S фигуралары сызықтармен шектелген. Берілген түзулермен шектелген фигуралардың аудандарын есептеу

Фигураның ауданын есептеу облыс теориясындағы ең қиын мәселелердің бірі болуы мүмкін. Мектеп геометриясында оларды, мысалы, үшбұрыш, ромб, тіктөртбұрыш, трапеция, шеңбер және т.б. сияқты негізгі геометриялық фигуралардың аудандарын табуға үйретеді. Дегенмен, жиі күрделі фигуралардың аудандарын есептеумен айналысуға тура келеді. Дәл осындай есептерді шешу кезінде интегралдық есептеулерді қолдану өте ыңғайлы.

Анықтама.

Қисық трапеция деп y = f(x), y = 0, x = a және x = b түзулерімен шектелген белгілі G фигурасы, ал f(x) функциясы [a кесіндісінде үзіліссіз; b] және ондағы белгісін өзгертпейді (1-сурет). Қисық трапецияның ауданын S(G) арқылы белгілеуге болады.

f(x) функциясы үшін анықталған интеграл ʃ a b f(x)dx, [a интервалында үзіліссіз және теріс емес; b], және сәйкес қисық трапецияның ауданы.

Яғни, G фигурасының ауданын табу үшін, сызықтармен шектеледі y = f(x), y = 0, x = a және x = b, есептеу керек анықталған интегралʃ a b f(x)dx.

Осылайша, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Егер y = f(x) функциясы [a; b] болса, онда қисық трапецияның ауданын S(G) = -ʃ a b f(x)dx формуласы арқылы табуға болады.

1-мысал.

y = x 3 сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеңіз; y = 1; x = 2.

Шешім.

Берілген сызықтар ABC фигурасын құрайды, ол суретте штрихтау арқылы көрсетілген. 2.

Қажетті аудан DACE қисық трапеция мен DABE квадратының аудандарының айырмасына тең.

S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) формуласын пайдаланып, интегралдау шегін табамыз. Ол үшін екі теңдеу жүйесін шешеміз:

(y = x 3,
(y = 1.

Осылайша, бізде x 1 = 1 – төменгі шегі және x = 2 – жоғарғы шегі.

Сонымен, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (шаршы бірлік).

Жауабы: 11/4 шаршы. бірлік

2-мысал.

y = √x түзулерімен шектелген фигураның ауданын есептеңіз; y = 2; x = 9.

Шешім.

Берілген сызықтар жоғарыда функцияның графигімен шектелген ABC фигурасын құрайды

y = √x, ал төменде y = 2 функциясының графигі берілген. Алынған сурет суретте штрихтау арқылы көрсетілген. 3.

Қажетті аудан S = ʃ a b (√x – 2). Интегралдау шегін табайық: b = 9, а табу үшін екі теңдеу жүйесін шешеміз:

(y = √x,
(y = 2.

Осылайша, бізде x = 4 = a - бұл төменгі шек.

Сонымен, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (шаршы бірлік).

Жауабы: S = 2 2/3 шаршы. бірлік

3-мысал.

y = x 3 – 4x түзулерімен шектелген фигураның ауданын есептеңіз; y = 0; x ≥ 0.

Шешім.

x ≥ 0 үшін y = x 3 – 4x функциясының графигін салайық. Ол үшін у’ туындысын табыңыз:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 кезінде x = ±2/√3 ≈ 1.1 – критикалық нүктелер.

Сан түзуіндегі критикалық нүктелерді сызып, туындының таңбаларын орналастырсақ, функция нөлден 2/√3-ке дейін кеміп, 2/√3-тен плюс шексіздікке дейін өсетінін көреміз. Сонда x = 2/√3 ең кіші нүкте, функциясының ең кіші мәні y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Графиктің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін анықтайық:

егер x = 0 болса, онда у = 0, бұл A(0; 0) Oy осімен қиылысу нүктесі екенін білдіреді;

егер y = 0 болса, онда x 3 – 4x = 0 немесе x(x 2 – 4) = 0, немесе x(x – 2)(x + 2) = 0, мұндағы x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (қолайсыз, себебі x ≥ 0).

A(0; 0) және B(2; 0) нүктелері графтың Ox осімен қиылысу нүктелері болып табылады.

Берілген сызықтар OAB фигурасын құрайды, ол суретте штрихтау арқылы көрсетілген. 4.

y = x 3 – 4x функциясы (0; 2) бойынша теріс мән алатындықтан, онда

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Бізде: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, мұндағы S = 4 кв. бірлік

Жауабы: S = 4 шаршы. бірлік

4-мысал.

y = 2x 2 – 2x + 1 параболасымен, x = 0, y = 0 түзулерімен және абсцисса x 0 = 2 нүктесінде осы параболаға жанамамен шектелген фигураның ауданын табыңыз.

Шешім.

Алдымен абсцисса x₀ = 2 нүктесінде y = 2x 2 – 2x + 1 параболасына жанаманың теңдеуін құрайық.

Туынды y’ = 4x – 2 болғандықтан, x 0 = 2 үшін k = y’(2) = 6 аламыз.

