ln болатын функцияның туындысын табыңыз. Манекендердің туындысын шешу: анықтамасы, табу жолы, шешуге мысалдар

Функцияның туындысын анықтау функцияны интегралдаудың кері операциясы болып табылады. үшін элементар функцияларТуындыны есептеу қиын емес, тек туындылар кестесін қолданыңыз; Бізге керек болса туындысын табыңызбастап күрделі функция, онда саралау әлдеқайда қиын болады және көбірек күтім мен уақытты қажет етеді. Сонымен қатар, соңғы қате жауапқа әкелетін қате немесе болмашы қателік жасау өте оңай. Сондықтан шешіміңізді тексере білу әрқашан маңызды. Сіз мұны осы онлайн-калькулятор арқылы жасай аласыз, ол кез келген функциялардың туындыларын онлайн режимінде егжей-тегжейлі шешіммен тегін, сайтқа тіркелмей-ақ табуға мүмкіндік береді. Функцияның туындысын табу (дифференциалдау) – функция өсімшесінің аргумент өсіміне қатынасы (сандық түрде туынды функция графигіне жанаманың жанамасына тең). Егер белгілі бір нүктеде функцияның туындысын есептеу қажет болса, онда аргументтің орнына алынған жауапта қажет xоның сандық мәнін қойып, өрнекті есептеңіз. Сағат онлайн туынды шешімфункцияны сәйкес өріске енгізу керек: аргумент айнымалы болуы керек x, өйткені дифференциация дәл оның бойында жүреді. Екінші туындыны есептеу үшін алынған жауапты саралау керек.

Калькулятор егжей-тегжейлі шешімін бере отырып, барлық элементар функциялардың туындыларын есептейді. Дифференциация айнымалысы автоматты түрде анықталады.

Функцияның туындысы- математикалық талдаудағы маңызды ұғымдардың бірі. Туындының пайда болуы, мысалы, уақыт мезетіндегі нүктенің лездік жылдамдығын есептеу, уақытқа байланысты жол белгілі болса, нүктедегі функцияның жанамасын табу мәселесі сияқты есептерге әкелді.

Көбінесе функцияның туындысы, егер ол бар болса, функция өсімінің аргумент өсіміне қатынасының шегі ретінде анықталады.

Анықтама.Функция нүктенің кейбір маңайында анықталсын. Сонда функцияның нүктедегі туындысы, егер ол бар болса, шек деп аталады

Функцияның туындысын қалай есептейді?

Функцияларды ажыратуды үйрену үшін үйрену және түсіну керек дифференциация ережелеріжәне қолдануды үйренеді туындылар кестесі.

Дифференциация ережелері

Нақты айнымалының ерікті дифференциалданатын функциялары болсын және болсын және кейбір нақты тұрақты болсын. Содан кейін

— функция туындысын дифференциалдау ережесі

— бөлінді функцияларын дифференциалдау ережесі

0" биіктігі="33" ені="370" style="vertical-align: -12px;"> — айнымалы көрсеткішті функцияны дифференциалдау

— күрделі функцияны дифференциалдау ережесі

— дәрежелік функцияны дифференциалдау ережесі

Желідегі функцияның туындысы

Біздің калькулятор кез келген функцияның туындысын онлайн режимінде тез және дәл есептейді. Бағдарлама туындыны есептеу кезінде қателіктер жібермейді және ұзақ және жалықтыратын есептеулерден аулақ болуға көмектеседі. Онлайн калькуляторБұл сіздің шешіміңіздің дұрыстығын тексеру қажет болған жағдайда да пайдалы болады, ал егер ол дұрыс емес болса, қатені жылдам табыңыз.

Туындыны табу операциясы дифференциалдау деп аталады.

