Күштердің жазық жүйесін оның қарапайым түріне келтіру жағдайлары. Күштер жүйесін қарапайым түрге келтіру Нәтижеге келтіру

Ең қарапайым түрге келтіру жағдайлары

Жұпқа әкелу

Күштерді О центріне келтіру нәтижесінде бұл шығады негізгі ғасырторус нөлге тең, ал негізгі момент нөлден өзгеше: . Сонда статиканың іргелі теоремасының арқасында біз жаза аламыз

Бұл бұл жағдайда күштердің бастапқы жүйесі моменті бар күштер жұбына тең екенін білдіреді.

Жұп моменті жұп моментін есептеу кезінде момент центрі ретінде қай нүкте таңдалғанына байланысты емес. Сондықтан, бұл жағдайда негізгі нүкте қысқарту орталығын таңдауға байланысты болмауы керек. Бірақ дәл осы қатынас әкелетін қорытынды

екі түрлі орталыққа қатысты негізгі нүктелерді байланыстыру. Қосымша мүше де нөлге тең болғанда, аламыз

Нәтижеге дейін қысқарту

Енді бас вектор нөлге тең емес, ал бас момент нөлге тең болсын: . Статиканың іргелі теоремасының арқасында бізде бар

яғни күштер жүйесі бір күшке – негізгі векторға эквивалент болып шығады. Демек, бұл жағдайда күштердің бастапқы жүйесі нәтижеге келтіріледі және бұл нәтиже азайту центрінде қолданылатын негізгі вектормен сәйкес келеді: .

Бас вектор мен бас момент екеуі де нөлге тең емес, өзара перпендикуляр болған жағдайда күштер жүйесі нәтижеге келтіріледі: . Дәлелдеу келесі әрекеттер тізбегі арқылы жүзеге асырылады.

О азайту центрі арқылы негізгі моментке перпендикуляр жазықтық жүргіземіз (50, а-сурет). Суретте бұл жазықтық сызу жазықтығымен біріктірілген, ал негізгі вектор онда орналасқан. Бұл жазықтықта моменті бар жұпты саламыз және жұптың күштерін негізгі векторға шамасы бойынша тең етіп таңдаймыз; онда жұптың левереджі -ге тең болады. Әрі қарай жұпты өз жазықтығында жұп күштерінің бірі негізгі күшке қарама-қарсы O қысқарту центрінде қолданылатындай етіп жылжытамыз; жұптың екінші күші С нүктесінде, О центрінен қашықтағы қалаған бағытта, бағытпен анықталатын, h жұбының иініне тең OS қашықтықта қолданылады (50-сурет, б). Енді O нүктесінде қолданылатын теңдестірілген R және - күштерін алып тастасақ, біз С нүктесінде қолданылатын бір күшке келеміз (50, в-сурет). Ол осы күштер жүйесінің нәтижесі ретінде қызмет етеді.

Реакция күші әлі де негізгі векторға тең, бірақ негізгі вектордан әсер ету нүктесінде ерекшеленетінін көруге болады. Егер негізгі вектор төмендеу O центрінде қолданылса, онда нәтиже С нүктесінде болады, оның позициясы арнайы анықтама. С нүктесін табудың геометриялық әдісі жоғарыда жасалған құрылыстан көрінеді.

О центріне қатысты нәтиже моменті үшін жаза аламыз (50-суретті қараңыз):

немесе аралық мәндерді алып тастау:

Бұл вектор теңдігін О нүктесі арқылы өтетін кез келген оське проекцияласақ, проекциялардағы сәйкес теңдік аламыз:

Нүктеге қатысты күш моментінің осы нүкте арқылы өтетін оське проекциясы оське қатысты күш моменті екенін еске түсіріп, бұл теңдікті келесі түрде қайта жазамыз:

Алынған теңдіктер Вариньон теоремасын жалпы түрде көрсетеді (2-дәрісте теорема тек жинақтаушы күштер үшін тұжырымдалған): егер күштер жүйесінде нәтиже болса, онда осы нәтиженің моменті (нүктеге қатысты, оське қатысты) сомасына теңбарлық берілген күштердің моменттері – құраушылар (бір нүктеге, бірдей оське қатысты). Нүкте жағдайында моменттердің қосындысы векторлық, ось жағдайында ол алгебралық болатыны анық.