Жанама нүктенің ординатасын табайық: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Демек, тангенс теңдеу мынадай түрге ие болады: y – 5 = 6(x  – 2) немесе y = 6x – 7.

Сызықтармен шектелген фигураны құрастырайық:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – парабола. Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері: A(0; 1) – Oy осімен; Ox осімен - қиылысу нүктелері жоқ, өйткені 2x 2 – 2x + 1 = 0 теңдеуінің шешімі жоқ (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, яғни В парабола нүктесінің төбесінде В(1/2; 1/2) координаталары бар.

Сонымен, ауданын анықтау қажет фигура 2-суретте штрихтау арқылы көрсетілген. 5.

Бізде: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Шарт бойынша D нүктесінің координаталарын табайық:

6x – 7 = 0, яғни. x = 7/6, яғни DC = 2 – 7/6 = 5/6.

DBC үшбұрышының ауданын S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC формуласы арқылы табамыз. Осылайша,

S ADBC ​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 ш. бірлік

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (шаршы бірлік).

Ақырында біз аламыз: S O A B D = S OABC – S ADBC  = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (шаршы бірлік).

Жауабы: S = 1 1/4 шаршы. бірлік

Берілген түзулермен шектелген фигуралардың аудандарын табу мысалдарын қарастырдық. Мұндай есептерді сәтті шешу үшін жазықтықта функциялардың түзулері мен графиктерін сызу, түзулердің қиылысу нүктелерін табу, белгілі бір интегралдарды есептеу мүмкіндігін білдіретін ауданды табу формуласын қолдана білу керек.

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.

2020 жылдың шілдесінде NASA Марсқа экспедициясын бастайды. Ғарыш кемесі Марсқа экспедицияға тіркелген барлық қатысушылардың аты-жөні жазылған электронды тасымалдағышты жеткізеді.

Егер бұл жазба сіздің мәселеңізді шешсе немесе сізге ұнаса, оның сілтемесін әлеуметтік желілердегі достарыңызбен бөлісіңіз.

Осы код опцияларының бірін көшіріп, веб-бетіңіздің кодына қою керек, жақсырақ тегтер арасында немесе тегтен кейін бірден. Бірінші нұсқаға сәйкес, MathJax жылдамырақ жүктеледі және бетті аз баяулатады. Бірақ екінші опция MathJax соңғы нұсқаларын автоматты түрде бақылайды және жүктейді. Бірінші кодты енгізсеңіз, оны мерзімді түрде жаңарту қажет болады. Екінші кодты енгізсеңіз, беттер баяу жүктеледі, бірақ MathJax жаңартуларын үнемі бақылаудың қажеті болмайды.

MathJax-ті қосудың ең оңай жолы - Blogger немесе WordPress: сайттың басқару тақтасында үшінші тарап JavaScript кодын енгізуге арналған виджетті қосыңыз, оған жоғарыда ұсынылған жүктеу кодының бірінші немесе екінші нұсқасын көшіріп, виджетті жақынырақ орналастырыңыз. үлгінің басына дейін (айтпақшы, бұл қажет емес, өйткені MathJax сценарийі асинхронды түрде жүктеледі). Міне бітті. Енді MathML, LaTeX және ASCIIMathML белгілеу синтаксисін үйреніңіз және сіз ендіруге дайынсыз. математикалық формулаларсайтыңыздың веб-беттеріне.

Тағы бір Жаңа жыл кеші... аязды ауа-райы мен терезе әйнегіндегі қар түйіршіктері... Мұның бәрі мені... фракталдар туралы және Вольфрам Альфаның бұл туралы не білетіні туралы тағы да жазуға итермеледі. Осы орайда бар қызықты мақала, онда екі өлшемді фракталдық құрылымдардың мысалдары бар. Мұнда біз толығырақ қарастырамыз күрделі мысалдарүш өлшемді фракталдар.

Фракталды визуалды түрде геометриялық фигура немесе дене (екеуі де жиын, бұл жағдайда нүктелер жиыны дегенді білдіреді), бөлшектері бастапқы фигураның өзі сияқты пішінге ие болатындай бейнелеуге (сипаттауға) болады. Яғни, бұл өзіне-өзі ұқсас құрылым, оның егжей-тегжейлерін зерттей отырып, үлкейткенде біз үлкейтусіз бірдей пішінді көреміз. Ал кәдімгі геометриялық фигура (фракталдық емес) болса, үлкейту кезінде біз бастапқы фигураның өзінен гөрі қарапайым пішіні бар бөлшектерді көреміз. Мысалы, жеткілікті жоғары үлкейту кезінде эллипстің бір бөлігі түзу сызықты кесіндіге ұқсайды. Бұл фракталдармен болмайды: олардың кез келген ұлғаюымен біз қайтадан сол күрделі пішінді көреміз, ол әрбір ұлғайған сайын қайта-қайта қайталанады.

Фракталдар туралы ғылымның негізін салушы Бенуа Мандельброт өзінің «Фракталдар және ғылым атымен өнер» атты мақаласында: «Фракталдар геометриялық фигуралар, олардың жалпы формасы сияқты бөлшектері де күрделі. Яғни, егер фракталдың бір бөлігі бүтіннің өлшеміне дейін үлкейтілген болса, ол не дәл, не аздаған деформациямен бүтін болып көрінеді».

