Функция графиктерін салу. Квадраттық және кубтық функциялар Функцияның графигін салу жолы y 1 2

y=x^2 функциясы квадраттық функция деп аталады. Кесте квадраттық функцияпарабола болып табылады. Параболаның жалпы көрінісі төмендегі суретте көрсетілген.

Квадраттық функция

1-сурет. Параболаның жалпы көрінісі

Графиктен көрініп тұрғандай, ол Ой осіне қатысты симметриялы. Oy осі параболаның симметрия осі деп аталады. Бұл дегеніміз, егер сіз графикке осы осьтің үстінде Ox осіне параллель түзу жүргізсеңіз. Сонда ол параболаны екі нүктеде қиып өтеді. Бұл нүктелерден Ой осіне дейінгі қашықтық бірдей болады.

Симметрия осі параболаның графигін екі бөлікке бөледі. Бұл бөліктер параболаның тармақтары деп аталады. Ал параболаның симметрия осінде жатқан нүктесі параболаның төбесі деп аталады. Яғни симметрия осі параболаның төбесінен өтеді. Бұл нүктенің координаталары (0;0).

Квадраттық функцияның негізгі қасиеттері

1. x =0 кезінде, у=0, ал x0 кезінде у>0

2. Квадраттық функция өзінің ең кіші мәніне шыңында жетеді. Ymin x=0 кезінде; Сондай-ақ функцияның максималды мәні жоқ екенін ескеру қажет.

3. Функция (-∞;0] интервалында кемиді және аралықта өседі \(x"\left(t \right) = 0,\) теңдеуін шешіп \(x\) функциясының стационар нүктелерін анықтаймыз. left(t \right):\ ) \[ (x"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Оң жақ көрсеткі 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Оң жақ көрсеткі (t_(1, 2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] \ үшін (t = 1\) \ (x\left(t \right)\) функциясы \(t = \lage\frac(1)(3)\normalsize\) нүктесіне тең максимумға жетеді. минимум \[ (x\left(( \frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \оң)^3) + (\ left((\frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \ frac(1)(9) - \frac(1 )(3) = - \frac(5)((27)).) \] \(y"\left(t \right):\) \ туындысын қарастырайық. [ (y"\left(t \right) = ( \left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\ Prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \] Функцияның стационар нүктелерін табыңыз \(y \left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Оң жақ көрсеткі 3 (t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\ (\Оң жақ көрсеткі (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2 ;\;\frac(2)(3.) \] Мұнда , сол сияқты \(y\left(t \right)\) функциясы \(t = -2:\) \ нүктесінде максимумға жетеді. нүктесінде минимум \(t = \lage\frac(2)(3)\normalsize :\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left() (\frac(2)(3)) \оңға)^3) + 2(\ солға((\frac(2)(3)) \оңға)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27)) + \frac(8)( 9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \ ] \(x\left(t \right)\), \(y\ left(t \right)\) функцияларының графиктері \(15a.\) суретте схемалық түрде көрсетілген.

15а-сурет		15б-сурет

15c-сурет

Назар аударыңыз, өйткені \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] болса, \(y\left(x \right)\) қисығы да тік емес, екеуі де көлденең асимптоталар. Оның үстіне, \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right))))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \pm \infty ) \left((\болдырмау(\ түс) (көк)(t^3)) + \түс(қызыл)(2(t^2)) - \түс(жасыл)(4т) - \болдырмау(\түс(көк)(t^3)) - \түс (қызыл)(t^2) + \түс(жасыл)(t)) \оңға) ) = (\lim\limits_(t \pm \infty ) \left((\түс(қызыл)(t^ 2) ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] онда \(y\left(x \right)\) қисығында да қиғаш асимптоталар болмайды.

