Серіппелі маятниктің механикалық тербелістері. Серіппелі маятниктің тербеліс жиілігінің формуласы

Серіппелі маятник - қаттылығы бар абсолютті серпімді салмақсыз серіппеге бекітілген массасы бар материалдық нүкте . Ең қарапайым екі жағдай бар: көлденең (Cурет 15, А) және тік (Cурет 15, б) маятниктер.

A) Көлденең маятник(Cурет 15, а). Жүк қозғалғанда
тепе-теңдік позициясынан сомасы бойынша оған көлденең бағытта әрекет етеді серпімділік күшін қалпына келтіру
(Гук заңы).

Жүктің сырғанайтын көлденең тірегі деп болжанады
оның тербелісі кезінде ол мүлдем тегіс (үйкеліссіз).

б) Тік маятник(Cурет 15, б). Бұл жағдайда тепе-теңдік жағдайы келесі шартпен сипатталады:

Қайда - жүкке әсер ететін серпімділік күшінің шамасы
серіппе статикалық түрде созылған кезде жүктің ауырлық күшінің әсерінен
.

А

15-сурет. Серіппелі маятник: А– көлденең және б– тік

Егер сіз серіппені созып, жүкті босатсаңыз, ол тігінен тербеле бастайды. Егер белгілі бір уақыттағы орын ауыстыру болса
, онда серпімділік күші енді былай жазылады
.

Қарастырылған екі жағдайда да серіппелі маятник периоды бар гармоникалық тербелістерді орындайды

(27)

және циклдік жиілік

. (28)

Серіппелі маятниктің мысалын пайдалана отырып, гармоникалық тербелістер - орын ауыстыруға пропорционалды өсетін күш әсерінен болатын қозғалыс деген қорытынды жасауға болады. . Осылайша, егер қалпына келтіретін күш Гук заңына ұқсайтын болса
(ол атын алдыквазисерпімді күш ), онда жүйе гармоникалық тербелістерді орындауы керек.Тепе-теңдік күйінен өткен кезде денеге қалпына келтіретін күш әсер етпейді, алайда дене инерция арқылы тепе-теңдік күйінен өтеді және қалпына келтіретін күш бағытын керісінше өзгертеді;

Математикалық маятник

16-сурет.

Математикалық маятникМатематикалық маятник ұзындықтағы салмақсыз созылмайтын жіпке ілінген материалдық нүкте түріндегі идеалдандырылған жүйе

, ол ауырлық күшінің әсерінен шағын тербелістер жасайды (Cурет 16).
Бұндай маятниктің кіші иілу бұрыштарындағы тербелістері

, (29)

(5º аспайтын) гармоникалық деп санауға болады және математикалық маятниктің циклдік жиілігі:

. (30)

және кезең:

Бастапқы итеру кезінде тербелмелі жүйеге берілетін энергия периодты түрде түрленеді: деформацияланған серіппенің потенциалдық энергиясы қозғалатын жүктің және кері қозғалыстың кинетикалық энергиясына айналады.

Серіппелі маятник бастапқы фазамен гармоникалық тербелістер орындасын
, яғни.
(Cурет 17).

17-сурет. Механикалық энергияның сақталу заңы

серіппелі маятник тербелгенде

Жүктеменің тепе-теңдік күйден максималды ауытқуы кезінде маятниктің толық механикалық энергиясы (қаттылығы бар деформацияланған серіппенің энергиясы ) тең
.
Тепе-теңдік күйінен өткенде (
.

) серіппенің потенциалдық энергиясы нөлге тең болады, ал тербелмелі жүйенің толық механикалық энергиясы мына түрде анықталады:

18-суретте гармоникалық тербеліс синустың (үзік сызық) немесе косинустың (тұтас сызық) тригонометриялық функцияларымен сипатталған жағдайларда кинетикалық, потенциалдық және толық энергияның тәуелділік графиктері көрсетілген.

18-сурет. Кинетиканың уақытқа тәуелділік графиктері Жәнепотенциалдық энергия

гармоникалық тербелістермен

Графиктерден (18-сурет) кинетикалық және потенциалдық энергияның өзгеру жиілігі гармоникалық тербелістердің табиғи жиілігінен екі есе жоғары екендігі шығады.

10.4. Гармоникалық тербелістер кезіндегі энергияның сақталу заңы 10.4.1. Энергияны үнемдеу

механикалық гармоникалық тербелістер

Математикалық маятниктің тербелісі кезіндегі энергияның сақталуы Гармоникалық тербелістермен, жалпымеханикалық энергия

жүйе сақталады (тұрақты болып қалады).

Математикалық маятниктің толық механикалық энергиясы

E = W k + W p ,

мұндағы W k – кинетикалық энергия, W k = = mv 2 /2; W p - потенциалдық энергия, W p = mgh; m – жүктің массасы; g - еркін түсуді жеделдету модулі; v - жүктеме жылдамдығы модулі; h – жүктің тепе-теңдік күйінен жоғары биіктігі (10.15-сурет).

