Біркелкі емес үшбұрыш. Мысалдармен егжей -тегжейлі теория (2020 ж.)
Біркелкі емес үшбұрыштың қасиеттері келесі теоремаларды білдіреді.
Теорема 1. Біркелкі емес үшбұрышта табандағы бұрыштар тең.
Теорема 2. Біркелкі емес үшбұрышта табанға дейінгі биссектриса медиана мен биіктікке тең.
Теорема 3. Біркелкі емес үшбұрышта табанға тартылған медиана биссектриса мен биіктікке тең.
Теорема 4. Біркелкі емес үшбұрышта табанға тартылған биіктік биссектриса мен медиана.
Олардың бірін дәлелдейік, мысалы, теорема 2.5.
Дәлел. ВС табаны бар ABC теңбұрышты үшбұрышын қарастырып, ∠ B = ∠ C екенін дәлелдеңіз, AD ABC үшбұрышының биссектрисасы болсын (1 -сурет). ABD және ACD үшбұрыштары үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісімен тең (AB = AC шарты бойынша, AD - ортақ жағы, ∠ 1 = ∠ 2, өйткені AD биссектриса). Бұл үшбұрыштардың теңдігінен ∠ B = ∠ C. теоремасы дәлелденген.
1 -теореманың көмегімен келесі теорема орнатылады.
Теорема 5. Үшбұрыштар теңдігінің үшінші критерийі. Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы сәйкесінше басқа үшбұрыштың үш қабырғасына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады (2 -сурет).
Пікір. 1 және 2 мысалдарда берілген сөйлемдер ортаңғы нүктенің қасиеттерін сызық кесіндісіне перпендикуляр түрде көрсетеді. Бұл сөйлемдерден мыналар шығады үшбұрыштың қабырғаларына перпендикулярлар бір нүктеде қиылысады.
Мысал 1.Жазықтықтың нүктесі кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта осы кесіндіге перпендикуляр орналасқанын дәлелдеңіз.
Шешім. М нүктесі AB кесіндісінің ұштарынан бірдей қашықтықта болсын (3 -сурет), яғни AM = BM.
Содан кейін AMB - теңбүйір. AB нүктесінің М нүктесі мен O ортасы арқылы p түзу жүргізейік. Құрылысы бойынша MO кесіндісі - AMB теңбұрышты үшбұрышының медианасы, демек (3 -теорема), ал биіктігі, яғни МО түзу сызығы AB кесіндісіне перпендикуляр медиана.
Мысал 2.Кесіндіге перпендикулярдың әрбір нүктесі оның ұштарынан бірдей қашықтықта екенін дәлелдеңіз.
Шешім. P - AB кесіндісіне перпендикуляр орта нүкте және О нүктесі - AB кесіндісінің орта нүктесі болсын (3 суретті қараңыз).
P түзуінде жатқан ерікті M нүктесін қарастырайық. AM және VM сегменттерін салайық. AOM мен PTO үшбұрыштары тең, өйткені олардың O шыңында тік бұрыштары бар, OM аяғы кең таралған, ал OA аяғы шарт бойынша OB аяғына тең. AOM және PTO үшбұрыштарының теңдігінен AM = BM шығады.
Мысал 3. ABC үшбұрышында (4 суретті қараңыз) AB = 10 см, BC = 9 см, AC = 7 см; үшбұрышта DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.
ABC және DEF үшбұрыштарын салыстырыңыз. Сәйкесінше табыңыз тең бұрыштар.
Шешім. Бұл үшбұрыштар үшінші атрибутта тең. Тиісінше, тең бұрыштар: А мен Е (ВС пен ФД тең қабырғаларына қарама -қарсы орналасқан), В мен F (АС пен ДЕ тең қабырғаларына қарама -қарсы орналасқан), С пен D (АВ мен ЕФ тең қабырғаларына қарама -қарсы орналасқан).
Мысал 4. 5 -суретте AB = DC, BC = AD, ∠B = 100 °.
D бұрышын табыңыз.