Динамизмнің төмендеуі

Динамия немесе динамикалық бұранда - бұл жұптың әсер ету жазықтығына перпендикуляр бағытталған күштер мен күштердің қосындысы. Перпендикуляр және перпендикуляр болмағанда жалпы қысқарту жағдайында күштердің бастапқы жүйесі қандай да бір динамизмге эквивалент болатынын көрсетуге болады.

I жағдай.

Егер күштер жүйесінің бас векторы нөлге тең болса және оның азайту центріне қатысты бас моменті нөлге тең болса, онда күштер өзара теңестіріледі.

ІІ жағдай.

Егер күш жүйесінің бас векторы нөлге тең болса, ал оның қысқару центріне қатысты негізгі моменті нөлге тең болмаса, онда күштер жұп күшке дейін азаяды. Бұл күштер жұбының моменті күштер жүйесінің азайту центріне қатысты негізгі моментіне тең.

Бұл жағдайда кеңістіктегі барлық нүктелерге қатысты күштер жүйесінің негізгі моменттері геометриялық тең болады.

ІІІ жағдай.

Егер күштер жүйесінің бас векторы нөлге тең болмаса, ал оның елес центріне қатысты негізгі моменті нөлге тең болса, онда күштер нәтижеге келтіріледі, оның әсер ету сызығы центр арқылы өтеді. елес.

IV жағдай. Және .

Қысқарту центріне қатысты күштер жүйесінің негізгі моменті бас векторға перпендикуляр болса, онда күштер әсер ету сызығы тотықсыздану центрінен өтпейтін нәтижеге келтіріледі (145-сурет). .

V жағдай және .

Қысқарту центріне қатысты күштер жүйесінің негізгі моменті негізгі векторға перпендикуляр болмаса, онда күштер екі қиылысу күшіне немесе күштік бұрандаға (динамо), т.б. жазықтығы күшке перпендикуляр болатын күш пен күш жұбының қосындысына.

Екі қиылысу күшіне дейін азайту (Cурет 147):

Тепе-теңдік теңдеулер әртүрлі жүйелеркүш

Кеңістікте ерікті түрде орналасқан күштер үшін екі тепе-теңдік шарты сәйкес келеді:

Қарастырылып отырған күштер жүйесі үшін негізгі моменттің және бас вектордың модульдері мына формулалармен анықталады:

Шарттар кеңістікте ерікті түрде орналасқан күштердің тепе-теңдігінің сәйкес алты негізгі теңдеуінде ғана орындалады:

Алғашқы үш теңдеу күштердің координаталық осьтерге қатысты моменттерінің теңдеулері, ал соңғы үшеуі күштердің осьтерге проекцияларының теңдеулері деп аталады.

Тепе-теңдік теңдеулерінің формалары тегіс жүйекүш

Жазықтықта ерікті түрде орналасқан күштер үшін екі тепе-теңдік шарты бар:

Жазықтықта ерікті түрде орналасқан күштердің тепе-теңдігінің екі шартын үш теңдеу жүйесі ретінде көрсетуге болады:

Бұл теңдеулер жазық күштер жүйесінің негізгі тепе-теңдік теңдеулері деп аталады. Осы теңдеулер жүйесі үшін моменттердің центрі мен координат осьтерінің бағытын ерікті түрде таңдауға болады.

Күштер жүйесінің үш теңдеуінің тағы екі жүйесі бар.

Сонымен қатар жүйеде ось uА және В нүктелері арқылы өтетін түзуге перпендикуляр болмауы керек.

Екі орталыққа қатысты күштер жүйесінің негізгі моменттері нөлге тең болғандықтан, қарастырылып отырған күштер жүйесі күштер жұбына келтірілмейді. Кез келген оське нәтиженің проекциясы құраушы күштердің проекцияларының қосындысына тең, яғни. демек, болжанған нәтиже Осылайша, күштер жүйесі күштер жұбына да, нәтижеге де азаймайды, демек, теңдестірілген.