Гармоникалық тербелістер кезінде математикалық маятник бірқатар дәйекті күйлерден өтеді, сондықтан математикалық маятниктің энергиясын үш позицияда қарастырған жөн (10.15-суретті қараңыз):

Күріш. 10.15 1) жылы

тепе-теңдік жағдайы

потенциалдық энергия нөлге тең; Толық энергия максималды кинетикалық энергияға сәйкес келеді:

E = W k max; 2) жылы төтенше жағдай

(2) дене бастапқы деңгейден h max максималды биіктікке көтеріледі, сондықтан потенциалдық энергия да максималды болады:

W p max = m g h max;

кинетикалық энергия нөлге тең; Толық энергия максималды потенциалдық энергиямен сәйкес келеді:

E = W p max; 3) жылы(3) дененің v лездік жылдамдығы бар және бастапқы деңгейден белгілі h биіктікке көтеріледі, сондықтан жалпы энергия қосындыға тең.

E = m v 2 2 + m g h,

мұндағы mv 2/2 - кинетикалық энергия; mgh – потенциалдық энергия; m – жүктің массасы; g - еркін түсуді жеделдету модулі; v - жүктеме жылдамдығы модулі; h - тепе-теңдік күйінен жоғары жүкті көтеру биіктігі.

Математикалық маятниктің гармоникалық тербелістері кезінде толық механикалық энергия сақталады:

E = const.

Математикалық маятниктің оның үш позициясындағы толық энергиясының мәндері кестеде көрсетілген. 10.1.

№	Позиция	Wp	Апт	E = W p + W k
1	Тепе-теңдік	0	m v макс 2/2	m v макс 2/2
2	Төтенше	мгч макс	0	мгч макс
3	Орташа (лезде)	мгх	mv 2 /2	mv 2 /2 + мгсағ

Жалпы механикалық энергияның мәндері кестенің соңғы бағанында берілген. 10.1, бар тең мәндерМатематикалық өрнек болып табылатын маятниктің кез келген орны үшін:

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h max = m v 2 2 + m g h,

мұндағы m – жүктің массасы; g - еркін түсуді жеделдету модулі; v – 3-позициядағы жүктің лездік жылдамдығының модулі; h - 3-позициядағы тепе-теңдік күйінен жүкті көтеру биіктігі; v max - 1-позициядағы жүктеменің максималды жылдамдығының модулі; h max - 2-позициядағы тепе-теңдік күйден жоғары жүкті көтерудің максималды биіктігі.

Жіптің ауытқу бұрышывертикальдан математикалық маятник (10.15-сурет) өрнекпен анықталады.

cos α = l - hl = 1 - hl,

мұндағы l – жіптің ұзындығы; h - тепе-теңдік күйінен жоғары жүкті көтеру биіктігі.

Максималды бұрышα max ауытқуы h max тепе-теңдік күйінен жүкті көтерудің максималды биіктігімен анықталады:

cos α max = 1 - h max l.

Мысал 11. Математикалық маятниктің шағын тербеліс периоды 0,9 с. Тепе-теңдік күйден өтіп, доп 1,5 м/с жылдамдықпен қозғалса, жіптің вертикальдан ауытқуы ең үлкен бұрыш қандай болады? Жүйеде үйкеліс жоқ.

Шешім. Суретте математикалық маятниктің екі позициясы көрсетілген:

• тепе-теңдік позициясы 1 (шардың максималды жылдамдығымен сипатталады v макс);
• экстремалды позиция 2 (шаптың h max тепе-теңдік күйінен жоғары көтерудің максималды биіктігімен сипатталады).

Қажетті бұрыш теңдікпен анықталады

cos α max = l - h max l = 1 - h max l,

мұндағы l – маятник жіпінің ұзындығы.

Толық механикалық энергияның сақталу заңынан маятник шарының тепе-теңдік күйінен ең үлкен биіктігін табамыз.

Маятниктің тепе-теңдік және экстремалды күйдегі толық энергиясы келесі формулалармен анықталады:

• тепе-теңдік жағдайында -

E 1 = m v max 2 2,

мұндағы m – маятник шарының массасы; v max - тепе-теңдік жағдайындағы шар жылдамдығының модулі (максималды жылдамдық), v макс = 1,5 м/с;

• төтенше жағдайда -

E 2 = мгсағ макс,

мұндағы g – гравитациялық үдеу модулі; h max – тепе-теңдік күйінен жоғары шарды көтерудің максималды биіктігі.

Толық механикалық энергияның сақталу заңы:

m v max 2 2 = m g h max.

Осы жерден шардың тепе-теңдік күйден жоғары көтерілуінің максималды биіктігін өрнектеп көрейік:

h max = v max 2 2 г .