Шешім. ABC және ADC үшбұрыштарын қарастырайық. Олар үшінші критерий бойынша тең (шарты бойынша AB = DC, BC = AD және AC жағы ортақ). Бұл үшбұрыштардың теңдігінен ∠ B = ∠ D шығады, бірақ В бұрышы 100 °, яғни D бұрышы 100 ° болады.
Мысал 5.АС базалық теңбүйірлі үшбұрышта С шыңындағы сыртқы бұрышы 123 °. ABC бұрышын табыңыз. Жауапты градуспен беріңіз.
Бейне шешімі.
Біздің өркениеттің алғашқы тарихшылары - ежелгі гректер геометрияның туған жері ретінде Мысырды атайды. Перғауындардың алып қабірлері қандай дәлдікпен салынғанын біле отырып, олармен келіспеу қиын. Пирамидалар жазықтықтарының өзара орналасуы, олардың пропорциялары, кардиналды нүктелерге бағдарлануы - геометрияның негізін білмей, мұндай кемелдікке жету мүмкін емес еді.
«Геометрия» сөзінің өзін «жерді өлшеу» деп аударуға болады. Оның үстіне «жер» сөзі планета - Күн жүйесінің бөлігі емес, ұшақ ретінде пайда болады. Техникалық қызмет көрсетуге арналған аймақтарды белгілеу Ауыл шаруашылығы, ең алдымен, геометриялық фигуралар, олардың түрлері мен қасиеттері туралы ғылымның өзіндік негізі болып табылады.
Үшбұрыш - планиметрияның қарапайым кеңістіктік фигурасы, тек үш нүктеден тұрады - шыңдары (ешқашан кем болмайды). Негіздердің негізі, бәлкім, онда жұмбақ және ежелгі нәрсе пайда болуында. Үшбұрыштың ішіндегі бәрін көретін көз-бұл ең алғашқы жасырын белгілердің бірі, оның таралу географиясы мен уақыт шеңбері таңқаларлық. Ежелгі Египет, Шумер, Ацтек және басқа да өркениеттерден бастап бүкіл әлем бойынша шашыраңқы заманауи оккульттік қауымдастықтарға дейін.
Үшбұрыштар дегеніміз не
Кәдімгі әмбебап үшбұрыш - тұйық геометриялық фигура, әр түрлі ұзындықтағы және үш бұрыштағы үш сегменттен тұрады, олардың ешқайсысы түзу емес. Оған қосымша бірнеше ерекше түрлері бар.
Өткір бұрышты үшбұрыштың барлық бұрыштары 90 градустан төмен. Басқаша айтқанда, мұндай үшбұрыштың барлық бұрыштары үшкір.
Теоремалардың көптігі үшін барлық уақытта мектеп оқушылары жылаған тік бұрышты үшбұрыштың бір бұрышы бар, оның шамасы 90 градус, немесе оны қалай атайды.
Доғал үшбұрыштың айырмашылығы оның бір бұрышы доғал, яғни оның шамасы 90 градустан жоғары.
Тең бүйірлі үшбұрыштың ұзындығы бірдей үш қабырғасы бар. Мұндай фигура үшін барлық бұрыштар да тең.
Ақырында, теңбұрышты үшбұрыш үш жағыекеуі тең.
Айрықша ерекшеліктері
Қабырғалы үшбұрыштың қасиеттері оның негізгі, басты айырмашылығын - екі жақтың теңдігін анықтайды. Бұл тең жақтар әдетте жамбас деп аталады (немесе, көбінесе, жақтар), бірақ үшінші жағы «негіз» деп аталады.
Қарастырылып отырған суретте a = b.
Біркелкі емес үшбұрыштың екінші критерийі синустар теоремасынан туындайды. A және b қабырғалары тең болғандықтан, олардың қарама -қарсы бұрыштарының синустары да тең:
a / sin γ = b / sin α, бізде: sin γ = sin α.
Синустардың теңдігі бұрыштардың теңдігін білдіреді: γ = α.
Сонымен, қабырғалы үшбұрыштың екінші белгісі - табанына іргелес жатқан екі бұрыштың теңдігі.
