Бөлшектің негізгі қасиеті, тұжырымдамасы, дәлелдеуі, қолдану мысалдары. Бөлшектің негізгі қасиеті: тұжырымдау, дәлелдеу, қолдану мысалдары Бөлшектің негізгі қасиеті не айтады

Бұл мақалада біз бөлшектің негізгі қасиеті неде екенін талдаймыз, оны тұжырымдаймыз, дәлел және иллюстрациялық мысал келтіреміз. Содан кейін бөлшектерді азайту және бөлшектерді жаңа бөлгішке азайту әрекеттерін орындау кезінде бөлшектің негізгі қасиетін қалай қолдануға болатынын қарастырамыз.

Барлық қарапайым бөлшектердің маңызды қасиеті бар, оны біз бөлшектің негізгі қасиеті деп атаймыз және ол келесідей естіледі:

Анықтама 1

Егер бір бөлшектің бөлгішін және бөлгішін бірдей натурал санға көбейтсе немесе бөлсе, онда нәтиже берілген бөлікке тең бөлшек болады.

Бөлшектің негізгі қасиетін теңдік ретінде көрсетейік. A, b және m натурал сандары үшін теңдіктер дұрыс болады:

a m b m = a b және a: m b: m = a b

Бөлшектің негізгі қасиетінің дәлелдеуін қарастырайық. Натурал сандарды көбейту және натурал сандарды бөлу қасиеттеріне сүйене отырып, теңдіктерін жазамыз: (a · m) · b = (b · m) · a және (a: m) · b = (b: м) · а. Осылайша, фракциялар a m b m және a b, сонымен қатар a: m b: m және a b бөлшектер теңдігінің анықтамасымен тең.

Бөлшектің негізгі қасиетін графикалық түрде бейнелейтін мысалды қарастырайық.

1-мысал

Бізде 9 «үлкен» бөлік-квадратқа бөлінген квадрат бар делік. Әр «үлкен» квадрат 4 кішіге бөлінеді. Берілген квадрат 4 · 9 = 36 «кіші» квадраттарға бөлінген деп айтуға болады. 5 «үлкен» төртбұрышты бөлектеңіз. Бұл жағдайда 4 · 5 = 20 «кішкентай» квадраттар боялған болады. Біздің іс-әрекетімізді көрсететін сурет көрсетейік:

Боялған бөлік бастапқы суреттің 5 9 немесе 20 36 құрайды, ол бірдей. Сонымен, 5 9 және 20 36 бөлшектері тең: 5 9 = 20 36 немесе 20 36 = 5 9 .

Бұл теңдіктер, сондай-ақ 20 = 4,5, 36 = 4,9, 20: 4 = 5 және 36: 4 = 9 теңдіктері деген қорытынды жасауға мүмкіндік береді. 5 9 = 5 4 9 4 және 20 36 = 20 4 36 4.

Теорияны бекіту үшін мысалдың шешімін қарастырайық.

2-мысал

Кейбір жай бөлшектің бөлгішін және бөлгішін 47-ге көбейтетіні көрсетілген, содан кейін бұл бөлгіш пен бөлгіш 3-ке бөлінеді. Осы әрекеттер нәтижесінде алынған бөлшек берілгенге тең ме?

Шешім

Бөлшектің негізгі қасиетіне сүйене отырып, берілген бөлшектің нумераторы мен бөлгішін 47 натурал санына көбейтудің нәтижесінде бастапқыға тең бөлшек шығады деп айта аламыз. Мұны әрі қарай 3-ке бөлу арқылы айтуға болады. Сайып келгенде, біз берілгенге тең бөлшекті аламыз.

Жауап:иә, алынған бөлшек түпнұсқаға тең болады.

Бөлшектің негізгі қасиетін қолдану

Негізгі қасиет бөлшектерді жаңа бөлгішке дейін азайту қажет болғанда және бөлшектерді азайту кезінде қолданылады.

Бөлшекті жаңа бөлгішке азайту дегеніміз - берілген бөлшекті тең бөлшекке, бірақ үлкен бөлгіш пен бөлгішке ауыстыру әрекеті. Бөлшекті жаңа бөлгішке келтіру үшін бөлшектің бөлгішін және бөлгішін қажетті натурал санға көбейту керек. Бөлшектерді жаңа бөлгішке дейін азайту тәсілінсіз кәдімгі бөлшектермен әрекеттер жасау мүмкін емес еді.

