Жалпыланған біртекті теңдеу. Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер

Жалпыланған біртекті дифференциалдық теңдеуді қалай тануға болатыны көрсетілген. Бірінші ретті жалпыланған біртекті дифференциалдық теңдеуді шешу әдісі қарастырылады. Мұндай теңдеуді егжей-тегжейлі шешудің мысалы келтірілген.

Мазмұны

Анықтама

Бірінші ретті жалпыланған біртекті дифференциалдық теңдеу түрінің теңдеуі:
, мұндағы α ≠ 0 , α ≠ 1 , f - функциясы.

Дифференциалдық теңдеудің жалпыланған біртекті екенін қалай анықтауға болады

Дифференциалдық теңдеудің жалпыланған біртекті екенін анықтау үшін t тұрақтысын енгізіп, ауыстыруды орындау керек:
y → t α · y, x → t · x.
Егер t тұрақтысы төмендейтін α мәнін таңдау мүмкін болса, онда бұл - жалпыланған біртекті дифференциалдық теңдеу. Туындының y′ осы ауыстыру арқылы өзгеруі келесі түрде болады:
.

Мысал

Берілген теңдеудің жалпыланған біртекті екенін анықтаңыз:
.

y → t α y, x → t x, y′ → t α- ауыстыруды жасаймыз. 1 жыл':
;
.
t α+-ға бөліңіз 5 :
;
.
Теңдеуде t болса болмайды
4 α - 6 = 0, α = 3/2 .
α = болғаннан бері 3/2 , t төмендеді, сонда бұл жалпыланған біртекті теңдеу.

Шешу әдісі

Бірінші ретті жалпыланған біртекті дифференциалдық теңдеуді қарастырайық:
(1) .
алмастыру арқылы біртекті теңдеуге келтірілетінін көрсетейік:
t = xα.
Шынымен,
.
Осы жерден
; .
(1) :
;
.

Бұл біртекті теңдеу. Оны ауыстыру арқылы шешуге болады:
y = z t,
мұндағы z – t функциясы.
Есептерді шешу кезінде ауыстыруды бірден қолдану оңайырақ:
y = z x α,
мұндағы z – х функциясы.

Бірінші ретті жалпыланған біртекті дифференциалдық теңдеуді шешуге мысал

Дифференциалдық теңдеуді шешу
(Б.1) .

Бұл теңдеудің жалпыланған біртекті екенін тексерейік. Осы мақсатта в (Б.1)ауыстыруды жасаңыз:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 жыл'.
.
t α-ға бөліңіз:
.
t күші жойылады, егер α = - орнатсақ 1 .

Бұл жалпыланған біртекті теңдеу екенін білдіреді.
Ауыстыру жасайық: 1 ,
мұндағы z – х функциясы.
.
y = z x α = z x - (Б.1):
(Б.1) ;
;
.
Бастапқы теңдеуге ауыстырыңыз
;
;
.
x-ке көбейтіп, жақшаларды ашыңыз: 2 Біз айнымалыларды бөлеміз - dx-ке көбейтеміз және x z-ге бөлеміз 0 .
.
z ≠ болғанда
;
;
;
.
бізде бар:
.
Интегралдар кестесін пайдаланып интегралдаймыз:
.

y айнымалысына оралайық.
.
z = xy ауыстырыңыз:
х-ке бөлу: .

(С.2) 2 z-ге бөлгенде 0 , біз z ≠ деп есептедік 0 . 0 .
Енді z = xy = шешімін қарастырайық 0 , немесе y = х-ке бөлу: y = болғаннан бері 0 .

;
.

, өрнектің сол жағы
анықталмаған, онда алынған жалпы интегралға у = шешімін қосамыз Пайдаланылған әдебиеттер:Н.М. Гунтер, Р.О. Кузьмин, есептер жинағы бойынша

жоғары математика , «Лан», 2003 ж.(Теңдеу, М) x+ ж(Теңдеу, М) dx=0 Н dyжалпыланған біртекті деп аталады, егер мұндай санды таңдау мүмкін болса к , бұл теңдеудің сол жағы қандай да бір дәрежеде біртекті функцияға айналады Теңдеу, М, x м dx салыстырмалы Теңдеу Және М – dy‑ болған жағдайда , x м dx – бірінші өлшемнің мәні болып саналады, (dy-1) ші өлшемдер

сәйкес нөл және

Теңдеу, М, x м dx ші өлшемдер. Мысалы, бұл теңдеу болар еді.
(6.1) dx Өлшемдерге қатысты жасалған болжамдарға сәйкес жарамды dyсол жақ мүшелері dyЖәне dy: -2 = 2dy = dyсәйкесінше -2, 2 өлшемдері болады dy Және dy-1. Оларды теңестіре отырып, біз қажетті санды қанағаттандыратын шартты аламыз

