Қуат функциясы, оның қасиеттері және графигі. Дәрежелік функциялар, олардың қасиеттері және графиктері

1. Дәрежелік функция, оның қасиеттері және графигі;

2. Трансформациялар:

Параллель тасымалдау;

Координаталық осьтерге қатысты симметрия;

Шығу тегі бойынша симметрия;

y = x түзуіне қатысты симметрия;

Координаталық осьтер бойынша созылу және қысу.

3. Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері мен графигі, ұқсас түрлендірулер;

4. Логарифмдік функция, оның қасиеттері және графигі;

5. Тригонометриялық функция, оның қасиеттері мен графигі, ұқсас түрлендірулер (y = sin x; y = cos x; y = tan x);

Функция: y = x\n - оның қасиеттері мен графигі.

Қуат функциясы, оның қасиеттері және графигі

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1/xБұл функциялардың барлығы қуат функциясының, яғни функцияның ерекше жағдайлары болып табылады y = xp, мұндағы p – берілген нақты сан.
Дәрежелік функцияның қасиеттері мен графигі нақты көрсеткіші бар дәреженің қасиеттеріне, атап айтқанда оның мәндеріне айтарлықтай тәуелді. xЖәне бдәрежесі мағынасы бар xp. байланысты әртүрлі жағдайларды ұқсас қарастыруға көшейік
көрсеткіш б.

1. Көрсеткіш p = 2n- тіпті натурал сан.

y = x2n, Қайда n- натурал санның келесі қасиеттері бар:

• анықтау облысы – барлық нақты сандар, яғни R жиыны;
• мәндер жиыны - теріс емес сандар, яғни y 0-ден үлкен немесе оған тең;
• функциясы y = x2nтіпті, өйткені x 2n = (-x) 2n
• функция аралықта азаяды x< 0 және аралықта артады x > 0.

Функцияның графигі y = x2nмысалы, функцияның графигі сияқты пішінге ие y = x 4.

2. Көрсеткіш p = 2n - 1- тақ натурал сан

Бұл жағдайда қуат функциясы y = x2n-1, мұндағы натурал санның келесі қасиеттері бар:

• анықтау облысы – R жиыны;
• мәндер жиыны - R жиыны;
• функциясы y = x2n-1тақ, өйткені (- x) 2n-1= x2n-1;
• функция бүкіл нақты осьте өседі.

Функцияның графигі y = x2n-1 y = x 3.

3. Көрсеткіш p = -2n, Қайда n-натурал сан.

Бұл жағдайда қуат функциясы y = x -2n = 1/x 2nкелесі қасиеттерге ие:

• мәндер жиыны – оң сандар y>0;
• функциясы у = 1/x 2nтіпті, өйткені 1/(-x)2n= 1/x 2n;
• функция x0 интервалында өседі.

y функциясының графигі = 1/x 2nмысалы, у функциясының графигі сияқты пішінге ие = 1/x 2.

4. Көрсеткіш p = -(2n-1), Қайда n- натурал сан.
Бұл жағдайда қуат функциясы y = x -(2n-1)келесі қасиеттерге ие:

• анықтау облысы – R жиыны, x = 0 қоспағанда;
• мәндер жиыны - R жиыны, y = 0 қоспағанда;
• функциясы y = x -(2n-1)тақ, өйткені (- x) -(2n-1) = -x -(2n-1);
• функция интервалдар бойынша азаяды x< 0 Және x > 0.

Функцияның графигі y = x -(2n-1)мысалы, функцияның графигі сияқты пішінге ие y = 1/x 3.

y = ax, y = ax 2, y = a/x функциялары қуат функциясының ерекше түрлері болып табылады. n = 1, n = 2, n = -1 .

Егер nбөлшек сан б/ qжұп бөлгішпен qжәне тақ алым r, содан кейін мән екі белгісі болуы мүмкін, ал графиктің х осінің төменгі жағындағы басқа бөлігі бар X, және ол жоғарғы бөлікке симметриялы.

Екі мәнді функцияның графигін көреміз y = ±2x 1/2, яғни. горизонталь осі бар парабола арқылы берілген.

