Матрицалық әдіс арқылы теңдеулер жүйесін шешу. Матрицалық есептеулер арқылы

Матрицалық әдіс SLAU шешімдерітеңдеулер саны белгісіздер санына сәйкес келетін теңдеулер жүйесін шешуге қолданылады. Әдіс төменгі ретті жүйелерді шешу үшін жақсы қолданылады. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісі матрицаны көбейту қасиеттерін қолдануға негізделген.

Бұл әдіс, басқаша айтқанда кері матрицалық әдіс,осылай аталады, себебі шешімі кәдімгі матрицалық теңдеуге келтіреді, оны шешу үшін кері матрицаны табу керек.

Матрицалық шешім әдісіНөлден үлкен немесе кіші анықтауышы бар SLAE келесідей:

бар SLE (сызықтық теңдеулер жүйесі) бар делік nбелгісіз (еркін өрісте):

Бұл оны матрицалық пішінге оңай түрлендіруге болатындығын білдіреді:

AX=B, Қайда А— жүйенің негізгі матрицасы; БЖәне X— сәйкесінше жүйенің еркін шарттары мен шешімдерінің бағандары:

Осы матрицалық теңдеуді сол жақтан көбейтейік A−1— матрицадан матрицаға кері A: A −1 (AX)=A −1 B.

Өйткені A −1 A=E, білдіреді, X=A −1 B. Теңдеудің оң жағы шешім бағанын береді бастапқы жүйе. Матрицалық әдісті қолданудың шарты матрицаның азғындамауы болып табылады А. Бұл үшін қажетті және жеткілікті шарт матрицаның анықтауышының нөлге тең болмауы болып табылады А:

детА≠0.

үшін біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі, яғни. вектор болса B=0, қарама-қарсы ереже орындалады: жүйе AX=0кезде ғана тривиальды емес (яғни нөлге тең емес) шешім бар detA=0. Біртекті және біртекті емес сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдері арасындағы бұл байланыс деп аталады Фредхолм балама.

Осылайша, матрицалық әдіспен SLAE шешімі формула бойынша жүзеге асырылады . Немесе SLAE шешімі көмегімен табылған кері матрица A−1.

Квадрат матрица үшін екені белгілі Атапсырыс nқосулы nСонда бар кері матрица A−1оның анықтауышы нөлге тең емес болса ғана. Осылайша, жүйе nсызықтық алгебралық теңдеулербірге nЖүйенің бас матрицасының анықтауышы нөлге тең болмаған жағдайда ғана белгісіздерді матрицалық әдіс арқылы шешеміз.

Бұл әдісті қолдану мүмкіндігінде шектеулер болғанына және коэффициенттер мен жүйелердің үлкен мәндері үшін есептеу қиындықтарына қарамастан жоғары тәртіп, әдісті компьютерде оңай іске асыруға болады.

Біртекті емес SLAE шешудің мысалы.

Алдымен белгісіз SLAE коэффициенттерінің матрицасының анықтауышы нөлге тең емес екенін тексерейік.

Енді табамыз одақ матрицасы , оны ауыстырып, кері матрицаны анықтау үшін формулаға ауыстырыңыз.

Формуладағы айнымалыларды ауыстырыңыз:

Енді белгісіздерді кері матрицаны және бос мүшелер бағанын көбейту арқылы табамыз.

Сонымен, x=2; y=1; z=4.

Әдеттегі SLAE түрінен ауысқанда матрицалық пішінЖүйелік теңдеулерде белгісіз айнымалылардың ретімен абай болыңыз. Мысалы:

Оны былай жазуға БОЛМАЙДЫ:

Алдымен жүйенің әрбір теңдеуіндегі белгісіз айнымалыларды ретке келтіру керек, содан кейін ғана матрицалық белгілерге көшу керек:

Бұған қоса, оның орнына белгісіз айнымалыларды белгілеуде абай болу керек x 1, x 2 , …, x nбасқа әріптер болуы мүмкін. Мысалы:

матрицалық түрде оны былай жазамыз:

Жүйелерді матрицалық әдіс арқылы шешкен дұрыс сызықтық теңдеулер, онда теңдеулер саны белгісіз айнымалылар санымен сәйкес келеді және жүйенің негізгі матрицасының анықтауышы нөлге тең емес. Жүйеде 3 теңдеуден көп болған кезде кері матрицаны табу көп есептеуді қажет етеді, сондықтан бұл жағдайда шешу үшін Гаусс әдісін қолданған жөн.

