Перпендикуляр тікелей және олардың қасиеттері. Перпендикуляр тікелей деп аталады

Мақалада жазықтық пен үш өлшемді кеңістіктегі перпендикуляр тікелей бағыттау мәселесі талқыланады. Персендикуляр тікелей эффектілер және жоғарыда келтірілген мысалдармен олардың белгілері егжей-тегжейлі сипаттайды. Екі тікелей перпендикулярлық перпендикулярлықты қолдануға және мысал туралы егжей-тегжейлі ескеру шарттарын қарастырыңыз.

Тікелей ғарышта қиылысатын бұрыш тікелей болуы мүмкін. Содан кейін олар мәліметтер тікелей перпендикуляр деп айтады. Кросс-жүру арасындағы бұрыш тік түзу, содан кейін тікелей перпендикуляр. Бұл жазықтықтағы перпендикуляр түзу сызықтармен жүреді, ал перпендикуляр тікелей кеңістіктер қиылысады және қиылыста болуы мүмкін.

Яғни, «түзу және В перпендикуляр» және «тікелей В және перпендикуляр» ұғымдары тең болып саналады. Демек, өзара перпендикуляр тікелей тікелей түсінік. Жоғарыда айтылғандарды қорытындылай келе, анықтаманы қарастырыңыз.

Анықтама 1.

Екі түзу сызық перпендикуляр деп аталады, егер олардың қиылысуы кезінде бұрышы 90 градусқа ие болса.

Перпендикулярлықты «⊥» белгілейді, ал жазба «В» формасын алады, бұл тікелей b тікелей перпендикуляр дегенді білдіреді.

Мысалы, жазықтықта перпендикуляр тіке толық шыңмен алаңның жағы болуы мүмкін. Үш өлшемді кеңістікте O X, O Z, O Y түзу сызықтары жұпқа перпендикулярлы: O x және O z, O x және o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o e o.

Тікелей - перпендикулярлық жағдайлардың перпендикулярлығы

Перпендикулярлық қасиеттерін білу керек, өйткені тапсырмалар одан әрі шешім үшін салыстырылады. Перпендикулярлық жұмыстың жағдайында немесе дәлелді пайдалану қажет болған кезде болған жағдайлар бар. Перпендикулярлықты дәлелдеу үшін түзу сызықтың бұрышы үшін жеткілікті.

Тікбұрышты координат жүйесінің белгілі теңдеулерімен перпендикулярлығын анықтау үшін тікелей перпендикулярлық үшін қажетті және жеткілікті шартты қолдану қажет. Сөздерді қарастырайық.

Теорема 1.

Тікелей А және В-ге перпендикуляр болу үшін, нұсқаулық векторының түзу сызыққа қатысты перпендикулярлықты осы түзу сызықтың векторына қатысты перпендикулярлықтың болуы керек.

дәлелі өзі тікелей векторлар анықтау бойынша және тікелей перпендикуляр анықтау негізделген.

PROOF 1.

Көрсетілген теңдеулермен координаттардың координаттарының координаттарының координаталар жүйесі тікелей A және B түзетіліп, ұшаққа түзу болсын. тікелей желісі бар және В Тікелей векторлары A → және В → белгіленеді. A және B тікелей теңдеуінен, а → және B → векторларының перпендикулярлығы қажет және қажет және жеткілікті шарт. Бұл тек → \u003d (AB, AY) және B → \u003d (Bx, BX, bx) векторларының скалярлық өнімімен мүмкін, ал нөлге тең, ал жазу a →, b → \u003d \u003d x x · y · by \u003d 0. Біз A және B тікелей және жеткілікті шартты ұстануымызды аламыз, ол ұшақта xy-дің төртбұрышты координат жүйесінде, B → B → \u003d AX BX + AY · By \u003d 0, қайда A → \u003d (AX, AY) және б → \u003d BX, BY тікелей желісі бар және В тікелей векторлары болып табылады.

Шарт нұсқаулықтың векторлардың координаттарын немесе A және B тікелей бағытталған ұшаққа тікелей дана немесе параметрлік теңдеулерінің бар болған кезде қолданылады.

1-мысал.

A (8, 6), B (8, 6), C (2, 10), C (2, 10), x y-дің төртбұрышты координаталар жүйесінде көрсетілген. Тікелей және және перпендикулярмен және перпендикулярмен анықталмайды.