Математикалық маятниктің тербеліс периоды формуласы бойынша жіптің ұзындығын анықтаймыз

T = 2 π l g,

сол. жіп ұзындығы

l = T 2 g 4 π 2.

Қалаған бұрыштың косинусының өрнекке h max және l мәндерін қойып көрейік:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

және π 2 = 10 жуық теңдігін ескере отырып есептеуді орындаңыз:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

Бұдан шығатыны, ең үлкен ауытқу бұрышы 60°.

Дәлірек айтқанда, 60 ° бұрышта, доптың тербелісі аз емес және оны қолдануға болады. стандартты формуламатематикалық маятниктің тербеліс периоды үшін заңсыз.

Серіппелі маятниктің тербелісі кезіндегі энергияның сақталуы

Серіппелі маятниктің толық механикалық энергиясыкинетикалық және потенциалдық энергиядан тұрады:

Математикалық маятниктің толық механикалық энергиясы

мұндағы W k – кинетикалық энергия, W k = mv 2 /2; W p - потенциалдық энергия, W p = k (Δx ) 2 /2; m – жүктің массасы; v - жүктеме жылдамдығы модулі; k – серіппенің қаттылық (икемділік) коэффициенті; Δx – серіппенің деформациясы (кернеу немесе қысу) (10.16-сурет).

Халықаралық бірліктер жүйесінде механикалық тербелмелі жүйенің энергиясы джоульмен (1 Дж) өлшенеді.

Гармоникалық тербелістер кезінде серіппелі маятник бірқатар дәйекті күйлерден өтеді, сондықтан серіппелі маятниктің энергиясын үш позицияда қарастырған жөн (10.16-суретті қараңыз):

Күріш. 10.15 1) жылы(1) дененің жылдамдығының максималды мәні v max, сондықтан кинетикалық энергиясы да максималды болады:

W k max = m v max 2 2 ;

серіппенің потенциалдық энергиясы нөлге тең, өйткені серіппе деформацияланбаған; Толық энергия максималды кинетикалық энергияға сәйкес келеді:

потенциалдық энергия нөлге тең; Толық энергия максималды кинетикалық энергияға сәйкес келеді:

E = W k max; төтенше жағдай(2) серіппенің максималды деформациясы (Δx max), сондықтан потенциалдық энергияның да максималды мәні бар:

W p max = k (Δ x max) 2 2 ;

дененің кинетикалық энергиясы нөлге тең; Толық энергия максималды потенциалдық энергиямен сәйкес келеді:

кинетикалық энергия нөлге тең; Толық энергия максималды потенциалдық энергиямен сәйкес келеді:

E = W p max; 3) жылы(3) дененің лездік жылдамдығы v, серіппенің осы сәтте біршама деформациясы бар (Δx), сондықтан жалпы энергия қосындыға тең.

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

мұндағы mv 2/2 - кинетикалық энергия; k (Δx) 2 /2 - потенциалдық энергия; m – жүктің массасы; v - жүктеме жылдамдығы модулі; k – серіппенің қаттылық (икемділік) коэффициенті; Δx – серіппенің деформациясы (кернеу немесе қысу).

Серіппелі маятниктің жүктемесі тепе-теңдік күйінен ығысқанда, оған мына әсер етеді: қалпына келтіру күші, оның маятниктің қозғалыс бағытына проекциясы формуламен анықталады

F x = −kx ,

мұндағы х – серіппелі маятник жүктемесінің тепе-теңдік күйден ығысуы, x = ∆x, ∆x – серіппенің деформациясы; k – маятникті серіппенің қаттылық (икемділік) коэффициенті.

Серіппелі маятниктің гармоникалық тербелістері кезінде толық механикалық энергия сақталады:

E = const.

Серіппелі маятниктің оның үш позициясындағы жалпы энергиясының мәндері кестеде көрсетілген. 10.2.

№	Позиция	Wp	Апт	E = W p + W k
1	Тепе-теңдік	0	m v макс 2/2	m v макс 2/2
2	Төтенше	k (Δx макс) 2 /2	0	k (Δx макс) 2 /2
3	Орташа (лезде)	k (Δx ) 2 /2	mv 2 /2	mv 2 /2 + k (Δx ) 2 /2

Кестенің соңғы бағанында берілген жалпы механикалық энергияның мәндері маятниктің кез келген позициясы үшін тең мәндерге ие, бұл математикалық өрнек толық механикалық энергияның сақталу заңы:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

мұндағы m – жүктің массасы; v – 3-позициядағы жүктің лездік жылдамдығының модулі; Δx - 3-позициядағы серіппенің деформациясы (кернеу немесе қысу); v max - 1-позициядағы жүктеменің максималды жылдамдығының модулі; Δx max - 2-позициядағы серіппенің максималды деформациясы (кернеу немесе қысу).

