Бернуллидің үлкен сандар заңының қарапайым түсіндірмесі. Чебышев теоремасының «түріндегі» үлкен сандар заңы

Оны жоғалтпа.Жазылыңыз және электрондық поштаңыздағы мақалаға сілтеме алыңыз.

Күн сайын жұмыста немесе оқуда сандармен және сандармен өзара әрекеттесе отырып, көпшілігіміз, мысалы, статистикада, экономикада және тіпті психологиялық-педагогикалық зерттеулерде қолданылатын үлкен сандардың өте қызықты заңы бар деп күдіктенбейміз. Ол ықтималдықтар теориясына сілтеме жасайды және тіркелген үлестірімдегі кез келген үлкен үлгінің арифметикалық ортасы осы үлестірімнің математикалық күтуіне жақын екенін айтады.

Сіз бұл заңның мәнін түсіну оңай емес екенін байқаған боларсыз, әсіресе математикадан жақсы емес адамдар үшін. Осыған сүйене отырып, біз бұл туралы қарапайым тілмен (әрине, мүмкіндігінше) сөйлескіміз келеді, сондықтан әркім оның не екенін кем дегенде шамамен өзі түсінеді. Бұл білім сізге кейбір математикалық заңдылықтарды жақсы түсінуге, эрудитті болуға және оларға оң әсер етуге көмектеседі.

Үлкен сандар заңының түсініктері және оны түсіндіру

Жоғарыда қарастырылған ықтималдықтар теориясындағы үлкен сандар заңының анықтамасынан басқа, оның экономикалық түсіндірмесін де беруге болады. Бұл жағдайда ол жалпы ұқсас түрдегі шығындардың жоғары деңгейі болған кезде белгілі бір түрдегі қаржылық шығындардың жиілігін жоғары сенімділікпен болжауға болатын принципті білдіреді.

Сонымен қатар, белгілердің жақындасу деңгейіне байланысты үлкен сандардың әлсіз және күшті заңдарын ажыратуға болады. Ықтималдықта конвергенция болған кезде әлсіз, ал конвергенция барлығында дерлік болған кезде күшті туралы айтып отырмыз.

Егер біз оны біршама басқаша түсіндіретін болсақ, біз мынаны айтуымыз керек: кез келген алдын ала бағдарламаланған ықтималдық біреуден аз болғанда, қандай да бір оқиғаның орын алуының салыстырмалы жиілігі оның ықтималдығынан өте аз ерекшеленетін сынақтардың соңғы санын табуға әрқашан болады.

Сонымен, үлкен сандар заңының жалпы мәнін былай көрсетуге болады: бірдей және тәуелсіз кездейсоқ факторлардың көп санының күрделі әрекетінің нәтижесі кездейсоқтыққа тәуелді емес нәтиже болады. Ал одан да қарапайым тілмен айтсақ, онда үлкен сандар заңында массалық құбылыстардың сандық заңдылықтары олардың саны көп болғанда ғана анық көрінеді (заңды үлкен сандар заңы деп атайтыны да сондықтан).

Бұдан заңның мәні жаппай бақылау арқылы алынған сандарда аздаған фактілерде анықталмайтын кейбір дұрыстықтардың бар екендігінде қорытынды жасауға болады.

Үлкен сандар заңының мәні және оның мысалдары

Үлкен сандар заңы кездейсоқ және қажеттінің ең жалпы заңдарын білдіреді. Кездейсоқ ауытқулар бірін-бірі «жою» кезінде бір құрылым үшін анықталған орташа көрсеткіштер типтік түрге ие болады. Олар маңызды және тұрақты фактілердің белгілі бір уақыт пен орын жағдайларындағы әрекеттерін көрсетеді.

Үлкен сандар заңымен анықталған үлгілер бұқаралық тенденцияларды білдіргенде ғана күшті болады және олар жеке жағдайлар үшін заң бола алмайды. Осылайша, бірқатар кездейсоқ факторлардың күрделі әрекеті кездейсоқ емес нәтиже тудыруы мүмкін екенін айтып, математикалық статистиканың принципі күшіне енеді. Және бұл принциптің ең жарқын мысалы кездейсоқ оқиғаның пайда болу жиілігі мен сынақтар саны артқан кезде оның ықтималдығының жинақталуы болып табылады.

Кәдімгі монета лақтыруды еске түсірейік. Теориялық тұрғыдан алғанда, бастар мен құйрықтар бірдей ықтималдықпен құлауы мүмкін. Бұл, мысалы, егер сіз тиынды 10 рет аударсаңыз, оның 5-і басынан жоғары, 5-і бастың үстіне шығуы керек дегенді білдіреді. Бірақ бұл ешқашан болмайтынын бәрі біледі, өйткені бастар мен құйрықтардың жиілігінің қатынасы 4-тен 6-ға, 9-дан 1-ге, 2-ден 8-ге дейін және т.б. Дегенмен, монета лақтыру саны артқан сайын, мысалы, 100-ге дейін, бас немесе құйрық алу ықтималдығы 50% жетеді. Теориялық тұрғыдан алғанда, ұқсас эксперименттердің шексіз саны жүргізілсе, монетаның екі жағында да құлау ықтималдығы әрқашан 50% құрайды.

Монетаның құлдырауына көптеген кездейсоқ факторлар әсер етеді. Бұл монетаның алақандағы орны, лақтырудың күші, құлау биіктігі, оның жылдамдығы және т.б. Бірақ егер көптеген эксперименттер болса, факторлардың қалай әсер ететініне қарамастан, практикалық ықтималдық теориялық ықтималдыққа жақын деп әрқашан дәлелдеуге болады.

Үлкен сандар заңының мәнін түсінуге көмектесетін тағы бір мысал: белгілі бір аймақтағы адамдардың табысының деңгейін бағалау керек делік. 9 адам 20 мың рубль алатын, 1 адам 500 мың рубль алатын 10 бақылауды қарастыратын болсақ, орташа арифметикалық 68 мың рубль болады, бұл, әрине, екіталай. Бірақ егер 99 адам 20 мың рубль алатын, 1 адам 500 мың рубль алатын 100 бақылауды есепке алсақ, онда орташа арифметикалық мәнді есептегенде біз 24,8 мың рубль аламыз, бұл нақты жағдайға жақынырақ. Бақылаулар санын көбейту арқылы біз орташа мәнді шынайы мәнге бейімдеуге мәжбүрлейміз.

Дәл осы себепті үлкен сандар заңын қолдану үшін ең алдымен көп бақылауларды зерттеу арқылы шынайы нәтиже алу үшін статистикалық материал жинау қажет. Сондықтан бұл заңды тағы да статистикада немесе әлеуметтік экономикада қолдану ыңғайлы.