Шешім

A Тікелей A B және C және A B → және A және C → бар. Бастау үшін мен b → \u003d (- 2, 3), A C → \u003d (- 6, 4) есептеймін. Біз бұл векторларды а-ны → және A SCERAR-ді теңдескен векторларды алқаптамалық векторлар үшін перпендикулярлықты нөлге тең векторлы өнімге алдық.

A B →, A C → \u003d (- 2) · (- 6) · (- 6) + (- 3) · 4 \u003d 0

Қажетті және жеткілікті шарттың орындалатыны анық, бұл және перпендикуляр дегенді білдіреді.

Жауап:тікелей перпендикуляр.

2-мысал.

Көрсетілген түзу x - 1 2 \u003d y - 7 3 және x \u003d 1 + y \u003d y \u003d 2 - 2 · λ перпендикуляр немесе жоқ.

Шешім

a → \u003d (2, 3) берілген түзу сызығының бағыттағыш векторы x - 1 2 \u003d y - 7 3,

b → \u003d (1, 2) - бұл түзу сызық нұсқаулығы Vecor x \u003d 1 + λ λ λ λ \u003d 2 - 2 λ.

A → және B → векторларының скалярлық өнімін есептеуге жүгінейік. Өрнек жазылады:

a →, B → \u003d 2 · 2 + 3 · - 2 \u003d 2 - 6 ≠ 0

Жұмыстың нәтижесі нөлге тең емес, векторлар перпендикуляр емес, бұл түзу сызықтар да перпендикуляр емес дегенді білдіреді.

Жауап:тікелей перпендикуляр емес.

A және B тікелей және В формулярлығының жеткілікті шарты A →, B → Ax · Ax Bx + AY · By + Az Bz \u003d 0, мұндағы a → \u003d (AX) , AY, AZ) және В → \u003d (BX, BZ) тікелей А және В нұсқаулығы векторлары болып табылады.

3-мысал.

1 \u003d Z + 1 0 және х \u003d λ у \u003d 1 + 2 · λ Z \u003d 4 · λ - үш өлшемді кеңістіктегі тік бұрышты координаттар жүйесі теңдеулер арқылы көрсетілген х 2 \u003d у тікелей перпендикуляр тексеріңіз

Шешім

Тікелей каноникалық теңдеулерден алынған конноматорлар бағыттаушы вектордың тікелей координаттары болып саналады. Параметрлік теңдеуден вектордың координаттары коэффициенттер болып табылады. және В → \u003d (1, 2, 4) тікелей көрсетілген нұсқаулығы векторлары болып табылады - ол A → \u003d (1, 0 2,) осы жылғы мынадай. Олардың перпендикулярлығын анықтау үшін векторлардың скалярлық өнімі табыламыз.

(- 1) · 2 + 0 · 4 \u003d 0 өрнек формасы А →, B → \u003d 2 · 1 + өтеді.

жұмыс нөлге тең, өйткені векторлары, перпендикуляр. қажетті және жеткілікті шарты орындалады, ол тікелей перпендикуляр білдіреді.

Жауап:тікелей перпендикуляр.

Перпендикулярлықты тексеруді перпендикулярлық басқа қажетті және жеткілікті жағдайлар негізінде жүргізуге болады.

Теорема 2.

ұшақта Straight А және В осы қажетті және жеткілікті шарты болып табылады, векторлық B қалыпты вектор тікелей А перпендикуляр перпендикуляр болып саналады.

PROOF 2.

Бұл шарт тікелей тікелей теңдеулер көрсетілген тікелей векторлардың координаттарына берілсе де қолданылады. Яғни, + с \u003d 0 тікелей нысаны А х + жалпы теңдеуі болса, теңдеулер тікелей нысаны XA + Е.Б \u003d 1 сегменттерінде бар, нысан бұрыштық коэффициенті түзудің теңдеулері болып табылады векторларының координаттарын б у \u003d KX + табуға болады.

4-мысал.

Тікелей 3 x - y + 2 \u003d 0 және x 3 2 + y 1 2 \u003d 1 біліңіз.

Шешім

Олардың теңдеулеріне сүйене отырып, қалыпты векторлардың координаттарын табу керек. у + 2 \u003d 0 - түзу үшін қалыпты вектор 3 х - біз N α → \u003d (1-ден 3,) деп алуға.

1 \u003d 0 - Біз теңдеу нысаны 2 3 х + 2 у үшін 3 2 + у 1 2 \u003d 1 х жеңілдету. Енді біз осы формада N B B → \u003d 2 3, 2-де жазатын кәдімгі вектордың координаттары анық көрінеді.