(кейде бұл әдісті матрицалық әдіс немесе кері матрицалық әдіс деп те атайды) SLAE белгілеудің матрицалық формасы сияқты тұжырымдамамен алдын ала танысуды талап етеді. Кері матрицалық әдіс жүйелік матрицаның анықтауышы нөлден өзгеше болатын сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге арналған. Әрине, бұл жүйенің матрицасы квадрат деп болжайды (анықтаушы ұғымы тек шаршы матрицалар үшін бар). Кері матрицалық әдістің мәнін үш тармақпен көрсетуге болады:

1. Үш матрицаны жазыңыз: жүйе матрицасы $A$, белгісіздер матрицасы $X$, бос мүшелер матрицасы $B$.
2. $A^(-1)$ кері матрицасын табыңыз.
3. $X=A^(-1)\cdot B$ теңдігін пайдаланып, берілген SLAE шешімін алыңыз.

Кез келген SLAE матрицалық түрде $A\cdot X=B$ түрінде жазылуы мүмкін, мұндағы $A$ — жүйенің матрицасы, $B$ — бос терминдердің матрицасы, $X$ — белгісіздер матрицасы. $A^(-1)$ матрицасы бар болсын. $A\cdot X=B$ теңдігінің екі жағын сол жақтағы $A^(-1)$ матрицасына көбейтейік:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$A^(-1)\cdot A=E$ болғандықтан ($E$ – сәйкестік матрицасы), жоғарыда жазылған теңдік келесідей болады:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$E\cdot X=X$ болғандықтан, онда:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

№1 мысал

SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ мәнін кері матрицаны пайдаланып шешіңіз.

$$ A=\left(\begin(массив) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(массив)\оң);\; B=\left(\begin(массив) (c) 29\\ -11 \end(массив)\оң);\; X=\left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \end(массив)\оң). $$

Жүйе матрицасына кері матрицаны табайық, яғни. $A^(-1)$ есептейік. №2 мысалда

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(массив)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(массив)\оң) . $$

Енді барлық үш матрицаны ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ теңдігіне ауыстырайық. Содан кейін матрицаны көбейтуді орындаймыз

$$ \left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \end(массив)\оң)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(массив)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(массив)\оң)\cdot \left(\begin(массив) (c) 29\\ -11 \end(массив)\оң)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(массив) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(массив)\оң)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(массив) (c) 309\\ -206 \end(массив)\оң)=\сол( \begin(массив) (c) -3\\ 2\end(массив)\оңға). $$

Сонымен, $\left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \end(массив)\right)=\left(\begin(массив) (c) -3\\ 2\end() теңдігін алдық. массив )\right)$. Осы теңдіктен бізде: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Жауап: $x_1=-3$, $x_2=2$.

№2 мысал

SLAE $ \left\(\begin(тураланған) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6) шешіңіз. \end(тураланған)\оңға .$ кері матрицалық әдіс арқылы.

$A$ жүйесінің матрицасын, $B$ бос мүшелер матрицасын және $X$ белгісіздер матрицасын жазып алайық.

$$ A=\left(\begin(массив) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(массив)\оң);\; B=\left(\begin(массив) (c) -1\\0\\6\end(массив)\оң);\; X=\left(\бастау(массив) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(массив)\оң). $$

Енді жүйе матрицасына кері матрицаны табу кезегі, яғни. $A^(-1)$ табыңыз. Кері матрицаларды табуға арналған беттегі №3 мысалда кері матрица табылды. Пайдаланайық аяқталған нәтижежәне $A^(-1)$ жазыңыз:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\соңы(массив)\оңға). $$

Енді барлық үш матрицаны ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ теңдігіне ауыстырайық, содан кейін оң жақта матрицаны көбейтуді орындаймыз. осы теңдіктің.

$$ \left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(массив)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(массив) \оң жақ)\cdot \left(\бастау(массив) (c) -1\\0\ \6\соңы(массив)\оң)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(массив)\оң)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (c) 0\\-104\\234\end(массив)\оң)=\left( \бастау(массив) (c) 0\\-4\\9\соңы(массив)\оң) $$

Сонымен, біз $\left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(массив)\right)=\left(\begin(массив) (c) 0\\-4 теңдігін алдық. \ \9\соңы(массив)\оңға)$. Осы теңдіктен бізде: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

қарастырайық сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі(SLAU) салыстырмалы nбелгісіз x 1 , x 2 , ..., x n :

Бұл жүйені «құлаған» пішінде келесідей жазуға болады:

С n i=1 а ij x j = b мен , i=1,2, ..., n.