Функция графиктері y = xnсағ n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Бұл графиктер (1; 1) нүктесі арқылы өтеді.

Қашан n = -1 аламыз гипербола. Сағат n < - 1 Дәрежелік функцияның графигі алдымен гиперболаның үстінде орналасқан, яғни. арасында x = 0Және x = 1, содан кейін төмендетіңіз (де x > 1). Егер n> -1 график керісінше жүреді. Теріс мәндер Xжәне бөлшек мәндер nоң үшін ұқсас n.

Барлық графиктер х осіне шексіз жуықталады X,және ордината осіне сағоларға қол тигізбестен. Гиперболаға ұқсастығына байланысты бұл графиктер гипербола деп аталады n thтапсырыс.

Қуат функциясын қарастыруға ыңғайлы болу үшін біз 4-ті қарастырамыз жеке жағдайлар: қуат функциясы бар табиғи көрсеткіш, бүтін дәрежелі дәреже функциясы, дәреже функциясы бар рационалды көрсеткішжәне иррационал көрсеткіші бар дәреже функциясы.

Натурал көрсеткішті қуат функциясы

Алдымен натурал көрсеткішті дәреже ұғымын енгізейік.

Анықтама 1

Натурал көрсеткіші $n$ болатын $a$ нақты санының дәрежесі $n$ факторларының көбейтіндісіне тең сан, олардың әрқайсысы $a$ санына тең.

1-сурет.

$a$ – дәреженің негізі.

$n$ – көрсеткіш.

Енді табиғи көрсеткіші бар дәреже функциясын, оның қасиеттерін және графигін қарастырайық.

Анықтама 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ табиғи дәреже көрсеткіші бар қуат функциясы деп аталады.

Қосымша ыңғайлы болу үшін $f\left(x\right)=x^(2n)$ көрсеткіші жұп болатын қуат функциясын және $f\left(x\right)=x^ тақ көрсеткіші бар қуат функциясын бөлек қарастырамыз. (2n-1)$ ($n\N)$.

Табиғи жұп көрсеткішті дәрежелік функцияның қасиеттері

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- функция жұп.

Мән аймағы -- $\

Функция $x\in (-\infty ,0)$ ретінде төмендейді және $x\in (0,+\infty)$ ретінде артады.

$f("")\left(x\оң)=(\сол(2n\cdot x^(2n-1)\оң))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

Функция анықтаудың барлық облысы бойынша дөңес.

Доменнің соңындағы мінез-құлық:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\ to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

График (2-сурет).

2-сурет. $f\left(x\right)=x^(2n)$ функциясының графигі

Табиғи тақ көрсеткішті дәрежелік функцияның қасиеттері

Анықтау облысы - барлық нақты сандар.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- функция тақ.

$f(x)$ анықтаудың барлық доменінде үздіксіз.

Ауқым барлық нақты сандар.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Функция анықтаудың барлық доменінде артады.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ үшін.

$f(""\сол(x\оң))=(\сол(\сол(2n-1\оң)\cdot x^(2\сол(n-1\оң))\оң))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Функция $x\in (-\infty ,0)$ үшін ойыс және $x\in (0,+\infty)$ үшін дөңес болады.

График (3-сурет).

3-сурет. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ функциясының графигі.

Бүтін көрсеткішті қуат функциясы

Алдымен бүтін көрсеткішті дәреже ұғымын енгізейік.

Анықтама 3

$n$ бүтін көрсеткіші бар $a$ нақты санының дәрежесі мына формуламен анықталады:

4-сурет.

Енді бүтін көрсеткішті дәреже функциясын, оның қасиеттерін және графигін қарастырайық.

Анықтама 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ бүтін дәрежелі дәрежелі функция деп аталады.

Егер дәреже нөлден үлкен болса, онда табиғи көрсеткіші бар дәрежелік функция жағдайына келеміз. Біз оны жоғарыда талқыладық. $n=0$ үшін біз аламыз сызықтық функция$y=1$. Оның пікірін оқырманның өз еншісіне қалдырамыз. Теріс бүтін көрсеткішті дәрежелік функцияның қасиеттерін қарастыру қалды

Теріс бүтін көрсеткішті дәреже функциясының қасиеттері

Анықтау домені $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Егер көрсеткіш жұп болса, онда функция жұп, егер ол тақ болса, онда функция тақ болады;

$f(x)$ анықтаудың барлық доменінде үздіксіз.

