Басты Физика «Шың формуласын қолдану» шығармашылық жұмысы. Геометрия

«Шың формуласын қолдану» шығармашылық жұмысы. Геометрия

Формуланы таңдаңыз

1. Кіріспе

2. Шың формуласы. Дәлелдеу I.

Proof II.

PROOF SH.

3. Тапсырма.

4. Көпбұрыш аймағының шыңдардың координаттары арқылы формуласы.

5. Тапсырма.

6. Әдебиет

Шың формуласы.

1. Кіріспе.

Әңгімеде біз даналық жасаймыз,

поэзияда - WIT,

математика бойынша - түсінік.

F. Бекон

Сюжет кәдімгі тексерілген қағазда ашылады.

Жасушалардың жыпылықтайтын сызықтары торды құрайды, ал жасушалардың шыңдары осы тордың түйіндері болып табылады. Біз түйіндердегі парақта көпбұрышты салып, оның аймағын табамыз.

Сіз оны әртүрлі жолдармен іздей аласыз. Мысалы, сіз көпбұрышты қарапайым сандармен қысқартуға, оларды аймақты және бүктеуге болады.

Бірақ мұнда біз көптеген қиындықтарды күтеміз. Бұл фигурада тіктөртбұрыштар, трапеция және үшбұрыштарға оңай бөлінеді, ал оның ауданы күшсіз есептеледі.

Көпбұрыш жеткілікті қарапайым болып көрінсе де, оның аймағын есептеу үшін өте қиын болуы керек. Егер көпбұрыш көп көрінсе? Тор тораптарында орналасқан полигондардың ауданы көп мөлшерде есептеледі, ал көп жағдайда есептеледі: оларды көпбұрыштардың және көпбұрыштың шекарасы бар түйіндердің санымен байланыстыратын формула . Бұл керемет және қарапайым формула шың формуласы деп аталады.

2. Шың формуласы.

Көпбұрыштың шыңдары (міндетті түрде дөңес емес) бүтін тордың түйіндерінде орналасқан. Ішінде тор түйіндерінде және түйіндердің шекарасында жатыр. Оның ауданы + - 1 (шың формуласы).

Дәлелдеу I.

Бүтін санның түйіндерінде, яғни бүтін тордың түйіндері бар көпбұрышты қарастырыңыз.

Полигон тор түйіндерімен үшбұрыштарды сындырады, құрамында түйіндер, не жағында түйіндер жоқ.

Білдіреді:

жоқ - көпбұрон тараптарының саны,

м. - құрамында түйіндерде немесе бүйірлерінде түйіндерден тұратын шыңдары бар үшбұрыштардың саны,

B - көпбұрыш ішіндегі түйіндердің саны,

М - бүйірлердегі түйіндердің саны, соның ішінде шыңдар.

Осы үшбұрыштардың ауданы бірдей және тең.

Демек, көпбұрыш аймағы тең
.

180 0 м. .

Енді бұл соманы басқа жолмен табыңыз.

Кез келген ішкі түйіндегі Vertex-пен бұрыштардың қосындысы - 360 0.

Содан кейін барлық ішкі түйіндердегі шыңдары бар бұрыштардың қосындысы 360 0 В.

Тараптардағы түйіндердегі бұрыштардың жалпы мөлшері, бірақ шыңдарда емес, 180 0 (g - жоқ).

Көпбұрыштың шыңдарындағы бұрыштардың қосындысы 180 0 ( жоқ – 2) .

Барлық үшбұрыштардың бұрыштарының жалпы мөлшері тең 360 0 + 180 0 (g - жоқ) + 180 0 (жоқ – 2).

Осылайша, 180 0 м. \u003d 360 0 + 180 0 (g - жоқ) + 180 0 (жоқ – 2),

180 0 м. \u003d 360 0 on + 180 0 g - 180 0 жоқ + 180 0 жоқ - 180 0 · 2,

180 0 м. \u003d 360 0 on + 180 0 г - 360 0,

\u003d B +. – 1 ,

мен көпбұрыштың аймағына қайдан аламын:

С.\u003d B +. – 1 ,

шың формуласы ретінде белгілі.

Сурет: B \u003d 24, G \u003d 9, сондықтан,С. = 24 + – 1 = 27,5.

Бірінші көпбұрыштың ауданын ең жоғары формула бойынша табыңыз:

B \u003d 28 (жасыл нүктелер);

R \u003d 20 (көк нүктелер).

Біз s \u003d аламыз
\u003d 37 шаршы метр.

Proof II.

Әрбір полигон м бүтін тордың түйіндеріндегі шыңдармен f (m) \u003d санына сәйкес қойылады \u003d
Жиынтық барлық торларда, және бұрышқа тиесілі барлық тораптарда орындалады Келесідей анықталды: =
Көпбұрыштың ішкі нүктесі үшін, =
жоғарғы және одан басқа шекара нүктесі үшін - жоғарғы жағындағы бұрыш, егер бұл түйін шың болса. Бұл F (m) \u003d көру оңай
+
\u003d B +. - 1. F (м) санының көпбұрыштың ауданына тең екенін тексеру қалады.

Polygon M 1 және M 2 полигондарына тор түйіндеріндегі шыңдармен кесіп берсін. Содан кейін f (m) \u003d f (m 1) + f (m 2), өйткені әр түйін үшін бұрыштар бүктелген. Сондықтан, егер шың формуласы болса, егер м, м, м 1 және м 2 үшін дұрыс болса, онда ол үшіншіге қатысты.

Егер м болса, бүйірлері бар тіктөртбұрыш п. және q.торлы желілерде бағытталған

f (m) \u003d (p - 1) (Q - 1) +
\u003d Pq.

Бұл жағдайда шыңның формуласы жарамды. 1-ші тіктөртбұрышты м 1 және м 2 және f (m) \u003d f (m 1) + f (m 2) және f (m 2) \u003d f (m 2), f (m 2), ол оңай Кез-келген тіктөртбұрышты үшбұрышқа арналған, торлы сызықтар бойымен бұрыс формуласының әділеттілігін дәлелдеу. Мен осындай үшбұрыштарды тіктөртбұрыштан кесіп тастадым, сіз кез-келген үшбұрышты ала аласыз.

Шың формуласының дәлелін аяқтау үшін, кез-келген көпбұрышты қиқылған диагональдармен үшбұрыштарға кесілуі мүмкін екенін байқаңыз.

PROOF SH.