Мысал 12. Серіппелі маятник гармоникалық тербелістерді орындайды. Дененің тепе-теңдік күйден ығысуы амплитуданың төрттен бір бөлігін құрайтын сәтте оның кинетикалық энергиясы потенциалдық энергиясынан неше есе артық?

Шешім. Серіппелі маятниктің екі орнын салыстырайық:

• экстремалды позиция 1 (x max тепе-теңдік күйінен маятниктік жүктің максималды ығысуымен сипатталады);
• 2 аралық позиция (х тепе-теңдік күйінен орын ауыстырудың аралық мәндерімен және v → жылдамдықпен сипатталады).

Маятниктің экстремалды және аралық позициялардағы толық энергиясы келесі формулалармен анықталады:

• төтенше жағдайда -

E 1 = k (Δ x макс) 2 2,

мұндағы k – серіппенің қаттылық (икемділік) коэффициенті; ∆x max - тербеліс амплитудасы (тепе-теңдік күйінен максималды ығысу), ∆x max = A;

• аралық позицияда -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

мұндағы m – маятник жүктемесінің массасы; ∆x – жүктің тепе-теңдік күйден орын ауыстыруы, ∆x = A /4.

Серіппелі маятник үшін толық механикалық энергияның сақталу заңы келесі түрде болады:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

Жазбаша теңдіктің екі жағын да k (∆x) 2 /2-ге бөлейік:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

мұндағы W k – аралық жағдайдағы маятниктің кинетикалық энергиясы, W k = mv 2 /2; W p - аралық жағдайдағы маятниктің потенциалдық энергиясы, W p = k (∆x ) 2 /2.

Қажетті энергия қатынасын теңдеуден өрнектеп көрейік:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

және оның мәнін есептеңіз:

W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15 .

Көрсетілген уақыт моментінде маятниктің кинетикалық және потенциалдық энергияларының қатынасы 15-ке тең.

Потенциалдық энергиясы дененің тепе-теңдік күйден орын ауыстыруының квадратына пропорционал серпімділік күшінің әрекетіндегі денелер:

мұндағы k – серіппенің қаттылығы.

Еркін механикалық тербеліс кезінде кинетикалық және потенциалдық энергиялар периодты түрде өзгереді. Дененің тепе-теңдік күйінен максималды ауытқуы кезінде оның жылдамдығы, демек кинетикалық энергиясы жоғалады. Бұл позицияда тербелмелі дененің потенциалдық энергиясы өзінің максималды мәніне жетеді. Көлденең серіппедегі жүктеме үшін потенциалдық энергия серіппенің серпімді деформациясының энергиясы болып табылады.

Қозғалыстағы дене тепе-теңдік күйінен өткенде оның жылдамдығы максималды болады. Осы сәтте ол максималды кинетикалық және минималды потенциалдық энергияға ие. Кинетикалық энергияның артуы потенциалдық энергияның азаюына байланысты болады. Әрі қарай қозғалыс кезінде кинетикалық энергияның төмендеуіне байланысты потенциалдық энергия өсе бастайды және т.б.

Осылайша, гармоникалық тербелістер кезінде кинетикалық энергияның потенциалдық энергияға және керісінше периодты түрленуі жүреді.

Егер тербелмелі жүйеде үйкеліс болмаса, онда еркін тербеліс кезіндегі толық механикалық энергия өзгеріссіз қалады.

Көктемгі салмақ үшін:

Дененің тербелмелі қозғалысы «Бастау» түймесі арқылы іске қосылады. Тоқтату түймесі процесті кез келген уақытта тоқтатуға мүмкіндік береді.

Кез келген уақытта тербеліс кезінде потенциалдық және кинетикалық энергиялар арасындағы байланысты графикалық түрде көрсетеді. Есіңізде болсын, демпферлік болмаған жағдайда тербелмелі жүйенің толық энергиясы өзгеріссіз қалады, дене тепе-теңдік күйінен максималды ауытқыған кезде потенциалдық энергия максимумға жетеді, ал кинетикалық энергия дене тепе-теңдіктен өткенде максималды мән алады. позиция.

Анықтама

Тербеліс жиілігі($\nu$) тербелістерді сипаттайтын параметрлердің бірі болып табылады ($T$).

\[\nu =\frac(1)(T)\сол(1\оң).\]

Осылайша, тербеліс жиілігі деп аталады физикалық шама, уақыт бірлігіндегі тербелістердің қайталану санына тең.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\left(2\оң),\]

мұндағы $N$ – толық тербелмелі қозғалыстардың саны; $\Delta t$ - бұл тербелістердің орын алған уақыты.

Циклдік тербеліс жиілігі ($(\omega )_0$) келесі формула бойынша $\nu $ жиілігімен байланысты:

\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\сол(3\оң).\]

Халықаралық бірліктер жүйесіндегі (SI) жиілік бірлігі герц немесе кері секунд:

\[\left[\nu \right]=с^(-1)=Гц.\]

Серіппелі маятник

Анықтама

Серіппелі маятникжүк бекітілген серпімді серіппеден тұратын жүйе деп аталады.