Қолдану аясы:

Егер көрсеткіш жұп болса, онда $(0,+\infty)$ тақ болса, $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$;

Тақ көрсеткіш үшін функция $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ ретінде азаяды. Егер көрсеткіш жұп болса, функция $x\in (0,+\infty)$ ретінде азаяды. және $x\in \left(-\infty ,0\right)$ ретінде артады.

$f(x)\ge 0$ анықтаудың барлық доменінде

y = x p дәреже функциясының анықталу облысында келесі формулалар орындалады:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Дәрежелік функциялардың қасиеттері және олардың графиктері

Дәрежесі нөлге тең, p = 0 болатын қуат функциясы

Егер y = x p дәреже функциясының көрсеткіші нөлге тең болса, p = 0, онда дәреже функциясы барлық x ≠ 0 үшін анықталады және бірге тең тұрақты болады:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Табиғи тақ көрсеткішті қуат функциясы, p = n = 1, 3, 5, ...

Табиғи тақ көрсеткіші n = 1, 3, 5, ... болатын у = x p = x n дәрежелік функцияны қарастырайық.

Бұл көрсеткішті келесі түрде де жазуға болады: n = 2k + 1, мұндағы k = 0, 1, 2, 3, ... теріс емес бүтін сан. Төменде осындай функциялардың қасиеттері мен графиктері берілген.

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі. -∞ < x < ∞
Қолдану аясы: -∞ < y < ∞
Көп мағыналар:Паритет:
тақ, у(-х) = - у(х)Монотонды:
монотонды түрде артадыТөтенше жағдайлар:
Жоқ
дөңес:< x < 0 выпукла вверх
-∞ нүктесінде< x < ∞ выпукла вниз
0-деИілу нүктелері:
Иілу нүктелері:
x = 0, y = 0
;
Шектеулер:
Жеке құндылықтар:
х = -1 кезінде,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
х = 0 кезінде, у(0) = 0 n = 0
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1
Кері функция:
n = 1 үшін функция оған кері: x = y n ≠ 1 үшін,кері функция

n дәрежесінің түбірі:

Табиғи жұп көрсеткішті қуат функциясы, p = n = 2, 4, 6, ...

Табиғи жұп көрсеткіші n = 2, 4, 6, ... болатын у = x p = x n дәрежелік функцияны қарастырайық.

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі. -∞ < x < ∞
Қолдану аясы:Бұл көрсеткішті келесі түрде де жазуға болады: n = 2k, мұндағы k = 1, 2, 3, ... - табиғи. Мұндай функциялардың қасиеттері мен графиктері төменде берілген.< ∞
Көп мағыналар: n = 2, 4, 6, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи жұп көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.
тақ, у(-х) = - у(х)
0 ≤ y
жұп, y(-x) = y(x)
монотонды түрде артады x ≤ 0 үшін монотонды түрде төмендейді
Жоқ x ≥ 0 үшін монотонды түрде артады
0-деТөтенше жағдайлар:
минимум, x = 0, y = 0Иілу нүктелері:
x = 0, y = 0
;
Шектеулер:
дөңес төмен Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
х = 0 кезінде, у(0) = 0 n = 0
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1
х = -1 кезінде, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1:
n = 2 үшін,

шаршы түбір

n ≠ 2 үшін, n дәрежесінің түбірі:

Теріс бүтін көрсеткішті дәреже функциясы, p = n = -1, -2, -3, ...

Теріс бүтін көрсеткіші n = -1, -2, -3, ... болатын у = x p = x n дәрежелік функцияны қарастырайық.