Пішін аймағының арасындағы байланыс және түйіндердің саны осы санға түсіп, тіктөртбұрыш жағдайында айқын көрінеді.

Болсын А б С Д. - тор сызықтарымен жүретін түйіндер мен жақтардағы тікбұрыш.

Арқылы белгілеңіз -Датіктөртбұрыштың ішінде жатып, және арқылы орналасқан түйіндер саны Г. - шекарасындағы түйіндердің саны. Ұяшықтың еденіндегі торды оңға және баспанаға жылжытыңыз.

Содан кейін тіктөртбұрыштың ауданы түйіндер арасында келесідей «тарата алады»: әрқайсысы -Датүйіндер «басқарады», әрқайсысы жер аударылған тордың бүкіл ұяшығын Г. - 4 Шекаралық емес түйіндер - жасушаның жартысы, ал бұрыштық нүктелердің әрқайсысы ұяшықтың төрттен бір бөлігі болып табылады. Сондықтан тіктөртбұрыштың ауданы тең

Сонымен, түйіндер мен тараптарда тікбұрыштар үшін тор сызықтарымен жүріп, біз формуланы орнаттық

Бұл формула тек тіктөртбұрыштар үшін ғана емес, сонымен қатар тор түйіндеріндегі шыңдары бар еркін полигондар үшін де айтылғанын дәлелдейміз.

Арқылы белгілеңіз С. м. көпбұрыш аймағыМ. түйіндердегі шыңдармен және арқылыБ м. өлшемдегі көлем
қайда-Да м. - ішіндегі түйіндердің саныМ, бірақ Г. м. - шекарадағы түйіндердің саны. Содан кейін шыңның формуласын келесідей жазуға болады
.

Бірнеше қадамдарды бұзу үшін формуланың дәлелі.

1-қадам.

Егер көпбұрыш болсаМ. 2 полигонға кесілген торлардың түйіндеріменМ. 1 және М. 2 , сонымен қатар тор түйіндерінде ғана бар, содан кейін
. Көпбұран болсынМ. көпбұрыштарға кесіңізМ. 1 және М. 2 Түйіндер сегментіндегі шыңдарменАв. Барлық түйіндер, кесілгендерден басқаАб формула сол және оң жағына бірдей үлес қосыңыз. АВ сегментінде жатқан түйіндерді қарастырыңыз.

Егер мұндай түйін а және іштің арасында (мысалы, в) тұрады, содан кейін көпбұрыш үшінМ. бұл ішкі және көпбұрыштар үшінМ. 1 және М. 2 - шекара. Сондықтан оның қосқан үлесіБ м. 1-ге тең, және әр өрнектерде
және
- 0,5, яғни, осы түйіннің жарналарыБ м. және
тең.

A және V түйіндерін қарастырыңыз, олар үшін шекара М.және үшін М. 1 , М. 2 .

Сондықтан, осы түйіндердің әрқайсысына қосқан үлесіБ м. 0,5-ке тең
- бірлік. Сонымен, А және В түйіндерінің жалпы үлесіБ м. 1-ге тең, бұл олардың қосқан үлесінен аз
. Бірақ
, бірақ.

Барлық түйіндердің «жарнасынан» Б м. 1 және одан шеше
2 алып тастаңыз, ал бұл A және V түйіндеріндегі айырмашылықты өтейді.

Солай
.

2-қадам.

Егер көпбұрыш болса М.тордың түйіндеріндегі шыңдармен екі полигонға кесілген М. 1 және М. 2 (сонымен қатар түйіндердегі шыңдармен) және формула екі полигонның кейбіріне қатысты М, м 1 , М. 2 , Сонда үшінші көпбұрышқа қатысты.

Мысалы, солай болсынМ. 1 және М. 2 , яғни
. Содан кейін (бірінші қадамда), бірақ қосулы бірінші қадам) Соңғы өрнек теңБ м. , және теңдік
Және шың формуласы бар.

3-қадам.

Біз торлы түйіндердегі шыңдармен тікбұрышты үшбұрышқа арналған шыңды формула, тор сызықтарында жатқан клиенттермен дәлелдедік.

Үшбұрыш Асc Тіктөртбұрышқа лақтырыңыз А б С Д. .

Тіктөртбұрыштар үшін шың формуласы дұрыс: С. А б С Д. \u003d P. А б С Д. . Бірінші қадамға сәйкес Б А б С Д. \u003d P. Асc + П. ACD. , Б Асc \u003d P. ACD. , сондықтан Б А б С Д. \u003d 2p. Асc . Бірақ С. А б С Д. = 2 С. Асc . сондықтан С. Асc \u003d P. Асc .

4-қадам.

Шың формуласы тор түйіндеріндегі шыңдармен еркін үшбұрыш үшін дұрыс.

Суретті ескере отырып, оны түсіну оңай: кез-келген осындай үшбұрыштың кез-келген тригивіде «Тікелей эфир» трификторларынан бастап, тор сызықтарымен қозғалады, бірнеше тіктөртбұрыштар және тор сызықтарындағы кедендік тіктөртбұрыштар. Шың формуласы тіктөртбұрыштар мен тікбұрышты үшбұрыштарға қатысты, содан кейін (2-қадамды есте сақтау), ол бастапқы үшбұрышқа қатысты.

Егер біз көпбұрышты тор түйіндеріндегі шыңдармен үшбұрыштарға кесуге болатын болса, онда ол үшін шың формуласы дұрыс екенін дәлелдедік.

3. Тапсырма.

Сандар квадраттарын табыңыз:

1
.

B \u003d 9.

R \u003d 4.

B \u003d 9.

R \u003d 5.

Хибадуллина Г.И. (Нұрлат, №1 мектеп)

1. Бойничич Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. және басқалары. Математика. Арифметика. Геометрия. 5-сынып: Оқу. Жалпы білім беру үшін. adj ұйымдары. электронда. Тасымалдаушы -3-e ed. - м .: Ағарту, 2014. - 223, б. : Il. - (Сфералар).

2. Бойниұлы Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. және басқалары. Математика. Арифметика. Геометрия. 6-сынып: Білім. Жалпы білім беру үшін. Ұйымдар. 5-ші ред. - м .: Ағарту, 2016. - 240 с.: IL. - (Сфералар).

3. Васильев Н.Б. Шыңның формуласы // квантаның айналасында. - 1974 ж. - №2. - 39-43-б.

4. Розец v.v. Планиметрияға арналған тапсырмалар. 5-ші Ред., Әрекет. қосады. - м.: 2006. - 640 б.