мұндағы А, В, С нүктелері бір түзудің бойында жатпайды. Бұл жағдайда күштер күштер жұбына азаймайды, өйткені үш орталыққа қатысты күштердің негізгі моменттері нөлге тең. Күштер нәтижеге келтірілмейді, өйткені ол бар болса, оның әрекет сызығы бір түзуде жатпайтын үш нүктеден өте алмайды. Осылайша, күштер жүйесі күштер жұбына да, нәтижеге де азаймайды, демек, теңдестірілген.

Параллель күштер орталығы

Екі параллель күш қосылғанда, екі параллель бір күшке - нәтижеге, әсер ету сызығы күштердің әсер ету сызықтарына параллель бағытталған. Нәтиже түзу сызықты бөлетін нүктеде, күштердің шамасына кері пропорционалды қашықтықта қолданылады.

Күш оның әсер ету сызығы бойынша берілуі мүмкін болғандықтан, нәтиженің әсер ету нүктесі анықталмайды. Егер күштер бірдей бұрышқа бұрылса және күштер қайтадан қосылса, нәтиженің әсер ету сызығының басқа бағытын аламыз. Осы екі нәтижелі түзудің қиылысу нүктесін барлық күштер бір мезгілде бір бұрыш арқылы айналғанда өз орнын өзгертпейтін нәтижені қолдану нүктесі ретінде қарастыруға болады. Бұл нүкте параллель күштер центрі деп аталады.

Жоғарыда дәлелденгендей, кеңістікте ерікті түрде орналасқан күштердің ерікті жүйесі жүйенің негізгі векторына тең бір күшке дейін қысқартылуы мүмкін және ерікті қысқарту центрінде қолданылуы мүмкін. ТУРАЛЫ, және бір центрге қатысты жүйенің негізгі моментіне тең моменті бар бір жұп. Сондықтан болашақта күштердің ерікті жүйесін екі вектордың эквивалентті жиынтығымен ауыстыруға болады - нүктеде қолданылатын күш пен момент ТУРАЛЫ. Қысқарту орталығының орнын өзгерту кезінде ТУРАЛЫнегізгі вектор өзінің шамасы мен бағытын сақтайды, бірақ негізгі момент өзгереді. Дәлелдеп көрейік, егер негізгі вектор нөлге тең емес болса және негізгі моментке перпендикуляр болса, онда күштер жүйесі бір күшке азаяды, бұл жағдайда нәтиже деп атаймыз (8-сурет). Негізгі моментті иықпен күш жұбымен ( , ) көрсетуге болады , содан кейін күштер мен негізгі вектор екі жүйені құрайды .

жоюға болатын нөлге тең күштер. Негізгіге параллель түзу бойымен әрекет ететін бір күш қалады

8-сурет векторға және қашықтықтан өту

h= және векторлары арқылы құрылған жазықтықтан. Қарастырылған жағдай, егер біз ең басынан бастап түзу сызықтағы қысқарту центрін таңдайтынымызды көрсетеді L,сонда күштер жүйесі бірден нәтижелік күшке келтірер еді, негізгі момент нөлге тең болады. Енді негізгі вектор нөл емес және негізгі моментке перпендикуляр болмаса, онда мұндай нүктені азайту центрі ретінде таңдауға болатынын дәлелдейміз. ТУРАЛЫ* осы нүктеге қатысты бас момент пен бас вектор бір түзуде орналасады. Мұны дәлелдеу үшін моментті екі құрамдас бөлікке бөлейік - бірі негізгі вектор бойымен бағытталған, ал екіншісі негізгі векторға перпендикуляр. Осылайша, күштер жұбы моменттері бар екі жұпқа ыдырайды: және , және бірінші жұптың жазықтығы -ға перпендикуляр болса, онда векторға перпендикуляр болатын екінші жұптың жазықтығы (9-сурет) векторды қамтиды. Момент пен күш бар жұптың қосындысы О* нүктесі арқылы өтетін бір күшке дейін қысқартуға болатын күштер жүйесін құрайды (8-сурет). Сонымен (9-сурет), нүктедегі бас вектор мен бас моменттің қосындысы ТУРАЛЫнүкте арқылы өтетін күшке дейін азайтылады ТУРАЛЫ*, және осы сызыққа параллель моменті бар жұп, бұл дәлелдеуді қажет етті. Жазықтығы күштің әсер ету сызығына перпендикуляр болатын күш пен жұптың қосындысы динамизм деп аталады (10-сурет). Күштер жұбын 10-суретте көрсетілгендей орналасқан екі тең күшпен ( , , ) көрсетуге болады. Бірақ екі күшті қосу және , біз олардың қосындысын және қалған күшті аламыз, одан шығатыны (10-сурет) негізгі вектор мен нүктедегі негізгі моменттің қосындысы ТУРАЛЫ, екі қиылыспайтын күшке дейін азайтуға болады және .