Анықтама 2

Бөлшектің азаюы- берілген бөлшекке тең, бірақ төменгі бөлгіш пен бөлгішпен жаңа бөлшекке өту әрекеті. Бөлшекті азайту үшін бөлшектің бөлгішін және бөлгішін сол натурал санға бөлу керек, ол деп аталады ортақ бөлгіш.

Мұндай ортақ бөлгіш жоқ жағдайлар кездеседі, содан кейін олар алғашқы бөлшек азайтылмайды немесе оны жою мүмкін емес дейді. Атап айтқанда, ең үлкен ортақ бөлгіші бар бөлшектің күшін жою бөлшекті төмендетілмейтін етеді.

Егер сіз мәтінде қате байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелерін басыңыз

Бөлшек- сандарды математикада бейнелеу формасы. Бөлшек жолақ бөлу операциясын білдіреді. Нумераторбөлшек дивиденд деп аталады, және бөлгіш- бөлгіш. Мысалы, бөлшек санда бөлгіш 5-ке, бөлгіш 7-ге тең.

Дұрысбөлгіштің модулінен бөлгіштің модулінен үлкен бөлшек деп аталады. Егер бөлшек дұрыс болса, онда оның мәнінің модулі әрқашан 1-ден кем болады. Барлық қалған бөлшектер қате.

Бөлшек деп аталады араласегер ол бүтін және бөлшек түрінде жазылса. Бұл осы санның және бөлшектің қосындысымен бірдей:

Бөлшектің негізгі қасиеті

Егер бөлшектің бөлгішін және бөлгішін бірдей санға көбейтсе, онда бөлшектің мәні өзгермейді, яғни, мысалы

Бөлшектердің ортақ бөлгіші

Екі бөлшекті ортақ бөлгішке жеткізу үшін сізге қажет:

1. Бірінші бөлшектің бөлгішін екінші бөлгішке көбейт
2. Екінші бөлшектің бөлгішін бірінші бөлгішке көбейтеді
3. Екі бөлшектің бөлгіштерін олардың көбейтіндісімен ауыстырыңыз

Бөлшек әрекеттер

Қосу.Екі фракцияны қосу үшін сізге қажет

1. Екі бөлшектің де жаңа нуматорларын қосып, бөлгішті өзгеріссіз қалдырыңыз

Мысал:

Азайту.Бір бөлшекті екінші бөлшектен алу үшін сізге керек

1. Бөлшектерді ортақ бөлгішке келтір
2. Бірінші бөлшектің бөлгішінен екіншісінің бөлгішін алып тастаңыз да, бөлгішті өзгеріссіз қалдырыңыз

Мысал:

Көбейту.Бір бөлшекті екінші бөлшекке көбейту үшін олардың нумераторлары мен бөлгіштерін көбейту керек.

Бірліктің бөлшектері және ретінде ұсынылған \ frac (a) (b).

Бөлшек нумераторы (а)- бөлшек сызығынан жоғары және бірлік бөлінген фракциялар санын көрсететін сан.

Бөлшек бөлгіші (b)- бөлшек сызығынан төмен және бірліктің қанша фракцияға бөлінгенін көрсететін сан.

Шоуды жасыру

Бөлшектің негізгі қасиеті

Егер ad = bc болса, онда екі бөлшек \ frac (a) (b)және \ frac (c) (d)тең деп саналады. Мысалы, бөлшектер тең болады \ frac35және \ frac (9) (15), 3 \ cdot 15 = 15 \ cdot 9 болғандықтан, \ frac (12) (7)және \ frac (24) (14) 12 \ cdot 14 = 7 \ cdot 24 болғандықтан.

Бөлшектер теңдігі анықтамасынан бөлшектер деп шығады \ frac (a) (b)және \ frac (am) (bm), a (bm) = b (am) натурал сандарды көбейтудің комбинациялық және орын ауыстыру қасиеттерін іс-әрекетте қолданудың айқын мысалы болғандықтан.

Қаражат \ frac (a) (b) = \ frac (am) (bm)- ұқсайды бөлшектің негізгі қасиеті.

Басқаша айтқанда, берілген бөлшекке тең бөлшекті бастапқы бөлшектің нумераторы мен бөлгішін бірдей натурал санға көбейту немесе бөлу арқылы аламыз.

Бөлшектің азаюыЖаңа бөлшек түпнұсқаға тең, бірақ кіші бөлгіш пен бөлгішпен алынған бөлшекті ауыстыру процесі болып табылады.

