Логарифмдік туынды арқылы туындыларды есептеңіз. Күрделі туындылар

Күрделі туындылар. Логарифмдік туынды.
Дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысы

Біз саралау техникасын жетілдіруді жалғастырамыз. Бұл сабақта біз өткен материалды бекітеміз, күрделірек туындыларды қарастырамыз, сонымен қатар туындыны, атап айтқанда, логарифмдік туындыны табудың жаңа әдістерімен және амалдарымен танысамыз.

Дайындығы төмен оқырмандар мақалаға жүгінуі керек Туындыны қалай табуға болады? Шешімдердің мысалдары, бұл сіздің дағдыларыңызды нөлден дерлік арттыруға мүмкіндік береді. Әрі қарай, сіз бетті мұқият зерделеуіңіз керек Күрделі функцияның туындысы, түсіну және шешу Барлығымен келтірген мысалдар. Бұл сабақ логикалық түрде қатарынан үшінші болып табылады және оны меңгергеннен кейін сіз өте күрделі функцияларды сенімді түрде ажырата аласыз. «Тағы қайда? Бұл жеткілікті!», өйткені барлық мысалдар мен шешімдер нақты сынақтардан алынған және тәжірибеде жиі кездеседі.

Қайталаудан бастайық. Сыныпта Күрделі функцияның туындысыБіз егжей-тегжейлі түсініктемелері бар бірқатар мысалдарды қарастырдық. Дифференциалды есептеуді және математикалық талдаудың басқа салаларын оқу барысында сіз өте жиі ажыратуға тура келеді және мысалдарды егжей-тегжейлі сипаттау әрқашан ыңғайлы емес (және әрқашан қажет емес). Сондықтан туынды сөздерді ауызша табуға жаттығамыз. Бұл үшін ең қолайлы «үміткерлер» ең қарапайым күрделі функциялардың туындылары болып табылады, мысалы:

Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесі бойынша :

Болашақта басқа матан тақырыптарын оқығанда, мұндай егжей-тегжейлі жазу көбінесе талап етілмейді, студент мұндай туындыларды автопилотта қалай табуға болатынын біледі деп болжанады; Елестетіп көрейікші, түнгі сағат 3-те телефон шырылдап, жағымды дауыс: «Екі Х-ның жанамасының туындысы қандай?» деп сұрады. Осыдан кейін бірден және сыпайы жауап болуы керек: .

Бірінші мысал дереу тәуелсіз шешімге арналған.

1-мысал

Мына туынды сөздерді ауызша, бір қимылда табыңыз, мысалы: . Тапсырманы орындау үшін сізге тек пайдалану керек элементар функциялардың туындыларының кестесі(егер сіз әлі есіңізде болмаса). Егер сізде қандай да бір қиындықтар болса, мен сабақты қайта оқуды ұсынамын Күрделі функцияның туындысы.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Сабақтың соңындағы жауаптар

Күрделі туындылар

Алдын ала артиллериялық дайындықтан кейін функциялардың 3-4-5 ұялары бар мысалдар аз қорқынышты болады. Төмендегі екі мысал кейбіреулерге күрделі болып көрінуі мүмкін, бірақ егер сіз оларды түсінсеңіз (біреу зардап шегеді), дифференциалды есептеудегі қалғанның барлығы дерлік баланың әзіліндей болып көрінеді.

2-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Жоғарыда айтылғандай, күрделі функцияның туындысын табу кезінде, ең алдымен, қажет ДұрысИнвестицияларыңызды түсініңіз. Күмән тудыратын жағдайларда, мен сізге пайдалы әдісті еске саламын: біз, мысалы, «x» эксперименттік мәнін аламыз және бұл мәнді «қорқынышты өрнекке» ауыстыруға тырысамыз (ойша немесе жобада).

1) Алдымен біз өрнекті есептеуіміз керек, яғни қосынды ең терең ендірілген.

2) Содан кейін логарифмді есептеу керек:

4) Содан кейін косинусты текшеге келтіріңіз:

5) Бесінші қадамда айырмашылық:

6) Соңында, ең сыртқы функция - квадрат түбір:

Күрделі функцияны дифференциалдау формуласы ең сыртқы функциядан ең ішкіге дейін кері ретпен қолданылады. Біз шешеміз:

Ешқандай қате жоқ сияқты...

