Арифметикалық прогрессияның n-ші санының формуласын табыңыз. Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар

Не негізгі нүктеформулалар?

Бұл формула табуға мүмкіндік береді кез келген НОМЕРІ БОЙЫНША» n» .

Әрине, бірінші терминді де білу керек а 1және прогрессияның айырмашылығы d, жақсы, бұл параметрлерсіз сіз белгілі бір прогрессияны жаза алмайсыз.

Бұл формуланы жаттау (немесе бесікке жату) жеткіліксіз. Оның мәнін түсініп, формуланы әртүрлі есептер шығаруда қолдану керек. Сондай-ақ керек сәтте ұмытпау керек, иә...) Қалай ұмытпа- Мен білмеймін. Бірақ қалай есте сақтау керекҚажет болса, мен сізге міндетті түрде кеңес беремін. Сабақты соңына дейін аяқтағандар үшін.)

Сонымен, арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын қарастырайық.

Жалпы формула дегеніміз не – елестетеміз.) Бұл не арифметикалық прогрессия, мүше саны, прогрессияның айырмашылығы – өткен сабақта анық айтылған. Айтпақшы, оқымаған болсаңыз, қараңыз. Онда бәрі қарапайым. Оның не екенін анықтау қалады n-ші тоқсан.

Жалпы прогрессияны сандар қатары түрінде жазуға болады:

а 1, а 2, а 3, а 4, а 5, .....

а 1- арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесін білдіреді; а 3- үшінші мүше, а 4- төртінші және т.б. Егер бізді бесінші тоқсан қызықтырса, біз жұмыс істеп жатырмыз делік а 5, егер жүз жиырмасыншы - с а 120.

Оны жалпылама түрде қалай анықтауға болады? кез келгенарифметикалық прогрессияның мүшесі, бар кез келгенсаны? Өте қарапайым! Бұл сияқты:

а н

Мынау Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесі. n әрпі барлық мүше сандарын бірден жасырады: 1, 2, 3, 4 және т.б.

Ал мұндай рекорд бізге не береді? Ойлап көріңізші, олар санның орнына хат жазыпты...

Бұл белгілеу бізге арифметикалық прогрессиямен жұмыс істеу үшін қуатты құрал береді. Белгілеуді қолдану а н, біз тез таба аламыз кез келгенмүшесі кез келгенарифметикалық прогрессия. Және көптеген басқа прогресс мәселелерін шешіңіз. Әрі қарай өзіңіз көресіз.

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласында:

a n = a 1 + (n-1)d

а 1- арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі;

n- мүше нөмірі.

Формула кез келген прогрессияның негізгі параметрлерін байланыстырады: a n ; a 1; dЖәне n. Барлық прогресс мәселелері осы параметрлердің айналасында болады.

n-ші мүше формуласын белгілі прогрессияны жазу үшін де пайдалануға болады. Мысалы, мәселе прогрессияның шартпен көрсетілгенін айтуы мүмкін:

a n = 5 + (n-1) 2.

Мұндай мәселе тұйыққа апаруы мүмкін... Қатар да, айырмашылық та жоқ... Бірақ шартты формуламен салыстыра отырып, бұл прогрессияда екенін түсіну оңай. a 1 =5, және d=2.

Және бұл одан да нашар болуы мүмкін!) Егер бірдей шартты алсақ: a n = 5 + (n-1) 2,Иә, жақшаны ашып, ұқсас жақшаларды әкеліңіз бе? Біз жаңа формула аламыз:

a n = 3 + 2n.

Бұл Жалпы емес, белгілі бір прогресс үшін. Бұл жерде тұйыққа тіреледі. Кейбір адамдар бірінші термин үштік деп ойлайды. Шындығында бірінші термин бес болса да... Біраз төменірек біз осындай өзгертілген формуламен жұмыс істейміз.

Прогрессия есептерінде тағы бір белгі бар - a n+1. Бұл, сіз ойлағандай, прогрессияның «n плюс бірінші» мүшесі. Оның мағынасы қарапайым және зиянсыз.) Бұл саны n санынан бір есе артық прогрессияның мүшесі. Мысалы, қандай да бір мәселеде біз қабылдаймыз а нонда бесінші мерзім a n+1алтыншы мүше болады. Және сол сияқты.

Көбінесе белгілеу a n+1қайталану формулаларында кездеседі. Бұл қорқынышты сөзден қорықпаңыз!) Бұл арифметикалық прогрессияның мүшесін өрнектеу тәсілі ғана. алдыңғы арқылы.Қайталанатын формуланы пайдалана отырып, бізге осы пішінде арифметикалық прогрессия берілді делік:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Төртінші - үшінші арқылы, бесінші - төртінші арқылы және т.б. Жиырмасыншы мүшені қалай бірден санауға болады? а 20? Бірақ амал жоқ!) 19-шы тоқсанды білмейінше, біз 20-ны санай алмаймыз. Бұл қайталанатын формула мен n-ші мүшесінің формуласының негізгі айырмашылығы. Қайталанатын тек арқылы жұмыс істейді алдыңғымүшесі, ал n-ші мүшесінің формуласы арқылы біріншіжәне мүмкіндік береді бірденнөмірі бойынша кез келген мүшені табыңыз. Сандардың барлық қатарын ретімен есептемей.

Арифметикалық прогрессияда қайталанатын формуланы қалыптыға айналдыру оңай. Тізбектелген мүшелерді санау, айырмасын есептеу d,қажет болса, бірінші мүшені табыңыз а 1, формуланы әдеттегі түрінде жазып, онымен жұмыс істеу. Мұндай міндеттер Мемлекеттік ғылым академиясында жиі кездеседі.