-1. Бұл шарт орындалады
= -1 (осымен Қарастырылып отырған теңдеудің сол жағындағы барлық мүшелердің өлшемі -2 болады). Демек, (6.1) теңдеу жалпыланған біртекті.Жалпыланған біртекті теңдеу алмастыру арқылы ажыратылатын айнымалылары бар теңдеуге келтіріледі. dy , Қайда
z

– жаңа белгісіз функция. (6.1) теңдеуді көрсетілген әдіспен интегралдаймыз. Өйткені
= -1, онда
, содан кейін біз теңдеуді аламыз. Оны біріктіре отырып, біз табамыз, қайда

. Бұл

жалпы шешім

, (7.1)

теңдеу (6.1). § 7. 1-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.(Теңдеу) м 1-ші ретті сызықтық теңдеу – қажетті функцияға және оның туындысына қатысты сызықты теңдеу. Ол келесідей көрінеді:(Теңдеу) Қайда Теңдеу. П
, Q
(7.2)

– берілген үздіксіз функциялары
Егер функция

онда (7.1) теңдеу келесідей болады:

(7.3)

және сызықтық біртекті теңдеу деп аталады, әйтпесе § 7. 1-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.(Теңдеу) ол сызықты біртекті емес теңдеу деп аталады. Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу (7.2) ажыратылатын айнымалылары бар теңдеу:Теңдеу) (7.3) өрнек (7.2) теңдеудің жалпы шешімі болып табылады. функциясы болатын (7.1) теңдеудің жалпы шешімін табу

.

(7.2) теңдеудегідей функцияны белгілейді, біз ерікті тұрақты шаманы өзгерту әдісі деп аталатын әдісті қолданамыз және келесіден тұрады: функцияны таңдауға тырысамыз.

C=C(
.

осылайша (7.2) сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі біртекті емес сызықтық теңдеудің (7.1) шешімі болады. Сонда (7.3) функциясының туындысы үшін мынаны аламыз:
= -1 (осымен - ерікті тұрақты. Нәтижесінде (7.1) біртекті емес сызықтық теңдеудің жалпы шешімі (7.4) болады.

Бұл формуладағы бірінші мүше сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің (7.2) жалпы шешімін (7.3) білдіреді, ал (7.4) формуланың екінші мүшесі жалпы (7.1) мәнінен алынған сызықтық біртекті емес теңдеудің (7.1) жеке шешімін білдіреді. 7.4) бар
. Бұл маңызды қорытындыны біз теорема түрінде көрсетеміз.

Теорема.Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің белгілі бір шешімі белгілі болса
, онда барлық басқа шешімдердің пішіні болады
= -1 (осымен
- сәйкес сызықты біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.

Дегенмен, 1-ші ретті (7.1) сызықты біртекті емес дифференциалдық теңдеуді шешу үшін басқа әдіс жиі қолданылатынын, кейде Бернулли әдісі деп аталатынын атап өткен жөн. (7.1) теңдеудің шешімін түрінде іздейміз
. Содан кейін
. Табылған туындыны бастапқы теңдеуге ауыстырайық:
.

Мысалы, соңғы өрнектің екінші және үшінші мүшелерін біріктіріп, функцияны шығарайық u(Теңдеу) жақшаның артында:
(7.5)

Біз жақшаны жоюды талап етеміз:
.

Бұл теңдеуді ерікті тұрақты орнату арқылы шешейік C нөлге тең:
. Табылған функциямен v(Теңдеу) (7.5) теңдеуіне оралайық:
.

Оны шеше отырып, біз аламыз:
.

Демек, (7.1) теңдеудің жалпы шешімі мынадай түрге ие болады.

.
Дифференциалдық теңдеулер.

§ 1. Жай дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі түсініктер.

Анықтама 1.Жай дифференциалдық теңдеу n– функцияның реті Маргумент Теңдеуформаның қатынасы деп аталады

теңдеу (6.1). Ф– оның аргументтерінің берілген функциясы. Математикалық теңдеулер класының атауында «дифференциалдық» термині олардың туындыларын қамтитынын атап көрсетеді.
(дифференциалдау нәтижесінде түзілетін функциялар); «қарапайым» термині қажетті функцияның тек бір нақты аргументке тәуелді екенін көрсетеді.

Кәдімгі дифференциалдық теңдеуде анық аргумент болмауы мүмкін Теңдеу, қажетті функция
және оның кез келген туындысы, бірақ ең жоғары туынды
теңдеуіне қосылуы керек n- ші тапсырыс. Мысалы

A)
– бірінші ретті теңдеу;

б)
– үшінші ретті теңдеу.

Кәдімгі дифференциалдық теңдеулерді жазғанда туындыларды дифференциалдар бойынша белгілеу жиі қолданылады:

V)
– екінші ретті теңдеу;

G)
- бірінші ретті теңдеу;

бойынша бөлгеннен кейін генератор xтеңдеуді көрсетудің эквивалентті түрі:
.

Функция
кәдімгі дифференциалдық теңдеудің шешімі деп аталады, егер оны алмастырғанда ол сәйкестікке айналатын болса.