(1) Квадрат түбірдің туындысын алыңыз.

(2) Ережені пайдаланып айырманың туындысын аламыз

(3) Үштіктің туындысы нөлге тең. Екінші мүшеде дәреженің туындысын аламыз (куб).

(4) Косинустың туындысын алыңдар.

(5) Логарифмнің туындысын алыңыз.

(6) Соңында біз ең терең енгізудің туындысын аламыз.

Бұл тым қиын болып көрінуі мүмкін, бірақ бұл ең қатыгез мысал емес. Мысалы, Кузнецовтың коллекциясын алсаңыз, талданған туындының барлық сұлулығы мен қарапайымдылығын бағалайсыз. Студенттің күрделі функцияның туындысын қалай табуға болатынын түсінетінін немесе түсінбегенін тексеру үшін емтиханда ұқсас нәрсені бергенді ұнататынын байқадым.

Келесі мысал сізге өз бетінше шешуге арналған.

3-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Нұсқау: Алдымен сызықтық ережелер мен өнімді дифференциалдау ережесін қолданамыз

Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Кішкентай және жақсырақ нәрсеге көшудің уақыты келді.
Мысалда екі емес, үш функцияның туындысын көрсету сирек емес. Үш көбейтіндінің туындысын қалай табуға болады?

4-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Алдымен, үш функцияның туындысын екі функцияның туындысына айналдыруға болатынын көрейік. Мысалы, көбейтіндіде екі көпмүше болса, жақшаларды аша аламыз. Бірақ қарастырылып отырған мысалда барлық функциялар әртүрлі: дәреже, көрсеткіш және логарифм.

Мұндай жағдайларда қажет ретіменөнімді саралау ережесін қолданыңыз екі рет

Оның айласы мынада: «y» арқылы біз екі функцияның туындысын белгілейміз: , ал «ve» арқылы логарифмді белгілейміз: . Неліктен мұны істеуге болады? Шынымен солай ма – бұл екі фактордың туындысы емес және ереже жұмыс істемейді?! Күрделі ештеңе жоқ:

Енді ережені екінші рет қолдану қалды жақшаға:

Сіз сондай-ақ бұралып, жақшалардан бірдеңе алуға болады, бірақ бұл жағдайда жауапты дәл осы пішінде қалдырған дұрыс - тексеру оңайырақ болады.

Қарастырылған мысалды екінші жолмен шешуге болады:

Екі шешім де абсолютті эквивалент.

5-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл бірінші әдіс арқылы шешілетін үлгідегі тәуелсіз шешімнің мысалы;

Бөлшектермен ұқсас мысалдарды қарастырайық.

6-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда барудың бірнеше жолы бар:

Немесе келесідей:

Бірақ егер алдымен бөліндіні дифференциалдау ережесін қолдансақ, шешім ықшамырақ жазылады , бүкіл алым үшін:

Негізінде, мысал шешілді, егер ол сол күйінде қалдырылса, ол қате болмайды. Бірақ егер сізде уақыт болса, жауапты оңайлатуға болатынын білу үшін әрқашан жобаны тексерген жөн бе? Алым өрнекті ортақ бөлімге келтірейік және үш қабатты бөлшектен арылайық:

Қосымша жеңілдетулердің кемшілігі - туындыны табу кезінде емес, мектептегі банальды түрлендірулер кезінде қателесу қаупі бар. Екінші жағынан, мұғалімдер көбінесе тапсырманы қабылдамайды және туындыны «еске түсіруді» сұрайды.

Өз бетіңізше шешуге қарапайым мысал:

7-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Біз туындыны табу әдістерін меңгеруді жалғастырамыз, енді дифференциалдау үшін «қорқынышты» логарифм ұсынылған кездегі типтік жағдайды қарастырамыз.

8-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда күрделі функцияны саралау ережесін қолдана отырып, ұзақ жол жүруге болады:

Бірақ ең бірінші қадам сізді бірден үмітсіздікке душар етеді - сіз жағымсыз туындыны бөлшек дәрежеден, содан кейін бөлшектен алуыңыз керек.

