Теңсіздік түрінде мысал жазыңыз. Сызықтық теңсіздіктер

Яғни, алдымен теңсіздікке қосылатын айнымалы мәнді жазып алыңыз, содан кейін аксессуардың белгісін қолдана отырып, осы айнымалы мәндеріне қайсысы қандай сандық алшақтыққа жатады? Бұл жағдайда өрнек х. ∈ [2; 8] айнымалыны көрсетеді х теңсіздік 2 ≤ х.≤ 8, барлық мәндерді 2-ден 8-ге дейінгі аралықта қолданады. Осы құндылықтармен теңсіздік дұрыс болады.

Жауап төртбұрышты жақшамен жазылғанын ескеріңіз, өйткені теңсіздік шекаралары 2 ≤ х.≤ 8, атап айтқанда, 2 және 8 сандар осы теңсіздіктің көптеген шешімдеріне жатады.

Теңсіздіктің көптеген шешімдері 2 ≤ х.≤ 8. Координатаны тікелей қолдана отырып суреттеуге болады:

Мұнда 2 және 8 сандық алшақтықтың шекаралары теңсіздік шекараларына сәйкес келеді 2 ≤ х. х. 2 ≤ х.≤ 8 .

Сандық алшақтыққа жатпайтын кейбір шекараларда ашу .

Олар олар деп аталады, себебі олар сандық алшақтық ашық болып қалады, өйткені оның шекаралары осы сандық алшақтыққа жатпайды. Координаталық тікелей математика бойынша бос шеңбер шақырылады тазартқыш нүкте . Бұл нүктені сандық интервалдан немесе әр түрлі теңсіздік шешімдерінен алып тастауды білдіреді.

Және шекаралар сандық алшақтықтан туындағанда, олар шақырылады жабық (немесе жабық), өйткені мұндай шекаралар сандық алшақтықты жабады (жабық). Координатурадағы кремді шеңбер сонымен қатар шекаралардың жабылығын көрсетеді.

Сандық аралықтардың сорттары бар. Олардың әрқайсысын қарастырыңыз.

Сандық сәуле

Сандық сәуле x ≥ A.қайда а. x - Теңсіздікті шешу.

Болсын а.\u003d 3. Содан кейін теңсіздік x ≥ A. Көруді алыңыз х.≥ 3. Осы теңсіздіктің шешімдері - 3-тен асатын барлық сандар, оның ішінде 3-тен көп.

Теңсіздік берілген сандық сәулені көрсету х.≥ 3, координаталар бойынша. Ол үшін біз бұл туралы 3-координатаны және қалғандармен атап өтеміз оның аймағының оң жағында Біз соққылармен ерекшеленеміз. Дәл осыдан бастап, өйткені теңсіздік шешімдері х.≥ 3 сандар, 3-тен көп және координатаның тікелей дұрыс емес

х.≥ 3, ал соққылармен таңдалған аймақ мәндер жиынтығына сәйкес келеді х. бұл теңсіздік шешімдері х.≥ 3 .

Сандық сәуленің шекарасы 3-тармақ, бұл боялған кружка түрінде бейнеленген, өйткені теңсіздік шекарасы х.≥ 3 оның шешімдерінің жиынтығына жатады.

Теңсіздік берілген сандық сәуленің әрпісінде x ≥ a

[ а.; +∞)

Бір жағынан, шекара квадрат жақшамен, ал екінші турда жиекке жетті. Бұл сандық сәуленің бір шекарасы оған тиесілі болғандықтан, ал екіншісі шексіз болғандықтан, шексіздіктің шексіздігі өзі жоқ және екінші жағынан бұл сандық сәулені жабатындар жоқ дегенді білдіреді.

Сандық сәуленің шекараларының бірі жабылғанын ескерсек, бұл алшақтық жиі шақырылады жабық сандық сәуле.

Біз жауапты теңсіздікке жазамыз х.≥ 3 сандық сәуленің тағайындалуымен. Бізде айнымалы бар а. 3-ке тең.

х. ∈ [ 3 ; +∞)

Бұл өрнекте айнымалы айтылады х. теңсіздігі х.≥ 3, барлық мәндерді 3-тен және шексіздікке ұшыратады.

Басқаша айтқанда, 3-тен және шексіздіктің барлық нөмірлері теңсіздік шешімдері х.≥ 3. 3 шекара 3 көптеген шешімдерге жатады, өйткені теңсіздік х.≥ 3 қатаң емес.

Жабық сандық сәуле сонымен қатар теңсіздікте анықталған сандық алшақтық деп те аталады. x ≤ а.Ерітінділер теңсіздігі x ≤ A. аоның ішінде нөмір а.

Мысалы, егер а. х.≤ 2. Координатаның тікелей шекарасы бойынша 2 шеңбермен және бүкіл ауданда бейнеленген солсоққылармен ерекшеленеді. Бұл жолы сол жақ бөлікке теңестірілген, өйткені теңсіздік шешімдері х.≤ 2-ден кіші сандар, ал координатаның тікелей сол жағында аз сандар

х.≤ 2, ал соққылармен таңдалған аймақ мәндер жиынтығына сәйкес келеді х. бұл теңсіздік шешімдері х.≤ 2 .

Сандық сәуленің шекарасы 2-тармақ, боялған кружка түрінде бейнеленген, өйткені теңсіздік шекарасы х.≤ 2 оның шешімдерінің жиынтығына жатады.

Біз жауапты теңсіздікке жазамыз х.≤ 2 сандық сәулелік белгілерін қолдану:

х. ∈ (−∞ ; 2 ]

х.≤ 2. Шекараның 2 шешімдеріне жатады, өйткені теңсіздік х.≤ 2 қатаң емес.

Сыртқы сандық сәуле

Сандық сәуле ашыңыз теңсіздік анықталған сандық алшақтықты қараңыз x\u003e A. қайда а. - осы теңсіздіктің шекарасы, х. - теңсіздік шешімі.

Ашық сандық сәуле негізінен жабық сандық сәулеге ұқсас. Айырмашылық - шекара а. теңсіздіктің шекарасы сияқты алшақтыққа жатпайды x\u003e A. оның шешімдерінің жиынтығына жатпайды.