Векторлар n A → \u003d (3, - 1) және N B → \u003d 2 3, 2 перпендикуляр болады, өйткені олардың скаляры өнім 0-ге тең болады. Біз алуға п →, N B → \u003d 3 · 2 3 + (- 1) · \u003d 0 2.

Қажетті және жеткілікті жағдай орындалды.

Жауап:тікелей перпендикуляр.

Ұшақта түзу а теңдеуді анағұрлым, y \u003d k 1 x + b 1, және тікелей b \u003d k 2 x + b 2, ол қалыпты векторлар координаталардан тұрады (k 1, - 1) және (K 2, - 1). (- 1) · (- 1) \u003d 0 ⇔ K 1 · K 2 \u003d - 1 перпендикуляр жағдайы · К 2 + 1 К дейін төмендейді.

5-мысал.

Тікелей сызықтар y \u003d - 3 7 x және y \u003d 7 3 x - 1 2 - перпендикуляр.

Шешім

Тікелей y \u003d - 3 7 x Бұрыштық коэффициенті 3 7-ге тең, ал түзу y \u003d 7 3 x - 1 2 - 7 3.

Бұрыштық коэффициенттердің өнімі 1-ге мән береді - 3 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 3 \u003d 1, яғни тікелей перпендикуляр.

Жауап:көрсетілген тікелей перпендикуляр.

Жазықтықтағы перпендикулярлықты анықтау үшін басқа жағдай бар.

Теорема 3.

Жаяу тікелей а және b-нің перпендикулярлығы үшін, қажетті және жеткілікті жағдайда, қажетті және жеткілікті жағдайда, екінші түзудің қалыпты векторы бар түзу сызықтардың векторының дауысы.

PROOF 3.

Шарт қалыпты вектордың бір түзу және координаталарының нұсқаулығын табу мүмкіндігі болған кезде қолданылады. Басқаша айтқанда, бір тікелей тікелей дюймдер канондық немесе параметрлік теңдеумен, ал екіншісі тікелей теңдеуімен, сегменттерде теңдеумен немесе бұрыштық коэффициентпен түзу сызықпен анықталады.

6-мысал.

Көрсетілген түзу сызықтар x - y - 1 \u003d 0 және x 0 \u003d y - 4 2 перпендикуляр.

Шешім

Біз қалыпты векторлы түзу сызық x - 1 \u003d 0 \u003d \u003d (1, 1) және b → \u003d (0, 2) - (0, 2) - нұсқаулық векторы түзу x 0 \u003d y - 4 2 .

Векторлар n A → \u003d (1, 1) және B → \u003d (0, 2) және (0, 2) векторлармен бірдей, өйткені дау-дамайдың жағдайы орындалмайды. Мұндай T саны жоқ, теңдік n a → \u003d tol →. Демек, түзу сызықтар перпендикуляр емес деген қорытындыдан кейін.

Жауап:тікелей перпендикуляр емес.

Егер сіз мәтіннің қатесін байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелер тіркесімін басыңыз

Перпендикуляр түзу сызықтар геометриядағы цифрлар, конструкциялар мен есептеулердің жалпы қалыптасуын құрайды. Перпендикуляр түзулер туралы түсініксіз мұндай сандарды шеше алмады оң үшбұрыш, төртбұрыш, квадрат немесе тікбұрышты трапеция. Сондықтан осы ұғымдарға ерекше назар аудару керек.

Перпендикуляр тікелей бағытталған

Екі түзу сызықтан өткен кезде, 4 бұрышы пайда болады. Перпендикуляр түзу сызықтарының анықтамасы келесідей естіледі: түзу, оның арасындағы бұрыш 90 градус. Тек 4 бұрыштар, толық бұрыш - 360 градус. Егер бұрыштардың бірі 90 градус болса, онда тағы 3-і 90 болады.

Сегменттер перпендикуляр болу үшін екі шартты орындау үшін: сегменттер қиылысады, ал олардың арасындағы қиылыс салуы 90 градус болуы керек.

Інжір. 1. Перпендикуляр сызықтар.

Жылжымалы

Перпендикуляр тікелей сондықтан көптеген қасиеттері емес. Олардың барлығы дәлелдерді қажет етпейді, өйткені олар перпендикулярлық анықтамадан басталады.