5. Ященко И.В. Oge. Математика: Типтік емтихандар: O-39 36 Опциялар - М .: «Ұлттық білім» баспасы, 2017. - 240 б. - (OGE. Fipix - мектеп).

6. Мен Оге: Математика безендіремін. Дмитрий Гушчина оқыту жүйесі. OGE-2017: Тапсырмалар, жауаптар, шешімдер [Электронды ресурс]. - кіру режимі: https://oge.sdamgia.ru/test?id\u003d6846966 (апелляция күні 04.02.2017).

Мен 6-сынып оқушымын. Ол геометрияны өткен жылдан бастап оқи бастады, өйткені мен мектепте «Математика» оқулығында жасаймын. Арифметика. Геометрия »редакцияланған Е.А. Бинаұлы, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева және басқалар.

«Фигуралардың алаңының» тақырыптары үлкен назар аударды, «формулалар құрастыру». Мен бірдей сандардағы ауданды әртүрлі тәсілдермен табуға болатындығын байқадым. Күнделікті өмірде біз ауданды табудың міндеттерін жиі кездестіреміз. Мысалы, бояуға болатын еден аумағын табыңыз. Өңделіп, әр түрлі тұсқағазды жөндеу үшін сатып алу үшін, сіз бөлменің мөлшерін білуіңіз керек, I.e. Шаршы қабырғалар. Квадр квадратының, төртбұрыштың және тікбұрышты үшбұрыштың квадраты маған қиындық тудырмады.

Осы тақырыпты қызықтыра отырып, мен Интернетте қосымша материалдарды іздей бастадым. Іздеу нәтижесінде мен шыңның формуласын кездестірдім, ол дегалогталған қағазда жасалған көпбұрыш аймағын есептеу формуласы болып табылады. Бұл формуланың ауданын есептеу маған кез-келген студентке қол жетімді болып көрінді. Сондықтан мен ғылыми-зерттеу жұмыстарын жүргізуге шешім қабылдадым.

Тақырыптың өзектілігі. Бұл тақырып - геометрия курсын зерттеу және тереңдету.

Бұл тақырыпты зерттеу олимпиадалар мен емтихандарға дайындалуға көмектеседі.

Жұмыс мақсаты:

1. Шың формуласымен танысыңыз.

2. Шың формуласын қолдана отырып, геометриялық есептер шешімдерінің әдістерін жіберіңіз.

3. Теориялық және практикалық материалдарды жүйелеу және қорытындылау.

Зерттеу міндеттері:

1. Тапсырмаларды шешу кезінде формуланы қолданудың тиімділігі мен орындылығын тексеру.

2. Әр түрлі күрделілікке қатысты шың формуласын қолдануды үйреніңіз.

3. Шың формуласын және дәстүрлі түрде шешілген тапсырмаларды салыстырыңыз.

Негізгі бөлім

Тарихи анықтама

Георг Александр шыңы - австриялық математика, жылдың 10 тамызында туған. Ол дарынды бала, әкесі оқытылды, жеке мекеме бастады. 16-да Георг мектеп бітіріп, Вена университетіне түсті. 20 жасында физика-математиканы үйрету құқығын алды. Дүниежүзілік даңққа полигонның торының аймағын анықтауға формула әкелді. Ол формуласын 1899 жылы мақалада жариялады. Ол 1969 жылы поляк ғалымы оны 1969 жылы математикалық кадрларды жариялау кезінде танымал болды.

Горг шыңы Вена университетінде білім алып, 1880 жылы кандидатураны қорғады. Докторантураны алғаннан кейін, ол Прагадағы Шер Фердина және университетіндегі Эрнестің көмекшісі болып тағайындалды. Ол да мұғалім болды. Ол Прагада 1927 жылы отставкаға кетті, содан кейін Венаға оралды.

Шыңға ПАКБІ Прага университетінде 1911 жылы Эйнштейнге тағайындалған Эйнштейнге тағайындалған Понестейн тағайындады.

Ол Чехия ғылымдары мен өнер академиясының мүшесі болып сайланды, бірақ пацисте Праганы басып алғаннан кейін шығарылды.

Фашистер 1938 жылы 12 наурызда Австрияға келгенде, ол Прагаға оралды. 1939 жылы наурызда фашистер Чехословакияға басып кірді. 1942 жылдың 13 шілдесінде шыңы Шыңы Терісиенштадт лагеріне жер аударылды, ол Чехия ұлттық құрамасындағы фашистермен жер аударылды, онда ол екі аптадан кейін 82 жас аралығында қайтыс болды.

Зерттеу және дәлел

Мен өзімнің зерттеу жұмысымды сұрақ қойып бастадым: алаңды қай сандарды таба аламын? Мен мүмкін болатын үшбұрыштар мен төртбұрыштардың аумағын есептеу формуласын жасаңыз. Бірақ бес, алты және жалпы полигондармен не бар?

Әр түрлі сайттарда зерттеу барысында мен бес, алты және басқа полигондарды есептеу үшін тапсырмалардың шешімдерін көрдім. Осы тапсырмаларды шешуге мүмкіндік беретін формула шың формуласы деп аталады. Бұл: s \u003d b + g / 2-1, онда көпбұрыштың ішіндегі түйіндер саны көп, g - көпбұрыштың жиегінде жатқан түйіндер саны. Бұл формуланың ерекшелігі оны тек тексерілген қағазда жасалған көпбұрыштар үшін пайдалануға болады.

Мұндай көпбұрыштың кез-келгені, торлы түйіндердегі үшбұрышқа бөлуге оңай, ал түйіндерде немесе бүйірлерінде түйіндер жоқ. Бұл үшбұрыштардың ауданы бірдей және тең екендігі және сәйкесінше, көпбұрыш аймағы олардың санының жартысына тең екенін көрсетуге болады.

Бұл нөмірді табу үшін, көпбұрыштар партияларының саны, оның ішіндегі түйіндер саны арқылы, g арқылы, g арқылы, шыңдардағы түйіндердің саны. Барлық үшбұрыштардың бұрыштарының жалпы мөлшері - 180 °. Т.

Енді біз соманы басқа жолмен табамыз.

Кез келген ішкі түйіндегі Vertex бұрыштарының қосындысы - 2,180 °, I.E. Бұрыштардың жалпы саны 360 °. Ішінде; Түйіндердегі түйіндердегі түйіндердегі бұрыштардың жалпы мөлшері, бірақ шыңдарда емес, (G - N) 180 ° (g - n) 180 ° (көп) және көпбұрыштың шыңдарындағы бұрыштардың қосындысы (м-2) 180 ° құрайды. Осылайша, t \u003d 2.180 °. B + (Мистер) 180 ° + (N-2) 180 °. Жақшаларды ашу және 360 ° бөліп, біз Polygon аймағына арналған, шыңы формула ретінде формула аламыз.

