Интегралдардың негізгі қасиеттерін тұжырымдаңыз. Интегралдардың ең қарапайым қасиеттері

Интегралды шешу оңай тапсырма, бірақ тек таңдаулылар үшін ғана. Бұл мақала интегралды түсінуді үйренгісі келетін, бірақ олар туралы ештеңе білмейтін немесе ештеңе білмейтіндерге арналған. Интегралдық... Ол не үшін қажет? Оны қалай есептеу керек? Анықталған және анықталмаған интегралдар дегеніміз не?

Егер сіз интеграл үшін білетін жалғыз пайдалану - жету қиын жерлерден пайдалы нәрсе алу үшін интегралды белгіше тәрізді ілмекпен тоқылған ілгекті пайдалану болса, қош келдіңіз! Ең қарапайым және басқа интегралдарды қалай шешуге болатынын және неге онсыз математикада жасай алмайтыныңызды біліңіз.

Біз тұжырымдаманы зерттейміз « интегралдық »

Интеграция бұрыннан белгілі болды Ежелгі Египет. Әрине жоқ заманауи формасы, бірақ бәрібір. Содан бері математиктер бұл тақырыпта көптеген кітаптар жазды. Әсіресе, ерекшеленді Ньютон Және Лейбниц , бірақ заттардың мәні өзгерген жоқ.

Интегралды нөлден қалай түсінуге болады? Мүмкін емес! Бұл тақырыпты түсіну үшін сізге әлі де негіздердің негізгі түсінігі қажет. математикалық талдау. Біздің блогымызда интегралды түсінуге қажетті шектеулер мен туындылар туралы ақпарат бар.

Анықталмаған интеграл

Бір функцияны алайық f(x) .

Анықталмаған интегралдық функция f(x) бұл функция деп аталады F(x) , оның туындысы функцияға тең f(x) .

Басқаша айтқанда, интеграл кері туынды немесе қарсы туынды болып табылады. Айтпақшы, туынды құралдарды қалай есептеу керектігі туралы біздің мақаланы оқыңыз.

Антитуынды барлық үздіксіз функциялар үшін бар. Сондай-ақ антитуындыға тұрақты белгі жиі қосылады, өйткені тұрақты шамамен ерекшеленетін функциялардың туындылары сәйкес келеді. Интегралды табу процесі интегралдау деп аталады.

Қарапайым мысал:

Антидеривативтерді үнемі есептемеу үшін элементар функциялар, оларды кестеде жинақтап, дайын мәндерді пайдалану ыңғайлы.

Оқушыларға арналған интегралдардың толық кестесі

Анықталған интеграл

Интеграл түсінігімен айналысқанда біз шексіз аз шамалармен айналысамыз. Интеграл фигураның ауданын, біртекті емес дененің массасын, жүріп өткен жолды есептеуге көмектеседі. біркелкі емес қозғалысжол және т.б. Интеграл дегеніміз шексіз көп шексіз аз мүшелердің қосындысы екенін есте ұстаған жөн.

Мысал ретінде қандай да бір функцияның графигін елестетіңіз.

Функция графигімен шектелген фигураның ауданын қалай табуға болады? Интегралды пайдалану! Координаталық осьтермен және функцияның графигімен шектелген қисық сызықты трапецияны шексіз аз кесінділерге бөлейік. Осылайша фигура жұқа бағандарға бөлінеді. Бағандардың аудандарының қосындысы трапецияның ауданы болады. Бірақ мұндай есептеу шамамен нәтиже беретінін есте сақтаңыз. Дегенмен, сегменттер неғұрлым кішірек және тар болса, соғұрлым есептеу дәлірек болады. Егер біз оларды ұзындығы нөлге бейім болатындай дәрежеде азайтсақ, онда сегменттер аудандарының қосындысы фигураның ауданына бейім болады. Бұл белгілі бір интеграл, ол былай жазылады:

a және b нүктелері интегралдау шегі деп аталады.

« Интегралдық »

Айтпақшы! Біздің оқырмандар үшін қазір 10% жеңілдік бар кез келген жұмыс түрі

Манекендер үшін интегралды есептеу ережелері

Анықталмаған интегралдың қасиеттері

Анықталмаған интеграл қалай шешіледі? Мұнда біз қасиеттерді қарастырамыз анықталмаған интеграл, бұл мысалдарды шешу кезінде пайдалы болады.