Болсын а.\u003d 3. Сонда теңсіздік пікір алады х.\u003e 3. Бұл теңсіздіктің шешімдері 3-тен көп, 3-тен көп сан

Теңшеліммен берілген ашық сандық сәуленің координаталық шекарасында х.\u003e 3 Бос кружка түрінде бейнеленген болады. Оң жақта орналасқан бүкіл аудан соққылармен ерекшеленеді:

Міне, 3-тармақ теңсіздік шекарасына сәйкес келеді x\u003e3, ал соққылар таңдалған аймақ мәндер жиынтығына сәйкес келеді х. бұл теңсіздік шешімдері x\u003e 3. 3-ші нүкте, қайсысы ашық-сандық сәуленің шекарасы бос кружка түрінде бейнеленген, өйткені теңсіздік шекарасы x\u003e 3 оның шешімдерінің жиынтығына жатпайды.

x\u003e a, келесідей көрсетілген:

(а.; +∞)

Дөңгелек кронштейндер ашық сандық сәуленің шекаралары оған тиесілі емес екенін көрсетеді.

Біз жауапты теңсіздікке жазамыз х. \u003e 3 ашық сандық сәуленің тағайындауымен:

х. ∈ (3 ; +∞)

Осы өрнекте 3-тен және шексіздіктің барлық нөмірлері теңсіздік шешімдері деп айтылады х. \u003e 3. 3 шекара ерітінділер жиынтығына жатпайды, өйткені теңсіздік х. \u003e 3 қатаң.

Ашық сандық сәуле сонымен қатар теңсіздіктің сандық аралы деп те аталады х.< a қайда а. - осы теңсіздіктің шекарасы, х. - теңсіздікті шешу . Ерітінділер теңсіздігі х.< a барлық сандар аз анөмірді қоспағанда а.

Мысалы, егер а.\u003d 2, теңсіздік пікір алады х.< 2. Координатаның тікелей шекарасы бойынша 2 бос шеңбермен бейнеленген, ал сол жақта орналасқан бүкіл аудан соққылармен ерекшеленеді:

Міне, 2-тармақта теңсіздік шекарасына сәйкес келеді х.< 2, ал соққылар таңдалған аймақ мәндер жиынтығына сәйкес келеді х. бұл теңсіздік шешімдері х.< 2. 2-тармақ, қайсысы ашық-сандық сәуленің шекарасы, бұл бос кружка түрінде бейнеленген, өйткені теңсіздіктің шекарасы х.< 2 оның шешімдерінің жиынтығына жатпайды.

Хатта теңсіздік берілген ашық сандық сәуле х.< a , келесідей көрсетілген:

(−∞ ; а.)

Біз жауапты теңсіздікке жазамыз х.< 2 Ашық арқалықтың тағайындауымен:

х. ∈ (−∞ ; 2)

Бұл өрнекте минус шексіздіктен 2-ге дейінгі барлық сандар шешімдердің теңсіздігі болып саналады деп айтылады х.< 2. 2 шекара ерітінділер жиынтығына жатпайды, өйткені теңсіздік х.< 2 қатаң.

Бөлім

Кесу a ≤ x ≤ b қайда а. және в. х. - теңсіздік шешімі.

Болсын а. = 2 , в. \u003d 8. Содан кейін теңсіздік a ≤ x ≤ b 2 ≤ формасын алады х.≤ 8. Ерітінділер теңсіздік 2 ≤ х.≤ 8-ден 8-ден асатын барлық сандар - бір уақытта 2 және 8-ден аз сандар, 2 және 8 теңсіздіктің шекаралары оның шешімдерінің жиынтығына жатады, өйткені теңсіздік 2 ≤ х.≤ 8 қатаң емес.

Қосарланған теңсіздікпен берілген сегментті көрсету 2 ≤ х.≤ Вординат бойынша 8. Мұны істеу үшін біз 2 және 8 координаттар бар нүктелер туралы ескертеміз, ал ауданның ауданы олардың арасында орналасады, соққыларды таратады:

≤ х.≤ 8, ал соққылар таңдалған аймақ мәндер жиынына сәйкес келеді х. х.≤ 8. Сегменттің шекаралары болып табылатын 2 және 8-тармақтар, боялған шеңбер түрінде бейнеленген, өйткені теңсіздік шекарасы 2 ≤ х.≤ 8 8 шешімдер жиынтығына жатады.

Сақтандыру сегментінің хатында a ≤ x ≤ b келесідей көрсетілген:

[ а; В. ]

Екі жағынан төртбұрышты жақшалар сегменттің шекаралары екенін көрсетеді иелік ол. Біз жауаптарды теңсіздікке жазамыз 2 ≤ х.

х. ∈ [ 2 ; 8 ]

Бұл өрнек 2-ден 8-ге дейінгі барлық сандар теңсіздіктің шешімдері 2 ≤ х.≤ 8 .

Аралық

Аралық Екі есе теңсіздікпен орнатылған сандық алшақтықты қараңыз а.< x < b қайда а. және в. - осы теңсіздіктің шекаралары, х. - теңсіздік шешімі.

Болсын a \u003d 2., b \u003d 8. . Содан кейін теңсіздік а.< x < b 2 түрі< х.< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Мен координатаға тікелей аралық бейнелеймін:

Мұнда 2 және 8-тармақтар теңсіздік шекараларына сәйкес келеді< х.< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений х. < х.< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < х.< 8 не принадлежат множеству его решений.

Хатта теңсіздікте анықталған аралық а.< x < b, келесідей көрсетілген:

(а; В.)

Екі жағынан дөңгелек жақшалар аралық шекараны білдіреді тегіс жоқ ол. Біз жауапты теңсіздікке 2 жазамыз 2< х.< 8 с помощью этого обозначения:

х. ∈ (2 ; 8)

Бұл өрнек 2 және 8-ден 2-ден 8-ге дейінгі барлық сандар теңсіздіктің шешімдері болып табылады< х.< 8 .

Жартылай интервал

Жартылай аралық теңсіздік анықталған сандық алшақтықты қараңыз a ≤ x.< b қайда а. және в. - осы теңсіздіктің шекаралары, х. - теңсіздік шешімі.

Жартылай интервал сонымен қатар теңсіздікке қойылған сандық алшақтықты білдіреді а.< x ≤ b .