Сондықтан бұрын«Күрделі» логарифмнің туындысын қалай алуға болады, ол алдымен белгілі мектеп қасиеттерін пайдаланып оңайлатылады:

! Қолыңызда жаттығу дәптері болса, осы формулаларды тікелей сол жерге көшіріңіз. Егер сізде дәптер болмаса, оларды қағазға көшіріңіз, өйткені сабақтың қалған мысалдары осы формулалардың айналасында болады.

Шешімнің өзі келесідей жазылуы мүмкін:

Функцияны түрлендірейік:

Туындыны табу:

Функцияны алдын ала түрлендірудің өзі шешімді айтарлықтай жеңілдетті. Осылайша, дифференциация үшін ұқсас логарифм ұсынылған кезде, оны әрқашан «бөліп тастау» ұсынылады.

Енді өзіңіз шешуге болатын бірнеше қарапайым мысал:

9-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

10-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Барлық түрлендірулер мен жауаптар сабақтың соңында.

Логарифмдік туынды

Егер логарифмдердің туындысы осындай тәтті музыка болса, онда сұрақ туындайды: кейбір жағдайларда логарифмді жасанды түрде ұйымдастыруға болады ма? Болады! Және тіпті қажет.

11-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Жақында біз ұқсас мысалдарды қарастырдық. Не істеу керек? Бөліндіні дифференциалдау ережесін, содан кейін көбейтіндіні дифференциалдау ережесін ретімен қолдануға болады. Бұл әдістің кемшілігі - сіз үш қабатты үлкен фракцияға ие боласыз, онымен мүлдем айналысқыңыз келмейді.

Бірақ теория мен тәжірибеде логарифмдік туынды сияқты керемет нәрсе бар. Логарифмдерді екі жағынан «ілу» арқылы жасанды түрде ұйымдастыруға болады:

Ескерту : өйткені функция теріс мәндерді қабылдауы мүмкін, содан кейін, жалпы айтқанда, модульдерді пайдалану керек: , ол дифференциация нәтижесінде жойылады. Дегенмен, қазіргі дизайн да қолайлы, мұнда әдепкі бойынша ол ескеріледі кешенмағыналары. Бірақ егер қатаң болса, онда екі жағдайда да ескертпе жасау керек.

Енді оң жақтың логарифмін мүмкіндігінше «үзу» керек (көз алдыңыздағы формулалар?). Мен бұл процесті егжей-тегжейлі сипаттаймын:

Дифференциациядан бастайық.
Екі бөлікті де негізгі нүктемен аяқтаймыз:

Оң жақтың туындысы өте қарапайым, мен оған түсініктеме бермеймін, өйткені егер сіз бұл мәтінді оқып жатсаңыз, оны сенімді түрде өңдеуіңіз керек.

Сол жағы ше?

Сол жағында бізде күрделі функция. Мен: «Неге, логарифмнің астында бір «Y» әрпі бар ма?» деген сұрақты алдын ала білемін.

Бұл «бір әріп ойыны» - ӨЗІ ФУНКЦИЯ(егер ол өте анық болмаса, жанама түрде көрсетілген функцияның туындысы мақаласын қараңыз). Демек, логарифм сыртқы функция, ал «y» ішкі функция. Ал күрделі функцияны дифференциалдау үшін ережені қолданамыз :

Сол жағында, сиқырлы сияқты, бізде туынды бар. Әрі қарай, пропорция ережесіне сәйкес, біз «y» таңбасын сол жақтың бөлгішінен оң жақтың жоғарғы жағына ауыстырамыз:

Ал енді дифференциация кезінде қандай «ойыншы» функциясы туралы айтқанымызды еске түсірейік? Шартты қарастырайық:

Соңғы жауап:

12-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Осы үлгідегі үлгі дизайны сабақтың соңында берілген.

Логарифмдік туындының көмегімен №4-7 мысалдардың кез келгенін шешуге болады, тағы бір нәрсе, ондағы функциялар қарапайымырақ, мүмкін логарифмдік туындыны қолдану өте дұрыс емес.

Дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысы

Біз бұл функцияны әлі қарастырған жоқпыз. Дәрежелік-көрсеткіштік функция - бұл функция дәрежесі де, базасы да «х»-қа тәуелді. Кез келген оқулықта немесе дәрісте сізге берілетін классикалық мысал:

Дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысын қалай табуға болады?

Жаңа ғана талқыланған әдістемені - логарифмдік туындыны қолдану қажет. Логарифмдерді екі жағына іліп қоямыз:

Әдетте, оң жақта логарифмнің астынан градус алынады:

Нәтижесінде оң жақта стандартты формула бойынша сараланған екі функцияның туындысы бар. .

Мұны істеу үшін туындыны табамыз, біз екі бөлікті штрихтар астына қосамыз:

Қосымша әрекеттер қарапайым:

Соңында:

Егер қандай да бір түрлендіру толық түсініксіз болса, №11 мысалдың түсіндірмелерін мұқият оқып шығыңыз.

Практикалық тапсырмаларда қуат-көрсеткіштік функция қарастырылған дәріс үлгісіне қарағанда әрқашан күрделірек болады.

13-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Логарифмдік туындыны қолданамыз.

Оң жақта тұрақты шама және екі фактордың көбейтіндісі бар - «x» және «х логарифмінің логарифмі» (басқа логарифм логарифм астында орналасқан). Дифференциалдау кезінде, есімізде қалғандай, тұрақтыны бірден туынды таңбадан шығарған дұрыс, ол кедергі жасамас үшін; және, әрине, біз таныс ережені қолданамыз :

Логарифмдік туынды арқылы туындыларды есептеу мысалдары келтірілген.

Мазмұны

Сондай-ақ қараңыз: Натурал логарифмнің қасиеттері

Шешу әдісі

Болсын
(1)
х айнымалысының дифференциалданатын функциясы болып табылады.

Біріншіден, біз оны у оң мәндерді қабылдайтын x мәндер жиынында қарастырамыз: .
,
Келесіде біз барлық алынған нәтижелердің теріс мәндер үшін де қолданылатынын көрсетеміз.
.
Кейбір жағдайларда (1) функциясының туындысын табу үшін оны алдын ала логарифмдеу ыңғайлы.
(2) .

содан кейін туындыны есептеңіз. Сонда күрделі функцияны дифференциалдау ережесіне сәйкес,
.

Осы жерден Функцияның логарифмінің туындысы логарифмдік туынды деп аталады:у = функциясының логарифмдік туындысы f(x).

бұл функцияның натурал логарифмінің туындысы:

(ln f(x))'
.
Кейбір жағдайларда (1) функциясының туындысын табу үшін оны алдын ала логарифмдеу ыңғайлы.
(3) .
Теріс y мәндерінің жағдайы

Енді айнымалы оң және теріс мәндерді қабылдай алатын жағдайды қарастырыңыз. Бұл жағдайда модульдің логарифмін алып, оның туындысын табыңыз:
.
Яғни, логарифмдік туындыны есептеудің формальды нәтижесі модульді алған-алмағанымызға байланысты емес. Сондықтан логарифмдік туындыны есептегенде, функцияның қандай таңбасы бар екеніне алаңдамаймыз.

Бұл жағдайды күрделі сандар арқылы нақтылауға болады. Кейбір х мәндері үшін теріс болсын: .
.
Егер тек нақты сандарды қарастырсақ, онда функция анықталмаған. Алайда, егер біз күрделі сандарды ескерсек, келесіні аламыз:
.
Яғни, функциялары және күрделі константамен ерекшеленеді:
.

Тұрақтының туындысы нөлге тең болғандықтан, онда

Логарифмдік туындының қасиеті Мұндай пайымдаудан мынадай қорытынды шығады :
.
функцияны ерікті тұрақтыға көбейткенде логарифмдік туынды өзгермейді Шынында да, пайдаланулогарифмнің қасиеттері , формулалартуынды сома Жәнетұрақтының туындысы

.

, бізде бар:

Логарифмдік туындының қолданылуы

Логарифмдік туындыны бастапқы функция дәреженің туындысынан немесе көрсеткіштік функциялардан тұратын жағдайларда қолдану ыңғайлы. Бұл жағдайда логарифм операциясы функциялардың көбейтіндісін олардың қосындысына айналдырады. Бұл туынды құралды есептеуді жеңілдетеді.