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын қолдану.

Алдымен формуланың тікелей қолданылуын қарастырайық. Өткен сабақтың соңында мәселе туындады:

Арифметикалық прогрессия (a n) берілген. a 1 =3 және d=1/6 болса, 121-ді табыңыз.

Бұл есепті ешқандай формулаларсыз, жай ғана арифметикалық прогрессияның мағынасына сүйене отырып шешуге болады. Қосу және қосу... Бір-екі сағат.)

Ал формула бойынша шешім бір минуттан аз уақыт алады. Оған уақыт бере аласыз.) Шешеміз.

Шарттар формуланы пайдалану үшін барлық деректерді береді: a 1 =3, d=1/6.Ненің тең екенін анықтау қалады n.Сұрақ жоқ! Біз табуымыз керек а 121. Сонымен, біз жазамыз:

Назар аударыңыз! Көрсеткіштің орнына nбелгілі бір сан пайда болды: 121. Бұл өте қисынды.) Бізді арифметикалық прогрессияның мүшесі қызықтырады. саны жүз жиырма бір.Бұл біздікі болады n.Мағынасы осы n= 121 біз әрі қарай формуланы жақшаға ауыстырамыз. Барлық сандарды формулаға ауыстырып, есептейміз:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Міне бітті. Бес жүз оныншы мүшесін және мың және үшінші мүшесін кез келгенін тез табуға болады. Оның орнына қоямыз nәріптің индексіндегі қажетті сан « а»және жақшада және біз санаймыз.

Еске сала кетейін: бұл формула табуға мүмкіндік береді кез келгенарифметикалық прогрессияның мүшесі НОМЕРІ БОЙЫНША» n» .

Мәселені қулықпен шешейік. Келесі мәселеге тап болайық:

Арифметикалық прогрессияның (a n) бірінші мүшесін табыңыз, егер a 17 =-2 болса; d=-0,5.

Егер сізде қандай да бір қиындықтар болса, мен сізге бірінші қадамды айтамын. Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын жазыңыз!Иә, иә. Дәптеріңізге қолыңызбен жазыңыз:

a n = a 1 + (n-1)d

Ал енді формуланың әріптеріне қарап, бізде қандай деректер бар және не жетіспейтінін түсіндік? Қол жетімді d=-0,5,он жетінші мүше бар... Солай ма? Егер сіз солай деп ойласаңыз, онда сіз мәселені шешпейсіз, иә...

Бізде әлі нөмір бар n! Жағдайда a 17 =-2жасырын екі параметр.Бұл он жетінші мүшенің (-2) мәні де, оның саны да (17). Сол. n=17.Бұл «ұсақ-түйек» жиі бастың жанынан өтіп кетеді және онсыз («ұсақ-түйек» болмаса, бас емес!) мәселені шешу мүмкін емес. Дегенмен... және де басы жоқ.)

Енді біз деректерімізді формулаға жай ғана ақымақпен алмастыра аламыз:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Иә, а 17-2 екенін білеміз. Жарайды, ауыстырайық:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Негізінде бәрі осы. Формуладан арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесін өрнектеп, оны есептеу қалды. Жауап мынадай болады: a 1 = 6.

Бұл әдіс - формуланы жазу және белгілі деректерді жай ғана ауыстыру - қарапайым тапсырмаларды орындауда үлкен көмек. Әрине, формуладан айнымалы мәнді өрнектей білу керек, бірақ не істеу керек!? Бұл дағды болмаса, математика мүлдем оқылмауы мүмкін...

Тағы бір танымал басқатырғыш:

Арифметикалық прогрессияның (a n) айырмасын табыңыз, егер a 1 =2 болса; a 15 =12.

Біз не істеп жатырмыз? Сіз таң қаласыз, біз формуланы жазып жатырмыз!)

a n = a 1 + (n-1)d

Білетінімізді қарастырайық: a 1 =2; a 15 =12; және (Мен ерекше атап өтемін!) n=15. Мұны формулаға ауыстыруға болады:

12=2 + (15-1)d

Арифметика жасаймыз.)

12=2 + 14күн

d=10/14 = 5/7

Бұл дұрыс жауап.

Сонымен, тапсырмалар a n, a 1Және dшешті. Санды қалай табуға болатынын білу ғана қалады:

99 саны арифметикалық прогрессияның (a n) мүшесі болып табылады, мұндағы a 1 =12; d=3. Осы мүшенің нөмірін табыңыз.

Өзімізге белгілі шамаларды n-ші мүшесінің формуласына қоямыз:

a n = 12 + (n-1) 3

Бір қарағанда, мұнда екі белгісіз шама бар: a n және n.Бірақ а н- бұл санмен прогрессияның кейбір мүшесі n...Ал біз бұл прогрессияның мүшесін білеміз! Бұл 99. Біз оның нөмірін білмейміз. n,Сондықтан бұл санды табу керек. 99 прогрессияның мүшесін формулаға ауыстырамыз:

99 = 12 + (n-1) 3

формуладан өрнектейміз n, ойлаймыз. Біз жауап аламыз: n=30.