Қорытындылайық

Үлкен сандар заңының жұмыс істейтіндігінің маңыздылығын ғылыми білімнің кез келген саласы үшін, әсіресе статистика теориясы мен статистикалық таным әдістері саласындағы ғылыми әзірлемелер үшін асыра бағалау қиын. Заңның әсері зерттелетін объектілердің массалық заңдылықтарымен өздері үшін де үлкен маңызға ие. Статистикалық бақылаудың барлық дерлік әдістері үлкен сандар заңына және математикалық статистика принципіне негізделген.

Бірақ, ғылым мен статистиканы есепке алмасақ та, үлкен сандар заңы тек ықтималдықтар теориясы саласындағы құбылыс емес, біздің өмірімізде күнделікті дерлік кездесетін құбылыс деп сенімді түрде қорытынды жасауға болады.

Енді үлкен сандар заңының мәні сізге түсінікті болды және сіз оны басқа біреуге оңай және оңай түсіндіре аласыз деп үміттенеміз. Ал егер математика және ықтималдықтар теориясы тақырыбы сізді қызықтырса, онда және туралы оқуды ұсынамыз. Сондай-ақ тексеріңіз және. Және, әрине, біздікіне назар аударыңыз, өйткені оны аяқтағаннан кейін сіз жаңа ойлау әдістерін меңгеріп қана қоймай, жалпы танымдық қабілеттеріңізді, соның ішінде математикалық қабілеттеріңізді жетілдіресіз.

Үлкен сандар заңыықтималдықтар теориясында тіркелген үлестірімнен жеткілікті үлкен шекті таңдаманың эмпирикалық ортасы (орташа арифметикалық) осы үлестірімнің теориялық орташа мәніне (математикалық күтуге) жақын екенін айтады. Жинақтау түріне қарай жинақтылық ықтималдықта болатын үлкен сандардың әлсіз заңы мен жинақтылық барлық жерде дерлік болатын үлкен сандардың күшті заңы ажыратылады.

Кез келген алдын ала ықтималдықпен аз болатын сынақтардың әрқашан шектеулі саны бар 1 қандай да бір оқиғаның орын алуының салыстырмалы жиілігі оның ықтималдығынан мүмкіндігінше аз ерекшеленеді.

Үлкен сандар заңының жалпы мағынасы: бірдей және тәуелсіз кездейсоқ факторлардың үлкен санының бірлескен әрекеті шекті жағдайда кездейсоқтыққа тәуелді емес нәтижеге әкеледі.

Ақырғы таңдамалы талдау негізінде ықтималдықты бағалау әдістері осы қасиетке негізделген. Сайлаушылардың іріктеп алынған сауалнамасы негізінде сайлау нәтижелерінің болжамы айқын мысал болып табылады.

Энциклопедиялық YouTube

1 / 5

✪ Үлкен сандар заңы

✪ 07 - Ықтималдықтар теориясы. Үлкен сандар заңы

✪ 42 Үлкен сандар заңы

✪ 1 - Чебышевтің үлкен сандар заңы

✪ 11-сынып, 25-сабақ, Гаусс қисығы. Үлкен сандар заңы

Субтитрлер

Математика мен ықтималдықтар теориясындағы ең интуитивті заң болып табылатын үлкен сандар заңын қарастырайық. .. Мен бірінші рет тест жасағанда 100 рет тиынды лақтырамын немесе жүз тиын салынған қорапты алып шайқаймын, сосын қанша бас алғанымды санаймын, мен аламын, айт , саны 55. Бұл X1 болар еді. Сіз пропорционалды емес бастардың санын алсаңыз, бұл бір сәтте сіз пропорционал емес көп құйрық ала бастайтыныңызды білдірмейді. Келесі бейнеде кездескенше!

Үлкен сандардың әлсіз заңы

Үлкен сандардың әлсіз заңы оны 1713 жылы дәлелдеген Якоб Бернуллидің атымен Бернулли теоремасы деп те аталады.

Бірдей таралған және корреляцияланбаған кездейсоқ шамалардың шексіз тізбегі (тізбекті санау) болсын. Яғни, олардың ковариациясы c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). рұқсат етіңіз. Біріншісінің орташа таңдамалы мәнімен белгілейік n (\displaystyle n)мүшелері:

.

Содан кейін X ¯ n → P μ (\displaystyle (\бар (X))_(n)\қа (\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Яғни, кез келген позитив үшін ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Күшейтілген үлкен сандар заңы

Бірдей таралған тәуелсіз кездейсоқ шамалардың шексіз тізбегі болсын ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )), бір ықтималдық кеңістігінде анықталған (Ω , F , P) (\displaystyle (\Омега ,(\маткал (F)),\mathbb (P))). Болсын E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). арқылы белгілейік X ¯ n (\displaystyle (\бар (X))_(n))бірінші орташа үлгі n (\displaystyle n)мүшелері:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i=) 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

Содан кейін X ¯ n → μ (\displaystyle (\бар (X))_(n)\\mu )әрқашан дерлік.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\бар (X))_(n)=\mu \ оң)=1.) .

Кез келген математикалық заң сияқты, үлкен сандар заңы тек белгілі бір дәрежеде дәлдікпен орындалатын белгілі бір болжамдар бойынша нақты әлемге ғана қолданылуы мүмкін. Мысалы, дәйекті сынақ жағдайлары жиі шексіз және абсолютті дәлдікпен сақталуы мүмкін емес. Сонымен қатар, үлкен сандар заңы туралы ғана айтады ықтималдықорташа мәннің математикалық күтуден айтарлықтай ауытқуы.

ҮЛКЕН САНДАР ЗАҢЫ

жалпы принцип, оның арқасында кездейсоқ факторлардың қосындысы белгілі бір өте жалпы жағдайларда кездейсоқ дерлік тәуелсіз нәтижеге әкеледі. Кездейсоқ оқиғаның пайда болу жиілігінің сынақтар санының артуымен оның ықтималдылығының жақындауы (бірінші рет, шамасы, құмар ойындарда байқалады) осы принциптің жұмыс істеуінің алғашқы мысалы бола алады.

17-18 ғасырлар тоғысында. Дж.Бернулли әр қайсысында белгілі бір оқиғаның пайда болуы бірдей мәнге ие болатын тәуелсіз сынақтар тізбегінде келесі қатынас ақиқат болатынын көрсететін теореманы дәлелдеді:

кез келгені үшін – алғашқы сынақтардағы оқиғаның орын алу саны, – пайда болу жиілігі. Бұл Бернулли теоремасыС.Пуассон А оқиғасының пайда болу ықтималдығы сот талқылауының санына байланысты болуы мүмкін тәуелсіз сот талқылауларының ретті ісіне кеңейтілді. k-ші сынақ үшін бұл ықтималдық тең болсын және болсын

Содан кейін Пуассон теоремасыдеп мәлімдейді

кез келген үшін Бұл теоремаға алғашқы қатаң көзқарасты П. Л. Чебышев (1846) берген, оның әдісі Пуассон әдісінен мүлде басқаша және белгілі бір шектен шыққан ойларға негізделген; С.Пуассон Гаусс заңын қолдану негізінде көрсетілген ықтималдықтың жуық формуласынан (2) шығарды және ол кезде әлі қатаң түрде дәлелденбеген. С.Пуассон алғаш рет «үлкен сандар заңы» терминімен кездесіп, оны Бернулли теоремасын жалпылау деп атады.