• Егер екі тікелей перпендикулярдың әрқайсысы үшіншіден, содан кейін бұл тікелей параллель. Сонымен қатар, олар нәтижесінде олар бір жақты бұрыштардың 180 градус беретіндігінен арылуына байланысты. Сонымен, параллелизмнің 3 белгісіне тікелей параллель. Бұл мүлікті параллелизмнің үш белгілерінің кез келгені дәлелдеуге болады.
• Перпендикулярлық сегмент пунктке бағыттау немесе сегментке дейінгі порфензиялық сегмент пунктке дейінгі қашықтық деп аталады.
• Тікелей сызыққа дейінгі қашықтық сонымен қатар перпендикуляр, кез-келген нүктеден басқа тікелей тікелей түседі.
• Егер олардың арасындағы екі тікелей қашықтықта олардың арасындағы екі қашықтықта өзгермесе, онда тікелей параллель болады.

Перпендикуляр түзететін цифрлар

Адам танысатын алғашқы сандардың бірі - квадрат және төртбұрыш.

Тікелей бұрыштар адамның көрінісіне жағымды, сондықтан квадрат немесе төртбұрыштар көбінесе планшеттер, орындықтар, төсек үстелдері және басқа заттар үшін пішін ретінде қолданылады. Бүкіл әлемді қоршаған бүкіл адамдар параллель және перпендикуляр сызықтардан тұрады.

Інжір. 2. Шаршы.

Ежелгі Греция болғаннан бері тікбұрышты үшбұрыш белгілі. Тіктөртбұрышты үшбұрыштың пішінін әртүрлі навигациялық құрылғылар қабылдады, одан әрі, тіктөртбұрышты үшбұрыштың қасиеттерін зерттеуге ұзақ уақыт берілді. Бұл оның Пифагор теоремасы бар екендігі туралы оның авторлығы, ол тапсырмаларды шешуге өте сұранысқа ие.

Тіктөртбұрышты трапевиум бар, оның жағында екі-қатарда тікбұрыш тікбұрышты. Планометрия ғарыштағы перпендикулярлармен: дұрыс призма, тік бұрышты пирамида және ең қарапайым текше.

Сонымен қатар, кез-келген үшбұрышта сіз суреттің ауданын табу үшін қажет биіктікті өткізе аласыз. Ауданды табу үшін перпендикуляр параллелограммада пайдалы, ал төртбұрышты үшбұрыш пен алаңдар өздерінің тараптарының биіктігі бар, сондықтан бұл көрсеткіштердің ауданы оңайырақ болады.

Сіздің жеке өміріңізді сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай қолданатынымыз және сақтауды сипаттайтын құпиялылық саясатын жасадық. Біздің құпиялылық саясатымызды оқып шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпаратта белгілі бір адамды анықтауға немесе онымен байланыс орнатуға болатын мәліметтерге бағынады.

Сізді кез-келген уақытта бізбен байланыстырған кезде сізге жеке ақпарат беруді сұрауға болады.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің бірнеше мысалдары келтірілген және біз осындай ақпаратты қалай пайдалана аламыз.

Біз қандай жеке ақпарат жинаймыз:

• Сайтта қосымшаны қалдырған кезде, біз сіздің атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайын, электрондық пошта мекенжайын және т.б. түрлі ақпаратты жинай аламыз.

Жеке мәліметтеріңізді қолданған сайын:

• Біз жинаған жеке ақпарат Бізге хабарласуға және бірегей ұсыныстар, акциялар және басқа да іс-шаралар туралы есеп беруге және жақын оқиғалар туралы есеп береді.
• Кейде біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарландырулар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ, біз өз қызметтеріміздің қызметтерін жақсарту және қызметтерімізге ұсынымдармен қамтамасыз ету үшін ішкі мақсаттар үшін, мысалы, аудит, мәліметтерді талдау және түрлі зерттеулер үшін жеке ақпаратты пайдалана аламыз.
• Егер сіз сыйлықтарға, конкурсқа немесе ұқсас ынталандырушы шараларға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Үшінші тұлғаларға ақпаратты ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тараптарға ашпаймыз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болса, заңға, сот тәртібіне, сот тәртібіне және Ресей Федерациясының аумағында мемлекеттік сұраулар немесе мемлекеттік органдардың сұранысы бойынша сот тәртібімен немесе / немесе олардың сұранысы бойынша - сіздің жеке мәліметтеріңізді көрсету. Сондай-ақ, біз сіз туралы ақпаратты осындай ашып көрсету қажет немесе тиісті қауіпсіздік мақсатында немесе тиісті мақсаттар үшін немесе басқа да әлеуметтік маңызды істер үшін қажет болса, біз сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта құру, бірігу немесе сату жағдайында біз сәйкес келетін жеке ақпаратты үшінші тарапқа - мұрагерге жеткізе аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сақтық шараларын жасаймыз - соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық - сіздің жеке мәліметтеріңізді жоғалту, ұрлық және жосықсыз пайдалану, сондай-ақ рұқсатсыз қол жеткізу, ашуға, өзгертулерден қорғауға, сондай-ақ рұқсат етіледі.

