Қалыпты жазық теңдеу. Жазықтық теңдеуі: қалай құрастырылады? Жазық теңдеулердің түрлері Жазықтықты берілген қашықтыққа жылжыту теңдеуі

Бұл мақалада біз қарастырамыз қалыпты теңдеуұшақ. Жазықтықтың нормаль векторының осьтерден көлбеу бұрышына негізделген жазықтықтың нормаль теңдеуін құруға мысалдар келтірейік. Өгіз, ой, Озжәне қашықтық бойынша rбасынан жазықтыққа дейін. Түзудің жалпы теңдеуін қалыпты түрге келтіру әдісін көрсетейік. Сандық мысалдарды қарастырайық.

Кеңістікте декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі берілсін. Содан кейін қалыпты жазық теңдеу Ω келесі формуламен көрсетіледі:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0,

(1)

Қайда r− бастапқы нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық Ω , А α,β,γ − бұл бірлік вектор арасындағы бұрыштар n, жазықтыққа ортогональ Ω және координаталық осьтер Өгіз, ой, Оз, тиісінше (Cурет 1). (Егер r>0, содан кейін вектор nұшаққа бағытталған Ω , егер жазықтық координаталар басы арқылы өтетін болса, онда вектордың бағыты nерікті түрде таңдалады).

(1) формуласын шығарайық. Кеңістікте декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі мен жазықтық берілсін Ω (Cурет 1). Бастапқы нүкте арқылы түзу жүргізейік Q, жазықтыққа перпендикуляр Ω , және қиылысу нүктесін арқылы белгілеңіз Р. Бұл жолда бірлік векторды таңдаймыз n, бағыты вектормен сәйкес келеді. (Егер ұпай болса ОЖәне Рсәйкес келеді, содан кейін бағыт nерікті түрде алуға болады).

Жазықтықтың теңдеуін өрнектеп көрейік Ω келесі параметрлер арқылы: сегменттің ұзындығы және көлбеу бұрыштары α, β, γ вектор арасында nжәне осьтер Өгіз, ой, Оз, тиісінше.

векторынан бері nбірлік вектор, содан кейін оның проекциялары Өгіз, ой, Озкелесі координаталар болады:

Векторлардың нүктелік көбейтіндісі nжәне келесі нысаны бар:

Соны ескере отырып n={cosα, cosβ, cosγ}, , біз аламыз:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0.

(7)

Біз жазықтықтың қалыпты теңдеуін алдық Ω . (7) (немесе (1)) теңдеу де аталады жазықтықтың нормаланған теңдеуі. Вектор nшақырды қалыпты жазықтық векторы.

Жоғарыда айтылғандай, саны r(1) теңдеуде жазықтықтың басынан қашықтығы көрсетілген. Сондықтан жазықтықтың қалыпты теңдеуіне ие бола отырып, жазықтықтың басынан қашықтығын анықтау оңай. Берілген жазық теңдеудің қалыпты түрдегі теңдеу екенін тексеру үшін осы жазықтықтың нормаль векторының ұзындығын және санның таңбасын тексеру керек. r, яғни. егер | n|=1 және r>0 болса, онда бұл теңдеу жазықтықтың қалыпты (нормаланған) теңдеуі болады.

Мысал 1. Келесі жазық теңдеу берілген:

Вектордың ұзындығын анықтайық n:

(1) және (8) теңдеулер бір сызықты анықтауы керек болғандықтан («Жазықтықтың жалпы теңдеуі» мақаласының 2-тармағы), онда мұндай сан бар. т, Не

Өрнекті жеңілдетіп, табайық т:

т 2 А 2 +т 2 Б 2 +т 2 C 2 =т 2 (А 2 +Б 2 +C 2)=1,

.

(11)

(11) тармағындағы бөлгіш нөлден өзгеше, өйткені коэффициенттердің кем дегенде біреуі A, B, Cнөлге тең емес (әйтпесе (8) түзу теңдеуін көрсетпейді).

Оның қандай белгісі бар екенін білейік т. (9)-дағы төртінші теңдікке назар аударайық. Өйткені rбасынан жазықтыққа дейінгі қашықтық, онда r≥0. Содан кейін өнім тДтеріс белгісі болуы керек. Анау. белгісі т(11) тармағында қарама-қарсы таңба болуы керек D.

Оның орнына (1) орнына қойылады cosα, cosβ, cosγ және −r(9) мәнін аламыз tAx+tBy+tCz+tD=0. Анау. жалпы жазық теңдеуді қалыпты түрге келтіру үшін берілген теңдеуді (11) көбейткішке көбейту керек. Көбейткіш (11) деп аталады нормалаушы фактор.

Мысал 2. Жазықтықтың жалпы теңдеуі берілген

Өйткені D>0, содан кейін белгісі ттеріс:

Санның басынан түзу сызыққа дейінгі қашықтық (12) екенін ескеріңіз.

– кеңістіктегі жазықтықтың жалпы теңдеуі

Қалыпты жазықтық векторы

Жазықтықтың нормаль векторы деп жазықтықта жатқан әрбір векторға нөлдік емес вектор ортогональ болып табылады.