Бөлшектің негізгі қасиетіне сүйене отырып, бөлшектерді азайту әдетке айналған.

Мысалға, \ frac (45) (60) = \ frac (15) (20)(бөлгіш пен бөлгіш 3 санына бөлінеді); алынған бөлшекті 5-ке бөлу арқылы қайтадан азайтуға болады, яғни \ frac (15) (20) = \ frac 34.

Төмендетілмейтін бөлшекПішіннің бөлігі \ frac 34Мұндағы бөлгіш пен бөлгіш коприрленген сандар. Бөлшекті азайтудың негізгі мақсаты - бөлшекті азайтылатын ету.

Бөлшектердің ортақ бөлгіші

Мысал ретінде екі бөлшекті алайық: \ frac (2) (3)және \ frac (5) (8) 3 және 8 әртүрлі бөлгіштерімен. Осы бөлшектерді ортақ бөлгішке келтіру үшін және алдымен бөлшектің бөлгішін және бөлгішін көбейту үшін \ frac (2) (3) 8-де. Біз келесі нәтиже аламыз: \ frac (2 \ cdot 8) (3 \ cdot 8) = \ frac (16) (24)... Содан кейін бөлшектің бөлгішін және бөлгішін көбейтеміз \ frac (5) (8) 3-ке Нәтижесінде біз мыналарды аламыз: \ frac (5 \ cdot 3) (8 \ cdot 3) = \ frac (15) (24)... Сонымен, бастапқы бөлшектер 24-тің ортақ бөлгішіне келтірілген.

Жай бөлшектерге арифметикалық амалдар

Жай бөлшектерді қосу

а) бірдей бөлгіштермен бірінші бөлшектің бөлгішін екінші бөлшектің бөлгішіне қосады да, бөлгішті бірдей қалдырады. Мысалда көріп отырғаныңыздай:

\ frac (a) (b) + \ frac (c) (b) = \ frac (a + c) (b);

б) Әр түрлі бөлгіштер үшін бөлшектер алдымен ортақ бөлгішке алып келеді, содан кейін а) ережеге сәйкес нуматорларды қосады:

\ frac (7) (3) + \ frac (1) (4) = \ frac (7 \ cdot 4) (3) + \ frac (1 \ cdot 3) (4) = \ frac (28) (12) + \ frac (3) (12) = \ frac (31) (12).

Жай бөлшектерді азайту

а) бірдей бөлгіштермен екінші бөлшектің бөлгішін бірінші бөлшектің бөлгішінен шығарып, бөлгішті бірдей қалдырады:

\ frac (a) (b) - \ frac (c) (b) = \ frac (a-c) (b);

б) Егер бөлшектердің бөлгіштері әр түрлі болса, онда алдымен бөлшектер ортақ бөлгішке алып келеді, содан кейін а) тармағында көрсетілгендей қадамдарды қайталайды.

Жай бөлшектерді көбейту

Бөлшектерді көбейту келесі ережеге бағынады:

\ frac (a) (b) \ cdot \ frac (c) (d) = \ frac (a \ cdot c) (b \ cdot d),

яғни сандар мен бөлгіштер бөлек көбейтіледі.

Мысалға:

\ frac (3) (5) \ cdot \ frac (4) (8) = \ frac (3 \ cdot 4) (5 \ cdot 8) = \ frac (12) (40).

Жай фракциялардың бөлінуі

Фракцияларды бөлу келесі жолмен жүзеге асырылады:

\ frac (a) (b): \ frac (c) (d) = \ frac (ad) (bc),

бұл бөлшек \ frac (a) (b)бөлшекке көбейтілген \ frac (d) (c).

Мысал: \ frac (7) (2): \ frac (1) (8) = \ frac (7) (2) \ cdot \ frac (8) (1) = \ frac (7 \ cdot 8) (2 \ cdot 1) ) = \ frac (56) (2).

Өзара сандар

Егер ab = 1 болса, онда b саны болады артқаа саны үшін.

Мысалы: 9 саны үшін кері болып табылады \ frac (1) (9), сияқты 9 \ cdot \ frac (1) (9) = 1, 5 нөмірі үшін - \ frac (1) (5), сияқты 5 \ cdot \ frac (1) (5) = 1.

Ондық бөлшектер

Ондықбөлгіш 10, 1000, 10 \, 000, ..., 10 ^ n болатын тұрақты бөлшек деп аталады.

Мысалға: \ frac (6) (10) = 0.6; \ бос орын \ frac (44) (1000) = 0.044.