Егер n = -k қойсақ, мұндағы k = 1, 2, 3, ... натурал сан, онда оны келесі түрде көрсетуге болады:

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі. n = -1, -2, -3, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін теріс бүтін көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.
Қолдану аясы:Тақ көрсеткіш, n = -1, -3, -5, ...
Көп мағыналар:Паритет:
тақ, у(-х) = - у(х)Төменде n = -1, -3, -5, ... тақ теріс көрсеткішті y = x n функциясының қасиеттері берілген.
монотонды түрде артадыТөтенше жағдайлар:
Жоқ
x ≠ 0< 0 : выпукла вверх
y ≠ 0
0-деТөтенше жағдайлар:
минимум, x = 0, y = 0Төтенше жағдайлар:
монотонды түрде төмендейді
x ≠ 0< 0, y < 0
x кезінде
x = 0, y = 0
; ; ;
Шектеулер:
х = 0 кезінде, у(0) = 0 n = 0
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1
x > 0 үшін: төмен қарай дөңес
Белгі:< -2 ,

Жұп көрсеткіш, n = -2, -4, -6, ...

Төменде жұп теріс көрсеткіші n = -2, -4, -6, ... болатын у = x n функциясының қасиеттері берілген.

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі. n = -1, -2, -3, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін теріс бүтін көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.
Қолдану аясы: y > 0
Көп мағыналар: n = 2, 4, 6, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи жұп көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.
тақ, у(-х) = - у(х)
x ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
x > 0 үшін: монотонды түрде төмендейді
монотонды түрде артадыТөтенше жағдайлар:
Жоқ x ≥ 0 үшін монотонды түрде артады
0-деТөтенше жағдайлар:
минимум, x = 0, y = 0Төтенше жағдайлар:
монотонды түрде төмендейді y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Шектеулер:
х = 0 кезінде, у(0) = 0 n = 0
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1
n = -2 кезінде,
Белгі:< -2 ,

Рационал (бөлшек) көрсеткішті дәреже функциясы

Рационал (бөлшек) көрсеткіші бар у = x p дәреже функциясын қарастырайық, мұндағы n - бүтін сан, m > 1 - натурал сан. Оның үстіне, n, m жоқ ортақ бөлгіштер.

Бөлшек көрсеткішінің бөлгіші тақ

Бөлшек көрсеткіштің бөлімі тақ болсын: m = 3, 5, 7, ... . Бұл жағдайда x p қуат функциясы х аргументінің оң және теріс мәндері үшін анықталады.

Көрсеткіш p белгілі бір шектерде болғанда мұндай дәрежелік функциялардың қасиеттерін қарастырайық.< 0

p-мәні теріс, p

Рационал көрсеткіш (тақ бөлгіш m = 3, 5, 7, ...) нөлден кіші болсын: .

Көрсеткіштің әртүрлі мәндері үшін рационал теріс көрсеткіші бар дәрежелік функциялардың графиктері, мұндағы m = 3, 5, 7, ... - тақ.

Тақ алым, n = -1, -3, -5, ...

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі. n = -1, -2, -3, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін теріс бүтін көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.
Қолдану аясы:Тақ көрсеткіш, n = -1, -3, -5, ...
Көп мағыналар:Паритет:
тақ, у(-х) = - у(х)Төменде n = -1, -3, -5, ... тақ теріс көрсеткішті y = x n функциясының қасиеттері берілген.
монотонды түрде артадыТөтенше жағдайлар:
Жоқ
x ≠ 0< 0 : выпукла вверх
y ≠ 0
0-деТөтенше жағдайлар:
минимум, x = 0, y = 0Төтенше жағдайлар:
монотонды түрде төмендейді
x ≠ 0< 0, y < 0
x кезінде
x = 0, y = 0
; ; ;
Шектеулер:
Рационал теріс көрсеткішті y = x p дәреже функциясының қасиеттерін береміз, мұндағы n = -1, -3, -5, ... тақ теріс бүтін сан, m = 3, 5, 7 ... тақ табиғи бүтін сан.
х = 0 кезінде, у(0) = 0 n = 0
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1

кезінде x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Жұп алым, n = -2, -4, -6, ...

