Вектор. Негізгі қасиеттер

Анықтама Реттелген жиынтық (x 1, x 2, ..., x n) n нақты сандар деп аталады n-өлшемді вектор, ал x i (i = 1, ..., n) сандары құрамдас бөліктер,немесе координаттар,

Мысал. Мысалы, белгілі бір автомобиль зауыты ауысымына 50 жеңіл автомобиль, 100 жүк көлігі, 10 автобус, жеңіл автомобильдерге 50 комплект қосалқы бөлшектер және жүк көліктері мен автобустар үшін 150 комплект шығару керек болса, онда бұл зауыттың өндірістік бағдарламасын келесідей жазуға болады. бес құрамдас бөлігі бар вектор (50, 100 , 10, 50, 150).

Белгілеу. Векторлар қою кіші әріптермен немесе жоғарғы жағында жолақ немесе көрсеткі бар әріптермен белгіленеді, мысалы, анемесе . Екі вектор деп аталады теңегер оларда құрамдас бөліктер саны бірдей болса және оларға сәйкес компоненттер тең болса.

Векторлық компоненттерді ауыстыру мүмкін емес, мысалы, (3, 2, 5, 0, 1) және (2, 3, 5, 0, 1) әртүрлі векторлар.
Векторларға амалдар.Өнім бойыншаx= (x 1, x 2, ..., x n) λ нақты саны λ векторы деп аталады. x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

сомаx= (x 1, x 2, ..., x n) және ж= (y 1, y 2, ..., y n) векторы деп аталады x + y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Векторлар кеңістігі.Н-өлшемді векторлық кеңістік Р n нақты сандарға көбейту және қосу амалдары анықталған барлық n өлшемді векторлардың жиыны ретінде анықталады.

Экономикалық иллюстрация. n-өлшемді векторлық кеңістіктің экономикалық иллюстрациясы: тауарлар кеңістігі (тауарлар). астында тауарбіз белгілі бір жерде белгілі бір уақытта сатылымға шыққан кейбір тауарды немесе қызметті түсінеміз. Қолда заттардың шектеулі саны бар делік, n; олардың әрқайсысының тұтынушы сатып алатын саны тауарлар жиынтығымен сипатталады

x= (x 1, x 2, ..., x n),

мұндағы x i тұтынушы сатып алған i-ші тауардың сомасын білдіреді. Біз барлық тауарлардың ерікті бөліну қасиеті бар деп есептейміз, сондықтан олардың әрқайсысының кез келген теріс емес сомасын сатып алуға болады. Сонда тауарлардың барлық мүмкін жиынтықтары тауарлар кеңістігінің векторлары С = ( x= (x 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i = 1, ..., n).

Сызықтық тәуелсіздік. Жүйе e 1 , e 2 , ... , e m n өлшемді векторлар деп аталады сызықтық тәуелдіегер λ 1, λ 2, ..., λ m сандары болса, олардың кем дегенде біреуі нөлге тең емес, λ 1 болатындай e 1 + λ м e m = 0; әйтпесе, бұл векторлар жүйесі деп аталады сызықтық тәуелсіз, яғни көрсетілген теңдік барлық λ 1 = λ 2 = ... = λ m = 0 болған жағдайда ғана мүмкін болады. векторлардың сызықтық тәуелділігінің геометриялық мағынасы Р 3 бағытталған сегменттер ретінде түсіндіріледі, келесі теоремаларды түсіндіріңіз.

Теорема 1. Бір вектордан тұратын жүйе, егер бұл вектор нөлге тең болса ғана, сызықты тәуелді болады.

2-теорема. Екі вектор сызықты тәуелді болуы үшін олардың коллинеар (параллель) болуы қажет және жеткілікті.

Теорема 3 ... Үш вектор сызықты тәуелді болуы үшін олардың компланарлы болуы (бір жазықтықта жатуы) қажет және жеткілікті.

Векторлардың сол және оң жақ үштіктері. Үш компланар емес векторлар a, b, cшақырды дұрысегер олардың ортақ басынан келген бақылаушы векторлардың ұштарын кесіп өтсе a, b, cкөрсетілген тәртіпте ол сағат тілімен жүретін сияқты. Әйтпесе a, b, c -сол үштік... Векторлардың барлық оң (немесе сол) үштіктері деп аталады тең бағытталған.

Базис және координаттар. Үштік e 1, e 2 , e 3 компланар емес векторлар Р 3 деп аталады негізі, және векторлардың өздері e 1, e 2 , e 3 - негізгі... Кез келген вектор абазистік векторлар бойынша бірегей түрде кеңейтілуі мүмкін, яғни формада ұсынылуы мүмкін

а= x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

(1.1) кеңейтудегі x 1, x 2, x 3 сандары шақырылады координаттаранегізінде e 1, e 2 , e 3 және белгіленген а(x 1, x 2, x 3).

Ортонормальдық негіз. Егер векторлар e 1, e 2 , e 3 жұп перпендикуляр және олардың әрқайсысының ұзындығы бірге тең болса, онда базис деп аталады. ортонормальдық, және координаталары x 1, x 2, x 3 - тікбұрышты.Ортонормальдық базистің базистік векторлары келесімен белгіленеді i, j, k.

Біз мұны ғарышта деп есептейміз Р 3 декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі таңдалды (0, i, j, k}.

Векторлық өнім.Векторлық өнімавекторға бвектор деп аталады в, ол келесі үш шартпен анықталады:

1. Вектор ұзындығы ввекторларға салынған параллелограмның ауданына сандық түрде тең ажәне б,яғни
в= |а || б |күнә ( а^б).

2. Вектор ввекторлардың әрқайсысына перпендикуляр ажәне б.

3. Векторлар а, бжәне вкөрсетілген тәртіпте оң жақ үштікті құрайды.

Векторлық өнім үшін вбелгі енгізіледі c =[аб] немесе
c = a × б.

