Тұйық ашық жиынның толықтауышы туралы теорема. Есептелетін жиын туралы түсінік

Ағылшынша: Wikipedia сайттың қауіпсіздігін арттыруда. Сіз болашақта Уикипедияға қосыла алмайтын ескі веб-шолғышты пайдаланып жатырсыз. Құрылғыңызды жаңартыңыз немесе АТ әкімшісіне хабарласыңыз.

中文: 以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

Испан: Wikipedia бұл жерде орналасқан. Қолданылған веб-сайтты пайдалану үшін Уикипедия мен болашақта жалғанудың ешқайсысы жоқ. Әкімші ақпаратымен байланысу немесе байланыс орнату. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Француз:Уикипедия және екі қауіпсіздік сайтын кеңейту. Ежелгі веб-навигаторды пайдалану үшін Уикипедияға қосылатын қосқышты пайдалана аласыз. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Қосымша ақпарат, сонымен қатар әдістемелер, сонымен қатар ағылшын тіліндегі ақпарат.

日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています。

неміс: Wikipedia Sicherheit der Webseite дегенді білдіреді. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator және. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise English Sprache тіліндегі Du unten тапты.

Итальяндық: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Веб-шолғышта қалыңыз, болашақта Уикипедияға қосылыңыз. Қажет болса, ақпаратты басқаруға немесе басқаруға болады. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico ағылшын тіліндегі.

Мадияр:Біз Уикипедияға кіреміз. A bongésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (анголул).

Свенска: Wikipedia көр sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia мен framtiden. Жаңартулар IT-әкімшімен байланыста болады. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Біз қауіпсіз TLS протоколының нұсқаларына, атап айтқанда, веб-сайттарымызға қосылу үшін шолғыш бағдарламалық құралы сүйенетін TLSv1.0 және TLSv1.1 қолдауын алып тастаймыз. Бұған әдетте ескірген браузерлер немесе ескі Android смартфондары себеп болады. Немесе бұл байланыс қауіпсіздігін шынымен төмендететін корпоративтік немесе жеке «Веб-қауіпсіздік» бағдарламалық құралының кедергісі болуы мүмкін.

Біздің сайттарға кіру үшін веб-шолғышты жаңарту керек немесе бұл мәселені басқа жолмен шешу керек. Бұл хабар 2020 жылдың 1 қаңтарына дейін сақталады. Осы күннен кейін браузеріңіз біздің серверлермен байланыс орната алмайды.

Екі X және Y жиындары сәйкес келе ме, жоқ па, берілсін.

Анықтама. Біріншісі Х-ке, екіншісі Y-ге жататын реттелген жұп элементтер жиынтығы деп аталады. Жиындардың декарттық көбейтіндісіжәне тағайындалады.

Мысал. Болсын
,
, Содан кейін

.

Егер
,
, Содан кейін
.

Мысал. Болсын
, мұндағы R – барлық нақты сандар жиыны. Содан кейін
— жазықтықтағы нүктелердің барлық декарттық координаталары жиыны.

Мысал. Болсын
жиындардың белгілі бір тобы болса, онда осы жиындардың декарттық көбейтіндісі ұзындығы n болатын барлық реттелген жолдардың жиыны болады:

Егер болса, онда. Элементтер
ұзындығы n жол векторлары болып табылады.

Бір екілік операциясы бар алгебралық құрылымдар

1 Екілік алгебралық амалдар

Болсын
– ерікті ақырлы немесе шексіз жиын.

Анықтама. Екілік алгебралықоперация ( құрамның ішкі заңы) қосулы
декарттық квадраттың ерікті, бірақ бекітілген кескіні болып табылады
В
, яғни.

(1)

(2)

Осылайша, кез келген тапсырыс жұп

. Бұл факт
, түрінде символдық түрде жазылады
.

Әдетте екілік операциялар символдармен белгіленеді
т.б. Бұрынғыдай операция
«қосу» дегенді білдіреді, ал «» амалы «көбейту» дегенді білдіреді. Олар контекстен анық болатын белгілер түрінде және, мүмкін, аксиомаларда ерекшеленеді. Өрнек
біз оны өнім деп атаймыз және
– элементтердің қосындысы Және .