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі. n = -1, -2, -3, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін теріс бүтін көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.
Қолдану аясы: y > 0
Көп мағыналар: n = 2, 4, 6, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи жұп көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.
тақ, у(-х) = - у(х)
x ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
x > 0 үшін: монотонды түрде төмендейді
монотонды түрде артадыТөтенше жағдайлар:
Жоқ x ≥ 0 үшін монотонды түрде артады
0-деТөтенше жағдайлар:
минимум, x = 0, y = 0Төтенше жағдайлар:
монотонды түрде төмендейді y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Шектеулер:
Рационал теріс көрсеткішті y = x p дәреже функциясының қасиеттері, мұндағы n = -2, -4, -6, ... жұп теріс бүтін сан, m = 3, 5, 7 ... тақ натурал сан. .
х = 0 кезінде, у(0) = 0 n = 0
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1

кезінде x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1

p-мәні оң, бірден кем, 0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Рационал көрсеткішті дәрежелік функцияның графигі (0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі. -∞ < x < +∞
Қолдану аясы: -∞ < y < +∞
Көп мағыналар:Паритет:
тақ, у(-х) = - у(х)Монотонды:
монотонды түрде артадыТөтенше жағдайлар:
Жоқ
x ≠ 0< 0 : выпукла вниз
Тақ алым, n = 1, 3, 5, ...
0-деИілу нүктелері:
минимум, x = 0, y = 0Иілу нүктелері:
монотонды түрде төмендейді
x ≠ 0< 0, y < 0
x кезінде
x = 0, y = 0
;
Шектеулер:
x > 0 үшін: дөңес жоғары
кезінде x = -1, y(-1) = -1
х = 0 кезінде, у(0) = 0
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1

x = 1 үшін, у(1) = 1

Жұп алым, n = 2, 4, 6, ...< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі. -∞ < x < +∞
Қолдану аясы:Бұл көрсеткішті келесі түрде де жазуға болады: n = 2k, мұндағы k = 1, 2, 3, ... - табиғи. Мұндай функциялардың қасиеттері мен графиктері төменде берілген.< +∞
Көп мағыналар: n = 2, 4, 6, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи жұп көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.
тақ, у(-х) = - у(х)
x ≠ 0< 0 : монотонно убывает
Рационал көрсеткіші 0 шегінде болатын у = x p дәрежелік функциясының қасиеттері берілген
монотонды түрде артады x > 0 үшін: монотонды түрде артады
Жоқминимум x = 0, у = 0 кезінде
0-деТөтенше жағдайлар:
минимум, x = 0, y = 0Иілу нүктелері:
монотонды түрде төмендейді x ≠ 0 үшін дөңес жоғары
x = 0, y = 0
;
Шектеулер:
x ≠ 0, y > 0 үшін
кезінде x = -1, y(-1) = -1
х = 0 кезінде, у(0) = 0
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1

кезінде x = -1, y(-1) = 1

p индексі бірден үлкен, p > 1

Көрсеткіштің әртүрлі мәндері үшін рационал көрсеткішті (p > 1) дәрежелік функцияның графигі, мұндағы m = 3, 5, 7, ... тақ.

Тақ алым, n = 5, 7, 9, ...

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі. -∞ < x < ∞
Қолдану аясы: -∞ < y < ∞
Көп мағыналар:Паритет:
тақ, у(-х) = - у(х)Монотонды:
монотонды түрде артадыТөтенше жағдайлар:
Жоқ
дөңес:< x < 0 выпукла вверх
-∞ нүктесінде< x < ∞ выпукла вниз
0-деИілу нүктелері:
минимум, x = 0, y = 0Иілу нүктелері:
x = 0, y = 0
;
Шектеулер:
x > 0 үшін: дөңес жоғары
кезінде x = -1, y(-1) = -1
х = 0 кезінде, у(0) = 0
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1

Рационал көрсеткіші бірден үлкен y = x p дәреже функциясының қасиеттері: .

Рационал көрсеткіші бірден үлкен y = x p дәреже функциясының қасиеттері: .