Егер векторлар ажәне бколлинеар, содан кейін күнә ( а ^ б) = 0 және [ аб] = 0, атап айтқанда, [ аа] = 0. Бірлік векторлардың векторлық туындылары: [ ij]=k, [jk] = мен, [ки]=j.

Егер векторлар ажәне бнегізде беріледі i, j, kкоординаттар а(а 1, а 2, а 3), б(b 1, b 2, b 3), содан кейін

Аралас жұмыс. Екі вектордың көлденең көбейтіндісі болса ажәне бүшінші векторға көбейтілген скаляр в,онда мұндай үш вектордың көбейтіндісі деп аталады аралас жұмысжәне таңбамен белгіленеді а б с.

Егер векторлар а, бжәне внегізінде i, j, kкоординаталары арқылы беріледі
а(а 1, а 2, а 3), б(b 1, b 2, b 3), в(c 1, c 2, c 3), содан кейін

.

Аралас көбейтіндінің қарапайым геометриялық түсіндірмесі бар - бұл осы үш векторға салынған параллелепипедтің көлеміне абсолютті мәні бойынша тең скаляр.

Егер векторлар оң жақ триплетті құраса, онда олардың аралас көбейтіндісі көрсетілген көлемге тең оң сан болады; үшеуі болса a, b, c -сол кезде a b c<0 и V = - a b c, сондықтан V = |a b c |.

Бірінші тараудың есептерінде кездесетін векторлардың координаталары дұрыс ортонормальдық базиске қатысты берілген деп есептеледі. Векторға кодирекциялық бірлік вектор а,белгісімен белгіленеді аО. Таңба r=ОММ нүктесінің радиус векторы a, AB немесе символдарымен белгіленеді |а |, |AB |векторлардың модульдері ажәне AB.

Мысал 1.2. Векторлар арасындағы бұрышты табыңыз а= 2м+4nжәне б= м-н, қайда мжәне n -бірлік векторлары және арасындағы бұрыш мжәне n 120 б тең.

Шешім... Бізде: cos φ = аб/ ab, ab =(2м+4n) (м-н) = 2м 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; а 2 = (2м+4n) (2м+4n) =
= 4м 2 +16mn+16n 2 = 4 + 16 (-0,5) + 16 = 12, сондықтан a =. b = ; б 2 =
= (m-n)(м-н) = м 2 -2mn+n 2 = 1-2 (-0,5) +1 = 3, сондықтан b =. Соңында, бізде: cos φ == -1/2, φ = 120 o.

1.3-мысал.Векторларды білу AB(-3, -2,6) және BC(-2,4,4), АВС үшбұрышының AD биіктігінің ұзындығын есептеңдер.

Шешім... ABC үшбұрышының ауданын S арқылы белгілей отырып, біз мынаны аламыз:
S = 1/2 BC AD. Сонда AD = 2S / BC, BC = = = 6,
S = 1/2 | AB ×AC |. AC = AB + BC, сондықтан вектор ACкоординаттары бар
.

АНЫҚТАУ

Вектор(лат. « векторы"-" подшипник ") - кеңістіктегі немесе жазықтықтағы түзудің бағытталған кесіндісі.

Графикалық түрде вектор белгілі бір ұзындықтағы бағытталған сызық кесіндісі ретінде бейнеленген. Басы нүктеде, ал соңы нүктеде болатын вектор былай белгіленеді (1-сурет). Сондай-ақ, векторды бір кішкентай әріппен белгілеуге болады, мысалы,.

Егер координаталар жүйесі кеңістікте көрсетілсе, онда векторды оның координаттарының жиыны арқылы бірегей түрде анықтауға болады. Яғни вектор деп шамасы (ұзындығы), бағыты және қолдану нүктесі (вектордың басы) бар объект түсініледі.

Векторлық есептеудің бастаулары 1831 жылы неміс математигі, механикі, физигі, астрономы және геодезисті Иоганн Карл Фридрих Гаусстың (1777-1855) еңбектерінде пайда болды. Векторлармен амалдар бойынша жұмыстарды ирланд математигі, механик және теоретик физигі сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865) өзінің кватерниондық есептеуі шеңберінде жариялады. Ғалым «вектор» терминін ұсынып, векторларға кейбір амалдарды сипаттады. Векторлық есептеу ағылшын физигі, математигі және механикі Джеймс Клерк Максвеллдің (1831-1879) электромагнетизм туралы жұмыстарының арқасында одан әрі дамыды. 1880 жылдары американдық физик, физико-химик, математик және механик Джозия Уиллард Гиббстің (1839-1903) «Векторлық анализдің элементтері» атты кітабы жарық көрді. Қазіргі векторлық талдауды 1903 жылы ағылшын өздігінен оқытатын ғалымы, инженері, математигі және физигі Оливер Хевисайд (1850-1925) сипаттаған.

АНЫҚТАУ

Ұзындығынемесе векторлық модульвекторды анықтайтын бағытталған кесіндінің ұзындығы. ретінде көрсетілген.

Векторлардың негізгі түрлері

Нөлдік векторбастапқы және соңғы нүктелері сәйкес келетін вектор болып табылады. Нөлдік вектордың ұзындығы нөлге тең.

Бір түзуге параллель немесе бір түзудің бойында жатқан векторлар деп аталады коллинеарлы(2-сурет).

бірлесіп басқарғанегер олардың бағыттары сәйкес келсе.

2-суретте бұл векторлар және. Векторлардың тең бағыттылығы былай белгіленеді:.

Екі коллинеар векторлар деп аталады қарама-қарсы бағытталғанегер олардың бағыттары қарама-қарсы болса.

3-суретте бұл векторлар және. Белгі:.

ВЕКТОРЛАР... ӘРЕКЕТТЕРЖОҒАРЫДАВЕКТОРЛАР. СКАЛАР,

ВЕКТОР, ВЕКТОРЛАРДЫҢ АРАС ӨНІМІ.

1. ВЕКТОРЛАР, ВЕКТОРЛАРДАҒЫ ӘРЕКЕТТЕР.

Негізгі анықтамалар.