\(y\left(x \right)\) графигінің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін анықтайық. х осімен қиылысу келесі нүктелерде болады: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Оң жақ көрсеткі t\сол(((t^2) + 2t - 4) \оң жақ) = 0;) \]

1. \(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Оң жақ көрсеткі D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \оң жақ) = 20,)\;\; (\ Оң жақ көрсеткі (t_(2,3)) = \lage\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5.) \)

\ \[ (x\left(((t_2)) \оң) = x\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ) = ((\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \оң) ^3) + (\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right)^2) - \left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \left((1 + 3\sqrt) 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \right) + \left((1 + 2\sqrt 5 + 5) \right) + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 16 - 8\sqrt 5 + 6 + 2\ sqrt 5 + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 9 - 5\sqrt 5 \шамамен 20,18;) \] \[ (x\left(((t_3)) \оң) = x\left(( - 1 + \ sqrt 5 ) \right) ) = ((\left(( - 1 + \sqrt 5 ) \right)^3) + (\left(( - 1 + \sqrt 5 ) \right)^2) - \ left( ( - 1 + \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \left((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 ) \right) + \left((1 - 2\sqrt 5 + 5) \right) + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 16 + 8\sqrt 5 + 6 - 2\sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 9 + 5\sqrt 5 \шамамен 2,18. ) \] In дәл осылай графтың ордината осімен қиылысу нүктелерін табамыз: \[ (x\left(t \right) = (t^3) + (t^2) - t = 0,)\;\; (\Оң жақ көрсеткі t\сол(((t^2) + t - 1) \оң жақ) = 0;) \]

1. \(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Оң жақ көрсеткі D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \оң жақ) = 5,)\;\; (\ Оң жақ көрсеткі (t_(2,3)) = \үлкен\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\қалыпты өлшем.) \)

\ \[ (y\left(((t_2)) \оң) = y\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \оң) ) = ((\left((\\) frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right)^3) + 2(\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right)^2) - 4\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ( - \frac(1)(8)\left((1 + 3\sqrt 5 + 15 +) 5\sqrt 5 ) \right) + \frac(1)(2)\left((1 + 2\sqrt 5 + 5) \right) + 2\left((1 + \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \cancel(2) - \cancel(\sqrt 5) + 3 + \cancel(\sqrt 5) + \cancel(2) + 2\sqrt 5 ) = (3 + 2\sqrt 5 \шамамен 7,47 ;) \] \[ (y\left(((t_3)) \оң) = y\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \оң) ) = ((\сол (() \frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right)^3) + 2(\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \оң) ^2 ) - 4\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ( - \frac(1)(8)\left((1 - 3\sqrt 5 + 15) - 5\sqrt 5 ) \right) + \frac(1)(2)\left((1 - 2\sqrt 5 + 5) \right) + 2\left((1 - \sqrt 5 ) \right ) ) = ( - \cancel(2) + \cancel(\sqrt 5) + 3 - \cancel(\sqrt 5) + \cancel(2) - 2\sqrt 5 ) = (3 - 2\sqrt 5 \шамамен - 1,47 .) \] \(t\) осін \(5\) аралықтарға бөліңіз: \[ (\left(( - \infty , - 2) \right),)\;\; (\left(( - 2, - 1) \right),)\;\; (\left(( - 1,\frac(1)(3)) \оң),)\;\; (\left((\frac(1)(3),\frac(2)(3)) \оң),)\;\; (\left((\frac(2)(3), + \infty ) \right).) \] Бірінші аралықта \(\left(( - \infty , - 2) \right)\) мәндері \(x \) және \(y\) \(-\infty\) мәнінен \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) және \(y\left(( - 2)) дейін артады. \right) = 8.\) Бұл схемалық түрде \(15b.\) суретте көрсетілген.

Екінші аралықта \(\left(( - 2, - 1) \right)\) айнымалы \(x\) \(x\left(( - 2) \right) = - 2\)-ден \-ге дейін артады. (x \left(( - 1) \right) = 1,\) және \(y\) айнымалысы \(y\left(( - 2) \right) = 8\) мәнінен \(y\left) төмендейді (( - 1) \right) = 5.\) Мұнда төмендеу қисығының кесіндісі бар \(y\left(x \right).\) Ол ордината осін \(\left((0,3) нүктесінде қиып өтеді. + 2\sqrt 5 ) \оңға).\)

Үшінші аралықта \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) екі айнымалы да азаяды. \(x\) мәні \(x\left(( - 1) \right) = 1\) мәнінен \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right мәніне өзгереді ) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Сәйкесінше \(y\) мәні \(y\left(( - 1) \right) = 5\) мәніне дейін төмендейді. \(y\ left((\lage\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Қисық \(y\сол(x) \right)\ ) координаталар басын қиып өтеді.