Жартылай аралық шекаралардың бірі оған тиесілі. Демек, осы сандық алшақтықтың атауы.

Жартылай аралық жағдайда a ≤ x.< b Ол (жартылай интервал) сол жақ шекараға жатады.

Және жартылай аралас жағдайға байланысты а.< x ≤ b Ол дұрыс шекараға ие.

Болсын а.= 2 , в.\u003d 8. Содан кейін теңсіздік a ≤ x.< b 2 ≤ формасын алады х. < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Сурет жартылай интервал 2 ≤ х. < 8 на координатной прямой:

х. < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений х. теңсіздік шешімдері 2 ≤ х. < 8 .

2-тармақ, ол сол жақ шекара Салыстырмалы кружканың түрінде бейнеленген жартылай аралас, сол сол жақ теңсіздіктің лимиті ретінде 2 ≤ х. < 8 тиесіліоның шешімдерінің жиынтығы.

Және 8-тармақ, ол дұрыс шекара Бос кружка түрінде бейнеленген жартылай интервал, теңсіздіктің дұрыс шегі ретінде 2 ≤ х. < 8 жоқ тиесілі Оның шешімдерінің жиынтығы.

a ≤ x.< b, келесідей көрсетілген:

[ а; В.)

Бір жағынан, шекара квадрат жақшамен, ал екінші турда жиекке жетті. Бұл жартылай интервалдың бір шекарасы оған тиесілі екендігіне байланысты, ал екіншісі жоқ. Біз жауаптарды теңсіздікке жазамыз 2 ≤ х. < 8 с помощью этого обозначения:

х. ∈ [ 2 ; 8)

Осы өрнекте барлық сандар 2-ден 8-ге дейін, оның ішінде 2-ден 8-ге дейін, бірақ 8 санын қоспағанда, теңсіздіктің шешімдері 2 ≤ х. < 8 .

Сол сияқты, координаттарды тікелей теңсіздікте анықталған жартылай интервалмен суреттеуге болады а.< x ≤ b . Болсын а.= 2 , в.\u003d 8. Содан кейін теңсіздік а.< x ≤ b 2 түрі< х.≤ 8. Осы екі есе теңсіздіктің шешімдері 2-ден асатын және 8-ден 8-ден асатын барлық сандар, бірақ оның 2-ін қоспағанда, бірақ 8-ді қосады.

Мен 2-аралық 2 көрсетемін.< х.≤ 8 координатасы бойынша тікелей:

Мұнда 2 және 8-тармақтар теңсіздік шекараларына сәйкес келеді< х.≤ 8, ал соққылар таңдалған аймақ мәндер жиынына сәйкес келеді х. теңсіздік шешімдері 2< х.≤ 8 .

2-тармақ, ол сол жақ шекара Бос кружка түрінде бейнеленген жарты интервал, сол қалқыманың сол жақта< х.≤ 8 тиесілі емесоның шешімдерінің жиынтығы.

Және 8-тармақ, ол дұрыс шекара Салыстырмалы кружканың түрінде бейнеленген жарты интервал, теңсіздіктің дұрыс шегі ретінде< х.≤ 8 тиесіліоның шешімдерінің жиынтығы.

Жартылай интервалдың әрпінде теңсіздікті анықтады а.< x ≤ b, осылайша: ( а; В. ]. Біз жауапты теңсіздікке 2 жазамыз 2< х.≤ 8 Осы мақсатта:

х. ∈ (2 ; 8 ]

Бұл өрнек 2-ден 8-ге дейінгі барлық сандар 2-ден 8-ге дейін, бірақ 2-ші нөмірді қоспағанда, бірақ 8-ші санын қосады, бірақ теңсіздіктің шешімдері 2< х.≤ 8 .

Координаталардағы сандық интервалдардың суреті

Сандық алшақтықты теңсіздікпен немесе тағайындаумен (дөңгелек немесе тік жақшалар) көмегімен көрсетуге болады. Екі жағдайда да, сіз бұл сандық алшақтықты координаталар тікелей сүйрептеуіңіз керек. Бірнеше мысалды қарастырайық.

1-мысал.. Теңсіздіктің сандық алшақтықты бейнелейді х.> 5

Бұл форманың теңсіздігі екенін ұмытпаңыз х.> а. Ашық сандық сәулені орнатыңыз. Бұл жағдайда айнымалы а. тең 5. теңсіздік х.5 қатаң, сондықтан 5 шекара бос шеңбер ретінде бейнеленген. Бізді барлық мәндер қызықтырады. х олар 5-тен асады, сондықтан оң жақтағы бүкіл аудан соққылармен ерекшеленеді:

2-мысал.. Сандық алшақтықты суреттеңіз (5; + ∞) координаталарында

Бұл алдыңғы мысалда көрсетілген сандық алшақтық. Бірақ бұл жолы ол теңсіздіктің көмегімен емес, сандық алшақтықты белгілеу арқылы анықталады.

5 шекара дөңгелек кронштейнмен жиектелген, яғни ол олқылыққа жатпайды. Тиісінше, шеңбер бос болып қалады.

+ ∞ белгісі біздің барлық сандармен танысқанымызды білдіреді. 5. Тиісінше, 5 шекараның оң жағындағы бүкіл аймақ инсультпен ерекшеленеді:

3-мысал.. Координатаның тікелей интервалын (-5; 1) ұрыңыз.

Екі жағынан дөңгелек кронштейндер аралықтар болып табылады. Аралық шекаралар оған тиесілі емес, сондықтан -5 және 1 шекаралары бос шеңбер түрінде координаталық сызықта бейнеленген. Олардың арасындағы бүкіл аймақ соққылармен ерекшеленеді:

4-мысал.. Көрсетілген сандық алшақтықты көрсетіңіз --5< х.< 1

Бұл алдыңғы мысалда көрсетілген сандық алшақтық. Бірақ бұл жолы ол алшақтықты белгілеу арқылы емес, қос теңсіздіктің көмегімен анықталады.

Типтегі теңсіздік а.< x < b Интервал орнатылған. Бұл жағдайда айнымалы а. -5, және ауыспалы в. біреуіне тең. Теңсіздік -5< х.< 1 қатаң, сондықтан бос кружка түрінде -5 және 1 шекаралары бейнеленген. Бізді барлық мәндер қызықтырады. х ол одан көп -5, бірақ біреуінен аз, сондықтан -5 және 1 нүктелер арасындағы бүкіл аудан соққылармен ерекшеленеді:

5-мысал.. Координаталық тікелей сандық интервалдарды бейнелеңіз [-1; 2] И.

