Жазықтыққа қатысты симметриялы түзудің теңдеуі. Жазықтықтағы түзумен ең қарапайым есептер

О-о-о-о-о... жарайды, ол өзіне сөйлем оқып жатқандай қиын =) Дегенмен, кейінірек релаксация көмектеседі, әсіресе бүгіннен бастап мен тиісті аксессуарларды сатып алдым. Сондықтан, бірінші бөлімге көшейік, мақаланың соңына дейін мен көңілді көңіл-күйді сақтаймын деп үміттенемін.

Өзара позицияекі түзу

Көрермендер хормен қосылып ән айтатын жағдай осындай. Екі түзу мүмкін:

1) сәйкестік;

2) параллель болу: ;

3) немесе бір нүктеде қиылысу: .

Манекендерге көмек : Математикалық қиылысу белгісін есте сақтаңыз, ол өте жиі пайда болады. Белгілеу сызықтың нүктедегі түзумен қиылысуын білдіреді .

Екі түзудің өзара орналасуын қалай анықтауға болады?

Бірінші жағдайдан бастайық:

Екі сызық сәйкес келеді, егер олардың сәйкес коэффициенттері пропорционал болса ғана, яғни теңдіктер орындалатындай «лямбда» саны бар болса.

Түзулерді қарастырайық және сәйкес коэффициенттерден үш теңдеу құрайық: . Әрбір теңдеуден бұл сызықтардың сәйкес келетіні шығады.

Шынында да, егер теңдеудің барлық коэффициенттері –1-ге көбейтіңіз (белгілерін өзгерту), және теңдеудің барлық коэффициенттері 2-ге кескенде, сіз бірдей теңдеуді аласыз: .

Екінші жағдай, сызықтар параллель болған кезде:

Екі түзу параллель болады, егер олардың айнымалылардың коэффициенттері пропорционал болса ғана: , Бірақ.

Мысал ретінде екі түзуді қарастырайық. Айнымалылар үшін сәйкес коэффициенттердің пропорционалдылығын тексереміз:

Дегенмен, бұл анық.

Ал үшінші жағдай, сызықтар қиылысатын кезде:

Екі сызық қиылысады, егер олардың айнымалылар үшін коэффициенттері пропорционал ЕМЕС болса, яғни теңдіктер орындалатын «лямбда» мәні ЖОҚ БОЛМАСА.

Сонымен, түзулер үшін жүйені жасаймыз:

Бірінші теңдеуден , ал екінші теңдеуден: , бұл жүйенің сәйкессіздігін білдіреді (шешімдері жоқ). Осылайша, айнымалылардың коэффициенттері пропорционалды емес.

Қорытынды: түзулер қиылысады

Практикалық есептерде сіз жаңа ғана талқыланған шешім схемасын пайдалана аласыз. Айтпақшы, бұл векторлардың сызықтық (бейне) тәуелділігі туралы сабақта талқылаған коллинеарлық векторларды тексеру алгоритмін өте еске түсіреді. Векторлардың негізі. Бірақ одан да өркениетті қаптама бар:

1-мысал

Түзулердің өзара орналасуын табыңыз:

Шешім түзулердің бағыттаушы векторларын зерттеуге негізделген:

а) Теңдеулерден түзулердің бағыт векторларын табамыз: .

, яғни векторлар коллинеар емес және түзулер қиылысады.

Қалай болғанда да, мен жол қиылысында белгілері бар тас қоямын:

Қалғандары тастың үстінен секіріп, әрі қарай, тура өлмейтін Кащейге қарай жүреді =)

б) түзулердің бағыт векторларын табыңдар:

Сызықтар бірдей бағыт векторына ие, яғни олар параллель немесе сәйкес келеді. Бұл жерде анықтауышты санаудың қажеті жоқ.

Белгісіздердің коэффициенттері пропорционал болатыны анық және .

Теңдіктің дұрыстығын білейік:

Осылайша,

в) түзулердің бағыт векторларын табыңыз:

Осы векторлардың координаталарынан тұратын анықтауышты есептейік:
, демек, бағыт векторлары коллинеар. Түзулер параллель немесе сәйкес келеді.