Мысалы, үшінші ретті теңдеу

Шешімі бар
.

Бір немесе басқа әдіспен табу, мысалы, таңдау, теңдеуді қанағаттандыратын бір функция оны шешуді білдірмейді. Жай дифференциалдық теңдеуді шешу дегеніміз – табу Барлығытеңдеу орнына қойылғанда сәйкестікті құрайтын функциялар. (1.1) теңдеу үшін мұндай функциялар тобы ерікті тұрақтылардың көмегімен құрылады және оны жай дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп атайды. n-ші ретті, ал тұрақтылар саны теңдеу ретімен сәйкес келеді: Жалпы шешім болуы мүмкін, бірақ оған қатысты нақты шешілмейді. М(Теңдеу) : Бұл жағдайда шешім әдетте (1.1) теңдеудің жалпы интегралы деп аталады.

Мысалы, дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі
келесі өрнек болып табылады: , ал екінші мүшесі ретінде де жазылуы мүмкін
, ерікті тұрақты болғандықтан , 2-ге бөлінген, жаңа ерікті тұрақтымен ауыстырылуы мүмкін .

Жалпы шешімдегі немесе жалпы интегралдағы барлық еркін константаларға кейбір рұқсат етілген мәндерді тағайындау арқылы біз енді ерікті тұрақтыларды қамтымайтын белгілі бір функцияны аламыз. Бұл функция (1.1) теңдеудің ішінара шешімі немесе ішінара интегралы деп аталады. Ерікті константалардың мәндерін, демек белгілі бір шешімді табу үшін әртүрлі қосымша шарттар(1.1) теңдеуіне. Мысалы, бастапқы шарттар деп аталатындарды (1.2) көрсетуге болады.

Бастапқы шарттардың (1.2) оң жақтары берілген сандық мәндерфункциялар мен туындылар, ал бастапқы шарттардың жалпы саны анықталған ерікті тұрақтылар санына тең.

Бастапқы шарттар негізінде (1.1) теңдеудің нақты шешімін табу есебі Коши есебі деп аталады.

§ 2. 1-ші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер – негізгі ұғымдар.

1-ші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу ( n=1) пішімі бар:
немесе туынды құралға қатысты шешілуі мүмкін болса:
. Жалпы шешім М= М(Теңдеу,МЕН)немесе жалпы интеграл
1-ші ретті теңдеулер бір ерікті тұрақтыдан тұрады. Бірінші ретті теңдеудің жалғыз бастапқы шарты
жалпы шешімнен немесе жалпы интегралдан тұрақты шаманың мәнін анықтауға мүмкіндік береді. Осылайша, белгілі бір шешім табылады немесе дәл солай Коши мәселесі шешіледі. Коши мәселесін шешудің бар болуы және бірегейлігі туралы мәселе орталық мәселелердің бірі болып табылады жалпы теорияқарапайым дифференциалдық теңдеулер. 1-ші ретті теңдеу үшін, атап айтқанда, бұл жерде дәлелсіз қабылданған теорема жарамды.

Теорема 2.1.Егер теңдеуде функция болса
және оның жартылай туындысы
кейбір аймақтарда үздіксіз Dұшақ XOY, және бұл аймақта нүкте көрсетіледі
, онда теңдеуді де, бастапқы шартты да қанағаттандыратын бірегей шешім бар
.

Геометриялық тұрғыдан бірінші ретті теңдеудің жалпы шешімі жазықтықтағы қисықтардың тобы болып табылады XOY, ортақ нүктелері жоқ және бір-бірінен бір параметрде айырмашылығы бар – тұрақтының мәні C. Бұл қисықтар берілген теңдеу үшін интегралдық қисықтар деп аталады. Интегралдық теңдеу қисықтары анық геометриялық қасиет: әрбір нүктеде қисыққа жанаманың еңіс бұрышының тангенсі мәніне теңосы нүктедегі теңдеудің оң жағында:
. Басқаша айтқанда, теңдеу жазықтықта берілген XOYинтегралдық қисықтарға жанамалардың бағыттарының өрісі. Пікір:Айта кету керек, теңдеуі.
теңдеу және деп аталатын теңдеу симметриялы түрде берілген
.

§ 3. Бөлінетін айнымалылары бар 1-ші ретті дифференциалдық теңдеулер.

Анықтама.Бөлінетін айнымалылары бар дифференциалдық теңдеу түрдегі теңдеу болып табылады
(3.1)

немесе (3.2) түріндегі теңдеу

(3.1) теңдеудегі айнымалыларды ажырату үшін, яғни. бұл теңдеуді бөлінген айнымалы теңдеу деп аталатынға келтіріп, келесі әрекеттерді орындаңыз:

;

Енді теңдеуді шешуіміз керек g(М)= 0 . Егер оның нақты шешімі болса М= а, Бұл М= а(3.1) теңдеуінің шешімі де болады.