Үшінші белгі. Үшбұрышта биіктік, биссектриса және медиана сияқты элементтер ажыратылады.
Егер есепті шешу барысында қарастырылып отырған үшбұрышта осы элементтердің кез келген екеуі сәйкес келетіні белгілі болса: биссектрисамен биіктік; медианасы бар биссектриса; биіктігі бар медиана - біз үшбұрыштың тең қабырғалы екендігі туралы қорытынды жасауға болады.
Фигураның геометриялық қасиеттері
1. Біркелкі емес үшбұрыштың қасиеттері. Фигураның айрықша қасиеттерінің бірі - табанға іргелес бұрыштардың теңдігі:
<ВАС = <ВСА.
2. Жоғарыда тағы бір қасиет қарастырылды: медиана, биссектриса мен биіктік үшбұрыштың биіктігі сәйкес келеді, егер олар оның төбесінен табанына дейін салынған болса.
3. Табан төбелерінен сызылған биссектрисалардың теңдігі:
Егер AE - BAC бұрышының биссектрисасы, ал CD - BCA бұрышының биссектрисасы болса, онда: AE = DC.
4. Қабырғалы үшбұрыштың қасиеттері табан шыңдарынан сызылған биіктіктердің теңдігін қамтамасыз етеді.
Егер ABC үшбұрышының биіктігін (мұндағы AB = BC) А және С төбелерінен тұрғызатын болсақ, онда алынған CD мен AE кесінділері тең болады.
5. Негіздегі бұрыштардан алынған медианалар да тең болады.
Сонымен, егер AE мен DC медиана болса, яғни AD = DB және BE = EC болса, онда AE = DC.
Біркелкі емес үшбұрыштың биіктігі
Қабырғалар мен бұрыштардың теңдігі қарастырылып отырған фигура элементтерінің ұзындықтарын есептеуге кейбір ерекшеліктерді енгізеді.
Біркелкі емес үшбұрыштың биіктігі фигураны екі симметриялы тік бұрышты үшбұрышқа бөледі, олардың қабырғалары гипотенузалармен шығып тұрады. Бұл жағдайда биіктік Пифагор теоремасы бойынша аяқ ретінде анықталады.
Үшбұрыштың барлық үш қабырғасы тең болуы мүмкін, содан кейін оны тең қабырғалы деп атайды. Тең бүйірлі үшбұрыштың биіктігі дәл осылай анықталады, тек есептеулер үшін тек бір мәнді білу жеткілікті - бұл үшбұрыш қабырғасының ұзындығы.
Сіз биіктігін басқа жолмен анықтай аласыз, мысалы, іргетасты және оған іргелес бұрышты білу.
Біркелкі емес үшбұрыштың медианасы
Үшбұрыштың қарастырылған түрі геометриялық ерекшеліктеріне байланысты бастапқы мәліметтердің ең аз жиынтығымен шешіледі. Біркелкі емес үшбұрыштағы медиана оның биіктігіне де, биссектрисасына да тең болғандықтан, оны анықтау алгоритмі бұл элементтерді есептеу тәртібінен еш айырмашылығы жоқ.
Мысалы, медиананың ұзындығын белгілі бүйір жағымен және шың бұрышының мәнімен анықтауға болады.
Периметрді қалай анықтауға болады
Қарастырылып отырған планиметриялық фигураның екі жағы әрқашан тең болатындықтан, периметрді анықтау үшін табанның ұзындығы мен бір қабырғасының ұзындығын білу жеткілікті.
Үшбұрыштың белгілі табаны мен биіктігінен периметрін анықтау қажет болғанда мысалды қарастырыңыз.
Периметрі табанның қосындысына және қабырғаның ұзындығынан екі есе көп. Бүйір жағы, өз кезегінде, Пифагор теоремасының көмегімен тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы ретінде анықталады. Оның ұзындығы биіктіктің квадраты мен табанының жартысының квадратының қосындысының квадрат түбіріне тең.