Енді сол тақырыптағы мәселе, бірақ одан да шығармашылық):

117 саны арифметикалық прогрессияның (a n) мүшесі екенін анықтаңыз:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Формуланы қайта жазайық. Не, параметрлер жоқ па? Хм... Неліктен бізге көз берілген?) Прогрессияның бірінші мүшесін көреміз бе? Көреміз. Бұл -3,6. Сіз қауіпсіз жаза аласыз: a 1 = -3,6.Айырмашылық dСериалдан айта аласыз ба? Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы неде екенін білсеңіз оңай:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Сонымен, біз ең қарапайым нәрсені жасадық. Белгісіз санмен күресу қалады nжәне түсініксіз саны 117. Алдыңғы есепте, кем дегенде, прогрессияның мүшесі берілгені белгілі болды. Бірақ бұл жерде біз тіпті білмейміз... Не істеу керек!? Ал, не істеу керек, не істеу керек... Қосыңыз шығармашылық!)

Біз делікбұл 117 біздің прогрессіміздің мүшесі. Белгісіз нөмірмен n. Ал, алдыңғы есептегідей, осы санды табуға тырысайық. Сол. формуланы жазамыз (иә, иә!)) және сандарымызды ауыстырамыз:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Тағы да формуладан өрнектеймізn, біз санаймыз және аламыз:

Ой! Нөмірі шықты бөлшек!Жүз бір жарым. Ал прогрессиядағы бөлшек сандар болмайды.Біз қандай қорытынды жасай аламыз? Иә! № 117 емеспрогрессіміздің мүшесі. Бұл жүзден бірінші және жүз екінші мүшелердің арасында. Егер сан табиғи болып шықса, яғни. натурал сан болса, онда сан табылған санмен прогрессияның мүшесі болады. Ал біздің жағдайда мәселенің жауабы келесідей болады: Жоқ.

GIA нақты нұсқасына негізделген тапсырма:

Арифметикалық прогрессия шартпен беріледі:

a n = -4 + 6,8n

Прогрессияның бірінші және оныншы мүшелерін табыңыз.

Мұнда прогресс әдеттен тыс түрде орнатылады. Формуланың қандай да бір түрі... Болады.) Дегенмен, бұл формула (жоғарыда жазғанымдай) - сонымен қатар арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы!Ол да рұқсат береді прогрессияның кез келген мүшесін оның саны бойынша табыңыз.

Біз бірінші мүшені іздейміз. Ойлаған адам. бірінші мүшесі минус төрт деген қате қате!) Себебі есептегі формула өзгертілген. Ондағы арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі жасырын.Жарайды, қазір табамыз.)

Алдыңғы есептердегідей, біз ауыстырамыз n=1В бұл формула:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Мұнда! Бірінші мүше -4 емес, 2,8!

Біз оныншы мүшені дәл осылай іздейміз:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Міне бітті.

Ал енді осы жолдарды оқығандар үшін уәде етілген бонус.)

Мемлекеттік емтиханның немесе Бірыңғай мемлекеттік емтиханның қиын жауынгерлік жағдайында сіз арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің пайдалы формуласын ұмыттыңыз делік. Менің есімде бірдеңе бар, бірақ әйтеуір белгісіз... Немесе nсонда немесе n+1 немесе n-1...Қалай болу керек!?

Тыныш! Бұл формуланы шығару оңай. Өте қатаң емес, бірақ сенімділік үшін және дұрыс шешімәрине жеткілікті!) Қорытынды жасау үшін арифметикалық прогрессияның элементар мағынасын есте сақтау және бір-екі минут уақыт бөлу жеткілікті. Сізге тек сурет салу керек. Түсінікті болу үшін.

Сан түзуін сызып, оның біріншісін белгілеңіз. екінші, үшінші және т. мүшелері. Және біз айырмашылықты атап өтеміз dмүшелері арасында. Бұл сияқты:

Суретке қарап ойланамыз: екінші мүше неге тең? Екінші бір d:

а 2 =a 1 + 1 d

Үшінші мүше дегеніміз не? Үшіншітермин бірінші қосылғыш плюсқа тең екі d.

а 3 =a 1 + 2 d

Түсінесіз бе? Кейбір сөздерді қою қаріппен белгілеуім бекер емес. Жарайды, тағы бір қадам).

Төртінші мүше дегеніміз не? Төртіншітермин бірінші қосылғыш плюсқа тең үш d.

а 4 =a 1 + 3 d

Бұл бос орындардың саны, яғни. d, Әрқашан сіз іздеген мүшенің санынан бір кем n. Яғни, санға n, бос орындар саныерік n-1.Демек, формула болады (өзгеріссіз!):

a n = a 1 + (n-1)d

Жалпы, математиканың көптеген есептерін шешуде көрнекі суреттердің көмегі зор. Суреттерді назардан тыс қалдырмаңыз. Бірақ егер сурет салу қиын болса, онда... тек формула!) Сонымен қатар, n-ші мүшесінің формуласы математиканың барлық қуатты арсеналын шешуге қосуға мүмкіндік береді - теңдеулер, теңсіздіктер, жүйелер және т.б. Суретті теңдеуге кірістіру мүмкін емес...

Өз бетінше шешуге арналған тапсырмалар.

Жылыту үшін:

1. Арифметикалық прогрессияда (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. 3 табыңыз.

Нұсқау: сурет бойынша мәселені 20 секундта шешуге болады... Формула бойынша қиынырақ болып шығады. Бірақ формуланы меңгеру үшін бұл пайдалырақ.) 555-бөлімде бұл мәселе сурет пен формула арқылы шешілген. Айырмашылықты сезініңіз!)

Бұл енді қыздыру емес.)

2. Арифметикалық прогрессияда (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. 3-ті табыңыз.

Не, сурет салғың келмей ме?) Әрине! Формула бойынша жақсырақ, иә...