Жүктің массасы $m$, серіппенің серпімділік коэффициенті $k$ деп алайық. Мұндай маятниктегі серіппенің массасы әдетте есепке алынбайды. Егер жүктің көлденең қозғалыстарын қарастырсақ (1-сурет), онда ол серпімділік күшінің әсерінен қозғалады, егер жүйе тепе-теңдіктен шығарылып, өз бетінше қалдырылады. Бұл жағдайда үйкеліс күштерін елемеуге болатынына жиі сенеді.

Серіппелі маятниктің тербеліс теңдеулері

Гармоникалық осциллятордың мысалы ретінде еркін тербелетін серіппелі маятник табылады. Ол Х осі бойымен тербелсін, егер тербелістер аз болса, Гук заңы орындалады, онда жүктің қозғалыс теңдеуін былай жазамыз:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\оң),\]

мұндағы $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ серіппелі маятниктің тербелістерінің циклдік жиілігі. (4) теңдеудің шешімі келесі түрдегі синус немесе косинус функциясы болып табылады:

мұндағы $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ серіппелі маятниктің тербелістерінің циклдік жиілігі, $A$ - тербеліс амплитудасы; $((\omega )_0t+\varphi)$ - тербеліс фазасы; $\varphi $ және $(\varphi )_1$ тербелістердің бастапқы фазалары болып табылады.

Серіппелі маятниктің тербеліс жиілігі

(3) және $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$ формулаларынан серіппелі маятниктің тербеліс жиілігі мынаған тең болады:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\оң).\]

(6) формула жарамды, егер:

• маятниктегі серіппе салмақсыз болып саналады;
• серіппеге бекітілген жүктеме абсолютті қатты дене болып табылады;
• бұралу тербелістері жоқ.

(6) өрнекте серіппелі маятниктің тербеліс жиілігі жүктің массасы азайған сайын және серіппенің серпімділік коэффициенті артқан сайын арта түсетінін көрсетеді. Серіппелі маятниктің тербеліс жиілігі амплитудаға тәуелді емес. Егер тербелістер аз болмаса, серіппенің серпімді күші Гук заңына бағынбайтын болса, онда тербеліс жиілігінің амплитудаға тәуелділігі пайда болады.

Шешімі бар есептердің мысалдары

1-мысал

Жаттығу.Серіппелі маятниктің тербеліс периоды $T=5\cdot (10)^(-3)s$. Бұл жағдайда тербеліс жиілігі қандай? Бұл массаның дірілінің циклдік жиілігі қандай?

Шешім.Тербеліс жиілігі тербеліс периодының кері мәні болып табылады, сондықтан есепті шешу үшін мына формуланы қолдану жеткілікті:

\[\nu =\frac(1)(T)\сол(1,1\оң).\]

Қажетті жиілікті есептейік:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \сол(Гц\оң).\]

Циклдік жиілік $\nu$ жиілігімен байланысты:

\[(\омега )_0=2\pi \nu \ \сол(1,2\оң).\]

Циклдік жиілікті есептейік:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\шамамен 1256\ \left(\frac(rad)(s)\оң).\]

Жауап.$1)\ \nu =200$ Гц. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$

2-мысал

Жаттығу.Серпімді серіппеге ілінген жүктің массасы (2-сурет) $\Delta m$ артады, ал жиілігі $n$ есе азаяды. Бірінші жүктің массасы қандай?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\оң).\]

Бірінші жүктеме үшін жиілік мынаған тең болады:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2,2\оң).\]

Екінші жүктеме үшін:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2,2\оң).\]

$(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$ есеп шарттарына сәйкес $\frac((\nu )_1)((\nu )_2 қатынасын табамыз: \frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\Дельта м)( m))=n\ \сол(2,3\оң).$

(2.3) теңдеуден жүктің қажетті массасын алайық. Ол үшін (2.3) өрнектің екі жағын квадраттап, $m$ өрнектеп алайық:

Жауап.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$

Көптеген механизмдердің жұмысы физика мен математиканың қарапайым заңдарына негізделген. Серіппелі маятник туралы түсінік айтарлықтай кең тарады. Мұндай механизм өте кең таралған, өйткені серіппе қажетті функционалдылықты қамтамасыз етеді және автоматты құрылғылардың элементі бола алады. Мұндай құрылғыны, оның жұмыс принципін және басқа да көптеген тармақтарды толығырақ қарастырайық.