Анықтама. Көптеген
бар болса  операциясы бойынша жабық деп аталады.

Мысал. Теріс емес бүтін сандар жиынын қарастырайық
. Екілік операциялар ретінде қосулы
кәдімгі қосу амалдарын қарастырамыз
және көбейту. Содан кейін жиынтықтар
,
осы операцияларға байланысты жабылады.

Пікір. Анықтамадан келесідей, алгебралық операцияны көрсету * on
, жиынның тұйықтығына тең
осы операцияға қатысты. Егер бұл көп болып шықса
берілген * операциясы бойынша жабылмайды, онда бұл жағдайда * операциясы алгебралық емес дейді. Мысалы, натурал сандар жиынындағы азайту амалы алгебралық емес.

Болсын
Және
екі жиынтық.

Анықтама. Сыртқы заң композицияларжиынтықта карталау деп аталады

, (3)

сол. кез келген элемент қолданылатын заң
және кез келген элемент
элемент сәйкестендіріледі
. Бұл факт
, белгісімен белгіленеді
немесе
.

Мысал. Матрицаны көбейту
санға
жиынтықтағы сыртқы композиция заңы болып табылады
. Сандарды көбейту
құрамның ішкі заңы ретінде де, сыртқы заң ретінде де қарастыруға болады.

таратушықұрамның ішкі заңына қатысты * в
, Егер

Құрамның сыртқы заңы деп аталады таратушықұрамның ішкі заңына қатысты * Y-де, егер

Мысал. Матрицаны көбейту
санға
матрицаларды қосуға қатысты да, сандарды қосуға қатысты да үлестіргіш, өйткені,.

1. Екілік амалдардың қасиеттері

Жиын бойынша екілік алгебралық операция 
шақырды:

Пікір. Коммутативтілік пен ассоциациялық қасиеттер тәуелсіз.

Мысал. Бүтін сандар жиынын қарастырайық. Операция қосулы ережеге сәйкес анықталатын болады
. Сандарды таңдайық
және мына сандарға операциясын орындаңыз:

сол.  операциясы коммутативті, бірақ ассоциативті емес.

Мысал. Жиынтықты қарастырыңыз
– өлшемнің шаршы матрицалары
нақты коэффициенттермен. Екілік операция ретінде * қосулы
Біз матрицаны көбейту амалдарын қарастырамыз. Болсын
, Содан кейін
, дегенмен
, яғни. квадрат матрицалар жиынындағы көбейту операциясы ассоциативті, бірақ коммутативті емес.

Анықтама. Элемент
шақырды бойдақнемесе бейтарапқарастырылып отырған операцияға қатысты  on
, Егер

Лемма. Егер – жиынның бірлік элементі
, операция * астында жабылды, содан кейін ол бірегей болып табылады.

Дәлелдеу . Болсын – жиынның бірлік элементі
, операция * астында жабылды. Онда деп есептейік
тағы бір бірлік элементі бар
, Содан кейін
, өйткені бір элемент болып табылады және
, өйткені – бір элемент. Демек,
– жиынның жалғыз бірлік элементі
.

Анықтама. Элемент
шақырды керінемесе симметриялыэлементке
, Егер

Мысал. Бүтін сандар жиынын қарастырайық қосу операциясымен
. Элемент
, содан кейін симметриялы элемент
элемент болады
. Шынымен,.

ЖАБЫҚ ЖИНАҚ

топологиялық кеңістікте – оның барлығын қамтитын шектеу нүктелері.Осылайша, 3. m толықтауыштың барлық нүктелері ішкі болып табылады, сондықтан 3. м-ді ашық деп анықтауға болады. Топологиялық анықтаманың негізінде 3.m ұғымы жатыр. аксиомаларды қанағаттандыратын жиындардың берілген жүйесі (тұйық деп аталады) бар бос емес Х жиыны ретінде кеңістік: барлық Х және тұйық; кез келген сан 3. м жабық; ақырлы сан 3. m жабық.

Лит: Куратовский К., Топология, [транс. ағылшын тілінен], 1-том, М., 1966.