3. Арифметикалық прогрессия шартпен беріледі:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Осы прогрессияның жүз жиырма бесінші мүшесін табыңыз.

Бұл тапсырмада прогресс қайталанатын түрде көрсетіледі. Бірақ жүз жиырма бесінші мүшеге дейін санасақ... Мұндай ерлік әркімнің қолынан келе бермейді.) Бірақ n-ші мүшесінің формуласы әркімнің қолында!

4. Арифметикалық прогрессия (a n) берілген:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Прогрессияның ең кіші оң мүшесінің санын табыңыз.

5. 4-тапсырманың шарты бойынша прогрессияның ең кіші оң және ең үлкен теріс мүшелерінің қосындысын табыңыз.

6. Өсіп келе жатқан арифметикалық прогрессияның бесінші және он екінші мүшелерінің көбейтіндісі -2,5, ал үшінші және он бірінші мүшелерінің қосындысы нөлге тең. 14 табыңыз.

Ең оңай тапсырма емес, иә...) Мұнда «саусақ ұшы» әдісі жұмыс істемейді. Формулаларды жазып, теңдеулерді шешуге тура келеді.

Жауаптар (ретсіз):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Бұл жұмыс істеді ме? Керемет!)

Бәрі ойдағыдай емес пе? Болады. Айтпақшы, соңғы тапсырмада бір нәзік нүкте бар. Мәселені оқу кезінде мұқият болу керек. Және логика.

Барлық осы мәселелердің шешімі 555-бөлімде егжей-тегжейлі талқыланады. Ал төртінші үшін қиял элементі, ал алтыншы үшін нәзік нүкте және n-ші мүшесінің формуласымен байланысты кез келген есептерді шешудің жалпы тәсілдері - барлығы сипатталған. Мен оны ұсынамын.

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)

Функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Алгебраны оқығанда орта мектеп(9-сынып) бірі маңызды тақырыптаргеометриялық және арифметикалық прогрессияларды қамтитын сандар қатарын зерттейді. Бұл мақалада біз арифметикалық прогрессияны және шешімдері бар мысалдарды қарастырамыз.

Арифметикалық прогрессия дегеніміз не?

Мұны түсіну үшін қарастырылып отырған прогрессияны анықтау керек, сонымен қатар кейінірек есептерді шешуде қолданылатын негізгі формулаларды беру қажет.

Арифметикалық немесе алгебралық прогрессия деп әрбір мүшесі алдыңғысынан қандай да бір тұрақты мәнмен ерекшеленетін реттелген рационал сандар жиынын айтады. Бұл шама айырмашылық деп аталады. Яғни, реттелген сандар қатарының кез келген мүшесін және айырмасын біле отырып, сіз бүкіл арифметикалық прогрессияны қалпына келтіре аласыз.

Мысал келтірейік. Келесі сандар тізбегі арифметикалық прогрессия болады: 4, 8, 12, 16, ..., өйткені бұл жағдайда айырмашылық 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Бірақ 3, 5, 8, 12, 17 сандар жиынын енді қарастырылып отырған прогрессия түріне жатқызуға болмайды, өйткені ол үшін айырмашылық тұрақты мән емес (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠) 17 - 12).

Маңызды формулалар

Енді арифметикалық прогрессияның көмегімен есептерді шешуге қажетті негізгі формулаларды көрсетейік. a n символымен қатардың n-ші мүшесін белгілейік, мұндағы n – бүтін сан. Айырмашылықты латынның d әрпімен белгілейміз. Сонда келесі өрнектер жарамды:

1. n-ші мүшесінің мәнін анықтау үшін келесі формула қолайлы: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Бірінші n мүшесінің қосындысын анықтау үшін: S n = (a n +a 1)*n/2.

9-сыныпта шешімдері бар арифметикалық прогрессияның кез келген мысалдарын түсіну үшін осы екі формуланы есте сақтау жеткілікті, өйткені қарастырылатын типтегі кез келген есептер олардың қолданылуына негізделген. Прогрессия айырмашылығы мына формуламен анықталатынын есте ұстаған жөн: d = a n - a n-1.

№1 мысал: белгісіз мүшені табу

Арифметикалық прогрессияның қарапайым мысалын және оны шешу үшін қолданылатын формулаларды келтірейік.

10, 8, 6, 4, ... тізбегі берілсін, одан бес мүшесін табу керек.

Есептің шарттарынан алғашқы 4 термин белгілі екені шығады. Бесінші екі жолмен анықталуы мүмкін:

1. Алдымен айырмашылықты есептейік. Бізде: d = 8 - 10 = -2. Сол сияқты, сіз бір-бірінің жанында тұрған кез келген басқа екі мүшені ала аласыз. Мысалы, d = 4 - 6 = -2. d = a n - a n-1 болатыны белгілі болғандықтан, d = a 5 - a 4, одан аламыз: a 5 = a 4 + d. Біз белгілі мәндерді ауыстырамыз: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Екінші әдіс сонымен қатар қарастырылып отырған прогрессияның айырмашылығын білуді талап етеді, сондықтан алдымен оны жоғарыда көрсетілгендей анықтау керек (d = -2). Бірінші мүшесі a 1 = 10 екенін біле отырып, біз тізбектің n санының формуласын қолданамыз. Бізде: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Соңғы өрнекке n = 5 мәнін қойып, мынаны аламыз: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Көріп отырғаныңыздай, екі шешім де бірдей нәтижеге әкелді. Бұл мысалдағы прогрессия айырмасы d теріс мән екенін ескеріңіз. Мұндай тізбектер кему деп аталады, өйткені әрбір келесі мүше алдыңғысынан аз болады.