• Интегралдың туындысы интегралға тең:

• Тұрақтыны интегралдық таңбаның астынан шығаруға болады:

• Қосындының интегралы сомасына теңинтегралдар. Бұл айырмашылыққа да қатысты:

Анықталған интегралдың қасиеттері

• Сызықтық:

• Интегралдың таңбасы өзгереді, егер интегралдау шегі ауыстырылса:

• Сағат кез келгенұпай а, бЖәне бірге:

Анықталған интеграл қосындының шегі екенін біз бұрыннан анықтадық. Бірақ мысалды шешу кезінде нақты мәнді қалай алуға болады? Бұл үшін Ньютон-Лейбниц формуласы бар:

Интегралды шешу мысалдары

Төменде анықталмаған интегралды және шешімдері бар мысалдарды қарастырамыз. Біз сізге шешімнің қыр-сырын өзіңіз анықтауды ұсынамыз, егер бірдеңе түсініксіз болса, түсініктемелерде сұрақтар қойыңыз.

Материалды бекіту үшін интегралдар тәжірибеде қалай шешілетіні туралы бейнероликті қараңыз. Егер интеграл бірден берілмесе, үмітіңізді үзбеңіз. Кәсіби студенттік қызметпен және кез келген үштік немесе сызық интегралыжабық бетінде сіз мұны істей аласыз.

Интегралды шешу оңай тапсырма, бірақ тек таңдаулылар үшін ғана. Бұл мақала интегралды түсінуді үйренгісі келетін, бірақ олар туралы ештеңе білмейтін немесе ештеңе білмейтіндерге арналған. Интегралдық... Ол не үшін қажет? Оны қалай есептеу керек? Анықталған және анықталмаған интегралдар дегеніміз не?

Егер сіз интеграл үшін білетін жалғыз пайдалану - жету қиын жерлерден пайдалы нәрсе алу үшін интегралды белгіше тәрізді ілмекпен тоқылған ілгекті пайдалану болса, қош келдіңіз! Ең қарапайым және басқа интегралдарды қалай шешуге болатынын және неге онсыз математикада жасай алмайтыныңызды біліңіз.

Біз тұжырымдаманы зерттейміз « интегралдық »

Интеграция Ежелгі Египетте белгілі болды. Әрине, оның заманауи түрінде емес, бірақ бәрібір. Содан бері математиктер бұл тақырыпта көптеген кітаптар жазды. Әсіресе, ерекшеленді Ньютон Және Лейбниц , бірақ заттардың мәні өзгерген жоқ.

Интегралды нөлден қалай түсінуге болады? Мүмкін емес! Бұл тақырыпты түсіну үшін сізге әлі де математикалық талдау негіздері туралы негізгі білім қажет. Біздің блогта интегралды түсіну үшін қажетті ақпарат бар.

Анықталмаған интеграл

Бір функцияны алайық f(x) .

Анықталмаған интегралдық функция f(x) бұл функция деп аталады F(x) , оның туындысы функцияға тең f(x) .

Басқаша айтқанда, интеграл кері туынды немесе қарсы туынды болып табылады. Айтпақшы, бұл туралы біздің мақалада оқыңыз.

Антитуынды барлық үздіксіз функциялар үшін бар. Сондай-ақ антитуындыға тұрақты белгі жиі қосылады, өйткені тұрақты шамамен ерекшеленетін функциялардың туындылары сәйкес келеді. Интегралды табу процесі интегралдау деп аталады.

Қарапайым мысал:

Элементар функциялардың антитуындыларын үнемі есептемеу үшін оларды кестеге қойып, дайын мәндерді қолданған ыңғайлы.

Оқушыларға арналған интегралдардың толық кестесі

Анықталған интеграл

Интеграл түсінігімен айналысқанда біз шексіз аз шамалармен айналысамыз. Интеграл фигураның ауданын, біркелкі емес дененің массасын, біркелкі емес қозғалыс кезінде жүріп өткен қашықтықты және т.б. есептеуге көмектеседі. Интеграл дегеніміз шексіз көп шексіз аз мүшелердің қосындысы екенін есте ұстаған жөн.

Мысал ретінде қандай да бір функцияның графигін елестетіңіз.

Функция графигімен шектелген фигураның ауданын қалай табуға болады? Интегралды пайдалану! Координаталық осьтермен және функцияның графигімен шектелген қисық сызықты трапецияны шексіз аз кесінділерге бөлейік. Осылайша фигура жұқа бағандарға бөлінеді. Бағандардың аудандарының қосындысы трапецияның ауданы болады. Бірақ мұндай есептеу шамамен нәтиже беретінін есте сақтаңыз. Дегенмен, сегменттер неғұрлым кішірек және тар болса, соғұрлым есептеу дәлірек болады. Егер біз оларды ұзындығы нөлге бейім болатындай дәрежеде азайтсақ, онда сегменттер аудандарының қосындысы фигураның ауданына бейім болады. Бұл белгілі бір интеграл, ол былай жазылады:

a және b нүктелері интегралдау шегі деп аталады.