Матрицаны көбейту ережесіне сәйкес қарастырылатын сызықтық теңдеулер жүйесін жазуға болады матрицалық пішін Ax=b, Қайда

Матрица А, бағандары сәйкес белгісіздердің коэффициенттері, ал жолдары сәйкес теңдеудегі белгісіздердің коэффициенттері деп аталады. жүйенің матрицасы. Баған матрицасы б, элементтері жүйе теңдеулерінің оң жақтары болып табылатын, оң жақ матрица немесе жай ғана жүйенің оң жағы. Баған матрицасы x , элементтері белгісіз белгісіздер деп аталады жүйелік шешім.

түрінде жазылған сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі Ax=b, болып табылады матрицалық теңдеу.

Жүйе матрицасы болса дегенеративті емес, онда оның кері матрицасы бар, содан кейін жүйенің шешімі болады Ax=bформуламен беріледі:

x=A -1 б.

МысалЖүйені шешу матрицалық әдіс.

Шешімжүйенің коэффициенттік матрицасы үшін кері матрицаны табайық

Бірінші жол бойымен кеңейту арқылы анықтауышты есептейік:

бері Δ ≠ 0 , Бұл А -1 бар.

Кері матрица дұрыс табылды.

Жүйенің шешімін табайық

Демек, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Емтихан:

7. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің үйлесімділігі туралы Кронекер-Капелли теоремасы.

Сызықтық теңдеулер жүйесіпішіні бар:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Мұнда a i j және b i (i = ; j = ) берілген, ал x j белгісіз нақты сандар. Матрицалардың көбейтіндісі ұғымын пайдалана отырып, (5.1) жүйесін келесі түрде қайта жазуға болады:

Мұндағы A = (a i j) - (5.1) жүйенің белгісіздері үшін коэффициенттерден тұратын матрица, ол деп аталады. жүйенің матрицасы, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - сәйкесінше x j белгісіздерден және b i бос мүшелерден құралған баған векторлары.

Тапсырыс жинағы nнақты сандар (c 1, c 2,..., c n) деп аталады жүйелік шешім(5.1), егер осы сандарды сәйкес x 1, x 2,..., x n айнымалыларының орнына қою нәтижесінде жүйенің әрбір теңдеуі арифметикалық сәйкестікке айналады; басқаша айтқанда, AC  B болатындай C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T векторы болса.

(5.1) жүйесі шақырылады бірлескен,немесе шешілетін,егер оның кем дегенде бір шешімі болса. Жүйе деп аталады үйлесімсіз,немесе шешілмейтін, егер оның шешімдері болмаса.

,

А матрицасының оң жағына бос терминдер бағанасын тағайындау арқылы құрылған жүйенің кеңейтілген матрицасы.

(5.1) жүйесінің үйлесімділік мәселесі келесі теорема арқылы шешіледі.

Кронеккер-Капелли теоремасы . Сызықтық теңдеулер жүйесі егер А жәнеА матрицаларының дәрежелері сәйкес келсе ғана сәйкес келеді, яғни. r(A) = r(A) = r.

(5.1) жүйесінің шешімдерінің М жиыны үшін үш мүмкіндік бар:

1) M =  (бұл жағдайда жүйе сәйкес емес);

2) М бір элементтен тұрады, яғни. жүйеде бар жалғыз шешім(бұл жағдайда жүйе шақырылады белгілі);

3) M бір емес бірнеше элементтерден тұрады (онда жүйе шақырылады белгісіз). Үшінші жағдайда (5.1) жүйеде шешімдердің шексіз саны бар.