Тәжірибелік бөлім

Бұл формула OGE-2017 коллекциясындағы міндеттерді тексеруді шешті. Үшбұрыш, төртбұрыш және Пентагон ауданын есептеу міндетін алды. Мен жауаптарды екі жолмен шешуге бел будым: 1) фигураларды төртбұрышқа және тіктөртбұрыштың аймағынан жеткізді, тікбұрышты үшбұрыштардың ауданы алынады; 2) шың формуласын қолданды.

S \u003d 18-1.5-4.5 \u003d 12 және s \u003d 7 + 12 / 2-1 \u003d 12.

S \u003d 24-9-3 \u003d 12 және s \u003d 7 + 12 / 2-1 \u003d 12.

S \u003d 77-7.5-12-4.5-4.5-4.5-4 \u003d 49 және s \u003d 43 + 14 / 2-1 \u003d 49.

Алынғандарды салыстыра отырып, екі формула да бірдей жауап береді деген қорытынды. Шың формуласындағы суреттің ауданын табу тезірек және жеңіл болып қалады, өйткені есептеулер аз болды. Есептеулерді шешудің және үнемдеудің жеңілдігі мен болашақта OGE жеткізілген кезде пайдалы болады.

Бұл мені күрделі сандарда ең жоғары формуланы пайдалану мүмкіндігін тексеруге итермеледі.

S \u003d 0 + 4/2 -1 \u003d 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9.5

S \u003d 4 + 16 / 2-1 \u003d 1

Қорытынды

Шың формуласы түсіністікпен және қолдануға ыңғайлы. Біріншіден, ол қаралып, 2-ге бөліңіз, бүктеліп, шегеріңіз. Екіншіден, сіз көп уақыт жұмсамай, аудан және күрделі фигураны таба аласыз. Үшіншіден, бұл формула кез-келген көпбұрышта жұмыс істейді.

Кемшілігі - бұл шың формуласы тек тексерілген қағазда жасалған суреттер мен ұяшықтардың түйіндерінде орналасқан сандар үшін ғана қолданылады.

Қорытынды емтихандарды тапсырған кезде сандар аймағын есептеу міндеттері қиындық тудырмайтынына сенімдімін. Өйткені, мен шыңның формуласымен таныспын.

Библиографиялық анықтама

Ғаббазов Н.Н. Шың формуласы // ғылымнан бастаңыз. - 2017 ж. - № 6-1. - б. 130-132;
URL мекен-жайы: http://science-start.ru/ru/article/view?ID\u003d908 (өңдеу күні: 03/05/2020).

Жұмыстың мәтіні кескіндер мен формулаларсыз орналастырылған.
Жұмыстың толық нұсқасы PDF форматындағы «Жұмыс файлдары» қойындысында қол жетімді

Кіріспе

I, Студент 6-сынып. Ол геометрияны өткен жылдан бастап оқи бастады, өйткені мен мектепте «Математика» оқулығында жасаймын. Арифметика. Геометрия »редакцияланған Е.А. Бинаұлы, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева және басқалар.

Тақырыптың өзектілігі:

Бұл тақырып - геометрия курсын зерттеу және тереңдету.

Бұл тақырыпты зерттеу олимпиадалар мен емтихандарға дайындалуға көмектеседі.

Жұмыс мақсаты:

Шыңның формуласымен танысыңыз.

Шың формуласын қолдана отырып, геометриялық тапсырмалар техникасын жіберіңіз.

Теориялық және практикалық материалдарды жүйелеу және қорытындылау.

Зерттеу міндеттері:

Тапсырмаларды шешу кезінде формуланы қолданудың тиімділігі мен орындылығын тексеріңіз.

Әр түрлі күрделілікке қатысты шың формуласын қолдануды үйреніңіз.

Шың формуласын және дәстүрлі түрде шешілген тапсырмаларды салыстырыңыз.

Негізгі бөлім

1.1. Тарихи анықтама

Георг Александр шыңы - Австриялық математик, 1859 жылы 10 тамызда дүниеге келген. Ол дарынды бала, әкесі оқытылды, жеке мекеме бастады. 16-да Георг мектеп бітіріп, Вена университетіне түсті. 20 жасында физика-математиканы үйрету құқығын алды. Дүниежүзілік даңққа полигонның торының аймағын анықтауға формула әкелді. Ол формуласын 1899 жылы мақалада жариялады. Ол 1969 жылы поляк ғалымы оны 1969 жылы математикалық кадрларды жариялау кезінде танымал болды.

1.2. Зерттеу және дәлел

Әр түрлі сайттарда зерттеу барысында мен бес, алты және басқа полигондарды есептеу үшін тапсырмалардың шешімдерін көрдім. Осы тапсырмаларды шешуге мүмкіндік беретін формула шың формуласы деп аталады. Ол мынаған ұқсайды: s \u003d B + g / 2-1қайда -Да - көпбұрыш ішінде жатқан түйіндердің саны, Г.- көпбұрыштың шекарасындағы түйіндердің саны. Бұл формуланың ерекшелігі оны тек тексерілген қағазда жасалған көпбұрыштар үшін пайдалануға болады.

Мұндай көпбұрыштың кез-келгені, торлы түйіндердегі үшбұрышқа бөлуге оңай, ал түйіндерде немесе бүйірлерінде түйіндер жоқ. Барлық осы үшбұрыштардың ауданы бірдей және тең, сондықтан көпбұрыш аймағы олардың жартысына тең екендігі көрсетілуі мүмкін Т.

Бұл санды табу үшін n n арқылы көпбұрыштардың тараптары арқылы белгіленеді -Да- ішіндегі түйіндердің саны Г.- тараптардағы түйіндердің саны, соның ішінде шыңдар. Барлық үшбұрыштардың бұрыштарының жалпы мөлшері - 180 °. Т.

Енді біз соманы басқа жолмен табамыз.