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі. -∞ < x < ∞
Қолдану аясы:Бұл көрсеткішті келесі түрде де жазуға болады: n = 2k, мұндағы k = 1, 2, 3, ... - табиғи. Мұндай функциялардың қасиеттері мен графиктері төменде берілген.< ∞
Көп мағыналар: n = 2, 4, 6, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи жұп көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.
тақ, у(-х) = - у(х)
x ≠ 0< 0 монотонно убывает
Мұндағы n = 4, 6, 8, ... - жұп натурал, m = 3, 5, 7 ... - тақ натурал.
монотонды түрде артады x > 0 үшін: монотонды түрде артады
Жоқ x ≥ 0 үшін монотонды түрде артады
0-деТөтенше жағдайлар:
минимум, x = 0, y = 0Иілу нүктелері:
x = 0, y = 0
;
Шектеулер:
x ≠ 0, y > 0 үшін
кезінде x = -1, y(-1) = -1
х = 0 кезінде, у(0) = 0
x = 1 үшін, y(1) = 1 n = 1

x > 0 үшін монотонды түрде артады

Бөлшек көрсеткішінің бөлгіші жұп

Бөлшек көрсеткіштің бөлгіші жұп болсын: m = 2, 4, 6, ... . Бұл жағдайда x p қуат функциясы аргументтің теріс мәндері үшін анықталмаған. Оның қасиеттері иррационал көрсеткішті дәрежелік функцияның қасиеттерімен сәйкес келеді (келесі бөлімді қараңыз).

Иррационал көрсеткішті қуат функциясы

Иррационал көрсеткіші p болатын y = x p дәрежелі функцияны қарастырайық.

Мұндай функциялардың қасиеттері жоғарыда қарастырылғандардан ерекшеленеді, өйткені олар х аргументінің теріс мәндері үшін анықталмаған.< 0

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі.Аргументтің оң мәндері үшін сипаттар тек p көрсеткішінің мәніне тәуелді және p бүтін, рационал немесе иррационал екеніне тәуелді емес.
Қолдану аясы: y > 0
тақ, у(-х) = - у(х)Төменде n = -1, -3, -5, ... тақ теріс көрсеткішті y = x n функциясының қасиеттері берілген.
Жоқ x ≥ 0 үшін монотонды түрде артады
0-деТөтенше жағдайлар:
минимум, x = 0, y = 0Төтенше жағдайлар:
x = 0, y = 0 ;
p көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін y = x p.Теріс көрсеткіші p бар қуат функциясы

x > 0

Жеке мағынасы:< p < 1

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі. x = 1 үшін, y(1) = 1 p = 1
Қолдану аясы:Оң көрсеткіші p > 0 болатын қуат функциясы
тақ, у(-х) = - у(х)Монотонды:
ЖоқКөрсеткіш бір 0-ден аз
0-деТөтенше жағдайлар:
минимум, x = 0, y = 0Иілу нүктелері:
x = 0, y = 0
Шектеулер: x ≥ 0
Теріс көрсеткіші p бар қуат функциясы

y ≥ 0

n = 1, 3, 5, ... көрсеткішінің әртүрлі мәндері үшін табиғи тақ көрсеткіші бар у = x n дәрежелік функцияның графигі. x = 1 үшін, y(1) = 1 p = 1
Қолдану аясы:Оң көрсеткіші p > 0 болатын қуат функциясы
тақ, у(-х) = - у(х)Монотонды:
Жоқ x ≥ 0 үшін монотонды түрде артады
0-деТөтенше жағдайлар:
минимум, x = 0, y = 0Иілу нүктелері:
x = 0, y = 0
Шектеулер: x ≥ 0
Теріс көрсеткіші p бар қуат функциясы

жоғары қарай дөңес
x = 0 үшін y(0) = 0 p = 0 .

Көрсеткіш бір p > 1-ден үлкен

Пайдаланылған әдебиеттер:

И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженерлер мен колледж студенттеріне арналған математика анықтамалығы, «Лан», 2009 ж.
Сондай-ақ қараңыз:

«Дәрежелік функциялар. Теріс бүтін көрсеткіш. Дәрежелік функцияның графигі» тақырыбына сабақ және презентация.
Қосымша материалдар
Құрметті қолданушылар, өз пікірлеріңізді, пікірлеріңізді, тілектеріңізді қалдыруды ұмытпаңыздар! Барлық материалдар антивирустық бағдарлама арқылы тексерілді.