Күштер жүйесін азайтудың кейбір жағдайларын қарастырайық.

1. Күштердің жазық жүйесі. Анық болу үшін барлық күштер жазықтықта болсын ОКСИ. Содан кейін ең жалпы жағдайда

Бас вектор нөлге тең емес, бас момент нөлге тең емес, олардың нүктелік өнімнөлге тең, шын мәнінде

сондықтан бас вектор негізгі моментке перпендикуляр: күштердің жазық жүйесі нәтижеге келтіріледі.

2. Параллель күштер жүйесі. Анық болу үшін барлық күштер оське параллель болсын OZ. Содан кейін ең жалпы жағдайда

Мұнда да бас вектор нөлге тең емес, бас момент нөлге тең емес, ал олардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең, шын мәнінде

сондықтан бұл жағдайда бас вектор негізгі моментке перпендикуляр: параллель күштер жүйесі нәтижеге келтіріледі. Жеке жағдайда, егер нөлге тең болса, онда күштердің негізгі векторы нөлге тең болады, ал күштер жүйесі момент векторы жазықтықта болатын күштер жұбына келтіріледі. ОКСИ. Енді қарастырылған істерді жүйелеп көрейік. Еске салайық: күштердің еркін кеңістіктік жүйесі қатты дене, дененің ерікті нүктесінде (төмендеу центрінде) қолданылатын негізгі векторға тең күшке және күштер жүйесінің көрсетілген центріне қатысты моменті бар күштер жұбына статикалық эквивалент болып табылады. азайту.

Алдыңғы теореманың кейбір ерекше жағдайларын қарастырайық.

1. Егер берілген жүйе үшін R = 0, M 0 = 0 күштері болса, онда ол тепе-теңдікте болады.

2. Егер берілген күштер жүйесі үшін R = 0, M 0  0 болса, онда ол M 0 = m 0 (F i) моменті бар бір жұпқа дейін азаяды. Бұл жағдайда М 0 мәні О орталығын таңдауға байланысты емес.

3. Егер берілген жүйе үшін R  0 күштері болса, онда ол бір нәтижеге дейін азаяды, ал егер R  0 және M 0 = 0 болса, онда жүйе бір күшпен ауыстырылады, яғни. О центрі арқылы өтетін нәтиже R; егер R  0 және M 0  0 болса, онда жүйе белгілі бір С нүктесі арқылы өтетін бір күшпен ауыстырылады және OC = d(OCR) және d = |M 0 |/R.

Осылайша, күштердің жазық жүйесі, егер ол тепе-теңдікте болмаса, не бір нәтижеге (R  0 болғанда) немесе бір жұпқа (R = 0 болғанда) азаяды.

2-мысал. Дискіге қолданылатын күштер:

(3.16-сурет) бұл күштер жүйесін қарапайым түрге келтіріңіз.

Шешуі: Окси координаталар жүйесін таңдаңыз. Басты R векторы ретінде О нүктесін таңдаймыз.

R x = F ix = -F 1 cos30 0 – F 2 cos30 0 +F 4 cos45 0 = 0; Күріш. 3.16

R y = F iy = -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 – F 3 + F 4 cos45 0 = 0. Сондықтан R = 0.

M 0 жүйесінің негізгі моменті:

M 0: = m 0 (F i) = F 3 *a – F 4 *a*sin45 0 = 0, мұндағы a – дискінің радиусы.

Жауабы: R = 0; M 0 = 0; дене тепе-теңдікте.

Суретте көрсетілген F 1, F 2, F 3 күштер жүйесін қарапайым түрге келтіріңіз (3.17-сурет). F 1 және F 2 күштері қарама-қарсы жақтарға, ал F 3 күші AD қабырғасы а-ға тең ABCD тіктөртбұрышының диагоналы бойымен бағытталған. |F 1 | = |F 2 | = |F 3 |/2 = F.