№2 мысал: прогрессияның айырмашылығы

Енді тапсырманы сәл қиындатып көрейік, қалай болатынын мысалға келтірейік

Кейбіреулерінде 1-мүше 6-ға, ал 7-мүше 18-ге тең болатыны белгілі.Айырманы тауып, осы тізбекті 7-ші мүшеге келтіру керек.

Белгісіз мүшені анықтау үшін формуланы қолданайық: a n = (n - 1) * d + a 1 . Шарттағы белгілі деректерді, яғни a 1 және a 7 сандарын ауыстырайық, бізде: 18 = 6 + 6 * d. Бұл өрнектен сіз айырмашылықты оңай есептей аласыз: d = (18 - 6) /6 = 2. Осылайша, біз есептің бірінші бөлігіне жауап бердік.

7-мүшеге ретті қалпына келтіру үшін алгебралық прогрессияның анықтамасын қолдану керек, яғни a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d және т.б. Нәтижесінде біз бүкіл тізбекті қалпына келтіреміз: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

№3 мысал: прогрессияны құрастыру

Мәселені одан да күрделендірейік. Енді арифметикалық прогрессияны қалай табуға болады деген сұраққа жауап беруіміз керек. Келесі мысалды келтіруге болады: екі сан берілген, мысалы – 4 және 5. Бұлардың арасына тағы үш мүше орналасатындай алгебралық прогрессия құру керек.

Бұл мәселені шешуге кіріспес бұрын, қандай орын алатынын түсіну керек берілген сандарболашақ прогрессте. Олардың арасында тағы үш мүше болатындықтан, а 1 = -4 және 5 = 5. Осыны анықтап, біз алдыңғыға ұқсас мәселеге көшеміз. Тағы да, n-ші мүшесі үшін формуланы қолданамыз, біз мынаны аламыз: a 5 = a 1 + 4 * d. Қайдан: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Мұнда алғанымыз айырманың бүтін мәні емес, ол рационал сан, сондықтан алгебралық прогрессияның формулалары өзгеріссіз қалады.

Енді табылған айырманы 1-ге қосып, прогрессияның жетіспейтін мүшелерін қалпына келтірейік. Біз мыналарды аламыз: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, сәйкес келді. мәселенің шарттарымен.

№4 мысал: прогрессияның бірінші мүшесі

Шешімдері бар арифметикалық прогрессияның мысалдарын келтіруді жалғастырайық. Алдыңғы барлық есептерде алгебралық прогрессияның бірінші саны белгілі болды. Енді басқа типтегі есепті қарастырайық: екі сан берілсін, мұнда а 15 = 50 және 43 = 37. Бұл реттілік қай саннан басталатынын табу керек.

Осы уақытқа дейін қолданылған формулалар 1 және d туралы білімді болжайды. Мәселе мәлімдемесінде бұл сандар туралы ештеңе белгілі емес. Дегенмен, біз ақпарат бар әрбір термин үшін өрнектерді жазамыз: a 15 = a 1 + 14 * d және a 43 = a 1 + 42 * d. Біз 2 белгісіз шама (a 1 және d) бар екі теңдеу алдық. Бұл есептің сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге келтірілгенін білдіреді.

Бұл жүйені шешудің ең оңай жолы - әрбір теңдеуде 1-ді өрнектеп, содан кейін алынған өрнектерді салыстыру. Бірінші теңдеу: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; екінші теңдеу: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Осы өрнектерді теңестіре отырып, біз мынаны аламыз: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, мұндағы айырма d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (тек 3 ондық белгі берілген).

d біле отырып, 1 үшін жоғарыдағы 2 өрнектің кез келгенін қолдануға болады. Мысалы, бірінші: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Алынған нәтижеге күмәніңіз болса, оны тексеруге болады, мысалы, шартта көрсетілген прогрессияның 43-ші мүшесін анықтаңыз. Біз аламыз: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Кішігірім қате есептеулерде мыңнан бірге дейін дөңгелектеу қолданылғанына байланысты.

№5 мысал: сома

Енді арифметикалық прогрессияның қосындысының шешімдері бар бірнеше мысалдарды қарастырайық.

Мына түрдегі сандық прогрессия берілсін: 1, 2, 3, 4, ...,. Осы сандардың 100-нің қосындысын қалай есептеуге болады?

Дамудың арқасында компьютерлік технологиясіз бұл мәселені шеше аласыз, яғни адам Enter пернесін басқан кезде компьютер жасайтын барлық сандарды дәйекті түрде қосуға болады. Алайда берілген сандар қатары алгебралық прогрессия және оның айырмасы 1-ге тең екендігіне назар аударсақ, мәселені ойша шешуге болады. Қосынды формуласын қолданып, мынаны аламыз: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Бір қызығы, бұл есептің «гаусс» деп аталуына байланысты XVIII басығасырда, атақты неміс әлі 10 жаста болса да, оны бірнеше секундта басынан шеше алды. Бала алгебралық прогрессияның қосындысының формуласын білмеді, бірақ ол тізбектің соңындағы сандарды жұппен қоссаңыз, әрқашан бірдей нәтиже шығатынын, яғни 1 + 100 = 2 + 99 болатынын байқады. = 3 + 98 = ..., және бұл қосындылар дәл 50 (100/2) болатындықтан, дұрыс жауапты алу үшін 50-ні 101-ге көбейту жеткілікті.