Анықтама 1.Таңдалған бірліктер жүйесінде өзінің сандық мәнімен толық сипатталатын шама деп аталады скалярнемесе скаляр .

(Дене салмағы, көлемі, уақыты, т.б.)

Анықтама 2.Сандық мәнімен және бағытымен сипатталатын шама деп аталады векторы немесе векторы .

(Орын ауыстыру, күш, жылдамдық, т.б.)

Белгілері:, немесе,.

Геометриялық вектор – бағытталған түзу.

Вектор үшін – нүкте А- бастау, нүкте В- вектордың соңы.

Анықтама 3.Модуль вектор – АВ кесіндісінің ұзындығы.

Анықтама 4.Модульі нөлге тең вектор деп аталады нөл , арқылы көрсетілген.

Анықтама 5.Параллель түзулерде немесе бір түзуде орналасқан векторлар деп аталады коллинеарлы ... Егер екі коллинеар вектордың бағыты бірдей болса, онда олар шақырылады бірлесіп басқарған .

Анықтама 6.Екі вектор қарастырылады тең , Егер олар бірлесіп басқарған және абсолютті мәні бойынша тең.

Векторларға әрекеттер.

1) Векторларды қосу.

Def. 6.сома екі вектор және бұл векторларға салынған параллелограмның диагоналы, олардың қолданылу ортақ нүктесінен бастап (параллелограмм ережесі).

1-сурет.

Def. 7.Үш вектордың қосындысы,, осы векторларға салынған параллелепипедтің диагоналы деп аталады (қорап ережесі).

Def. сегіз.Егер А, В, МЕН Ерікті нүктелер болса, онда + = (үшбұрыш ережесі).

2-сурет

Қосу қасиеттері.

1 О . + = + (транспозициялық заң).

2 О . + (+) = (+) + = (+) + (біріктіру заңы).

3 О . + (– ) + .

2) Векторларды алу.

Def. тоғыз.астында айырмашылық векторлар және векторды түсіну = - осылайша + = .

Параллелограммда бұл басқа диагональ SD (1-суретті қараңыз).

3) Векторды санға көбейту.

Def. он. Өнім бойынша скалярдағы векторлар к вектор деп аталады

= к = к ,

ұзақ ка , және оның бағыты:

1.векторының бағытымен сәйкес келеді if к > 0;

2.Вектор бағытына қарама-қарсы, егер к < 0;

3. ерікті түрде, егер к = 0.

Векторды санға көбейту қасиеттері.

1 О . (к + л ) = к + л .

к ( + ) = к + к .

2 о . к (л ) = (kl ) .

3 о . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

Векторлық қасиеттер.

Def. он бір.Екі вектор және деп аталады коллинеарлы олар орналасқан болса параллель түзулернемесе сағат бір түзу сызық.

Нөлдік вектор кез келген векторға коллинеар болады.

Теорема 1.Нөлге тең емес екі вектор және коллинеарлы,  олар пропорционал болғанда, яғни.

= к , к Скаляр.

Def. 12.Үш вектор ,, деп аталады салыстырмалы егер олар қандай да бір жазықтыққа параллель болса немесе онда жатса.

2-теорема.Үш нөлдік вектор,, салыстырмалы,  олардың біреуі қалған екеуінің сызықтық комбинациясы болғанда, яғни.

= к + л , к , л - скалярлар.

Вектордың оське проекциясы.

Теорема 3.Вектордың оське проекциясы (бағытталған түзу) лвектордың ұзындығы мен вектордың бағыты мен ось бағыты арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең, яғни. = а  в os  ,  = ( , л).

2. ВЕКТОРЛЫҚ КООРДИНАТТАР

Def. 13.Координациялық осьтерге арналған векторлық проекциялар О, OU, Оздеп аталады векторлық координаталар. Белгіленуі:  а x , а ж , а z .

Вектор ұзындығы:

Мысалы:Вектордың ұзындығын есептеңдер.

Шешімі:

Нүктелер арасындағы қашықтық және формула бойынша есептеледі: .

Мысалы:М (2,3, -1) және К (4,5,2) нүктелерінің арасындағы қашықтықты табыңыз.

Координаталық түрдегі векторларға әрекеттер.

Берілген векторлар =  а x , а ж , а z және =  б x , б ж , б z .

1. (  )= а x  б x , а ж  б ж , а z  б z .

2.  =   а x ,  а ж ,  а z, қайда  Скаляр.

Векторлардың нүктелік көбейтіндісі.

Анықтамасы:Екі вектордың нүктелік көбейтіндісі астында және

бұл векторлардың ұзындықтарының олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең сан ретінде түсініледі, яғни. = , векторлары арасындағы бұрыш және.

Нүктелік өнімнің қасиеттері:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , скалярлар қайда.

6.екі вектор перпендикуляр (ортогональ), егер .

7.егер және тек егер .

Координаталық түрдегі нүкте туындысы: , қайда және .

Мысалы:және векторларының нүктелік көбейтіндісін табыңыз

Шешімі:

Векторларды ұстайтын векторлар.

Анықтама: Екі вектордың векторлық көбейтіндісі вектор ретінде түсініледі, ол үшін:

Модуль осы векторларға салынған параллелограммның ауданына тең, яғни. , мұндағы векторлар арасындағы бұрыш және

Бұл вектор көбейтілетін векторларға перпендикуляр, яғни.

Егер векторлар коллинеар емес болса, онда олар векторлардың оң үштік үштігін құрайды.

Векторлық өнімнің қасиеттері:

(1) Факторлардың реті өзгертілгенде, векторлық көбейтінді модульді сақтай отырып, таңбасын керісінше өзгертеді, яғни.

2 Вектордың квадраты нөлдік векторға тең, яғни.

3 Скалярлық факторды векторлық көбейтіндінің белгісінен тыс жылжытуға болады, яғни.

4 Кез келген үш вектор үшін теңдік

5 Екі вектордың коллинеарлығының қажетті және жеткілікті шарты және:

Координаталық түрдегі векторлық өнім.