Берілген нормаль векторы бар нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі

– берілген нормаль векторы бар М0 нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі

Жазықтық бағыт векторлары

Жазықтыққа параллель екі коллинеар емес векторларды жазықтықтың бағыт векторлары деп атаймыз

Параметрлік жазықтық теңдеулер

– параметрлік теңдеувекторлық түрдегі жазықтықтар

– координаталардағы жазықтықтың параметрлік теңдеуі

Берілген нүкте және екі бағыт векторы арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі

– бекітілген нүкте

- жай ғана нүкте

-копланар, яғни олардың аралас көбейтіндісі 0.

Берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі

– үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі

Кесінділердегі жазықтықтың теңдеуі

– кесінділердегі жазықтықтың теңдеуі

Дәлелдеу

Мұны дәлелдеу үшін біздің жазықтық A,B,C және нормаль вектор арқылы өтетін фактіні қолданамыз

Нормал векторы бар жазықтықтың теңдеуіне нүкте мен вектор n координаталарын қоямыз.

Барлығын бөліп алайық

Осылайша жүреді.

Қалыпты жазық теңдеу

– О нүктесінен шығатын жазықтыққа ox пен нормаль векторының арасындағы бұрыш.

– O нүктесінен шығатын жазықтыққа ой мен нормаль векторының арасындағы бұрыш.

– O нүктесінен шығатын жазықтыққа унция мен нормаль вектор арасындағы бұрыш.

– бастапқы нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық.

Дәлелдеу немесе сол сияқты ақымақтық

D белгісіне қарама-қарсы.

Қалған косинустар үшін де солай. Соңы.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық

S нүктесі, жазықтық

– S нүктесінен жазықтыққа дейінгі бағытталған қашықтық

Егер болса, S және O жазықтықтың қарама-қарсы қабырғаларында жатады

Егер болса, S және O бір жағында жатады

n-ге көбейту

Екі түзудің кеңістіктегі өзара орналасуы

Жазықтықтар арасындағы бұрыш

Қиылысу кезінде екі жұп тік екібұрышты бұрыштар пайда болады, ең кішісі жазықтықтар арасындағы бұрыш деп аталады.

Кеңістіктегі түзу сызық

Кеңістіктегі түзу сызықты келесідей көрсетуге болады

Екі жазықтықтың қиылысуы:

Сызықтың параметрлік теңдеулері

– векторлық түрдегі түзудің параметрлік теңдеуі

– координаталардағы түзудің параметрлік теңдеуі

Канондық теңдеу

– түзудің канондық теңдеуі.

Берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі

– векторлық түрдегі түзудің канондық теңдеуі;

Екі түзудің кеңістіктегі өзара орналасуы

Түзу мен жазықтықтың кеңістіктегі өзара орналасуы

Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш

Кеңістіктегі нүктеден түзуге дейінгі қашықтық

a – түзуіміздің бағыт векторы.

– берілген түзуге жататын ерікті нүкте

– біз іздейтін қашықтық.

Екі қиылысатын сызық арасындағы қашықтық

Екі параллель түзудің арасындағы қашықтық

M1 – бірінші жолға жататын нүкте

M2 – екінші сызыққа жататын нүкте

Екінші ретті қисықтар мен беттер

Эллипс – жазықтықтағы нүктелер жиыны, олардан берілген екі нүктеге (фокустарға) дейінгі қашықтықтардың қосындысы тұрақты шама болып табылады.

Канондық эллипс теңдеуі

Онымен ауыстырайық

Бөліңіз

Эллипстің қасиеттері

Координаталық осьтермен қиылысу

Симметрия салыстырмалы

1. Шығу тегі

Эллипс – жазықтықтың шектелген бөлігінде жатқан қисық сызық

Эллипсті шеңберден созу немесе қысу арқылы алуға болады

Эллипстің параметрлік теңдеуі:

– директорлар

Гипербола

Гипербола - берілген 2 нүктеге (фокустарға) дейінгі қашықтықтардың айырмасының модулі тұрақты мән (2а) болатын жазықтықтағы нүктелер жиыны.

Эллипспен бірдей әрекетті жасаймыз, аламыз

-мен ауыстырыңыз

Бөліңіз

Гиперболаның қасиеттері

;

– директорлар

Асимптот

Асимптота – қисық шексіз жақындап, шексіздікке қарай жылжитын түзу.

Парабола

Параворктің қасиеттері

Эллипс, гипербола және парабола арасындағы байланыс.

Бұл қисықтардың арасындағы байланыстың алгебралық түсіндірмесі бар: олардың барлығы екінші дәрежелі теңдеулер арқылы берілген. Кез келген координаталар жүйесінде бұл қисықтардың теңдеулері мынадай түрге ие болады: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, мұндағы a, b, c, d, e, f сандар.

Тік бұрышты декарттық координаталар жүйесін түрлендіру

Параллель координаттар жүйесін тасымалдау

–О’ ескі координаталар жүйесінде

– ескі координаталар жүйесіндегі нүктенің координаталары

– нүктенің координаттары жаңа жүйекоординаттар

Жаңа координаттар жүйесіндегі нүктенің координаттары.