Шешуі: координат осьтерін суретте көрсетілгендей бағыттаңыз. Барлық күштердің координаталық осьтерге проекцияларын анықтайық:

Негізгі R векторының шамасы мынаған тең:
;
.

Бағыт косинустары болады:
;
.

Осыдан: (x,R) = 150 0 ; (y, R) = 60 0 .

ТУРАЛЫ азайту центріне қатысты күштер жүйесінің негізгі моментін анықтайық A. Содан кейін

m A = m A (F 1) + m A (F 2) + m A (F 3).

m A (F 1) = m A (F 3) = 0 екенін ескерсек, күштердің бағыты А нүктесі арқылы өтетіндіктен, онда

m A = m A (F 2) = F*a.

Осылайша, күштер жүйесі R күшіне және сағат тіліне қарсы бағытталған m A моменті бар күштер жұбына келтіріледі (3.18-сурет).

Жауабы: R = 2F; (x,^R) = 150 0 ; (y,^ R) = 60 0 ; m A = F*a.

Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар

Орталыққа қатысты күш моменті неге тең?

Жұп күш дегеніміз не?

Күштердің ерікті жазық жүйесін берілген центрге келтіру?

Параллель күштерді қосу?

Әдебиет: , , .

Дәріс 4. Күштердің еркін жазық жүйесі үшін тепе-теңдік шарттары

Тепе-теңдік шарттарының негізгі формасы.Күштердің еркін жазық жүйесінің тепе-теңдігі үшін екі координаталық осьтің әрқайсысына барлық күштердің проекцияларының қосындысы және олардың әсер ету жазықтығында жатқан кез келген центрге қатысты моменттерінің қосындысы қажет және жеткілікті. күштер нөлге тең:

F ix = 0; F iy = 0; m 0 (F i) = 0.

Тепе-теңдік шарттарының екінші формасы:Күштердің ерікті жазық жүйесінің тепе-теңдігі үшін барлық осы күштердің кез келген екі A және B центрлеріне қатысты моменттерінің қосындысы және олардың Ox осіне проекцияларының қосындысы АВ түзуіне перпендикуляр емес болуы қажет және жеткілікті. нөлге тең:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; F ix = 0.

Тепе-теңдік шарттарының үшінші түрі (үш моменттік теңдеу):Күштердің еркін жазық жүйесінің тепе-теңдігі үшін бір түзу бойында жатпайтын кез келген үш A, B, C центрлеріне қатысты барлық осы күштердің қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; m С (F i) = 0.

П мысал 1. Біркелкі бөлінген жүктің, бір шоғырланған күштің және екі жұп күштің әсерінен консольдық арқалықтың кірістіру реакцияларын анықтаңыз (4.1-сурет); жүктеме қарқындылығыq = 3*10 4 Н/м; F = 4*10 4 H; m 1 = 2*10 4 H*m; м 2 = 3*10 4 H*m. BN = 3м; NC = 3м; CA = 4м.

Р шешім:

Байланыстардан босату принципі бойынша байланыстарды сәйкес реакциялармен алмастырамыз. Қабырғаға қатты қондыру орын алған кезде белгісіз бағыттағы R A реакция күші және m A белгісіз моменті пайда болады (4.2-сурет). Бөлінген жүктемені К нүктесінде қолданылатын эквивалентті шоғырланған Q күшпен ауыстырайық (ВК = 1,5 м). VCU координаталар жүйесін таңдайық және негізгі түрдегі сәуленің тепе-теңдік шарттарын құрайық:

күштердің X осіне проекциялары: - Fcos45 0 – R Ax = 0 (1)

күштердің Y осіне проекциялары: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

моменттердің қосындысы: m A (F) = m 1 – m 2 + m A + Q*KA + F”*CA = 0 (3)

С нүктесіндегі F күшін өзара перпендикуляр F” және F’ екі құрамдас бөліктерге бөлеміз; F’ күші А нүктесіне қатысты момент жасамайды, өйткені күштің әсер ету сызығы А нүктесі арқылы өтеді. Күш модулі F” = Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2.