1-мысал
.

Функцияның туындысын табыңыз:
.

Бастапқы функцияны логарифмдейміз:
х айнымалысына қатысты ажыратайық.
.
Туындылар кестесінде мыналарды табамыз:
;
;
;
;
Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолданамыз. .
(A1.1)

.

Көбейту:
.
Сонымен, логарифмдік туындыны таптық:
.

Осы жерден бастапқы функцияның туындысын табамыз:

Ескерту
.
Егер біз тек нақты сандарды қолданғымыз келсе, онда бастапқы функцияның модулінің логарифмін алуымыз керек:
;
.
Содан кейін

Және біз (A1.1) формуласын алдық. Сондықтан нәтиже өзгерген жоқ.

2-мысал
.

Логарифмдік туындыны пайдаланып, функцияның туындысын табыңыз
Логарифмдерді алайық: .
(A2.1)
;
;

;
;
;
.

x айнымалысына қатысты дифференциалдау:
.
Көбейту:
.

Осыдан логарифмдік туынды аламыз:
.

Осы жерден бастапқы функцияның туындысын табамыз:

Бастапқы функцияның туындысы:
.
Мұнда бастапқы функция теріс емес: .

Ол бойынша анықталады.
,
Егер логарифмді аргументтің теріс мәндері үшін анықтауға болады деп есептемесек, онда (A2.1) формула келесі түрде жазылуы керек:

бері

Және
.

бұл соңғы нәтижеге әсер етпейді.
3-мысал .

Туындыны табыңыз
;
;
;
Логарифмдік туынды арқылы дифференциалдау жүргіземіз. Мынаны ескере отырып, логарифмді алайық: .

(A3.1)

.

Осы жерден бастапқы функцияның туындысын табамыз:

Аргументтің теріс мәндері үшін логарифмді анықтауға болады деген болжамсыз есептеулерді жүргізейік. Ол үшін бастапқы функцияның модулінің логарифмін алыңыз:
.
Сонда (A3.1) орнына бізде:
;

.
(A3.2) салыстырсақ, нәтиженің өзгермегенін көреміз.

Сондай-ақ қараңыз:

Табиғи логарифмнің туындысы мен а негізіне логарифмнің формулаларын дәлелдеу және шығару. ln 2x, ln 3x және ln nx туындыларын есептеу мысалдары. n-ші ретті логарифмнің туындысының формуласын математикалық индукция әдісі арқылы дәлелдеу.

Мазмұны

Сондай-ақ қараңыз: Логарифм – қасиеттері, формулалары, графиктері
Натурал логарифм – қасиеттері, формулалары, графиктері

Табиғи логарифм мен логарифмнің туындылары үшін формулаларды шығару.

х-тің натурал логарифмінің туындысы х-ке бөлінгенге тең:
(1) (ln x)′ =.

a негізіне логарифмнің туындысы х айнымалысына бөлінген бірге тең, а натурал логарифміне көбейтінді:
(2) (log a x)′ =.

Дәлелдеу

Бірге тең емес оң сан болсын. Х айнымалысына тәуелді функцияны қарастырайық, ол негізге логарифм болып табылады:
.
Бұл функция кезінде анықталған.
(3) .

Оның х айнымалысына қатысты туындысын табайық.
Анықтау бойынша туынды келесі шек болып табылады:Бұл өрнекті белгілі математикалық қасиеттер мен ережелерге келтіру үшін түрлендірейік. Ол үшін келесі фактілерді білуіміз керек:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
A)Логарифмнің қасиеттері. Бізге келесі формулалар қажет болады:
(7) .
B)
Үздіксіз функция үшін логарифмнің үзіліссіздігі және шектер қасиеті:Мұнда шегі бар функция берілген және бұл шектеу оң.
(8) .

IN)
.
Екінші керемет шектің мағынасы:

.

Осы фактілерді өз шегімізге дейін қолданайық. Алдымен алгебралық өрнекті түрлендіреміз
.

Ол үшін (4) және (5) қасиеттерді қолданамыз.
.
(7) сипатты және екінші керемет шекті (8) қолданайық: Соңында біз сипатты қолданамыз (6):Негізге логарифм eшақырды
.
табиғи логарифм
.