А.А.Мальцев.

Математикалық энциклопедия. - М.: Совет энциклопедиясы.

И.М.Виноградов.

1977-1985 жж.Басқа сөздіктерде «ЖАБЫҚ ЖИНАҚ» деген не екенін қараңыз: жабық жиынтық

- - [Суменко Л.Г. Ақпараттық технология бойынша ағылшынша-орысша сөздік. М .: Мемлекеттік кәсіпорын TsNIIS, 2003.] Тақырыптар ақпараттық технологиялар жалпы EN жабық жиынтығы ...

Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық «Жабық» терминінің басқа мағыналарын қараңыз. Тұйық жиын – толықтауышы ашық кеңістіктің ішкі жиыны. Мазмұны 1 Анықтама 2 Жабу 3 Қасиеттер ... Уикипедия

Белгілі бір Е жиынына қатысты ашық (тұйық) жиын, Мтопологиялық жиын. X кеңістігі (жоғарғы жолақ жабу операциясын білдіреді). Белгілі бір жиын Е-ге қатысты ашық (тұйық) болуы үшін қажет және... ... «Жабық» терминінің басқа мағыналарын қараңыз. Тұйық жиын – толықтауышы ашық кеңістіктің ішкі жиыны. Мазмұны 1 Анықтама 2 Жабу 3 Қасиеттер ... Уикипедия

Математикалық энциклопедия

Топологиялық жиынтық ашық және жабық кеңістік. Топологиялық X кеңістігі ажыратылады, егер ол X және O.Z-ден басқа кеңістікті қамтыса ғана. м.Егер барлық О.з отбасы. м кеңістік бұл......

Немесе Римандық коллектордағы нүктенің катлокусы ең қысқа жол өтпейтін нүктелердің ішкі жиыны болып табылады. Мазмұны 1 Мысалдар ... Уикипедия

• Аттас математикалық тұжырымдаманы Жабық жиын және Ғарыш (математика) Дауыл канализациясы ... Wikipedia бөлімінен қараңыз.

Кітаптар Байланысты кездейсоқ өрістер мен байланысты жүйелер үшін шектік теоремалар, Александр Булинский. Монография математикалық статистикада, перколяциялық теорияда, статистикалық физикада және теорияда туындайтын стохастикалық модельдердің кең класының асимптотикалық қасиеттерін зерттеуге арналған... Анықтама 19.шақырды Көптеген Е

ашық Байланысты кездейсоқ өрістер мен байланысты жүйелер үшін шектік теоремалар, Александр Булинский. Монография математикалық статистикада, перколяциялық теорияда, статистикалық физикада және теорияда туындайтын стохастикалық модельдердің кең класының асимптотикалық қасиеттерін зерттеуге арналған... Анықтама 19.шақырды , егер оның барлық нүктелері ішкі болса, яғни оның шекаралық нүктелері болмаса. Анықтама 20.
).

жабық , егер оның барлық шекті нүктелері болса, яғни. (Әйтпесе, 1-мысал.Кез келген

n

-өлшемді интеграл ашық жиын. Кез келген сегмент жабық жиын болып табылады. Жабық және ашық жиынтықтардың кластары барлық жиынтықтарды бірге қамтымайтынына ерекше назар аудару керек, сонымен қатар бұл сыныптар қиылысады; Жабық емес, ашық емес жиындар, сонымен қатар бір уақытта жабық және ашық жиындар бар. 2-мысал. нақты сандар жабық және ашық.

Көптеген Q рационал сандар жабық немесе ашық емес. Сызықтық жарты интервал жабық жиын да емес, ашық жиын да емес.

Теорема 3. Кез келген доп С(а, r) - ашық жиын.

Дәлелдеу:

рұқсат етіңіз. Алайық
. Доп екенін дәлелдейік
(бұл доптың кез келген нүктесін білдіреді
- ішкі, яғни
- ашық жиын). Алайық. Соны дәлелдеп көрейік
, бұл үшін біз қашықтықты бағалаймыз
:

Демек,
, яғни
, яғни С(а, r) - ашық жиын.

Теорема 4. Туынды жиын
кез келген жиынтық Ежабық.

