Логарифмдік туынды. Көрсеткіштік дәреже функциясының дифференциалдануы

Күрделі туындылар. Логарифмдік туынды.
Дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысы

Біз саралау техникасын жетілдіруді жалғастырамыз. Бұл сабақта біз өткен материалды бекітеміз, күрделірек туындыларды қарастырамыз, сонымен қатар туындыны, атап айтқанда, логарифмдік туындыны табудың жаңа әдістерімен және амалдарымен танысамыз.

Дайындығы төмен оқырмандар мақалаға жүгінуі керек Туындыны қалай табуға болады? Шешімдердің мысалдары, бұл сіздің дағдыларыңызды нөлден дерлік арттыруға мүмкіндік береді. Әрі қарай, сіз бетті мұқият зерделеуіңіз керек Күрделі функцияның туындысы, түсіну және шешу Барлығымен келтірген мысалдар. Бұл сабақ логикалық тұрғыдан үшінші қатарынан болып табылады және оны меңгергеннен кейін сіз сенімді түрде жеткілікті түрде ажырата аласыз күрделі функциялар. «Тағы қайда? Иә, бұл жеткілікті », өйткені барлық мысалдар мен шешімдер нақтыдан алынған сынақтаржәне тәжірибеде жиі кездеседі.

Қайталаудан бастайық. Сыныпта Күрделі функцияның туындысыБіз егжей-тегжейлі түсініктемелері бар бірқатар мысалдарды қарастырдық. Дифференциалдық есептеулерді және басқа бөлімдерді оқу кезінде математикалық талдау– сіз өте жиі ажыратуға тура келеді және мысалдарды егжей-тегжейлі сипаттау әрқашан ыңғайлы емес (және әрқашан қажет емес). Сондықтан туынды сөздерді ауызша табуға жаттығамыз. Бұл үшін ең қолайлы «үміткерлер» ең қарапайым күрделі функциялардың туындылары болып табылады, мысалы:

Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесі бойынша :

Болашақта басқа матан тақырыптарын оқығанда, мұндай егжей-тегжейлі жазу көбінесе талап етілмейді, студент мұндай туындыларды автопилотта қалай табуға болатынын біледі деп болжанады; Елестетіп көрейікші, түнгі сағат 3-те телефон шырылдап, жағымды дауыс: «Екі Х-ның жанамасының туындысы қандай?» деп сұрады. Осыдан кейін бірден және сыпайы жауап болуы керек: .

Бірінші мысал бірден арналады тәуелсіз шешім.

1-мысал

Мына туынды сөздерді ауызша, бір қимылда табыңыз, мысалы: . Тапсырманы орындау үшін сізге тек пайдалану керек элементар функциялардың туындыларының кестесі(егер сіз әлі есіңізде болмаса). Егер сізде қандай да бір қиындықтар болса, мен сабақты қайта оқуды ұсынамын Күрделі функцияның туындысы.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Сабақтың соңындағы жауаптар

Күрделі туындылар

Алдын ала артиллериялық дайындықтан кейін функциялардың 3-4-5 ұялары бар мысалдар аз қорқынышты болады. Төмендегі екі мысал кейбіреулерге күрделі болып көрінуі мүмкін, бірақ егер сіз оларды түсінсеңіз (біреу зардап шегеді), дифференциалды есептеудегі қалғанның барлығы дерлік баланың әзіліндей болып көрінеді.

2-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Жоғарыда айтылғандай, күрделі функцияның туындысын табу кезінде, ең алдымен, қажет ДұрысИнвестицияларыңызды түсініңіз. Күмән туындаған жағдайда, мен сізге пайдалы әдісті еске саламын: біз, мысалы, «x» эксперименттік мәнін аламыз және ауыстыруға тырысамыз (ойша немесе жобада) берілген мән«қорқынышты өрнекке» айналды.

1) Алдымен біз өрнекті есептеуіміз керек, яғни қосынды ең терең ендірілген.