Кез келген ішкі түйіндегі Vertex бұрыштарының қосындысы - 2,180 °, I.E. Бұрыштардың жалпы саны 360 °. Ішінде;тараптардағы түйіндердегі бұрыштардың жалпы мөлшері, бірақ шыңдарда емес ( G- n) 180Және көпбұрыштың шыңдарындағы бұрыштардың қосындысы тең болады ( G- 2) 180°. Осылайша, T \u003d.2.180 °. B + (Мистер) 180° + (n -2)180 °. Жақшаларды ашу және 360 ° бөліп, біз Polygon аймағына арналған, шыңы формула ретінде формула аламыз.

2. Тәжірибелік бөлім

S \u003d 18-1.5-4.5 \u003d 12 және s \u003d 7 + 12 / 2-1 \u003d 12

S \u003d 24-9-3 \u003d 12 және s \u003d 7 + 12 / 2-1 \u003d 12

S \u003d 77-7.5-12-4.5-4.5-4.5-4 \u003d 49 және s \u003d 43 + 14 / 2-1 \u003d 49

Бұл мені күрделі сандарда ең жоғары формуланы пайдалану мүмкіндігін тексеруге итермеледі.

S \u003d 0 + 4/2 -1 \u003d 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9.5

S \u003d 4 + 16 / 2-1 \u003d 1

Қорытынды

Әдебиеттер тізімі

Бининаұлы Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. және басқалары. Математика. Арифметика. Геометрия. 5-сынып: Оқу. Жалпы білім беру үшін. adj ұйымдары. электронда. Тасымалдаушы -3-e ed.-m .: Ағарту, 2014.- 223, б. : Il. - (Сфералар).

Байнович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. және басқалары. Математика. Арифметика. Геометрия. 6-сынып: Білім. Жалпы білім беру үшін. Ұйымдар - 5-ші ed.-М .: Ағарту, 2016.-240S. : Il.- (Сфералар).

Васильев Н.Б. Шыңның формуласы айналасында. //Kvant.-1974. «№2. -C.39-43

Розец В.В. Планиметрияға арналған тапсырмалар. / 5- ЭД., Әрекет. Қосады. - м.: 2006.-640C.

И.В. Ященко. Математика: Типтік емтиханның типтік нұсқалары: O-39 36 Опциялар - М .: «Ұлттық білім» баспасы, 2017. -240. -24 б. - (OGE. ПРИ-МЕКТЕП).

«Мен Йжо қалдым»: математика. Дмитрий Гушчина оқыту жүйесі. OGE-2017: Тапсырмалар, жауаптар, шешімдер [Электронды ресурс]. Кіру режимі: https://oge.sdamgia.ru/test?id\u003d6846966 (шағым түскен күні 04/02/2017)

Тексерілген қағазға бірнеше көпбұрышты салыңыз. Мысалы, 1-суретте көрсетілгендей.

Өз аймағын есептеуге тырысайық. Бұны қалай істейді? Мүмкін, оны сындыру оңай тіктөртбұрышты үшбұрыштар Алынған нәтижелерді есептеу және бүктеу оңай болатын төртбұрыштар. Мен қолданған қарапайым, бірақ өте қиын, қосымша, ол ешқандай көпбұрыштарға жарамайды.

Толық емес қарапайым көпбұрыш (яғни қосылысты) деп есептеңіз. және оның нөлдік ауданы бар). Мұндай көпбұрыштың ауданын есептеу үшін келесі теореманы пайдалануға болады:

Шың теоремасы. Polygon ішіндегі бүтін сандардың саны - бүтін сандар саны - оның шекарасы - оның ауданы. Содан кейін жарамды формуланы таңдаңыз:

Мысал. 1-суреттегі (сары нүктелер) полигон үшін (көк нүктелер, шыңдар туралы ұмытпаңыз!), Сондықтан шаршы бірлік.

Шың теоремасының дәлелі. Біріншіден, біз шыңның формуласы бір квадратқа жарамды екенін атап көрсетеміз. Шынында да, бұл жағдайда бізде және

Тікбұрышты дастархан жайып, торлы сызықтарда жатып алыңыз. Оның жақтарының ұзындығы тең және бірдей. Бізде бұл жағдайда, шың формуласына сәйкес,

Біз қазір координаталық осьтерде жатқан клиенттермен тікбұрышты үшбұрыш қарастырамыз. Мұндай үшбұрыш тіктөртбұрыштан тараптармен алынады және алдыңғы жағдайда қарастырылады, оны диагональға кесіп жатыр. Диегональдар бүтін сандарды жыпылықтауға мүмкіндік беріңіз. Содан кейін біз осыған байланысты

Енді өз еркімен үшбұрышын қарастырыңыз. Оны тіктөртбұрышты төртбұрыштарды тіктөртбұрыштан және тікбұрышпен кесіп алу арқылы алуға болады (2 және 3 суреттерді қараңыз). Тіктөртбұрышқа да, сонымен қатар шың формуласының тікбұрышты үшбұрышына арналған, біз оны ерікті үшбұрыш үшін де аламыз.

Бұл соңғы қадамды жасау үшін қалады: үшбұрыштардан көпбұрыштарға бару. Кез-келген көпбұрышты үшбұрышқа бөлуге болады (мысалы, диагональдар). Сондықтан, кез-келген үшбұрышты еркін полигонға қосқан кезде, шың формуласы орындалатынын дәлелдеу керек.

Көпбұрыш пен үшбұрыштың ортақ жағы болсын. Шың формуласы үшін біз оның қосымшадан алынған көпбұрыш үшін дұрыс болатынын болжаймыз делік. Олардың жалпы жағы болғандықтан, содан кейін барлық бүтін сандар осы жағында жатып, екі шыңнан басқа, жаңа полигонның ішкі ұпайына айналады. Шырарлар шекара нүктелері болады. Жалпы тармақтардың санын белгілеңіз және алыңыз

Жаңа полигонның ішкі бүтін нүктелерінің саны,

Жаңа полигонның шекаралық пункттерінің саны.

Осы теңдіктен біз аламыз

Біз теорема бөлек және бөлек болуды ұсындық,

Осылайша, шың формуласы дәлелденді.

Бұл формула Австриялық математика шыңы Георг Георг Александров (1859 - 1943) 1899 жылы ашты. Осы формуладан басқа, Джордж шыңы, шың теоремасын, шыңы - Юлия, шың - Невалин - швортц-шыңның теңсіздігін дәлелдеді. -Да Қосымша 1. Сіз менімен салыстырғанда стандартты емес тапсырмаларды көре аласыз, бұл шың формуласын қолдану.