Бұл жолы біз координатада тікелей екі олқылықтар көрсетіледі.

Шаршы жақшалар екі жағынан да белгіленеді. Сегменттің шекаралары оған тиесілі, сондықтан сегменттердің шекаралары [-1; 2] және боялған шеңбер түріндегі координаталық сызықта бейнеленген. Олардың арасындағы бүкіл аймақ соққылармен ерекшеленеді.

Аралықтарды көру үшін [-1; [2] Ал, алдымен жоғарғы аймақта, ал екінші жағынан суреттеуге болады. Сонымен не істеу керек:

6-мысал.. Координаталық тікелей сандық интервалдарды бейнелеңіз [-1; 2) және (2; 5)

Бір жағынан төртбұрышты кронштейн және екіншісімен дөңгелек, аралық. Жарты интервал шекараларының бірі оған тиесілі, ал екіншісі жоқ.

Жартылай аралық жағдайда [-1; 2) Сол жақ шекарасы оған тиесілі және оң жақта болады. Сондықтан сол жақ шекара боялған кружка түрінде бейнеленген. Дұрыс шекара бос кружка ретінде бейнеленген.

Және жартылай аралас болған жағдайда, ол тек дұрыс шегі болады, ал сол жаққа болмайды, сондықтан сол жақ шекара боялған кружка түрінде бейнеленген. Дұрыс шекара болады бос кружка ретінде бейнеленген.

Аралық бейнеңіз [-1; 2) координатаның жоғарғы аймағында және алшақтық (2; 5) - төменгі жағында:

Теңсіздікті шешудің мысалдары

Бірдей өзгерістермен бірдей өзгерістерге әкелуі мүмкін aX\u003e B. (немесе есіңізде балта.< b ) қоңырау шалыңыз бір айнымалы бар сызықтық теңсіздік.

Сызықтық теңсіздікте aX\u003e B. , х. - Бұл айнымалы, сіз оларды табу керек мәндер, бірақ - осы айнымалының коэффициенті, в. - теңсіздік белгісіне байланысты теңсіздіктің шекарасы, оның шешімдерінің жиынтығына жатады немесе оған жатпайды.

Мысалы, теңсіздік 2 х.\u003e 4 - бұл типтегі теңсіздік aX\u003e B. . Онда айнымалы рөлі а. №2 пьеса, рөлдік айнымалы в. (Теңсіздіктің шекаралары) 4 санын ойнайды.

Теңсіздік 2. х.\u003e 4 Мұны одан да оңай жасауға болады. Егер біз екі бөлікті 2-ге бөлдік, біз теңсіздік аламыз х.> 2

Алынған теңсіздік х.\u003e 2 сонымен қатар типтегі теңсіздік aX\u003e B. , яғни бір айнымалы бар сызықты теңсіздік. Бұл теңсіздікте айнымалы рөлі а. Құрылғыны ойнатады. Бұрын біз 1 коэффициенті жазылмағанын айттық. Айнымалы рөлі в. №2 пьеса.

Осы ақпараттан арналу, бірнеше қарапайым теңсіздіктерді шешуге тырысайық. Шешім барысында біз форманың теңсіздігін алу үшін қарапайым түрлендірулерді орындаймыз aX\u003e B.

1-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз х.− 7 < 0

Теңсіздіктің екі бөлігіне қосыңыз 7

х.− 7 + 7 < 0 + 7

Сол жақ бөлігінде қалады х. және оң жағы 7-ге тең болады

х.< 7

Қарапайым түрлендірулер бойынша біз теңсіздікті басқардық х.− 7 < 0 к равносильному неравенству х.< 7 . Решениями неравенства х.< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Салыстырмалы болу керек х.< a (немесе x\u003e A. ), оны шешуге болады деп санауға болады. Біздің теңсіздік х.− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду х.< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Жауапты сандық алшақтық арқылы жазамыз. Бұл жағдайда жауап ашық сандық сәуле болады (есіңіздеше, сандық сәуле теңсіздікке ие) х.< a және қалай (-∞; а.)

х. ∈ (−∞ ; 7)

Велинадтың тікелей шекарасы бойынша 7 бос кружка түрінде бейнеленген, ал шекараның сол жағында орналасқан бүкіл аудан соққылармен ерекшеленеді:

Тексеру үшін (-∞; 7) аралыққа кез-келген нөмірді алыңыз және оны теңсіздікке ауыстырыңыз х.< 7 вместо переменной х. . Мысалы, 2 нөмірді ал

2 < 7

Дұрыс сандық теңсіздік белгілі болды, бұл шешім дұрыс екенін білдіреді. Басқа нөмірді алыңыз, мысалы, 4 нөмірі

4 < 7

Бұл нақты сандық теңсіздік болды. Сондықтан шешім дұрыс.

Және теңсіздіктен х.< 7 равносильно исходному неравенству x -7 < 0 , то решения неравенства х.< 7 будут совпадать с решениями неравенства x -7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x -7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

2-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз -4. х. < −16

Біз теңсіздіктің екі бөлігін -4-ке бөлдік. Теңсіздіктің екі бөлігінен бөлген кезде ұмытпаңыз теріс санға, теңсіздік белгісі керісінше өзгереді:

Біз теңсіздікті басқардық -4 х. < −16 к равносильному неравенству х.\u003e 4. Ерітінділер теңсіздігі х.\u003e 4 4-тен көп барлық сандар болады, олар 4 шекара 4 шешімдер жиынына жатпайды, өйткені теңсіздік қатаң.

х.\u003e 4 координатада тікелей және жауапты сандық алшақтық түрінде жазыңыз:

3-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз 3y +. 1 > 1 + 6y.

