktigheten av denne funksjonen. Ved hjelp av frekvensen vil vi fortsette til hele numerisk akse.
Skriv deretter noen forhold: arcsin (synd a) \u003d en hvis<= a <= ; arccos (cos EN. ) \u003d A hvis 0<= a <= ; Arctg (TG A) \u003d A hvis< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
Og utfør følgende øvelser: a) ARCCOS (SIN 2). Resultat: 2 -; b) Arcsin (COS 0,6). Resultat: - 0,1; c) Arctg (TG 2). Svaret: 2 -;
d) ARCCTG (TG 0,6). Svaret: 0,9; e) ArcCOS (COS (- 2)). Svar: 2 -; e) Arcsin (SIN (- 0,6)). Svar: - 0,6; g) ARCTG (TG 2) \u003d ARCTG (TG (2 -)). Svar: 2 -; h) ARCCTG (TG 0,6). Svar: - 0,6; - Arctg x; e) ARCCOS + ARCCOS
Funksjoner grafikk
Funksjon Sinus
- masse av R.alle gyldige tall.
Mange funksjonsverdier - Segment [-1; 1], dvs. bihulefunksjon - begrenset.
Funksjon Odd: SIN (-X) \u003d - SIN X for alle x ∈ R..
Periodisk funksjon
sIN (x + 2π · k) \u003d synd x, hvor k ∈ Z. for alle x ∈ R..
synd x \u003d 0 med x \u003d π · k, k ∈ Z..
synd x\u003e 0 (positiv) for alle x ∈ (2π · k, π + 2π · k), k ∈ Z..
synd X.< 0 (negativt) for alle x ∈ (π + 2π · k, 2π + 2π · k), k ∈ Z..
Cosine funksjon
Funksjonsdefinisjonsområde- masse av R.alle gyldige tall.
Mange funksjonsverdier - Segment [-1; 1], dvs. cosine funksjon - begrenset.
Funksjonen selv: Cos (-x) \u003d cos x for alle x ∈ R..
Periodisk funksjon Med den minste positive perioden 2π:
cos (x + 2π · k.) \u003d Cos x, hvor k. ∈ Z. for alle x ∈ R..
| cos x \u003d 0til |  |
| cos x\u003e 0 for alle |  |
| cOS X.< 0 for alle |  |
| Funksjonen øker fra -1 til 1 med intervaller: | |
| Funksjonen minker fra -1 til 1 med intervaller: | |
| Den største verdien av funksjonen synd x \u003d 1 På poeng: |  |
| Den minste verdien av funksjonen SIN X \u003d -1 På poeng: |
Tangent funksjon
Mange funksjonsverdier - Alle numeriske rett, dvs. Tangent - funksjon ubegrenset.
Funksjon Odd: Tg (-x) \u003d - tg x
Grafen av funksjonen er symmetrisk i forhold til OY-aksen.
Periodisk funksjon Med den minste positive perioden π, dvs. TG (x + π · k.) \u003d Tg x, k. ∈ Z. for alle x fra definisjonen.
Cotanence-funksjonen
Mange funksjonsverdier - Alle numeriske rett, dvs. Kotangent - Funksjon ubegrenset.
Funksjon Odd: CTG (-X) \u003d - CTG X for alle x fra definisjonsområdet.Grafen av funksjonen er symmetrisk i forhold til OY-aksen.
Periodisk funksjon Med den minste positive perioden π, dvs. CTG (x + π · k.) \u003d CTG X, k. ∈ Z. for alle x fra definisjonen.
Arksinus-funksjonen
Funksjonsdefinisjonsområde- Segment [-1; en]
Mange funksjonsverdier - Klipp -π / 2 Arcsin X π / 2, dvs. Arksinus - funksjon begrenset.
Funksjon Odd: Arcsin (-x) \u003d - Arcsin x for alle x ∈ R..
Grafen til funksjonen er symmetrisk på starten av koordinatene.
På hele definisjonsområdet.
Arkkosinus-funksjonen
Funksjonsdefinisjonsområde- Segment [-1; en]
Mange funksjonsverdier - Klipp 0 ArcCOS X π, dvs. Arkkosinus - funksjon begrenset.
Funksjonen øker På hele definisjonsområdet.
Funksjon ARCTGERNES
Funksjonsdefinisjonsområde- masse av R.alle gyldige tall.
Mange funksjonsverdier - Klipp 0 π, dvs. Arctanhance - funksjonen begrenset.
Funksjon Odd: arktg (-x) \u003d - Arctg x for alle x ∈ R..
Grafen til funksjonen er symmetrisk på starten av koordinatene.
Funksjonen øker På hele definisjonsområdet.
Funksjon Arkkothangence.
Funksjonsdefinisjonsområde- masse av R.alle gyldige tall.
Mange funksjonsverdier - Klipp 0 π, dvs. Arkotangent - Funksjon begrenset.
Funksjonen er verken selv eller merkelig.
Grafen av funksjonen er asymmetrisk eller i forhold til starten av koordinater eller i forhold til OY-aksen.