Бөлгіш 10 ^ n немесе қате сандармен қате сандар дәл осылай жазылады.

Мысалға: 5 \ frac (1) (10) = 5.1; \ enspace \ frac (763) (100) = 7 \ frac (63) (100) = 7.63.

Азайтқышы бар кез-келген жай бөлшек, оның қандай да бір дәрежесінің 10-ға бөлгіші ондық бөлшек түрінде ұсынылады.

Мысалы: 5 - 100-дің бөлгіші, сондықтан бөлшек \ frac (1) (5) = \ frac (1 \ cdot 20) (5 \ cdot 20) = \ frac (20) (100) = 0.2.

Ондық бөлшектерге арифметикалық амалдар

Ондық бөлшектерді қосу

Екі ондық бөлшекті қосу үшін оларды бірдей цифрлар мен үтірдің астындағы үтір бір-бірінің астында орналасатындай етіп орналастыру керек, содан кейін бөлшектерді жай сандар ретінде қосу керек.

Ондық бөлшектерді азайту

Ол қосу тәсілімен орындалады.

Ондық көбейту

Ондық сандарды көбейту кезінде үтірлерді ескермей, берілген сандарды көбейту жеткілікті (натурал сандар сияқты), ал алынған жауапта оң жақтағы үтір үтірден кейін қанша цифр болса, сонша цифрды екі факторға да бөледі.

2,7 есе көбейтейік 1.3. Бізде 27 \ cdot 13 = 351 бар. Үтірмен оң жақтағы екі цифрды бөліңіз (бірінші және екінші сандарда үтірден кейін бір цифр болады; 1 + 1 = 2). Нәтижесінде 2,7 \ cdot 1,3 = 3,51 аламыз.

Егер алынған нәтижеде үтірмен бөлінген цифрлар аз болса, онда жоқ нөлдер алдыңғы жағына жазылады, мысалы:

10, 100, 1000-ға көбейту үшін үтірді ондық бөлшектегі 1, 2, 3 цифрларына оңға ауыстыру керек (қажет болған жағдайда оңға белгілі бір нөлдер саны беріледі).

Мысалы: 1.47 \ cdot 10 \, 000 = 14700.

Ондық бөлшектерді бөлу

Ондық бөлшекті натурал санға бөлу натурал санды натурал санға бөлу сияқты орындалады. Бөлшектегі үтір бүкіл бөлімді бөлу аяқталғаннан кейін қойылады.

Егер дивидендтің бүтін бөлігі бөлгіштен аз болса, онда жауап нөл бүтін сандарға тең болады, мысалы:

Ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлуді қарастырайық. 2,576-ны 1,12-ге бөлейік. Ең алдымен, біз дивиденд пен бөлшектің бөлгішін 100-ге көбейтеміз, яғни дивидендте үтірді оңға, ал бөлгішті үтірден кейінгі бөлгіште қанша цифрға айналдырамыз (осы мысалда) , екіге). Сонда сізге 257,6 бөлшегін 112 натурал санына бөлу керек, яғни мәселе бұрын қарастырылған жағдайға дейін азаяды:

Соңғы ондық бөлшек әрдайым бір санды екінші санға бөлу кезінде бола бермейді. Нәтижесінде шексіз ондық болады. Мұндай жағдайларда олар қарапайым фракцияларға ауысады.

2.8: 0.09 = \ frac (28) (10): \ frac (9) (100) = \ frac (28 \ cdot 100) (10 \ cdot 9) = \ frac (280) (9) = 31 \ frac ( 1) (9).

Бұл тақырып өте маңызды, барлық математика мен алгебра бөлшектердің негізгі қасиеттеріне негізделген. Фракциялардың қарастырылатын қасиеттері олардың маңыздылығына қарамастан өте қарапайым.

Түсіну фракциялардың негізгі қасиеттерішеңберді қарастыру.

Шеңберде сіз мүмкін болатын сегіз бөліктен 4 бөлік бар немесе толтырылғанын көре аласыз. Алынған бөлшекті жазайық \ (\ frac (4) (8) \)

Келесі шеңберде екі мүмкіндіктің бір бөлігі боялғанын көруге болады. Алынған бөлшекті жазайық \ (\ frac (1) (2) \)

Егер мұқият қарасақ, бірінші жағдайда, екінші жағдайда шеңбердің жартысы толтырылғанын көреміз, сондықтан алынған бөлшектер \ (\ frac (4) (8) = \ frac (1)) 2) \), яғни бұл бірдей сан.