9-сыныпқа арналған Integral интернет-дүкеніндегі оқу құралдары мен тренажерлар

9-сыныпқа арналған «Алгебрадан ережелер мен жаттығулар» интерактивті оқу құралы 9-сыныпқа арналған мультимедиялық оқулық «Алгебра 10 минутта»Теріс көрсеткішті қуат функциясының түрі
Балалар, біз сандық функцияларды оқуды жалғастырамыз. Бүгінгі сабағымыздың тақырыбы да болмақ
қуат функциялары

, бірақ натурал көрсеткішпен емес, теріс бүтін санмен.
Оқуымызды паритеттен бастайық. Айта кету керек, паритеттік қасиет функция графиктерін құруды айтарлықтай жеңілдетеді, өйткені біз графиктің жартысын сала аламыз, содан кейін оны жай ғана бейнелей аламыз.
Біздің функцияның анықталу облысы – нөлден басқа, біз нөлге бөле алмайтынымызды жақсы білеміз; Анықтау облысы симметриялы жиын болып табылады, біз теріс аргументтен функцияның мәнін есептеуге көшеміз;
$f(-x)=\frac(1)((-x)^2)=\frac(1)(x^2)=f(x)$.
Біздің функциямыз біркелкі. Бұл $x≥0$ графигін тұрғызып, сосын оны у осіне қатысты көрсете алатынымызды білдіреді.
Балалар, бұл жолы мен «ересек» математикасындағыдай функцияның графигін бірге құруды ұсынамын. Алдымен функциямыздың қасиеттерін анықтаймыз, содан кейін олардың негізінде графикті саламыз. Біз $x>0$ екенін ескереміз.
1. Анықтау облысы D(y)=(0;+∞).
2. Функция кемуде. Оны тексеріп көрейік. $x1 болсын \frac(1)(x_(2)^2)$. Үлкен санға бөлетіндіктен, функцияның өзі болып шығады көбіреказ болады, яғни төмендейді.
3. Функция төменнен шектелген. Әлбетте, $\frac(1)(x^2)>0$, бұл оның төменнен шектелгенін білдіреді.
Жоғарғы шек жоқ, өйткені аргументтің мәнін өте кішкентай, нөлге жақын алсақ, онда функцияның мәні плюс шексіздікке бейім болады.
4. Ең үлкен немесе ең төменгі мән жоқ. Функция жоғарғы шектелмегендіктен, максималды мән жоқ. Не істеу керек ең төменгі мән, өйткені функция төменнен шектелген.

Функцияның ең кіші мәні бар деген нені білдіреді?

$f(x)≥f(x0)$ анықтау облысындағы барлық x үшін x0 нүктесі бар, бірақ біздің функция бүкіл анықтау облысы бойынша төмендейді, онда $x1>x0$ саны бар, бірақ $f(x1)

Теріс дәрежелі дәрежелік функциялардың графиктері

Функциямызды нүкте бойынша сызып көрейік.




Біздің функциямыздың графигі гиперболаның графигіне өте ұқсас.
Паритет қасиетін қолданып, ордината осіне қатысты графикті экранға шығарайық.

Барлық х мәндері үшін функциямыздың қасиеттерін жазайық.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Жұп функция.
3) (-∞;0] артады, азаяды.
Шешім. Функция анықтаудың барлық аймағында азаяды, содан кейін ол сегменттің соңында ең үлкен және ең кіші мәндеріне жетеді. Ең үлкен мән $f(1)=1$ сегментінің сол жағында, ең кішісі $f(3)=\frac(1)(27)$ оң жағында болады.
Жауабы: Ең үлкен мән 1, ең кішісі 1/27.

Мысал. $y=(x+2)^(-4)+1$ функциясының графигін тұрғызыңыз.
Шешім. Біздің функцияның графигі $y=x^(-4)$ функциясының графигінен оны екі бірлік солға және бір бірлік жоғары жылжыту арқылы алынады.
График құрастырайық:

Өз бетінше шешілетін мәселелер

1. $y=\frac(1)(x^4)$ функциясының сегментіндегі ең кіші және ең үлкен мәнін табыңыз.
2. $y=(x-3)^(-5)+2$ функциясының графигін тұрғызыңыз.