Тік бұрышты декарттық координаталар жүйесіндегі айналу

- жаңа координаттар жүйесі

Ескі базистен жаңаға өту матрицасы

– (бірінші бағанның астында I’ , екінші астында – j’ ) базистен өту матрицасы I,jнегізге I’ ,j’

Жалпы жағдай

1 опция

1. Координаталар жүйесін айналдыру

2-нұсқа

1. Координаталар жүйесін айналдыру

   Параллель бастапқы аударма

Екінші ретті түзулердің жалпы теңдеуі және оны қысқарту канондық пішін

– екінші ретті қисық теңдеулердің жалпы түрі

Екінші ретті қисықтардың классификациясы

Эллипсоид

Эллипсоидты бөлімдер

– эллипс

– эллипс

Революция эллипсоидтары

Төңкеріс эллипсоидтары айналамызда айналатын нәрсеге байланысты сопақ немесе пролат сфероидтар болып табылады.

Бір жолақты гиперболоид

Бір жолақты гиперболоидтың бөлімдері

– нақты осі бар гипербола

– нақты осі х болатын гипербола

Нәтиже кез келген h үшін эллипс. Осылайша жүреді.

Революцияның бір жолақты гиперболоидтары

Гиперболаны өзінің ойша осінің айналасында айналдыру арқылы бір парақты революция гиперболоиды алуға болады.

Екі парақты гиперболоид

Екі парақты гиперболоидтың бөлімдері

- әрекеті бар гипербола. осьтік

– нақты осьтері бар гипербола

Конус

– қиылысатын сызықтар жұбы

– қиылысатын сызықтар жұбы

Эллиптикалық параболоид

- парабола

– парабола

Айналымдар

Егер болса, онда эллиптикалық параболоид деп параболаның симметрия осінің айналасында айналуынан пайда болатын айналу бетін айтады.

Гиперболалық параболоид

Парабола

– парабола

Нақты осі х-ке параллель h>0 гипербола

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Цилиндр деп біз түзу кеңістікте оның бағытын өзгертпей қозғалған кезде алынатын бетті айтамыз, егер түзу озға қатысты қозғалса, онда цилиндрдің теңдеуі xoy жазықтығы бойынша кесіндінің теңдеуі болып табылады;

Эллиптикалық цилиндр

Гиперболалық цилиндр

Параболалық цилиндр

Екінші ретті беттердің түзу сызықты генераторлары

Бетінде толығымен жататын түзу сызықтар беттің түзу сызықты генераторлары деп аталады.

Революция беттері

Бля сен сорғыш

Дисплей

ДисплейА жиынының әрбір элементі В жиынының бір немесе бірнеше элементтерімен байланысқан ережені шақырайық. Егер әрқайсысына В жиынының бір элементі тағайындалса, онда салыстыру шақырылады бір мағыналы, әйтпесе анық емес.

Трансформацияжиынның өзі – жиынның бір-бірін салыстыруы

Инъекция

А жиынын B жиынына енгізу немесе бір-бірден салыстыру

(а-ның әртүрлі элементтері В-ның әртүрлі элементтеріне сәйкес келеді) мысалы y=x^2

Сүрекция

А жиынын В жиынына түсіру немесе картаға түсіру

Әрбір В үшін кем дегенде бір А бар (мысалы, синус)

B жиынының әрбір элементі А жиынының бір ғана элементіне сәйкес келеді (мысалы, y=x)

Жазықтықтың жалпы теңдеуін алу үшін берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықты талдаймыз.

Кеңістікте бізге белгілі үш координат осі болсын - Өгіз, ОйЖәне Оз. Қағаз парағын тегіс болып қалатындай ұстаңыз. Ұшақ парақтың өзі және оның барлық бағыттағы жалғасы болады.

Болсын Пкеңістіктегі ерікті жазықтық. Оған перпендикуляр әрбір вектор деп аталады қалыпты вектор осы ұшаққа. Әрине, біз нөлдік емес вектор туралы айтып отырмыз.

Жазықтықтың қандай да бір нүктесі белгілі болса Пжәне оған қандай да бір нормаль вектор болса, онда осы екі шарт бойынша кеңістіктегі жазықтық толығымен анықталады(берілген нүкте арқылы берілген векторға перпендикуляр бір жазықтықты салуға болады). Жазықтықтың жалпы теңдеуі келесідей болады:

Сонымен, жазықтықтың теңдеуін анықтайтын шарттар. Өзіңді алу үшін жазық теңдеу, жоғарыда көрсетілген пішінге ие болып, ұшаққа отырыңыз Перікті нүкте М айнымалы координаталары бар x, ж, z. Бұл нүкте тек жазықтыққа жатады, егер векторы векторға перпендикуляр(Cурет 1). Ол үшін векторлардың перпендикулярлық шарты бойынша осы векторлардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болуы қажет және жеткілікті, яғни

Вектор шарт арқылы белгіленеді. Формула арқылы вектордың координаталарын табамыз :

.