«лямбда» пропорционалдық коэффициентін тікелей коллинеарлық бағыт векторларының қатынасынан оңай көруге болады. Дегенмен, оны теңдеулердің коэффициенттері арқылы да табуға болады: .

Енді теңдік ақиқат па, соны анықтайық. Екі еркін термин де нөлге тең, сондықтан:

Алынған мән осы теңдеуді қанағаттандырады (жалпы алғанда кез келген сан оны қанағаттандырады).

Осылайша, сызықтар сәйкес келеді.

Жауап:

Көп ұзамай сіз бірнеше секунд ішінде сөзбе-сөз талқыланған мәселені шешуді үйренесіз (немесе тіпті үйрендіңіз). Осыған байланысты мен ештеңе ұсынудың мағынасы жоқ деп ойлаймын тәуелсіз шешім, геометриялық іргетасқа тағы бір маңызды кірпіш қалаған дұрыс:

Берілгенге параллель түзуді қалай салуға болады?

Мұны білмегені үшін ең қарапайым тапсырмаҚарақшы бұлбұл қатал жазалайды.

2-мысал

Түзу теңдеу арқылы берілген. нүктесі арқылы өтетін параллель түзудің теңдеуін жаз.

Шешуі: Белгісіз жолды әрпімен белгілейік. Шарт ол туралы не айтады? Түзу нүкте арқылы өтеді. Ал егер түзулер параллель болса, онда «tse» түзуінің бағыт векторы «de» түзуін тұрғызу үшін де қолайлы екені анық.

Бағыт векторын теңдеуден шығарамыз:

Жауап:

Мысалдың геометриясы қарапайым болып көрінеді:

Аналитикалық тестілеу келесі кезеңдерден тұрады:

1) Түзулердің бірдей бағыттағы векторы бар екенін тексереміз (егер түзудің теңдеуі дұрыс ықшамдалмаған болса, онда векторлар коллинеар болады).

2) Нүктенің алынған теңдеуді қанағаттандыратынын тексеріңіз.

Көп жағдайда аналитикалық тестілеуді ауызша оңай орындауға болады. Екі теңдеуді қараңыз, және сіздердің көпшілігіңіз ешқандай сызбасыз сызықтардың параллельдігін тез анықтайды.

Бүгінгі тәуелсіз шешімдердің мысалдары шығармашылық болады. Өйткені сіз әлі де Баба Ягамен бәсекелесуге тура келеді және ол, сіз білесіз бе, жұмбақтардың барлық түрлерін жақсы көреді.

3-мысал

Егер түзуге параллель нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін жаз

Оны шешудің ұтымды және онша ұтымды емес жолы бар. Ең қысқа жол - сабақтың соңында.

Біз параллель сызықтармен аздап жұмыс істедік және оларға кейінірек ораламыз. Сәйкес сызықтар жағдайы аз қызығушылық тудырады, сондықтан сізге таныс мәселені қарастырайық мектеп бағдарламасы:

Екі түзудің қиылысу нүктесін қалай табуға болады?

Тіке болса нүктесінде қиылысады, онда оның координаттары сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі болады

Түзулердің қиылысу нүктесін қалай табуға болады? Жүйені шешу.

Мінеки геометриялық мағынасыекі жүйе сызықтық теңдеулерекі белгісіз - бұл жазықтықтағы екі қиылысатын (көбінесе) сызықтар.

4-мысал

Түзулердің қиылысу нүктесін табыңыз

Шешуі: Шешудің екі жолы бар – графикалық және аналитикалық.

Графикалық әдіс – берілген сызықтарды жай ғана сызу және қиылысу нүктесін тікелей сызбадан табу:

Міне, біздің ойымыз: . Тексеру үшін оның координаттарын сызықтың әрбір теңдеуіне ауыстыру керек, олар сол жерде де, сол жерде де сәйкес келуі керек. Басқаша айтқанда, нүктенің координаталары жүйенің шешімі болып табылады. Негізінде біз екі теңдеуі, екі белгісізі бар сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің графикалық әдісін қарастырдық.