№6 мысал: n-ден m-ге дейінгі мүшелердің қосындысы

Тағы бір типтік мысаларифметикалық прогрессияның қосындысы келесідей: сандар қатары берілген: 3, 7, 11, 15, ..., оның 8-ден 14-ке дейінгі мүшелерінің қосындысы неге тең болатынын табу керек.

Мәселе екі жолмен шешіледі. Олардың біріншісі 8-ден 14-ке дейінгі белгісіз мүшелерді табуды, содан кейін оларды ретімен қосуды қамтиды. Терминдер аз болғандықтан, бұл әдіс айтарлықтай еңбекті қажет етпейді. Осыған қарамастан, бұл мәселені екінші әдісті қолдану арқылы шешу ұсынылады, ол әмбебап болып табылады.

Мұндағы идея m және n мүшелері арасындағы алгебралық прогрессияның қосындысының формуласын алу, мұндағы n > m бүтін сандар. Екі жағдайда да қосынды үшін екі өрнек жазамыз:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m болғандықтан, 2-ші қосындыға біріншісі кіретіні анық. Соңғы қорытынды мынаны білдіреді: егер осы қосындылардың айырмасын алып, оған a m мүшесін қоссақ (айырымды қабылдаған жағдайда S n қосындысынан шегеріледі), есептің қажетті жауабын аламыз. Бізде: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- м/2). Бұл өрнекке a n және a m формулаларын ауыстыру қажет. Сонда мынаны аламыз: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * м - м 2 - 2) / 2.

Алынған формула біршама қиын, дегенмен S mn қосындысы тек n, m, a 1 және d-ге тәуелді. Біздің жағдайда a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Осы сандарды ауыстырсақ, мынаны аламыз: S mn = 301.

Жоғарыда келтірілген шешімдерден көрініп тұрғандай, барлық есептер n-ші мүшесінің өрнекін және бірінші мүшелер жиынының қосындысының формуласын білуге ​​негізделген. Осы мәселелердің кез келгенін шешуді бастамас бұрын, шартты мұқият оқып шығып, нені табу керектігін нақты түсініп, содан кейін ғана шешімді жалғастыру ұсынылады.

Тағы бір кеңес - қарапайымдылыққа ұмтылу, яғни егер сіз күрделі математикалық есептеулерді қолданбай сұраққа жауап бере алсаңыз, дәл солай істеу керек, өйткені бұл жағдайда қателесу ықтималдығы аз болады. Мысалы, №6 шешімі бар арифметикалық прогрессия мысалында S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m формуласына тоқтауға болады, және жалпы есепті бөлек ішкі тапсырмаларға бөлу (бұл жағдайда алдымен a n және a m терминдерін табыңыз).

Алынған нәтижеге күмәніңіз болса, келтірілген мысалдардың кейбірінде жасалғандай, оны тексеру ұсынылады. Арифметикалық прогрессияны қалай табуға болатынын білдік. Егер сіз оны анықтасаңыз, бұл қиын емес.

Кейбір адамдар «прогресс» сөзін бөлімдерден өте күрделі термин ретінде сақтықпен қарастырады жоғары математика. Сонымен қатар, ең қарапайым арифметикалық прогрессия - бұл такси есептегішінің жұмысы (олар әлі де бар). Бірнеше қарапайым ұғымдарды талдай отырып, арифметикалық тізбектің мәнін (және математикада «мәні алудан» маңызды ештеңе жоқ) түсіну соншалықты қиын емес.

Математикалық сандар тізбегі

Сандық реттілік әдетте сандар қатары деп аталады, олардың әрқайсысының өз нөмірі бар.

a 1 – тізбектің бірінші мүшесі;

және 2 - қатардың екінші мүшесі;

және 7 - қатардың жетінші мүшесі;

және n – қатардың n-ші мүшесі;

Дегенмен, сандар мен сандардың кез келген ерікті жиынтығы бізді қызықтырмайды. Біз назарымызды n-ші мүшесінің мәні оның реттік санына математикалық түрде анық тұжырымдауға болатын қатынас арқылы қатысты болатын сандық тізбекке аударамыз. Басқаша айтқанда: n-ші санның сандық мәні n-дің кейбір функциясы болып табылады.

a – сандық қатардың мүшесінің мәні;

n – оның сериялық нөмірі;

f(n) – функция, мұндағы n сандық қатардағы реттік сан аргумент болып табылады.

Анықтама

Арифметикалық прогрессия әдетте әрбір келесі мүше алдыңғысынан бірдей санға үлкен (кем) болатын сандық тізбек деп аталады. Арифметикалық қатардың n-ші мүшесінің формуласы келесідей:

a n – арифметикалық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

a n+1 – келесі санның формуласы;

d - айырмашылық (белгілі бір сан).

Айырма оң (d>0) болса, онда қарастырылып отырған қатардың әрбір келесі мүшесі алдыңғысынан үлкен болатынын және мұндай арифметикалық прогрессияның өсетінін анықтау оңай.

Төмендегі графикте мұның себебін түсіну оңай сандар тізбегі«арту» деп аталады.

Айырмашылық теріс болған жағдайларда (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Көрсетілген мүше мәні

Кейде арифметикалық прогрессияның кез келген ерікті a n мүшесінің мәнін анықтау қажет болады. Мұны арифметикалық прогрессияның барлық мүшелерінің мәндерін біріншіден бастап қажеттіге дейін дәйекті түрде есептеу арқылы жасауға болады. Алайда, мысалы, бес мыңыншы немесе сегіз миллионыншы мүшенің мәнін табу қажет болса, бұл жол әрқашан қолайлы бола бермейді. Дәстүрлі есептеулер көп уақытты алады. Дегенмен, белгілі бір арифметикалық прогрессияны белгілі формулалар арқылы зерттеуге болады. Сондай-ақ n-ші мүшесінің формуласы бар: арифметикалық прогрессияның кез келген мүшесінің мәнін прогрессияның бірінші мүшесінің қосындысы прогрессияның айырмасымен, қажетті мүшенің санына көбейтілген, азайтылған қосындысы ретінде анықтауға болады. бір.