Бернулли мен Пуассон теоремаларының табиғи жалпылауы, егер кездейсоқ шамаларды қосынды түрінде көрсетуге болатынын байқасақ, туындайды.

тәуелсіз кездейсоқ айнымалылар, егер A Ath сынағында пайда болса және - әйтпесе. Сонымен қатар математикалық күту (математикалық күтудің орташа арифметикалық мәніне сәйкес келетін) Бернулли жағдайы және Пуассон жағдайы үшін p-ке тең. Басқаша айтқанда, екі жағдайда да орташа арифметикалық шаманың ауытқуы қарастырылады X колардың математикалық орташа арифметикалық мәнінен күту.

П.Л.Чебышевтің «Орташа мәндер туралы» (1867) еңбегінде тәуелсіз кездейсоқ шамалар үшін қатынас екені анықталды.

(кез келген ) өте жалпы болжамдарда ақиқат. П.Л.Чебышев математик деп есептеді. күтулердің барлығы бірдей тұрақтымен шектеледі, дегенмен оның дәлелдеуінен шектелген дисперсиялар талабы жеткілікті екені анық.

немесе тіпті талаптар

Осылайша, П.Л.Чебышев Бернулли теоремасын кең көлемде жалпылау мүмкіндігін көрсетті. А.А.Марков одан әрі жалпылау мүмкіндігін атап өтіп, B. h.z атауын қолдануды ұсынды. Бернулли теоремасының жалпыламаларының барлық жиынтығына [және атап айтқанда (3)]. Чебышев әдісі математиканың жалпы қасиеттерін дәл орнатуға негізделген. күту және пайдалану туралы деп аталатын. Чебышев теңсіздіктері[ықтималдық үшін (3) пішіннің бағасын береді

бұл шекараны дәлірек ауыстыруға болады, әрине, неғұрлым маңызды шектеулермен, қараңыз Бернштейн теңсіздігі]. Б.х.з.-ның әртүрлі формаларының кейінгі дәлелдері. бір дәрежеде Чебышев әдісінің дамуы болып табылады. Кездейсоқ шамалардың дұрыс «қиюын» қолдана отырып (оларды көмекші айнымалылармен алмастыру, атап айтқанда: , егер белгілі бір тұрақтылар қайда болса), А.А. Марков В бөлігін кеңейтті. терминдердің ауытқулары болмаған жағдайлар үшін. Мысалы, ол (3) белгілі бір тұрақтылар үшін егер орын алатынын көрсетті және барлығы және

Үлкен сандар заңы

Кездейсоқ құбылыстарды зерттеу тәжірибесі көрсеткендей, жеке бақылаулардың, тіпті бірдей жағдайларда жүргізілгендердің де нәтижелері айтарлықтай ерекшеленуі мүмкін болса да, сонымен бірге бақылаулардың жеткілікті көп санының орташа нәтижелері тұрақты және әлсіз тәуелді болады. жеке бақылаулардың нәтижелері. Кездейсоқ құбылыстардың бұл тамаша қасиетінің теориялық негізі үлкен сандар заңы болып табылады. Үлкен сандар заңының жалпы мағынасы кездейсоқ факторлардың үлкен санының біріккен әрекеті кездейсоқтықтан дерлік тәуелсіз нәтижеге әкеледі.

Орталық шек теоремасы

Ляпунов теоремасы қалыпты таралу заңының кең таралуын түсіндіреді және оның қалыптасу механизмін түсіндіреді. Теорема қосындының дисперсиясымен салыстырғанда дисперсиялары аз болатын тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көп санын қосу нәтижесінде кездейсоқ шама пайда болған сайын осы кездейсоқ шаманың таралу заңы өзгеретінін айтуға мүмкіндік береді. дерлік қалыпты заң болып шықты. Кездейсоқ шамалар әрқашан себептердің шексіз санымен генерацияланатындықтан және көбінесе олардың ешқайсысы кездейсоқ шаманың дисперсиясымен салыстырылатын дисперсияға ие болмағандықтан, тәжірибеде кездесетін кездейсоқ шамалардың көпшілігі қалыпты таралу заңына бағынады.

Осы топтардың әрқайсысының теоремаларының мазмұнына толығырақ тоқталайық

Практикалық зерттеулерде қандай жағдайда оқиғаның ықтималдығы жеткілікті аз немесе қалағандай бірге жақын болатынына кепілдік беруге болатынын білу өте маңызды.

астында үлкен сандар заңыжәне кез келген жерде бір (немесе нөлге) жақын ықтималдықпен оқиғаның өте үлкен, шексіз өсетін кездейсоқ оқиғалардың санына байланысты болатынын, олардың әрқайсысының әсері аз ғана болатынын көрсететін ұсыныстардың жиынтығы ретінде түсініледі. ол.

Дәлірек айтсақ, үлкен сандар заңы ықтималдықпен қалағандай бірлікке жақын, кездейсоқ шамалардың жеткілікті үлкен санының орташа арифметикалық шамасының тұрақты шамадан – орташа арифметикалық шамасынан ауытқуын көрсететін ұсыныстардың жиынтығы ретінде түсініледі. олардың математикалық күтулері - берілген еркін аз саннан аспайды.

Табиғат пен қоғамдық өмірде біз байқайтын дара, оқшау құбылыстар мұндай құбылыстарға көптеген факторлардың әсер етуіне байланысты кездейсоқ (мысалы, тіркелген өлім, туған баланың жынысы, ауа температурасы, т.б.) пайда болады. құбылыстың пайда болуы немесе дамуының мәніне байланысты емес. Олардың бақыланатын құбылысқа жалпы әсерін болжау мүмкін емес және олар жеке құбылыстарда әртүрлі көрінеді. Бір құбылыстың нәтижесіне сүйене отырып, мұндай көптеген құбылыстарға тән заңдылықтар туралы ештеңе айтуға болмайды.

Бірақ тәжірибенің қайталану саны көп болған кейбір белгілердің (оқиғаның туындауының салыстырмалы жиіліктері, өлшеу нәтижелері және т.б.) сандық сипаттамаларының орташа арифметикалық мәні өте шамалы ауытқуларға ұшырайтыны көптен бері айтылып келеді. Орташа алғанда, құбылыстардың мәніне тән заңдылық көрінеді, бір реттік бақылаулардың нәтижелерін кездейсоқ жасаған жеке факторлардың әсері жойылады; Теориялық тұрғыдан алғанда, орташа мәннің бұл әрекетін үлкен сандар заңы арқылы түсіндіруге болады. Кездейсоқ шамаларға қатысты кейбір өте жалпы шарттар орындалса, онда арифметикалық ортаның тұрақтылығы дерлік белгілі оқиға болады. Бұл шарттар үлкен сандар заңының ең маңызды мазмұнын құрайды.