Аргумент өсімшесінің өсімшеге қатынасының шегі ретінде туындыны анықтау арқылы ең қарапайым (және өте қарапайым емес) функциялардың туындыларын табу есептерін шешу нәтижесінде туындылар кестесі және дифференциалдаудың нақты анықталған ережелері пайда болды. . Туындыларды табу саласында алғаш жұмыс істегендер Исаак Ньютон (1643-1727) және Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) болды.

Сондықтан біздің заманымызда кез келген функцияның туындысын табу үшін функцияның өсімшесінің аргумент өсіміне қатынасының жоғарыда айтылған шегін есептеудің қажеті жоқ, тек мына кестені пайдалану керек: туындылар және дифференциалдау ережелері. Туындыны табу үшін келесі алгоритм қолайлы.

Туындыны табу, сізге жай белгісінің астындағы өрнек керек қарапайым функцияларды құрамдас бөліктерге бөлужәне қандай әрекеттерді анықтау (өнім, қосынды, үлес)бұл функциялар өзара байланысты. Әрі қарай, элементар функциялардың туындыларын туындылар кестесінен, ал туындының, қосындының және үлестің туындыларының формулаларын дифференциалдау ережелерінен табамыз. Туынды кесте және дифференциалдау ережелері алғашқы екі мысалдан кейін берілген.

1-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Дифференциалдау ережелерінен біз функциялар қосындысының туындысы функциялардың туындыларының қосындысы екенін анықтаймыз, яғни.

Туындылар кестесінен «х» туындысы бірге, ал синустың туындысы косинусқа тең екенін білеміз. Бұл мәндерді туындылар қосындысына ауыстырамыз және есеп шарты бойынша талап етілетін туындыны табамыз:

2-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Екінші мүшесі тұрақты көбейткіші бар қосындының туындысы ретінде оны туындының белгісінен шығаруға болады:

Егер бірдеңенің қайдан шыққаны туралы әлі де сұрақтар туындаса, олар әдетте туындылар кестесімен және дифференциацияның қарапайым ережелерімен танысқаннан кейін жойылады. Біз қазір оларға көшеміз.

Қарапайым функциялардың туындыларының кестесі

1. Тұрақтының (санның) туындысы. Функция өрнегіндегі кез келген сан (1, 2, 5, 200...). Әрқашан нөлге тең. Мұны есте сақтау өте маңызды, өйткені бұл өте жиі қажет
2. Тәуелсіз айнымалының туындысы. Көбінесе «X». Әрқашан бірге тең. Мұны да ұзақ уақыт есте сақтау маңызды
3. Дәреженің туындысы. Есептерді шығарғанда квадрат емес түбірлерді дәрежелерге түрлендіру керек.
4. Айнымалының -1 дәрежесіне туындысы
5. Квадрат түбірдің туындысы
6. Синустың туындысы
7. Косинустың туындысы
8. Тангенстің туындысы
9. Котангенс туындысы
10. Арксинустың туындысы
11. Доғалық косинустың туындысы
12. Арктангенс туындысы
13. Доға котангенсінің туындысы
14. Натурал логарифмнің туындысы
15. Логарифмдік функцияның туындысы
16. Көрсеткіштің туындысы
17. Көрсеткіштік функцияның туындысы

Дифференциация ережелері

1. Қосындының немесе айырманың туындысы
2. Өнімнің туындысы
2а. Тұрақты көбейткішке көбейтілген өрнектің туындысы
3. Бөлімшенің туындысы
4. Күрделі функцияның туындысы

1-ереже.Функциялар болса

бір нүктеде дифференциалданатын болса, онда функциялар бір нүктеде дифференциалданатын болады

және

сол. функциялардың алгебралық қосындысының туындысы осы функциялардың туындыларының алгебралық қосындысына тең.

Салдары. Егер екі дифференциалданатын функция тұрақты мүшемен ерекшеленсе, олардың туындылары тең болады, яғни.