Дәлелдеу:

Болсын
. Содан кейін кез келген ортада
ұпай кем дегенде бір нүкте бар жинақтар
, басқаша . Өйткені - жиынның шекті нүктесі Е, содан кейін оның кез келген ауданында (соның ішінде ерікті түрде шағын аудандарда
) кем дегенде бір нүкте бар жинақтар Е, нүктесінен басқа . Осылайша, анықтама бойынша, нүкте жиынның шекті нүктесі болып табылады Е. Сонымен,
, бұл анықтама бойынша жиын жабық дегенді білдіреді Е.

Айта кету керек, белгілі бір жағдайда туынды жиынтық
бос болуы мүмкін.

Ашық және жабық жиындардың қасиеттері

5-теорема. Тұйық жиындардың кез келген соңғы санының бірігуі тұйық жиын болып табылады.

Дәлелдеу:

Болсын
- жабық жиынтықтар. Соны дәлелдеп көрейік
- жабық жиынтық.

Болсын - жиынның шекті нүктесі

. Содан кейін - жиындардың кем дегенде біреуінің шекті нүктесі
(қайшылықпен дәлелденген). Өйткені тұйық жиын болады, демек
. Бірақ содан кейін
. Сонымен, жиынның кез келген шекті нүктесі
оған тиесілі, яғни
жабық.

Теорема 6. Кез келген тұйық жиындар санының қиылысы тұйық жиын болып табылады.

Дәлелдеу:

Болсын
- жабық жиынтықтардың кез келген жиынтығы. Соны дәлелдеп көрейік
- жабық жиынтық.

Болсын - жиынның шекті нүктесі

. Содан кейін, 1-теорема бойынша, кез келген ауданда

. Бірақ жиынтықтың барлық нүктелері
жиындардың нүктелері де болып табылады
. Сондықтан, в
-ден шексіз көп нүктелерді қамтиды
. Бірақ барлық қалыңдық сондықтан жабық

Және
, яғни
жабық.

Теорема 7. Жиын болса Фтұйық, одан кейін оның толықтауышы CFашық.

Дәлелдеу:

рұқсат етіңіз. Өйткені
жабық, содан кейін оның шекті нүктесі емес (
). Бірақ бұл маңайдың бар екенін білдіреді
ұпай , онда жиынның нүктелері жоқ Ф, яғни
. Содан кейін
және сондықтан - жиынтықтың ішкі нүктесі
. Өйткені - жиынның ерікті нүктесі CF, онда бұл жиынның барлық нүктелері ішкі, яғни CFашық.

Теорема 8. Жиын болса Гашық, содан кейін оның толықтауышы C.G.жабық.

Дәлелдеу:

Кейбір айналамен бірге болсын. Демек, жиынның шекті нүктесі емес C.G.. Сонымен,
үшін шекті нүкте емес
, яғни
оның барлық шекті нүктелерін қамтиды. Анықтама бойынша,
жабық.

Теорема 9. Ашық жиындардың кез келген санының бірігуі ашық жиын болып табылады.

Дәлелдеу:

Болсын
- ашық жиындардың ерікті жиыны Және
. Соны дәлелдеп көрейік - ашық жиын. Бізде бар:

.

Жиындардан бері ашық
, онда 8-теорема бойынша жиындар
жабық
. Сонда 6-теорема бойынша олардың қиылысуы

ашық.

10-теорема. Ашық жиындардың кез келген шекті санының қиылысы ашық жиын болып табылады.

Дәлелдеу:

Болсын
- ашық жиындардың кез келген соңғы санының қиылысуы
. Соны дәлелдеп көрейік - ашық жиын. Бізде бар:

.

Жиындардан бері ашық
, онда 8-теорема бойынша жиындар
жабық
. Содан кейін 5-теорема бойынша олардың бірігуі

жабық. 7-теорема бойынша жиын
ашық.

«*» операциясының нәтижесі Пифагор кестесіндегідей анықталады. Мысалы, 3 * 4 «өнім» нөмірі 3 жол мен 4 бағанның қиылысындағы санға тең. Біздің жағдайда бұл сан 2. Сондықтан 3 * 4 = 2. Қандай ереже деп ойлайсыз осы кестені толтыру үшін пайдаланылды ма?