Бұл принцип жұмысының бірінші мысалы кездейсоқ оқиғаның пайда болу жиілігінің сынақтар саны артқан сайын ықтималдығымен жинақталуы болуы мүмкін - бұл Бернулли теоремасында бекітілген факт (швейцариялық математик Джейкоб Бернулли(1654-1705) Бернул теоремасы үлкен сандар заңының қарапайым түрлерінің бірі болып табылады және тәжірибеде жиі қолданылады. Мысалы, таңдаудағы респонденттің кез келген сапасының пайда болу жиілігі сәйкес ықтималдықты бағалау ретінде қабылданады).

Көрнекті француз математигі Симеон Денни Пуассон(1781-1840) бұл теореманы жалпылап, оны сынақтағы оқиғалардың ықтималдығы алдыңғы сынақтардың нәтижелеріне қарамастан өзгеретін жағдайға кеңейтті. Ол «үлкен сандар заңы» терминін алғаш қолданған.

Ұлы орыс математигі Пафнутии Львович Чебышев(1821 - 1894) үлкен сандар заңы кез келген вариациясы бар құбылыстарда әрекет ететінін және орташалар заңына да таралатынын дәлелдеді.

Үлкен сандар заңының теоремаларын одан әрі жалпылау атаулармен байланысты А.А.Марков, С.Н.Бернштейн, А.Я.Хинчин және А.Н.Колмлгоров.

Мәселені жалпы заманауи тұжырымдау, үлкен сандар заңын тұжырымдау, осы заңға байланысты теоремаларды дәлелдеу идеялары мен әдістерін жасау орыс ғалымдарына тиесілі. П.Л.Чебышев, А.А.Марков және А.М.Ляпунов.

ЧЕБЫШЕВТІҢ ТЕҢСІЗДІГІ

Алдымен көмекші теоремаларды қарастырайық: Чебышев леммасы және теңсіздігі, олардың көмегімен Чебышев түріндегі үлкен сандар заңын оңай дәлелдеуге болады.

Лемма (Чебышев).

Егер X кездейсоқ шамасының мәндерінің арасында теріс мәндер болмаса, онда оның оң А санынан үлкен мәнді қабылдау ықтималдығы бөлшектен аспайды, оның алымы кездейсоқ шаманың математикалық күтуі болып табылады. айнымалы, ал бөлгіш А саны:

Дәлелдеу.Кездейсоқ Х шамасының таралу заңы белгілі болсын:

(i = 1, 2, ..., ) және біз кездейсоқ шаманың мәндерін өсу ретімен қарастырамыз.

А санына қатысты кездейсоқ шаманың мәндері екі топқа бөлінеді: кейбіреулері А-дан аспайды, ал басқалары А-дан үлкен. Бірінші топқа кездейсоқ шаманың бірінші мәндері кіреді деп есептейік. айнымалы ().

болғандықтан, онда қосындының барлық мүшелері теріс емес. Сондықтан өрнектегі бірінші мүшелерді алып тастасақ, келесі теңсіздікті аламыз:

бері

,

Бұл

Q.E.D.

Кездейсоқ айнымалылар бірдей математикалық күтулермен әртүрлі үлестірімдерге ие болуы мүмкін. Дегенмен, олар үшін Чебышев леммасы белгілі бір сынақ нәтижесінің ықтималдылығын бірдей бағалайды. Лемманың бұл кемшілігі оның жалпылығымен байланысты: барлық кездейсоқ шамалар үшін бірден жақсырақ бағалауға қол жеткізу мүмкін емес.

Чебышев теңсіздігі .

Кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен ауытқуының оң санның абсолютті мәнінен асу ықтималдығы бөлшектен аспайды, оның алымы кездейсоқ шаманың дисперсиясы, ал бөлгіші квадрат болып табылады.

Дәлелдеу.Бұл теріс мәндерді қабылдамайтын кездейсоқ шама болғандықтан, біз теңсіздікті қолданамыз Кездейсоқ шама үшін Чебышев леммасы бойынша:

Q.E.D.

Салдары. бері

,

Бұл

- Чебышев теңсіздігінің тағы бір түрі

Чебышев леммасы мен теңсіздігі үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін де ақиқат екенін дәлелсіз қабылдайық.

Чебышев теңсіздігі үлкен сандар заңының сапалық және сандық тұжырымдарының негізінде жатыр. Ол кездейсоқ шама мәнінің оның математикалық күтуінен ауытқуы белгілі бір саннан үлкен болу ықтималдығының жоғарғы шегін анықтайды. Бір қызығы, Чебышев теңсіздігі тарауы белгісіз кездейсоқ шама үшін оқиғаның ықтималдығын бағалауды береді, тек оның математикалық күтуі мен дисперсиясы белгілі.

Теорема. (Чебышев түріндегі үлкен сандар заңы)

Егер тәуелсіз кездейсоқ шамалардың дисперсиялары бір тұрақты С-мен шектелсе және олардың саны жеткілікті үлкен болса, онда бұл кездейсоқ шамалардың орташа арифметикалық шамасының олардың математикалық күтулерінің арифметикалық ортасынан ауытқуы абсолютті мәннен аспау ықтималдығы: берілген оң сан, ол қаншалықты аз болса да, мүмкіндігінше бірлікке жақын емес:

.

Теореманы дәлелсіз қабылдаймыз.

Қорытынды 1. Егер тәуелсіз кездейсоқ шамалардың бірдей, тең, математикалық күтулері болса, олардың дисперсиялары бірдей С тұрақтысымен шектелсе және олардың саны жеткілікті үлкен болса, онда берілген оң сан қаншалықты аз болса да, бірлікке қаншалықты жақын болса да, ықтималдығы орташа мәннің ауытқуы осы кездейсоқ шамалардың арифметикасы абсолютті мәннен аспайды.

Бірдей шарттарда жасалған оның жеткілікті үлкен санының нәтижелерінің арифметикалық ортасы белгісіз шаманың жуық мәні ретінде қабылдану фактісін осы теорема арқылы негіздеуге болады. Шынында да, өлшеу нәтижелері кездейсоқ болады, өйткені оларға көптеген кездейсоқ факторлар әсер етеді. Жүйелі қателердің болмауы жеке өлшеу нәтижелерінің математикалық күтулерінің бірдей және тең екендігін білдіреді. Демек, үлкен сандар заңына сәйкес өлшемдердің жеткілікті үлкен санының арифметикалық ортасы іс жүзінде қалаған шаманың шын мәнінен қалағандай аз ерекшеленеді.

(Естеріңізге сала кетейік, қателер, егер олар азды-көпті анық заң бойынша өлшеу нәтижесін бір бағытта бұрмалайтын болса, жүйелі деп аталады. Бұларға бақылаушының жеке ерекшеліктеріне байланысты құралдардың жетілмегендігінің (аспаптық қателер) нәтижесінде пайда болатын қателер жатады. (жеке қателер) және т.б.)