(3.2) теңдеу туындыға бөлу арқылы бөлінген айнымалы теңдеуге келтіріледі.
:

, ол (3.2) теңдеудің жалпы интегралын алуға мүмкіндік береді:
. (3.3)

Интегралдық қисықтар (3.3) шешімдермен толықтырылады
, егер мұндай шешімдер бар болса.

Теңдеуді шеш: .

Біз айнымалыларды бөлеміз:

.

Интеграциялау, біз аламыз

Теңдеулерден әрі қарай
Және
табамыз Теңдеу=1, М=-1. Бұл шешімдер жеке шешімдер болып табылады.

§ 4. 1-ші ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер.

Анықтама 1.Бірінші ретті теңдеу біртекті деп аталады, егер оның оң жағы кез келгені үшін болса
қатынасы жарамды
, нөлдік өлшемді екі айнымалы функцияның біртектілік шарты деп аталады.

1-мысал.Бұл функцияны көрсетіңіз
- біртекті нөлдік өлшем.

Шешім.

,

Q.E.D.

Теорема.Кез келген функция
- біртекті және керісінше кез келген біртекті функция
нөлдік өлшем пішінге азайтылады
.

Дәлелдеу.

Теореманың бірінші тұжырымы анық, өйткені
. Екінші тұжырымды дәлелдеп көрейік. қояйық
, содан кейін біртекті функция үшін
, бұл дәлелдеуді қажет етті.

Анықтама 2.Теңдеу (4.1)

онда , «Лан», 2003 ж.м ж– бірдей дәрежедегі біртекті функциялар, яғни. барлығына тиесілі меншікке ие , біртекті деп аталады.

Әлбетте, бұл теңдеуді әрқашан формаға келтіруге болады
(4.2), бірақ оны шешу үшін мұны істеудің қажеті жоқ.

Біртекті теңдеу қажетті функцияны ауыстыру арқылы бөлінетін айнымалылары бар теңдеуге келтіріледі Мформула бойынша М= zx, Қайда Қарастырылып отырған теңдеудің сол жағындағы барлық мүшелердің өлшемі -2 болады). Демек, (6.1) теңдеу жалпыланған біртекті.(Теңдеу) – жаңа талап етілетін функция. Бұл ауыстыруды (4.2) теңдеуде орындап, мынаны аламыз:
немесе
немесе
.

Интеграциялай отырып, функцияға қатысты теңдеудің жалпы интегралды аламыз Қарастырылып отырған теңдеудің сол жағындағы барлық мүшелердің өлшемі -2 болады). Демек, (6.1) теңдеу жалпыланған біртекті.(Теңдеу)
, ол қайталап ауыстырғаннан кейін
бастапқы теңдеудің жалпы интегралын береді. Оның үстіне, егер - теңдеудің түбірлері
, содан кейін функциялар
- біртекті ерітінділер берілген теңдеу. Егер
, онда (4.2) теңдеу түрін алады

және ажыратылатын айнымалылары бар теңдеу болады. Оның шешімдері жартылай тікелей:
.

Түсініктеме.Кейде жоғарыдағы ауыстырудың орнына ауыстыруды қолданған жөн Теңдеу= zy.

§ 5. Біртектіге келтірілген дифференциалдық теңдеулер.

Пішіннің теңдеуін қарастырыңыз
. (5.1)

Егер
, онда бұл алмастыруды қолданатын теңдеу, мұндағы Және - жаңа айнымалылар, және - жүйеден анықталған кейбір тұрақты сандар

Біртекті теңдеуге келтірілді

Егер
, онда (5.1) теңдеу түрін алады

.

Сену Қарастырылып отырған теңдеудің сол жағындағы барлық мүшелердің өлшемі -2 болады). Демек, (6.1) теңдеу жалпыланған біртекті.= балта+ бойынша, тәуелсіз айнымалысы жоқ теңдеуге келеміз.

Мысалдарды қарастырайық.

1-мысал.

Интеграция теңдеу

және нүктелер арқылы өтетін интегралдық қисық сызықты ерекшелеңіз: а) (2;2); б) (1;-1).

Шешім.

қояйық М= zx. Содан кейін dx= xdz+ zdx(6.1)

Оны қысқартайық және мүшелерін жинаңыз x(6.1) дз:

Айнымалыларды бөліп көрейік:

.

Интеграциялау, біз аламыз;

немесе
,
.

Мұнда ауыстыру Қарастырылып отырған теңдеудің сол жағындағы барлық мүшелердің өлшемі -2 болады). Демек, (6.1) теңдеу жалпыланған біртекті.қосулы , берілген теңдеудің жалпы интегралы (5.2) түрінде аламыз.
немесе

.

Бұл шеңберлер отбасы
, оның центрі түзу сызықта жатады М = Теңдеужәне бастапқыда түзуге жанама болатыны М + Теңдеу = 0. Бұл сызықМ = - Теңдеу өз кезегінде теңдеудің белгілі бір шешімі.

Енді Коши мәселесінің режимі:

A) жалпы интегралды қою Теңдеу=2, М=2, табамыз C=2,сондықтан қажетті шешім болады
.