Графикалық әдіс, әрине, жаман емес, бірақ айтарлықтай кемшіліктер бар. Жоқ, мәселе жетінші сынып оқушыларының осылай шешетінінде емес, мәселе дұрыс әрі НӘДІС сызбаны құру үшін уақыт қажет. Сонымен қатар, кейбір түзу сызықтарды салу оңай емес, қиылысу нүктесінің өзі жазу кітапшасының сыртында отызыншы патшалықтың бір жерінде орналасуы мүмкін.

Сондықтан қиылысу нүктесін іздеген жөн аналитикалық әдіс. Жүйені шешейік:

Жүйені шешу үшін теңдеулерді мүше бойынша қосу әдісі қолданылды. Тиісті дағдыларды дамыту үшін сабаққа кіріңіз Теңдеулер жүйесін қалай шешуге болады?

Жауап:

Тексеру тривиальды - қиылысу нүктесінің координаталары жүйенің әрбір теңдеуін қанағаттандыруы керек.

5-мысал

Түзулер қиылысатын болса, олардың қиылысу нүктесін табыңыз.

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Тапсырманы бірнеше кезеңге бөлу ыңғайлы. Жағдайды талдау қажет екенін көрсетеді:
1) Түзу теңдеуін жаз.
2) Түзу теңдеуін жаз.
3) Түзулердің өзара орналасуын табыңыз.
4) Егер түзулер қиылысатын болса, онда қиылысу нүктесін табыңыз.

Іс-әрекет алгоритмін жасау көпшілікке тән геометриялық есептер, және мен бұған қайта-қайта назар аударамын.

Толық шешімжәне сабақтың соңында жауап:

Біз сабақтың екінші бөліміне жеткенше бір жұп аяқ киім де тозған жоқ:

Перпендикуляр түзулер. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.
Түзулер арасындағы бұрыш

Типтік және өте маңызды тапсырмадан бастайық. Бірінші бөлімде біз бұған параллель түзу сызықты қалай салу керектігін білдік, ал енді тауықтың аяғындағы саятшылық 90 градусқа айналады:

Берілгенге перпендикуляр түзуді қалай салуға болады?

6-мысал

Түзу теңдеу арқылы берілген. нүктесі арқылы өтетін түзуге перпендикуляр теңдеу жазыңыз.

Шешуі: Шарт бойынша бұл белгілі. Сызықтың бағыттаушы векторын табу жақсы болар еді. Сызықтар перпендикуляр болғандықтан, трюк қарапайым:

Теңдеуден қалыпты векторды «алып тастаймыз»: , ол түзудің бағыттаушы векторы болады.

Нүкте мен бағыт векторын пайдаланып түзудің теңдеуін құрайық:

Жауап:

Геометриялық сызбаны кеңейтейік:

Ммм... Сарғыш аспан, сарғыш теңіз, сарғыш түйе.

Шешімді аналитикалық тексеру:

1) Теңдеулерден бағыт векторларын шығарамыз ал векторлардың скаляр көбейтіндісін пайдалана отырып, түзулер шынымен перпендикуляр деген қорытындыға келеміз: .

Айтпақшы, сіз қалыпты векторларды пайдалана аласыз, бұл одан да оңай.

2) Нүктенің алынған теңдеуді қанағаттандыратынын тексеріңіз .

Тест, тағы да ауызша орындауға оңай.

7-мысал

Теңдеу белгілі болса, перпендикуляр түзулердің қиылысу нүктесін табыңыз және кезең.

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Есептің бірнеше әрекеті бар, сондықтан шешімді нүкте бойынша тұжырымдау ыңғайлы.

Біздің қызықты саяхатымыз жалғасуда:

Нүктеден сызыққа дейінгі қашықтық

Біздің алдымызда өзеннің түзу жолағы бар және біздің міндетіміз оған ең қысқа жолмен жету. Ешқандай кедергі жоқ, ең оңтайлы бағыт перпендикуляр қозғалу болады. Яғни нүктеден түзуге дейінгі қашықтық перпендикуляр кесіндінің ұзындығы болып табылады.

Геометриядағы қашықтық дәстүрлі түрде белгіленеді Грек әрпі«ro», мысалы: – «em» нүктесінен «de» түзуіне дейінгі қашықтық.