Серіппелі маятниктің анықтамалары

Бұрын айтылғандай, серіппелі маятник өте кең таралған. Ерекшеліктердің арасында келесілер бар:

1. Құрылғы салмақ пен серіппенің комбинациясы арқылы ұсынылған, олардың массасы ескерілмеуі мүмкін. Әртүрлі нысандар жүк ретінде әрекет ете алады. Сонымен бірге оған сыртқы күш әсер етуі мүмкін. Жалпы мысал - құбыр жүйесінде орнатылған қауіпсіздік клапанын жасау. Жүктеме серіппеге әртүрлі тәсілдермен бекітіледі. Бұл жағдайда тек қана классикалық бұрандалы нұсқасы қолданылады, ол ең көп қолданылады. Негізгі қасиеттер көбінесе өндірісте қолданылатын материалдың түріне, катушканың диаметріне, дұрыс туралауға және басқа да көптеген нүктелерге байланысты. Сыртқы бұрылыстар жиі жұмыс кезінде үлкен жүктемені қабылдай алатындай етіп жасалады.
2. Деформация басталғанға дейін толық механикалық энергия болмайды. Бұл жағдайда денеге серпімді күш әсер етпейді. Әрбір серіппенің бастапқы ұстанымы бар, ол оны ұзақ уақыт бойы сақтайды. Дегенмен, белгілі бір қаттылыққа байланысты дене бастапқы күйде бекітіледі. Күштің қалай қолданылатыны маңызды. Мысал ретінде оны серіппенің осі бойымен бағыттау керек, өйткені әйтпесе деформация мүмкіндігі және басқа да көптеген мәселелер бар. Әрбір серіппенің өзіндік қысу және ұзарту шегі бар. Бұл жағдайда максималды қысу шиеленіс кезінде жеке бұрылыстар арасындағы алшақтықтың болмауымен ұсынылған, өнімнің қайтымсыз деформациясы пайда болатын сәт бар; Егер сым тым ұзартылған болса, негізгі қасиеттердің өзгеруі орын алады, содан кейін өнім бастапқы күйіне оралмайды.
3. Қарастырылып отырған жағдайда серпімділік күшінің әсерінен тербеліс пайда болады. Ол өте сипатталады үлкен мөлшерескерілуі тиіс ерекшеліктер. Серпімділік әсері бұрылыстардың белгілі бір орналасуы мен өндіріс кезінде қолданылатын материал түріне байланысты қол жеткізіледі. Бұл жағдайда серпімділік күші екі бағытта да әрекет ете алады. Көбінесе қысу орын алады, бірақ созылу да жүзеге асырылуы мүмкін - бәрі нақты жағдайдың сипаттамаларына байланысты.
4. Дененің қозғалыс жылдамдығы айтарлықтай кең диапазонда өзгеруі мүмкін, бәрі әсерге байланысты. Мысалы, серіппелі маятник аспалы жүкті көлденең және тік жазықтықта жылжыта алады. Бағытталған күштің әсері көбінесе тік немесе көлденең орнатуға байланысты.

Жалпы алғанда, серіппелі маятниктің анықтамасы өте жалпы деп айта аламыз. Бұл жағдайда объектінің қозғалыс жылдамдығы әртүрлі параметрлерге, мысалы, түсірілген күштің шамасы мен басқа моменттерге байланысты. Нақты есептеулер алдында диаграмма жасалады:

1. Серіппе бекітілген тірек көрсетілген. Көбінесе оны көрсету үшін артқы штрихпен сызық сызылады.
2. Серіппе схемалық түрде көрсетілген. Ол жиі толқынды сызықпен бейнеленген. Схематикалық дисплейде ұзындық пен диаметрлік көрсеткіш маңызды емес.
3. Денесі де бейнеленген. Ол өлшемдерге сәйкес келмеуі керек, бірақ тікелей бекіту орны маңызды.

Құрылғыға әсер ететін барлық күштерді схемалық түрде көрсету үшін диаграмма қажет. Тек осы жағдайда қозғалыс жылдамдығына, инерцияға және басқа да көптеген аспектілерге әсер ететін барлық нәрсені ескеруге болады.

Серіппелі маятниктер тек есептеулерде немесе әртүрлі есептерді шешуде ғана емес, сонымен қатар тәжірибеде де қолданылады. Алайда мұндай механизмнің барлық қасиеттері қолданыла бермейді.

Мысал ретінде тербелмелі қозғалыстар қажет емес жағдайды келтіруге болады:

1. Құлыптау элементтерін құру.
2. Әртүрлі материалдар мен заттарды тасымалдауға байланысты серіппелі механизмдер.