Енді векторлардың скаляр көбейтіндісінің формуласын қолданамыз , скаляр көбейтіндісін координаталық түрде көрсетеміз:

Нүктеден бастап M(x; y; z)жазықтықта ерікті түрде таңдалады, онда соңғы теңдеу жазықтықта жатқан кез келген нүктенің координаталарымен қанағаттандырылады П. Бір нүкте үшін Н, берілген жазықтықта жатпау, яғни. теңдік (1) бұзылған.

1-мысал.Нүкте арқылы өтетін және векторға перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін жаз.

Шешім. (1) формуланы қолданып, оны қайтадан қарастырайық:

Бұл формулада сандар А , БЖәне Cвекторлық координаталар және сандар x0 , ж0 Және z0 - нүктенің координаталары.

Есептер өте қарапайым: біз бұл сандарды формулаға ауыстырамыз және аламыз

Біз көбейту керек нәрсені көбейтеміз және жай сандарды (әріптері жоқ) қосамыз. Нәтиже:

.

Бұл мысалдағы жазықтықтың қажетті теңдеуі айнымалы координаталарға қатысты бірінші дәрежелі жалпы теңдеумен өрнектелді. x, y, zжазықтықтың ерікті нүктесі.

Сонымен, форманың теңдеуі

шақырды жалпы жазық теңдеу .

2-мысал.Тік бұрышты декарттық координаталар жүйесінде теңдеу арқылы берілген жазықтықты сал .

Шешім. Жазықтықты тұрғызу үшін оның бір түзуде жатпайтын кез келген үш нүктесін білу қажет және жеткілікті, мысалы, жазықтықтың координаталық осьтермен қиылысу нүктелері.

Бұл нүктелерді қалай табуға болады? Осьпен қиылысу нүктесін табу Оз, есеп нұсқаулығында берілген теңдеудегі X және Y орнына нөлдерді қою керек: x = ж= 0. Сондықтан аламыз z= 6. Осылайша, берілген жазықтық осьпен қиылысады Ознүктесінде А(0; 0; 6) .

Дәл осылай жазықтықтың осімен қиылысу нүктесін табамыз Ой. Сағат x = z= 0 аламыз ж= −3, яғни нүкте Б(0; −3; 0) .

Соңында, біздің жазықтықтың осімен қиылысу нүктесін табамыз Өгіз. Сағат ж = z= 0 аламыз x= 2, яғни нүкте C(2; 0; 0) . Біздің шешімімізде алынған үш нүктеге негізделген А(0; 0; 6) , Б(0; −3; 0) және C(2; 0; 0) берілген жазықтықты құрастыр.

Енді қарастырайық жалпы жазық теңдеудің ерекше жағдайлары. Бұл (2) теңдеудің белгілі бір коэффициенттері нөлге тең болатын жағдайлар.

1. Қашан D= 0 теңдеуі нүктенің координаталары болғандықтан, координаталар басынан өтетін жазықтықты анықтайды 0 (0; 0; 0) осы теңдеуді қанағаттандырыңыз.

2. Қашан A= 0 теңдеуі осіне параллель жазықтықты анықтайды Өгіз, өйткені бұл жазықтықтың нормаль векторы оське перпендикуляр Өгіз(оның оське проекциясы Өгізнөлге тең). Сол сияқты, қашан B= 0 ұшақ осіне параллель Ой, және қашан C= 0 ұшақ осіне параллель Оз.

3. Қашан A=D= 0 теңдеуі ось арқылы өтетін жазықтықты анықтайды Өгіз, өйткені ол оське параллель Өгіз (A=D= 0). Сол сияқты, ұшақ ось арқылы өтеді Ой, және ось арқылы өтетін жазықтық Оз.

4. Қашан A=B= 0 теңдеуі координаталық жазықтыққа параллель жазықтықты анықтайды xOy, өйткені ол осьтерге параллель Өгіз (А= 0) және Ой (Б= 0). Сол сияқты, жазықтық жазықтыққа параллель yOz, ал ұшақ - бұл ұшақ xOz.

5. Қашан A=B=D= 0 теңдеуі (немесе z = 0) координаталық жазықтықты анықтайды xOy, өйткені ол жазықтыққа параллель xOy (A=B= 0) және бастапқы нүкте арқылы өтеді ( D= 0). Сол сияқты, Eq. у=Кеңістікте 0 координаталық жазықтықты анықтайды xOz, және теңдеуі x = 0 – координаталық жазықтық yOz.

3-мысал.Жазықтықтың теңдеуін құрыңыз П, осі арқылы өтетін Ойжәне кезең.

Шешім. Сонымен, ұшақ ось арқылы өтеді Ой. Сондықтан оның теңдеуінде ж= 0 және бұл теңдеудің пішіні бар. Коэффиценттерді анықтау АЖәне Cнүктенің жазықтыққа жататынын пайдаланып көрейік П .

Сондықтан оның координаталары арасында біз бұрыннан шығарған () жазық теңдеуіне ауыстыруға болатындары бар. Нүктенің координаталарына қайта қарайық:

М0 (2; −4; 3) .