В) шеңберлердің ешқайсысы (5.2) (1;-1) нүктесі арқылы өтпейді. Бірақ бұл жартылай түзу М = - Теңдеу,
нүктесінен өтіп, қажетті шешімді береді.

2-мысал.Теңдеуді шеш: .

Шешім.

Теңдеу (5.1) теңдеудің ерекше жағдайы болып табылады.

Анықтаушы
В бұл мысалда
, сондықтан келесі жүйені шешуіміз керек

Шешім, біз оны аламыз
. Берілген теңдеудегі ауыстыруды орындау арқылы
, біртекті теңдеуді аламыз. Оны алмастыру арқылы біріктіру
, табамыз
.

Ескі айнымалыларға оралу Теңдеу(6.1) Мформулалар бойынша
, бізде бар .

§ 6. Жалпыланған біртекті теңдеу.

Теңдеу , «Лан», 2003 ж.(Теңдеу, М) x+ ж(Теңдеу, М) dx=0 жалпыланған біртекті деп аталады, егер мұндай санды таңдау мүмкін болса dy, бұл теңдеудің сол жағы қандай да бір дәрежеде біртекті функцияға айналады ксалыстырмалы Теңдеу, М, xм dxболған жағдайда Теңдеубірінші өлшемнің мәні болып саналады, М – dyші өлшемдер , xм dx – сәйкес нөл және (dy-1) ші өлшемдер. Мысалы, бұл теңдеу болар еді
. (6.1)

Өлшемдерге қатысты жасалған болжамдарға сәйкес жарамды

Теңдеу, М, xм dxсол жақ мүшелері
Және dxсәйкесінше -2, 2 өлшемдері болады dyЖәне dy-1. Оларды теңестіре отырып, біз қажетті санды қанағаттандыратын шартты аламыз dy: -2 = 2dy=dy-1. Бұл шарт орындалады dy= -1 (осымен dyҚарастырылып отырған теңдеудің сол жағындағы барлық мүшелердің өлшемі -2 болады). Демек, (6.1) теңдеу жалпыланған біртекті.

Жалпыланған біртекті теңдеу алмастыру арқылы ажыратылатын айнымалылары бар теңдеуге келтіріледі.
, Қайда Қарастырылып отырған теңдеудің сол жағындағы барлық мүшелердің өлшемі -2 болады). Демек, (6.1) теңдеу жалпыланған біртекті.– жаңа белгісіз функция. (6.1) теңдеуді көрсетілген әдіспен интегралдаймыз. Өйткені dy= -1, онда
, содан кейін біз теңдеуді аламыз.

Оны біріктіре отырып, біз табамыз
, қайда
. Бұл (6.1) теңдеудің жалпы шешімі.

§ 7. 1-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.

1-ші ретті сызықтық теңдеу – қажетті функцияға және оның туындысына қатысты сызықты теңдеу. Ол келесідей көрінеді:

, (7.1)

теңдеу (6.1). § 7. 1-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.(Теңдеу) м 1-ші ретті сызықтық теңдеу – қажетті функцияға және оның туындысына қатысты сызықты теңдеу. Ол келесідей көрінеді:(Теңдеу) – берілген үздіксіз функциялары Теңдеу. Егер функция
, онда (7.1) теңдеу келесідей болады:
(7.2)

және сызықтық біртекті теңдеу деп аталады, әйтпесе
ол сызықты біртекті емес теңдеу деп аталады.

Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу (7.2) ажыратылатын айнымалылары бар теңдеу:

(7.3)

(7.3) өрнек (7.2) теңдеудің жалпы шешімі болып табылады. функциясы болатын (7.1) теңдеудің жалпы шешімін табу § 7. 1-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.(Теңдеу) (7.2) теңдеудегідей функцияны белгілейді, біз ерікті тұрақты шаманы өзгерту әдісі деп аталатын әдісті қолданамыз және келесіден тұрады: функцияны таңдауға тырысамыз. Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу (7.2) ажыратылатын айнымалылары бар теңдеу:Теңдеу) осылайша (7.2) сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі біртекті емес сызықтық теңдеудің (7.1) шешімі болады. Сонда (7.3) функциясының туындысы үшін мынаны аламыз:

.

Табылған туындыны (7.1) теңдеуге қойып, мынаны аламыз:

немесе
.

Қайда
, мұндағы - ерікті тұрақты. Нәтижесінде (7.1) біртекті емес сызықтық теңдеудің жалпы шешімі (7.4) болады.

Бұл формуладағы бірінші мүше сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің (7.2) жалпы шешімін (7.3) білдіреді, ал (7.4) формуланың екінші мүшесі жалпы (7.1) мәнінен алынған сызықтық біртекті емес теңдеудің (7.1) жеке шешімін білдіреді. 7.4) бар
. Бұл маңызды қорытындыны біз теорема түрінде көрсетеміз.