Компания деңгейіндегі құпиялылықты сақтау

Сіздің жеке ақпаратыңыз қауіпсіз екеніне көз жеткізу үшін біз қызметкерлерімізге құпиялылық пен қауіпсіздік нормасын, құпиялылық шараларының орындалуын қатаң сақтаймыз.

Перпендикулярлық эвклид кеңістігіндегі түрлі нысандар арасындағы байланыс деп аталады - түзу, ұшақтар, векторлар, ішкі кеңістіктер және т.б. Бұл материалда біз оларға қатысты перпендикуляр тікелей және тән белгілерді мұқият қараймыз. Екі түзу сызықты перпендикуляр деп атауға болады (немесе өзара (немесе өзара (немесе өзара), егер олардың қиылысуымен қалыптасатын барлық төрт бұрышы тоқсан градусқа жатса.

Ұшақта іске асырылған перпендикуляр тікелей тікелей қасиеттер бар:

Перпендикуляр сызықтардың құрылысы

Перпендикуляр түзу сызықтар ұшақта алаңның көмегімен салынған. Кез-келген сурет әр шаршының маңызды ерекшелігі - бұл міндетті түрде түзу бұрышы бар екенін есте ұстауы керек. Екі перпендикуляр түзу үшін біз екі жағының бірін біріктіруіміз керек тікелей бұрыш БІЗДІҢ

тікелей берілген сурет жинағы, екінші түзуді осы тікелей бұрыштың екінші жағымен бірге өткізіңіз. Осылайша, екі перпендикуляр түзулер жасалады.

Үш өлшемді кеңістік

Қызықты және бұл жағдайда перпендикуляр тікелей басталуы мүмкін және бұл жағдайда екі түзу сызық деп аталатындығы, егер олар басқа екі тікелей тікелей болса, сол ұшақта және оған перпендикуляр жатса. Сонымен қатар, егер жазықтықта екі түзу сызық перпендикуляр болса, үш өлшемді кеңістікте үшеуі болса. Сонымен қатар, перпендикуляр сызықтардың (немесе ұшақтардың) саны одан сайын артып кетуі мүмкін.

Тікелей сызық (түзу кесілген) латын әліпбиінің екі үлкен әріптерімен немесе бір шағын хатпен белгіленеді. Нүкте тек үлкен латын әріпімен ғана көрсетіледі.

Тікелей қиылыспауы, қиылыспауы немесе сәйкес келмеуі мүмкін. Тікелей сызықтармен қиылысатын бір ғана қарапайым нүкте, күшті емес тікелей бағдарлама - бір нүкте емес, сәйкес келмейтін нүкте, барлық нүктелермен сәйкес келеді.

Анықтама. Екі түзу, дұрыс бұрыштармен қиылысады. Тікелей (немесе олардың сегменттерінің) перпендикулярлығы «⊥» перпендикулярлығының белгісімен көрсетіледі.

Мысалға:

Сіздің Аб және Ықшкір (Cурет 1) нүкте қиылысады Жөнінде және ∠ Айдар = ∠Демалу = ∠AoD. = ∠ДК. \u003d 90 °, содан кейін Аб ⊥ Ықшкір.

Егер а Аб ⊥ Ықшкір (2-сурет) және нүкте қиылысады -Да, содан кейін ∠ Abc. = ∠ABD. \u003d 90 °

Қасиеттер перпендикулярлік сызықтар

1. нүкте арқылы Бірақ (3-сур.) Тек бір перпендикуляр түзу жүзеге асырылуы мүмкін У бағыттау CD; Қалған бөлігі, нүктеден өтіп бара жатыр Бірақ және кесіп өту CD.тік деп аталады (Cурет 3, Direct) Э және Аф.).

2. нүктеден А. Сіз перпендикулярды түзуден төмендете аласыз Ықшкір; Перпендикуляр ұзындығы (кесу ұзындығы) У) нүктеден өткізді Бірақ түзу Ықшкір- Бұл ең қысқа қашықтық А. дейін Ықшкір (Cурет 3).