. Ол келесідей белгіленеді:

Содан кейін;

Осылайша, логарифмнің туындысы үшін (2) формуласын алдық.
.
Натурал логарифмнің туындысы
(1) .

А негізі үшін логарифмнің туындысының формуласын тағы да жазамыз:
.

Логарифмнің негізге қатысты туындысын (1) формуладан табуға болады, егер тұрақты мәнді дифференциалдау белгісінен шығарсақ:
.

Логарифмнің туындысын дәлелдеудің басқа тәсілдері

Мұнда біз экспоненциалды туындының формуласын білеміз деп есептейміз:
(9) .
Сонда логарифм көрсеткіштік көрсеткішке кері функция екенін ескере отырып, натурал логарифмнің туындысының формуласын шығаруға болады.

Натурал логарифмнің туындысының формуласын дәлелдеп көрейік, кері функцияның туындысының формуласын қолдану:
.
Біздің жағдайда.
.
Натурал логарифмге кері функция экспоненциалды:
.
Оның туындысы (9) формула бойынша анықталады. Айнымалыларды кез келген әріппен белгілеуге болады. (9) формуладағы х айнымалысын умен ауыстырыңыз:
.
Егер біз тек нақты сандарды қолданғымыз келсе, онда бастапқы функцияның модулінің логарифмін алуымыз керек:
.
Содан бері

Формула дәлелденген. Енді натурал логарифмнің туындысының формуласын пайдаланып дәлелдеймізкүрделі функцияларды ажырату ережелері
.
. және функциялары бір-біріне кері болғандықтан, онда
(10) .
Бұл теңдеуді х айнымалысына қатысты ажыратайық:
.
х-тің туындысы біреуге тең:
.
Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолданамыз:
.
Кейбір жағдайларда (1) функциясының туындысын табу үшін оны алдын ала логарифмдеу ыңғайлы.
.

Мұнда . (10) орнына қоямыз:

Мысал туындыларын табыңыз ln 2x,туынды сома ln 3x.

lnnx Бастапқы функциялар ұқсас пішінге ие. Сондықтан функцияның туындысын табамыз y = log nx . Содан кейін n = 2 және n = 3 орнына қоямыз. Осылайша, туындыларының формулаларын аламыз ln 2x ln 2x, .

Және
Бастапқы функциялар ұқсас пішінге ие. Сондықтан функцияның туындысын табамыз .
Сонымен, біз функцияның туындысын іздейміз
1) Бұл функцияны екі функциядан тұратын күрделі функция ретінде елестетейік:
2) Айнымалыға тәуелді функциялар: ;
Айнымалыға байланысты функциялар: .
.

Сонда бастапқы функция мына функциялардан тұрады және:
.
Функцияның х айнымалысына қатысты туындысын табайық:
.
Функцияның айнымалыға қатысты туындысын табайық:
.
Күрделі функцияның туындысы үшін формуланы қолданамыз.

Міне, біз оны орнаттық.
(11) .
Сонымен, біз таптық:
.
Туынды n-ге тәуелді емес екенін көреміз.
.

; ; .

Түпнұсқа функцияны туындының логарифмінің формуласы арқылы түрлендірсек, бұл нәтиже табиғи болады:

- бұл тұрақты. Оның туындысы нөлге тең. Сонда қосындыны дифференциалдау ережесі бойынша бізде:
(12) .

х модулінің логарифмінің туындысы
.
Тағы бір өте маңызды функцияның туындысын табайық – х модулінің натурал логарифмі:
.

Істі қарастырайық.
,
Сонда функция келесідей көрінеді:
Оның туындысы (1) формула бойынша анықталады:
.
Егер біз тек нақты сандарды қолданғымыз келсе, онда бастапқы функцияның модулінің логарифмін алуымыз керек:
.

Енді істі қарастырайық.
.

Сонда функция келесідей көрінеді:
.

Қайда.

Бірақ біз жоғарыдағы мысалда бұл функцияның туындысын да таптық. Ол n-ге тәуелді емес және оған тең
.
Біз оның бірінші ретті туындысын таптық:
(13) .