Нүктеден сызыққа дейінгі қашықтық формуласымен өрнектеледі

8-мысал

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табыңыз

Шешім: формулаға сандарды мұқият ауыстырып, есептеулерді орындау керек:

Жауап:

Сызбаны жасайық:

Нүктеден түзуге дейінгі табылған қашықтық дәл қызыл кесіндінің ұзындығына тең. Егер сіз дойбы қағазға 1 бірлік масштабта сурет салсаңыз. = 1 см (2 ұяшық), содан кейін қашықтықты қарапайым сызғышпен өлшеуге болады.

Сол сызбаға негізделген басқа тапсырманы қарастырайық:

Тапсырма түзу сызыққа қатысты нүктеге симметриялы нүктенің координаталарын табу . Мен қадамдарды өзіңіз орындауды ұсынамын, бірақ мен аралық нәтижелермен шешім алгоритмін сипаттаймын:

1) Түзуге перпендикуляр болатын түзуді табыңыз.

2) Түзулердің қиылысу нүктесін табыңыз: .

Бұл сабақта екі әрекет те егжей-тегжейлі талқыланады.

3) Нүкте – кесіндінің ортасы. Біз ортаңғы және бір ұшының координаталарын білеміз. Кесіндінің ортаңғы нүктесінің координаталары формулаларын қолданып, табамыз.

Қашықтықтың да 2,2 бірлік екенін тексеру жақсы болар еді.

Мұнда есептеулерде қиындықтар туындауы мүмкін, бірақ микрокалькулятор мұнарада үлкен көмек болып табылады, ол есептеуге мүмкіндік береді. жай бөлшектер. Мен сізге бірнеше рет кеңес бердім және тағы да ұсынамын.

Екі параллель түзудің арақашықтығын қалай табуға болады?

9-мысал

Екі параллель түзудің арақашықтығын табыңыз

Бұл өз бетінше шешім қабылдауға арналған тағы бір мысал. Мен сізге аздап кеңес беремін: мұны шешудің шексіз көп жолдары бар. Сабақ соңында қорытындылау, бірақ өзіңіз болжауға тырысқаныңыз дұрыс, менің ойымша, сіздің тапқырлығыңыз жақсы дамыған.

Екі түзудің арасындағы бұрыш

Әрбір бұрыш - кептеліс:


Геометрияда екі түзудің арасындағы бұрыш КІШІ бұрыш ретінде қабылданады, одан автоматты түрде доғал болуы мүмкін емес деген қорытынды шығады. Суретте қызыл доғамен көрсетілген бұрыш қиылысатын сызықтар арасындағы бұрыш болып саналмайды. Және оның «жасыл» көршісі немесе қарама-қарсы бағытталған«таңқурай» бұрышы.

Егер түзулер перпендикуляр болса, онда 4 бұрыштың кез келгенін олардың арасындағы бұрыш ретінде алуға болады.

Бұрыштар қалай ерекшеленеді? Бағдарлау. Біріншіден, бұрыштың «айналдыру» бағыты өте маңызды. Екіншіден, теріс бағытталған бұрыш минус белгісімен жазылады, мысалы, егер .

Мен мұны саған неге айттым? Кәдімгі бұрыш деген ұғымды ұстанатын сияқтымыз. Біз бұрыштарды табатын формулалар теріс нәтижеге әкелуі мүмкін және бұл сізді таң қалдырмауы керек. Минус таңбасы бар бұрыш одан да жаман емес және өте нақты геометриялық мағынаға ие. Сызбада теріс бұрыш үшін оның бағытын көрсеткі (сағат тілімен) көрсетуді ұмытпаңыз.

Екі түзудің арасындағы бұрышты қалай табуға болады?

Екі жұмыс формуласы бар:

10-мысал

Түзулер арасындағы бұрышты табыңыз

Шешім және бірінші әдіс Екі түзуді қарастырайық,теңдеулер арқылы беріледі

жалпы алғанда: Егер түзулер перпендикуляр болмаса, ондабағытталған

Олардың арасындағы бұрышты мына формула бойынша есептеуге болады:

Бөлгішке мұқият назар аударайық - бұл дәл сызықтардың бағыт векторларының скаляр көбейтіндісі:

Егер болса, онда формуланың бөлгіші нөлге айналады, ал векторлары ортогональ, ал түзулері перпендикуляр болады. Сондықтан тұжырымда түзулердің перпендикуляр еместігі туралы ескертпе жасалды.

Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, шешімді екі кезеңмен ресімдеу ыңғайлы: 1) Есептеп көрейікнүктелік өнім
түзулердің бағытталған векторлары:

, яғни түзулер перпендикуляр емес.

2) Формула арқылы түзулердің арасындағы бұрышты табыңыз: Қолдану арқылыкері функция

Жауап:

Бұрыштың өзін табу оңай. Бұл жағдайда арктангенстің тақтығын қолданамыз (элементар функциялардың графиктері мен қасиеттерін қараңыз):

Сіздің жауабыңызда калькулятор арқылы есептелген нақты мәнді, сондай-ақ шамамен мәнді (дұрыс дәрежеде де, радианда да) көрсетеміз.

Ал, минус, минус, маңызды емес. Міне геометриялық иллюстрация:

Бұрыштың теріс бағытта болуы таңқаларлық емес, өйткені мәселенің мәлімдемесінде бірінші сан түзу болып табылады және бұрыштың «бұрауы» дәл осыдан басталды. Егер сіз шынымен оң бұрыш алғыңыз келсе, сызықтарды ауыстыруыңыз керек, яғни екінші теңдеуден коэффициенттерді алуыңыз керек. .

, және бірінші теңдеудегі коэффициенттерді алыңыз. Қысқасы, сіз тікелейден бастауыңыз керек

Кеңістіктегі түзу әрқашан екі параллель емес жазықтықтың қиылысу сызығы ретінде анықталуы мүмкін. Егер бір жазықтықтың теңдеуі екінші жазықтықтың теңдеуі болса, онда түзудің теңдеуі мына түрде беріледі. Мұнда
коллинеарлы емес . Бұл теңдеулер деп аталадыжалпы теңдеулер

тікелей кеңістікте.

Сызықтың канондық теңдеулері

Берілген түзуде жатқан немесе оған параллель жатқан кез келген нөлдік емес вектор осы түзудің бағыт векторы деп аталады.
Нүкте белгілі болса
түзу және оның бағыт векторы

. (9)

Сызықтың параметрлік теңдеулері

Түзудің канондық теңдеулері берілсін

.

Осыдан сызықтың параметрлік теңдеулерін аламыз:

(10)

Бұл теңдеулер түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін табу үшін пайдалы.

Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі
Және
пішіні бар:

.

Түзулер арасындағы бұрыш

Түзулер арасындағы бұрыш

Және

олардың бағыт векторларының арасындағы бұрышқа тең. Сондықтан оны (4) формула бойынша есептеуге болады:

Параллель түзулердің шарты:

.

Жазықтықтардың перпендикуляр болу шарты:

Нүктенің түзуден қашықтығы

П нүкте берілді делік
және түзу

.

Түзудің канондық теңдеулерінен біз нүктені білеміз
, түзуге жататын және оның бағыт векторы
. Содан кейін нүктенің қашықтығы
түзуден векторларға салынған параллелограмның биіктігіне тең Және
. Демек,

.

Түзулердің қиылысу шарты

Екі параллель емес түзу

,

тек және егер ғана қиылысады

.

Түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы.

Түзу сызық берілсін
және ұшақ. Бұрыш олардың арасын формула арқылы табуға болады

.

Есеп 73. Түзудің канондық теңдеулерін жаз

(11)

Шешім. (9) түзудің канондық теңдеулерін жазу үшін түзуге жататын кез келген нүктені және түзудің бағыт векторын білу қажет.

векторын табайық , осы сызыққа параллель. Өйткені ол осы жазықтықтардың нормаль векторларына перпендикуляр болуы керек, яғни.

,
, Бұл

.

Түзу сызықтың жалпы теңдеулерінен біз мынаны аламыз
,
. Содан кейін

.

Нүктеден бастап
түзудің кез келген нүктесі болса, онда оның координаталары түзудің теңдеулерін қанағаттандыруы керек және олардың біреуін көрсетуге болады, мысалы,
, (11) жүйесінен қалған екі координатаны табамыз:

Осы жерден,
.