Серіппелі маятниктің есептеулері ең қолайлы дене салмағын, сондай-ақ серіппе түрін таңдауға мүмкіндік береді. Ол келесі ерекшеліктермен сипатталады:

1. Бұрылыстардың диаметрі. Бұл өте әртүрлі болуы мүмкін. Диаметр негізінен өндіріске қанша материал қажет екенін анықтайды. Катушкалардың диаметрі сонымен қатар толық қысу немесе ішінара созылу үшін қанша күш қолдану керектігін анықтайды. Дегенмен, өлшемді ұлғайту өнімді орнатуда айтарлықтай қиындықтар тудыруы мүмкін.
2. Сымның диаметрі. Тағы бір маңызды параметр - сымның диаметрлік өлшемі. Ол беріктік пен икемділік дәрежесіне байланысты кең ауқымда өзгеруі мүмкін.
3. Өнімнің ұзындығы. Бұл көрсеткіш толық қысу үшін қанша күш қажет екенін, сондай-ақ өнімнің қандай икемділікке ие болуы мүмкін екенін анықтайды.
4. Қолданылатын материалдың түрі негізгі қасиеттерді де анықтайды. Көбінесе серіппе тиісті қасиеттерге ие арнайы қорытпаның көмегімен жасалады.

Математикалық есептеулерде көптеген ұпайлар есепке алынбайды. Серпімділік күші және басқа да көптеген көрсеткіштер есептеу арқылы анықталады.

Серіппелі маятниктердің түрлері

Бірнеше бар әртүрлі түрлерісеріппелі маятник. Жіктеуді орнатылған серіппе түріне қарай жүргізуге болатындығын ескерген жөн. Ерекшеліктер арасында біз атап өтеміз:

1. Тік тербеліс айтарлықтай кең тарады, өйткені бұл жағдайда үйкеліс күші немесе жүкке басқа әсер ету болмайды. Жүктеме тігінен орналастырылған кезде ауырлық күшінің әсер ету дәрежесі айтарлықтай артады. Бұл орындау опциясы әртүрлі есептеулерді орындау кезінде кең таралған. Ауырлық күшінің әсерінен бастапқы нүктедегі дененің көптеген инерциялық қозғалыстар жасау мүмкіндігі бар. Бұған инсульттің соңында дененің серпімділігі мен инерциясы да ықпал етеді.
2. Көлденең серіппелі маятник де қолданылады. Бұл жағдайда жүктеме тірек бетінде болады және үйкеліс қозғалыс кезінде де пайда болады. Көлденең орналасқанда ауырлық күші біршама басқаша жұмыс істейді. Дененің көлденең орналасуы әртүрлі тапсырмаларда кең таралған.

Серіппелі маятниктің қозғалысын барлық күштердің әсерін ескеру қажет жеткілікті көп санды әртүрлі формулалар арқылы есептеуге болады. Көп жағдайда классикалық серіппе орнатылады. Ерекшеліктер арасында біз мыналарды атап өтеміз:

1. Классикалық ширатылған қысу серіппесі бүгінгі күні өте кең таралған. Бұл жағдайда бұрылыстар арасында бос орын бар, ол қадам деп аталады. Сығымдау серіппесі созылуы мүмкін, бірақ көбінесе бұл үшін орнатылмайды. Айырықша ерекшелігі - соңғы бұрылыстар күштің біркелкі таралуын қамтамасыз ететін ұшақ түрінде жасалады.
2. Созылған нұсқасын орнатуға болады. Ол қолданылған күш ұзындықтың ұлғаюына әкелетін жағдайларда орнатуға арналған. Бекіту үшін ілмектер орналастырылған.

Нәтижесінде ұзақ уақытқа созылуы мүмкін тербеліс пайда болады. Жоғарыда келтірілген формула барлық нүктелерді ескере отырып, есептеуді жүргізуге мүмкіндік береді.

Серіппелі маятниктің тербеліс периоды мен жиілігінің формулалары

Негізгі көрсеткіштерді жобалау және есептеу кезінде тербеліс жиілігі мен кезеңіне де көп көңіл бөлінеді. Косинус – периодтық функция, ол белгілі бір уақыт кезеңінен кейін өзгермейтін мәнді қолданады. Бұл көрсеткіш серіппелі маятниктің тербеліс периоды деп аталады. Бұл көрсеткішті белгілеу үшін Т әрпі тербеліс кезеңіне (v) кері мәнді сипаттайтын ұғым да жиі қолданылады. Көп жағдайда есептеулерде T=1/v формуласы қолданылады.

Тербеліс периоды біршама күрделі формула арқылы есептеледі. Ол келесідей: T=2п√m/k. Тербеліс жиілігін анықтау үшін мына формула қолданылады: v=1/2п√k/m.

Серіппелі маятниктің қарастырылатын циклдік тербеліс жиілігі келесі нүктелерге байланысты:

1. Серіппеге бекітілген жүктің массасы. Бұл көрсеткіш ең маңызды болып саналады, өйткені ол әртүрлі параметрлерге әсер етеді. Инерция күші, жылдамдық және басқа да көптеген көрсеткіштер массаға байланысты. Сонымен қатар, жүктің массасы - бұл арнайы өлшеу құралдарының болуына байланысты өлшеуі ешқандай қиындық тудырмайтын шама.
2. Серпімділік коэффициенті. Әрбір көктем үшін бұл көрсеткіш айтарлықтай ерекшеленеді. Серіппенің негізгі параметрлерін анықтау үшін серпімділік коэффициенті көрсетілген. Бұл параметр бұрылыстардың санына, өнімнің ұзындығына, бұрылыстар арасындағы қашықтыққа, олардың диаметріне және тағы басқаларға байланысты. Ол әртүрлі тәсілдермен анықталады, көбінесе арнайы жабдықты пайдаланады.