Егер векторлардың координаталары және , онда олардың көлденең көбейтіндісі мына формула бойынша табылады:

.

Содан кейін векторлық көбейтіндінің анықтамасынан параллелограмның ауданы векторларға салынған және мына формуламен есептелетіндігі шығады:

Мысалы:Төбелері (1; -1; 2), (5; -6; 2), (1; 3; -1) болатын үшбұрыштың ауданын есептеңіз.

Шешімі: .

Сонда ABC үшбұрышының ауданы келесі түрде есептеледі:

,

Векторлардың аралас көбейтіндісі.

Анықтамасы:Векторлардың аралас (вектор-скаляр) көбейтіндісі деп мына формуламен анықталатын санды айтады: .

Аралас жұмыс қасиеттері:

1. Аралас өнім оның факторларының циклдік ауысуы кезінде өзгермейді, яғни. .

2. Көршілес екі фактордың орнын ауыстырған кезде аралас өнім таңбасын керісінше өзгертеді, яғни. ...

3 Үш вектордың салыстырмалылығының қажетті және жеткілікті шарты : =0.

4 Үш вектордың аралас көбейтіндісі осы векторларға салынған параллелепипедтің көлеміне тең, егер бұл векторлар оң жақ триплетті құраса, плюс белгісімен, ал сол жақ триплетті құраса, минус белгісімен алынады, яғни. .

Егер белгілі болса координаттарвекторлар , онда аралас жұмыс мына формула бойынша табылады:

Мысалы:Векторлардың аралас көбейтіндісін есептеңдер.

Шешімі:

3. Векторлық жүйенің негізі.

Анықтама.Векторлар жүйесі деп бір кеңістікке жататын бірнеше векторлар түсініледі Р.

Пікір.Жүйе векторлардың ақырлы санынан тұратын болса, онда олар әртүрлі индекстермен бірдей әріппен белгіленеді.

Мысал.

Анықтама. = түрінің кез келген векторы векторлардың сызықтық комбинациясы деп аталады. Сандар сызықтық комбинацияның коэффициенттері болып табылады.

Мысал. .

Анықтама... Егер вектор векторлардың сызықтық комбинациясы болса , онда вектор векторлар арқылы түзу сызықты өрнектеледі делінеді .

Анықтама.Векторлық жүйе деп аталады сызықтық тәуелсізегер жүйенің бірде-бір векторы қалған векторлардың сызықтық комбинациясы сияқты бола алмаса. Әйтпесе, жүйе сызықты тәуелді деп аталады.

Мысал... Векторлық жүйе вектордан бастап сызықтық тәуелді .

Негізді анықтау.Векторлар жүйесі негіз болады, егер:

1) сызықтық тәуелсіз,

2) кеңістіктің кез келген векторы ол арқылы сызықты түрде өрнектеледі.

1-мысал.Ғарыштық негіз:.

2. Векторлар жүйесінде векторлар негіз болып табылады: векторлары арқылы сызықтық өрнектеледі.

Пікір.Берілген векторлық жүйенің негізін табу үшін сізге қажет:

1) векторлардың координаталарын матрицаға жазу,

2) матрицаны үшбұрышты пішінге келтіру үшін элементар түрлендірулерді қолдану,

3) матрицаның нөлдік емес жолдары жүйенің негізі болады,

4) базистегі векторлар саны матрицаның рангіне тең.

арналған тапсырмалар болады тәуелсіз шешімжауаптарын көруге болады.

Векторлық түсінік

Векторлар және олармен орындалатын амалдар туралы толық мәлімет алмас бұрын, қарапайым есепті шешуге бейімделіңіз. Сіздің кәсіпкерлігіңіздің векторы және инновациялық қабілеттеріңіздің векторы бар. Кәсіпкерлік векторы сізді 1-мақсатқа, ал инновациялық қабілет векторы 2-мақсатқа жетелейді.Ойынның ережелері мынандай: бұл екі вектордың бағытымен бірден қозғалып, бірден екі мақсатқа жете алмайсыз. Векторлар өзара әрекеттеседі немесе математикалық тілмен айтқанда векторларға қандай да бір амалдар орындалады. Бұл операцияның нәтижесі «Нәтиже» векторы болып табылады, ол сізді 3-мақсатқа апарады.

Енді айтыңызшы: «Кәсіпорын» және «Инновациялық қабілеттер» векторларына қандай операцияның нәтижесі «Нәтиже» векторы болып табылады? Бірден айта алмасаңыз, ренжімеңіз. Осы сабақты өту барысында сіз бұл сұраққа жауап бере аласыз.

Жоғарыда көргеніміздей, вектор міндетті түрде белгілі бір нүктеден шығады Абір нүктеге дейін түзу сызықта Б... Сондықтан әрбір вектордың тек сандық мәні – ұзындығы ғана емес, сонымен қатар физикалық және геометриялық – бағыттылығы болады. Бұл вектордың бірінші және қарапайым анықтамасына әкеледі. Сонымен, вектор дегеніміз нүктеден өтетін бағытталған кесінді АНүктеге Б... Ол келесідей белгіленеді:.

Және басқаша бастау үшін векторлық операциялар , бізге тағы бір векторлық анықтамамен танысу керек.

Вектор - бұл қандай да бір бастапқы нүктеден алғыңыз келетін нүктені бейнелеудің бір түрі. Мысалы, үш өлшемді вектор әдетте былай жазылады (x, y, z) . Қарапайым түрде бұл сандар бір нүктеге жету үшін үш түрлі бағытта жүру үшін қанша жол қажет екенін көрсетеді.

Вектор берілсін. Сонымен бірге x = 3 (оң қол оңды көрсетеді) ж = 1 (сол қол алға көрсетеді) z = 5 (көтерілетін нүктенің астында баспалдақ бар). Осы деректерге сәйкес, сіз оң қолыңыз көрсеткен бағытта 3 метр, содан кейін сол қолыңыз көрсеткен бағытта 1 метр жүру арқылы нүктені табасыз, содан кейін сізді баспалдақ күтіп тұр және 5 метрге көтеріліп, сіз ақырында өзіңізді соңғы нүктеде табыңыз.