6 сатып алу. y. Оң жақтан солға солға, белгіні өзгерту. Және сол жақтан оңға қарай 1, қайтадан белгіні өзгерту арқылы:

3y.− 6y.> 1 − 1

Біз ұқсас шарттарды береміз:

−3y. > 0

Біз екі бөлікті -3-ге бөлдік. Екі бөлікті теңдікті теріс санға бөлген кезде, теріс санға бөлінген кезде теңсіздік белгісі керісінше өзгереді:

Ерітінділер теңсіздігі y.< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y.< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

4-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз 5(х.− 1) + 7 ≤ 1 − 3(х.+ 2)

Теңсіздіктің екі бөлігіндегі кронштейндерді еске түсіріңіз:

Біз зардап шегеміз --3 х. Оң жақтан солға солға, белгіні өзгерту. Мүшелер -5 және сол жақтан сол жақтан оңға қарай, қайтадан белгілерді өзгерту арқылы:

Біз ұқсас шарттарды береміз:

Біз алынған теңсіздіктің екі бөлігін 8-ге бөлеміз

Теңсіздіктердің шешімдері - бұл барлық сандар. Шекара көптеген шешімдерге тиесілі, өйткені теңсіздік керемет.

5-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз

Теңсіздіктің екі бөлігін 2-ге көбейтіңіз. Бұл сізге сол жақта Фаратиден арылуға мүмкіндік береді:

Енді біз 5-тен оң жақтан оңға қарай жылжидық:

Осыған ұқсас шарттарды келтіргеннен кейін біз теңсіздік 6 аламыз х.\u003e 1. Біз осы теңсіздіктің екі бөлігін екіге бөлеміз. Содан кейін біз аламыз:

Теңсіздік шешімдері - бұл барлық сандар. Шекара шешімдер жиынына жатпайды, өйткені теңсіздік қатаң.

Біз координаталардағы теңсіздіктің көптеген шешімдерін көрсетеміз және жауапты сандық алшақтық түрінде жазамыз:

6-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз

Екі бөлімді 6-да көбейтіңіз

Осыған ұқсас шарттарды келтіргеннен кейін біз теңсіздікке 5 аламыз х.< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Ерітінділер теңсіздігі х.< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является х.< 6 строгим.

Мен көптеген шешімдерді көрсетемін х.< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

7-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз

10-нан екі бөліктің екі бөлігін де көбейтіңіз

Алынған теңсіздікте біз сол жақта жақшаларды ашамыз:

Біз мүшелерді бермейміз х. Оң жағында

Біз екі бөліктен де осындай шарттарды береміз:

Біз алынған теңсіздіктің екі бөлігін 10-ға бөлеміз

Ерітінділер теңсіздігі х.≤ 3.5 - бұл 3,5-тен кем барлық сандар. Шекара 3.5 көптеген шешімдерге тиесілі, өйткені теңсіздік х.≤ 3.5 керемет.

Мен көптеген шешімдерді көрсетемін х.≤ координатада тікелей-тікелей және жауапты сандық интервал түрінде жазыңыз:

8-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз 4.< 4х.< 20

Мұндай теңсіздікті шешу үшін сізге айнымалы қажет х. 4. коэффициентке ақысыз 4. Содан кейін біз осы теңсіздікті қандай аралығында айта аламыз?

Айнымалыны босату үшін х. коэффициенттен бастап, сіз 4-ші мүшені бөле аласыз х. 4-ке дейін, бірақ теңсіздіктердегі ереже, егер біз теңсіздік мүшесін біраз санға бөлетін болсақ, онда осы теңсіздікке жататын мүшелермен бірдей болуы керек. Біздің жағдайда 4 теңсіздіктің барлық үш мүшесін бөлу керек 4< 4х.< 20

Теңсіздік шешімдері 1.< х.< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < х.< 5 является строгим.

Мен теңсіздіктің көптеген шешімдерін көрсетемін 1< х.< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

9-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз - 1 ≤ -2 х.≤ 0

Біз теңсіздіктің барлық мүшелерін -2-ге бөлеміз

Алынған теңсіздік 0,5 ≥ х.≥ 0. Екі есе теңсіздікке жақсырақ жазылған жөн, сондықтан кішкентай дик сол жақта және оң жақта орналасқан. Сондықтан, біз теңсіздікті келесідей қайта жазамыз:

0 ≤ х.≤ 0,5

Теңсіздік шешімдері 0 ≤ х.≤ 0.5 - бұл 0 және одан кем барлық сандар - 0,5-тен аз. 0 және 0.5 шекаралары ерітінділер жиынтығына жатады, өйткені теңсіздік 0 ≤ х.≤ 0.5 қатаң емес.

Суреттер теңсіздіктің көптеген шешімдері 0 ≤ х.≤ координатада 0,5 тікелей және жауапты сандық алшақтық түрінде жазыңыз:

10-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз

Теңсіздікті 12-де көбейтіңіз

Біз альекваль бойынша жақшаларды ашамыз және ұқсас шарттарды береміз:

Біз алынған теңсіздіктердің екі бөлігін екіге бөлеміз

Ерітінділер теңсіздігі х.≤ -0.5 - бұл барлық сандар - 0,5. Шекара -0.5 көптеген шешімдерге жатады, өйткені теңсіздік х.≤ -0.5 керемет.

Мен көптеген шешімдерді көрсетемін х.≤ -0.5 координатадағы тікелей және жауапты сандық алшақтық түрінде жазыңыз:

11-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз

3 теңсіздіктің барлық бөліктерін 3-ке көбейтіңіз

Енді нәтижесінде алынған теңсіздік 6-дан алынады

Алынған теңсіздіктің әр бөлігі -1-ге бөлінген. Теңсіздіктің барлық бөліктерін теріс санға бөлген кезде, теңсіздік белгісі керісінше өзгереді:

Теңсіздік шешімдері 3 ≤ a ≤9-дан көп және 9-дан аз, 9-дан кіші барлық сандар - 3 және 9 шекаралары бірнеше ерітінділерге жатады, өйткені теңсіздік 3 ≤ a ≤9 керемет.

Мен теңсіздіктің көптеген шешімдерін көрсетемін 3 ≤ a ≤9 Координатада тікелей және жауапты сандық алшақтық түрінде жазыңыз:

Шешімдер болмаған кезде

Шешімдері жоқ теңсіздіктер бар. Мысалы, мысалы, теңсіздік 6 х.> 2(3х.+ 1). Бұл теңсіздікті шешу барысында біз теңсіздіктің белгісі өзінің орналасқан жерін ақтамайтынына келеміз. Оның қалай көрінетінін көрейік.