Олардың ішінде x = 2 , z= 3. Біз оларды жалпы теңдеуге қойып, өзіміздің нақты жағдайымыздың теңдеуін аламыз:

2А + 3C = 0 .

2 қалдырыңыз Атеңдеудің сол жағында 3 жылжытыңыз Cоң жаққа және біз аламыз

А = −1,5C .

Табылған мәнді ауыстыру Атеңдеуде аламыз

немесе .

Бұл мысал шартында қажет теңдеу.

Жазық теңдеу есебін өзіңіз шешіңіз, содан кейін шешімін қараңыз

4-мысал.Координаталық осьтерге қатысты жазықтықты (немесе бірнеше жазықтықты) анықтаңыз, егер жазықтық(тар) теңдеумен берілген болса.

Тестілеу кезінде кездесетін типтік есептердің шешімдері «Жазықтықтағы есептер: параллелизм, перпендикулярлық, үш жазықтықтың бір нүктедегі қиылысуы» оқулығында берілген.

Үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі

Жоғарыда айтылғандай, жазықтықты құрудың қажетті және жеткілікті шарты бір нүкте мен нормаль вектордан басқа бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте болып табылады.

Бір түзудің бойында жатпайтын үш түрлі , және нүктелері берілсін. Көрсетілген үш нүкте бір түзудің бойында жатпайтындықтан, векторлар коллинеар емес, сондықтан жазықтықтағы кез келген нүкте нүктелермен бір жазықтықта жатады, және егер және тек векторлары , және компланар, яғни. содан кейін және тек қашан осы векторлардың аралас көбейтіндісінөлге тең.

Координаталардағы аралас туындының өрнегін пайдаланып, жазықтықтың теңдеуін аламыз

(3)

Анықтаушыны ашқаннан кейін бұл теңдеу (2) түріндегі теңдеу болады, яғни. жазықтықтың жалпы теңдеуі.

5-мысал.Бір түзудің бойында жатпайтын берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз:

және түзудің жалпы теңдеуінің ерекше жағдайын анықтаңыз, егер біреуі орын алса.

Шешім. (3) формулаға сәйкес бізде:

Қалыпты жазық теңдеу. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық

Жазықтықтың қалыпты теңдеуі түрінде жазылған оның теңдеуі

Жазықтықтың теңдеуі. Жазықтықтың теңдеуін қалай жазуға болады?
Ұшақтардың өзара орналасуы. Тапсырмалар

Кеңістіктік геометрия «жалпақ» геометриядан әлдеқайда күрделі емес және біздің ғарыштағы ұшуларымыз осы мақаладан басталады. Тақырыпты меңгеру үшін оны жақсы түсіну керек векторлар, сонымен қатар, ұшақтың геометриясымен таныс болған жөн - көптеген ұқсастықтар, көптеген ұқсастықтар болады, сондықтан ақпарат әлдеқайда жақсы қорытылады. Менің сабақтарымның топтамасында 2D әлемі мақаламен ашылады Жазықтықтағы түзудің теңдеуі. Бірақ қазір Бэтмен жалпақ теледидар экранын тастап, Байқоңыр ғарыш айлағынан ұшып жатыр.

Суреттер мен белгілерден бастайық. Схематикалық түрде жазықтықты параллелограмм түрінде салуға болады, ол кеңістік әсерін тудырады:

Ұшақ шексіз, бірақ оның бір бөлігін ғана бейнелеуге мүмкіндігіміз бар. Іс жүзінде параллелограммнан басқа сопақ немесе тіпті бұлт та сызылады. Техникалық себептерге байланысты мен үшін ұшақты дәл осылай және дәл осы күйде бейнелеу ыңғайлырақ. Біз практикалық мысалдарда қарастыратын нақты ұшақтарды кез келген жолмен орналастыруға болады - сызбаны ойша қолыңызға алып, оны кеңістікте айналдыра отырып, жазықтыққа кез келген көлбеу, кез келген бұрыш береді.

Белгілер: ұшақтар әдетте шағын грек әріптерімен белгіленеді, шамасы, оларды шатастырмау үшін жазықтықтағы түзунемесе бірге кеңістіктегі түзу сызық. Мен әріпті қолдануға үйреніп қалдым. Сызбада бұл «сигма» әрпі, мүлде тесік емес. Дегенмен, тесік ұшақ, әрине, өте күлкілі.

Кейбір жағдайларда ұшақтарды белгілеу үшін төменгі әріптермен бірдей грек әріптерін пайдалану ыңғайлы, мысалы, .

Жазықтық бір түзудің бойында жатпайтын үш түрлі нүкте арқылы бірегей түрде анықталғаны анық. Сондықтан ұшақтардың үш әріпті белгіленуі өте танымал - оларға тиесілі нүктелер бойынша, мысалы, т.б. Көбінесе әріптер жақшаға алынады: , жазықтықты басқа геометриялық фигурамен шатастырмау үшін.

Тәжірибелі оқырмандар үшін мен беремін жылдам қол жеткізу мәзірі:

• Нүкте мен екі векторды пайдаланып жазықтықтың теңдеуін қалай құруға болады?
• Нүкте мен нормаль вектордың көмегімен жазықтықтың теңдеуін қалай құруға болады?