Жиыннан (0, 1, 2, ..., 9) сандармен «*» операциясын орындау нәтижесі сол жиыннан шыққан сан болатынын ескеріңіз. Мұндай жағдайларда бұл туралы айтылады жиынтық операция кезінде жабық,және операция шақырылады алгебралық.

Сіз кестенің диагональға қатысты симметриялы екенін байқаған боларсыз
(0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, ..). Бұл «*» операциясының қасиеті бар екенін білдіреді коммутативтілік, яғни кез келген сандар үшін аЖәне бжиынынан (0, 1, 2, ..., 9) теңдік орындалады: а * б = б * а.

Кестені пайдаланып (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4) теңдігінің дұрыстығын тексеруге болады. Шыдамдылық танытып, барлық реттелген үштік сандарды сынап көру арқылы сіз жаңа операцияның қасиеті бар екеніне көз жеткізесіз. ассоциациялық, яғни кез келген сандар үшін а, б, в жиынынан (0, 1, 2, ..., 9) теңдік орындалады: ( а * б) * в= а * (б * в).

Жиынның (0, 1, 2, ..., 9) Пифагор кестесімен берілген көбейту арқылы жабылғанын тексеріңіз.

РЖоғарыдағы мысалдар сан амалын қалай енгізсеңіз де, ол әрқашан коммутативті және ассоциативті болады деген әсер қалдыруы мүмкін. Қорытынды жасауға асықпайық.

Тағы бір операцияны қарастырайық. Оны «o» арқылы белгілеп, «Шеңбер» операциясы деп атаймыз. Ол кесте бойынша анықталады:

Осы кесте құрастырылған үлгіні табуға тырысыңыз. Осы үлгіге сүйене отырып, кестеге жетіспейтін нәтижелерді енгізіңіз. «o» операциясы алгебралық бола ма? «o» операциясы болатынын дәлелдеңдер. коммутативті. Дегенмен, бұл операция ассоциативті емес! Мұны тексеру үшін үш санды таңдаңыз м, 1-мысал.Және к, ол үшін мо( 1-мысал.о к) ¹ ( мо 1-мысал.) o к.

ПСіздерді тағы бір операциямен таныстырайық: -.

Оны натурал сандар жиынына былайша енгізейік: м - 1-мысал. = м 1-мысал. .

Мысалы, 2 - 3 = 2 3 = 8; 3 - 2 = 3 2 = 9.

«-» операциясы алгебралық болады ма? Жоғарыда келтірілген мысал жаңа операцияның орындалуына көз жеткізу үшін жеткілікті коммутативті емес.

Операцияның нәтижесін есептеңіз
2 - (1 - 3) және одан кейін 2 - (1 - 3) = теңдігін тексеріңіз
= (2 - 1) - 3. Барлығын дұрыс орындасаңыз, операцияны “-” деп айтуға болады. ассоциативті емес.

1. Жиын алгебрасы бойынша қосу және көбейту амалдары ма?

а) жұп сандар; б) тақ сандар?

2. Жиындағы азайту амалы алгебралық ма?

а) натурал сандар; б) бүтін сандар?

3. Жиынға бөлу амалы алгебралық ма?

а) нөлдік емес бүтін сандар;

б) нөлге тең емес рационал сандар?

4. Операция екенін көрсетіңіз

x D ж = x + ж – 3

5. Операция екенін көрсетіңіз

x Ñ ж = x + ж – xy

барлық бүтін сандар жиынында алгебралық болып табылады. Бұл операция ассоциативті және/немесе коммутативті бола ма?

6. Пифагор кестесіне ұқсас, сандарға (0, 1, 2, 3, 4) «à» операциясын анықтайтын өз кестеңізді жасаңыз. Нәтиже м à 1-мысал.сандық операциялар мЖәне 1-мысал.бұл кестеде әдеттегі өнімнің 5-ке бөлінген қалған бөлігіне тең болуы керек mn.

«a» операциясы алгебралық бола ма? Егер солай болса, ол ассоциативті және/немесе коммутативті бола ма?