Біз кронштейндерді осы теңсіздіктің оң жағында ашамыз, біз 6 аламыз х.> 6х.+ 2. Біз 6 береміз. х. белгіні ішке қарай оң жағынан солға қарай, біз 6 аламыз х.− 6х.\u003e 2. Біз мұндай компоненттерді береміз және біз 0\u003e 2 теңсіздік аламыз, бұл шындық емес.

Жақсы түсіну үшін сол жақта ұқсас терминдердің құрылуы келесідей қайта жазыңыз:

Алынған теңсіздік 0. х.\u003e 2. Сол жақта кез-келген уақытта нөл болатын жұмыс бар х. . Және нөлдер 2-саннан үлкен болмайды, сондықтан теңсіздік 0 х.\u003e 2 шешімдері жоқ.

х.\u003e 2, оның шешімдері мен бастапқы теңсіздігі жоқ 6 х.> 2(3х.+ 1) .

2-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз

Теңсіздіктің екі бөлігін екіге де көбейтіңіз

Алынған теңсіздікте біз мүшені кейінге қалдырамыз х. Оң жақтан солға солға, белгіні өзгерту. Содан кейін біз ұқсас шарттарды береміз:

Кез-келген адамдағы теңсіздіктің оң жағы х. Бұл нөлге тең болады. Және -8-ден кем емес. Сонымен, теңсіздік 0. х.< −8 не имеет решений.

Егер оның теңсіздігі 0 берілмеген болса х.< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Жауап беру: Шешімдер жоқ.

Шешімдер шексіз көп болған кезде

Сансыз шешімдер бар теңсіздіктер бар. Мұндай теңсіздіктер кез-келген жағдайда адал болады х. .

1-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз 5(3х.− 9) < 15х.

Біз кронштейндерді теңсіздіктің оң жағында ашамыз:

Сатып алу 15. х. Оң жақтан солға, белгіні өзгерту:

Сол жақта да осындай шарттар берейік:

Алынған теңсіздік 0. х.< 45. Сол жақта кез-келген уақытта нөл болатын жұмыс бар х. . Және нөл нөлі 45. 0 теңсіздік шешімін білдіреді х.< 45 - кез келген сан.

х.< 45-те сансыз шешімдер, содан кейін бастапқы теңсіздік бар 5(3х.− 9) < 15х. бірдей шешімдер бар.

Жауап сандық аралық ретінде жазылуы мүмкін:

х. ∈ (−∞; +∞)

Бұл өрнек шешімдердің теңсіздігін көрсетеді 5(3х.− 9) < 15х. минус шексіздіктерінен барлық сандар бар.

2-мысал.. Теңсіздікті шешіңіз: 31(2х.+ 1) − 12х.> 50х.

Біз кронштейндерді теңсіздіктің сол жағында ашамыз:

Біз 50 зардап шегеміз. х. Оң жақтан солға солға, белгіні өзгерту. Оң жақтағы 31-нің мүшесі, оң жақтан, қайтадан белгі өзгереді:

Біз ұқсас шарттарды береміз:

Алынған теңсіздік 0. x\u003e -31. Сол жақта кез-келген уақытта нөл болатын жұмыс бар х. . Және нөлден -31-ден көп. Бұл теңсіздіктің шешімін білдіреді 0 х.< -31 - кез келген сан.

Ал егер балама теңсіздік 0 болса x\u003e -31-де сансыз шешімдер бар, содан кейін бастапқы теңсіздік 31(2х.+ 1) − 12х.> 50х. бірдей шешімдер бар.

Біз жауапты сандық алшақтық түрінде жазамыз:

х. ∈ (−∞; +∞)

Өзін-өзі шешуге арналған тапсырмалар

Сізге сабақ ұнады ма?
Вконтакте тобына қосылыңыз және жаңа сабақтар туралы хабарламалар алуды бастаңыз

Теңсіздік - теңдіктің артқы жағы. Осы мақаланың материалы математика тұрғысынан теңсіздік пен бұл туралы бастапқы ақпарат береді.

Теңдік тұжырымдамасы, сондай-ақ теңдік ұғымы екі нысанды салыстырған кезде байланысты. Теңдік «бірдей» дегенді білдіреді, содан кейін теңсіздік, керісінше, салыстырылған нысандардағы айырмашылықтарды көрсетеді. Мысалы, және - бірдей нысандар немесе тең. Және - бір-бірінен өзгеше немесе тең емес заттар.

Нысандардың теңсіздігі семантикалық жүктеме арқылы анықталады, жоғарыдағыдай сөздермен анықталады - төменде көрсетілген (биіктік негізінде теңсіздік); Қалың - жұқа (қалыңдығы негізінде теңсіздік); Ұзын қысқарту (ұзындығы бойынша теңсіздік) және т.б.

Жалпы объектілердің теңдікке де, жеке сипаттамаларын салыстыруға және салыстыруға қатысты дау айтуға болады. Екі нысан көрсетілген делік: және. Бұл объектілер бірдей емес, сондықтан да, яғни. Жалпы алғанда, олар тең емес: мөлшері мен түсі негізінде. Бірақ сонымен бірге біз олардың формаларына тең деп айта аламыз - екі нысан - бұл шеңбер.

Математика аясында мақтаныш сезімінің мағынасы сақталады. Алайда, біз бұл жағдайда математикалық нысандардың теңдігі туралы айтамыз: сандар, өрнектер, шамалардың мәні, шамалары (ұзындығы, аудан және т.б.), векторлар, цифрлар және т.б.

Тең емес, көп, аз

Тапсырманың міндетіне байланысты біз объектілердің теңсіздігін нақтылау фактісі ғана бола аламыз, бірақ әдетте теңсіздік фактісін анықтай аламыз, бірақ әдетте бұл құндылықтың қаншалықты үлкен екенін және қанша екенін түсіндіре алады .

Біздің өміріміздің басынан бастап «Көбірек» және «аз» сөздердің мағынасы. Айқын - бұл заттың мөлшерін, мөлшерінің және т.б. Бірақ сайып келгенде, кез-келген салыстыру бізді салыстырылған нысандардың кейбір сипаттамаларын анықтайтын сандарды салыстыруға әкеледі. Шындығында, біз неғұрлым санды білеміз және не аз екенін білеміз.