Формуланы таңдаңыз

Сажина Валерий Андреевна, 9 сынып оқушысы «№11» оқушысы «Сош №11» СТС-Иль-Ильимск Иркутск облысы

Жетекші: Губар Оксана Михайловна, Математика Жоғары білікті санатты «Сош №11» Меморандумы мұғалімі «Сош №11» Иль-Илимск Иркутск облысы

2016 жыл

Кіріспе

«Полигон алаңы» геометриясының тақырыбын зерттеген кезде, мен сабақтарда оқыған квадраттарды табудың әдісі бар ма?

Осылайша, шың формуласы бар. Л.Г. Горина «Өзін-өзі тәрбиелеу туралы материалдар»: «Өздігінен білім алу үшін материалдар»: «Шың формуласына кіріспе, әсіресе, пайдалану және ҒЗА жеткізу қарсаңында. Осы формуламен сіз емтихандарда ұсынылған үлкен тапсырмаларды оңай шешуге болады - олар тексерілген қағазда бейнеленген полигонның аумағын табуға болады. Кішкентай шың формуласы мұндай тапсырмаларды шешуге қажетті формулалардың жиынтығын ауыстырады. Шыңның формуласы «Барлығына арналған» жұмыс істейді! ».

Емтихан материалдарында мен тапсырмаларды жер учаскелерінің практикалық мазмұнымен кездестірдім. Мен бұл формула мектеп аймағының, қала аудандарының аудандарын табуға қаншалықты сәйкес келетін-келмейтінін тексеруді шештім. Оның қолданылуы мәселелерді ұтымды шешуді ұтымды.

Зерттеу нысаны: шың формуласы.

Зерттеу пәні: Тапсырмаларды шешу кезінде шың формуласын ұтымды қолдану.

Жұмыстың мақсаты - дегалогталған қағазда бейнеленген суреттердің аумағын табу үшін ең үлкен формуланың рационалдылығын негіздеу.

Зерттеу әдістері: модельдеу, салыстыру, жалпылау, ұқсастық, әдеби және интернет-ресурстарды зерттеу, ақпаратты талдау және жіктеу.

Қажетті әдебиеттерді алып, алынған ақпаратты талдау және жүйелеу;

Ұялы қағаздағы мәселелерді шешудің әртүрлі әдістері мен әдістерін қарастырыңыз;

Тәжірибелік түрде шың формуласын қолданудың ұтымдылығы бойынша тексеріңіз;

Осы формуланы қолдануды қарастырыңыз.

Гипотеза: Егер сіз полигонның аймағын табуға бел бусаңыз, онда сіз аумақтың ауданын таба аласыз, ал сіз тексерілген қағаздағы тапсырмаларды шешу ұтымды болады.

Негізгі бөлім

Теориялық бөлім

Тексерілген қағаз (дәл - дәл - оның түйіндері), біз көбінесе сурет салуды және сурет салуды жөн көретіндігіміз, ұшақтағы ең маңызды мысалдардың бірі. Қазірдің өзінде бұл қарапайым тор k. gauss қызмет етті, үйдің ауданын бүтін сандармен салыстыру үшін бастапқы нүктеге қызмет етті. Ұшақтың кейбір қарапайым геометриялық тұжырымдары арифметикалық зерттеулерде терең салдардан болатындығы, ол 1896 жылы Минковский қаласы, ол теориялық және сандық мәселелерді қарау үшін алғаш рет геометриялық әдістерді қызықтырған кезде айқын байқады.

Тексерілген қағазға бірнеше көпбұрышты салыңыз (1-қосымша, 1-сурет). Өз аймағын есептеуге тырысайық. Бұны қалай істейді? Мүмкін, оны тікбұрышты үшбұрыштар мен трапецияда сындырудың ең оңай жолы, оның ауданы алынған нәтижелерді есептеу және бүктеу оңай.

Пайдаланылған әдіс қарапайым, бірақ өте қиын, қосымша, ол ешқандай көпбұрыштарға жарамайды. Сондықтан келесі көпбұрышты тік бұрышты үшбұрыштарға бөлуге болмайды, өйткені біз алдыңғы жағдайда жасадық (2-қосымша, 2-нұсқа). Мысалы, сіз оны бізге қажет «жақсы» етіп қосуға тырысыңыз, яғни, сипатталған әдісті, содан кейін аймақтың алынған нөмірінен есептей аламыз. қосылды.

Дегенмен, шаршы тордың түйіндеріндегі шыңдармен осындай көпбұрыштардың ауданын есептеуге мүмкіндік беретін өте қарапайым формула бар екені белгілі болды.

Бұл формула шыңы жарияланғаннан кейін біраз уақыт бойы назардан тыс қалды, бірақ 1949 жылы Hugo Stengues поляк математикі әйгілі «математикалық калейдоскоп» теоремасын енгізді. Осы уақыттан бастап, шың теоремасы кең танымал болды. Германияда шың формуласы мектеп оқулықтарына енгізілген.

Бұл комбинаторлық геометрия мен сандар геометриясының классикалық нәтижесі.

Шың формуласының дәлелі

Абдсіз түйіндердегі шыңдармен және тор сызықтарымен жұмыс істейтін партиялармен тіктөртбұрышқа ие болсын (3-қосымша, 3-сурет).

B By-by - тіктөртбұрыштың ішіндегі түйіндердің саны, ал г арқылы оның шекарасындағы түйіндер саны. Торды полюстерге оңға және баспанаға жылжытыңыз

төмен. Содан кейін тіктөртбұрыштың ауданы келесідей «таратылады»: әр түйіндердің әрқайсысы ауыстырылған тордың бүкіл ұяшығын басқарады, ал түйіндердің әрқайсысы - 4 шекара емес түйін - жартысы Ұяшық, және әр бұрыштың әрқайсысы жасушалардың төрттен бір бөлігі болып табылады. Сондықтан тіктөртбұрыштың ауданы тең

С. \u003d B +. + 4 4 · \u003d B +. - 1 .

Сонымен, түйіндер мен тараптардың тікбұрыштары үшін тор сызықтарымен жүреді, біз s \u003d b + - 1 формуласын орнатамыз . Бұл шың формуласы.

Бұл формула тіктөртбұрыштарға ғана емес, тор түйіндеріндегі шыңдармен еркін полигондар үшін де дұрыс екені белгілі болды.

Тәжірибелік бөлім

Геометриялық әдіспен цифрлар аймағын және шың формуласымен

Мен шың формуласының барлық қарастырылған мысалдар үшін дұрыс екендігіне көз жеткіздім.