Жүйе r(A) = n болғанда ғана бірегей шешімге ие болады. Бұл жағдайда теңдеулер саны болмайды саны азбелгісіздер (mn); m>n болса, онда m-n теңдеулерібасқалардың салдары болып табылады. Егер 0

Сызықтық теңдеулердің ерікті жүйесін шешу үшін теңдеулер саны белгісіздер санына тең болатын жүйелерді шеше білу керек. Крамер типті жүйелер:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

(5.3) жүйелер келесі әдістердің бірімен шешіледі: 1) Гаусс әдісі немесе белгісіздерді жою әдісі; 2) Крамер формулалары бойынша; 3) матрицалық әдіс.

2.12-мысал. Теңдеулер жүйесін зерттеңіз және егер ол сәйкес болса, оны шешіңіз:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Шешім.Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазамыз:

 .

Жүйенің бас матрицасының рангін есептейік. Көрініп тұрғандай, мысалы, жоғарғы сол жақ бұрыштағы екінші ретті минор = 7  0; оны қамтитын үшінші ретті кәмелетке толмағандар нөлге тең:

Демек, жүйенің негізгі матрицасының рангі 2, яғни. r(A) = 2. A кеңейтілген матрицаның рангін есептеу үшін шекаралас минорды қарастырайық.

бұл кеңейтілген матрицаның рангі r(A) = 3 дегенді білдіреді. r(A)  r(A) болғандықтан, жүйе сәйкес емес.

Кері матрицалық әдісматрицалық теңдеулермен жұмыс істеудің жалпы принциптерін білсеңіз және, әрине, элементар алгебралық амалдарды орындауды білсеңіз, қиын емес.

Кері матрицалық әдіс арқылы теңдеулер жүйесін шешу. Мысал.

Кері матрицалық әдісті түсінудің ең қолайлы жолы - нақты мысал. Теңдеулер жүйесін алайық:

Бұл теңдеулер жүйесін шешудің бірінші қадамы анықтауышты табу болып табылады. Сондықтан теңдеулер жүйесін келесі матрицаға түрлендіреміз:

Ал қажетті анықтауышты табамыз:

Матрицалық теңдеулерді шешу үшін келесі формула қолданылады:

Сонымен, Х-ті есептеу үшін А-1 матрицасының мәнін анықтап, оны b-ке көбейту керек. Бұл бізге басқа формула көмектеседі:

Бұл жағдайда ол болады транспозицияланған матрица- яғни сол түпнұсқа, бірақ жолдармен емес, бағандармен жазылған.

Біз мұны ұмытпауымыз керек кері матрицалық әдіс, Крамер әдісі сияқты, анықтауыш нөлден үлкен немесе кіші жүйелер үшін ғана қолайлы. Егер анықтауыш нөлге тең болса, Гаусс әдісін қолдану керек.

Келесі қадам кәмелетке толмағандардың матрицасын құрастыру болып табылады, ол келесі схема болып табылады:

Нәтижесінде біз үш матрица алдық – минорлар, алгебралық қосындылар және алгебралық қосындылардың транспозицияланған матрицасы. Енді сіз кері матрицаны нақты құрастыруға кірісе аласыз. Біз формуланы бұрыннан білеміз. Біздің мысал үшін ол келесідей болады.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісі

Мына түрдегі сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық:

$\left\(\begin(массив)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_) (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(массив)\оң .$.

$a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ сандары жүйенің коэффициенттері, $b_(i) (i=1..n)$ сандары бос терминдер. .

Анықтама 1

Барлық бос мүшелер нөлге тең болған жағдайда жүйе біртекті деп аталады, әйтпесе біртекті емес деп аталады.

Әрбір SLAE бірнеше матрицалармен байланыстырылуы мүмкін және жүйені матрицалық деп аталатын формада жазуға болады.

Анықтама 2

Жүйе коэффициенттерінің матрицасы жүйелік матрица деп аталады және әдетте $A$ әрпімен белгіленеді.

Еркін терминдер бағанасы баған векторын құрайды, ол әдетте $B$ әрпімен белгіленеді және бос терминдердің матрицасы деп аталады.

Белгісіз айнымалылар баған векторын құрайды, ол әдетте $X$ әрпімен белгіленеді және белгісіздер матрицасы деп аталады.