Біркелкі емес үшбұрыштың ауданы
Әдетте, біркелкі емес үшбұрыштың ауданын есептеу қиын емес. Үшбұрыштың ауданын табан мен оның биіктігінің көбейтіндісі ретінде анықтайтын әмбебап ереже, әрине, біздің жағдайда қолданылады. Алайда, екібұрышты үшбұрыштың қасиеттері тапсырманы қайтадан жеңілдетеді.
Негізге іргелес биіктік пен бұрыш белгілі деп есептейік. Фигураның ауданын анықтау қажет. Мұны осылай жасауға болады.
Кез келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 ° болғандықтан, бұрыштың мәнін анықтау қиын емес. Әрі қарай, синустар теоремасы бойынша құрылған пропорцияны қолданып, үшбұрыштың табанының ұзындығы анықталады. Барлығы, негізі мен биіктігі - аумақты анықтауға жеткілікті деректер - қол жетімді.
Біркелкі емес үшбұрыштың басқа қасиеттері
Қабырғалы үшбұрыштың айналасында орналасқан шеңбердің центрінің орналасуы шың бұрышының шамасына байланысты. Сонымен, егер теңбұрышты үшбұрыш сүйір бұрышты болса, шеңбердің центрі фигураның ішінде орналасқан.
Доғал екібұрышты үшбұрыштың айналасында шектелген шеңбердің орталығы оның сыртында жатыр. Ақырында, егер шыңдағы бұрыш 90 ° болса, онда центр дәл табанның ортасында жатады, ал шеңбердің диаметрі табанның өзінен өтеді.
Біркелкі емес үшбұрыштың айналасында сызылған шеңбердің радиусын анықтау үшін бүйір қабырғасының ұзындығын апинус бұрышының жартысына тең косинусқа бөлу жеткілікті.
Барлық үшбұрыштардың ішінде екі ерекше түрі бар: тік бұрышты үшбұрыштар және тең қабырғалы үшбұрыштар. Неліктен үшбұрыштың мұндай түрлері ерекше? Біріншіден, мұндай үшбұрыштар бірінші бөлімдегі USE тапсырмаларының негізгі кейіпкерлері болып шығады. Екіншіден, тікбұрышты және теңбүйірлі үшбұрыштар туралы есептерді шешу геометрияның басқа есептеріне қарағанда әлдеқайда жеңіл. Сізге бірнеше ережелер мен қасиеттерді білу қажет. Ең қызықтысы сәйкес тақырыпта талқыланады, бірақ қазір біз үшбұрышты теңбұрышты қарастырамыз. Ең бастысы, қабырғалы үшбұрыш дегеніміз не. Немесе математиктер айтқандай, теңбұрышты үшбұрыштың анықтамасы қандай?
Оның қалай көрінетінін қараңыз:
Тік бұрышты үшбұрыш сияқты, қабырғасы үшбұрыштың қабырғалары үшін арнайы атаулары бар. Екі тең жақ деп аталады бүйір жақтарыжәне үшінші тарап негіз.
Тағы да суретке назар аударыңыз:
Бұл, әрине, келесідей болуы мүмкін:
Сондықтан абай болыңыз: жағы - тең екі жақтың бірібіркелкі емес үшбұрышта және база үшінші тарап болып табылады.
Неліктен теңбұрышты үшбұрыш соншалықты жақсы? Мұны түсіну үшін биіктікті негізге қарай сызайық. Есіңізде ме, биіктік деген не?
Сонымен не болды? Бір қабырғалы үшбұрыштан екі төртбұрыш шықты.
Бұл қазірдің өзінде жақсы, бірақ ол кез келген, ең «феморальды» үшбұрышта осылай болады.
Қабырғалы үшбұрыш үшін суреттің айырмашылығы неде? Қайта қараңыз:
Әрине, біріншіден, бұл таңқаларлық математиктерге жай ғана көру жеткіліксіз - олар міндетті түрде дәлелдеу керек. Содан кейін кенеттен бұл үшбұрыштар сәл өзгеше, және біз оларды бірдей деп қарастырамыз.