Формула прогрессияның жоғарылауы және төмендеуі үшін әмбебап болып табылады.

Берілген терминнің мәнін есептеудің мысалы

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің мәнін табуға келесі есепті шығарайық.

Шарты: параметрлері бар арифметикалық прогрессия бар:

Тізбектің бірінші мүшесі 3;

Сандар қатарындағы айырмашылық 1,2.

Тапсырма: 214 мүшенің мәнін табу керек

Шешуі: берілген мүшенің мәнін анықтау үшін мына формуланы қолданамыз:

a(n) = a1 + d(n-1)

Мәселе мәлімдемесіндегі деректерді өрнекке ауыстырсақ, бізде:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Жауабы: Тізбектің 214-ші мүшесі 258,6-ға тең.

Бұл есептеу әдісінің артықшылықтары айқын - бүкіл шешім 2 жолдан аспайды.

Берілген терминдер санының қосындысы

Көбінесе берілген арифметикалық қатарда оның кейбір сегменттерінің мәндерінің қосындысын анықтау қажет. Мұны істеу үшін әр терминнің мәндерін есептеп, содан кейін оларды қосудың қажеті жоқ. Бұл әдіс қосындысын табуды қажет ететін мүшелердің саны аз болған жағдайда қолданылады. Басқа жағдайларда келесі формуланы қолдану ыңғайлырақ.

1-ден n-ге дейінгі арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы бірінші және n-ші мүшелердің қосындысына тең, n мүшесінің санына көбейтіліп, екіге бөлінеді. Егер формулада n-ші мүшесінің мәні баптың алдыңғы абзацындағы өрнекпен ауыстырылса, мынаны аламыз:

Есептеу мысалы

Мысалы, келесі шарттармен мәселені шешейік:

Тізбектің бірінші мүшесі нөлге тең;

Айырмашылық 0,5.

Есеп 56-дан 101-ге дейінгі қатар мүшелерінің қосындысын анықтауды талап етеді.

Шешім. Прогрессия мөлшерін анықтау үшін формуланы қолданайық:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Біріншіден, есептің берілген шарттарын формулаға ауыстыру арқылы прогрессияның 101 мүшесінің мәндерінің қосындысын анықтаймыз:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

56-дан 101-ге дейінгі прогрессияның мүшелерінің қосындысын табу үшін S 101-ден S 55-ті алу керек екені анық.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Осылайша, осы мысал үшін арифметикалық прогрессияның қосындысы:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Арифметикалық прогрессияның практикалық қолданылуының мысалы

Мақаланың соңында бірінші абзацта келтірілген арифметикалық тізбектің мысалына оралайық - таксиметр (такси вагонының есептегіші). Осы мысалды қарастырайық.

Таксиге отыру (оның ішінде 3 км жол жүру) 50 рубльді құрайды. Әрбір келесі шақырым 22 рубль/км мөлшерінде төленеді. Жол жүру қашықтығы 30 км. Сапардың құнын есептеңіз.

1. Бағасы қону құнына кіретін алғашқы 3 км-ден бас тартайық.

30 - 3 = 27 км.

2. Әрі қарай есептеу арифметикалық сандар қатарын талдаудан басқа ештеңе емес.

Мүше нөмірі – жүріп өткен километрлер саны (алғашқы үшті алып тастағанда).

Мүшенің мәні қосынды болып табылады.

Бұл мәселедегі бірінші термин 1 = 50 рубльге тең болады.

Прогрессия айырмасы d = 22 r.

бізді қызықтыратын сан арифметикалық прогрессияның (27+1)-ші мүшесінің мәні - 27-ші километрдің соңындағы метрдің көрсеткіші 27,999... = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Ерікті ұзақ кезеңге арналған күнтізбе деректерінің есептеулері белгілі бір сандық реттіліктерді сипаттайтын формулаларға негізделген. Астрономияда орбитаның ұзындығы геометриялық тұрғыдан аспан денесінің жұлдызға дейінгі қашықтығына тәуелді. Сонымен қатар, әртүрлі сандар қатарлары статистикада және математиканың басқа қолданбалы салаларында сәтті қолданылады.

Сан тізбегінің тағы бір түрі геометриялық

Геометриялық прогрессияарифметикамен салыстырғанда үлкен өзгерістер жылдамдығымен сипатталады. Саясатта, әлеуметтануда, медицинада белгілі бір құбылыстың, мысалы, індет кезіндегі аурудың таралу жылдамдығының жоғарылығын көрсету үшін бұл процесс геометриялық прогрессияда дамиды деп бекер айтылмаған.

Геометриялық сандар қатарының N-ші мүшесінің алдыңғысынан айырмашылығы, ол қандай да бір тұрақты санға – бөлгішке көбейтіледі, мысалы, бірінші мүшесі 1, бөлгіш сәйкесінше 2-ге тең, сонда:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n – геометриялық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

b n+1 – геометриялық прогрессияның келесі мүшесінің формуласы;

q – геометриялық прогрессияның бөлгіші (тұрақты сан).