Қарапайым мысал:

1-мысал.

Таңертең ауа температурасы 10 градусқа дейін; Түстен кейін екеуінде бұл көрсеткіш 15 градус болды. Табиғи сандарды салыстыру негізінде біз таңертең температура мәні оның құндылығы күннен аз болған деп айтуға болады (немесе күндізгі сағат екіде (немесе сағат екіде температура көтерілген, температура температурадан үлкен болды) таңертеңде).

Белгілері бар теңсіздіктерді жазу

Теңсіздіктерді жазу үшін жалпы қабылданған белгілер бар:

Анықтама 1.

• белгі «тең емес», бұл «тең» белгісі болып табылады: ≠. Бұл белгі тең емес нысандар арасында орналасқан. Мысалы: 5 ≠ 10 Бес 10 он емес;
• «Қосымша» белгісі:\u003e және «аз» белгісі:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | > | C d | B кесілген A B-мен сегмент екенін ұсынады;
• «Үлкеннен үлкен немесе тең» белгісі: ≥ және «аз немесе одан да көп» белгісі: ≤.

Олардың мағынасы төменде сипатталады. Біз олардың жазбаларына сәйкес теңсіздік анықтамамыз.

Анықтама 2.

Теңсіздіктер - мағынасы бар алгебралық өрнектер ≠,\u003e\u003e,\u003e< , ≤ , ≥ .

Қатаң және керемет теңсіздіктер

Қатаң теңсіздіктердің белгілері - Бұл «көп» және «аз» белгілері:\u003e және< Неравенства, составленные с их помощью – Қатаң теңсіздіктер.

Стратегиялық емес теңсіздіктердің белгілері - Бұл «үлкен немесе тең» белгілері және «аз немесе тең»: ≥ және ≤. Олардың көмегімен жасалған теңсіздіктер - май емес теңсіздіктер.

Теңсіздік қаншалықты қатаң қолданылады, біз жоғарыда бөлшектейміз. Неліктен керемет теңсіздіктер? Іс жүзінде мұндай теңсіздіктер «көп емес» және «кем емес» деген сөздермен сипатталған жағдайлардан мүмкін болуы мүмкін. «Енді» тіркесі аз немесе көп емес дегенді білдіреді - бұл салыстырудың бұл деңгейі «аз немесе тең» белгісіне сәйкес келеді. Өз кезегінде, «кем емес» дегеніміз - көп немесе көп, бұл «үлкен немесе тең» белгісі. Осылайша, қатаң теңсіздіктер, қатаң емес, объектілердің теңдігін беру мүмкіндігін береді.

Адал және дұрыс емес теңсіздіктер

Адал теңсіздік - содан кейін жоғарыда аталған теңсіздіктің мағынасына сәйкес келетін теңсіздік. Әйтпесе солай ақиқат емес.

Көріну үшін қарапайым мысалдар келтіреміз:

2-мысал.

Теңсіздік 5 ≠ 5 дұрыс емес, өйткені 5 және 5 саны іс жүзінде тең болады.

Немесе мұндай салыстыру:

3-мысал.

S - бұл кей жерлерде, бұл жағдайда, бұл жағдайда< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Ұқсас мағынада «шынайы теңсіздік» термині «әділ теңсіздік», «теңсіздік», т.б.

Теңсіздіктердің қасиеттері

Біз теңсіздіктердің қасиеттерін сипаттаймыз. Нысанның өзі тең емес екендігі анық, және бұл теңсіздіктің алғашқы қасиеті. Екінші қасиеті келесідей естіледі: егер бірінші зат екінші объект екіншіге тең болмаса, екіншісі біріншіден тең емес.

Біз «толығырақ» немесе «аз» белгілеріне сәйкес қасиеттерді сипаттаймыз:

Анықтама 5.

• антисболелт. Бұл қасиетті келесідей білдіруге болады: кез-келген объект үшін k теңсіздік K\u003e K және K< k неверны;
• антисиметрия. Бұл сипат егер бірінші нысан екінші немесе одан аз болса, екінші объект, сәйкесінше, сәйкесінше, ең алдымен, аз немесе одан көп. Біз жазамыз: егер m\u003e n, содан кейін n< m . Или: если m < n , то n > м;
• транзитациялық. Алфавозда көрсетілген сипат келесідей болады: егер ол бұл а< b и b < с, то a < c . Наоборот: a > B және b\u003e c дегенді білдіреді, бұл a\u003e c дегенді білдіреді. Бұл қасиет интуитивті және табиғи: егер алғашқы нысан екінші объект екіншіден үлкен болса, ал екіншісі үшіншіден көп, бірінші объектінің үштен бір бөлігі екені белгілі болады.

Керемет теңсіздіктердің белгілері кейбір қасиеттерге де тән:

Анықтама 6.

• рефлексия: A ≥ A және A ≤ A (бұл сонымен қатар a \u003d a);
• антисиметрия: Егер A ≤ B, содан кейін b ≥ a. Егер a ≥ b, содан кейін b ≤ a;
• транзитациялық: Егер A ≤ B және B ≤ C болса, онда a ≤ c екені анық. Сондай-ақ: егер а ≥ B, A B ≥ S, содан кейін және ≥ s.

Екі, үш есе және т.б. теңсіздіктер

Транзиттің мүлкі теңсіздіктер тізбегі болып табылатын теңсіздіктерге қос, үш есе, үш есе, теңсіздікке айналдыруға мүмкіндік береді. Мысалы: Қос теңсіздік - e\u003e f\u003e e\u003e g немесе үштік теңсіздік k 1 ≤ k 2 ≤ ≤ ≤ k 4.

Тізбекті, соның ішінде әртүрлі белгілер ретінде теңсіздікті жазу ыңғайлы екенін ескеріңіз: бірдей, қатаң және керемет теңсіздік белгілеріне тең емес. Мысалы, x \u003d 2< y ≤ z < 15 .

Егер сіз мәтіннің қатесін байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелер тіркесімін басыңыз

Мысалы, теңсіздік дегеніміз - \\ (x\u003e 5 \\) өрнек болып табылады.