және біз ұзақ күтпейміз:

Жалпы жазық теңдеу

Жазықтықтың жалпы теңдеуі мынадай түрге ие, мұнда коэффициенттер бір уақытта нөлге тең емес.

Бірқатар теориялық есептеулер мен практикалық есептер кәдімгі ортонормальдық негіз үшін де, кеңістіктің аффинді негізі үшін де жарамды (егер май мұнай болса, сабаққа оралыңыз Векторлардың сызықтық (бейне) тәуелділігі. Векторлардың негізі). Қарапайымдылық үшін біз барлық оқиғалар ортонормальдық негізде және декарттық тікбұрышты координаттар жүйесінде орын алады деп есептейміз.

Енді кеңістіктік қиялымызды аздап жаттықтырайық. Сіздікі нашар болса, жақсы, қазір оны аздап дамытамыз. Тіпті нервтермен ойнау да жаттығуды қажет етеді.

Ең жалпы жағдайда, сандар нөлге тең болмаған кезде, жазықтық барлық үш координат осін қиып өтеді. Мысалы, келесідей:

Тағы да қайталаймын, ұшақ барлық бағытта шексіз жалғасады және бізде оның бір бөлігін ғана бейнелеуге мүмкіндік бар.

Жазықтықтардың ең қарапайым теңдеулерін қарастырайық:

Бұл теңдеуді қалай түсінуге болады? Бұл туралы ойланыңыз: «X» және «Y» кез келген мәндері үшін «Z» Əрдайым нөлге тең. Бұл «туған» координаталық жазықтықтың теңдеуі. Шынында да, формальды түрде теңдеуді келесідей қайта жазуға болады: , «x» және «y» мәндерінің қандай болатыны бізге маңызды емес екенін анық көруге болады, «z» нөлге тең болуы маңызды.

Сияқты:
– координаталық жазықтықтың теңдеуі;
– координаталық жазықтықтың теңдеуі.

Есепті сәл күрделендірейік, жазықтықты қарастырайық (мұнда және әрі қарай абзацта сандық коэффициенттер нөлге тең емес деп есептейміз). Теңдеуді келесі түрде қайта жазайық: . Оны қалай түсінуіміз керек? «X» ӘРҚАШАН, кез келген «Y» және «Z» мәндері үшін белгілі бір санға тең. Бұл жазықтық координаталық жазықтыққа параллель. Мысалы, жазықтық жазықтыққа параллель және нүкте арқылы өтеді.

Сияқты:
– координаталық жазықтыққа параллель болатын жазықтықтың теңдеуі;
– координаталық жазықтыққа параллель болатын жазықтықтың теңдеуі.

Мүшелерді қосамыз: . Теңдеуді келесідей қайта жазуға болады: , яғни «zet» кез келген нәрсе болуы мүмкін. Бұл нені білдіреді? «X» және «Y» жазықтықта белгілі бір түзу жүргізетін қатынас арқылы байланысады (сіз оны табасыз) жазықтықтағы түзудің теңдеуі?). «z» кез келген нәрсе болуы мүмкін болғандықтан, бұл түзу кез келген биіктікте «қайталанады». Осылайша, теңдеу координат осіне параллель жазықтықты анықтайды

Сияқты:
– координат осіне параллель болатын жазықтықтың теңдеуі;
– координат осіне параллель болатын жазықтықтың теңдеуі.

Егер бос мүшелер нөлге тең болса, онда жазықтықтар сәйкес осьтер арқылы тікелей өтеді. Мысалы, классикалық «тікелей пропорционалдық»: . Жазықтықта түзу сызыңыз және оны ойша жоғары және төмен көбейтіңіз («Z» кез келген). Қорытынды: теңдеумен анықталған жазықтық координат осінен өтеді.

Қайталауды аяқтаймыз: жазықтықтың теңдеуі бастау арқылы өтеді. Міне, нүкте осы теңдеуді қанағаттандыратыны анық.

Ақырында, сызбада көрсетілген жағдай: – ұшақ барлық координат осьтерімен үйлесімді, ал ол әрқашан сегіз октанттың кез келгенінде орналасуы мүмкін үшбұрышты «қиып тастайды».

Кеңістіктегі сызықтық теңсіздіктер

Ақпаратты түсіну үшін жақсы оқу керек жазықтықтағы сызықтық теңсіздіктер, өйткені көп нәрсе ұқсас болады. Параграф бірнеше мысалдармен қысқаша шолу сипатында болады, өйткені материал тәжірибеде өте сирек кездеседі.

Егер теңдеу жазықтықты анықтаса, онда теңсіздіктер
сұраңыз жартылай бос орындар. Егер теңсіздік қатаң болмаса (тізімдегі соңғы екеуі), онда теңсіздіктің шешімі жарты кеңістіктен басқа, жазықтықтың өзін де қамтиды.

5-мысал

Жазықтықтың бірлік нормаль векторын табыңыз .