Барлық қалған терминдер векторларға әртүрлі амалдар жасауға, яғни практикалық есептерді шешуге қажетті жоғарыдағы түсіндірмені нақтылау болып табылады. Типтік векторлық есептерге тоқтала отырып, осы қатаң анықтамаларды қарастырайық.

Физикалық мысалдарвекторлық шамалар кеңістікте қозғалатын материалдық нүктенің орын ауыстыруы, осы нүктенің жылдамдығы мен үдеуі, сондай-ақ оған әсер ететін күш болуы мүмкін.

Геометриялық вектортүрінде екі өлшемді және үш өлшемді кеңістікте ұсынылған бағытталған сегмент... Бұл басы мен аяғын ажырататын сегмент.

Егер Авекторының басы болып табылады, және Б- оның соңы, содан кейін вектор символмен немесе бір кіші әріппен белгіленеді. Суретте вектордың соңы көрсеткі арқылы көрсетілген (1-сурет)

Ұзындығы(немесе модуль) геометриялық вектордың оны тудыратын кесіндінің ұзындығы

Екі вектор деп аталады тең егер олар параллельді тасымалдау арқылы теңестірілуі мүмкін болса (бағыттар сәйкес келсе), яғни. егер олар параллель болса, бір бағытты көрсетіңіз және ұзындығы бірдей.

Физикада ол жиі қарастырылады бекітілген векторларқолдану нүктесі, ұзындығы және бағыты бойынша беріледі. Егер вектордың қолдану нүктесі маңызды болмаса, онда оны кеңістіктегі кез келген нүктеге ұзындығы мен бағытын сақтай отырып беруге болады. Бұл жағдайда вектор шақырылады Тегін... Біз тек қарастыруға келісеміз еркін векторлар.

Геометриялық векторларға сызықтық амалдар

Векторды санға көбейту

Вектордың туындысы саны бойыншавектордан созылу (at) немесе қысу (at) арқылы уақыт бойынша алынған вектор деп аталады, ал вектордың бағыты if сақталады, ал керісінше өзгерсе, егер. (Cурет 2)

Анықтамадан шығатыны, және = векторлары әрқашан бір немесе параллель түзулерде орналасады. Мұндай векторлар деп аталады коллинеарлы... (Бұл векторларды параллель деп те айтуға болады, бірақ векторлық алгебрада «коллинеар» деп айту әдетке айналған.) Керісінше де дұрыс: векторлар мен коллинеар болса, онда олар қатынас арқылы байланысқан.

Демек, (1) теңдігі екі вектордың коллинеарлық шартын білдіреді.

Векторларды қосу және азайту

Векторларды қосқанда мұны білу керек сомавекторлары және басы вектордың басымен, ал соңы вектордың аяғымен сәйкес келетін вектор деп аталады, егер вектордың басы вектордың соңына жалғанған болса. (Cурет 3)

Бұл анықтаманы векторлардың кез келген соңғы санына таратуға болады. Орын берілсін nеркін векторлар. Бірнеше векторларды қосқанда олардың қосындысы ретінде жабу векторы алынады, оның басы бірінші вектордың басымен, ал соңы соңғы вектордың аяғымен сәйкес келеді. Яғни, вектордың басын вектордың соңына, ал вектордың басын вектордың соңына тіркесе, т.б. және, ең соңында, вектордың аяғына дейін - вектордың басы, онда бұл векторлардың қосындысы жабу векторы болады. басы бірінші вектордың басымен, ал соңы соңғы вектордың аяғымен сәйкес келеді. (Cурет 4)

Терминдер вектордың құрамдас бөліктері деп аталады, ал тұжырымдалған ереже - бұл көпбұрыш ережесі... Бұл көпбұрыш тегіс болмауы мүмкін.

Векторды -1-ге көбейткенде, қарама-қарсы вектор шығады. Векторлардың ұзындығы бірдей және бағыттары қарама-қарсы. Олардың сомасы береді нөлдік векторұзындығы нөлге тең. Нөлдік вектордың бағыты анықталмаған.

Векторлық алгебрада алу операциясын бөлек қарастырудың қажеті жоқ: вектордан векторды алу векторға қарама-қарсы векторды қосуды білдіреді, яғни.

1-мысал.Өрнекті жеңілдету:

.

,

яғни векторларды көпмүшелер сияқты сандарға қосуға және көбейтуге болады (атап айтқанда, өрнектерді оңайлатуға арналған тапсырмалар да). Әдетте, векторлардың туындыларын есептеу алдында векторлары бар сызықтық ұқсас өрнектерді оңайлату қажеттілігі туындайды.

2-мысал.және векторлары ABCD параллелограммының диагональдары қызметін атқарады (4а-сурет). Осы параллелограмның қабырғалары болып табылатын, және, векторларының екеуін де өрнектеңіз.

Шешім. Параллелограмм диагональдарының қиылысу нүктесі әрбір диагональды екіге бөледі. Есептің тұжырымында талап етілетін векторлардың ұзындықтарын не қалағандары бар үшбұрышты құрайтын векторлардың қосындыларының жартысы, не айырмашылықтарының жартысы (диагональ ретінде қызмет ететін вектордың бағытына байланысты) ретінде табамыз. соңғы жағдайда минус белгісімен алынған соманың жартысы. Нәтиже - мәселе мәлімдемесінде қажет векторлар:

Осы сабақтың басындағы Кәсіпкерлік және инновациялық қабілет векторлары туралы сұраққа дұрыс жауап бердіңіз деуге толық негіз бар. Дұрыс жауап: осы векторларға қосу амалы орындалады.

Векторлық есептерді өзіңіз шешіңіз, содан кейін шешімдерді қараңыз

Векторлар қосындысының ұзындығын қалай табуға болады?