Ox осімен шектелген қисық трапецияны, y=f(x) қисығын және екі түзуді қарастырайық: x=a және x=b (85-сурет). x-тің ерікті мәнін алайық (тек а емес және b емес). Оған h = dx өсімін берейік және қарастырылып отырған қисыққа жататын AB және CD түзулерімен, Ox осімен және BD доғасымен шектелген жолақты қарастырайық. Біз бұл жолақты элементар жолақ деп атаймыз. Элементар жолақтың ауданы ACQB тіктөртбұрышының ауданынан BQD қисық үшбұрышымен ерекшеленеді, ал соңғысының ауданы BQ = = h= қабырғалары бар BQDM тіктөртбұрышының ауданынан аз. dx) QD=Ay және ауданы hAy = Ay dx тең. h жағы азайған сайын Du жағы да азаяды және h-пен бір мезгілде нөлге ұмтылады. Сондықтан BQDM ауданы екінші ретті шексіз аз. Элементар жолақтың ауданы ауданның өсімі болып табылады, ал AB-AC ==/(x) dx> тең ACQB тіктөртбұрышының ауданы - ауданның дифференциалы. Демек, біз оның дифференциалын біріктіру арқылы ауданның өзін табамыз. Қарастырылып отырған суреттің ішінде тәуелсіз айнымалы l: a-дан b-ге өзгереді, сондықтан қажетті 5 аудан 5= \f(x) dx-ке тең болады. (I) Мысал 1. y - 1 -x* параболасымен, X =--Fj-, x = 1 түзулерімен және О* осімен шектелген ауданды есептейік (86-сурет). суретте. 87. сур. 86. 1 Мұнда f(x) = 1 - l?, интегралдау шегі a = - және £ = 1, сондықтан J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* 2-мысал. y = sinXy синусоидасымен, Ox осімен және түзумен шектелген ауданды есептейік (87-сурет). (I) формуласын қолданып, A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf аламыз 3-мысал. ^у = sin jc, қоршалған синусоид доғасымен шектелген ауданды есептеңдер. Ox осімен көршілес екі қиылысу нүктесінің арасында (мысалы, координат басы мен абсцисса i нүктесінің арасында). Геометриялық ойлардан бұл аудан алдыңғы мысалдың ауданынан екі есе көп болатынын ескеріңіз. Дегенмен, есептер жүргізейік: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Шынында да, біздің болжамымыз дұрыс болып шықты. Мысал 4. Бір периодта синусоидпен және Окс осімен шектелген ауданды есептеңдер (88-сурет). Алдын ала есептеулер аудан 2-мысалдағыдан төрт есе үлкен болатынын болжайды. Дегенмен, есептеулерді жүргізгеннен кейін біз “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( аламыз. -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Бұл нәтиже нақтылауды қажет етеді. Мәселенің мәнін түсіндіру үшін біз сондай-ақ бірдей синусоидпен шектелген ауданды есептейміз y = sin l: және Ox осі l-ден 2i-ге дейінгі аралықта. (I) формуласын қолданып, 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 аламыз. Сөйтіп, бұл саланың теріс айналғанын көреміз. Оны 3-жаттығуда есептелген ауданмен салыстырсақ, олардың абсолюттік мәндері бірдей, бірақ белгілері әртүрлі. Егер V қасиетін қолдансақ (XI тарауды қараңыз, § 4), біз аламыз 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Бұл мысалда болған оқиға кездейсоқ емес. Әрқашан тәуелсіз айнымалы солдан оңға қарай өзгерген жағдайда Ox осінен төмен орналасқан аудан интегралдар көмегімен есептелген кезде алынады. Бұл курста біз әрқашан белгілері жоқ аймақтарды қарастырамыз. Сондықтан, жаңа талқыланған мысалдағы жауап: қажетті аймақ 2 + |-2| = 4. 5-мысал. Суретте көрсетілген BAB ауданын есептейік. 89. Бұл аудан Ox осімен, y = - xr параболасымен және у - = -x+\ түзуімен шектелген. Қисық сызықты трапеция ауданы Қажетті аймақ OAB екі бөліктен тұрады: OAM және MAV. А нүктесі парабола мен түзудің қиылысу нүктесі болғандықтан, оның координаталарын 3 2 Y = mx теңдеулер жүйесін шешу арқылы табамыз. (тек А нүктесінің абсциссасын табу керек). Жүйені шешіп, l табамыз; = ~. Сондықтан ауданды бөліктермен, бірінші квадратпен есептеу керек. OAM, содан кейін pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x. Позитивті емес дегеніңіз не? Суреттен көрініп тұрғандай, берілген х шегінде орналасқан фигураның тек «теріс» координаталары бар, бұл мәселені шешу кезінде көруіміз және есте сақтауымыз керек. Біз фигураның ауданын Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы іздейміз, тек басында минус белгісі бар.

Мақала аяқталмаған.