« Интегралдық »

Айтпақшы! Біздің оқырмандар үшін қазір 10% жеңілдік бар

Манекендер үшін интегралды есептеу ережелері

Анықталмаған интегралдың қасиеттері

Анықталмаған интеграл қалай шешіледі? Мұнда мысалдарды шешуде пайдалы болатын анықталмаған интегралдың қасиеттерін қарастырамыз.

• Интегралдың туындысы интегралға тең:

• Тұрақтыны интегралдық таңбаның астынан шығаруға болады:

• Қосындының интегралы интегралдардың қосындысына тең. Бұл айырмашылыққа да қатысты:

Анықталған интегралдың қасиеттері

• Сызықтық:

• Интегралдың таңбасы өзгереді, егер интегралдау шегі ауыстырылса:

• Сағат кез келгенұпай а, бЖәне бірге:

Анықталған интеграл қосындының шегі екенін біз бұрыннан анықтадық. Бірақ мысалды шешу кезінде нақты мәнді қалай алуға болады? Бұл үшін Ньютон-Лейбниц формуласы бар:

Интегралды шешу мысалдары

Төменде анықталмаған интегралды және шешімдері бар мысалдарды қарастырамыз. Біз сізге шешімнің қыр-сырын өзіңіз анықтауды ұсынамыз, егер бірдеңе түсініксіз болса, түсініктемелерде сұрақтар қойыңыз.

Материалды бекіту үшін интегралдар тәжірибеде қалай шешілетіні туралы бейнероликті қараңыз. Егер интеграл бірден берілмесе, үмітіңізді үзбеңіз. Студенттерге арналған кәсіби қызметке хабарласыңыз және жабық беттегі кез келген үштік немесе қисық интеграл сіздің күшіңізде болады.

Бұл мақалада біз анықталған интегралдың негізгі қасиеттерін тізімдейміз. Бұл қасиеттердің көпшілігі Риман және Дарбу анықталған интегралы ұғымдары негізінде дәлелденген.

Анықталған интегралды есептеу өте жиі алғашқы бес қасиет арқылы жасалады, сондықтан қажет болған жағдайда оларға сілтеме жасаймыз. Анықталған интегралдың қалған қасиеттері негізінен әртүрлі өрнектерді бағалау үшін қолданылады.

Жалғастырмас бұрын анықталған интегралдың негізгі қасиеттері, а-дан b аспайтынымен келісіп алайық.

x = a нүктесінде анықталған y = f(x) функциясы үшін теңдік ақиқат болады.

Яғни, интегралдау шектері бірдей анықталған интегралдың мәні нөлге тең. Бұл қасиет Риман интегралының анықтамасының салдары болып табылады, өйткені бұл жағдайда интервалдың кез келген бөлімі және нүктелердің кез келген таңдауы үшін әрбір интегралдық қосынды нөлге тең, сондықтан интегралдық қосындылардың шегі нөлге тең.

Интервалда интегралданатын функция үшін, .

Басқаша айтқанда, интеграцияның жоғарғы және төменгі шекаралары орнын ауыстырғанда, анықталған интегралдың мәні керісінше өзгереді. Анықталған интегралдың бұл қасиеті Риман интегралы ұғымынан да туындайды, тек кесіндінің бөлімін нөмірлеу х = b нүктесінен басталуы керек.

y = f(x) және y = g(x) интервалында интегралданатын функциялар үшін .

Дәлелдеу.

Функцияның интегралдық қосындысын жазып алайық кесіндінің берілген бөлімі және нүктелердің берілген таңдауы үшін:

Мұндағы және - сәйкесінше кесіндінің берілген бөлімі үшін y = f(x) және y = g(x) функцияларының интегралдық қосындылары.

Шектеуге бару Риман интегралының анықтамасы бойынша дәлелденетін қасиет тұжырымына эквивалент болатынын аламыз.

Тұрақты көбейткішті анықталған интегралдың таңбасынан шығаруға болады. Яғни интервалда интегралданатын y = f(x) функциясы және ерікті k саны үшін келесі теңдік орындалады: .

Анықталған интегралдың бұл қасиетінің дәлелі алдыңғыға абсолютті ұқсас:


y = f(x) функциясы Х интервалында интегралданатын болсын, және содан соң .