2-ереже.Функциялар болса

бір нүктеде дифференциалданатын болса, олардың көбейтіндісі сол нүктеде дифференциалданатын болады

және

сол. Екі функцияның туындысының туындысы осы функциялардың әрқайсысының туындысы мен екіншісінің туындысының қосындысына тең.

Қорытынды 1. Тұрақты көбейткішті туындының таңбасынан шығаруға болады:

Қорытынды 2. Бірнеше дифференциалданатын функциялардың туындысының туындысы әрбір фактордың және барлық басқаларының туындыларының көбейтінділерінің қосындысына тең.

Мысалы, үш көбейткіш үшін:

3-ереже.Функциялар болса

белгілі бір уақытта дифференциалданады Және , онда бұл кезде олардың бөлшегі де дифференциалданадыu/v , және

сол. екі функцияның бөліндісінің туындысы бөлшекке тең, оның алымы азайғыш пен алымның туындысы мен алым мен азалғыштың туындысының айырмасы, ал бөлгіш - -ның квадраты. бұрынғы алым.

Басқа беттердегі заттарды қайдан іздеу керек

Нақты есептердегі көбейтіндінің туындысын және көбейтіндіні табу кезінде әрқашан бірден бірнеше дифференциалдау ережелерін қолдану қажет, сондықтан мақалада бұл туындыларға көбірек мысалдар бар«Функциялардың туындысы мен бөлімі».

Пікір.Тұрақтыны (яғни санды) қосындыдағы мүше ретінде және тұрақты көбейткіш ретінде шатастырмау керек! Термин жағдайында оның туындысы нөлге тең, ал тұрақты көбейткіште туындылардың таңбасынан алынады. Бұл типтік қате, күні орын алады бастапқы кезеңтуындыларды зерттейді, бірақ олар бірнеше бір және екі бөліктен тұратын мысалдарды шешетіндіктен, орташа оқушы енді бұл қатені жібермейді.

Ал егер өнімді немесе үлесті саралау кезінде сізде термин болса u"v, онда u- сан, мысалы, 2 немесе 5, яғни тұрақты, онда бұл санның туындысы нөлге тең болады, демек, бүкіл мүше нөлге тең болады (бұл жағдай 10-мысалда талқыланады).

Тағы бір жиі кездесетін қателік күрделі функцияның туындысын қарапайым функцияның туындысы ретінде механикалық жолмен шешу болып табылады. Сондықтан күрделі функцияның туындысыжеке мақала арналған. Бірақ алдымен туындыларды табуды үйренеміз қарапайым функциялар.

Жолда сіз өрнектерді түрлендірусіз жасай алмайсыз. Мұны істеу үшін нұсқаулықты жаңа терезелерде ашу қажет болуы мүмкін. Күштері мен тамыры бар әрекеттерЖәне Бөлшектермен амалдар .

Егер сіз дәрежелері мен түбірлері бар бөлшектердің туындыларының шешімдерін іздесеңіз, яғни функция қай кезде көрінеді , содан кейін «Дәрежелері мен түбірлері бар бөлшектердің қосындыларының туындысы» сабағын орындаңыз.

Егер сізде осындай тапсырма болса , содан кейін «Қарапайым тригонометриялық функциялардың туындылары» сабағын өтесіз.

Қадамдық мысалдар – туындыны қалай табуға болады

3-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Функция өрнегінің бөліктерін анықтаймыз: бүкіл өрнек туындыны білдіреді, ал оның көбейткіштері қосындылар болып табылады, екіншісінде терминдердің бірінде тұрақты фактор бар. Біз туынды дифференциалдау ережесін қолданамыз: екі функцияның туындысының туындысы осы функциялардың әрқайсысының екіншісінің туындысына көбейтіндісінің қосындысына тең:

Әрі қарай, қосынды дифференциалдау ережесін қолданамыз: функциялардың алгебралық қосындысының туындысы осы функциялардың туындыларының алгебралық қосындысына тең. Біздің жағдайда әрбір қосындыда екінші мүшенің минус таңбасы болады. Әрбір қосындыда туындысы бірге тең тәуелсіз айнымалыны да, туындысы нөлге тең тұрақтыны да (сан) көреміз. Сонымен, «X» бірге айналады, ал минус 5 нөлге айналады. Екінші өрнекте «x» 2-ге көбейтіледі, сондықтан біз «x» туындысы сияқты екі бірлікке көбейтеміз. Біз келесі туынды мәндерді аламыз:

Табылған туындыларды көбейтінділердің қосындысына ауыстырамыз және есеп шарты талап ететін барлық функцияның туындысын аламыз:

Сіз туынды есептің шешімін мына жерден тексере аласыз.

4-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Бөлімнің туындысын табу керек. Бөлімді дифференциалдау формуласын қолданамыз: екі функцияның бөлімінен алынған туынды бөлшекке тең, оның алымы азайғыш пен алым мен алым мен туындының туындысы арасындағы айырма болып табылады. бөлгіш, ал бөлгіш бұрынғы алымның квадраты болып табылады. Біз аламыз:

Біз 2-мысалдағы алымдағы көбейткіштердің туындысын таптық. Сонымен қатар ағымдағы мысалдағы алымдағы екінші көбейткіш болып табылатын көбейтіндінің минус таңбасымен алынғанын ұмытпайық:

Егер сіз түбірлер мен дәрежелердің үздіксіз үйіндісі болатын функцияның туындысын табу қажет есептердің шешімін іздесеңіз, мысалы, , онда сабаққа қош келдіңіз «Дәрежелері мен түбірлері бар бөлшектердің қосындыларының туындысы» .

Синустардың, косинустардың, тангенстердің және басқалардың туындылары туралы көбірек білу қажет болса тригонометриялық функциялар, яғни функция келесідей болғанда , онда сізге сабақ «Қарапайым тригонометриялық функциялардың туындылары» .

5-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Бұл функцияда біз көбейтіндіні көреміз, оның факторларының бірі тәуелсіз айнымалының квадрат түбірі болып табылады, оның туындысымен біз туындылар кестесінде таныстық. Квадрат түбір туындысының туындысын және кестелік мәнін дифференциалдау ережесін пайдаланып, мынаны аламыз:

Туынды есептің шешімін мына жерден тексеруге болады туынды құралдардың онлайн калькуляторы .

6-мысал.Функцияның туындысын табыңыз

Шешім. Бұл функцияда дивиденді тәуелсіз айнымалының квадрат түбірі болатын бөлінді көреміз. Біз 4-мысалда қайталап, қолданатын үлестерді дифференциалдау ережесін және квадрат түбір туындысының кестелік мәнін пайдалана отырып, мынаны аламыз:

Алымдағы бөлшектен құтылу үшін алым мен бөлгішті көбейту керек.

Туынды есептеу- дифференциалдық есептеудегі маңызды операциялардың бірі. Төменде қарапайым функциялардың туындыларын табуға арналған кесте берілген. Көбірек күрделі ережелердифференциация, басқа сабақтарды қараңыз:

• Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындыларының кестесі

Берілген формулаларды анықтамалық мәндер ретінде пайдаланыңыз. Олар сізге шешім қабылдауға көмектеседі дифференциалдық теңдеулержәне тапсырмалар. Суретте, қарапайым функциялардың туындылары кестесінде туындыны қолдануға түсінікті түрде табудың негізгі жағдайларының «алдау парағы» бар, оның жанында әр жағдайға түсініктемелер берілген.

Қарапайым функциялардың туындылары

1. Санның туындысы нөлге тең
с´ = 0
Мысалы:
5´ = 0

Түсіндіру:
Туынды функцияның аргументі өзгерген кезде оның мәнінің өзгеру жылдамдығын көрсетеді. Сан ешбір жағдайда өзгермейтіндіктен, оның өзгеру жылдамдығы әрқашан нөлге тең болады.