Шешім: Бірлік вектор деп ұзындығы бір векторды айтады. Бұл векторды деп белгілейік. Векторлардың коллинеар екені анық:

Алдымен жазықтықтың теңдеуінен нормаль векторды алып тастаймыз: .

Бірлік векторды қалай табуға болады? Бірлік векторын табу үшін сізге қажет сайынвектор координатасын вектор ұзындығына бөлеміз.

Нормал векторды пішінде қайта жазып, оның ұзындығын табайық:

Жоғарыда айтылғандарға сәйкес:

Жауап:

Тексеру: тексеру үшін не қажет болды.

Мұны сабақтың соңғы абзацын мұқият зерделеген оқырмандар байқаса керек бірлік вектордың координаталары дәл осы вектордың бағыт косинустары болады:

Мәселеден үзіліс жасайық: сізге ерікті нөлдік емес вектор берілгенде, ал шарт бойынша оның бағытының косинусын табу қажет (сабақтың соңғы есептерін қараңыз Векторлардың нүктелік көбейтіндісі), онда сіз шын мәнінде осы бірлік векторына коллинеарды табасыз. Бір бөтелкеде екі тапсырма.

Бірлік нормаль векторын табу қажеттілігі математикалық талдаудың кейбір мәселелерінде туындайды.

Біз кәдімгі векторды қалай табуға болатындығын білдік, енді қарама-қарсы сұраққа жауап берейік:

Нүкте мен нормаль вектордың көмегімен жазықтықтың теңдеуін қалай құруға болады?

Қалыпты вектор мен нүктенің бұл қатаң конструкциясы дарт тақтасына жақсы белгілі. Қолыңызды алға созыңыз және ойша кеңістіктегі ерікті нүктені таңдаңыз, мысалы, серванттағы кішкентай мысық. Әлбетте, осы нүкте арқылы қолыңызға перпендикуляр бір жазықтықты салуға болады.

Векторға перпендикуляр нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі мына формуламен өрнектеледі:

Бұл сабақта анықтауышты құру үшін қалай пайдалану керектігін қарастырамыз жазық теңдеу. Егер сіз анықтауыштың не екенін білмесеңіз, сабақтың бірінші бөліміне өтіңіз - «Матрицалар мен анықтаушылар». Әйтпесе, бүгінгі материалда ештеңе түсінбеу қаупі бар.

Үш нүктені пайдаланатын жазықтықтың теңдеуі

Неліктен бізге жазық теңдеу керек? Қарапайым: оны біле отырып, біз C2 мәселесінде бұрыштарды, қашықтықтарды және басқа да қателерді оңай есептей аламыз. Жалпы, сіз бұл теңдеусіз жасай алмайсыз. Сондықтан мәселені тұжырымдаймыз:

Тапсырма. Кеңістікте бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте берілген. Олардың координаталары:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Осы үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін құру керек. Сонымен қатар, теңдеу келесідей болуы керек:

Ax + By + Cz + D = 0

мұндағы A, B, C және D сандары шын мәнінде табуды қажет ететін коэффициенттер.

Ал, егер нүктелердің координаталары ғана белгілі болса, жазықтықтың теңдеуін қалай алуға болады? Ең оңай жолы - координаталарды Ax + By + Cz + D = 0 теңдеуіне ауыстыру. Сіз оңай шешілетін үш теңдеу жүйесін аласыз.

Көптеген студенттер бұл шешімді өте жалықтырады және сенімсіз деп санайды. Өткен жылғы математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтихан есептеу қателігінің ықтималдығы шынымен жоғары екенін көрсетті.

Сондықтан ең озық мұғалімдер қарапайым және талғампаз шешімдерді іздей бастады. Және олар оны тапты! Рас, алынған әдіс жоғары математикаға қатысты. Жеке өзім бұл әдістемені ешқандай негізсіз немесе дәлелсіз пайдалануға құқығымыз бар екеніне көз жеткізу үшін оқулықтардың бүкіл Федералдық тізімін қарауға тура келді.

Анықтауыш арқылы жазықтықтың теңдеуі

Әннің сөздері жеткілікті, іске кірісейік. Алдымен матрицаның анықтауышы мен жазықтықтың теңдеуі қалай байланысатыны туралы теорема.

Теорема. Жазықтық жүргізілетін үш нүктенің координаталары берілсін: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Сонда бұл жазықтықтың теңдеуін анықтауыш арқылы жазуға болады:

Мысал ретінде C2 есептерінде нақты кездесетін жазықтықтар жұбын табуға тырысайық. Барлығы қаншалықты жылдам есептелгенін қараңыз:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Анықтауышты құрап, оны нөлге теңейміз:

Анықтауышты кеңейтеміз:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Көріп отырғаныңыздай, d санын есептегенде, мен x, y және z айнымалылары дұрыс реттілікте болуы үшін теңдеуді аздап «тарақтадым». Осымен болды! Жазық теңдеу дайын!

Тапсырма. нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жаз:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Нүктелердің координаталарын бірден анықтауышқа ауыстырамыз:

Детерминантты қайтадан кеңейтеміз:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Сонымен, жазықтықтың теңдеуі қайтадан алынды! Тағы да, соңғы қадамда «әдемі» формуланы алу үшін ондағы белгілерді өзгертуге тура келді. Бұл шешімде мұны істеу мүлдем қажет емес, бірақ әлі де ұсынылады - мәселені одан әрі шешуді жеңілдету.