Осылайша, қалаған жолдың канондық теңдеулері келесідей болады:

немесе
.

74-есеп.

Және
.

Шешім.Бірінші жолдың канондық теңдеулерінен нүктенің координаталары белгілі
түзуге жататын, және бағыт векторының координаталары
. Екінші жолдың канондық теңдеулерінен нүктенің координаталары да белгілі
және бағыт векторының координаталары
.

Параллель түзулер арасындағы қашықтық нүктенің қашықтығына тең
екінші түзу сызықтан. Бұл қашықтық формула бойынша есептеледі

.

Вектордың координаталарын табайық
.

Векторлық көбейтіндіні есептейік
:

.

Есеп 75. Нүкте табыңыз симметриялы нүкте
салыстырмалы түрде түзу

.

Шешім. Берілген түзуге перпендикуляр және нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазайық . Оның қалыпты векторы ретінде түзудің бағыттаушы векторын алуға болады. Содан кейін
. Демек,

Нүкте табайық
осы түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі P. Ол үшін (10) теңдеулерді пайдаланып түзудің параметрлік теңдеулерін жазамыз, аламыз.

Демек,
.

Болсын
нүктеге симметриялы нүкте
осы сызыққа қатысты. Содан кейін көрсетіңіз
ортаңғы нүкте
. Нүктенің координаталарын табу Біз сегменттің ортаңғы нүктесінің координаталары үшін формулаларды қолданамыз:

,
,
.

Сонымен,
.

Есеп 76. Түзу арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жаз
Және

а) нүкте арқылы
;

б) жазықтыққа перпендикуляр.

Шешім.Осы жолдың жалпы теңдеулерін жазайық. Ол үшін екі теңдікті қарастырыңыз:

Бұл қажетті жазықтықтың генераторлары бар жазықтықтар шоғырына жататынын білдіреді және оның теңдеуін (8) түрінде жазуға болады:

а) Табайық
Және нүкте арқылы жазықтық өту шартынан
, сондықтан оның координаталары жазықтықтың теңдеуін қанағаттандыруы керек. Нүктенің координаталарын ауыстырайық
жазықтықтар шоғырының теңдеуіне:

Табылған құнды
Оны (12) теңдеумен ауыстырайық. қалаған жазықтықтың теңдеуін аламыз:

ә) Табайық
Және қалаған жазықтықтың жазықтыққа перпендикуляр болу шартынан. Берілген жазықтықтың нормаль векторы
, қалаған жазықтықтың нормаль векторы (жазықтықтар шоғырының теңдеуін қараңыз (12).

Екі вектор перпендикуляр болады, егер олардың нүктелік көбейтіндісі нөлге тең болса ғана. Демек,

Табылған мәнді ауыстырайық
жазықтықтар шоғырының теңдеуіне (12). Қалаған жазықтықтың теңдеуін аламыз:

Өз бетінше шешілетін мәселелер

77-тапсырма. Жетекші канондық пішінсызықтардың теңдеулері:

1)
2)

Есеп 78. Түзудің параметрлік теңдеулерін жаз
, Егер:

1)
,
; 2)
,
.

79 есеп. нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жаз
түзу сызыққа перпендикуляр

Есеп 80. Нүктеден өтетін түзудің теңдеулерін жаз
жазықтыққа перпендикуляр.

Есеп 81. Түзулер арасындағы бұрышты табыңыз:

1)
Және
;

2)
Және

Есеп 82. Түзулердің параллельдігін дәлелдеңдер:

Және
.

Есеп 83. Түзулердің перпендикулярлығын дәлелдеңдер:

Және

Есеп 84. Нүктенің қашықтығын есептеңдер
түзу сызықтан:

1)
; 2)
.

Есеп 85. Параллель түзулердің арақашықтығын есептеңдер:

Және
.

86 есеп. Сызықтың теңдеулерінде
параметрін анықтау осылайша бұл түзу түзумен қиылысып, олардың қиылысу нүктесін табыңыз.

Есеп 87. Оның түзу екенін көрсетіңіз
жазықтыққа параллель
, және түзу
осы жазықтықта жатыр.