Бұл қасиет екеуіне де, немесе үшін де дұрыс.

Дәлелдеуді анықталған интегралдың алдыңғы қасиеттеріне сүйене отырып жүзеге асыруға болады.

Егер функция интервалда интегралданатын болса, онда ол кез келген ішкі интервалда интегралданады.

Дәлелдеу Darboux сомаларының қасиетіне негізделген: егер сегменттің бұрыннан бар бөлігіне жаңа нүктелер қосылса, онда төменгі Darboux сомасы азаймайды, ал жоғарғысы өспейді.

Егер у = f(x) функциясы интервалда және аргументтің кез келген мәні үшін интегралданатын болса, онда .

Бұл қасиет Риман интегралының анықтамасы арқылы дәлелденеді: кесіндінің бөліну нүктелерінің кез келген таңдауы үшін кез келген интегралдық қосынды және нүктелер теріс емес (оң емес) болады.

Салдары.

Интервалда интегралданатын y = f(x) және y = g(x) функциялары үшін келесі теңсіздіктер орындалады:


Бұл мәлімдеме теңсіздіктерді біріктіруге рұқсат етілгенін білдіреді. Бұл қорытындыны келесі қасиеттерді дәлелдеу үшін қолданамыз.

y = f(x) функциясы аралықта интегралданатын болсын, онда теңсіздік орындалады .

Дәлелдеу.

Бұл анық . Алдыңғы қасиетте біз теңсіздікті мүшелер бойынша интегралдауға болатынын анықтадық, сондықтан бұл дұрыс . Бұл қос теңсіздікті былай жазуға болады .

y = f(x) және y = g(x) функциялары интервалда және аргументтің кез келген мәні үшін интегралданатын болсын, онда , Қайда Және .

Дәлелдеу дәл осылай жүзеге асырылады. Өйткені m және M ең кіші және ең жоғары мән y = f(x) функциясы , онда кесіндісінде . Қос теңсіздікті теріс емес y = g(x) функциясына көбейту бізді келесі қос теңсіздікке әкеледі. Оны интервал бойынша интегралдасақ, дәлелденген мәлімдемеге келеміз.

Салдары.

Егер g(x) = 1 алсақ, онда теңсіздік пішінді қабылдайды .

Бірінші орташа формула.

y = f(x) функциясы интервалда интегралданатын болсын, Және , онда мұндай сан бар.

Салдары.

Егер у = f(x) функциясы интервалда үзіліссіз болса, онда ондай сан бар .

Жалпылама түрдегі бірінші орташа мән формуласы.

y = f(x) және y = g(x) функциялары интервалда интегралданатын болсын, Және , және аргументтің кез келген мәні үшін g(x) > 0. Сонда мұндай сан бар .

Екінші орташа формула.

Егер интервалда y = f(x) функциясы интегралданатын болса, ал y = g(x) монотонды болса, онда теңдік болатындай сан бар. .

Функция болсын ж = f(x) [ интервалында анықталады а, б ], а < б. Келесі операцияларды орындайық:

1) бөлейік [ а, б] нүктелер а = x 0 < x 1 < ... < x мен- 1 < x мен < ... < x n = б қосулы nішінара сегменттер [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x мен- 1 , x мен ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) ішінара сегменттердің әрқайсысында [ x мен- 1 , x мен ], мен = 1, 2, ... n, ерікті нүктені таңдап, осы нүктедегі функцияның мәнін есептеңіз: f(z i ) ;

3) шығармаларды табыңыз f(z i ) · Δ x мен , мұндағы жартылай кесіндінің ұзындығы [ x мен- 1 , x мен ], мен = 1, 2, ... n;

4) жарасайық интегралдық қосындыфункциялары ж = f(x) сегментінде [ а, б ]:

Геометриялық тұрғыдан алғанда бұл σ қосындысы табандары жартылай кесінділер болып табылатын тіктөртбұрыштардың аудандарының қосындысы болып табылады [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x мен- 1 , x мен ], ..., [x n- 1 , x n ] және биіктіктері тең f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) сәйкес (Cурет 1). арқылы белгілейік λ ең ұзын жартылай сегменттің ұзындығы:

5) болғанда интегралдық қосындының шегін табыңыз λ → 0.