Сандық мәндерді (1), (2) және (3) теңдеулеріне қойып, мынаны аламыз:

Берілген үш теңдеулер жүйесінде үш белгісіз бар, сондықтан жүйенің шешімі бар және тек бірегей.

4*10 4 *0,7 = R осі R осі = 2,8*10 4 H

3*10 4 *3 – 4*10 4 *0,7 + R Ай = 0 R Ай = 11,8*10 4 H

м A – 10 4 + 3*10 4 *3*8,5 + 4*10 4 *2,8 = 0 м A = - 86,8*10 4 H*m

Жауабы: R Ax = 2,8*10 4 H; R Ay = 11,8*10 4 H; m A = - 86,8*10 4 H*m.

Мысал 2. Композиттік арқалықтың A, B, C тіректерінің және D топсасының реакцияларын анықтаңыз (4.3-сурет).

q = 1,75*10 4 Н/м; F = 6*10 4 H;

Шешуі: Байланыстардан босату принципіне сүйене отырып, байланыстарды сәйкес реакциялармен ауыстырамыз.

Бөлінген жүктемені M нүктесінде қолданылатын Q = q*KA эквивалентті шоғырланған күшпен ауыстырамыз (AM = 2м). Белгісіз реакция күштерінің саны: R Ax, R Ay, R B, R C және D топсасындағы екі жұп реакциялық күш компоненттері.

Р D топсасындағы реакцияларды бөлек қарастырайық. Ол үшін AD және DE сәулелерін бөлек қарастыру керек (4.5а, 4.5б-сурет).

D топсасындағы Ньютонның үшінші заңы бойынша KD арқалығына R Dx және R Dy күштер жүйесі, ал DE сәулесіне қарама-қарсы күштер жүйесі әсер етеді: R' Dx және R' Dy және шамалары. күштер жұпта тең, яғни. R Dx = R Dx және R Dy = R Dy. Бұл ішкі күштерқұрама сәуле, сондықтан белгісіз реакция күштерінің саны алтыға тең. Оларды анықтау үшін тепе-теңдік күйлерінің алты тәуелсіз теңдеуін құру қажет. Күй теңдеулерін құрудың келесі нұсқалары мүмкін.

Бүкіл құрылым үшін (3 теңдеу) және осы құрылымның жеке элементі үшін тепе-теңдік шарттарын құрастырамыз: арқалық KD немесе сәуле DE.

Бүкіл құрылым үшін тепе-теңдік теңдеулерін құрастыру кезінде ішкі күштер ескерілмейді, өйткені қосындыда олар бір-бірін жояды.

Бүкіл құрылым үшін тепе-теңдік шартының теңдеулері:

R Ax – Fcos60 0 = 0

Q - R Ay – Fsin60 0 + R B + R C – P = 0

m A (F) = Q*m A – Fsin60 0 *AN + R B *AB + R C *AC – P*AE = 0

DE элементінің тепе-теңдік шартының теңдеулері:

R’ Dy , + R C – P*DE = 0

M D (F) = R C *DC – P*DE = 0

Осылайша, алты белгісізі бар алты тәуелсіз теңдеу құрастырылады, сондықтан теңдеулер жүйесінің шешімі бар және тек бірегей. Теңдеулер жүйесін шешу арқылы белгісіз реакция күштерін анықтаймыз. Күштердің ерікті жүйесін берілген орталыққа келтіру туралы статиканың негізгі теоремасы:

Кез келген жазық күштер жүйесі қандай да бір нүктеде (қысқару центрінде) қолданылатын жүйенің негізгі векторына тең бір күшке және моменті жүйенің салыстырмалы күштерінің негізгі моментіне тең күштер жұбына тең. азайту орталығына. ТУРАЛЫТеореманы дәлелдеу келесі реттілікпен жүзеге асырылады: белгілі бір нүктені таңдаңыз (мысалы, нүкте ТУРАЛЫ, мұндағы және моменттері қосылатын күш жұптарының жүйесі. Содан кейін жинақталатын күштер жүйесі жүйенің негізгі векторына тең нәтижемен ауыстырылады, ал күштер жұптары жүйесі центрге қатысты жүйенің негізгі моментіне тең моменті бар бір жұп күшпен ауыстырылады. азайту . Нәтижесінде біз мынаны аламыз ~. Демек, теорема дәлелденген.