Есеп 88. Нүкте табыңыз симметриялы нүкте ұшаққа қатысты
, Егер:

1)
, ;

2)
, ;.

Есеп 89. Нүктеден түсірілген перпендикуляр теңдеуін жаз
тікелей
.

90 есеп. Нүкте табыңыз симметриялы нүкте
салыстырмалы түрде түзу
.

2020 жылдың шілдесінде NASA Марсқа экспедициясын бастайды. Ғарыш кемесі Марсқа экспедицияға тіркелген барлық қатысушылардың аты-жөні жазылған электронды тасымалдағышты жеткізеді.

Егер бұл жазба сіздің мәселеңізді шешсе немесе сізге ұнаса, оның сілтемесін әлеуметтік желілердегі достарыңызбен бөлісіңіз.

Осы код опцияларының бірін көшіріп, веб-бетіңіздің кодына қою керек, жақсырақ тегтер арасында немесе тегтен кейін бірден. Бірінші нұсқаға сәйкес, MathJax жылдамырақ жүктеледі және бетті аз баяулатады. Бірақ екінші опция MathJax соңғы нұсқаларын автоматты түрде бақылайды және жүктейді. Бірінші кодты енгізсеңіз, оны мерзімді түрде жаңарту қажет болады. Екінші кодты енгізсеңіз, беттер баяу жүктеледі, бірақ MathJax жаңартуларын үнемі бақылаудың қажеті жоқ.

MathJax-ті қосудың ең оңай жолы - Blogger немесе WordPress: сайттың басқару тақтасында үшінші тарап JavaScript кодын енгізуге арналған виджетті қосыңыз, оған жоғарыда ұсынылған жүктеу кодының бірінші немесе екінші нұсқасын көшіріп, виджетті жақынырақ орналастырыңыз. үлгінің басына (айтпақшы, бұл мүлдем қажет емес, өйткені MathJax сценарийі асинхронды түрде жүктеледі). Бар болғаны. Енді MathML, LaTeX және ASCIIMathML белгілеу синтаксисін үйреніңіз және сіз ендіруге дайынсыз. математикалық формулаларсайтыңыздың веб-беттеріне.

Тағы бір Жаңа жыл кеші... аязды ауа-райы мен терезе әйнегіндегі қар түйіршіктері... Мұның бәрі мені... фракталдар туралы және Вольфрам Альфаның бұл туралы не білетіні туралы тағы да жазуға итермеледі. Осы орайда бар қызықты мақала, онда екі өлшемді фракталдық құрылымдардың мысалдары бар. Мұнда біз толығырақ қарастырамыз күрделі мысалдарүш өлшемді фракталдар.

Фракталды визуалды түрде геометриялық фигура немесе дене (екеуі де жиын, бұл жағдайда нүктелер жиыны дегенді білдіреді), бөлшектері бастапқы фигураның өзі сияқты пішінге ие болатындай бейнелеуге (сипаттауға) болады. Яғни, бұл өзіне-өзі ұқсас құрылым, оның егжей-тегжейлерін зерттей отырып, үлкейткенде біз үлкейтусіз бірдей пішінді көреміз. Ал кәдімгі геометриялық фигура (фракталдық емес) жағдайда, үлкейту кезінде біз бастапқы фигураның өзінен гөрі қарапайым пішіні бар бөлшектерді көреміз. Мысалы, жеткілікті жоғары үлкейту кезінде эллипстің бір бөлігі түзу сызықты кесіндіге ұқсайды. Бұл фракталдармен болмайды: олардың кез келген ұлғаюымен біз тағы да сол күрделі пішінді көреміз, ол әрбір ұлғайған сайын қайта-қайта қайталанады.

Фракталдар туралы ғылымның негізін салушы Бенуа Мандельброт өзінің «Фракталдар және ғылым атымен өнер» атты мақаласында: «Фракталдар геометриялық фигуралар, олар жалпы формасы сияқты бөлшектері бойынша бірдей күрделі. Яғни, егер фракталдың бір бөлігі бүтіннің өлшеміне дейін үлкейтілген болса, ол не дәл, не аздаған деформациямен бүтін болып көрінеді».