7. Сандармен орындалатын амалдардың кейбір мысалдарын келтіріңіз.

Олардың қайсысы алгебралық болады? Сіздің алгебралық амалдарыңыздың қайсысы ассоциативті және/немесе коммутативті болады?

Достарымен жасырын хат алмасуды қалайтындар үшін

ТУРАЛЫБір күні Фома достарының бірінен жеделхат алды.

Томас деген кім? ТУРАЛЫ! Бұл өте тамаша тұлға. Ол ешкімнің сөзін қабылдамайды, бәрін өзінше жасауға тырысады. Ол, бір жағынан, ескі мәселелердің жаңа шешімдерін табуды, екінші жағынан, жаңа қиындықтарды жеңу үшін ескі білімді пайдалануды ұнатады. Түрлі математикалық кітаптарды оқып, олардан стандартты емес жағдайларды іздеп, одан шығудың жолын іздегенді ұнатады. Ең бастысы, мұндай жағдайларды өзі жасағанды ​​ұнатады.

Сонымен, телеграмма әйтеуір біртүрлі болды. Мұнда былай делінген:

«yajzeirponchorsmedj.»

Сіз бұл мәтінді «оқы» аласыз ба? Фома сәл ойланып отырып, бұл жеделхаттың сырын түсінді. Онда келуге шақыру бар еді. Сол рухта жауап беруді жөн көрді. Жауап телеграммасын құрастырып, оны да солай шифрладым. Нәтиже екі жолдан тұратын жазба болды: «Мен сенбіде келіп, сенімен кездесемін», «хетячерцвутоббусвудейрп».

Дегенмен, Фома одан да қызықты шифрлауды ойлап тапқысы келді. Ол өзінің жеделхат мәтінін екі тең бөлікке бөліп, әрқайсысын ескі әдіспен шифрлаған:

ПШифрлауды аяқтағаннан кейін Фома досымен барлық хат алмасуды тек шифрланған мәтіндерде жүргізгісі келді, шифрлау әдісін мезгіл-мезгіл өзгертті. Сондықтан ол шифрды әзірлеуге құлшыныспен кірісті.

Ол бастапқы мәтіндегі әріптерді осы әріптер алатын орындардың нөмірлерімен ауыстыруды ұйғарды. Фома досының жеделхаты үшін алған нөмірлердің тізімі: (1, 2, 3, ..., 18).

Сонда ол шифрленген мәтіннің түпнұсқадан тек әріптердің өзгерген тәртібімен ғана ерекшеленетінін байқады. Әріптердің реті қалай өзгеретінін бірдей позиция нөмірлері арқылы оңай көруге болады. Мысалы, Фома енді досының жеделхатының шифрланған мәтінін тізім түрінде ұсына алды: (18, 17, 16, ..., 3, 2, 1).

Осы екі тізімді салыстыру мәтінді шифрлаудың кілтін береді:
.

Символдық жазба былай оқылады: «1-ден 18-ге барады». (Орнына басқа белгі жиі пайдаланылады: 1 ® 18.)

Көрсеткілердің бағыты ретті анықтайды шифрлаумәтін. Мысалы, шифрленген мәтінде бірінші орында тұрған әріп шифрленген мәтінде 18-ші орынды алуы керек.

Көрсеткілердің бағыты керісінше өзгертілсе, сол екі жолды кесте ретті анықтайды транскрипттермәтін. Мысалы, шифрленген мәтінде 18-ші позицияда пайда болатын әріп шифры шешілген мәтінде бірінші орынды алуы керек.

Соңында, егер бірінші жол әрқашан бастапқы мәтінмен байланысты болса, онда көрсеткілерді пайдаланудың қажеті жоқ. (Шифрлау кезінде бастапқы мәтін шифрленген мәтін болып табылады, ал шифрды шешкенде шифрленген мәтін шифрленген мәтін болып табылады.)

Осының бәрін түсінген Фома жеделхатының екінші шифрлауының кілтін тез жазып алды:

.

Ол туралы әйтеуір хабарлау ғана қалды
бұл сіздің досыңызға кілт - және хат алмасудың құпиялылығына кепілдік беріледі!