Теңсіздіктердің түрлері:

Егер \\ (a \\) және \\ (b \\) сандар немесе болса, онда теңсіздік деп аталады сандық. Шын мәнінде, бұл жай екі санды салыстыру. Мұндай теңсіздіктер бөлінеді адал және теріс.

Мысалға:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\\ (17 + 3 \\ GEQ 115 \\) - дұрыс емес сандық теңсіздік, содан бері \\ (17 + 3 \u003d 20 \\), және \\ (20 \\) аз \\ (115 \\) (және одан көп емес немесе тең).

Егер \\ (a \\) және \\ (b \\) айнымалы бар болса, онда бізде бар айнымалы бар теңсіздік. Мұндай теңсіздік мазмұны түріне байланысты түрлерге бөлінеді:

Теңсіздікті шешу дегеніміз не?

Егер кез-келген нөмірді алмастыру үшін айнымалы орнына теңсіздік болса, онда ол сандық болады.

Егер IKS үшін бұл мән өзгерсе, бастапқы теңсіздік дұрыс санды, содан кейін ол аталады теңсіздік туралы шешіммен. Егер жоқ болса - бұл мән шешім емес. Және істеу теңсіздікті шешіңіз - барлық шешімдерді табу керек (немесе олардың жоқ екенін көрсетіңіз).

Мысалға, Егер біз сызықтық теңсіздікте болсақ \\ (x + 6\u003e 10 \\), біз \\ (7 \\) санның орнына алмастырамыз - дұрыс сандық теңсіздік: \\ (13\u003e 10 \\). Егер \\ (2 \\) алмастырсақ, дұрыс емес сандық теңсіздік \\ (8\u003e 10 \\) болады. Яғни, \\ (7 \\) - бұл бастапқы теңсіздіктің шешімі, және \\ (2 \\) емес.

Дегенмен, теңсіздік \\ (x + 6\u003e 10 \\) басқа шешімдерге ие. Шынында да, біз алмастыру және \\ (5 \\) және \\ (12 \\) және \\ (138 \\) және \\ (138 \\) және барлық мүмкін шешімдерді қалай табамыз? Мұны істеу үшін, біздің жағдайымыз үшін пайдаланыңыз:

\\ (x + 6\u003e 10 \\) \\ (| -6 \\)
\\ (x\u003e 4 \\)

Яғни, біз төрт-ден артық санға сай боламыз. Енді сіз жауапты жазуыңыз керек. Теңсіздіктердің шешімдері, әдетте, санды жазып, оларды люктердің сандық осінде қосымша деп жазып алыңыз. Біздің ісіміз үшін бізде:

Жауап: \\ (x \\ in (4; + \\ inpent) \\)

Белгі теңсіздікте қашан өзгереді?

Теңсіздіктерде бір үлкен тұзақ бар, онда студенттер «Келу үшін:

Теріс санға көбейту (немесе бөлу) керісінше, керісінше өзгереді («одан да« аз »,« аз немесе тең »,« аз немесе тең »және басқаларға өзгереді)

Неліктен бұл болып жатыр? Мұны түсіну үшін сандық теңсіздік түрлендіруді көрейік \\ (3\u003e 1 \\). Рас, Тройка шынымен біртұтас. Алдымен, оны кез-келген оң санға көбейтуге тырысыңыз, мысалы, екеуі:

\\ (3\u003e 1 \\) \\ (| \\ cDOT2 \\)
\(6>2\)

Көріп отырғаныңыздай, көбейгеннен кейін теңсіздік дұрыс қалады. Қандай жағымды сан үшін біз көбейтеміз - біз әрқашан шынайы теңсіздік аламыз. Енді теріс санға көбейтуге тырысайық, мысалы, шыңды шегеріңіз:

\\ (3\u003e 1 \\) \\ (| \\ cdot (-3) \\)
\(-9>-3\)

Дұрыс емес теңсіздік болды, өйткені минус үштен кем емес минус! Яғни, теңсіздіктің адал болуы үшін (демек, көбейту »терісіне қайта құру« заңды »болды), сіз келесідей, салыстыру белгісін бұруыңыз керек: \\ (- 9)<− 3\).
Бөлумен, сол сияқты, сіз өзіңізді тексере аласыз.

Жоғарыда жазылған ереже тек сандық емес, барлық теңсіздіктердің барлық түрлеріне қолданылады.

Жауап: \\ (x \\ in (-1; \\ inpent) \\)

Теңсіздіктер және ...

Теңдеулерде теңсіздіктер, сондай-ақ теңдеулер шектеулер болуы мүмкін, яғни ICA мәндері. Тиісінше, ОТЗ қабылдамайтын мәндер шешімдерден алынып тасталуы керек.

Мысал: Теңсіздікті шешіңіз \\ (\\ sqrt (x + 1)<3\)

Шешім: Сол жақ бөлігінің аз болуы \\ (3 \\) аз болғаны анық, ол азық-түлік өрнегі аз болуы керек (9 \\) (\\ (9 \\) (3 \\)) (3 \\)) аз болуы керек. Біз алып жатырмыз:

\\ (x + 1)<9\) \(|-1\)
\\ (X.<8\)

Бәрі? Біз ИКА-ның кез-келген мағынасына сәйкес келеміз бе (8 \\)? Жоқ! Мысалы, егер біз, мысалы, мәні \\ (- 5 \\) талап етілетін сияқтымыз - бұл бастапқы теңсіздіктің шешімі болмайды, өйткені бұл түбегейлі тамырды есептеуге әкеледі Нөмірі.

\\ (\\ Sqrt (-5 + 1)<3\)
\\ (\\ Sqrt (-4)<3\)

Сондықтан, біз әлі де ICA құндылықтарының шектеулерін ескеруіміз керек - ол түбірдің астында теріс сан болған болуы мүмкін емес. Осылайша, бізде X үшін екінші талап бар:

\\ (X + 1 \\ geq0 \\)
\\ (X \\ heq-1 \\)

X - x соңғы шешім болып табылады, ол бірден екі талаппен бірден қанағаттандыруы керек: ол аз болуы керек: ол аз болуы керек (8 \\) (шешім болуы керек) және одан да көп болуы керек (- 1 \\) (принципке келтіруге болады). Сандық оське жүгіну, бізде түпкілікті жауап бар:

Жауап: \\ (\\ сол жақта [-1; 8 \\ оң) \\)