Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешу. Пикард әдісі Тізбектелген жуықтаулардың Пикард әдісі

Бұл әдіс жуықтау әдістері класының өкілі болып табылады

Әдістің идеясы өте қарапайым және дәйекті процедураға дейін қайнатылады

интегралдық теңдеуді шешуге арналған нақты жуықтаулар

бастапқы дифференциалдық теңдеу берілген.

Коши мәселесі қойылсын

,

Жазылған теңдеуді интегралдаймыз

. (5.2)

Пикард әдісінің дәйекті жуықтау процедурасы келесі схема бойынша жүзеге асырылады

, (5.3)

Мысал . Пикард әдісі арқылы теңдеуді шешіңіз

,

Бұл теңдеудің шешімі элементар функциялар арқылы өрнектелмейді.

,

Бұл қатардың тез жақындайтынын көруге болады. Егер интегралдар аналитикалық жолмен алынса, әдіс ыңғайлы.

Пикар әдісінің жинақтылығын дәлелдеп көрейік. Шектеулі болсын

аймақ, оң жағы үздіксіз және оған қоса, айнымалыға қатысты Липшиц шартын қанағаттандырады, яғни.

қай жерде тұрақты.

Шектеулі аумаққа байланысты теңсіздіктер орын алады

(5.3) формуласын (5.2) шегеріп, оң және сол модульдер үшін аламыз

,

.

Соңында, Липшицтің үздіксіздік шартын қолданып, біз аламыз

, (5.4)

мұндағы шамамен шешімнің қатесі.

(5.4) формуласын дәйекті түрде қолдану мынаны ескере отырып, келесі қатынастар тізбегін береді.

,

,

.

Өйткені , онда бізде бар

.

Стирлинг формуласын қолдана отырып, біз ақырында шамамен шешімнің қателігінің бағасын аламыз.

. (5.5)

(5.4)-ден шығатыны, қате модуль болғанда, яғни.

жуық шешім дәл шешімге біркелкі жақындайды.

5.2.2. Рунге-Кутта әдістері

Бұл әдістер сандық болып табылады.

Тәжірибеде Рунге-Кутта әдістері қолданылады, бұл кейінгі жағдайды қамтамасыз етеді.

әртүрлі дəлдік дəрежелерінің айырым сызбаларын (əдістерін) əзірлеу. Көпшілігі

екінші және төртінші ретті схемалар (әдістер) пайдаланылады. Олар біз және

Оны төменде қарастырайық.

Алдымен кейбір ұғымдар мен анықтамаларды енгізейік.

Тор қосулы

сегмент - бұл кесіндідегі нүктелердің тұрақты жиыны.

Осы нүктелерде анықталған функция тор функциясы деп аталады.

Нүктелердің координаталары шарттарды қанағаттандырады

, ,

Нүктелер тор түйіндері болып табылады. Біркелкі тор – нүктелер жиынтығы

тор қадамы қайда. Шешім қабылдағандаЖуық әдісте негізгі мәселе конвергенция болып табылады. Айырмашылық әдістерге қатысты конвергенция ұғымы дәстүрлі түрде жиі кездеседі. Тор функциясының мәндерін - (5.1) түйініндегі дифференциалдық теңдеудің нақты шешімінің мәндері ретінде белгілейік (олар жуық мәндер). Конвергенция келесіні білдіреді. Біз нүктені бекітеміз және торлар жиынтығын осылай жасаймыз (осы уақытта). Сонда сандық әдіс егер нүктеде жинақталады деп саналады

кезінде ,. Әдіс сегментте жинақталады, егер ол әрбір нүктеде жинақталса. Әдіс дәлдік реті деп аталады, егер ол осындай санды таба алса сағ.

Бастапқы теңдеуді шешуде берілген дифференциалдық теңдеуді алмастыратын айырымдық теңдеудің сәйкессіздік немесе жуықтау қатесі ұғымын әрі қарай енгізейік, яғни. қалдық (5.1) теңдеудің дәл шешімін айырма теңдеуіне ауыстырудың нәтижесі. Мысалы, (5.1) келесі қарапайым айырым теңдеуімен ауыстырылуы мүмкін

, .

Сонда сәйкессіздік келесі өрнек арқылы анықталады

.

Шамамен шешім әдетте -мен сәйкес келмейді, сондықтан ші нүктедегі сәйкессіздік нөлге тең емес. Келесі анықтама енгізіледі: сандық әдіс бастапқы дифференциалдық теңдеуді жуықтайды, егер болса және дәлдіктің ші реті болса, .

Дифференциалдық теңдеуді шешудің сандық әдісінің дәлдік реті жеткілікті жалпы болжамдардағы жуықтау ретімен сәйкес келетіні дәлелденді.

Енді Рунге-Кутта схемаларын талдауға көшейік. Алдымен соған жүгінейік

екінші ретті дәлдік схемалары.

Тейлор формуласын қолдану, дифференциалдық теңдеуді шешу

(5.1) ретінде көрсетуге болады

, (5.6)

көрсетілген жерде, ,.

(5.1) сәйкес екенін ескеріңіз. ,.

келесідей туынды

,

Қазіргі уақытта белгісіз шамалар қайда. Болсын

Нөмірленген түйінде шешімнің жуық мәнін белгілейік (бұл қатарды екіншіден жоғары емес реті бар мүшелермен шектегеннен кейін алынатын шешім).

Мұнда енгізілген параметрлер анықтамаға жатады.

Тейлор қатарындағы оң жақ бөлігін кеңейтіп, ұқсас терминдерді енгізе отырып, біз аламыз

ретімен

i параметрлерін таңдау шарты өрнектің жақындығы болады

(5.7) қатарға (5.6) қосу, содан кейін

, ,.

Бір параметр бос қалады. Солай болсын

, ,

және ең соңында (5.7) және үшін табылған қатынастарды ескере отырып

Қатынас (5.8) биномдық Рунге-Кутта формулаларының бір параметрлі тобын сипаттайды.

Арнайы әдебиеттерде егер үзіліссіз және оның екінші туындыларымен шектелген болса, онда (5.8) схеманың жуық шешімі қателікпен дәл шешімге біркелкі жинақталатыны дәлелденген. , яғни. (5.8) схемасы екінші ретті дәлдікке ие.

Есептеу тәжірибесінде параметр мәндері үшін (5.8) формулалар қолданылады.

(5.8) тармақтан шығарамыз

(5.9) формуланы қолдану келесі қадамдар тізбегіне дейін қысқартылады:

1. Функцияның мәнін шамамен есептеңіз (полисызық диаграммасы бойынша)

2. () нүктесіндегі интеграл қисығының көлбеулігін анықтаңдар.

3. Қадамдағы функция туындысының орташа мәнін табыңыз

4. ()-ші түйіндегі функцияның мәні есептеледі

Бұл схеманың «болжаушы - түзетуші» деген арнайы атауы бар.

(5.8) сәйкес аламыз

Мәселе келесі қадамдар арқылы шешіледі:

1. Жартылай түйіндегі функцияның мәні есептеледі

.

2. Түйіндегі туындының мәні анықталады

.

3. Функцияның мәні ()-ші түйінде табылады

Жоғарыда қарастырылған екі мерзімді схемалардан басқа, есептеу тәжірибесінде Рунге-Кутта схемалары кеңінен қолданылады. төртінші ретдәлдік. Сәйкес формулалар төменде туындысыз берілген

(5.10)

Мүшелері көп схемалар іс жүзінде қолданылмайды.

Бес-

терминдік формулалар дәлдіктің төртінші ретін қамтамасыз етеді, алты мүшелі формулалар алтыншы ретке ие, бірақ олардың пішіні өте күрделі.

Берілген Рунге-Кутта схемаларының қателері максимуммен анықталады

сәйкес туындылардың ny мәндері.

Құқықтың ерекше жағдайы үшін қателерді бағалау оңай алынуы мүмкін

.

дифференциалдық теңдеудің бөліктері

Бұл жағдайда теңдеудің шешімін квадратураға келтіруге болады және

барлық айырмашылықты шешу схемалары сандық интегралдау формулаларына айналады

,

серуендеу. Мысалы, схема (5.9) пішінді қабылдайды

яғни трапеция тәрізді формулаға ие және схема (5.10) схемаға кіреді.

бұл қадаммен Симпсон формуласы.

Трапеция және Симпсон формулалары үшін үлкен қателіктерді бағалау белгілі (3.2 тарауды қараңыз). (3.4) және (3.5) тармақтарынан Рунге-Кутта схемаларының дәлдігі айтарлықтай жоғары екені анық.

Белгілі бір мәселені шешу үшін берілген схемалардың бір немесе басқасын таңдау

саяжай келесі ойлармен анықталады. Егер функция ішінде

теңдеудің оң жағы үздіксіз және шектелген, сонымен қатар үздіксіз және

оның төртінші туындылары шектеулі, содан кейін ең жақсы нәтижеге қол жеткізіледі -

(5.10) сұлбаны пайдалану кезінде. Функция болған жағдайда

жоғарыда аталған туынды құралдары жоқ, шектеуші (төртінші) ретті

(5.10) сызбаға қол жеткізу мүмкін емес және ол орынды болып шықты

қарапайым схемаларды қолдану.

Рунге-Кутта схемаларынан басқа көп сатылы әдістер практикалық қызығушылық тудырады, оларды келесі теңдеулер жүйесімен сипаттауға болады. Қайда ,.

, a - сандық коэффициенттер,

сол. Санауды бастау үшін бастапқы мәндер болуы керек. Бұл мәндерді басқа әдіспен есептеу керек, мысалы, Рунге-Кутта әдісі.

Көп сатылы әдістердің ішінде ең көп таралғаны Адамс әдісі болып табылады, оның іске асыру схемасы (5.11) үшін :

.

Адамс әдісі айқын, бірақ жасырын болып шыққан кезде.

1
18.01.2018

Мәселе туралы мәлімдеме
Дифференциалды
теңдеулер
тәуелсіз арасында байланыс орнату
айнымалылар, қажетті функциялар және олардың
туындылар. Қажетті функция болса
онда бір айнымалыға байланысты
дифференциалдық теңдеу деп аталады
кәдімгі.

Мәселе туралы мәлімдеме
Мысалы, серпімді орта үшін тепе-теңдік шарты
кәдімгі дифференциалмен сипатталады
теңдеу:
dTx
Fx 0
dx
Tx – механикалық құрамдас бөлік
стресс, F – әрекет ету
үшін үздіксіз орташа күш
масса бірлігі
Мұнда қажетті функция (механикалық
кернеу) T(x) бір айнымалыға тәуелді
x (координатасы).

Мәселе туралы мәлімдеме

Қажетті функция тәуелді болған жағдайда
бірнеше айнымалылар, дифференциалдық теңдеу
ішінара дифференциалдық теңдеу болады.
Мысалы, серпімді ортаның қозғалысын сипаттауға болады
дербес дифференциалдық теңдеу:
2u x Tx
2
т
x
ux – ортаның орын ауыстыруы, ρ – тығыздығы
орта, Tx – кернеу компоненті
Бұл теңдеуде u(t,x) функциясы уақытқа тәуелді
(t) және ортаның орын ауыстыру бағыты (х).

Мәселе туралы мәлімдеме
Қарапайым дифференциалдық теңдеулер
(ODE) – бір немесе бар теңдеулер
қажетті у = у(х) функциясының бірнеше туындысы:
F (x, y, y ,..., y (n)) 0 ,
мұндағы x – тәуелсіз айнымалы.
Теңдеуде пайда болатын n санының ең жоғары реті
туынды дифференциал реті деп аталады
теңдеулер
Мысалы:
F (x, y, y ") 0 бірінші ретті теңдеу;
F (x, y, y " , y") 0 екінші ретті теңдеу

Мәселе туралы мәлімдеме
Дифференциалдық теңдеудің жалпы жазылуынан
Сіз туындыны анық көрсете аласыз:
y "f (x, y),
y" f (x, y, y ")
Туынды теңдеуде шексіз болады
көптеген шешімдер. Жалғыз алу үшін
қосымша шешімдерді анықтау қажет
талаптарымен қанағаттандырылуы тиіс шарттар
шешімдер.

Мәселе туралы мәлімдеме
Мұндай жағдайлардың түріне байланысты
дәлелденген есептердің үш түрін қарастырыңыз
шешімдердің болуы және бірегейлігі.
Бірінші түрі - бастауышпен проблемалар
шарттар.
үшін
осындай
тапсырмалар
қоспағанда
түпнұсқа
қандай да бір x0 нүктесіндегі дифференциалдық теңдеу
бастапқы шарттар көрсетілуі керек, яғни.
y (x) функциясының мәндері және оның туындылары: y (x0) =
y0
y" (x0) = y"0 , . . . , y(n-1) (x0) = yn-10 .

Мәселе туралы мәлімдеме
Тапсырмалардың екінші түрі деп аталатындар
шекара немесе жиек, онда
нысанда қосымша шарттар көрсетіледі
функционалды
қатынасы
арасында
қажетті шешімдер.
Қарапайым мәселелердің үшінші түрі
дифференциалдық теңдеулер – есептер
меншікті мәндер.

Мәселе туралы мәлімдеме
Коши есебін құрастырайық.
Жай дифференциалдың шешімін табыңыз
бірінші ретті теңдеу (ODE), шешілді
туындыға қатысты
y "f (x, y),
бастапқы шартты қанағаттандырады
y(x0)y0

10.

Мәселе туралы мәлімдеме
Мұндай сегментте табу керек
үздіксіз функция
y = y(x), ол
дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады
y " f (x, y) және бастапқы шарт y (x0) y0
сол.
табу
шешім
дифференциал
теңдеулер Мұндай шешімді табу деп аталады
Коши мәселесін шешу. Мұның сандық шешімі
Тапсырма – жуықтау кестесін құру
y1,y2,...,yn мәндері y(x) теңдеуінің нүктелеріндегі шешімдері
Кейбір h қадамымен x1,x2,...,xn.
xi x0 i h,
i=1,2,...,n.

11.

Кәдімгі
дифференциалдық теңдеулер
Бөлшектегі теңдеулер
туындылар
z z
dy
0
2(ж 3)
2
2
x
ж
dx
2
д ж
2
2
т
1
2
z
z
дт
3 2 2 4
x
ж
3
xdy=y dx
2
y'=x
2
11
2
18.01.2018

12.

Бірінші ретті теңдеулер
dy
2(ж 3)
dx
Екінші ретті теңдеулер
2
д ж
т
1
2
дт
z z
0
2
2
x
ж
2
3
xdy=y dx
z z
3 2 2 4
x ж
2
2
y′=x
12
2
2
18.01.2018

13.

Мысал 1. Дифференциалдық теңдеу үшін
dy
2x
dx
x0 = 1 кезінде y0 = 2
жалпы шешім: y = x2 +
МЕН
2 = 1 + С, яғни С = 1
M0 (1; 2)
13
18.01.2018

14.

Липшиц жағдайы
R[ a ,b ] (| x x0 | a, | y y0 | b)
f (x, y) f (x, y) N y y
14
18.01.2018

15.

Дифференциалды жуықтап шешу әдістері
теңдеулер
Аналитикалық әдістер
Сандық әдістер
Тізбекті әдіс
жуықтаулар – әдіс
Пикара
Эйлер әдісі және оның
модификациялар
Интеграция әдісі
дифференциал
теңдеулерді пайдаланады
қуат қатары
Рунге-Кутта әдісі
Экстраполяция әдісі
Адамс
15
18.01.2018

16.

18.01.2018

17.

Дифференциалдық теңдеуді шешу
у′=f(x, y) сандық әдіс бойынша –
бұл белгілі бір нәрсені білдіреді
аргументтер тізбегі
x0, x1,…, xn және y0 сандары,
y=F(x) функциясын анықтамай,
y1, y2, …, yn мәндерін табыңыз,
бұл yi=F(xi) және F(x0)=y0.
h=xk-xk-1
18.01.2018

18.

Дифференциалдық теңдеу берілсін
бірінші тапсырыс
y'= f (x, y)
бастапқы шартымен
x=x0, y(x0)=y0
б а
h
n
интеграциялық қадам
18.01.2018

19.

19
18.01.2018

20.

xk 1
xk 1
f (x, y) y" dx y(x)
xk
xk 1
xk
y (xk 1) y (xk) yk 1 yk
xk
яғни
1 йк
xk 1
f (x, y)dx
xk
18.01.2018

21.

xk 1
f (x, y)dx f (x, y) x
к
к
xk 1
xk
f (xk , yk)(xk 1 xk) y " h
xk
yk 1 yk y"k h
yk 1 yk y"k h
белгілейік
йк 1 йк
йк х йк
йк 1 йк
18.01.2018

22.

ж
h
0
x0
x1
x2
x
18.01.2018

23.

Әдіс қатесі
hM
n
y (xn) y n
(1 hN) 1
2Н
Қайда
f (x1 , y1) f (x1 , y2) N y1 y2
df
f
f
f
М
dx
x
ж
18.01.2018

24.

Мысал 1. y’=y-x бастапқы мәнімен шешіңіз
шарты x0=0, y0=1,5 кесіндісінде, h=0,25
Шешім
мен
(1)
0
1
2
3
4
5
6
xi
(2)
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
yi
(3)
1.5000
1.875
2.2812
2.7265
3.226
3.7758
4.4072
yi’=yi-xi
(4)
1.5000
1.6250
1.7812
1.9765
2.2206
2.5258
и хи
"
мен
(5)
0.3750
0.4062
0.4453
0.4941
0.5552
0.6314
18.01.2018

25.

Эйлер әдісі
x, y, h, b енгізіңіз
x,y шығысы
y: y hf x, y
x: x h
+
x б
Соңы
18.01.2018

26.

Жақсартылған Эйлер әдісі
yn+1 = yn + h/2
Функцияның Тейлор қатарының кеңеюіне оралайық
сақтау арқылы есептеу дәлдігін арттыруға болады
h2 бар мүше. y (t0) шекті айырмашылықпен жуықталады:
Осы өрнекті ескере отырып, функцияның Тейлор қатарына кеңеюі пішінді алады
қате h3 ретті
18.01.2018

27.

18.01.2018

28.

Тапсырма. Берілген дифференциал
бірінші ретті теңдеу
y’= f(x, y)
бастапқы шартымен
x=x0, y(x0)=y0
Кесіндідегі теңдеудің шешімін табыңыз
yi 1 yi yi
18.01.2018

29.

k1 hf (x, y)
h
k1
k 2 сағ (x , y)
2
2
h
k2
k3 hf(x, y)
2
2
k4 hf (x h, y k3)
18.01.2018

30.

1
y (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
yi 1 yi yi
18.01.2018

31.

18.01.2018

32.

Әдіс қатесі Rn(h5)
18.01.2018

33.

Мысал 1. Дифференциалды шешіңіз
бастапқы мәні бар y′=y-x теңдеуі
шарты x0=0, y(x0)=y0=1,5 әдісі
Рунге-Кутта. 0,01 дәлдігіне дейін есептеңіз.
Шешім
k1(0)=(y0-x0)h=1,5000*0,25=0,3750
k2(0)
k1(0)
h
x0 сағ (1,5000 0,1875) 0,125 0,25 0,3906
y0
2
2
18.01.2018

34.

k3(0)
k2(0)
h
x0 сағ (1,5000 0,1953) 0,125 0,25 0,3926
y0
2
2
k4(0)=[(y0+k3(0))-(x0+h)]h=[(1,5000+0,3926)0,125]*0,25=0,4106
1
y0 (0,3750 2 * 0,3906 2 * 0,3926 0,4106)
6
=0,3920
y1=1,50000+0,3920=1,8920
18.01.2018

35.

18.01.2018

36.

18.01.2018

37.

Жүйелерді шешуге арналған Рунге-Кутта әдісі
дифференциалдық теңдеулер
,
y "f (x, y, z)
z
"
g
x
,
ж
,
z
18.01.2018

38.

1(i)
(i)
(i)
(i)
yi (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
1(i)
(i)
(i)
(i)
zi (l1 2l2 2l3 l4)
6
, Қайда
18.01.2018

39.

(i)
1
к
(i)
1
л
hf(xi, yi, zi)
hq(xi, yi, zi)
18.01.2018

40.

к
л
(i)
2
(i)
2
(i)
1
(i)
1
h
к
л
hf(xi, yi
, zi)
2
2
2
(i)
1
(i)
1
h
к
л
hq(xi , yi
, zi)
2
2
2
18.01.2018

41.

к
(i)
3
(i)
3
л
(i)
2
(i)
2
(i)
2
(i)
2
h
к
л
hf(xi, yi
, zi)
2
2
2
h
к
л
hq(xi , yi
, zi)
2
2
2
18.01.2018

42.

к
л
,
(i)
4
(i)
4
(i)
3
к
h
(i)
hf(xi, yi
, zi l3)
2
2
(i)
3
к
h
(i)
hq(xi , yi
, z i l3)
2
2
yi 1 yi yi
zi 1 zi zi
18.01.2018

43.

Кезекті жуықтау әдісі
43
18.01.2018

44.

Бірінші жуықтау:
Екінші жуықтау:
Үшінші жуықтау:
…
n-ші жуықтау:
44
18.01.2018

45.

Теорема. (x0; y0) нүктенің маңайында болсын.
f(x, y) функциясы үздіксіз және бар
f'y шектеулі жартылай туындысы (x, y).
Содан кейін кейбір аралықта қамтиды
x0 нүктесі, реттілік ( yi(x))
қызмет ететін y(x) функциясына жинақталады
дифференциалды шешім
y’ = f(x, y) және теңдеулер
y (x0) = y0 шартын қанағаттандыру
45
18.01.2018

46.

Пикард әдісінің қателігін бағалау
n 1
h
| y yn | Н М
(n 1)!
n
мұндағы M = max |f(x, y)|
N = max |f ’y(x, y)|
б
сағ мин а,
М
46
18.01.2018

47. Пикардың дәйекті жуықтау әдісі

n-ші ретті дифференциалдық теңдеу
Біріншісінің дифференциалдық теңдеуін қарастырайық
тапсырыс
y’ = f(x, y)
(1)
бастапқы шарттарымен
y(x0) = y0
(2).
Бұл нүктенің кейбір төңірегінде деп болжануда
M0(x0, y0) теңдеуі (1) теореманың шарттарын қанағаттандырады
шешімнің болуы және бірегейлігі.

48.

Мәндер үшін y = y(x) қажетті шешімін құрастырамыз
x x0 .
x x0 жағдайы ұқсас.
(1) теңдеудің оң және сол жақтарын интегралдау
x0-ден х-ке дейінгі диапазонды аламыз
x
y (x) y (x0) f (x, y)dx
x0
немесе бастапқы шартқа байланысты (2), бізде болады
x
y (x) y0 f (x, y)dx
x0
(3)

49.

Қажетті функция y = y(x) астында болғандықтан
интегралдың таңбасы, онда (3) теңдеу болады
интегралдық.
Әлбетте, интегралдық теңдеудің шешімі (3)
(1) және дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады
бастапқы күйге (2).
Бұл шешімді табу үшін біз әдісті қолданамыз
дәйекті жуықтаулар.
Белгісіз y функциясын теңдікте ауыстыру (3)
берілген у0 мәні, біз бірінші жуықтауды аламыз
x
y1 y0 f (x, y0)dx
x0

50.

Келесі, белгісіздің орнына теңдікте (3) ауыстыру
y функциясы y1 функциясын тапсақ, бізде екіншісі болады
жуықтау
x
y2 y0 f (x, y1)dx
т.б.
x0
Барлық келесі жуықтаулар формула арқылы құрастырылады
x
yn y0 f (x, yn 1)dx
(n = 1, 2, …)
x0
Геометриялық
ретті
жақындап келе жатыр
yn = yn(x) (n = 1, 2, ...) қисықтарын көрсетіңіз.
M0(x0, y0) ортақ нүктесі арқылы өту.

51.

ж
0
x0
x x+h
x
Пікір.
Сағат
әдіс
дәйекті
жуықтаулар бастапқы жуықтау y0,
жеткілікті жақын кез келген функцияны таңдауға болады
нақты шешім y.
Мысалы, кейде y0 ретінде қабылдаған тиімді
қажетті шешімнің Тейлор қатарының соңғы сегменті.

52.

Ескертіп қой
Не
сағ
пайдалану
әдіс
құқықтың дәйекті жуықтауы аналитикалық
дифференциалдық теңдеудің бөлігі міндетті емес,
Сондықтан, бұл әдісті жағдайларда да қолдануға болады
Қашан
ыдырау
шешімдер
дифференциал
дәрежелік қатардағы теңдеулер мүмкін емес.
Мысал 1. Кезекті жуықтау әдісін қолдану
дифференциалдың жуық шешімін табыңыз
теңдеулер
y’ = x – y,
y(0) = 1 бастапқы шартын қанағаттандыру.

53.

Шешім. ретінде
y0(x) = 1 алайық. Өйткені
бастапқы
жақындап келе жатыр
x
y 1 (x y)dx
0
сонда бізде болады
x
x2
y1 1 (x 1)dx 1 x
2
0
Сол сияқты
3
x2
x
dx 1 x x 2
y2 1 x 1 x
2
6
0
x

54.

Сол сияқты біз де аламыз
3
4
x
x
y3 1 x x 2
3 24
3
4
5
x
x
x
y4 1 x x 2
3 12 120
т.б.

55. Дифференциалдық теңдеулер жүйесі (Пикард әдісі)

Дифференциалдық теңдеулер жүйесі берілген
dy
f(x,y)
dx
(4)
y(x0) y0
(5)
Қайда
Жазылу векторлық теңдеу(4) интегралдық
пішін, бізде болады

56.

x
y y0 f (x, y)dx
(6)
x0
мұнда векторлық функцияның интегралы астында
вектор ретінде түсініледі
x
x0
x
f1 dx
x0
f dx
x
f n dx
x0
f1
f
fn

57.

Кезекті жуықтаулар
формуласымен анықталады
x
ж
(p)
y 0 f (x, y
(б 1)
y (p) (p = 1, 2, …)
)dx
x0
Оның үстіне, әдетте сенеді
ж(0)ж
Бұл әдіс дифференциал үшін де қолайлы
түрінде жазылса, n-ші ретті теңдеу
жүйелер.

58.

Мысал 2. Бірнеше ретті құрастыру
жүйені шешуге арналған жуықтаулар
dy1
dx x y1 y2
dy2 x 2 y 2
1
dx
бастапқы шарттарды қанағаттандыру
y1(0) = 1; y2(0) = 0

59.

Шешім. Бізде бар:
x
y1 1 (x y1 y2)dx
0
x
y2 (x2 y12)dx
0
Демек, болжау
y1(0) = 1;
y2(0) = 0
аламыз
x
2
x
(1)
y1 1 (x 0)dx 1
2
0
x
3
x
(1)
y2 (x 2 1)dx x
3
0

60.

x 2
x 3
x4 x6
1 x 1 x dx 1
2
3
24 36
0
x
(2)
1
ж
4
5
2
x
x
x 1 x 2 dx x
4
20
0
x
y2
(2)
т.б.

61.

Есептеулердің соңы
n 1
h
| y yn | Н М
(n 1)!
n
61
18.01.2018

Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеуді (ODE) қарастырамыз

бастапқы шартымен

y(x 0) = y 0, (2)

Мұндағы f(x) – кейбір берілген, жалпы жағдайда екі айнымалының сызықтық емес функциясы. Бастапқы есеп немесе Коши есебі деп аталатын бұл есеп (1)-(2) үшін [x 0 , y=y(x) интервалында оның шешімінің бар болуы мен бірегейлігін қамтамасыз ету талаптары орындалады деп есептейміз. b].

(1) теңдеуінің көрінетін қарапайымдылығына қарамастан, оны аналитикалық жолмен шешіңіз, яғни. Берілген нүктеден (x 0 ; y 0) өтетін y = y (x) интегралдық қисығын кейбір ерекше түрлері үшін ғана одан оқшаулау үшін у = у (х, С) жалпы шешімін табуға болады. мұндай теңдеулер. Сондықтан (1)-(2) үшін интегралдарды есептеудің тиісті есебіндегі сияқты, біз үш топқа бөлуге болатын ODE үшін бастапқы есептерді шешудің жуықтау әдістеріне сүйенуіміз керек:

1) шамамен аналитикалық әдістер;

2) графикалық немесе машиналық-графикалық әдістер;

3) сандық әдістер.

Бірінші топтың әдістеріне қандай да бір «жақсы» функция түрінде бірден y(x) шешімінің жуықтауын табуға мүмкіндік беретін әдістер жатады. φ (X).Мысалы, ол кеңінен танымал дәрежелік қатарлар әдісі, оның іске асырылуының бірі қажетті y(x) функциясын Тейлор қатарының сегментімен көрсетуді қамтиды, мұнда жоғары ретті туындылары бар Тейлор коэффициенттері (1) теңдеудің өзін ретті дифференциалдау арқылы табылады. Бұл әдістер тобының тағы бір өкілі - мәні төменде келтірілген тізбекті жуықтау әдісі.

Аты графикалық әдістер берілген есептің графикалық интерпретациясымен байланысты белгілі бір ережелер бойынша құрастырылуы мүмкін график түріндегі интервалда қажетті шешімнің у(х) жуық бейнесі туралы айтады. Теңдеулердің белгілі бір түрлері үшін бастапқы есептердің физикалық немесе, мүмкін, электрлік интерпретациясы жуық шешімдердің машиналық-графикалық әдістерінің негізінде жатыр деп айту дұрысырақ болар еді. Белгіленген электрлік процестерді физикалық және техникалық деңгейде жүзеге асыра отырып, осциллограф экранында осы процестерді сипаттайтын дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің әрекеті байқалады. Теңдеудің параметрлерін өзгерту мамандандырылған аналогтық компьютерлердің (АВМ) негізін құрайтын шешімдердің әрекетінің адекватты өзгеруіне әкеледі.

Ақырында, қазіргі кездегі ең маңыздысы цифрлық технологияның адам қызметінің барлық салаларына қарқынды дамуымен және енуімен сипатталады. компьютерлік технология, бұл дифференциалдық теңдеулерді шешудің сандық әдістері, олар белгілі бір тордағы қажетті y(x) шешімінің y i жуық мәндерінің сандық кестесін алуды қамтиды.
x аргументінің мәндері. Бұл әдістер одан әрі талқылау тақырыбы болады. Шешімнің алынған сандық мәндерімен не істеу мәселенің қолданбалы тұжырымына байланысты. Егер туралы айтып отырмызтек y(b) мәнін табу туралы, онда b нүктесі x i есептелген нүктелер жүйесіне соңғы болып қосылады, ал соңғысынан басқа барлық жуық мәндер y i ≈y(x i) тек аралық мәндер ретінде қатысады. , яғни. есте сақтауды да, өңдеуді де қажет етпейді. Егер сізге кез келген х нүктесінде y(x) жуық шешімі қажет болса, онда ол үшін алынған y i мәндерінің сандық кестесіне жуықтау әдістерінің кез келгенін қолдануға болады. кесте функциялары, бұрын талқыланған, мысалы, интерполяция немесе сплайн интерполяциясы. Сандық шешім деректерін басқа пайдалану да мүмкін.

(1)-(2) бастапқы есепті шешудің бір жуық аналитикалық әдісіне тоқталайық, онда x 0 нүктесінің кейбір оң жақ маңындағы қалаған шешімі y = y (x) y n функциялар тізбегінің шегі болып табылады. (x) белгілі бір жолмен алынған.

(1) теңдеудің сол және оң жақтарын x 0-ден х-ке дейінгі шекараларда интегралдаймыз:

Осыдан у"(х) үшін қарсы туындылардың бірі у(х) болатынын ескере отырып, мынаны аламыз.

немесе бастапқы шартты (2) пайдалана отырып,

(3)

Осылайша, бастапқы шарты (2) бар бұл дифференциалдық теңдеу (1) интегралдық теңдеуге айналдырылды (мұндағы белгісіз функция интегралдық таңбаның астына кіреді).

Алынған интегралдық теңдеу (3) бекітілген нүктелік есеп түрінде болады оператор үшін
Ресми түрде бұл мәселеге қарапайым итерациялар әдісін қолдануға болады

сызықтық және сызықтық емес алгебралық және трансценденттік теңдеулер жүйелеріне қатысты өте мұқият қарастырылған. (2) тармағында көрсетілген y 0 тұрақтысын бастапқы y 0 (x) функциясы ретінде алып, n = 0 үшін (4) формуласын қолданып, бірінші жуықтауды табамыз.

Оны (4) n=1-ге ауыстыру екінші жуықтауды береді

т.б. Осылайша, дәйекті жуықтау әдісі немесе Пикард әдісі деп аталатын бұл шамамен аналитикалық әдіс формуламен анықталады.

(5)

мұндағы n=0,1, 2,... және y 0 (x)=y 0.

Теріс деп жіктеуге болатын Пикардтың дәйекті жуықтау әдісінің екі сипаттамасын атап өтейік. Біріншіден, антитуындыларды тиімді табудың белгілі мәселелеріне байланысты (5) әдіс оның таза түрінде сирек орындалады. Екіншіден, жоғарыда келтірілген мәлімдемеден көрініп тұрғандай, бұл әдісті бастапқы нүктенің оң жақ шағын маңайында шешімді жуықтау үшін қолайлы жергілікті деп санау керек. Пикар әдісі практикада табудан гөрі Коши мәселесінің шешімінің бар және бірегейлігін дәлелдеу үшін маңыздырақ.

Сабақ No 17. Эйлер әдістері.

Мақсат -студенттерді қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебін шешудің Эйлер әдістерімен таныстыру.

Жұмыстың мақсаты:студенттерде қашықтан басқаруды әртүрлі салаларда қолдану туралы түсінік қалыптастыру; қашықтан басқару үшін Коши мәселесін шешу мүмкіндігін енгізу сағ" = f(x,ж) сегментінде [ а, б] берілген бастапқы шарт үшін сағ 0 = f(x 0) Пикард, Эйлер, Рунге – Кутта, Адамс әдістері; қолданбалы бағдарламалар арқылы алынған нәтижелерді тексеру дағдыларын дамыту.

Пикард әдісі

5.1-мысал.

: сағ h= 0,1 қадамдармен Пикард әдісі бойынша h.

Есепте, мыналар: жұмыстың барысы, бағдарлама – функция, қате, шешімнің графикалық суреті.

Шешім.

1. Деректерді енгізіңіз (5.1-сурет)

а= 1,7 b = 2,7

h = 0,1

ж 0 = 5,3 мен = 0..n

5.1-сурет.Бастапқы деректерді орнату

2. Айнымалыға қатысты бірінші туындының мәндерін қайтаратын функцияны анықтаңыз сағ(5.2-сурет).

fшығару( ж) =

5.2-сурет.Функцияның бірінші туындысының мәнін қайтаратын функция

3. Әдістің көмегімен DE шешімін қайтаратын функция құрайық

Пикара. Мұнда: f –бастапқы функция; f туынды –

қатысты функцияның туындысы сағ; а,б– сегменттің ұштары; h– қадам; сағ 0 –

айнымалының бастапқы мәні сағ.

4. Пикард әдісі арқылы дифференциалдық теңдеудің шешімін табайық (5.3-сурет).

fnPikan(fn, fn туындысы, a, b, h, y0)=

Күріш. 5.3.Қашықтан басқару құралына шешімді қайтаратын функцияны көрсету

Picard әдісі (fnPikar.mcd файлы)

fnPikar(f, f туындысы, a, b, 0.1, y0) =

	7,78457519486 10 -11
	5,3
	5,46340155616
	5,62650688007
	5,78947945853
	5,95251650231
	6,11584391144
	6,27971330675
	6,44440084325
	6,61020759752
	6,77746140952
	6,94652015221

Күріш. 5.4.Пикард әдісі арқылы DE-нің сандық шешімін табу

Эйлер әдісі және оның модификациялары

5.2-мысал.

сағ(1.7) = 5.3 және интеграция қадамы h= 0,1 Эйлер әдісі және сатылы жақсартылған Эйлер әдісі hЖәне h/2.

Шешім.

Эйлер әдісін қолданып есепті шешу барысы суретте көрсетілген. 5,5 – 5,7.

a = 1,7 b = 2,7 y0 = 5,3

y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05

5.5-сурет.Шешімі бар Mathcad жұмыс парағының фрагменті

қадаммен Эйлер әдісі бойынша теңдеулер hЖәне h/2 және графикалық

Эйлер әдісінің визуализациясы.

1. Эйлер әдісін жүзеге асыратын программа құрайық (Cурет 1).

5.6-сурет.Эйлер әдісін жүзеге асыратын программаның тізімі

2. Эйлер әдісі арқылы DE ерітіндісін алайық (5.7. сурет).

ES h = eyler(f, a, b, h, y0)

ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)

Күріш. 5.7.Эйлер әдісі арқылы дифференциалдық теңдеудің сандық шешімін табу

Ескерту

Жақсартылған Эйлер әдісін пайдаланып DE шешімін қайтаратын функцияны өзіңіз құра аласыз.

Күріш. 5.8. DE-ні жетілдірілген әдіс арқылы шешу

Қадамдары бар Эйлер hЖәне h/2

5.3. Рунге-Кутта әдісі

Іс жүзінде төртінші ретті Рунге – Кутта әдісі жиі қолданылады.

5.3-мысал.

Берілген операциялық жүйенің сегментіндегі қашықтан басқару құралына арналған Коши мәселесін шешіңіз сағ(1.7) = 5.3 және интеграция қадамы h= 0,1 төртінші ретті Рунге–Кутта әдісі бойынша қадамдар hжәне 2 h.

Есепте мыналар көрсетіледі: жұмыстың орындалу барысы, бағдарлама функциясы, қате, шешімнің графикалық иллюстрациясы және жуықтау қатесінің бағасы.

Шешім.

1. Тапсырма деректерін енгізіңіз (Cурет 5.9).

а = 1,7 б = 2,7

h = 0,1

ж 0 = 5,3

мен= 0...n

5.9-сурет.Бастапқы деректерді орнату

2. Рунге – Кутта әдісі арқылы бірінші ретті DE шешімін қайтаратын функцияны құрастырайық. Мұнда: fn– көрсетілген функция; а, б– сегменттің ұштары; h– қадам; ж 0 – функцияның бастапқы мәні.

3. Mathcad бағдарламасының кіріктірілген функцияларын пайдаланып, бірінші ретті DE шешімін табайық (5.10-сурет).

RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)

RK 2сағ = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)

Күріш. 5.10.Сандық санды қайтаратын функцияның тізімі

Рунге-Кутта әдісі арқылы DE шешу

Адамс әдісі

5.4-мысал.

Берілген операциялық жүйенің сегментіндегі қашықтан басқару құралына арналған Коши мәселесін шешіңіз сағ(1.7) = 5.3 және интеграция қадамы h= 0,1 Адамс әдісі бойынша қадамдармен h.

Есепте мыналар көрсетіледі: қолмен есептеу, бағдарлама – функция, қате, шешімнің графикалық суреті және жуықтау қатесін бағалау.

Шешім.

1. Рунге–Кутта формуласы арқылы алғашқы төрт санды табыңыз (5.11-сурет).

y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i

Күріш. 5.11.Рунге-Кутта формуласы арқылы сандық шешімнің алғашқы төрт мәнін есептеу

2. Адамс әдісін жүзеге асыратын функция құрайық (2.10.3-сурет). Мұнда а, б– сегменттің ұштары; ж 1 – функцияның бастапқы мәні; h– қадам.

Күріш. 5.12.Сандық шешімді қайтаратын функция

Адамс әдісі бойынша DE

3. Түрлі әдістерді қолдану арқылы DE шешудің графикалық иллюстрациясы суретте берілген. 5.13.

Күріш. 5.13.Әртүрлі әдістерді қолдану арқылы DE шешімін визуализациялау

Тақырып бойынша сұрақтар

1. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебін шығару нені білдіреді?

2. ДЕ сандық шешімін графикалық түсіндіру.

3. DE шешудің қандай әдістеріне байланысты болады

Шешімді ұсыну формалары?

4. Қысу принципінің мәні неде

көрсетеді?

5. Пикард әдісінің қайталанатын формуласы.

6. Эйлердің сынық сызық әдісінің мәні неде?

7. Қандай формулаларды қолдану мәндерді алуға мүмкіндік береді

Эйлер әдісі арқылы қажетті функция?

8. Эйлер әдісінің графикалық түсіндірмесі және

жетілдірілген Эйлер әдісі. Олардың айырмашылығы неде?

9. Рунге–Кутта әдісінің мәні неде?

10. Сандағы дұрыс цифрлардың санын қалай анықтайды,

Эйлер әдісі бойынша дифференциалдық теңдеудің шешімі болып табылады,

жетілдірілген Эйлер, Пикард, Рунге әдісі–

Зертханалық тапсырма No5

5.1-тапсырма.

Қашықтан басқару пульті үшін Коши мәселесін шешіңіз ж’ = f(x, ж) сегментінде [ а, б] берілген НУ үшін сағ(А) = біргежәне интеграциялық қадам h(бастапқы параметрлер 2.10.1-кестеде келтірілген):

1) Эйлер әдісі және сатылы жақсартылған Эйлер әдісі hЖәне h/2;

2) Қадаммен Рунге – Кутта әдісі hжәне 2 h;

3) Адамс әдісі;

4) Пикард әдісі.

Шешім мыналарды қамтуы керек: жұмыс барысы, әдіс бағдарламасы, графикалық шешімтеңдеулер және жуықтау қателігін бағалау. Сандардың ондық үтірінен кейін 5 цифрын қалдырыңыз.

5.1-кесте.Аяқталатын тапсырмаларға арналған опциялар өзіндік жұмыс

№	f( x, ж)	[а, б]	ж 0	h
	3X 2 + 0,1xy		сағ(0) = 0,2	0,1
	0,185(x 2 + cos(0,7 x)) + 1,843ж		сағ(0,2) = 0,25	0,1
			сағ(1,6) = 4,6	0,1
			сағ(0,2) = 1,1	0,1
			сағ(1,4) = 2,5	0,1
			сағ(1,7) = 5,3	0,1
			сағ(2,6) = 3,5	0,2
			сағ(2) = 2,3	0,1
	1,6 + 0,5ж 2		сағ(0) = 0,3	0,1
			сағ(1,8) = 2,6	0,1
			сағ(2,1) = 2,5	0,1
	e 2x + 0,25ж 2		сағ(0) = 2,6	0,05
		[- 2; -1]	сағ(-2) = 3	0,1
	0,133·( x 2+ күнә(2 x)) + 0,872ж		сағ(0,2) = 0,25	0,1
	күнә( x + ж) +1,5		сағ(1,5) = 4,5	0,1
			сағ(0,4) = 0,8	0,1
	2,5x+cos( ж + 0,6)		сағ(1) = 1,5	0,2
	cos(1.5 ж +x) 2 + 1,4		сағ(1) = 1,5	0,1
			сағ(1,5) = 2,1	0,05
	cos y + 3x		сағ(0) = 1,3	0,1
	cos(1.5 x – ж 2) – 1,3	[-1; 1]	сағ(-1) = 0,2	0,2
			сағ(1,6) = 4,6	0,1
	e -(ж – 1) + 2x		сағ(0) = 0,3	0,05
	1 + 2жкүнә x – ж 2		сағ(1) = 0	0,1
			сағ(0) = 0	0,1
	0,166(x 2 + күнә(1,1 x)) + 0,883ж		сағ(0,2) = 0,25	0,1
			сағ(1,7) = 5,6	0,1
			сағ(1,4) = 2,5	0,1
			сағ(0,6) = 0,8	0,1
			сағ(1) = 5,9	0,1
	1 + 0,8жкүнә x - 2ж 2		сағ(0) = 0	0,1
			сағ(0,5) = 1,8	0,1
			сағ(1,2) = 1,8	0,1
	1 + 2,2 күнә x + 1,5ж 2		сағ(0) = 0	0,1
			сағ(0) = 0	0,1
			сағ(0) = 0	0,1
			сағ(0) = 0	0,1
	0,2x 2 + ж 2		сағ(0) = 0,8	0,1
	x 2 + ж		сағ(0) = 0,4	0,1
	xy + 0,1ж 2		сағ(0) = 0,5	0,1

Әдебиет

Негізгі әдебиет:

Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математикалық әдістерВ

тамақ инженериясы: Оқулық. – Санкт-Петербург: «Лан», 2012. – 212 б.

Алексеев Г.В. Техникадағы математикалық әдістер: Білім беру әдісі. жәрдемақы. – Санкт-Петербург: NRU ITMO; IHBT. 2012. – 39 б.

Алексеев Г.В., Холявин И.И. Сандық экономикалық-математикалық модельдеу және оңтайландыру: оқу құралыжоғары оқу орындарына арналған, Мемлекеттік экономика және технология институты, 2011, 211 б.

Макаров Е.Г. Mathcad: Тренинг курсы. – Петербург: Петр, 2009. - 384 б.

әрі қарай оқу :

Поршнев С.В., Беленкова И.В. Mathcad негізіндегі сандық әдістер. –

Санкт-Петербург: BHV-Петербург, 2005. – 464 б.

Агапев Б.Д., Белов В.Н., Кесаманлы Ф.П., Козловский В.В., Марков С.И. Эксперименттік мәліметтерді өңдеу: Оқулық. жәрдемақы / Санкт-Петербург мемлекеттік техникалық университеті. Санкт-Петербург, 2001 ж.

Горелова Г.В. Ықтималдық теориясы және математикалық статистика Excel көмегімен мысалдар мен тапсырмаларда. – М.: Феникс, 2005. – 476 б.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Оңтайлы жағдайларды іздеу кезінде экспериментті жоспарлау - М.: Наука, 1976

Асатурян В.И. Экспериментті жоспарлау теориясы.-М.: Радио және байланыс, 1983 ж

Бродский В.З. Тәжірибелерді факторлық жобалауға кіріспе.-М.: Наука, 1976

Демиденко Е.З. Сызықтық және сызықты емес регрессия.-М.: Қаржы және статистика, 1981 ж.

Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Экспериментті жоспарлау.-Минск: БГУ, 1982 ж

Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Көпфакторлы эксперимент мәселелеріндегі комбинаторлық жоспарлар – М.: Наука, 1979

Фролкис В.А. Сызықтық және сызықты емес оңтайландыру.-SPb. 2001. 306 б.

Курицкий Б.Я. Excel 7.0.-SPb көмегімен оңтайлы шешімдерді іздеу: BHV, 1997, 384с

бағдарламалық қамтамасыз ету және интернет ресурстары:

http://www.open-mechanics.com/journals - Тамақ өнімдерін өндіруге арналған процестер мен аппараттар

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Сұйықтық пен газ механикасы, гидравлика және гидравликалық машиналар

http://elibrary.ru/defaultx.asp - ғылыми электронды кітапхана«Кітапхана»