Егер сіз Томастың идеяларын түсінсеңіз, оның шифрланған ұраны:

«су қауырсыны»

Ол кілтпен шифрланған:

Сіз осы түрдегі көптеген шифрлау кілттерін таба алатыныңызды болжаған шығарсыз. Олардың әрқайсысын екі қатарлы кесте түрінде көрсетуге болады:

.

Мұнда жоғарғы жолда 1-ден бастап барлық натурал сандар бар 1-мысал.өсу ретімен. Төменгі жол жоғарғы жолдан сандарды біршама қайта орналастыру арқылы алынады. Бүкіл кесте шақырылады тәртібін ауыстыру1-мысал. .

INТомасқа оралайық. Кілттерді ауыстыруды қолдану

ол бір сөзден тұратын хабарламаны шифрлап, оны досына жіберді. Ол шифры ашылмаған хабарламаны қайтадан шифрлады, бірақ басқа кілтті пайдаланып:

.

Ол сізге екі рет шифрланған хабарламаны жолдады:

«Сноа».

Бұл хабарламаны шешіңіз.

Ауыстыруларда бір алгебралық операцияның қалай орындалатынын білсеңіз, шифрды шешу процесін әлдеқайда жылдам аяқтай аласыз. Бұл операция деп аталады көбейту алмастырулары. (Егер қаласаңыз, оны басқаша атауға болады, өйткені оның қарапайым сандарды көбейтуге ешқандай қатысы жоқ.)

Оның қалай жасалғанын мысалға келтірейік. Фомаға хабарламаны шифрлау үшін қолданылатын алмастыруларды көбейтейік:

.

Көбейту процедурасы ретті ауыстыруға дейін жетеді.

Бірінші ауыстыруда ( А) 1 ® 5;

екінші ауыстыруда ( IN) 5 ® 1.

Нәтижесінде біз мынаны аламыз: 1 ® 1.

Сол сияқты, «2 ® 2» және «2 ® 3» тармақтарынан мыналар шығады: «2 ® 3». Осы түрдегі тағы үш дәлелді орындай отырып, біз өнімді ауыстыруды аламыз

.

Өнімнің анықталғанын ескеріңіз тек бағандар саны бірдей ауыстырулар үшін.

Ауыстыруды қолдану ABшифрлаушы ретінде сіз енді бір қадам жасай аласыз дешифрлеуТомастың «сноас» хабарламасы. Сонымен қатар, өзіңізді бақылаңыз.

Егер сізді қызықтыратын болса, сіз өзіңіздің хабарлама кодтауышыңызды алмастыра аласыз және достарыңызбен жасырын хат алмасуға болады.

Хабарламаларды декодтау кезінде сіз жаңа объектілерге алгебралық амалдар – алмастырулармен таныстыңыз.

Анықтама 19.Егер сіздердің біреулеріңіз шифрлауға ғана емес, сонымен қатар ауыстырулардың өздеріне де қызығушылық танытсаңыз, келесі тапсырмаларды орындау арқылы олармен жақсырақ таныса аласыз.

1. Ауыстыру туындыларын табыңыз:

2. Бір бөлікті табыңыз В.Аауыстырулар АЖәне INжоғарыда талқыланды. Ауыстыруды қолдану В.Акодер сияқты, дешифрлеутағы да «snoas» хабарламасы. Шифры шешілген мәтінді алдыңғы шифрды шешу нәтижесімен салыстырыңыз.

2-тапсырманы орындасаңыз, ауыстыруды көбейтудің қасиеті бар-жоғын айта аласыз коммутативтілік.

Ауыстыруларды көбейту қасиеті бар екенін көрсетуге болады ассоциациялық.

Келесі тапсырмаға өтпес бұрын, алмастырудың бірнеше жалпы қасиеттерін қарастырайық.

Ауыстыру

шақырды бірдей. арқылы белгіленеді Е.

Сіз оңай орнатуға болатындай, бірдей ауыстыру хабарлама мәтінін өзгертпейді. Бұл жағдайда хабарлама анық мәтінде деп айтылады.