Қорытынды 2 . (Бернулли теоремасы.)

Егер тәуелсіз сынақтардың әрқайсысында А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты болса және олардың саны жеткілікті үлкен болса, онда оқиғаның пайда болу жиілігі оның пайда болу ықтималдығынан қалағандай аз ерекшелену ықтималдығы ерікті түрде жақын. бірлікке:

Бернулли теоремасы егер оқиғаның ықтималдығы барлық сынақтарда бірдей болса, онда сынақтар саны артқан сайын оқиғаның жиілігі оқиғаның ықтималдылығына бейім болады және кездейсоқ болудан қалады.

Тәжірибеде кез келген тәжірибеде оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болатын тәжірибелер салыстырмалы түрде сирек кездеседі, көбінесе әртүрлі эксперименттерде әртүрлі болады. Пуассон теоремасы осы типтегі сынақ схемасына қолданылады:

Қорытынды 3 . (Пуассон теоремасы.)

Егер алдыңғы сынақтардың нәтижелері белгілі болған кезде --ші сынақта оқиғаның пайда болу ықтималдығы өзгермесе және олардың саны жеткілікті үлкен болса, онда оқиғаның пайда болу ықтималдылығы арифметикадан ерікті түрде аз ерекшеленеді. Ықтималдықтардың орташа шамасы бірлікке ерікті түрде жақын:

Пуассон теоремасы тәуелсіз сынақтар тізбегіндегі оқиғаның жиілігі оның ықтималдықтарының арифметикалық ортасына бейімділігін және кездейсоқ болуын тоқтататынын айтады.

Қорытындылай келе, қарастырылған теоремалардың ешқайсысы қажетті ықтималдықтың дәл де, тіпті шамамен мәнін де бермейтінін, тек оның төменгі немесе жоғарғы шегі көрсетілгенін ескереміз. Сондықтан сәйкес оқиғалардың ықтималдықтарының дәл немесе ең болмағанда жуық мәнін белгілеу қажет болса, бұл теоремалардың мүмкіндіктері өте шектеулі.

Үлкен мәндер үшін шамамен ықтималдықтарды тек шекті теоремалар арқылы алуға болады. Оларда кездейсоқ шамаларға қосымша шектеулер қойылады (мысалы, Ляпунов теоремасындағыдай) немесе белгілі бір түрдегі кездейсоқ шама қарастырылады (мысалы, Мовр-Лаплас интегралдық теоремасында).

Үлкен сандар заңының өте жалпы тұжырымы болып табылатын Чебышев теоремасының теориялық мәні зор. Алайда, егер біз оны тәуелсіз кездейсоқ шамалардың тізбегіне үлкен сандар заңын қолдану мүмкін бе деген шешім қабылдағанда қолданатын болсақ, онда жауап оң болса, теорема жиі кездейсоқ шамалардың қажет болғаннан әлдеқайда көп болуын талап етеді. үлкен сандар заңы күшіне енеді. Чебышев теоремасының бұл кемшілігі оның жалпы табиғатымен түсіндіріледі. Сондықтан қажетті ықтималдықтың төменгі (немесе жоғарғы) шегін дәлірек көрсететін теоремалар болғаны жөн. Оларды кездейсоқ шамаларға кейбір қосымша шектеулер қою арқылы алуға болады, әдетте олар тәжірибеде кездесетін кездейсоқ шамаларға қанағаттандырылады.

ҮЛКЕН САНДАР ЗАҢЫНЫҢ МАЗМҰНЫ ТУРАЛЫ ЕСКЕРТПЕЛЕР

Егер кездейсоқ шамалардың саны жеткілікті үлкен болса және олар кейбір өте жалпы шарттарды қанағаттандыратын болса, онда олар қалай таралса да, олардың арифметикалық орташа мәні тұрақты мәннен – олардың математикалық күтулерінің арифметикалық ортасынан қалағандай аз ауытқыйтыны анық дерлік. , яғни тұрақты дерлік мән. Үлкен сандар заңына байланысты теоремалардың мазмұны осындай. Демек, үлкен сандар заңы кездейсоқтық пен қажеттілік арасындағы диалектикалық байланыстың бір көрінісі болып табылады.

Ең алдымен физикалық құбылыстар арасында үлкен сандар заңының көріністері ретінде жаңа сапалық күйлердің пайда болуына көптеген мысалдар келтіруге болады. Солардың бірін қарастырайық.

Қазіргі ұғымдар бойынша газдар жеке бөлшектерден – ретсіз қозғалыстағы молекулалардан тұрады және берілген сәтте оның қай жерде болатынын және осы немесе басқа молекуланың қандай жылдамдықпен қозғалатынын нақты айту мүмкін емес. Дегенмен, бақылаулар көрсеткендей, молекулалардың жалпы әсері, мысалы, газ қысымы

ыдыстың қабырғасы, таңғажайып консистенциямен көрінеді. Ол соққылардың саны мен олардың әрқайсысының күшімен анықталады. Бірінші және екінші кездейсоқ жағдай болса да, құрылғылар қалыпты жағдайда газ қысымының ауытқуын байқамайды. Бұл молекулалардың үлкен санына байланысты, тіпті ең аз көлемде де болуымен түсіндіріледі

қысымның айтарлықтай мөлшерде өзгеруі іс жүзінде мүмкін емес. Демек, газ қысымының тұрақтылығын көрсететін физикалық заң үлкен сандар заңының көрінісі болып табылады.

Қысымның тұрақтылығы және газдың кейбір басқа сипаттамалары бір уақытта зат құрылымының молекулалық теориясына қарсы сенімді дәлел болды. Кейіннен олар жеке молекулалардың әсері әлі де сақталуын қамтамасыз ете отырып, салыстырмалы түрде аз молекулаларды бөліп алуды үйренді, осылайша үлкен сандар заңы өзін жеткілікті дәрежеде көрсете алмады. Содан кейін заттың молекулалық құрылымы туралы гипотезаны растайтын газ қысымының ауытқуын байқауға болады.

Сақтандырудың әртүрлі түрлерінің негізінде үлкен сандар заңы жатыр (адам өмірін барлық мүмкін кезеңдерге, мүлікті, малды, егінді және т.б. сақтандыру).

Тұтыну тауарларының ассортиментін жоспарлау кезінде халықтың оларға деген сұранысы ескеріледі. Бұл сұраныс үлкен сандар заңының әсерін ашады.

Статистикада кеңінен қолданылатын іріктеу әдісі өзінің ғылыми негізін үлкен сандар заңынан табады. Мысалы, колхоздан дайындау пунктіне әкелінген бидайдың сапасы аз мөлшерде кездейсоқ алынған дәннің сапасымен бағаланады. Бүкіл партиямен салыстырғанда өлшемде астық көп емес, бірақ кез келген жағдайда шара ондағы дәндер жеткілікті болатындай етіп таңдалады.