Мұны математикалық тұрғыдан қалай дәлелдей аламыз? Көбейту кестесін еске түсіріңіз және бірінші бөлшекті көбейткіштерге жазыңыз.

\ (\ frac (4) (8) = \ frac (1 \ cdot \ color (red) (4)) (2 \ cdot \ color (red) (4)) = = frac (1) (2) \ cdot \ color (қызыл) (\ frac (4) (4)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ color (қызыл) (1) = \ frac (1) (2) \)

Біз не істедік? Бөлгішті және бөлгішті \ (\ frac (1 \ cdot \ color (red) (4)) (2 \ cdot \ color (red) (4)) \) факторларына бояп, содан кейін бөлшектерді \ (\ frac) бөлдік. (1) (2) \ cdot \ color (қызыл) (\ frac (4) (4)) \). Төртке төртке бөлінген 1-ге тең, ал кез-келген санға көбейтілген санның өзі. Жоғарыда келтірілген мысалда не істедік деп аталады фракциялардың азаюы.

Келесі мысалды қарастырайық және бөлшекті азайтамыз.

\ (\ frac (6) (10) = \ frac (3 \ cdot \ color (red) (2)) (5 ​​\ cdot \ color (red) (2)) = = frac (3) (5) \ cdot \ color (қызыл) (\ frac (2) (2)) = \ frac (3) (5) \ cdot \ color (қызыл) (1) = \ frac (3) (5) \)

Біз қайтадан бөлгіш пен бөлгішті көбейткіштерге боялдық, сандар мен бөлгіштердегі бірдей сандардың күшін жойдық. Яғни, екіге бөлінгеннің екеуі біреуін, ал біреуін кез-келген санға көбейткенде бірдей сан шығады.

Бөлшектің негізгі қасиеті.

Бұл фракцияның негізгі қасиетін білдіреді:

Егер бөлшектің бөлгішін де, бөлгішін де бірдей санға көбейтсе (нөлден басқа), онда бөлшектің мәні өзгермейді.

\ (\ bf \ frac (a) (b) = \ frac (a \ cdot n) (b \ cdot n) \)

Сонымен қатар, бөлгіш пен бөлгіш бөлшектерді бірдей санға бір уақытта бөлуге болады.
Мысалды қарастырайық:

\ (\ frac (6) (8) = \ frac (6 \ div \ color (red) (2)) (8 \ div \ color (red) (2)) = \ frac (3) (4) \)

Егер бөлшектің бөлгішін де, бөлгішін де бірдей санға бөлсе (нөлден басқасы), онда бөлшектің мәні өзгермейді.

\ (\ bf \ frac (a) (b) = \ frac (a \ div n) (b \ div n) \)

Нөмірлерде де, бөлгіштерде де жай жай көбейткіштері бар бөлшектер деп аталады жойылатын фракциялар.

Жойылатын бөлшектің мысалы: \ (\ frac (2) (4), \ frac (6) (10), \ frac (9) (15), \ frac (10) (5), ... «)

Сондай-ақ бар төмендетілмейтін фракциялар.

Төмендетілмейтін бөлшекБөлшек санда және бөлгіштерде қарапайым жай көбейткіштер болмайды.

Төмендетілмейтін бөлшектің мысалы: \ (\ frac (1) (2), \ frac (3) (5), \ frac (5) (7), \ frac (13) (5), ... «)

Кез-келген санды бөлшек түрінде көрсетуге болады, өйткені кез-келген сан бірге бөлінеді,мысалы:

\ (7 = \ frac (7) (1) \)

Тақырыпқа қойылатын сұрақтар:
Сіздің ойыңызша, қандай да бір бөлшекті азайтуға немесе азайтуға болады?
Жауап: жоқ, жоққа шығарылатын фракциялар және азайтылатын фракциялар бар.

Теңдіктің дұрыс екендігін тексеріңіз: \ (\ frac (7) (11) = \ frac (14) (22) \)?
Жауабы: бөлшекті жаз \ (\ frac (14) (22) = \ frac (7 \ cdot 2) (11 \ cdot 2) = \ frac (7) (11) \)иә, бұл әділ.

№1 мысал:
а) бөліндісі 15-ке, бөлшекке тең бөлшекті табыңыз \ (\ frac (2) (3) \).
б) 8 нумераторымен бөлшекке тең бөлшекті табыңыз \ (\ frac (1) (5) \).