Серіппе қатты созылған кезде Гук заңы қолданысын тоқтататынын ұмытпаңыз. Бұл жағдайда серіппелі тербеліс периоды амплитудаға тәуелді бола бастайды.

Уақыттың әмбебап бірлігі, көп жағдайда секунд, периодты өлшеу үшін қолданылады. Көп жағдайда тербеліс амплитудасы әртүрлі есептерді шешу кезінде есептеледі. Процесті жеңілдету үшін негізгі күштерді көрсететін жеңілдетілген диаграмма құрастырылады.

Серіппелі маятниктің амплитудасы мен бастапқы фазасының формулалары

Қатысқан процестердің ерекшеліктерін шешіп, серіппелі маятниктің тербеліс теңдеуін, сондай-ақ бастапқы мәндерін біле отырып, сіз серіппелі маятниктің амплитудасы мен бастапқы фазасын есептей аласыз. Бастапқы фазаны анықтау үшін f мәні пайдаланылады, ал амплитудасы А символымен белгіленеді.

Амплитуданы анықтау үшін мына формуланы қолдануға болады: A = √x 2 +v 2 /w 2. Бастапқы фаза мына формула бойынша есептеледі: tgf=-v/xw.

Осы формулаларды пайдалана отырып, есептеулерде қолданылатын негізгі параметрлерді анықтауға болады.

Серіппелі маятниктің тербеліс энергиясы

Серіппедегі жүктің тербелісін қарастырғанда маятниктің қозғалысын екі нүкте арқылы сипаттауға болатынын, яғни оның табиғаты түзу сызықты екенін ескеру керек. Бұл сәт қарастырылып отырған күшке қатысты шарттардың орындалуын анықтайды. Жалпы энергияны потенциал деп айта аламыз.

Серіппелі маятниктің тербеліс энергиясын барлық ерекшеліктерін ескере отырып есептеуге болады. Негізгі тармақтар мыналар:

1. Тербеліс көлденең және тік жазықтықта болуы мүмкін.
2. Тепе-теңдік күйі ретінде нөлдік потенциалдық энергия таңдалады. Дәл осы жерде координаттардың шығу тегі белгіленеді. Әдетте, бұл күйде серіппе деформациялаушы күш болмаған жағдайда өз пішінін сақтайды.
3. Қарастырылып отырған жағдайда серіппелі маятниктің есептелген энергиясы үйкеліс күшін есепке алмайды. Жүк тік болған кезде үйкеліс күші шамалы, жүк көлденең болған кезде дене бетінде болады және қозғалыс кезінде үйкеліс пайда болуы мүмкін.
4. Тербеліс энергиясын есептеу үшін келесі формула қолданылады: E=-dF/dx.

Жоғарыда келтірілген мәліметтер энергияның сақталу заңының келесідей екенін көрсетеді: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. Пайдаланылған формула мынаны айтады:

Әртүрлі есептерді шығарғанда серіппелі маятниктің тербеліс энергиясын анықтауға болады.

Серіппелі маятниктің еркін тербелістері

Серіппелі маятниктің еркін тербелісіне не себеп болатынын қарастырған кезде ішкі күштердің әрекетіне назар аудару керек. Олар қозғалыс денеге ауысқаннан кейін бірден қалыптаса бастайды. Гармоникалық тербелістердің ерекшеліктеріне келесі нүктелер жатады:

1. Заңның барлық нормаларын қанағаттандыратын, квазисерпімді деп аталатын әсер етуші сипаттағы күштердің басқа түрлері де пайда болуы мүмкін.
2. Заңның әсер етуінің негізгі себептері болуы мүмкін ішкі күштер, олар дененің кеңістіктегі орнын өзгерту сәтінде бірден қалыптасады. Бұл жағдайда жүктің белгілі бір массасы бар, күш бір ұшын жеткілікті беріктігі бар қозғалмайтын затқа, екіншісін жүктің өзіне бекіту арқылы жасалады. Үйкеліс болмаса, дене тербелмелі қозғалыстарды жасай алады. Бұл жағдайда бекітілген жүктеме сызықтық деп аталады.

Тербелмелі қозғалыс пайда болатын жүйелердің әртүрлі типтерінің өте көп саны бар екенін ұмытпау керек. Сондай-ақ оларда серпімді деформация пайда болады, бұл оларды кез келген жұмысты орындау үшін пайдаланудың себебі болады.