2. Айнымалының туындысыбіріне тең
x´ = 1

Түсіндіру:
(x) аргументінің әрбір өсімімен функцияның мәні (есептеулердің нәтижесі) бірдей шамаға артады. Сонымен, у = х функциясының мәнінің өзгеру жылдамдығы аргумент мәнінің өзгеру жылдамдығына тура тең.

3. Айнымалы мен фактордың туындысы осы көбейткішке тең
сx´ = с
Мысалы:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Түсіндіру:
Бұл жағдайда функция аргументі өзгерген сайын ( X) оның мәні (y) өседі біргебір рет. Осылайша, аргументтің өзгеру жылдамдығына қатысты функция мәнінің өзгеру жылдамдығы мәнге дәл тең бірге.

Осыдан келіп шығады
(cx + b)" = c
яғни дифференциал сызықтық функция y=kx+b түзудің (k) еңісіне тең.

4. Айнымалының модульдік туындысыосы айнымалының оның модуліне бөлінетін бөлігіне тең
|x|"= x / |x| x ≠ 0 болған жағдайда
Түсіндіру:
Айнымалының туындысы (2 формуланы қараңыз) біреуге тең болғандықтан, модуль туындысы бастапқы нүктені кесіп өткенде функцияның өзгеру жылдамдығының мәні керісінше өзгеретінімен ғана ерекшеленеді (график сызып көріңіз y = |x| функциясының мәнін анықтаңыз және бұл мәнді қайтарады< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - бір. Яғни, х айнымалысының теріс мәндері үшін аргументтің әрбір ұлғаюымен функцияның мәні дәл сол мәнге азаяды, ал оң мәндер үшін ол керісінше артады, бірақ дәл сол мәнге .

5. Айнымалының дәрежеге туындысыосы дәреженің санының көбейтіндісіне тең және айнымалы бір азайтылған қуатқа
(x c)"= cx c-1, x c және cx c-1 анықталған және c ≠ 0 болған жағдайда
Мысалы:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Формуланы есте сақтау:
Айнымалының дәрежесін фактор ретінде төмен жылжытыңыз, содан кейін дәреженің өзін бір азайтыңыз. Мысалы, x 2 үшін - екеуі х-ден алда болды, содан кейін азайтылған қуат (2-1 = 1) бізге 2x берді. Дәл осындай жағдай x 3 үшін де болды - біз үштікті «төмен жылжытамыз», оны бірге азайтамыз және текшенің орнына бізде квадрат, яғни 3x 2 болады. Кішкене «ғылыми емес», бірақ есте сақтау өте оңай.

6.Бөлшектің туындысы 1/х
(1/x)" = - 1 / x 2
Мысалы:
Өйткені бөлшекті теріс дәрежеге көтеру ретінде көрсетуге болады
(1/x)" = (x -1)", онда туындылар кестесінің 5-ережесінің формуласын қолдануға болады.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Бөлшектің туындысы ерікті дәрежедегі айнымалыменбөлгіште
(1 / x c)" = - c / x c+1
Мысалы:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Түбірдің туындысы(астындағы айнымалының туындысы шаршы түбір)
(√x)" = 1 / (2√x)немесе 1/2 x -1/2
Мысалы:
(√x)" = (x 1/2)" 5-ережедегі формуланы қолдануға болатынын білдіреді
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Ерікті дәреженің түбірі астындағы айнымалының туындысы
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Туындыны және оны есептеу әдістерін білмейінше математикадағы физикалық есептерді немесе мысалдарды шешу мүмкін емес. Туынды – маңызды ұғымдардың бірі математикалық талдау. Біз бүгінгі мақаланы осы негізгі тақырыпқа арнауды шештік. Туынды дегеніміз не, оның физикалық және геометриялық мағынасыфункцияның туындысын қалай есептейді? Барлық осы сұрақтарды біріктіруге болады: туындыны қалай түсінуге болады?