Шешім:
а) Бөлгіштегі 15 саны керек.Енді бөлгіштегі сан 3-ке тең, 15 санын алу үшін 3 санын қандай санға көбейту керек? 3⋅5 көбейту кестесін еске түсірейік. Бізге бөлшектердің негізгі қасиетін қолдану керек және бөлшектің бөлгішін де, бөлгішін де көбейту керек \ (\ frac (2) (3) \) 5-ке

\ (\ frac (2) (3) = \ frac (2 \ cdot 5) (3 \ cdot 5) = \ frac (10) (15) \)

ә) Бізге нумераторда 8 саны керек.Енді 1 саны нумераторда тұр.Сан алу үшін 1 санын қандай санға көбейту керек? Әрине, 1-8. Бізге бөлшектердің негізгі қасиетін қолдану керек және бөлшектің бөлгішін де, бөлгішін де көбейту керек \ (\ frac (1) (5) \) 8. біз:

\ (\ frac (1) (5) = \ frac (1 \ cdot 8) (5 \ cdot 8) = \ frac (8) (40) \)

Мысал №2:
Бөлшекке тең келетін азайтылатын бөлшекті табыңыз: а) \ (\ frac (16) (36) \),б) \ (\ frac (10) (25) \).

Шешім:
бірақ) \ (\ frac (16) (36) = \ frac (4 \ cdot 4) (9 \ cdot 4) = \ frac (4) (9) \)

б) \ (\ frac (10) (25) = \ frac (2 \ cdot 5) (5 \ cdot 5) = \ frac (2) (5) \)

Мысал №3:
Санды бөлшек түрінде жаз: а) 13 ә) 123

Шешім:
бірақ) \ (13 = \ frac (13) (1) \)

б) \ (123 = \ frac (123) (1) \)

Алгебра курсынан мектеп бағдарламасынақты ерекшеліктерге тоқталайық. Бұл мақалада біз рационалды өрнектердің ерекше түрін егжей-тегжейлі қарастырамыз - рационал бөлшектер, сондай-ақ қандай сипаттамаға ұқсас екенін талдаңыз рационал бөлшектерді түрлендіруорын алады.

Рационал бөлшектерді төменде анықтайтын мағынасында алгебралық бөлшектер деп алгебраның кейбір оқулықтарында алгебралық бөлшектер деп аталатындығын бірден байқаймыз. Яғни, бұл мақалада біз рационалды және алгебралық бөлшектермен бірдей нәрсені айтатын боламыз.

Әдеттегідей, анықтамадан және мысалдардан бастайық. Әрі қарай, рационал бөлшекті жаңа бөлгішке дейін азайту және бөлшек мүшелерінің белгілерін өзгерту туралы әңгімелестік. Осыдан кейін біз фракцияларды азайту қалай орындалатынын талдаймыз. Соңында рационал бөлшекті бірнеше бөлшектің қосындысы ретінде көрсетуге тоқталайық. Біз барлық ақпаратты шешімдердің толық сипаттамалары бар мысалдармен қамтамасыз етеміз.

Бетті шарлау.

Рационал бөлшектердің анықтамасы және мысалдары

Рационал бөлшектер 8 сынып алгебра сабағында оқытылады. Ю.Н.Макарычев және басқалардың 8 сыныпқа арналған алгебра оқулығында берілген рационал бөлшектің анықтамасын қолданамыз.

Бұл анықтамада рационал бөлшектің бөлгішіндегі және бөлгішіндегі көпмүшелер стандартты түрдегі көпмүшелер болуы керек пе, жоқ па, ол анықталмаған. Сондықтан рационал бөлшектердің жазбаларында стандартты және стандартты емес көпмүшелер болуы мүмкін деп есептейміз.

Міне бірнеше рационал бөлшектердің мысалдары... Сонымен, x / 8 және - рационал бөлшектер. Фракциялар және рационал бөлшектің дауыстық анықтамасына сәйкес келмейді, өйткені олардың біріншісінде бөлгіште көпмүше болмайды, ал екіншісінде бөлгіште де, бөлгіште де көпмүшелік емес өрнектер болады.

Рационал бөлшектің бөлгішін және бөлгішін түрлендіру

Кез-келген бөлшектің бөлгіші мен бөлгіші өзін-өзі қамтамасыз ететін математикалық өрнектер, рационал бөлшектер жағдайында бұл көпмүшелер, нақтырақ айтсақ, мономалдар мен сандар. Сондықтан рационал бөлшектің бөлгішімен және бөлгішімен, кез-келген өрнек сияқты, бірдей түрлендірулер жүргізуге болады. Басқаша айтқанда, рационал бөлшектің бөлгішіндегі өрнекті бөлгіш сияқты оған ұқсас өрнекпен ауыстыруға болады.