қажеттілікті қанағаттандыратын дәлдікпен үлкен сандар заңының көріністері. Біз кіретін астықтың барлық партиясының ластануы, ылғалдылығы және орташа дән салмағының көрсеткіштері ретінде үлгідегі сәйкес көрсеткіштерді алуға құқылымыз.

Ғалымдардың үлкен сандар заңының мазмұнын тереңдетудегі одан әрі күш-жігері осы заңның кездейсоқ шамалар тізбегіне қолдану мүмкіндігінің ең жалпы шарттарын алуға бағытталды. Бұл бағытта көптен бері іргелі табыстар болған жоқ. П.Л.Чебышев пен А.А.Марковтан кейін 1926 жылы ғана кеңес академигі А.Н.Колмогоров үлкен сандар заңының тәуелсіз кездейсоқ шамалардың тізбегіне қолданылуы үшін қажетті және жеткілікті шарттарды ала алды. 1928 жылы кеңес ғалымы А.Я.Хинчин үлкен сандар заңының тәуелсіз бірдей таралған кездейсоқ шамалардың тізбегіне қолданылуының жеткілікті шарты олардың математикалық күтуінің болуы екенін көрсетті.

Тәжірибе үшін үлкен сандар заңының тәуелді кездейсоқ шамаларға қолданылуы туралы мәселені толық түсіндіру өте маңызды, өйткені табиғат пен қоғамдағы құбылыстар өзара тәуелді және бірін-бірі өзара анықтайды. Енгізу қажет шектеулерді түсіндіруге көп жұмыс жасалды

тәуелді кездейсоқ шамаларға үлкен сандар заңын қолдануға болады, ал ең маңыздылары көрнекті орыс ғалымы А.А.Марков пен көрнекті кеңес ғалымдары С.Н.Бернштейн мен А.Я.Хинчинге тиесілі.

Бұл жұмыстардың негізгі нәтижесі үлкен сандар заңын тәуелді кездейсоқ шамаларға қолдануға болады, егер сандары жақын кездейсоқ шамалардың арасында күшті тәуелділік болса, ал алыс сандары бар кездейсоқ шамалар арасында тәуелділік жеткілікті әлсіз болса ғана. Бұл түрдегі кездейсоқ шамалардың мысалдары климаттың сандық сипаттамалары болып табылады. Әр күннің ауа-райына алдыңғы күндердің ауа-райы айтарлықтай әсер етеді және күндер бір-бірінен алыстаған сайын әсер айтарлықтай әлсірейді. Демек, үлкен сандар заңына сәйкес белгілі бір аумақтың ұзақ мерзімді орташа температурасы, қысымы және климатының басқа сипаттамалары олардың математикалық күтулеріне іс жүзінде жақын болуы керек. Соңғылары аймақ климатының объективті сипаттамалары болып табылады.

Үлкен сандар заңын тәжірибе жүзінде тексеру үшін әр түрлі уақытта келесі тәжірибелер жүргізілді.

1. Тәжірибе Буффон. Монета 4040 рет лақтырылған. Елтаңба 2048 рет пайда болды. Оның пайда болу жиілігі 0,50694 = тең болып шықты

2. Тәжірибе Пирсон. Монета 12 000 және 24 000 рет лақтырылған. Елтаңбаның құлау жиілігі бірінші жағдайда 0,5016, екіншісінде 0,5005 болды.

H. Тәжірибе Вестергаард. Ақ және қара шарлардың саны бірдей урнадан 10 000 ұтыс ойынынан кейін 5011 ақ және 4989 қара шар алынды (келесі тартылған доп урнаға қайтарылады). Ақ шарлардың жиілігі 0,50110 = (), ал қара шарлардың жиілігі 0,49890 болды.

4. Тәжірибе В.И. Романовский. Төрт тиын 21 160 рет лақтырылған. Елтаңба мен хэш-таңбалардың әртүрлі комбинацияларының жиіліктері мен жиіліктері келесідей бөлінді:

Бастар мен құйрықтар санының комбинациясы	Жиіліктер	Жиіліктер
		Эмпирикалық	Теориялық
4 және 0	1 181	0,05858	0,0625
3 және 1	4909	0,24350	0,2500
2 және 2	7583	0,37614	0,3750
1 және 3	5085	0,25224	0,2500
1 және 4		0,06954	0,0625
Барлығы	20160	1,0000	1,0000

Үлкен сандар заңының тәжірибелік сынақтарының нәтижелері эксперименттік жиіліктердің ықтималдықтарға өте жақын екеніне көз жеткізеді.

ОРТАЛЫҚ ШЕК ТЕОРЕМАСЫ

Тәуелсiз қалыпты үлестiрiлген кездейсоқ шамалардың кез келген соңғы санының қосындысы да қалыпты үлестiрiлетiнiн дәлелдеу қиын емес.

Егер тәуелсіз кездейсоқ шамалар қалыпты түрде таралмаса, онда оларға өте бос шектеулер қойылуы мүмкін және олардың қосындысы бұрынғысынша қалыпты түрде таралады.

Бұл мәселені негізінен орыс ғалымдары П.Л.Чебышев және оның шәкірттері А.А.Марков пен А.М.Ляпунов қойып, шешті.

Теорема (Ляпунов).

Егер тәуелсіз кездейсоқ шамалардың соңғы математикалық күтулері және соңғы дисперсиялары болса , олардың саны айтарлықтай көп және шексіз өсумен

,

үшінші ретті абсолютті орталық моменттері қайда, онда олардың қосындысы жеткілікті дәлдік дәрежесімен үлестірмелі болады.

(Шындығында, біз Ляпунов теоремасын емес, оның бір салдарын келтіреміз, өйткені бұл қорытынды практикалық қолдану үшін жеткілікті. Сондықтан Ляпунов шарты деп аталатын шарт Ляпунов теоремасының өзін дәлелдеу үшін қажетті талаптан күштірек талап болып табылады. )

Шарттың мағынасы әрбір терминнің әсері (кездейсоқ шама) олардың барлығының жалпы әсерімен салыстырғанда аз болады. Табиғатта және қоғамдық өмірде кездесетін көптеген кездейсоқ құбылыстар дәл осы заңдылық бойынша жүреді. Осыған байланысты Ляпунов теоремасы ерекше үлкен маңызға ие және қалыпты таралу заңы ықтималдықтар теориясындағы негізгі заңдардың бірі болып табылады.

Мысалы, өндірілсін өлшеубелгілі бір мөлшерде. Бақыланатын мәндердің оның шынайы мәнінен әртүрлі ауытқулары (математикалық күту) әрқайсысы кішігірім қателік тудыратын факторлардың өте үлкен санының әсері нәтижесінде алынады және . Сонда жалпы өлшеу қателігі кездейсоқ шама болып табылады, ол Ляпунов теоремасы бойынша қалыпты заң бойынша таралуы керек.