Туындының геометриялық және физикалық мағынасы

Функция болсын f(x) , белгілі бір аралықта көрсетілген (а, б) . Осы интервалға x және x0 нүктелері жатады. х өзгерген кезде функцияның өзі өзгереді. Аргументті өзгерту – оның мәндеріндегі айырмашылық x-x0 . Бұл айырмашылық былай жазылады дельта x және аргумент өсімі деп аталады. Функцияның өзгеруі немесе артуы - бұл функцияның екі нүктедегі мәндерінің айырмашылығы. Туынды анықтамасы:

Функцияның нүктедегі туындысы - берілген нүктедегі функция өсімінің соңғысы нөлге ұмтылған кездегі аргумент өсіміне қатынасының шегі.

Әйтпесе оны былай жазуға болады:

Мұндай шекті табудың мәні неде? Және бұл не:

нүктедегі функцияның туындысы OX осі арасындағы бұрыштың тангенсіне және берілген нүктедегі функция графигіне жанамаға тең.

Физикалық мағынасытуынды: жолдың уақытқа қатысты туындысы түзу сызықты қозғалыс жылдамдығына тең.

Шынында да, мектеп кезінен бастап бәрі жылдамдықтың ерекше жол екенін біледі x=f(t) және уақыт т . Белгілі бір уақыт аралығындағы орташа жылдамдық:

Бір мезетте қозғалыс жылдамдығын анықтау t0 шектеуді есептеу керек:

Бірінші ереже: тұрақты мәнді орнату

Тұрақтыны туынды таңбадан шығаруға болады. Оның үстіне мұны істеу керек. Математикадағы мысалдарды шешу кезінде оны ереже ретінде қабылдаңыз - Егер сіз өрнекті жеңілдете алсаңыз, оны жеңілдетуді ұмытпаңыз .

Мысал. Туындыны есептейік:

Екінші ереже: функциялар қосындысының туындысы

Екі функцияның қосындысының туындысы осы функциялардың туындыларының қосындысына тең. Функциялар айырмасының туындысы үшін де солай.

Біз бұл теореманың дәлелін бермейміз, керісінше практикалық мысалды қарастырамыз.

Функцияның туындысын табыңыз:

Үшінші ереже: функциялар туындысының туындысы

Екі дифференциалданатын функцияның туындысының туындысы мына формуламен есептеледі:

Мысалы: функцияның туындысын табыңыз:

Шешімі:

Мұнда күрделі функциялардың туындыларын есептеу туралы айту маңызды. Күрделі функцияның туындысы осы функцияның аралық аргументке қатысты туындысының туындысына және тәуелсіз айнымалыға қатысты аралық аргументтің туындысына тең.

Жоғарыдағы мысалда біз өрнекті кездестіреміз:

Бұл жағдайда аралық аргумент бесінші дәрежеге 8x. Мұндай өрнектің туындысын есептеу үшін алдымен аралық аргументке қатысты сыртқы функцияның туындысын есептейміз, содан кейін тәуелсіз айнымалыға қатысты аралық аргументтің өзінің туындысына көбейтеміз.

Төртінші ереже: екі функцияның бөліндісінің туындысы

Екі функцияның бөліндісінің туындысын анықтау формуласы:

Біз нөлден бастап манекендерге арналған туындылар туралы айтуға тырыстық. Бұл тақырып көрінгендей қарапайым емес, сондықтан ескертіңіз: мысалдарда қателер жиі кездеседі, сондықтан туындыларды есептеу кезінде абай болыңыз.

Осы және басқа тақырыптар бойынша кез келген сұрақтар бойынша студенттік қызметке хабарласуға болады. Қысқа уақыт ішінде біз сізге ең қиын сынақты шешуге және бұрын ешқашан туынды есептеулер жасамаған болсаңыз да, тапсырмаларды түсінуге көмектесеміз.