Егер көпбұрышты тор түйіндеріндегі шыңдармен үшбұрыштарға кесуге болатын болса, онда ол оған шың формуласы үшін дұрыс.

Мен 1 см ұяшықтары бар ұялы қағаздағы кейбір қиындықтарға қарадым және өткіздім салыстырмалы талдау Тапсырмаларды шешу арқылы (№1 кесте).

№1 кесте. Тапсырмаларды әр түрлі жолдармен шешу.

Сурет

Геометрия формуласына сәйкес

Шың формуласы бойынша

Тапсырма нөмірі 1

S \u003d S. т.б - (2). 1 + 2S. 2 )

С. т.б =4*5=20 см 2

С. 1 =(2*1)/2=1 см 2

С. 2 =(2*4)/2=4 см 2

S \u003d 20- (2 * 1 + 2 * 2) \u003d 10см 2

Жауап беру :10 см ².

B \u003d 8, R \u003d 6

С. \u003d 8 + 6/2 - 1 \u003d 10 (CM²)

Жауап: 10 см.

№ 2 тапсырма.

a \u003d 2, h \u003d 4

S \u003d a * h \u003d 2 * 4 \u003d 8см 2

Жауап беру : 8 см ².

B \u003d 6, r \u003d 6

С. \u003d 6 + 6/2 - 1 \u003d 8 (CM²)

Жауап: 8 CM².

Тапсырма нөмірі 3.

S \u003d S. кВ. - (С. 1 + 2S. 2 )

С. кВ. =4 2 =16 см 2

С. 1 \u003d (3 * 3) / 2 \u003d 4,5 см 2

С. 2 \u003d (1 * 4) / 2 \u003d 2 см 2

С.\u003d 16- (4.5 + 2 * 2) \u003d 7,5 см 2

B \u003d 6, G \u003d 5

С. \u003d 6 + 5/2 - 1 \u003d 7.5 (CM²)

Жауап: 7.5 CM².

4-тапсырма.

S \u003d S. т.б - (С. 1 + С. 2+ С. 3 )

С. т.б =4 * 3=12 см 2

С. 1 =(3*1)/2=1,5 см 2

С. 2 =(1*2)/2=1 см 2

С. 3 =(1+3)*1/2=2 см 2

S \u003d 12- (1.5 + 1 + 2) \u003d 7.5см 2

B \u003d 5, G \u003d 7

С. \u003d 5 + 7/2 - 1 \u003d 7.5 (CM²)

Жауап: 7.5 CM².

Тапсырма нөмірі 5.

S \u003d S. т.б - (С. 1 + С. 2+ С. 3 )

С. т.б =6 * 5=30 см 2

С. 1 =(2*5)/2=5 см 2

С. 2 =(1*6)/2=3 см 2

С. 3 =(4*4)/2=8 см 2

S \u003d 30- (5 + 3 + 8) \u003d 14см 2

Жауап: 14 CM²

B \u003d 12, R \u003d 6

С. \u003d 12 + 6/2 - 1 \u003d 14 (CM²)

Жауап: 14 CM²

Тапсырма №6.

С. T \u003d (4 + 9) / 2 * 3 \u003d 19,5 см 2

Жауап: 19.5 см 2

B \u003d 12, G \u003d 17

С. \u003d 12 + 17/2 - 1 \u003d 19.5 (CM²)

Жауап: 19.5 см 2

Тапсырма №7. 1 см-ден 200 м-ге дейінгі 1 × 1 (см) шаршы торы бар орман массивінің ауданын (м²) табыңыз

S \u003d S. 1 + С. 2+ С. 3

С. 1 =(800*200)/2=80000 м. 2

С. 2 =(200*600)/2=60000 м. 2

С. 3 =(800+600)/2*400=

280000 м. 2

S \u003d.80000+60000+240000=

420000 м 2.

Жауап: 420 000 м²

B \u003d 8, G \u003d 7. С. \u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10.5 (CM²)

1 CM² - 200² M²; С. \u003d 40000 · 10.5 \u003d 420 000 (м²)

Жауап: 420 000 м²

Тапсырма нөмірі. . Жоспарда көрсетілген өріс аймағын (M²-де) таратыңыз, шкалада 1 × 1 (см) шаршы торы бар

1 см - 200 м.

С.= С. КВ-2 ( С. Тр +. С. баспалдақ)

С. кв \u003d 800 * 800 \u003d 640000 м 2

С. TR \u003d (200 * 600) / 2 \u003d 60000 м2

С. Тұзақ \u003d (200 + 800) / 2 * 200 \u003d

100000 м 2.

С.=640000-2(60000+10000)=

320000 м 2.

Жауап: 320 000 м²

Шешім. Табу С. Квадриканың квадриканың ауданында дойбы көрсетілген,С. \u003d B + - 1

B \u003d 7, r \u003d 4. С. \u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (CM²)

1 CM² - 200² M²; С. \u003d 40000 · 8 \u003d 320 000 (м²)

Жауап: 320 000 м²

9 тапсырма нөмірі. . Шаршыны табыңызС. секторлар, квадрат ұяшықтарды санау 1. Жауап ретінде 1. .

Сектор - шеңбердің төрттен бір бөлігі, сондықтан оның ауданы шеңбердің төртінші аймағына тең. Шеңбер шеңбері π-ге теңР. 2 қайда Р. - шеңбер шеңбері. Біздің жағдайдаР. =√5 Сондықтан, ауданС. секторлар - 5π / 4. -ДенС./ π \u003d 1.25.

Жауап. 1.25.

R \u003d 5, b \u003d 2, С. \u003d B + g / 2 - 1 \u003d 2 + 5/2 - 1 \u003d 3.5, ≈ 1,11

Жауап. 1,11.

Тапсырма нөмірі 10. Шаршыны табыңыз С. сақиналар, шаршы жасушаларды санау 1-ге тең. Жауап ретінде, көрсетіңіз .

Сақиналар ауданы сыртқы және ішкі шеңберлердегі айырмашылықтарға тең. РадиусР. сыртқы шеңбер тең

2, радиус р. Ішкі шеңбер - 2, демек, сақиналар ауданы 4 Сондықтан, . Жауап: 4.

R \u003d 8, b \u003d 8, С. \u003d B + g / 2 - 1 \u003d 8/2 - 8/2 - 1 \u003d 11, ≈ 3,5

Жауап: 3.5

Қорытындылар: қарастырылған міндеттер математика саласындағы емтихан материалдарын өлшеу нұсқаларына ұқсас міндеттерге ұқсас (№ 5.6).