Екінші ретті туындыны табайық:
.
Үшінші ретті туындыны табайық:
.
Төртінші ретті туындыны табайық:
.

Сіз n-ші ретті туындының келесі пішінге ие екенін байқай аласыз:
(14) .
Мұны математикалық индукция арқылы дәлелдеп көрейік.

Дәлелдеу

n = 1 мәнін (14) формулаға ауыстырайық:
.
бастап, содан кейін n = болғанда 1 , формула (14) жарамды.

n = k үшін (14) формуласы орындалды деп алайық. + 1 .

Бұл формуланың n = k үшін жарамды екенін білдіретінін дәлелдеейік
.
(A2.1)

.
Шынында да, n = k үшін бізде:
.
Сонымен бізде: 1 Бұл формула n = k + үшін (14) формуламен сәйкес келеді 1 .

.

Сонымен, (14) формула n = k үшін жарамды деген жорамалдан (14) формула n = k + үшін жарамды екендігі шығады.

Демек, n-ші ретті туынды үшін (14) формула кез келген n үшін жарамды.
.
А негізіне логарифмнің жоғары ретті туындылары
.

Сондай-ақ қараңыз:

Логарифмнің а негізіндегі n-ші ретті туындысын табу үшін оны натурал логарифм арқылы көрсету керек:

(14) формуланы қолданып, n-ші туындыны табамыз:

Көрсеткіштік дәреже функцияларын немесе қиын бөлшек өрнектерді дифференциалдау кезінде логарифмдік туындыны қолдану ыңғайлы. Бұл мақалада біз оны егжей-тегжейлі шешімдермен қолдану мысалдарын қарастырамыз.

Әрі қарай презентация туындылар кестесін, дифференциалдау ережелерін және күрделі функцияның туындысының формуласын білуді пайдалана білуді болжайды.

Логарифмдік туындының формуласын шығару.

Алдымен логарифмдерді e негізіне аламыз, логарифмнің қасиеттерін пайдалана отырып, функцияның формасын жеңілдетеміз, содан кейін жасырын көрсетілген функцияның туындысын табамыз:

Мысалы, дәрежелік х функциясының х дәрежесіне туындысын табайық. .

Логарифмдерді алу . Логарифмнің қасиеттері бойынша. Теңдіктің екі жағын да саралау нәтижеге әкеледі:

Жауап:

Функцияның туындысын табыңыз .

Сол мысалды логарифмдік туындыны қолданбай-ақ шешуге болады. Кейбір түрлендірулерді орындауға және экспоненциалды дәреже функциясын дифференциалдаудан күрделі функцияның туындысын табуға өтуге болады:

Мысал. Шешім. Бұл мысалда функция

Алдымен тауып алайық. Түрлендірулерде біз логарифмнің қасиеттерін қолданамыз (бөлшектің логарифмі логарифмдердің айырмасына тең, ал көбейтіндінің логарифмі логарифмдердің қосындысына тең, ал логарифм таңбасының астындағы өрнек дәрежесі болуы мүмкін) логарифм алдындағы коэффициент ретінде алынады):

Бұл түрлендірулер бізді өте қарапайым өрнекке әкелді, оның туындысын табу оңай:

Алынған нәтижені логарифмдік туындының формуласына ауыстырамыз және жауапты аламыз:

Материалды бекіту үшін біз егжей-тегжейлі түсіндірместен тағы бірнеше мысал келтіреміз.

Жауап:

Көрсеткіштік дәреже функциясының туындысын табыңыз

Емтиханға дейін әлі көп уақыт бар деп ойлайсыз ба? Бұл ай ма? Екі? Жыл? Тәжірибе көрсеткендей, студент емтиханға алдын ала дайындала бастаса, оны жақсы жеңеді. Бірыңғай мемлекеттік емтиханда мектеп оқушылары мен болашақ талапкерлердің ең жоғары балл алуына кедергі болатын көптеген қиын тапсырмалар бар. Сіз бұл кедергілерді жеңуді үйренуіңіз керек, сонымен қатар мұны істеу қиын емес. Билеттерден әртүрлі тапсырмалармен жұмыс істеу принципін түсіну керек. Сонда жаңаларымен ешқандай проблема болмайды.