Теорема.Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің белгілі бір шешімі белгілі болса
, онда барлық басқа шешімдердің пішіні болады
, Қайда
- сәйкес сызықты біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.

Дегенмен, 1-ші ретті (7.1) сызықты біртекті емес дифференциалдық теңдеуді шешу үшін басқа әдіс жиі қолданылатынын, кейде Бернулли әдісі деп аталатынын атап өткен жөн. (7.1) теңдеудің шешімін түрінде іздейміз
. Содан кейін
. Табылған туындыны бастапқы теңдеуге ауыстырайық:
.

Мысалы, соңғы өрнектің екінші және үшінші мүшелерін біріктіріп, функцияны шығарайық u(Теңдеу) жақшаның артында:
(7.5)

Біз жақшаны жоюды талап етеміз:
.

Бұл теңдеуді ерікті тұрақты орнату арқылы шешейік Cнөлге тең:
. Табылған функциямен v(Теңдеу) (7.5) теңдеуіне оралайық:
.

Оны шеше отырып, біз аламыз:
.

Сондықтан (7.1) теңдеудің жалпы шешімі келесідей болады:

§ 8. Бернулли теңдеуі.

Анықтама.

Пішіннің дифференциалдық теңдеуі
, Қайда
, Бернулли теңдеуі деп аталады.

Соны болжасақ
, Бернулли теңдеуінің екі жағын тең бөліңіз . Нәтижесінде біз аламыз:
(8.1)

Жаңа функцияны енгізейік
. Содан кейін
. (8.1) теңдеуді көбейтейік
және функцияға көшейік Қарастырылып отырған теңдеудің сол жағындағы барлық мүшелердің өлшемі -2 болады). Демек, (6.1) теңдеу жалпыланған біртекті.(Теңдеу) :
, яғни. функциясы үшін Қарастырылып отырған теңдеудің сол жағындағы барлық мүшелердің өлшемі -2 болады). Демек, (6.1) теңдеу жалпыланған біртекті.(Теңдеу) сызықты болды біртекті емес теңдеу 1-ші тапсырыс. Бұл теңдеу алдыңғы параграфта қарастырылған әдістер арқылы шешіледі. Оның орнына оның жалпы шешімімен алмастырайық Қарастырылып отырған теңдеудің сол жағындағы барлық мүшелердің өлшемі -2 болады). Демек, (6.1) теңдеу жалпыланған біртекті.(Теңдеу) өрнек
, қатысты оңай шешілетін Бернулли теңдеуінің жалпы интегралды аламыз. М. Сағат
ерітінді қосылады М(Теңдеу)=0 . Бернулли теңдеуін ауыстыру арқылы сызықтық теңдеуге көшпей-ақ шешуге болады.
, және Бернулли әдісін қолдану, егжей-тегжейлі талқыланды § 7. Бернулли теңдеуін нақты мысал арқылы шешу үшін осы әдісті қолдануды қарастырайық.

Мысал.Теңдеудің жалпы шешімін табыңыз:
(8.2)

Шешім.

Демек, бұл теңдеудің жалпы шешімі келесі түрде болады:
, М(Теңдеу)=0.

§ 9. Дифференциалдық теңдеулер толық дифференциалдар.

Анықтама.Егер теңдеуде. , «Лан», 2003 ж.(Теңдеу, М) x+ ж(Теңдеу, М) dx=0 (9.1) сол жағы кейбір функцияның толық дифференциалы У(Теңдеу, М) , онда ол толық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Бұл теңдеуді келесі түрде қайта жазуға болады ду(Теңдеу, М)=0 , демек, оның жалпы интегралы болады u(Теңдеу, М)= в.

Мысалы, теңдеу xdy+ ydx=0 жалпы дифференциалдарда теңдеу бар, өйткені оны түрінде қайта жазуға болады г(xy)=0. Жалпы интеграл болады xy= в- ерікті дифференциалданатын функция. (9.3) u-ға қатысты ажыратайық
§ 10. Интеграциялық фактор.

Егер теңдеу , «Лан», 2003 ж.(Теңдеу, М) x + ж(Теңдеу, М) dx = 0 толық дифференциалдық теңдеу емес және функциясы бар µ = µ(Теңдеу, М) , сондықтан теңдеудің екі жағын оған көбейткеннен кейін теңдеуді аламыз

µ(Mdx + Ndy) = 0жалпы дифференциалдарда, яғни. µ(Mdx + Ndy)ду, содан кейін функция µ(Теңдеу, М) теңдеудің интегралдау коэффициенті деп аталады. Теңдеу толық дифференциалдағы теңдеу болған жағдайда, біз қабылдаймыз μ = 1.

Егер интегралдаушы фактор табылса µ , онда бұл теңдеудің интегралдауы оның екі жағын көбейтуге келтіріледі µ және алынған теңдеудің жалпы дифференциалдардағы жалпы интегралды табу.

Егер µ үздіксіз дифференциалданатын функциясы болып табылады ТеңдеуЖәне ж, Бұл
.