Қарастырылған міндеттерден бастап мен олардың кейбіреулерінің кейбіреулері, мысалы, № 2.6-ді көрдім, мысалы, геометриялық формулаларды қолдану оңайырақ, өйткені биіктігі мен базасын суретте анықтауға болады. Бірақ көптеген тапсырмалар санды қарапайым (нөмірі 7-тапсырма) немесе тіктөртбұрышпен аяқтауды қажет етеді (№ 14,5), квадрат (№ 3,8).

№ 9 және № 10 мәселелерді шешуден бастап, мен көпбұрышсыз бөртпелер үшін шың формуласын қолдану шамамен нәтиже береді.

Шың формуласының қолданылуының ұтымдылығын тексеру үшін мен өткізілген уақытқа оқуды жүргіздім (4-қосымша, № 2 кесте).

Қорытынды: кесте мен диаграммадан (4-қосымша, 1-қосымша, 1-диаграмма), шыңның формуласымен проблемаларды шешу кезінде уақыт аз уақыт кетеді.

Кеңістіктік формалардың ауданын табу

Осы формуланың қолданылуын кеңістіктік формаларға тексеріңіз (5-қосымша, 4-сурет).

Тіктөртбұрышты параллелепипедтің толық бетінің ауданын табыңыз, төртбұрышты ұяшықтардың жағын санаңыз.

Бұл формула жоқ.

Аумақты табу үшін шың формуласын қолдану

Практикалық мазмұнмен тапсырмаларды шешу (№1, №1 тапсырмалар №1 кесте), мен осы әдісті мектебіміздің аумағының, Усть-Ильимск қаласының аудандарын, Иркутск қаласының аудандарын табу үшін қолдануды шештім.

«Маусош №11 жер учаскесінің шекарасы» учаскесінің жобасын оқып, мен мектеп аумағымыздың аумағын таптым, мен мектеп аумағымыздың аумағын таптым және жер учаскелерінің шекараларымен салыстырдым (9-қосымша) , 3-кесте).

Өскел-Ильимск қаласының оң жағалауын қарастыра отырып (7-қосымша), мен микродостюрлік аймақты есептедім және «Иркутск облысының Өр-Илимск» мәліметтерімен салыстырғанда. Кестеде келтірілген нәтижелер (9-қосымша, 4-кесте).

Иркутск облысының картасын қарастыра отырып (7-қосымша), мен аумақтың аумағын таптым және Википедия мәліметтерімен салыстырдым. Кестеде келтірілген нәтижелер (9-қосымша, 5-қосымша).

Нәтижелерді талдағаннан кейін, мен қорытындыға келдім: шыңы бойынша, формула бойынша бұл бағыттарды әлдеқайда жеңіл табуға болады, бірақ нәтижелері шамамен алынған.

Оқудан бастап, мен мектеп аумағының аумағын тапқан кезде алдым (10-қосымша, 2-диаграмма). Нәтижелердегі алшақтық Иркутск облысының алаңында сәтті болды (10-қосымша, 3-график). Бұл фактіні ескере отырып. Облыстың барлық шекаралары көпбұрыштардың тараптары бола бермейді, ал шыңдар түйіндер емес.

Қорытынды

Менің жұмысымның нәтижесінде мен тексерілген қағаздағы мәселелерді шешу туралы білімді кеңейттім, оқу бойынша тапсырмалардың жіктемесін анықтады.

Жұмысты орындау кезінде қойылған міндеттер тексерілген қағазда көрсетілген көпбұрыштардың аймағын екі жолмен табуға шешілді: геометриялық және шың формуласын қолдану.

Шешімдер мен тәжірибелерді талдау Формуланы қолдану формула қолдану полигонның ауданын табу міндетін шешуге мүмкіндік беретіндігін көрсетті, ұтымды. Бұл математика бойынша емтиханға уақытты үнемдейді.

Тексерілген қағазда бейнеленген түрлі сандардан табылған жерді табу Айқындық формуланы айналмалы сектордың ауданын есептеу үшін, сақина аймағын пайдалану мүмкін емес деп тұжырымдауға мүмкіндік берді, себебі ол шамамен нәтиже береді, және бұл Шың формуласы ғарыштағы мәселелерді шешуге қолданылмайды.

Сондай-ақ, жұмыста әр түрлі аумақтардың аудандары табылды. Оны қорытындылауға болады: әр түрлі аумақтарды табу формуласын қолдану мүмкін, бірақ нәтижелері шамамен алынған.

Мен ұсынған гипотеза расталды.

Мені қызықтыратын тақырып өте көп нәрсені айтып, тексерілген қағаздағы тапсырмалар әр түрлі, олардың шешімдерінің әдістері мен әдістері де алуан түрлі. Сондықтан мен осы бағытта жұмыс істеуді ұйғардым.

Әдебиет

Волков С.Д. Жер учаскесінің шекараларының жобасы, 2008 ж., Б. он алты.

Горина Л.В., математика. Барлығы мұғалім үшін, М: Ғылым, 2013 ж. № 3, б. 28.

Прокопьева В.П., Петров А.Г., Өскел-Ильимск қаласының Бас жоспары, Иркутск облысы, Иркутск облысы, Госстрой Ресей, 2004 ж. 65.

Рисс Э., А., Жарковская Н. М., дойбы бар геометрия. Шың формуласы. - Мәскеу, 2009, № 17, б. 24-25.

Смирнова И. М.,. Смирнов В. А, ұялы қағаздағы геометрия. - Мәскеу, таза тоғандар, 2009, б. 120.

Смирнова И.М., Смирнов В. А., практикалық мазмұнымен геометриялық тапсырмалар. - Мәскеу, таза тоғандар, 2010, б. 150.

Математика Фипидегі ашық банктің міндеттері, 2015 ж.

Усть-Ильимск қаласының картасы.

Иркутск облысының картасы.

Википедия.

«Шың формуласын қолдану» шығармашылық жұмысы. Геометрия

Библиографиялық анықтама

Кіріспе

Негізгі бөлім

Теориялық бөлім

Шың формуласының дәлелі

Тәжірибелік бөлім

Геометриялық әдіспен цифрлар аймағын және шың формуласымен

Кеңістіктік формалардың ауданын табу

Аумақты табу үшін шың формуласын қолдану

Қорытынды

Әдебиет

Біз басқа мақалаларды ұсынамыз

Коллайдер дегеніміз не және ол неге қажет?

Ғарышкерлерге арналған дәретханалар қалай ұйымдастырылған?