Көріп отырғаныңыздай, жазықтықтың теңдеуін құру қазір әлдеқайда оңай. Біз нүктелерді матрицаға ауыстырамыз, анықтауышты есептейміз - міне, теңдеу дайын.

Бұл сабақты аяқтауы мүмкін. Дегенмен, көптеген студенттер анықтауыштың ішінде не бар екенін үнемі ұмытып кетеді. Мысалы, қай жолда x 2 немесе x 3, ал қай жолда тек x бар. Мұны шын мәнінде жолдан шығару үшін әр санның қайдан шыққанын қарастырайық.

Анықтауышы бар формула қайдан алынған?

Сонымен, анықтауышы бар мұндай қатаң теңдеу қайдан шыққанын анықтайық. Бұл оны есте сақтауға және сәтті қолдануға көмектеседі.

С2 есепте пайда болатын барлық жазықтықтар үш нүктемен анықталады. Бұл нүктелер әрқашан сызбада белгіленеді немесе тіпті мәселенің мәтінінде тікелей көрсетіледі. Кез келген жағдайда теңдеу құру үшін олардың координаттарын жазу керек:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Жазықтықтағы еркін координаттары бар тағы бір нүктені қарастырайық:

T = (x, y, z)

Алғашқы үш нүктеден кез келген нүктені алыңыз (мысалы, М нүктесі) және одан қалған үш нүктенің әрқайсысына векторлар салыңыз. Біз үш векторды аламыз:

MN = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 );
MK = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Енді осы векторлардан шаршы матрица құрастырып, оның анықтаушысын нөлге теңестірейік. Векторлардың координаталары матрицаның жолына айналады - және біз теоремада көрсетілген анықтауышты аламыз:

Бұл формула MN, MK және MT векторларына салынған параллелепипедтің көлемі нөлге тең екенін білдіреді. Демек, үш вектор да бір жазықтықта жатады. Атап айтқанда, ерікті нүкте T = (x, y, z) дәл біз іздеген нәрсе.

Анықтауыштың нүктелері мен түзулерін ауыстыру

Детерминанттардың бірнеше керемет қасиеттері бар, олар оны одан да жеңілдетеді С2 мәселесінің шешімі. Мысалы, біз үшін векторларды қай нүктеден тартатынымыз маңызды емес. Демек, келесі анықтауыштар жоғарыдағымен бірдей жазық теңдеуді береді:

Сонымен қатар анықтауыштың сызықтарын ауыстыруға болады. Теңдеу өзгеріссіз қалады. Мысалы, көптеген адамдар ең жоғарғы жағында T = (x; y; z) нүктесінің координаталары бар сызық жазуды ұнатады. Өтінемін, егер сізге ыңғайлы болса:

Жолдардың бірінде нүктелерді ауыстырғанда жоғалмайтын x, y және z айнымалылары бар екені кейбіреулерді шатастырады. Бірақ олар жоғалып кетпеуі керек! Сандарды анықтауышқа ауыстырып, мына құрылысты алу керек:

Содан кейін сабақтың басында берілген сызба бойынша анықтауыш кеңейтіліп, жазықтықтың стандартты теңдеуі алынады:

Ax + By + Cz + D = 0

Мысалға қараңыз. Бұл бүгінгі сабақтағы соңғысы. Жауаптың жазықтықтың бірдей теңдеуін беретініне көз жеткізу үшін мен сызықтарды әдейі ауыстырамын.

Тапсырма. нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жаз:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Сонымен, біз 4 тармақты қарастырамыз:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Алдымен стандартты анықтауыш құрып, оны нөлге теңестірейік:

Анықтауышты кеңейтеміз:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Міне, біз жауап алдық: x + y + z − 2 = 0.

Енді анықтауыштағы бірнеше жолды қайта реттеп, не болатынын көрейік. Мысалы, x, y, z айнымалылары бар жолды төменгі жағында емес, жоғарғы жағында жазайық:

Алынған анықтауышты тағы да кеңейтеміз:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Біз дәл сол жазық теңдеуді алдық: x + y + z − 2 = 0. Бұл шын мәнінде жолдардың ретіне тәуелді емес дегенді білдіреді. Жауабын жазу ғана қалды.

Сонымен, біз жазықтықтың теңдеуі түзулердің тізбегіне тәуелді емес екеніне сенімдіміз. Осыған ұқсас есептеулер жүргізіп, жазықтықтың теңдеуі басқа нүктелерден координатасын алып тастайтын нүктеге тәуелді емес екенін дәлелдей аламыз.

Жоғарыда қарастырылған есепте В 1 = (1, 0, 1) нүктесін қолдандық, бірақ С = (1, 1, 0) немесе D 1 = (0, 1, 1) алу әбден мүмкін болды. Жалпы алғанда, белгілі координаттары бар кез келген нүкте қажетті жазықтықта жатыр.