Бұл тапсырма векторлық операцияларда ерекше орын алады, өйткені ол тригонометриялық қасиеттерді қолдануды қамтиды. Сіз келесідей тапсырманы кездестірдіңіз делік:

Векторлардың ұзындықтары берілген және осы векторлардың қосындысының ұзындығы. Осы векторлардың айырмасының ұзындығын табыңыз.

Осы және басқалар үшін шешімдер ұқсас тапсырмаларжәне оларды шешу жолын түсіндіру – сабақта» Векторлық қосу: вектор қосындысының ұзындығы және косинус теоремасы ".

Сондай-ақ, сіз осындай мәселелердің шешімін тексере аласыз Онлайн калькулятор «Үшбұрыштың белгісіз жағы (векторларды қосу және косинус теоремасы)» .

Векторлардың туындылары қайда орналасқан?

Вектордың вектор арқылы көбейтінділері сызықтық амалдар емес және бөлек қарастырылады. Бізде векторлардың нүктелік көбейтіндісі және векторлардың векторлық және аралас көбейтінділері оқулықтары бар.

Вектордың оське проекциясы

Вектордың оське проекциясы проекцияланатын вектор ұзындығының вектор мен ось арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең:

Өздеріңіз білетіндей, нүктенің проекциясы Атүзу сызыққа (жазықтық) осы нүктеден түзу сызыққа (жазықтық) түсірілген перпендикулярдың табаны болып табылады.

Ерікті вектор болсын (5-сурет), және оның басының проекциялары (нүктелері) болсын. А) және соңы (нүктелер Б) ось бойынша л... (Нүктенің проекциясын салу А) нүктесі арқылы өтетін түзуде Атүзуге перпендикуляр жазықтық. Түзу мен жазықтықтың қиылысуы қажетті проекцияны анықтайды.

Векторлық компонент l осіндеосы осьте жатқан вектор деп аталады, оның басы басының проекциясымен, ал соңы вектордың соңының проекциясымен сәйкес келеді.

Вектордың оське проекциясы лнөміріне қоңырау шалды

,

осы осьтегі құраушы векторының ұзындығына тең, плюс белгісімен алынған, егер құраушының бағыты ось бағытымен сәйкес келсе л, және егер бұл бағыттар қарама-қарсы болса, минус белгісімен.

Оське векторлық проекциялардың негізгі қасиеттері:

1. Бір оське тең векторлардың проекциялары өзара тең.

2. Векторды санға көбейткенде оның проекциясы сол санға көбейтіледі.

3. Кез келген осьтегі векторлар қосындысының проекциясы векторлардың қосындыларының бірдей осіне проекцияларының қосындысына тең.

4. Вектордың оське проекциясы проекцияланатын вектор ұзындығының вектор мен ось арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең:

.

Шешім. Векторларды оське проекциялау лжоғарыдағы теориялық негізде анықталғандай. 5а-суреттен векторлар қосындысының проекциясы векторлардың проекцияларының қосындысына тең екені анық. Бұл проекцияларды есептейміз:

Векторлар қосындысының соңғы проекциясын табыңыз:

Вектордың кеңістіктегі тікбұрышты декарттық координаталар жүйесімен байланысы

-мен танысу сәйкес сабақта кеңістіктегі тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі орын алды, оны жаңа терезеде ашқан жөн.

Реттелген координаттар жүйесінде 0xyzось Өгізшақырды абсцисса, ось 0ж – у осі, және ось 0z – ось қолданылады.

Ерікті нүктемен Мвекторды байланыстыратын кеңістік

шақырды радиус векторыұпай Мжәне оны координаталық осьтердің әрқайсысына проекциялаңыз. Сәйкес проекциялардың мәндерін белгілейік:

Сандар x, y, zдеп аталады М нүктесінің координаттары, тиісінше абсцисса, ординатажәне қолдану, және сандардың реттелген нүктесі ретінде жазылады: M (x; y; z)(6-сурет).

Бағыты осьтің бағытымен сәйкес келетін ұзындығы бірлік вектор деп аталады бірлік вектор(немесе ортом) осі. арқылы белгілейік

Сәйкесінше координаталық осьтердің бірлік векторлары Өгіз, Ой, Оз

Теорема.Кез келген векторды координаталық осьтердің бірлік векторлары бойымен кеңейтуге болады:

(2)

Теңдік (2) координата осьтері бойынша вектордың кеңеюі деп аталады. Бұл кеңеюдің коэффициенттері вектордың координаталық осьтерге проекциялары болып табылады. Сонымен координат осьтері бойынша вектордың кеңею коэффициенттері (2) вектордың координаталары болып табылады.

Кеңістікте белгілі бір координаталар жүйесін таңдағаннан кейін вектор мен оның координаттарының үштіктері бірін-бірі бірегей түрде анықтайды, сондықтан векторды формада жазуға болады.

(2) және (3) түріндегі вектордың бейнелері бірдей.

Координаталардағы векторлардың коллинеарлық шарты

Жоғарыда атап өткеніміздей, векторлар қатынас арқылы байланысқан болса, олар коллинеар деп аталады

Векторлар болсын ... Бұл векторлар коллинеар болады, егер векторлардың координаталары қатынас арқылы байланысқан болса

,

яғни векторлардың координаталары пропорционал.

6-мысал.Берілген векторлар ... Бұл векторлар коллинеар ма?

Шешім. Осы векторлардың координаталарының қатынасын анықтайық:

.

Векторлардың координаталары пропорционал, сондықтан векторлар коллинеар, немесе бірдей, параллель.

Вектордың ұзындығы мен бағытының косинустары

Координаталық осьтердің өзара перпендикулярлығына байланысты вектордың ұзындығы

векторларға салынған тікбұрышты параллелепипедтің диагоналының ұзындығына тең

және теңдігімен өрнектеледі

(4)

Вектор екі нүктені (басталуы мен соңы) көрсету арқылы толығымен анықталады, сондықтан вектордың координаталарын осы нүктелердің координаталары арқылы көрсетуге болады.