Бірақ алаңдамаңыз: бұл жағдайда дәлелдеу көру сияқты оңай.
Бастайық? Мұқият қараңыз, бізде:
Және бұл дегеніміз! Неге? Иә, біз тек Пифагор теоремасынан табамыз (сонымен бірге есімде)
Сіз сенімді болдыңыз ба? Ал, енді бізде
Ал үш жағынан - үшбұрыштардың теңдігінің ең оңай (үшінші) белгісі.
Біздің екібұрышты үшбұрыш екі бірдей төртбұрышқа бөлінді.
Қараңызшы, бұл қаншалықты қызықты? Анықталғандай:
Бұл туралы математиктер арасында айту қалай әдетке айналған? Ретімен барайық:
(Бұл жерде медиана - бүйірін екіге бөлетін шыңнан алынған сызық, ал биссектриса - бұрыш екенін ұмытпаңыз.)
Бұл жерде, егер біз теңбұрышты үшбұрыш берілсе, не көруге болатынын талқыладық. Біз біркелкі емес үшбұрыштың табанындағы бұрыштар тең екенін және табанға түсірілген биіктік, биссектриса мен медиана сәйкес келетінін анықтадық.
Ал енді тағы бір сұрақ туындайды: екібұрышты үшбұрышты қалай тануға болады? Яғни, математиктер айтқандай, бұл не тең қабырғалы үшбұрыштың белгілері?
Ал сізге барлық мәлімдемелерді керісінше «айналдыру» қажет екені белгілі болды. Бұл, әрине, әрқашан бола бермейді, бірақ екібұрышты үшбұрыш әлі де керемет нәрсе! «Төңкеруден» кейін не болады?
Ал, қараңыз:
Егер биіктік пен медиана сәйкес келсе, онда:
Егер биіктік пен биссектриса сәйкес келсе, онда: 
Егер биссектриса мен медиана сәйкес келсе, онда:
Жақсы, ұмытпаңыз және қолданыңыз:
- Егер сізге теңбұрышты үшбұрыш берілсе, биіктігін сызыңыз, екі тікбұрышты үшбұрыш алыңыз және тікбұрышты үшбұрыш туралы мәселені шешіңіз.
- Егер солай берілсе екі бұрыш теңсодан кейін үшбұрыш дәлбіркелкі және сіз биіктікті ұстай аласыз және .... (Джек салған үй ...).
- Егер биіктік бүйірден екі есе қысқаратыны белгілі болса, онда үшбұрыш барлық бонустары бар теңбүйірлі болады.
- Егер биіктік бұрышты еденге бөлген болса - теңбүйірлер!
- Егер биссектриса қабырғасын екіге бөлсе немесе медианасы бұрыш болса, онда бұл да орын алады текбіркелкі үшбұрышта
Ол тапсырмаларда қалай көрінетінін көрейік.
Есеп 1(ең қарапайым)
Үшбұрышта қабырғалары мен тең, және. Табыңыз.
Біз шешеміз:
Алдымен сурет.
Мұндағы іргетас неде? Әрине, .
Біз есімізде, егер болса, онда және.
Жаңартылған сызба:
Арқылы белгілейік. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы неге тең? ?
Біз қолданамыз:
Бұл сол жауап: .
Қиын емес, иә? Тіпті биіктіктің қажеті жоқ.
Есеп 2(Сондай -ақ, өте қиын емес, бірақ сіз тақырыпты қайталауыңыз керек)
Үшбұрышта ,. Табыңыз.
Біз шешеміз:
Үшбұрыш - теңбүйір! Біз биіктікті сызамыз (бұл трюк, оның көмегімен қазір бәрі шешіледі).
Енді біз «өмірден өшіреміз», тек қана қарастырайық.
Сонымен, бізде:
Косинустардың кестелік мәндерін есте сақтау (жақсы, немесе параққа қарау ...)
Табу керек :.
Жауап: .