Осыдан интегралдаушы фактор шығады µ келесі 1-ші ретті дербес дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады:

(10.1).

Бұл алдын ала белгілі болса µ= µ(ω) , Қайда ω – берілген функциядан ТеңдеуЖәне М, онда (10.1) теңдеу функциясы белгісіз кәдімгі (және оның үстіне сызықтық) теңдеуге келтіріледі. µ тәуелсіз айнымалы бойынша ω :

(10.2),

теңдеу (6.1).
, яғни бөлшек тек функциясы болып табылады ω .

(10.2) теңдеуді шешіп, интегралдау коэффициентін табамыз

, бірге = 1.

Атап айтқанда, теңдеу , «Лан», 2003 ж.(Теңдеу, М) x + ж(Теңдеу, М) dx = 0 ғана тәуелді интегралдаушы факторы бар Теңдеу(ω = Теңдеу) немесе тек бастап М(ω = М), егер сәйкесінше келесі шарттар орындалса:

,

,
.

Жалпыланған функциялардағы дифференциалдық теңдеулер

Теңдеу болсын. Егер жай функция болса, онда оның шешімі антитуынды болады, яғни. Енді жалпыланған функция болсын.

Анықтама. Жалпыланған функция қарабайыр жалпыланған функция деп аталады, егер. Егер сингулярлы жалпыланған функция болса, онда оның қарсы туындысы тұрақты жалпыланған функция болатын жағдайлар болуы мүмкін. Мысалы, антитуынды дегеніміз; қарсы туынды функция, ал теңдеудің шешімін мына түрде жазуға болады: , мұндағы.

Тамақ сызықтық теңдеу- тұрақты коэффицентті ретті

мұндағы жалпыланған функция. ші ретті дифференциалдық көпмүшелік болсын.

Анықтама. (8) дифференциалдық теңдеудің жалпыланған шешімі келесі қатынас орындалатын жалпыланған функция болып табылады:

Егер үздіксіз функция болса, онда жалғыз шешім(8) теңдеу классикалық шешім болып табылады.

Анықтама. (8) теңдеудің іргелі шешімі кез келген жалпыланған функция болып табылады.

Грин функциясы шекаралық, бастапқы немесе асимптотикалық шартты қанағаттандыратын іргелі шешім болып табылады.

Теорема. (8) теңдеудің шешімі бар және келесі түрде болады:

конволюция анықталмаса.

Дәлелдеу. Шынымен, . Конволюция қасиетіне сәйкес ол келесідей: .

Бұл теңдеудің іргелі шешімі мынадан болатынын көру оңай

Жалпыланған туындылардың қасиеттері

Дифференциалдау әрекеті сызықтық және үздіксіз:

ішінде, егерде;

Әрбір жалпыланған функция шексіз дифференциалданады. Шынында да, егер, онда; өз кезегінде және т.б.;

Дифференциалдау нәтижесі дифференциалдау ретіне тәуелді емес. Мысалы, ;

Егер және болса, туындыны дифференциалдау үшін Лейбниц формуласы дұрыс. Мысалы, ;

Егер ол жалпыланған функция болса, онда;

Егер жергілікті интегралданатын функциялардан тұратын қатар әрбір жинақы жиында біркелкі жинақталса, онда оны мүше бойынша кез келген рет (жалпыланған функция ретінде) дифференциалдауға болады, нәтижесінде алынған қатар жинақталады.

Мысал. Болсын

Функция Heaviside функциясы немесе бірлік функциясы деп аталады. Ол жергілікті түрде интегралданады, сондықтан жалпыланған функция ретінде қарастыруға болады. Сіз оның туындысын таба аласыз. Анықтамаға сәйкес, яғни. .

Күрделі коэффициенттері бар квадраттық формаларға сәйкес жалпыланған функциялар

Осы уақытқа дейін нақты коэффициенттері бар квадраттық формалар ғана қарастырылды. Бұл бөлімде біз күрделі коэффициенттері бар барлық квадрат пішіндердің кеңістігін зерттейміз.

Тапсырма жалпыланған функцияны анықтау болып табылады, мұнда - күрделі сан. Алайда, жалпы жағдайда бірегей аналитикалық функциясы болмайды. Сондықтан барлық квадраттық пішіндер кеңістігінде оң анықталған қиял бөлігі бар квадрат пішіндердің «жоғарғы жарты жазықтығы» оқшауланып, олар үшін функция анықталады. Атап айтқанда, егер квадраттық пішін осы «жартылай жазықтыққа» жататын болса, онда ол қайда деп есептеледі. Мұндай функция бірегей аналитикалық функциясы болып табылады.

Енді функцияны жалпыланған функциямен байланыстыра аламыз:

мұнда интеграция бүкіл кеңістікте жүзеге асырылады. Интеграл (13) осы жарты жазықтықта жинақталады және аналитикалық функция болып табылады. Бұл функцияны аналитикалық түрде жалғастыра отырып, басқа мәндер үшін функционалдық анықталады.