Бір қарағанда логарифмдер керемет күрделі болып көрінеді, бірақ егжей-тегжейлі талдаумен жағдай әлдеқайда қарапайым болады. Егер сіз Бірыңғай мемлекеттік емтиханды ең жоғары баллмен тапсырғыңыз келсе, сіз осы мақалада не істеуді ұсынатын осы тұжырымдаманы түсінуіңіз керек.

Алдымен осы анықтамаларды бөліп алайық. Логарифм (лог) дегеніміз не? Бұл көрсетілген санды алу үшін негізді көтеру керек қуаттың көрсеткіші. Егер түсініксіз болса, қарапайым мысалды қарастырайық.

Бұл жағдайда 4 санын алу үшін төменгі жағындағы негізді екінші қуатқа көтеру керек.

Енді екінші тұжырымдамаға тоқталайық. Функцияның кез келген түрдегі туындысы – берілген нүктедегі функцияның өзгеруін сипаттайтын ұғым. Дегенмен, бұл мектеп бағдарламасы, және егер сізде бұл ұғымдармен жеке мәселелер туындаса, тақырыпты қайталаған жөн.

Логарифмнің туындысы

Осы тақырып бойынша Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсырмаларында мысал ретінде бірнеше тапсырма беруге болады. Бастау үшін ең қарапайым логарифмдік туынды. Мына функцияның туындысын табу керек.

Келесі туындыны табуымыз керек

Арнайы формула бар.

Бұл жағдайда x=u, log3x=v. Біз функцияның мәндерін формулаға ауыстырамыз.

х-тің туындысы бірге тең болады. Логарифм сәл қиынырақ. Бірақ құндылықтарды жай ғана ауыстырсаңыз, принципті түсінесіз. Еске сала кетейік, lg x туындысы ондық логарифманың туындысы, ал ln x туындысы натурал логарифмнің туындысы (e негізінде).

Енді алынған мәндерді формулаға қосыңыз. Өзіңіз көріңіз, содан кейін жауапты тексереміз.

Кейбіреулер үшін бұл жерде қандай проблема болуы мүмкін? Біз натурал логарифм ұғымын енгіздік. Бұл туралы сөйлесейік және сонымен бірге онымен проблемаларды қалай шешуге болатынын анықтайық. Сіз күрделі ештеңе көрмейсіз, әсіресе оның жұмыс принципін түсінген кезде. Оған үйрену керек, өйткені ол математикада жиі қолданылады (жоғары оқу орындарында одан да көп).

Натурал логарифмнің туындысы

Оның негізінде ол e негізіне логарифмнің туындысы болып табылады (бұл иррационал сан, шамамен 2,7). Шындығында, ln өте қарапайым, сондықтан ол жалпы математикада жиі қолданылады. Шындығында, онымен мәселені шешу де проблема болмайды. Натурал логарифмнің e негізіне туындысы х-ке бөлінген бірге тең болатынын есте ұстаған жөн. Келесі мысалдың шешімі ең айқын болады.

Оны екі қарапайым функциядан тұратын күрделі функция ретінде елестетейік.

Түрлендіру жеткілікті

Біз x-ке қатысты u-ның туындысын іздейміз

Екіншісін жалғастырайық

Күрделі функцияның туындысын u=nx орнына қою арқылы шешу әдісін қолданамыз.

Соңында не болды?

Енді осы мысалда n нені білдіретінін еске түсірейік? Бұл натурал логарифмде х-тің алдында көрінетін кез келген сан. Жауап оған байланысты емес екенін түсіну маңызды. Өзіңізге ұнайтын нәрсені ауыстырыңыз, жауап бәрібір 1/x болады.

Көріп отырғаныңыздай, мұнда күрделі ештеңе жоқ, тек осы тақырыптағы мәселелерді тез және тиімді шешу принципін түсіну керек. Енді сіз теорияны білесіз, оны практикада қолдану жеткілікті. Оларды шешу принципін ұзақ уақыт есте сақтау үшін есептерді шығаруға машықтандыру. Мектепті бітіргеннен кейін сізге бұл білім қажет болмауы мүмкін, бірақ емтиханда ол бұрынғыдан да маңызды болады. Сізге сәттілік!