Егер арифметикалық прогрессияның графигі түзу болса, геометриялық прогрессия сәл басқаша суретті салады:

Арифметикалық жағдайдағы сияқты геометриялық прогрессияның ерікті мүшенің мәні үшін формуласы бар. Геометриялық прогрессияның кез келген n-ші мүшесі бірінші мүшесінің көбейтіндісіне және n дәрежесіне азайтылған прогрессияның бөліміне тең:

Мысал. Бізде бірінші мүшесі 3-ке, ал прогрессияның бөлгіші 1,5-ке тең геометриялық прогрессия бар. Прогрессияның 5-ші мүшесін табайық

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Берілген терминдер санының қосындысы да арнайы формула арқылы есептеледі. Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы прогрессияның n-ші мүшесі мен оның бөлгіші мен прогрессияның бірінші мүшесінің көбейтіндісінің айырмасына тең, оны бірге азайтылған бөлгішке бөледі:

Егер b n жоғарыда қарастырылған формула арқылы ауыстырылса, қарастырылып отырған сандар қатарының бірінші n мүшесінің қосындысының мәні келесідей болады:

Мысал. Геометриялық прогрессия 1-ге тең бірінші мүшесінен басталады. Бөлгіш 3-ке тең. Алғашқы сегіз мүшесінің қосындысын табайық.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар

Теориялық ақпарат

Теориялық ақпарат

	Арифметикалық прогрессия	Геометриялық прогрессия
Анықтама	Арифметикалық прогрессия а нәрбір мүшесі екіншіден бастап сол санға қосылған алдыңғы мүшеге тең болатын тізбек d (d- прогрессияның айырмашылығы)	Геометриялық прогрессия б ннөлдік емес сандар тізбегі, олардың әрбір мүшесі екіншісінен бастап алдыңғы мүшесінің сол санға көбейтіндісіне тең. q (q- прогрессияның бөлгіші)
Қайталану формуласы	Кез келген табиғи үшін n a n + 1 = a n + d	Кез келген табиғи үшін n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ші мүшесі	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Сипаттама қасиеті
Бірінші n мүшесінің қосындысы

Түсініктемелері бар тапсырмалар мысалдары

1-тапсырма

Арифметикалық прогрессияда ( а н) а 1 = -6, а 2

n-ші мүшесінің формуласы бойынша:

а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21 г

Шарт бойынша:

а 1= -6, онда а 22= -6 + 21 d .

Прогрессиялардың айырмашылығын табу керек:

d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Жауап: а 22 = -48.

2-тапсырма

Геометриялық прогрессияның бесінші мүшесін табыңыз: -3; 6;.....

1-әдіс (n-мүшелік формуланы қолдану)

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы бойынша:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Өйткені б 1 = -3,

2-әдіс (қайталанатын формуланы пайдалану)

Прогрессияның бөлгіші -2 (q = -2) болғандықтан, онда:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Жауап: б 5 = -48.

3-тапсырма

Арифметикалық прогрессияда ( a n ) a 74 = 34; а 76= 156. Осы прогрессияның жетпіс бесінші мүшесін табыңыз.

Арифметикалық прогрессия үшін сипаттамалық қасиет пішінге ие .

Бұдан былай шығады:

.

Мәліметтерді формулаға ауыстырайық:

Жауабы: 95.

4-тапсырма

Арифметикалық прогрессияда ( a n ) a n= 3n - 4. Алғашқы он жеті мүшенің қосындысын табыңыз.

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын табу үшін екі формула қолданылады:

.

Бұл жағдайда олардың қайсысын пайдалану ыңғайлы?

Шарт бойынша бастапқы прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы белгілі ( а н) а н= 3n - 4. Сіз бірден таба аласыз және а 1, Және а 16таппай d. Сондықтан біз бірінші формуланы қолданамыз.

Жауабы: 368.

5-тапсырма

Арифметикалық прогрессияда ( а н) а 1 = -6; а 2= -8. Прогрессияның жиырма екінші мүшесін табыңыз.

n-ші мүшесінің формуласы бойынша:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21күн.

Шарт бойынша, егер а 1= -6, онда а 22= -6 + 21күн. Прогрессиялардың айырмашылығын табу керек:

d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Жауап: а 22 = -48.

6-тапсырма

Геометриялық прогрессияның бірнеше қатарынан мүшелері жазылады:

х арқылы көрсетілген прогрессияның мүшесін табыңыз.

Шешу кезінде n-ші мүшесінің формуласын қолданамыз b n = b 1 ∙ q n - 1геометриялық прогрессиялар үшін. Прогрессияның бірінші мүшесі. Прогрессияның q бөлімін табу үшін прогрессияның берілген мүшелерінің кез келгенін алып, алдыңғысына бөлу керек. Біздің мысалда біз алуға және бөлуге болады. q = 3 болатынын аламыз. Берілген геометриялық прогрессияның үшінші мүшесін табу керек болғандықтан, формулада n орнына 3-ті қоямыз.

Табылған мәндерді формулаға ауыстырып, аламыз:

.

Жауап: .

7-тапсырма

n-ші мүшесінің формуласымен берілген арифметикалық прогрессияның ішінен шарты орындалатынын таңдаңыз. а 27 > 9:

Берілген шарт прогрессияның 27 мүшесі үшін орындалуы керек болғандықтан, төрт прогрессияның әрқайсысында n орнына 27-ні қоямыз. 4-ші прогрессте біз аламыз:

.

Жауабы: 4.

8-тапсырма

Арифметикалық прогрессияда а 1= 3, d = -1,5. Теңсіздік орындалатын n-дің ең үлкен мәнін көрсетіңіз а н > -6.