Бірдей түрлендірулерді рационал бөлшектің бөлгішінде және бөлгішінде жүргізуге болады. Мысалы, бөлгіште ұқсас терминдерді топтастыруға және келтіруге болады, ал бөлгіште - бірнеше санның көбейтіндісі, оның мәнімен ауыстырылады. Ал рационал бөлшектің нумераторы мен бөлгіші көпмүшелер болғандықтан, олармен көпмүшеліктерге тән түрлендірулер жасауға болады, мысалы, стандартты түрге келтіру немесе туынды түрінде ұсыну.

Түсінікті болу үшін бірнеше мысалдардың шешімдерін қарастырыңыз.

Мысал.

Рационал бөлшекті түрлендіру нумератор стандартты түрдегі көпмүшені, ал бөлгіште көпмүшелердің көбейтіндісі болатындай етіп.

Шешім.

Рационал бөлшектерді жаңа бөлгішке азайту негізінен рационал бөлшектерді қосу және азайту кезінде қолданылады.

Бөлшек алдындағы белгілерді, сондай-ақ оның бөлгішінде және бөлгішінде өзгерту

Бөлшектің негізгі қасиетін бөлшек мүшелерінің белгілерін өзгерту үшін пайдалануға болады. Шынында да, рационал бөлшектің бөлгішін және бөлгішін -1-ге көбейту олардың белгілерін өзгертуге тең, ал нәтижесі берілгенге тең болатын бөлшек болады. Бұл түрлендіруді рационалды бөлшектермен жұмыс кезінде жиі шешуге тура келеді.

Сонымен, егер сіз бір уақытта бөлшектің бөлгішінің және бөлгішінің белгілерін өзгертсеңіз, онда сіз бастапқыға тең бөлшекті аласыз. Бұл тұжырымға теңдік сәйкес келеді.

Мысал келтірейік. Рационал бөлшекті түрдегі бөлгіш пен бөлгіштің белгілері өзгертілген бірдей тең бөлшекпен ауыстыруға болады.

Бөлшектермен тағы бір түрлендіруді жүргізуге болады, онда белгі не бөлгіште, не бөлгіште өзгереді. Біз тиісті ережені жариялаймыз. Егер сіз бөлшектің таңбасын бөлгіштің немесе бөлгіштің белгісімен бірге ауыстырсаңыз, онда сіз бастапқыға тең болатын бөлшекті аласыз. Жазбаша өтініш теңдіктерге сәйкес келеді және.

Бұл теңдіктерді дәлелдеу қиын емес. Дәлелдеу сандарды көбейту қасиеттеріне негізделген. Олардың біріншісін дәлелдейік:. Теңдік ұқсас түрлендірулер көмегімен дәлелденеді.

Мысалы, бөлшекті немесе таңбасымен ауыстыруға болады.

Осы кіші бөлімді аяқтау үшін тағы екі пайдалы теңдікті және. Яғни, сіз тек бөлгіштің немесе бөлгіштің ғана таңбасын өзгертсеңіз, онда бөлшек оның таңбасын өзгертеді. Мысалға, және .

Бөлшек мүшелерінің таңбасын өзгертуге мүмкіндік беретін қарастырылатын түрлендірулер көбінесе бөлшек рационал өрнектерді түрлендіру кезінде қолданылады.

Рационал бөлшектерді азайту

Рационал бөлшектерді жою деп аталатын рационал бөлшектерді келесі түрлендіру бөлшектің дәл сол қасиетіне негізделген. Бұл түрлендіру теңдікке сәйкес келеді, мұндағы a, b және c - кейбір көпмүшелер, ал b және c - нөлдік емес.

Жоғарыда келтірілген теңдіктен рационал бөлшекті азайту оның бөлгішіндегі және бөлгішіндегі жалпы фактордан арылуды көздейтіні түсінікті болады.

Мысал.

Рационал бөлшекті азайтыңыз.

Шешім.

Жалпы фактор 2 бірден көрінеді, біз оны қысқартуды орындаймыз (жалпы факторларды жазған кезде, оны сызып тастауға ыңғайлы). Бізде бар ... X 2 = x x және y 7 = y 3 y 4 болғандықтан (қажет болса қараңыз), х - алынған бөлшектің бөлгіш пен бөлгіштің ортақ коэффициенті, яғни y 3 сияқты екендігі түсінікті. Келесі факторлар бойынша төмендетейік: ... Бұл қысқартуды аяқтайды.