Күштердің кеңістіктік жүйесін қарапайым түрге келтіру жағдайлары:

1, а – жүйе моменті жүйенің негізгі моментіне тең күштердің бір жұбына келтіріледі, ал жүйенің бас моментінің мәні азайту центрін таңдауға байланысты емес.

2, a – күштер жүйесі жүйенің негізгі векторына тең нәтижеге келтіріледі, оның әсер ету сызығы қалпына келтірудің О центрі арқылы өтеді.

3, және – мұндай күштер жүйесі жүйенің негізгі векторына тең бір нәтижеге келтіріледі, оның әсер ету сызығы алдыңғы қысқарту орталығынан қашықтыққа ығысқан.

4 Егер бас вектор мен бас момент болса, онда күштер жүйесі теңдестіріледі, яғни. ~0.

2.1.5 Күштердің жазық жүйесінің тепе-теңдік шарттары

Кез келген жазық күштер жүйесінің тепе-теңдігінің қажетті және жеткілікті шарттары мына теңдеулер арқылы анықталады:

Жазық күштер жүйесінің бас векторының шамасы тәуелділіктермен анықталады: , ал негізгі момент - тәуелділікпен .

Негізгі вектор бір мезгілде болғанда ғана нөлге тең болады. Демек, келесі аналитикалық теңдеулер орындалғанда тепе-теңдік шарттары орындалады:

Бұл теңдеулер негізгі ( бірінші ) күштердің ерікті жазық жүйесінің тепе-теңдігінің аналитикалық шарттарының нысаны, олар келесідей тұжырымдалады: Күштердің ерікті жазық жүйесінің тепе-теңдігі үшін екі координат осінің әрқайсысына барлық күштердің проекцияларының қосындысы және осы күштердің моменттерінің алгебралық қосындысы жазықтықтағы кез келген нүктеге қатысты болуы қажет және жеткілікті. күштердің әрекеті нөлге тең.

Жалпы жағдайда күштердің ерікті жазық жүйесі үшін тепе-теңдік теңдеулерінің саны үш екенін ескеріңіз. Оларды әртүрлі формада ұсынуға болады.

Күштердің еркін жазық жүйесі үшін тепе-теңдік теңдеулерінің тағы екі түрі бар, олардың орындалуы тепе-теңдік шарттарын өрнектейді ().

Екіншіаналитикалық тепе-теңдік шарттарының нысаны мыналарды қамтамасыз етеді: күштердің ерікті жазық жүйесінің тепе-теңдігі үшін екі нүктеге қатысты барлық күштердің моменттерінің қосындысы және осы күштердің оське проекцияларының қосындысы осы нүктелер арқылы жүргізілген түзуге перпендикуляр емес болуы қажет және жеткілікті ұпайлар нөлге тең:

(жол ABосіне перпендикуляр емес О)

тұжырымдап көрейік үшінші қарастырылатын күштер жүйесінің тепе-теңдігінің аналитикалық шарттарының нысаны: ерікті жазық күштер жүйесінің тепе-теңдігі үшін бір түзу бойында жатпайтын кез келген үш нүктеге қатысты жүйе күштерінің моменттерінің қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

Параллель күштердің жазық жүйесі жағдайында осьті бағыттауға болады Ожүйенің күштеріне параллель. Содан кейін жүйе күштерінің әрқайсысының оське проекциялары Онөлге тең болады. Нәтижесінде параллель күштердің жазық жүйесі үшін тепе-теңдік шартының екі формасы қалады.

Параллель күштердің жазық жүйесінің тепе-теңдігі үшін барлық күштердің оларға параллель оське проекцияларының қосындысы және кез келген нүктеге қатысты барлық күштердің моменттерінің қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

Параллель күштердің жазық жүйесі үшін аналитикалық тепе-теңдік шарттарының бұл бірінші түрі () теңдеулерінен шығады.

() теңдеулерінен параллель күштердің жазық жүйесінің тепе-теңдік шарттарының екінші түрін аламыз.

Параллель күштердің жазық жүйесінің тепе-теңдігі үшін жүйенің барлық күштерінің күштерге параллель түзу бойында жатпайтын екі нүктеге қатысты моменттерінің қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті: