Анықталмаған интегралдарды шешу. Бөлшек-рационал функцияны интегралдау

Алдыңғы тармақтардағы жоғарыда айтылғандардың барлығы интеграцияның негізгі ережелерін тұжырымдауға мүмкіндік береді рационал бөлшек.

1. Егер рационал бөлшек бұрыс болса, онда ол көпмүше мен дұрыс рационал бөлшектің қосындысы ретінде көрсетіледі (2-тармақты қараңыз).

Бұл бұрыс рационал бөлшектің интегралын көпмүше мен дұрыс рационал бөлшектің интегралына азайтады.

2. Жай бөлшектің бөлімін көбейткіштер.

3. Дұрыс рационал бөлшек жай бөлшектердің қосындысына ыдырайды. Бұл дұрыс рационал бөлшектің интегралын жай бөлшектердің интегралына азайтады.

Мысалдарды қарастырайық.

Мысал 1. табыңыз.

Шешім. Интегралдың астында бұрыс рационал бөлшек орналасқан. Бүкіл бөлікті таңдай отырып, біз аламыз

Демек,

- деп атап, дұрыс рационал бөлшекті кеңейтейік

жай бөлшектерге:

((18) формуланы қараңыз). Сондықтан

Осылайша, бізде ақыры

Мысал 2. Табыңыз

Шешім. Интегралдың астында дұрыс рационал бөлшек орналасқан.

Оны жай бөлшектерге кеңейте отырып ((16) формуланы қараңыз), біз аламыз

Анықталмаған интегралды бөлшектік жолмен табу есебі рационал функцияжай бөлшектерді интегралдауға келтіреді. Сондықтан, алдымен бөлшектерді қарапайымға бөлу теориясының бөлімімен танысуды ұсынамыз.

Мысал.

Анықталмаған интегралды табыңыз.

Шешім.

Интегралдың алымының дәрежесі бөлгіштің дәрежесіне тең болғандықтан, алдымен көпмүшені бағанмен көпмүшеге бөлу арқылы бүтін бөлікті таңдаймыз:

Сондықтан, .

Алынған дұрыс рационал бөлшекті жай бөлшектерге ыдырау формасы бар . Демек,

Алынған интеграл үшінші типті ең жай бөлшектің интегралы. Біраз алға қарай отырып, оны дифференциалдық белгінің астына қосу арқылы алуға болатынын ескереміз.

Өйткені , Бұл . Сондықтан

Демек,

Енді төрт түрдің әрқайсысының жай бөлшектерін интегралдау әдістерін сипаттауға көшейік.

Бірінші типті жай бөлшектерді интегралдау

Бұл мәселені шешу үшін тікелей интеграция әдісі өте қолайлы:

Мысал.

Функцияның антитуындылар жиынын табыңыз

Шешім.

Анықталмаған интегралды қарсы туындының қасиеттерін, қарсы туындылар кестесін және интегралдау ережесін пайдаланып табайық.

Беттің жоғарғы жағы

Екінші типті жай бөлшектерді интегралдау

Бұл мәселені шешу үшін тікелей интеграция әдісі де қолайлы:

Мысал.

Шешім.

Беттің жоғарғы жағы

Үшінші типті жай бөлшектерді интегралдау

Алдымен анықталмаған интегралды көрсетеміз сомасы ретінде:

Бірінші интегралды дифференциалдық таңбаның астына қосу арқылы аламыз:

Сондықтан,

Алынған интегралдың азайғышын түрлендірейік:

Демек,

Үшінші типті жай бөлшектерді интегралдау формуласы келесідей болады:

Мысал.

Анықталмаған интегралды табыңыз .

Шешім.

Алынған формуланы қолданамыз:

Егер бізде бұл формула болмаса, не істер едік:

Беттің жоғарғы жағы

Төртінші типті жай бөлшектерді интегралдау

Бірінші қадам - ​​оны дифференциалдық белгінің астына қою:

Екінші қадам - ​​пішіннің интегралын табу . Бұл түрдегі интегралдар қайталану формулалары арқылы табылады. (Қайталану формулаларын пайдаланып біріктіру бөлімін қараңыз.) Біздің жағдайымызға келесі қайталанатын формула қолайлы:

Мысал.

Анықталмаған интегралды табыңыз

Шешім.

Интегралдың бұл түрі үшін ауыстыру әдісін қолданамыз. Жаңа айнымалыны енгізейік (иррационал функцияларды интегралдау бөлімін қараңыз):

Ауыстырудан кейін бізде:

Біз төртінші типті бөлшектің интегралды табуға келдік. Біздің жағдайда коэффициенттер бар M = 0, p = 0, q = 1, N = 1Және n=3. Қайталанатын формуланы қолданамыз:

Кері ауыстырудан кейін біз нәтиже аламыз:

Интеграция тригонометриялық функциялар

1.Пішіннің интегралдары формулалар арқылы тригонометриялық функциялардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру арқылы есептеледі: Мысалы, 2.Пішіннің интегралдары , Қайда мнемесе n– дифференциалдық белгінің астына қосу арқылы есептелетін тақ оң сан. Мысалы, , Қайда мЖәне n 3. Пішіннің интегралдары –жұп оң сандар дәрежені азайту формулалары арқылы есептеледі: Мысалы, 4. Интегралдар мұнда айнымалыны өзгерту арқылы есептеледі: немесе Мысалы, 5. Түрдегі интегралдар әмбебап тригонометриялық алмастыруды пайдаланып, рационал бөлшектердің интегралдарына келтіріледі (өйткені =[алым мен бөлгішті бөлгеннен кейін ]= ; Мысалы,

Айта кету керек, әмбебап ауыстыруды пайдалану жиі ауыр есептеулерге әкеледі.

§5. Ең қарапайым иррационалдықтарды интегралдау Иррационалдықтың қарапайым түрлерін біріктіру әдістерін қарастырайық. 2. (интегралдық таңба астында – аргументтердің рационал функциясы). Бұл түрдегі интегралдар алмастыру арқылы есептеледі. Атап айтқанда, интегралдар түрінде біз белгілейміз. Егер интегралда әртүрлі дәрежелі түбірлер болса: , содан кейін қай жерді белгілеңіз n– сандардың ең кіші ортақ еселігі м,к. 1-мысал. 2-мысал. – – – -бурыс рационал бөлшек, бүтін бөлікті таңдаңыз: 3. Пішіннің интегралдары

44

тригонометриялық алмастырулар арқылы есептеледі:

45 Анықталған интегралАнықталған интеграл

- жұптар жиынында анықталған аддитивті монотонды нормаланған функционалдық, оның бірінші компоненті интегралданатын функция немесе функционалды, ал екіншісі осы функцияны (функционалдық) көрсету жиынындағы облыс болып табылады.

Анықтама , ,

Ол бойынша анықталсын. Оны бірнеше ерікті нүктелері бар бөліктерге бөлейік. Содан кейін олар сегменттің бөлінгенін айтады. Әрі қарай, ерікті нүктені таңдаңыз

Интервалдағы функцияның анықталған интегралы интегралдық қосындылардың шегі болып табылады, өйткені бөлімнің рангі нөлге ұмтылады, егер ол бөлімге және нүктелерді таңдауға тәуелсіз болса, яғни

Көрсетілген шек бар болса, функция Риманның интегралдануы деп аталады.

Белгілер

· - төменгі шегі.

· - жоғарғы шегі.

· - интегралдық функция.

· - жартылай сегменттің ұзындығы.

· · - сәйкес бөлімдегі функцияның интегралдық қосындысы.

- ішінара сегменттің максималды ұзындығы.

Қасиеттер

Егер функция Риман бойынша интегралданатын болса, онда ол онымен шектеледі.

Геометриялық мағынасы

Анықталған интеграл фигураның ауданы ретінде Анықталған интегралды сандықауданына тең

х осімен, түзу сызықтармен және функцияның графигімен шектелген фигура.

Ньютон-Лейбниц теоремасы

[өңдеу]

(«Ньютон-Лейбниц формуласынан» қайта бағытталды)немесе Ньютон-Лейбниц формуласыталдаудың негізгі теоремасы

екі амал арасындағы қатынасты береді: анықталған интегралды алу және антитуындыны есептеу.

Дәлелдеу

Интегралданатын функция интервалда берілсін. Мұны атап өтуден бастайық

яғни кесіндінің үстіндегі анықталған интегралда қай әріп (немесе) таңбаның астында тұрғаны маңызды емес. Ерікті мәнді орнатып, жаңа функцияны анықтайық

(1)

. Ол -ның барлық мәндері үшін анықталған, өйткені біз білеміз, егер on -ның интегралы болса, онда -ның интегралы да бар, мұнда. Еске салайық, біз анықтама бойынша қарастырамыз

Ескертіп қой

аралықта үзіліссіз екенін көрсетейік. Шындығында, рұқсат етіңіз; Содан кейін

және егер болса, онда

Суретте график көрсетілген. Айнымалы фигураның ауданы . Оның өсімі фигураның ауданына тең , ол өзінің шектелгендігіне байланысты үзіліссіз немесе үзіліс нүктесі, мысалы, нүкте екендігіне қарамастан, нөлге ұмтылатыны анық.

Енді функция тек интегралдаушы ғана емес, нүктеде үзіліссіз болсын. Осы нүктедегі туындының тең болатынын дәлелдейік

(2)

Шын мәнінде, көрсетілген нүкте үшін

(1) , (3)

қоямыз, және ол ,TO-ға қатысты тұрақты болғандықтан . Әрі қарай, нүктедегі үздіксіздікке байланысты, кез келген адам үшін деп белгілей алады.

үшін осы теңсіздіктің сол жағы o(1) болатынын дәлелдейді.

(3) шегіне өту нүктесінде туындының бар екенін және (2) теңдігінің жарамдылығын көрсетеді. Бұл жерде тиісінше оң және сол туындылар туралы сөз болғанда.

Егер функция үздіксіз болса, жоғарыда дәлелденгенге сүйене отырып, сәйкес функция шығады

(4)

-ге тең туындысы бар. Демек, функция -ға қарсы туынды болып табылады.

Бұл тұжырымды кейде айнымалы интегралдық теорема деп те атайды жоғарғы шегінемесе Барроу теоремасы.

Біз интервалда үздіксіз болатын ерікті функцияның (4) теңдігімен анықталатын осы аралықта қарсы туынды болатынын дәлелдедік. Бұл интервалда үздіксіз кез келген функция үшін антитуындының бар екенін дәлелдейді.

Енді еріктісі болсын функцияның антитуындысыбойынша. Біз білеміз, қай жерде кейбір тұрақты. Осы теңдікте және оны ескере отырып, біз аламыз.

Осылайша, . Бірақ

Дұрыс емес интеграл

Ньютон-Лейбниц теоремасы

Википедия материалы – еркін энциклопедия

45 Анықталған интегралшақырды сенікі емес, егер төмендегі шарттардың кем дегенде біреуі орындалса:

· a немесе b шегі (немесе екі шек) шексіз;

· f(x) функциясының сегмент ішінде бір немесе бірнеше тоқтау нүктелері бар.

[өңдеу]Бірінші текті дұрыс емес интегралдар

. Содан кейін:

1. Егер және интеграл деп аталады . Бұл жағдайда конвергентті деп аталады.

, немесе жай ғана әртүрлі.

және жиынында анықталған және үздіксіз болсын . Содан кейін:

1. Егер , содан кейін белгі қолданылады және интеграл деп аталады бірінші текті дұрыс емес Риман интегралы. Бұл жағдайда конвергентті деп аталады.

2. Шексіз болса (немесе ) болса, онда интегралға ажыратылады делінеді , немесе жай ғана әртүрлі.

Егер функция анықталған және бүкіл сандар жолында үздіксіз болса, онда мына формуламен анықталатын интегралдаудың екі шексіз шегі бар бұл функцияның дұрыс емес интегралы болуы мүмкін:

, мұндағы c - ерікті сан.

Ньютон-Лейбниц теоремасы Бірінші текті бұрыс интегралдың геометриялық мағынасы

Дұрыс емес интеграл шексіз ұзындықтың ауданын білдіреді қисық трапеция.

Ньютон-Лейбниц теоремасы Мысалдар

[өңдеу]Екінші текті дұрыс емес интегралдар

Ол бойынша анықталсын, x=a нүктесінде шексіз үзіліске ұшырайды . Содан кейін:

1. Егер , содан кейін белгі қолданылады және интеграл деп аталады

дивергентті деп аталады , немесе жай ғана әртүрлі.

Ол бойынша анықталсын, x=b және кезінде шексіз үзіліске ұшырайды . Содан кейін:

1. Егер , содан кейін белгі қолданылады және интеграл деп аталады екінші текті дұрыс емес Риман интегралы. Бұл жағдайда интеграл жинақты деп аталады.

2. Егер немесе болса, онда белгілеу өзгеріссіз қалады, және дивергентті деп аталады , немесе жай ғана әртүрлі.

Егер функция кесіндінің ішкі нүктесінде үзіліске ұшыраса, онда екінші текті дұрыс емес интеграл мына формуламен анықталады:

Ньютон-Лейбниц теоремасы Екінші текті дұрыс емес интегралдардың геометриялық мағынасы

Дұрыс емес интеграл шексіз биік қисық трапецияның ауданын өрнектейді

Ньютон-Лейбниц теоремасы Мысал

[өңдеу]Оқшауланған жағдай

Функция бүкіл сан түзуінде анықталсын және нүктелерінде үзіліс болсын.

Сонда дұрыс емес интегралды таба аламыз

[өңдеу] Коши критерийі

1. Ол және жиынында анықталсын .

Содан кейін жинақталады

2. және бойынша анықталсын .

Содан кейін жинақталады

[өңдеу]Абсолюттік конвергенция

Интегралдық шақырды абсолютті конвергентті, Егер жинақталады.
Егер интеграл абсолютті жинақталса, онда ол жинақталады.

[өңдеу]Шартты жинақтылық

интеграл деп аталады шартты конвергентті, егер ол жақындаса, бірақ ажыраса.

48 12. Меншіксіз интегралдар.

Анықталған интегралдарды қарастырғанда, біз интегралдау облысы шектелген деп есептедік (нақтырақ айтқанда, бұл [ сегменті а ,б ]); Анықталған интегралдың болуы үшін интеграл [мен шектелуі керек. а ,б ]. Біз қоңырау шаламыз анықталған интегралдар, ол үшін осы шарттардың екеуі де қанағаттандырылады (интегралдау облысы мен интегралдық функцияның екеуінің де шектелуі) меншік; осы талаптар бұзылған интегралдар (яғни, интеграл немесе интеграция облысы шексіз, немесе екеуі де) сенікі емес. Бұл бөлімде дұрыс емес интегралдарды зерттейміз.

• 12.1. Шексіз интервалдағы дұрыс емес интегралдар (бірінші текті дұрыс емес интегралдар).
• 12.1.1. Шексіз интервалдағы бұрыс интегралдың анықтамасы. Мысалдар.
• 12.1.2. Дұрыс емес интеграл үшін Ньютон-Лейбниц формуласы.
• 12.1.3. Теріс емес функцияларды салыстыру критерийлері.
• 12.1.3.1. Салыстыру белгісі.
• 12.1.3.2. Салыстыру белгісі өзінің экстремалды түрінде.
• 12.1.4. Шексіз интервалдағы дұрыс емес интегралдардың абсолютті жинақтылығы.
• 12.1.5. Абель мен Дирихле конвергенциясына арналған тесттер.
• 12.2. Шексіз функциялардың дұрыс емес интегралдары (екінші текті дұрыс емес интегралдар).
• 12.2.1. Шексіз функцияның бұрыс интегралының анықтамасы.
• 12.2.1.1. Ерекшелік интегралдау интервалының сол жағында.
• 12.2.1.2. Ньютон-Лейбниц формуласын қолдану.
• 12.2.1.3. Интегралдау интервалының оң жағындағы ерекшелік.
• 12.2.1.4. Интегралдау интервалының ішкі нүктесіндегі ерекшелік.
• 12.2.1.5. Интегралдау интервалындағы бірнеше мүмкіндіктер.
• 12.2.2. Теріс емес функцияларды салыстыру критерийлері.
• 12.2.2.1. Салыстыру белгісі.
• 12.2.2.2. Салыстыру белгісі өзінің экстремалды түрінде.
• 12.2.3. Үзіліссіз функциялардың бұрыс интегралдарының абсолютті және шартты жинақтылығы.
• 12.2.4. Абель мен Дирихле конвергенциясына арналған тесттер.

12.1. Шексіз интервалдағы дұрыс емес интегралдар

(бірінші текті дұрыс емес интегралдар).

12.1.1. Шексіз интервалдағы бұрыс интегралдың анықтамасы. Функция болсын f (x ) жартылай осьте анықталған және кез келген интервалда интегралданатын [ бастап, осы жағдайлардың әрқайсысында сәйкес шектердің болуы мен ақырлылығын білдіреді. Енді мысалдардың шешімдері оңайырақ көрінеді: .

12.1.3. Теріс емес функцияларды салыстыру критерийлері. Бұл бөлімде біз барлық интегралдарды анықтаудың барлық облысы бойынша теріс емес деп есептейміз. Осы уақытқа дейін біз интегралдың жинақтылығын оны есептеу арқылы анықтадық: егер сәйкес тенденцияға (немесе ) қарсы туындының ақырғы шегі болса, онда интеграл жинақталады, әйтпесе алшақтайды. Бірақ практикалық есептерді шешу кезінде ең алдымен жинақтылық фактісін анықтау маңызды, содан кейін ғана интегралды есептеу керек (сонымен қатар, антитуынды жиі терминдермен өрнектелмейді. элементар функциялар). Теріс емес функциялардың бұрыс интегралдарының жинақтылығы мен дивергенциясын есептеусіз орнатуға мүмкіндік беретін бірқатар теоремаларды тұжырымдап, дәлелдеп көрейік.
12.1.3.1. Салыстыру белгісі. Функцияларға рұқсат етіңіз f (x ) Және g (x ) интегралдық

Соны еске түсірейік бөлшек-рационал$$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ жалпы жағдайда %%P_n(x)%% және % көпмүшелерінің қатынасы түрінде болатын функциялар деп аталады. %Q_m(x)% %.

%%m > n \geq 0%% болса, онда рационал бөлшек шақырылады дұрыс, әйтпесе – дұрыс емес. Көпмүшелерді бөлу ережесін қолдана отырып, бұрыс рационал бөлшекті %%P_(n - m)%% дәрежелі %%n - m%% көпмүшесінің және кейбір дұрыс бөлшектің қосындысы ретінде көрсетуге болады, яғни. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ мұндағы дәреже %%l%% %%P_l(x)%% көпмүшесінің %%Q_n(x)%% көпмүшесінің %%n%% дәрежесінен аз.

Сонымен, рационал функцияның анықталмаған интегралы көпмүше мен дұрыс рационал бөлшектің анықталмаған интегралдарының қосындысы ретінде ұсынылуы мүмкін.

Жай рационал бөлшектерден алынған интегралдар

Дұрыс рационал бөлшектердің ішінде төрт түрі бар, олар келесідей жіктеледі жай рационал бөлшектер:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

мұндағы %%k > 1%% бүтін сан және %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Алғашқы екі типті бөлшектердің анықталмаған интегралдарын есептеу

Алғашқы екі түрдегі бөлшектердің анықталмаған интегралдарын есептеу қиындық тудырмайды: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a) )^(k-1)) + C. \end(массив) $$

Үшінші типті бөлшектердің анықталмаған интегралдарын есептеу

Бірінші бөлшектің үшінші түрін бөлгіштегі тамаша квадратты ерекшелеу арқылы түрлендіреміз: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2) )^2 + q - p^2/4), $$ бері %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, біз оны %%a^2%% деп белгілейміз. Сондай-ақ %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%% ауыстырып, бөлгішті түрлендіреміз және үшінші типті бөлшектің интегралы $$ \begin(массив) түрінде жазамыз. )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(массив) $$

Анықталмаған интегралдың сызықтылығын пайдаланып, соңғы интегралды екінің қосындысы ретінде көрсетеміз және олардың біріншісіне дифференциалдық таңбаның астына %%t%% енгіземіз: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (+ (B - A p /2)) (t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\оң))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\оң| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(массив) $$

Бастапқы %%x%% айнымалысына оралсақ, нәтижесінде үшінші типтегі бөлшек үшін $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x аламыз. = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ мұнда %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

4 типті интегралды есептеу қиын, сондықтан бұл курста қарастырылмаған.

Бөлшек деп аталады дұрыс, егер алымның ең жоғарғы дәрежесі бөлгіштің ең жоғары дәрежесінен кіші болса. Дұрыс рационал бөлшектің интегралы келесідей болады:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Рационал бөлшектерді интегралдау формуласы көпмүшенің бөлгіштегі түбірлеріне байланысты. Егер $ ax^2+bx+c $ көпмүшесінде:

1. Тек күрделі түбірлер, содан кейін одан толық квадрат алу керек: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Әртүрлі нақты түбірлер $ x_1 $ және $ x_2 $, содан кейін интегралды кеңейтіп, $ A $ және $ B $ анықталмаған коэффициенттерін табу керек: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Бір көп түбір $ x_1 $, содан кейін интегралды кеңейтіп, келесі формула үшін $ A $ және $ B $ анықталмаған коэффициенттерін табамыз: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Бөлшек болса қате, яғни алымдағы ең жоғарғы дәреже азайғыштың ең жоғарғы дәрежесінен үлкен немесе оған тең, содан кейін алдымен оны азайту керек. дұрыскөпмүшені алымнан көпмүшені бөлгіштен бөлу арқылы түзеді. Бұл жағдайда рационал бөлшекті интегралдау формуласы келесідей болады:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Шешімдердің мысалдары

1-мысал

Рационал бөлшектің интегралын табыңыз: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Шешім

Бөлшек дұрыс, ал көпмүшенің тек күрделі түбірлері бар. Сондықтан біз толық шаршыны таңдаймыз: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Біз толық шаршыны бүктеп, оны $ x-5 $ дифференциалдық белгісінің астына қоямыз: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Интегралдар кестесін пайдалана отырып, мынаны аламыз: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Мәселеңізді шеше алмасаңыз, оны бізге жіберіңіз. Біз егжей-тегжейлі шешімді береміз. Есептеу барысын қарап, ақпарат ала аласыз. Бұл мұғалімнің бағасын дер кезінде алуға көмектеседі!

Жауап

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

2-мысал

Рационал бөлшектерді интегралдауды орындаңыз: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Шешім

Шешейік квадрат теңдеу: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Біз түбірлерді жазамыз: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Алынған түбірлерді ескере отырып, интегралды түрлендіреміз: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Рационал бөлшекті кеңейтуді орындаймыз: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Сандарды теңестіріп, $ A $ және $ B $ коэффициенттерін табамыз: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \бастау(жағдайлар) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \соңғы(жағдайлар) $$ $$ \бастау(жағдайлар) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \соңғы(жағдайлар) $$ Табылған коэффициенттерді интегралға ауыстырып, оны шешеміз: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Жауап

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Бөлшек-рационал функцияны интегралдау.
Белгісіз коэффициент әдісі

Бөлшектерді интегралдау бойынша жұмысты жалғастырамыз. Біз сабақта бөлшектің кейбір түрлерінің интегралдарын қарастырдық және бұл сабақты белгілі бір мағынада жалғасы деп санауға болады. Материалды сәтті түсіну үшін негізгі интеграциялық дағдылар қажет, сондықтан егер сіз интегралды оқуды енді бастаған болсаңыз, яғни сіз бастаушы болсаңыз, онда сіз мақаладан бастауыңыз керек. Анықталмаған интеграл. Шешімдердің мысалдары.

Бір қызығы, енді біз интегралдарды табумен емес, жүйелерді шешумен айналысамыз. сызықтық теңдеулер. Бұл жөнінде шұғылСабаққа қатысуды ұсынамын, атап айтқанда, ауыстыру әдістерін («мектеп» әдісі және жүйелік теңдеулерді тоқсан сайын қосу (азайту) әдісі) жақсы білу керек.

Бөлшек рационал функция дегеніміз не? Қарапайым сөзбен айтқанда, бөлшек-рационал функция деп алымы мен бөлгішінде көпмүшелер немесе көпмүшелердің туындылары бар бөлшекті айтады. Оның үстіне, фракциялар мақалада талқыланғандарға қарағанда күрделірек Кейбір бөлшектерді интегралдау.

Дұрыс бөлшек-рационал функцияны интегралдау

Бірден мысал және бөлшек-рационал функцияның интегралын шешудің типтік алгоритмі.

1-мысал

1-қадам.Бөлшек рационал функцияның интегралын шешкенде біз ӘРҚАШАН жасайтын бірінші нәрсе келесі сұрақты нақтылау болып табылады: бөлшек дұрыс па?Бұл қадам ауызша орындалады, енді мен қалай түсіндіремін:

Алдымен санауышқа қарап, анықтаймыз жоғары дәрежекөпмүше:

Алымдардың жетекші күші екіге тең.

Енді бөлгішке қарап, анықтаймыз жоғары дәрежебөлгіш. Ашық әдіс - жақшаларды ашып, ұқсас терминдерді әкелу, бірақ сіз мұны оңайырақ жасай аласыз әрқайсысыжақшадағы ең жоғарғы дәрежені табыңыз

және ойша көбейтеді: - осылайша, бөлгіштің ең жоғарғы дәрежесі үшке тең. Егер біз жақшаларды ашсақ, үштен жоғары дәреже ала алмайтынымыз анық.

Қорытынды: Алымдардың негізгі дәрежесі ҚАТАҢбөлгіштің ең үлкен дәрежесінен кіші, бұл бөлшек дұрыс дегенді білдіреді.

Егер кірсе бұл мысалдаалым құрамында 3, 4, 5 және т.б. көпмүше болды. градус болса, онда бөлшек болады қате.

Енді біз тек дұрыс бөлшек рационал функцияларды қарастырамыз. Бөлімшенің дәрежесі бөлгіш дәрежесінен үлкен немесе оған тең болған жағдайды сабақ соңында қарастырамыз.

2-қадам.Бөлгішті көбейткіштерге бөлейік. Бөлгішті қарастырайық:

Жалпы алғанда, бұл қазірдің өзінде факторлардың өнімі, бірақ соған қарамастан, біз өзімізге сұрақ қоямыз: басқа нәрсені кеңейту мүмкін бе? Азаптау объектісі шаршы триномия болатыны сөзсіз. Квадрат теңдеуді шешу:

Дискриминант нөлден үлкен, яғни үшмүшені көбейткіштерге бөлуге болады:

Жалпы ереже: Бөлгішке көбейткішке жатқызуға болатын БАРЛЫҚ - оны көбейтіңіз

Шешімді тұжырымдауды бастайық:

3-қадам.Анықталмаған коэффициенттер әдісін қолданып, интегралды жай (элементар) бөлшектердің қосындысына кеңейтеміз. Енді түсінікті болады.

Біздің интегралдық функциямызды қарастырайық:

Білесіз бе, қандай да бір интуитивті ой пайда болады, біздің үлкен фракциямызды бірнеше кішкене бөліктерге айналдырсақ жақсы болар еді. Мысалы, келесідей:

Сұрақ туындайды, мұны істеу мүмкін бе? Жеңіл дем алайық, сәйкес теорема математикалық талдаубекітеді - МҮМКІН. Мұндай ыдырау бар және бірегей.

Бір ғана олжа бар, мүмкіндігі бар Сау болыңызБіз білмейміз, сондықтан атауы – анықталмаған коэффициенттер әдісі.

Өзіңіз ойлағандай, дененің кейінгі қозғалыстары осылай болады, айқайламаңыз! оларды тек ТАНУ – олардың немен тең екенін білуге ​​бағытталатын болады.

Абайлаңыз, мен тек бір рет егжей-тегжейлі түсіндіремін!

Олай болса, биді мына жерден бастайық:

Сол жақта өрнекті ортақ бөлгішке келтіреміз:

Енді біз бөлгіштерден қауіпсіз түрде құтыла аламыз (өйткені олар бірдей):

Сол жақта біз жақшаларды ашамыз, бірақ белгісіз коэффициенттерді әзірше ұстамаңыз:

Бұл ретте көпмүшелерді көбейту үшін мектеп ережесін қайталаймыз. Мен мұғалім болған кезде бұл ережені тіке айтуды үйрендім: Көпмүшені көпмүшеге көбейту үшін бір көпмүшенің әрбір мүшесін екінші көпмүшенің әрбір мүшесіне көбейту керек..

Нақты түсініктеме тұрғысынан коэффициенттерді жақшаға қойған дұрыс (бірақ мен уақытты үнемдеу үшін мұны ешқашан жасамаймын):

Сызықтық теңдеулер жүйесін құрастырамыз.
Алдымен біз жоғары дәрежелерді іздейміз:

Ал сәйкес коэффициенттерді жүйенің бірінші теңдеуіне жазамыз:

Келесі тармақты жақсы есте сақтаңыз. Оң жағында мүлде s болмаса не болар еді? Айталық, бұл ешқандай шаршысыз өзін көрсете ме? Бұл жағдайда жүйенің теңдеуінде оңға нөлді қою керек еді: . Неліктен нөл? Бірақ оң жақта сіз әрқашан дәл осы квадратты нөлмен тағайындай аласыз: Егер оң жағында айнымалылар және/немесе бос мүше болмаса, жүйенің сәйкес теңдеулерінің оң жақтарына нөлдерді қоямыз.

Сәйкес коэффициенттерді жүйенің екінші теңдеуіне жазамыз:

Ақырында, минералды су, біз тегін мүшелерді таңдаймыз.

Е... мен әзілдедім. Әзілді былай қойғанда, математика – маңызды ғылым. Біздің институт тобында доцент терминдерді сан түзуінің бойына шашыратып, ең үлкенін таңдаймын десе, ешкім күлген жоқ. Шынайы болайық. Дегенмен... кім осы сабақтың соңын көру үшін өмір сүрсе, бәрібір үнсіз күледі.

Жүйе дайын:

Біз жүйені шешеміз:

(1) Бірінші теңдеуден оны өрнектеп, оны жүйенің 2-ші және 3-ші теңдеулеріне қоямыз. Шындығында, басқа теңдеуден (немесе басқа әріпті) өрнектеуге болады, бірақ бұл жағдайда оны 1-ші теңдеуден өрнектеген тиімді, өйткені онда ең аз мүмкіндіктер.

(2) 2-ші және 3-ші теңдеулерде ұқсас терминдерді береміз.

(3) 2-ші және 3-ші теңдеулерді мүше бойынша қосып, теңдігін аламыз, одан шығатыны:

(4) Біз екінші (немесе үшінші) теңдеуді табамыз

(5) Бірінші теңдеуге ауыстырыңыз және .

Егер сізде жүйені шешу әдістерінде қиындықтар туындаса, оларды сабақта тәжірибеден өткізіңіз. Сызықтық теңдеулер жүйесін қалай шешуге болады?

Жүйені шешкеннен кейін әрқашан тексеру пайдалы - табылған мәндерді ауыстырыңыз сайынжүйенің теңдеуі, нәтижесінде бәрі «жиналуы» керек.

Жақында. Коэффиценттер табылды, және:

Аяқталған жұмыс келесідей болуы керек:

Көріп отырғаныңыздай, тапсырманың негізгі қиындығы сызықтық теңдеулер жүйесін құрастыру (дұрыс!) және шешу (дұрыс!) болды. Ал соңғы кезеңде бәрі соншалықты қиын емес: біз анықталмаған интегралдың сызықтық қасиеттерін қолданамыз және интегралдаймыз. Үш интегралдың әрқайсысында бізде «бос» бар екенін ескеріңіз. күрделі функция, Мен оны сабақта біріктіру ерекшеліктері туралы айттым Анықталмаған интегралдағы айнымалыны өзгерту әдісі.

Тексеріңіз: Жауапты ажыратыңыз:

Бастапқы интеграл функциясы алынды, бұл интегралдың дұрыс табылғанын білдіреді.
Тексеру кезінде өрнекті ортақ бөлгішке дейін азайтуға тура келді және бұл кездейсоқ емес. Анықталмаған коэффициенттер әдісі және өрнекті ортақ бөлгішке келтіру өзара кері әрекеттер болып табылады.

2-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз.

Бірінші мысалдағы бөлшекке оралайық: . Бөлгіште барлық факторлардың ТҮРЛІ болатынын байқау қиын емес. Мысалы, келесі бөлшек берілген болса, не істеу керек деген сұрақ туындайды: ? Бұл жерде бізде бөлгіште дәрежелер бар немесе математикалық тұрғыдан, еселік. Сонымен қатар, көбейткіштерге жіктелмейтін квадрат үшмүше бар (теңдеудің дискриминанты екенін тексеру оңай теріс, сондықтан үшмүшені көбейткіштерге бөлуге болмайды). Не істеу керек? Элементар бөлшектердің қосындысына кеңейту келесідей болады жоғарғы жағында белгісіз коэффициенттермен немесе басқа нәрсемен?

3-мысал

Функцияны енгізу

1-қадам.Бізде дұрыс бөлшек бар-жоғын тексеру
Негізгі алым: 2
Бөлгіштің ең жоғарғы дәрежесі: 8
, бұл бөлшек дұрыс екенін білдіреді.

2-қадам.Бөлгіште бір нәрсені көбейтуге болады ма? Әлбетте, жоқ, бәрі қазірдің өзінде белгіленген. Квадрат үшмүшені жоғарыда айтылған себептерге байланысты көбейтіндіге кеңейту мүмкін емес. Капюшон. Аз жұмыс.

3-қадам.Бөлшек-рационал функцияны элементар бөлшектердің қосындысы ретінде елестетейік.
Бұл жағдайда кеңейту келесі формада болады:

Бөлгішті қарастырайық:
Бөлшек-рационал функцияны элементар бөлшектердің қосындысына ыдырату кезінде үш негізгі нүктені ажыратуға болады:

1) Егер бөлгіште бірінші дәрежеге «жалғыз» коэффициент болса (біздің жағдайда), онда біз жоғарыға анықталмаған коэффициентті қоямыз (біздің жағдайда). № 1, 2 мысалдар тек осындай «жалғыз» факторлардан тұрды.

2) Егер бөлгіш бар болса бірнешекөбейткіш болса, оны келесідей ыдырату керек:
- яғни, біріншіден n-ші дәрежеге дейінгі «Х» барлық дәрежелерін ретімен өту. Біздің мысалда екі көп фактор бар: және , мен берген кеңейтімді тағы бір қарап шығыңыз және олардың дәл осы ережеге сәйкес кеңейтілгеніне көз жеткізіңіз.

3) Егер бөлгіште екінші дәрежелі бөлінбейтін көпмүше болса (біздің жағдайда), онда алымға бөлшектеу кезінде мынаны жазу керек. сызықтық функциябелгісіз коэффициенттермен (біздің жағдайда белгісіз коэффициенттермен және ).

Шындығында, тағы 4-ші жағдай бар, бірақ мен бұл туралы үндемеймін, өйткені іс жүзінде бұл өте сирек.

4-мысал

Функцияны енгізу коэффициенттері белгісіз элементар бөлшектердің қосындысы ретінде.

Бұл үшін мысал тәуелсіз шешім. Толық шешімжәне сабақтың соңында жауап береді.
Алгоритмді қатаң сақтаңыз!

Бөлшек-рационал функцияны қосындыға кеңейту принциптерін түсінсеңіз, қарастырылып отырған түрдегі кез келген дерлік интегралды шайнауға болады.

5-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз.

1-қадам.Әлбетте, бөлшек дұрыс:

2-қадам.Бөлгіште бір нәрсені көбейтуге болады ма? мүмкін. Мұнда текшелердің қосындысы берілген . Қысқартылған көбейту формуласын қолданып, бөлгішті көбейтіңіз

3-қадам.Анықталмаған коэффициенттер әдісін қолдана отырып, интегралды элементар бөлшектердің қосындысына кеңейтеміз:

Көпмүшені көбейткіштерге бөлуге болмайтынын ескеріңіз (дискриминанттың теріс екенін тексеріңіз), сондықтан жоғарғы жағына бір әріп емес, белгісіз коэффициенттері бар сызықтық функцияны қоямыз.

Бөлшекті ортақ бөлгішке келтіреміз:

Жүйені құрастырып шешейік:

(1) Бірінші теңдеуден өрнектеп, оны жүйенің екінші теңдеуіне ауыстырамыз (бұл ең ұтымды жол).

(2) Біз екінші теңдеуде ұқсас терминдерді береміз.

(3) Жүйенің екінші және үшінші теңдеулерін мүшелер бойынша қосамыз.

Барлық кейінгі есептеулер, негізінен, ауызша, өйткені жүйе қарапайым.

(1) Бөлшектердің қосындысын табылған коэффициенттерге сәйкес жазамыз.

(2) Анықталмаған интегралдың сызықтық қасиеттерін қолданамыз. Екінші интегралда не болды? Бұл әдіспен сабақтың соңғы абзацында танысуға болады. Кейбір бөлшектерді интегралдау.

(3) Біз тағы да сызықтық қасиеттерін қолданамыз. Үшінші интегралда біз толық квадратты оқшаулай бастаймыз (сабақтың соңғы абзацы). Кейбір бөлшектерді интегралдау).

(4) Екінші интегралды аламыз, үшіншіде толық квадратты таңдаймыз.

(5) Үшінші интегралды алыңыз. Дайын.