Оң анықталған ойлы бөлігі бар квадрат формалар үшін функциялардың дара нүктелері табылып, осы функциялардың дара нүктелердегі қалдықтары есептеледі.

Жалпыланған функция аналитикалық түрде квадрат түрінің коэффициенттеріне ғана емес, сонымен қатар тәуелді болады. Осылайша, бұл оң анықталған пішін бар форманың барлық квадраттық формаларының жоғарғы «жартылай жазықтықындағы» аналитикалық функция. Демек, ол «ойша жартылай ось» бойынша оның мәндерімен, яғни форманың квадраттық пішіндерінің жиынында біркелкі анықталады, мұндағы оң анықталған форма.

Бөлінетін айнымалылары бар 1-ші ретті дифференциалдық теңдеулер.

Анықтама.Бөлінетін айнымалылары бар дифференциалдық теңдеу (3.1) түріндегі теңдеу немесе (3.2) түріндегі теңдеу болып табылады.

(3.1) теңдеудегі айнымалыларды ажырату үшін, яғни. бұл теңдеуді бөлінген айнымалы теңдеу деп аталатынға келтіріп, келесі әрекеттерді орындаңыз: ;

Енді теңдеуді шешуіміз керек g(y)= 0. Егер оның нақты шешімі болса у=а,Бұл y=a(3.1) теңдеуінің шешімі де болады.

(3.2) теңдеу көбейтіндіге бөлу арқылы бөлінген теңдеуге келтіріледі:

, ол (3.2) теңдеудің жалпы интегралын алуға мүмкіндік береді: . (3.3)

Интегралдық қисықтар (3.3) шешімдермен толықтырылады , егер мұндай шешімдер бар болса.

1-ші ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер.

Анықтама 1.Бірінші ретті теңдеу біртекті деп аталады, егер оның оң жағы қатынасты қанағаттандырса , нөлдік өлшемді екі айнымалы функцияның біртектілік шарты деп аталады.

1-мысал.Функция нөлдік өлшемнің біртекті екенін көрсетіңіз.

Шешім. ,

Q.E.D.

Теорема.Кез келген функция біртекті және, керісінше, нөлдік өлшемді кез келген біртекті функция пішінге келтіріледі.

Дәлелдеу.Теореманың бірінші тұжырымы анық, өйткені . Екінші тұжырымды дәлелдеп көрейік. Енді біртекті функцияны алайық , бұл дәлелдеуді қажет етті.

Анықтама 2.(4.1) теңдеу, онда , «Лан», 2003 ж.м ж– бірдей дәрежедегі біртекті функциялар, яғни. біртекті деп аталатын барлығы үшін қасиеті бар. Әлбетте, бұл теңдеуді әрқашан (4.2) түріне келтіруге болады, бірақ оны шешу үшін мұны істеу қажет емес. Біртекті теңдеу қажетті функцияны ауыстыру арқылы бөлінетін айнымалылары бар теңдеуге келтіріледі Мформула бойынша y=zx,Қайда z(x)– жаңа талап етілетін функция. Осы ауыстыруды (4.2) теңдеуде орындап, мынаны аламыз: немесе немесе.

Интеграциялай отырып, функцияға қатысты теңдеудің жалпы интегралды аламыз z(x) , ол қайталап ауыстырғаннан кейін бастапқы теңдеудің жалпы интегралы береді. Сонымен қатар, егер теңдеудің түбірлері болса, онда функциялар біртекті берілген теңдеудің шешімдері болады. Егер болса, онда (4.2) теңдеу пішінді қабылдайды

Және ол ажыратылатын айнымалылары бар теңдеу болады. Оның шешімдері жартылай тура: .

Түсініктеме.Кейде жоғарыдағы ауыстырудың орнына ауыстыруды қолданған жөн x=zy.

Жалпыланған біртекті теңдеу.

Теңдеу M(x,y)dx+N(x,y)dy=0егер мұндай санды таңдау мүмкін болса, жалпыланған біртекті деп аталады dy, бұл теңдеудің сол жағы қандай да бір дәрежеде біртекті функцияға айналады ксалыстырмалы x, y, dxм dxболған жағдайда Теңдеубірінші өлшемнің мәні болып саналады, М – k‑ші өлшемдер ,dxм dy –сәйкес нөл және (k-1)ші өлшемдер. Мысалы, бұл теңдеу болар еді . (6.1) Өлшемдерге қатысты жасалған болжам бойынша жарамды x, y, dxм dxсол жақ мүшелері және dxсәйкесінше -2, 2 өлшемдері болады dyЖәне к-1. Оларды теңестіре отырып, біз қажетті санды қанағаттандыратын шартты аламыз dy: -2 = 2dy=к-1. Бұл шарт орындалады dy= -1 (осымен dyҚарастырылып отырған теңдеудің сол жағындағы барлық мүшелердің өлшемі -2 болады). Демек, (6.1) теңдеу жалпыланған біртекті.