Төртінші аралықта \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) айнымалы \(x\) мәнінен артады. \( x\left((\lage\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) - \(x\left((\) large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) және \(y\) айнымалысы \(y\left(() мәнінен азаяды \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) - \(y\left((\large\frac(2)) 3)\ қалыпты өлшем) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) Бұл бөлімде \(y\left(x \right)\) қисығы ордината осін қиылысады. нүкте \(\сол( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \оң).\)

Соңында, соңғы интервалда \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) екеуі де \(x\left(t \оң)\), \ ( y\left(t \right)\) ұлғайту. \(y\left(x \right)\) қисығы x осін \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \шамамен 2,18.\) нүктесінде қиып өтеді.

\(y\left(x \right)\) қисығының пішінін нақтылау үшін максималды және минималды нүктелерді есептейік. \(y"\left(x \right)\) туындысы \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ретінде өрнектеледі. (((x"_t))) ) = (\frac(((\сол(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \оң))^\прайм )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ оң)))((\болдырмау(3)\left((t + 1) \оң)\сол((t - \frac(1)(3)) \оң))) ) = (\frac(() \ left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \right)))(\left((t + 1) \right)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] \(y"\left(x \right)\) туындысының таңбасының өзгеруі \(15c.\) суретте көрсетілген. \(t = - 2,\) нүктесінде, яғни. \(I\)-ші және \(II\)-ші аралықтардың шекарасында қисық максимумға ие, ал \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) кезінде ( \(IV\) ші және \(V\)-ші аралықтардың шекарасы) минимум бар. \(t = \lage\frac(1)(3)\normalsize\) нүктесі арқылы өткенде туынды да таңбасын плюстен минусқа өзгертеді, бірақ бұл аймақта қисық \(y\left(x \right) \) бірегей функция емес. Демек, көрсетілген нүкте экстремум емес.

Бұл қисықтың дөңестігін де қарастырамыз. Екінші туынды\(y""\left(x \right)\) пішімі бар: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac(((\left() ( (y"_x)) \оңға))"_t)))(((x"_t))) = \frac(((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \оң))^\прайм )))((((\сол(((t^3) + (t^2) - t) \ оң ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \оң) - \left((3() t ^2) + 4t - 4) \оң)\сол((6t + 2) \оң)(((\сол((3(t^2) + 2t - 1) \оң))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^) 2 ) - 24т + 6(t^2) + 8t - 8) \оңға)))((((\сол((3(t^2) + 2t - 1) \оң))^3))) = \ frac((\cancel(\түс(көк)(18(t^3))) + \түс(қызыл)(24(t^2)) + \түс(жасыл)(2т) - \түс(қызыл) ( 4) - \cancel(\түс(көк)(18(t^3))) - \түс(қызыл)(30(t^2)) + \түс(жасыл)(16т) + \түс(қызыл) ( 8)))(((\сол((3(t^2) + 2t - 1) \оң))^3))) = \frac(( - \түс(қызыл)(6(t^2) ) ) + \түс(жасыл)(18т) + \түс(қызыл)(4)))(((\сол((3(t^2) + 2t - 1) \оң))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \оң)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105)) ) )(6)) \оңға)))((((\left((t + 1) \right))^3)((\left((3t - 1) \оң))^3))). \] Демек, екінші туынды келесі нүктелерден өткенде таңбасын керісінше өзгертеді (\(15с\) сурет): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) ) \right ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \оң жақ) \шамамен 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \оң) \шамамен 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \) sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \оң жақ) \шамамен 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \ approx 40.8.) \] Сондықтан көрсетілген нүктелер \(y\left() қисығының иілу нүктелерін білдіреді. x \оң).\)

\(y\сол(x \оң)\) қисығының схемалық графигі жоғарыда \(15b.\) суретте көрсетілген.