Берілген координаталар жүйесінде вектордың басы нүктеде болсын

және соңы нүктеде

Теңдіктен

Соны ұстанады

немесе координаталық түрде

Демек, вектордың координаталары вектордың соңы мен басының аттас координаталарының айырмасына тең ... Формула (4) бұл жағдайда пішінді алады

векторының бағыты анықталады бағыт косинустары ... Бұл вектор осьтермен құрайтын бұрыштардың косинустары Өгіз, Ойжәне Оз... Осы бұрыштарды сәйкесінше белгілейік α , β және γ ... Сонда осы бұрыштардың косинустарын формулалар арқылы табуға болады

Вектордың бағытталған косинустары да осы вектордың бірлік векторының координаталары болып табылады, демек, векторлық вектор

.

Ort векторының ұзындығы бір бірлікке тең екенін ескерсек, яғни

,

бағыт косинустары үшін келесі теңдікті аламыз:

7-мысал.Вектордың ұзындығын табыңыз x = (3; 0; 4).

Шешім. Вектор ұзындығы

8-мысал.Ұпайлар беріледі:

Осы нүктелерге салынған үшбұрыштың тең қабырғалы екенін табыңыз.

Шешім. (6) векторының ұзындығының формуласын пайдаланып, қабырғалардың ұзындықтарын табамыз және олардың арасында екі тең болатынын анықтаймыз:

Екі бірдей қабырға табылды, сондықтан үшінші қабырғасының ұзындығын іздеудің қажеті жоқ, ал берілген үшбұрыш тең ​​қабырғалы.

9-мысал.Вектордың ұзындығын және оның бағытының косинусын табыңыз, егер .

Шешім. Векторлық координаталар берілген:

.

Вектор ұзындығы шаршы түбірвекторының координаталарының квадраттарының қосындысынан:

.

Бағыт косинусын табыңыз:

Векторлық есепті өзіңіз шешіңіз, содан кейін шешімін қараңыз

Координаталық формада көрсетілген векторларға амалдар

Екі вектор берілген және олардың проекциялары арқылы берілген болсын:

Осы векторлардағы әрекеттерді көрсетейік.

Құрылған күні: 2009-04-11 15:25:51
Соңғы редакцияланған: 2012-02-08 09:19:45

Ұзақ уақыт бойы мен бұл мақаланы жазғым келмеді - мен материалды қалай ұсыну керек деп ойладым. Сондай-ақ сурет салу керек. Бірақ, көрдіңіз бе, жұлдыздар бүгін сәтті пайда болды және векторлар туралы мақала болады. Дегенмен, бұл жай ғана дөрекі жоба. Болашақта мен бұл мақаланы бірнеше бөлек мақалаларға бөлемін - материал жеткілікті. Сондай-ақ, мақала бірте-бірте жақсарады: мен оған өзгерістер енгіземін. бір отырыста барлық қырларын ашып көрсету мүмкін емес.

Векторлар он тоғызыншы ғасырда математикаға скаляр мәндер арқылы сипаттау қиын шамаларды сипаттау үшін енгізілді.

Векторлар компьютерлік ойындарды жасауда кеңінен қолданылады. Олар тек дәстүрлі түрде ғана емес - күш немесе жылдамдық сияқты шамаларды сипаттау үшін, сонымен қатар векторларға ешқандай қатысы жоқ сияқты аймақтарда қолданылады: түсті сақтау, көлеңкелерді жасау.

Скалярлар және векторлар

Алдымен скалярдың не екенін және оның вектордан айырмашылығын еске түсірейін.

Скалярлық шамалар белгілі бір шаманы сақтайды: масса, көлем. Яғни, бұл бір ғана санмен сипатталатын субъект (мысалы, бір нәрсенің мөлшері).

Скалярдан айырмашылығы вектор екі мәннің көмегімен сипатталады: шама және бағыт.

Векторлар мен координаттар арасындағы маңызды айырмашылық: векторлар белгілі бір орынмен байланысты емес! Тағы да айта кетейін, вектордағы ең бастысы - ұзындық пен бағыт.

Вектор латын әліпбиінің жуан әріпімен белгіленеді. Мысалға: а, б, v.

Бірінші суретте вектордың жазықтықта қалай тағайындалғанын көруге болады.

Кеңістіктегі векторлар

Кеңістікте векторларды координаталар арқылы өрнектеуге болады. Бірақ алдымен бір тұжырымдаманы енгізу керек:

Нүкте радиусы векторы

Кеңістікте қандай да бір М (2,1) нүктесін алайық. Нүктенің радиус-векторы басынан басталып, нүктеде аяқталатын вектор болып табылады.

Бұл жерде бізде вектордан басқа ештеңе жоқ ОМ... Векторлық бастапқы координаталар (0,0), соңғы координаталар (2,1). Бұл векторды деп белгілейміз а.

Бұл жағдайда векторды келесідей жазуға болады а = <2, 1>... Бұл вектордың координаталық түрі а.

Вектордың координаталары оның осьтерге қатысты құрамдас бөліктері деп аталады. Мысалы, 2 - векторлық компонент а x осі туралы.

Нүкте координаталары қандай екенін тағы бір қарастырайық. Нүктенің координатасы (мысалы, х) нүктенің оське проекциясы, яғни. нүктеден оське түсірілген перпендикулярдың табаны. Біздің мысалда 2.

Бірақ бірінші суретке оралайық. Мұнда екі А және В нүктесі бар. Нүктелердің координаталары (1,1) және (3,3) болсын. Вектор vбұл жағдайда былай белгілеуге болады v = <3-1, 3-1>... Үш өлшемді кеңістікте екі нүктеде жатқан вектор келесідей болады:

v =

Бұл жерде ешқандай қиындық жоқ деп ойлаймын.

Векторды скалярға көбейту

Векторды скаляр мәндерге көбейтуге болады:

к v = =

Бұл вектордың әрбір компонентімен скалярлық мәнді көбейтеді.