Сағат мылтық атукездейсоқ себептердің өте үлкен санының әсерінен снарядтар белгілі бір аумаққа шашыраңқы болады. Снарядтың траекториясына кездейсоқ әсер етуді тәуелсіз деп санауға болады. Әрбір себеп барлық себептердің әсерінен жалпы өзгеріспен салыстырғанда траекторияда шамалы ғана өзгеріс тудырады. Сондықтан снарядтың жарылыс орнының нысанадан ауытқуы қалыпты заң бойынша бөлінген кездейсоқ шама болады деп күтуіміз керек.

Ляпуновтың теоремасы бойынша, біз, мысалы, ересек еркек биіктігіқалыпты заң бойынша бөлінген кездейсоқ шама. Бұл гипотеза, сондай-ақ алдыңғы екі мысалда қарастырылғандар, бақылаулармен жақсы сәйкес келеді. Мұны растау үшін біз 1000 ересек ер жұмысшының биіктігі бойынша үлестіруді, еркектердің сәйкес теориялық сандарын, яғни ерлердің санын ұсынамыз. қалыпты заң бойынша ерлердің бойының таралуын болжауға негізделген бұл топтардың бойы кімде болуы керек.

Биіктігі, см	ерлердің саны
	эксперименттік деректер	теориялық болжамдар
143-146
146-149
149-152
152-155
155-158
158- 161
161- 164
164-167
167-170
170-173
173-176
176-179
179 -182
182-185
185-188

Эксперименттік деректер мен теориялық мәліметтердің арасындағы дәлірек келісімді күту қиын болар еді.

Ляпунов теоремасының салдары ретінде таңдау әдісін негіздеу үшін болашақта қажет болатын ұсынысты оңай дәлелдеуге болады.

Ұсыныс.

Үшінші ретті абсолютті орталық моменттері бар бірдей таралған кездейсоқ шамалардың жеткілікті үлкен санының қосындысы қалыпты заң бойынша бөлінеді.

Ықтималдықтар теориясының шектік теоремалары, Мовр-Лаплас теоремасы оқиғаның пайда болу жиілігінің тұрақтылығының сипатын түсіндіреді. Бұл табиғат сынаулар санының шексіз ұлғаюымен оқиғаның пайда болу санының шекті таралуы (егер оқиғаның ықтималдығы барлық сынақтарда бірдей болса) қалыпты таралу болып табылатындығында.

Кездейсоқ шамалар жүйесі.

Жоғарыда қарастырылған кездейсоқ шамалар бір өлшемді болды, яғни. бір санмен анықталды, бірақ екі, үш және т.б. арқылы анықталатын кездейсоқ шамалар да бар. сандар. Мұндай кездейсоқ шамаларды екі өлшемді, үш өлшемді және т.б.

Жүйеге енгізілген кездейсоқ шамалардың түріне байланысты, егер жүйеде кездейсоқ шамалардың әртүрлі типтері болса, жүйелер дискретті, үздіксіз немесе аралас болуы мүмкін.

Екі кездейсоқ шама жүйелерін толығырақ қарастырайық.

Анықтама. Бөлу заңыкездейсоқ шамалар жүйесі – кездейсоқ шамалар жүйесінің мүмкін мәндерінің облыстары мен осы аймақтарда пайда болатын жүйенің ықтималдылығы арасындағы байланысты орнататын қатынас.

Мысал. 2 ақ және үш қара шар бар урнадан екі шар алынады. Сызылған ақ шарлар саны болсын және кездейсоқ шама келесідей анықталады:

Кездейсоқ шамалар жүйесі үшін тарату кестесін құрайық:

Өйткені ақ шарлар тартылмау ықтималдығы (бұл екі қара шардың тартылғанын білдіреді) және , содан кейін

.

Ықтималдық

.

Ықтималдық

Ықтималдық - ақ шарлар салынбау ықтималдығы (демек, екі қара шар тартылады), ал , содан кейін

Ықтималдық - бір ақ шардың тартылу ықтималдығы (демек, бір қара), ал , содан кейін

Ықтималдық - екі ақ шардың тартылу ықтималдығы (және, демек, қара емес), әзірше , содан кейін

.

Осылайша, екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу қатары келесідей формада болады:

Анықтама. Тарату функциясыекі кездейсоқ шамадан тұратын жүйе екі аргументтің функциясы деп аталадыФ( x, ж) , екі теңсіздікті бірлесіп орындау ықтималдығына теңX< x, Ы< ж.

Екі кездейсоқ шама жүйесінің таралу функциясының келесі қасиеттерін атап өтейік:

1) ;

2) Бөлу функциясы әрбір аргумент үшін кемімейтін функция болып табылады:

3) Келесі шындық:

4)

5) Кездейсоқ нүктеге соғу ықтималдығы ( X,Y ) қабырғалары координаталық осьтерге параллель болатын ерікті тіктөртбұрышқа келесі формуламен есептеледі:

Екі кездейсоқ шама жүйесінің таралу тығыздығы.

Анықтама.Бірлескен таралу тығыздығыекі өлшемді кездейсоқ шаманың ықтималдығы ( X,Y ) таралу функциясының екінші аралас жартылай туындысы деп аталады.

Егер таралу тығыздығы белгілі болса, онда таралу функциясын мына формула арқылы табуға болады:

Екі өлшемді таралу тығыздығы теріс емес және екі өлшемді тығыздықтың шексіз шекаралары бар қос интеграл бірге тең.

Бірлескен таралудың белгілі тығыздығынан екі өлшемді кездейсоқ шаманың құрамдастарының әрқайсысының таралу тығыздығын табуға болады.

; ;

Таралудың шартты заңдары.

Жоғарыда көрсетілгендей, бірлескен таралу заңын біле отырып, жүйеге енгізілген әрбір кездейсоқ шаманың таралу заңдарын оңай табуға болады.

Бірақ тәжірибеде кері есеп жиі кездеседі – кездейсоқ шамалардың белгілі таралу заңдарын пайдалана отырып, олардың бірлескен таралу заңын табыңыз.

Жалпы жағдайда бұл мәселе шешілмейді, өйткені кездейсоқ шаманың таралу заңы бұл айнымалының басқа кездейсоқ шамалармен байланысы туралы ештеңе айтпайды.

Сонымен қатар, егер кездейсоқ шамалар бір-біріне тәуелді болса, онда үлестіру заңын компоненттердің таралу заңдары арқылы көрсету мүмкін емес, өйткені құрамдас бөліктер арасында байланыс орнату керек.

Мұның бәрі шартты бөлу заңдарын қарастыру қажеттілігіне әкеледі.

Анықтама. Басқа кездейсоқ шама белгілі бір мән алған жағдайда табылған жүйеге енгізілген бір кездейсоқ шаманың таралуы деп аталады. шартты бөлу заңы.