Funksjonen er nedstigende På hele definisjonsområdet.
Definisjon og notasjon
Arksinus (y \u003d arcsin X.) - Dette er en funksjon, omvendt til sinus (x \u003d synd y. -1 ≤ x ≤ 1 og mange verdier -π / 2 ≤ y ≤ π / 2.synd (arcsin x) \u003d x ;
arcsin (synd x) \u003d x .
Arksinus er noen ganger betegnet:
.
Diagram over funksjonene til Arksinus
Planlegg funksjon Y \u003d arcsin X.
Arksinus-tidsplanen er hentet fra sinusgrafen, hvis du endrer abscissen og ordinataksen. For å eliminere flerbevissthet, begrenser verdien av verdier det intervallet som MonoTonna-funksjonen fungerer. En slik definisjon kalles hovedverdien av Arksinus.
Arkkosinus, ArcCOS.
Definisjon og notasjon
Arkkosinus (y \u003d arcCOS X.) er en funksjon omvendt til cosinus (x \u003d kOSELIG.). Den har et definisjonsområde -1 ≤ x ≤ 1 og mange verdier 0 ≤ y ≤ π.cos (arccos x) \u003d x ;
arcCOS (COS X) \u003d x .
Arkkosinus indikerer noen ganger:
.
Diagram over funksjonen til Arkkosinus
Planlegg funksjon Y \u003d arcCOS X.
Grafen på Arkkosinus er hentet fra cosine-grafen, hvis du endrer abscissen og ordinataksen. For å eliminere flerbevissthet, begrenser verdien av verdier det intervallet som MonoTonna-funksjonen fungerer. En slik definisjon kalles hovedverdien av Arkkosinus.
Paritet
Arksinus-funksjonen er merkelig:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (synd (-Arcsin x)) \u003d - Arcsin X.
ArcCowinus-funksjonen er ikke engang eller merkelig:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arcCOS (COS (π-ArcCOS X)) \u003d π - ARCCOS X ≠ ± ARCCOS X
Egenskaper - ekstremer, stigende, avvæpne
Arksinusfunksjonene og Arkskosinus er kontinuerlig på deres definisjonsområde (se bevis på kontinuitet). De viktigste egenskapene til Arksinus og Arkkosinus presenteres i tabellen.
| y \u003d. arcsin X. | y \u003d. arcCOS X. | |
| Definisjon og kontinuitetsområde | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Verdieregionen | ||
| Stigende synkende | Monotont øker | Monotonously redusert |
| Maksimum | ||
| Minima. | ||
| Nuller, y \u003d 0 | x \u003d. 0 | x \u003d. 1 |
| Kryssets punkt med ordinataksen, x \u003d 0 | y \u003d. 0 | y \u003d π / 2 |
Tabell av Arksinuser og Arkkosinusov
Denne tabellen viser verdiene til arcsinusene og arcsinusene, i grader og radianer, med noen verdier av argumentet.
| X. | arcsin X. | arcCOS X. | ||
| Grad. | glad. | Grad. | glad. | |
| - 1 | - 90 °. | - | 180 ° | π |
| - | - 60 ° | - | 150 ° | |
| - | - 45 ° | - | 135 ° | |
| - | - 30 °. | - | 120 ° | |
| 0 | 0° | 0 | 90 °. | |
| 30 °. | 60 ° C | |||
| 45 ° C | 45 ° C | |||
| 60 ° C | 30 °. | |||
| 1 | 90 °. | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formler
Se også: Utgangen av formlene av inverse trigonometriske funksjonerFormler av summen og forskjellen
på eller.
på I.
på I.
på eller.
på I.
på I.
til
til
til
til
Uttrykk gjennom logaritme, komplekse tall
Se også: Konklusjon av formlerUttrykk gjennom hyperbolske funksjoner
Derivater
;
.
Se derivatene til Arksinus og Arkkosinus-derivatene \u003e\u003e\u003e
Derivater av høyere ordrer:
,
hvor er en polynomisk grad. Det bestemmes av formlene:
;
;
.
Se derivatene til de høyeste ordrene til Arksinus og Arkkosinus \u003e\u003e\u003e
Integraler
Gjør substitusjonen x \u003d sIN T.. Vi integrerer i deler, gitt at -π / 2 ≤ t ≤ π / 2,
cos t ≥ 0:
.
Express Arkkosinus gjennom Arksinus:
.
Dekomponering i et tall
Med | x |< 1
Følgende nedbrytning skjer:
;
.
Omvendte funksjoner
Gå tilbake til Arksinus og Arkkosinus er henholdsvis sinus og cosine.
Følgende formler er gyldige gjennom hele definisjonen:
synd (arcsin x) \u003d x
cos (arccos x) \u003d x .
Følgende formler er bare gyldige på settet av ArcSinus og ArcSinus-verdier:
arcsin (synd x) \u003d x til
arcCOS (COS X) \u003d x på.
Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, en referansebok på matematikk for ingeniører og studenter i attendants, "Lan", 2009.