Анықтама.Егер интегралдық қосындының (1) шекті шегі болса және ол кесіндіні бөлу әдісіне тәуелді болмаса [ а, б] ішінара сегменттерге немесе нүктелерді таңдаудан z iоларда, онда бұл шек деп аталады анықталған интегралфункциясынан ж = f(x) сегментінде [ а, б] және белгіленеді

Осылайша,

Бұл жағдайда функция f(x) деп аталады интегралдықкүні [ а, б]. Сандар аЖәне бтиісінше төменгі және деп аталады жоғарғы шектеринтеграция, f(x) – интегралдық функция, f(x ) dx– интегралды өрнек, x– интеграциялық айнымалы; сегмент [ а, б] интегралдау интервалы деп аталады.

1-теорема.Егер функция ж = f(x) [ интервалында үздіксіз а, б] болса, ол осы интервалда интегралданады.

Интегралдау шектері бірдей анықталған интеграл нөлге тең:

Егер а > б, содан кейін, анықтау бойынша, біз болжаймыз

2. Анықталған интегралдың геометриялық мағынасы

Сегментте болсын [ а, б] үздіксіз теріс емес функция көрсетілген ж = f(x ) . Қисық сызықты трапеция- функцияның графигімен жоғарыда шектелген фигура ж = f(x), төменнен – Ox осі бойымен, солға және оңға – түзу сызықтар x = aЖәне x = b(Cурет 2).

Теріс емес функцияның анықталған интегралы ж = f(x) геометриялық тұрғыдан ауданына тең қисық трапеция, жоғарыда функцияның графигімен шектелген ж = f(x), сол және оң – сызық сегменттері x = aЖәне x = b, төменнен - ​​Ox осінің сегменті.

3. Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері

1. Анықталған интегралдың мәні интегралдау айнымалысының тағайындалуына тәуелді емес:

2. Анықталған интегралдың таңбасынан тұрақты көбейткішті шығаруға болады:

3. Екі функцияның алгебралық қосындысының анықталған интегралы осы функциялардың анықталған интегралдарының алгебралық қосындысына тең:

4.Егер функциясы ж = f(x) интегралданады [ а, б] Және а < б < в, Бұл

5. (орташа мән теоремасы). Егер функция ж = f(x) [ интервалында үздіксіз а, б] болса, онда бұл сегментте осындай нүкте бар

4. Ньютон-Лейбниц формуласы

2-теорема.Егер функция ж = f(x) [ интервалында үздіксіз а, б] Және Ф(x) осы сегменттегі оның антитуындыларының кез келгені болса, келесі формула жарамды:

деп аталады Ньютон-Лейбниц формуласы.Айырмашылық Ф(б) - Ф(а) әдетте келесідей жазылады:

мұндағы таңба қос қойылмалы таңба деп аталады.

Сонымен, (2) формуланы былай жазуға болады:

1-мысал.Интегралды есепте

Шешім. Интеграл үшін f(x ) = x 2 ерікті антитуындының пішіні бар

Ньютон-Лейбниц формуласында кез келген антитуындыны қолдануға болатындықтан, интегралды есептеу үшін ең қарапайым түрі бар қарсы туындыны аламыз:

5. Анықталған интегралдағы айнымалының өзгеруі

Теорема 3.Функция болсын ж = f(x) [ интервалында үздіксіз а, б]. Егер:

1) функция x = φ ( т) және оның туындысы φ "( т) үшін үздіксіз;

2) функция мәндерінің жиыны x = φ ( т) үшін бұл сегмент [ а, б ];

3) φ ( а) = а, φ ( б) = б, онда формула жарамды болады

деп аталады анықталған интегралдағы айнымалыны өзгерту формуласы .

Бұл жағдайда анықталмаған интегралдан айырмашылығы қажет емесбастапқы интеграциялық айнымалыға оралу үшін - α және β интеграциясының жаңа шектерін табу жеткілікті (ол үшін айнымалыны шешу керек ттеңдеулер φ ( т) = ажәне φ ( т) = б).

Ауыстырудың орнына x = φ ( т) ауыстыруды қолдануға болады т = g(x). Бұл жағдайда айнымалы бойынша интеграцияның жаңа шектерін табу тжеңілдетеді: α = g(а) , β = g(б) .

2-мысал. Интегралды есепте

Шешім. Формула арқылы жаңа айнымалы енгізейік. Теңдіктің екі жағын квадраттап, 1+ аламыз x = т 2 , қайда x = т 2 - 1, dx = (т 2 - 1)"дт= 2тдт. Біз интеграцияның жаңа шегін табамыз. Ол үшін формулаға ескі шектеулерді ауыстырайық x = 3 және x = 8. Біз аламыз: , қайдан т= 2 және α = 2; , қайда т= 3 және β = 3. Сонымен,

3-мысал.Есептеу

Шешім. Болсын u= журнал x, Содан кейін, v = x. (4) формула бойынша