Жоғарыда сипатталған матрицалардың пішіні бар:

$A=\left(\begin(массив)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(массив)\оң),B=\left(\begin(массив)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(массив)\оңға),X=\left(\begin(массив)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(массив)\оң жақ).$

Матрицаларды пайдалана отырып, SLAE $A\cdot X=B$ түрінде қайта жазылуы мүмкін. Бұл белгілеу жиі матрицалық теңдеу деп аталады.

Жалпы айтқанда, кез келген SLAE матрицалық түрде жазылуы мүмкін.

Кері матрицаны пайдаланып жүйені шешу мысалдары

1-мысал

Берілген SLAE: $\left\(\begin(массив)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2) ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(массив)\оң $ матрицалық пішін.

Шешімі:

$A=\left(\begin(массив)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(массив)\оңға),B=\left(\бастау(массив)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(массив)\оң),X=\left(\begin(массив)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ end(массив)\оңға).$

$\left(\begin(массив)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(массив)\оң)\cdot \left(\begin(массив)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(массив)\оң)=\left(\begin(массив)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(массив)\ оң) $

Жүйенің матрицасы шаршы болған жағдайда, SLAE матрицалық әдіс арқылы шешілуі мүмкін.

$A\cdot X=B$ матрицалық теңдеуі бар болса, біз одан $X$ мәнін келесі жолмен өрнектей аламыз:

$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$A^(-1) \cdot A=E$ (матрица өнімінің қасиеті)

$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$E\cdot X=X$ (матрицалық өнім қасиеті)

$X=A^(-1) \cdot B$

Алгебралық теңдеулер жүйесін кері матрица арқылы шешу алгоритмі:

• жүйені матрицалық түрде жазу;
• жүйелік матрицаның анықтауышын есептеу;
• егер жүйе матрицасының анықтауышы нөлден өзгеше болса, онда кері матрицаны табамыз;
• $X=A^(-1) \cdot B$ формуласы арқылы жүйенің шешімін есептейміз.

Егер жүйенің матрицасында нөлге тең емес анықтауыш болса, онда бұл жүйенің матрицалық әдіспен табуға болатын бірегей шешімі болады.

Егер жүйенің матрицасында нөлге тең анықтауыш болса, онда бұл жүйені матрицалық әдіспен шешу мүмкін емес.

2-мысал

Берілген SLAE: $\left\(\begin(массив)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(массив)\right $, егер мүмкін болса, кері матрицалық әдісті пайдаланып SLAE шешіңіз.

Шешімі:

$A=\left(\begin(массив)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(массив)\оң),B=\left(\begin(массив)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(массив)\оң),X=\сол (\begin(массив)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(массив)\оң жақта). $

Жүйелік матрицаның анықтауышын табу:

$\begin(массив)(l) (\det A=\left|\begin(массив)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(массив)\оң|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(массив)$ Анықтаушы нөлге тең болмағандықтан, жүйенің матрицасы кері матрицаға ие, сондықтан теңдеулер жүйесін кері матрицалық әдіспен шешуге болады. Алынған шешім бірегей болады.

Кері матрицаны пайдаланып теңдеулер жүйесін шешейік:

$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(массив)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(массив) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(массив)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(массив) \right|=-(0-3)=3;$

$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(массив)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(массив) )\right|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(массив)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(массив)\ оң|=-(0-6)=6; $

$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(массив)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(массив) \right|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(массив)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(массив)\ оң|=-(2-0)=-2;$

$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(массив)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(массив) \right|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(массив)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(массив) \right|=-(1+3)=-4;$

$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(массив)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(массив) )\right|=2-0=2$

Қажетті кері матрица:

$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(массив)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(массив)\оң)=\frac(1)(26) \cdot \left(\begin(массив)) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \соңғы(массив)\оңға )=\left(\begin(массив)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(массив)\оң)=\сол(\begin(массив)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(массив)\оң жақ).$

Жүйенің шешімін табайық:

$X=\left(\begin(массив)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1) )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(массив)\оң)\cdot \left(\begin(массив)(c) (26) \\ (52) \\ (52) ) \end(массив)\оң)=\left(\begin(массив)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3) )(13) \cdot 52) ​​\\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) \\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) ​​\соңы(массив)\оң )=\сол(\бастау(массив)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \соңғы(массив)\оң)=\сол (\бастау(массив) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \соңы(массив)\оң жақ)$

$X=\left(\begin(массив)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(массив)\right)$ — теңдеулер жүйесінің қажетті шешімі.