Біз осында екенімізді ескеріңіз өтетік бұрышты үшбұрыш және «кестелік» синустар мен косинустар туралы білімді қажет етеді. Көбінесе бұл орын алады: тақырыптар, «үшбұрышты үшбұрыш» және жұмбақтарда жинақталады, бірақ басқа тақырыптарда олар өте достық емес.
Біркелкі үшбұрыш. Орташа деңгей.
Мыналар тең екі жақдеп аталады бүйір жақтары, а үшінші жағы - қабырғалы үшбұрыштың табаны.
Суретке қараңыз: және - қабырғалары, - теңбүйірлі үшбұрыштың табаны.
Неліктен бұлай екенін бір суретте түсінейік. Биіктікті нүктеден сызайық.
Бұл олардың барлық сәйкес элементтері тең екенін білдіреді.
Барлығы! Бір сәтте (биіктікте) олар барлық мәлімдемелерді бірден дәлелдеді.
Сіз есіңізде: үшбұрышты үшбұрыш мәселесін шешу үшін биіктігін екібұрышты үшбұрыштың табанына дейін төмендетіп, оны екі тең бұрышты үшбұрышқа бөлу өте пайдалы.
Біркелкі емес үшбұрыштың белгілері
Кері мәлімдемелер де дұрыс:
Бұл мәлімдемелердің барлығы дерлік «бір сәтте» дәлелденуі мүмкін.
1. Сонымен, рұқсат етіңіз және.
Биіктікті сызайық. Содан кейін
2.a) Енді үшбұрыш енгізіңіз биіктік пен биссектрисаның сәйкестігі.
2.b) Ал егер биіктік пен медиана сәйкес келсе? Барлығы бірдей, одан да күрделі емес!
 |
- екі аяқта |
2.c) Бірақ егер биіктік болмаса, ол біркелкі емес үшбұрыштың табанына дейін төмендетілген, онда бастапқыда тік бұрышты үшбұрыштар болмайды. Нашар!
Бірақ одан шығудың жолы бар - оны теорияның келесі деңгейінде оқыңыз, өйткені дәлелдеу бұл жерде күрделірек, бірақ дәл қазір есіңізде болсын, егер медиана мен биссектриса сәйкес келсе, онда үшбұрыш сонымен қатар тең қабырғалы болады, ал биіктік әлі де осы биссектриса мен медианамен сәйкес келеді.
Қорытындылайық:
- Егер үшбұрыш тең қабырғалы болса, онда табандағы бұрыштар тең, ал табанға түсірілген биіктік, биссектриса мен медиана сәйкес келеді.
- Егер қандай да бір үшбұрышта екі тең бұрыш болса немесе үш сызықтың екеуі (биссектриса, медиана, биіктік) сәйкес келсе, онда мұндай үшбұрыш - теңбүйір.
Біркелкі үшбұрыш. Қысқаша сипаттама және негізгі формулалар
Қос қабырғалы үшбұрыш - қабырғалары тең екібұрышты үшбұрыш.
Біркелкі емес үшбұрыштың белгілері:
- Егер кейбір үшбұрышта екі бұрыш тең болса, онда ол біркелкі болады.
- Егер қандай да бір үшбұрыш сәйкес келсе:
а) биіктігі мен биссектрисасынемесе
б) биіктігі мен медианасынемесе
v) медиана және биссектриса,
бір жаққа тартылған, онда мұндай үшбұрыш - теңбүйір.
ҚАЛҒАН 2/3 МАҚАЛАЛАРҒА СТУДЕНТТЕРДІҢ ЖАСАУШЫЛЫҒЫНА АРНАЛҒАН!
YouClever студенті болыңыз,
«Айына бір шыныаяқ кофе» бағасы бойынша математика бойынша ПАЙДАЛАНУҒА немесе ПАЙДАЛАНУҒА дайындалыңыз,
Сондай -ақ, «YouClever» оқулығына, «100gia» оқу бағдарламасына (reshebnik), USE және OGE шектеусіз сынақ нұсқасына, шешімдерді талдауда 6000 проблемаға және басқа YouClever және 100gia қызметтеріне шексіз қол жеткізе аласыз.