Кіріспе

1.Зертханалық жұмыс№1: Шамамен есептеу теориясы

1.1. Абсолютті және салыстырмалы қателер

1.2. Дөңгелектелген сан қатесі

1.3. Арифметикалық қателер

1.4. Қателер элементар функциялар

1.5. Шекара әдісі

1.6. Қателер теориясының кері есебі

1.7. Тақырып бойынша сұрақтар

1.8. No1 зертханалық жұмыстың тапсырмалары

2. Зертханалық жұмыс No2: Ерітінділердің сандық әдістері

скаляр теңдеулер

1.1. Аккорд әдісі

1.2. Тангенс әдісі

1.3. Қарапайым итерация әдісі

1.4. Тақырып бойынша сұрақтар

1.5. No2 зертханалық жұмыстың тапсырмалары

3. Зертханалық жұмыс No3: Жүйелерді шешудің сандық әдістері

сызықтық емес теңдеулер

3.1. Ньютон әдісі

3.2. Тақырып бойынша сұрақтар

3.3. Зертханалық тапсырма No3

4. Зертханалық жұмыс No4: Сандық интегралдау

4.1. Тіктөртбұрыш әдісі

4.2. Симпсон әдісі

4.3. Трапеция әдісі

4 .4. Монте-Карло әдісі

4.5. Тақырып бойынша сұрақтар

4.6. Зертханалық тапсырма No4

5. No5 зертханалық жұмыс: Жай дифференциалдық теңдеулерді шешу

5.1. Пикард әдісі

5.2. Эйлер әдісі және оның модификациялары

5.3. Рунге-Кутта әдісі

Билет нөмірі 5.3. Басқару объектісінің жүйелік моделі. Айнымалылар топтарының сипаттамалары. Модель тұрғысынан басқару шешімі. «Шығарылатын» айнымалылар мәселесі және оны шешу жолдары

Осы есептің (Коши мәселесі) шешімінің бар болуы және бірегейлігі туралы Пикар мен Пианоның белгілі теоремаларын еске түсірейік.

ПЕАНО теоремасы, егер f(x,Y) функциясы нүктенің маңайында (X 0 ,Y 0) үзіліссіз болса, Коши есебінің шешімі X o нүктесінің белгілі бір маңайында болатынын айтады.

PICARD теоремасы f(x,Y) функциясы ғана емес, сонымен қатар оның жеке туынды f"y (x,Y) де (X 0,Y 0) нүктесінің маңайында үзіліссіз болса, онда шешімі Коши мәселесі X 0 нүктесін қамтитын белгілі бір сегментте бірегей болып табылады.

Пикар теоремасының дәлелі қысқарту кескіндерінің жалпы принципінен шығады, бұл өте қиын, бірақ маңызды артықшылығы бар - ол конструктивті; Сонымен қатар, онда тұрғызылған Y n (x) функцияларының тізбегі кесіндіде жылдамдықпен біркелкі шешімге жиналады. геометриялық прогрессия. Пикард әдісінде U n (x) функциялар тізбегі қайталанатын формула арқылы құрастырылады:

n= 0,1,2,...,

ал тұрақты Y 0 нөлдік жуықтау ретінде қабылданады: Y 0 (x)ºY 0 .

Бұл қайталану формуласының шығу тегін көрсету үшін интегралдық теңдеуді ескеріңіз

бастапқы Коши есебіне баламалы, өйткені оның шешімі болып табылатын кез келген Y(x) функциясы Y(X o)=Y o бастапқы шартын және Y"(x)=f(x,Y(x)) теңдеуін қанағаттандырады. ) және керісінше.

Сұрақ: Неліктен бұл шынымен солай?

4.1-мысал Y(0)=1 бастапқы шарты бар Y"=Y теңдеуін шешу үшін Пикард әдісін қолданайық. Бұл есеп Y=1+òY(t)dt интегралдық теңдеуінің шешімін табуға эквивалентті.

Бастапқы жуықтау ретінде Y о =1 функциясын аламыз.

Сонда Y 1 =1+òY o (t)dt= 1+òdt= 1+x.

Y 3 = 1+òY 2 (t)dt= 1+ò(1+t+t 2 /2)dt= 1+x+x 2 /2+x 3 /6.

Y n = 1+x+x 2 /2+ ... +x n /n! екеніне көз жеткізуге болады.

4.1-жаттығу Математикалық индукция принципін қолдана отырып, соңғы теңдікті дәлелдеңіз.

4.2-жаттығу 4.1-мысалда дәл Y(X) шешімін табыңыз және кесіндідегі Y n (x) -> Y(X) біркелкі жинақтылық жылдамдығын бағалаңыз.

Жалпы, қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешудің жуық әдістерін 3 түрге бөлуге болады:

· аналитикалық, формула түріндегі Y(x) жуық шешімін алуға мүмкіндік береді,

· графика, Y(x) шешімінің графигін жуықтап алуға мүмкіндік береді, яғни. интегралдық қисық,

· сандық, нәтижесінде Y(x) функциясының жуық мәндерінің кестесі алынады,

бұл бөлу біршама ерікті болса да.

Пикард әдісінен басқа, аналитикалық әдістерда қолданылады

белгісіз Y(x) функциясын қатарға кеңейту әдісі,

соған біз енді тоқталамыз.

Тейлор қатарындағы Y(X) формальды кеңеюін а нүктесінде жазайық:

Бұл теңдікке а нүктесіндегі белгісіз U(X) функциясының туындылары кіреді, алайда дәл осы сәтте есептің шарттарын пайдалана отырып, кез келген туынды санын дәйекті түрде тауып, шешімнің қажетті жуықтауын алуға болады. Жалпы, ол келесідей көрінеді: Y o (a) = Y (a) = Y o; Y"(a)=f(a,Y(a))= f(a,Y o)

Бізге берілген теңдеуді Х-қа қатысты дифференциалдап, аламыз

Y""(X)=f" x (x,Y(x))+f" y (x,Y(x))*Y"(x), қайдан Y""(a)= f" x (a) ,Yо)+f" y (a,Y о)*f(a,Y о).

Үшінші және одан кейінгі туындылардың а нүктесіндегі мәндері бірдей алынады - біз бастапқы теңдеуді қажетті ретпен дифференциялаймыз және бұрын алынған туынды мәндерді а нүктесінде ауыстырамыз.

4.2-мысал Y"=2xY теңдеуін және Y(0)=1 бастапқы шартын қанағаттандыратын Y(x) функциясының қатарын кеңейтудің бірінші мүшелерін жазайық.

Y"""(x)=2 Y"(x)+2 Y"(x)+2x*Y""(x)= 4Y"(x)+2xY""(x), мұндағы Y""" ( 0)=0.

Y (4) (x)=4Y""(x)+2xY"""(x), одан Y (4) (0)=6.

Y(x)»1+x 2 +0,5x 4 жуық шешімін аламыз.

4.3-жаттығу. Функциялардың туындысының n-ші туындысын табу үшін Лейбниц формуласын қолданып, 4.2-мысалда ізделетін функцияның Тейлор қатарына кеңеюін жазыңыз.

4.4-жаттығу 4.2-мысалдағы нақты шешімді табыңыз және 4.2-мысалдағы жуықтау сапасын [-0,5,0,5] аралығында бағалаңыз.

Жоғарыда сипатталған әдістер тәжірибеде жиі қолданылмайды, өйткені Пикард әдісінде әр қадамда интегралды есептеу қажет, бұл есептеулерді қиындатады және дәлдікті төмендетеді, ал серияларды кеңейту әдісінде процесті формалдау өте қиын. кез келген тілдегі туынды сөздерді табу жоғары тәртіп, және кеңейту шарттарының аз санымен бұл әдіс тек а нүктесіне жақын жерде жақсы жуықтау береді.

ГРАФИКАЛЫҚтардың ішінде біз қарастырамыз