Шартты таралу заңын таралу функциясы арқылы да, таралу тығыздығы арқылы да көрсетуге болады.

Шартты таралу тығыздығы мына формулалар арқылы есептеледі:

Шартты таралу тығыздығы бір кездейсоқ шаманың таралу тығыздығының барлық қасиеттеріне ие.

Шартты математикалық күту.

Анықтама. Шартты математикалық күтудискретті кездейсоқ шама Y X = x кезінде (x – Х-тің белгілі бір мүмкін мәні) – барлық мүмкін мәндердің көбейтіндісіЫ олардың шартты ықтималдықтары бойынша.

Үздіксіз кездейсоқ айнымалылар үшін:

,

Қайда f( ж/ x) – кездейсоқ шаманың шартты тығыздығы Y X = x кезінде.

Шартты математикалық күтуМ( Ы/ x)= f( x) функциясы болып табылады Xжәне деп аталады регрессия функциясы X қосулы Ы.

Мысал.Компоненттің шартты математикалық күтуін табыңыз Y сағ

X = x 1 Кестеде берілген дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама үшін =1:

Ы
	x 1 =1	x 2 =3	x 3 =4	x 4 =8
y 1 =3	0,15	0,06	0,25	0,04
y 2 =6	0,30	0,10	0,03	0,07

Кездейсоқ шамалар жүйесінің шартты дисперсиясы мен шартты моменттері бірдей анықталады.

Тәуелді және тәуелсіз кездейсоқ шамалар.

Анықтама. Кездейсоқ айнымалылар деп аталады тәуелсіз, егер олардың біреуінің таралу заңы екінші кездейсоқ шаманың мәніне тәуелді болмаса.

Кездейсоқ шамалардың тәуелділігі туралы түсінік ықтималдықтар теориясында өте маңызды.

Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың шартты үлестірімдері олардың шартсыз таралуларына тең.

Кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігінің қажетті және жеткілікті шарттарын анықтайық.

Теорема. Ы тәуелсіз болды, жүйенің таралу функциясы қажет және жеткілікті ( X, Ы) құрауыштардың таралу функцияларының көбейтіндісіне тең болды.

Ұқсас теореманы таралу тығыздығы үшін тұжырымдауға болады:

Теорема. Кездейсоқ шамалар үшін X және Ы тәуелсіз болды, жүйенің ортақ таралу тығыздығы қажет және жеткілікті ( X, Ы) құрамдас бөліктердің таралу тығыздықтарының көбейтіндісіне тең болды.

Іс жүзінде келесі формулалар қолданылады:

Дискретті кездейсоқ айнымалылар үшін:

Үздіксіз кездейсоқ айнымалылар үшін:

Корреляциялық момент кездейсоқ шамалар арасындағы байланысты сипаттау үшін қызмет етеді. Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда олардың корреляциялық моменті нөлге тең болады.

Корреляция моменті кездейсоқ шамалардың X және өлшемдерінің көбейтіндісіне тең өлшемге иеЫ . Бұл факт осы сандық сипаттаманың кемшілігі болып табылады, өйткені Әртүрлі өлшем бірліктерімен әртүрлі корреляциялық моменттер алынады, бұл әртүрлі кездейсоқ шамалардың корреляциялық моменттерін салыстыруды қиындатады.

Бұл кемшілікті жою үшін тағы бір сипаттама – корреляция коэффициенті қолданылады.

Анықтама. Корреляция коэффициенті r xy кездейсоқ шамалар X жәнеЫ корреляциялық моменттің осы шамалардың стандартты ауытқуларының көбейтіндісіне қатынасы деп аталады.

Корреляция коэффициенті өлшемсіз шама. Тәуелсіз кездейсоқ шамалар үшін корреляция коэффициенті нөлге тең.

Мүлік: Екі X және Y кездейсоқ шамаларының корреляциялық моментінің абсолютті мәні олардың дисперсияларының орташа геометриялық мәнінен аспайды.

Мүлік: Корреляция коэффициентінің абсолютті мәні біреуден аспайды.

Кездейсоқ айнымалылар деп аталады корреляцияланған, егер олардың корреляциялық моменті нөлден өзгеше болса, және корреляциясыз, егер олардың корреляциялық моменті нөлге тең болса.

Кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда олар корреляциясыз, бірақ корреляциясыздықтан олар тәуелсіз деп қорытынды жасауға болмайды.

Егер екі шама тәуелді болса, онда олар корреляциялық немесе корреляциясыз болуы мүмкін.

Көбінесе кездейсоқ шамалар жүйесінің берілген таралу тығыздығынан осы айнымалылардың тәуелділігін немесе тәуелсіздігін анықтауға болады.

Корреляция коэффициентімен қатар кездейсоқ шамалардың тәуелділік дәрежесін басқа шамамен сипаттауға болады, оны ковариация коэффициенті. Ковариация коэффициенті формуламен берілген:

Мысал.Кездейсоқ шамалардың X жүйесінің таралу тығыздығы берілген жәнетәуелсіз. Әрине, олар да байланыссыз болады.

Сызықтық регрессия.

Екі өлшемді кездейсоқ шаманы қарастырайық ( X, Y), мұндағы X және Y тәуелді кездейсоқ шамалар болып табылады.

Бір кездейсоқ шаманы басқасының функциясы ретінде шамамен көрсетейік. Нақты сәйкестік мүмкін емес. Бұл функция сызықтық деп есептейміз.

Бұл функцияны анықтау үшін тұрақты мәндерді табу ғана қалады аЖәне б.

Анықтама. Функцияg( X) шақырды ең жақсы жуықтаукездейсоқ шамаЫ ең кіші квадраттар әдісі мағынасында, егер математикалық күту

Мүмкін болатын ең кіші мәнді қабылдайды. Сондай-ақ функцияg( x) шақырды орташа квадрат регрессия Y-ден X.

Теорема. Сызықтық орташа квадрат регрессия Ы X бойынша мына формуламен есептеледі:

осы формулада m x= М( X кездейсоқ шама Ыкездейсоқ шамаға қатысты X.Бұл мән кездейсоқ шаманы ауыстыру кезінде пайда болатын қатенің шамасын сипаттайдыЫсызықтық функцияg( X) = аX+б.

Түсінікті, егер r= ± 1, онда қалдық дисперсия нөлге тең, демек қате нөлге тең және кездейсоқ шамаЫкездейсоқ шаманың сызықтық функциясымен дәл берілген X.

Орташа квадрат регрессия сызығы XқосулыЫмына формуламен анықталады: X және Ыбір-біріне қатысты сызықтық регрессия функциялары болса, онда олар шамаларды айтады XЖәнеЫқосылған сызықтық корреляциялық тәуелділік.

Теорема. Егер екі өлшемді кездейсоқ шама ( X, Ы) қалыпты таралған, содан кейін X және Ы сызықтық корреляция арқылы байланысады.

Е.Г. Никифорова