Жоғарыда біз рационал бөлшектің редукциясын дәйекті түрде жүргіздік. Бөлшекті бірден 2 · x · y 3-ке азайтып, бір қадамда қысқартуды жүзеге асыруға болатын. Бұл жағдайда шешім келесідей болады: .

Жауап:

.

Рационал бөлшектерді болдырмау кезінде басты мәселе - бөлгіш пен бөлгіштің ортақ коэффициенті әрдайым көрінбейді. Оның үстіне, ол әрқашан бола бермейді. Ортақ факторды табу немесе оның жоқтығына көз жеткізу үшін рационал бөлшектің бөлгішін және бөлгішін көбейткіштерге жіктеу керек. Егер ортақ коэффициент болмаса, онда бастапқы рационал бөлшектің күшін жоюдың қажеті жоқ, әйтпесе, жою жүзеге асырылады.

Рационалды фракцияларды азайту процесінде әр түрлі нюанстар пайда болуы мүмкін. Алгебралық бөлшектерді азайту мақаласында мысалдармен және егжей-тегжейлі сипатталған негізгі нәзіктіктер туралы айтылады.

Рационал бөлшектерді жою туралы әңгімені аяқтай отырып, біз бұл түрлендірудің бірдей екендігін, ал оны жүзеге асырудағы негізгі қиындықтар көбейтіндіні бөлгіште және бөлгіште көбейтуде екенін ескереміз.

Рационал бөлшектің бөлшектердің қосындысы түрінде ұсынылуы

Рационал бөлшекті түрлендіру өте нақты, бірақ кейбір жағдайларда өте пайдалы болып табылады, ол оны бірнеше фракциялардың қосындысы немесе бүтін өрнек пен бөлшектің қосындысы түрінде көрсетуден тұрады.

Нуматорында бірнеше мономалдың қосындысы болатын көпмүшелік болатын рационал бөлшекті әрқашан бірдей бөлгіштері бар бөлшектердің қосындысы түрінде жазуға болады, олардың нуматорларында сәйкес мономалдар бар. Мысалға, ... Бұл ұсыну бірдей бөлгіштері бар алгебралық бөлшектерді қосу және азайту ережесімен түсіндіріледі.

Жалпы кез-келген рационал бөлшекті бөлшектердің қосындысы ретінде әртүрлі тәсілдермен ұсынуға болады. Мысалы, a / b бөлшегі екі бөлшектің қосындысы ретінде ұсынылуы мүмкін - ерікті с / d бөлшегі және бөлшек, тең айырмашылық a / b және c / d фракциялары. Бұл мәлімдеме рас, өйткені теңдік ... Мысалы, рационал бөлшек бөлшектердің қосындысы түрінде әр түрлі түрде ұсынылуы мүмкін: Бастапқы бөлшекті бүтін өрнек пен бөлшектің қосындысы түрінде көрсетейік. Бөлгішті бағанға бөлгішке бөлу арқылы біз теңдік аламыз ... N 3 +4 өрнектің мәні кез келген n бүтін сан үшін бүтін сан болады. Бөлшектің мәні бүтін санға тең, егер оның бөліндісі 1, −1, 3 немесе −3 болса ғана. Бұл мәндер сәйкесінше n = 3, n = 1, n = 5 және n = -1 мәндеріне сәйкес келеді.

Жауап:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Әдебиеттер тізімі.

• Алгебра:оқу. 8 кл. жалпы білім беру. мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. Теляковский. - 16-шы басылым - М .: Білім, 2008 .– 271 б. : ауру. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• МордковичАлгебра. 7 сынып. 14.00-де 1-бөлім. Оқу орындарының студенттеріне арналған оқулық / А.Г. Мордкович. - 13-ші басылым, Аян. - М.: Мнемозина, 2009. - 160 б .: Илл. ISBN 978-5-346-01198-9.
• МордковичАлгебра. 8 сынып. 14.00-де 1-бөлім. Оқу орындарының студенттеріне арналған оқулық / А.Г. Мордкович. - 11-ші басылым, өшірілді. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 б.: Илл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (техникалық оқу орындарына түсушілерге арналған нұсқаулық): Оқу құралы. нұсқаулық - М.; Жоғары. шк., 1984.-351 б., ауру.