Егер k> 1 болса, онда вектор өседі, егер k бірден кіші, бірақ нөлден үлкен болса, онда вектор ұзындығы бойынша кішірейеді. Егер k нөлден кіші болса, онда вектор бағыты өзгереді.

Бірлік векторлары

Бірлік векторлары – ұзындығы бірге тең векторлар. Координаталары бар векторға назар аударыңыз<1,1,1>біреуге тең болмайды! Вектордың ұзындығын табу мәтінде төменде сипатталған.

Бірлік векторлар деп аталатындар бар - бұл координат осьтерімен бағытта сәйкес келетін бірлік векторлар. мен- х осінің бірлік векторы, j- у осінің бірлік векторы, к z осінің бірлік векторы болып табылады.

Сонымен бірге мен = <1,0,0>, j = <0,1,0>, к = <0,0,1>.

Енді біз векторды скалярға көбейтудің не екенін және бірлік векторлардың қандай екенін білеміз. Енді жаза аламыз vвекторлық түрінде.

v= v x мен+ v ж j+ v z к, мұндағы v x, v y, v z вектордың сәйкес компоненттері

Векторлық қосу

Алдыңғы формуланы толық түсіну үшін векторларды қосу қалай жұмыс істейтінін түсіну керек.

Мұнда бәрі қарапайым. v1 = екі векторын алыңыз және v 2 =

v 1 + v 2 =

Біз жай ғана екі вектордың сәйкес компоненттерін қосып жатырмыз.

Айырмашылық дәл осылай есептеледі.

Бұл математикалық формаға қатысты. Толық болу үшін векторларды қосу және алу графикалық түрде қалай көрінетінін қарастырған жөн.

Екі векторды қосу үшін а+б... Вектордың басына сәйкес келу керек бжәне вектордың соңы а... Содан кейін, вектордың басы арасында ажәне вектордың соңы бжаңа вектор сызыңыз. Түсінікті болу үшін екінші суретті қараңыз («а» әрпі).

Векторларды алу үшін екі вектордың басын біріктіріп, екінші вектордың соңынан бірінші вектордың соңына дейін жаңа вектор салу керек. Екінші сурет («б» әрпі) оның қалай көрінетінін көрсетеді.

Вектор ұзындығы мен бағыты

Алдымен ұзындығын қарастырайық.

Ұзындық - бағытты қоспағанда, вектордың сандық мәні.

Ұзындық формула бойынша анықталады (үш өлшемді вектор үшін):

векторлық құраушылар квадраттарының қосындысының квадрат түбірі.

Таныс формула, солай емес пе? Жалпы алғанда, бұл кесіндінің ұзындығының формуласы

Вектордың бағыты вектор мен координат осьтерінің арасында пайда болған бұрыштардың бағыт косинустары арқылы анықталады. Бағыт косинусын табу үшін сәйкес компоненттер мен ұзындықтар қолданылады (сурет кейінірек болады).

Векторларды программаларда көрсету

Бағдарламаларда векторларды әртүрлі тәсілдермен көрсетуге болады. Тиімді емес қарапайым айнымалылардың көмегімен де, массивтердің, класстардың және құрылымдардың көмегімен де.

Қалқымалы вектор3 = (1,2,3); // вектор құрылымын сақтауға арналған массив вектор3 // векторларды сақтауға арналған құрылым (float x, y, z;);

Векторларды сақтаудың ең үлкен мүмкіндіктері сыныптармен қамтамасыз етілген. Сыныптарда тек вектордың өзін (айнымалыларды) ғана емес, сонымен қатар векторлық операцияларды (функцияларды) сипаттай аламыз.

Векторлардың нүктелік көбейтіндісі

Векторды көбейтудің екі түрі бар: векторлық және скаляр.

Нүктелік туындының айрықша ерекшелігі - нәтиже әрқашан скалярлық мән болады, яғни. саны.

Бұл жерде келесі жайтқа назар аударған жөн. Егер бұл операцияның нәтижесі нөлге тең болса, онда екі вектор перпендикуляр - олардың арасындағы бұрыш 90 градус. Нәтиже нөлден үлкен болса, бұрыш 90 градустан аз болады. Нәтиже нөлден аз болса, бұрыш 90 градустан үлкен болады.

Бұл операция келесі формуламен көрсетіледі:

а · б= a x * b x + a y * b y + a z * b z

Нүкте көбейтіндісі екі вектордың сәйкес құраушыларының көбейтінділерінің қосындысы болып табылады. Анау. Екі вектордың x "s-ін алыңыз, оларды көбейтіңіз, содан кейін оларды у" s көбейтіндісіне қосыңыз және т.б.

Векторлардың векторлық көбейтіндісі

Екі вектордың көлденең көбейтіндісінің нәтижесі осы векторларға перпендикуляр вектор болады.

а x б =

Біз бұл формуланы әлі егжей-тегжейлі талқыламаймыз. Оның үстіне есте сақтау өте қиын. Анықтауыштармен танысқаннан кейін бұл мәселеге қайта ораламыз.

Жалпы даму үшін алынған вектордың ұзындығы векторларға салынған параллелограмның ауданына тең екенін білу пайдалы. ажәне б.

Векторлық нормалау

Нормалданған вектор деп ұзындығы бір векторды айтады.

Нормалданған векторды табу формуласы келесідей - вектордың барлық компоненттерін оның ұзындығына бөлу керек:

v n = v/ |v | =

Кейінгі сөз

Көріп отырғаныңыздай, векторларды түсіну қиын емес. Біз бірнеше векторлық операцияларды қарастырдық.

«Математика» бөлімінің келесі мақалаларында матрицаларды, анықтауыштарды, жүйелерді қарастырамыз сызықтық теңдеулер... Мұның бәрі теория.

Осыдан кейін біз матрицалық түрлендірулерді қарастырамыз. Компьютерлік ойындарды жасауда математиканың қаншалықты маңызды екенін сол кезде түсінесіз. Бұл тақырып барлық өткен тақырыптар үшін тәжірибеге айналады.