2) Содан кейін логарифмді есептеу керек:

4) Содан кейін косинусты текшеге келтіріңіз:

5) Бесінші қадамда айырмашылық:

6) Ақырында, ең сыртқы функция болып табылады шаршы түбір:

Күрделі функцияны дифференциалдау формуласы жылы қолданылатын болады кері тәртіп, ең сыртқы функциядан ең ішкіге дейін. Біз шешеміз:

Ешқандай қате жоқ сияқты...

(1) Квадрат түбірдің туындысын алыңыз.

(2) Ережені пайдаланып айырманың туындысын аламыз

(3) Үштіктің туындысы нөлге тең. Екінші мүшеде дәреженің туындысын аламыз (куб).

(4) Косинустың туындысын алыңдар.

(5) Логарифмнің туындысын алыңыз.

(6) Соңында біз ең терең енгізудің туындысын аламыз.

Бұл тым қиын болып көрінуі мүмкін, бірақ бұл ең қатыгез мысал емес. Мысалы, Кузнецовтың коллекциясын алсаңыз, талданған туындының барлық сұлулығы мен қарапайымдылығын бағалайсыз. Студенттің күрделі функцияның туындысын қалай табуға болатынын түсінетінін немесе түсінбегенін тексеру үшін емтиханда ұқсас нәрсені бергенді ұнататынын байқадым.

Келесі мысал сізге өз бетінше шешуге арналған.

3-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Нұсқау: Алдымен сызықтық ережелер мен өнімді дифференциалдау ережесін қолданамыз

Толық шешімжәне сабақтың соңында жауап береді.

Кішкентай және жақсырақ нәрсеге көшудің уақыты келді.
Мысалда екі емес, үш функцияның туындысын көрсету сирек емес. туындысын қалай табуға болады үш өнімкөбейткіштер?

4-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Алдымен қарастырайық, үш функцияның туындысын екі функцияның көбейтіндісіне айналдыруға бола ма? Мысалы, көбейтіндіде екі көпмүше болса, жақшаларды аша аламыз. Бірақ қарастырылып отырған мысалда барлық функциялар әртүрлі: дәреже, көрсеткіш және логарифм.

Мұндай жағдайларда қажет ретіменөнімді саралау ережесін қолданыңыз екі рет

Оның айласы мынада: «y» арқылы біз екі функцияның туындысын белгілейміз: , ал «ve» арқылы логарифмді белгілейміз: . Неліктен мұны істеуге болады? Шынымен солай ма – бұл екі фактордың туындысы емес және ереже жұмыс істемейді?! Күрделі ештеңе жоқ:

Енді ережені екінші рет қолдану қалды жақшаға:

Сіз сондай-ақ бұралып, жақшалардан бірдеңе алуға болады, бірақ бұл жағдайда жауапты дәл осы пішінде қалдырған дұрыс - тексеру оңайырақ болады.

Қарастырылған мысалды екінші жолмен шешуге болады:

Екі шешім де абсолютті эквивалент.

5-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл бірінші әдіс арқылы шешілетін үлгідегі тәуелсіз шешімнің мысалы;

Бөлшектермен ұқсас мысалдарды қарастырайық.

6-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда барудың бірнеше жолы бар:

Немесе келесідей:

Бірақ егер алдымен бөліндіні дифференциалдау ережесін қолдансақ, шешім ықшамырақ жазылады , бүкіл алым үшін:

Негізінде, мысал шешілді, егер ол сол күйінде қалдырылса, ол қате болмайды. Бірақ егер сізде уақыт болса, жауапты оңайлатуға болатынын білу үшін әрқашан жобаны тексерген жөн бе? Алым өрнекті ортақ бөлімге келтірейік және үш қабатты бөлшектен арылайық:

Қосымша жеңілдетулердің кемшілігі - туындыны табу кезінде емес, мектептегі банальды түрлендірулер кезінде қателесу қаупі бар. Екінші жағынан, мұғалімдер көбінесе тапсырманы қабылдамайды және туындыны «еске түсіруді» сұрайды.

Өз бетіңізше шешуге қарапайым мысал:

7-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Біз туындыны табу әдістерін меңгеруді жалғастырамыз, енді дифференциалдау үшін «қорқынышты» логарифм ұсынылған кездегі типтік жағдайды қарастырамыз.

8-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда күрделі функцияны саралау ережесін қолдана отырып, ұзақ жол жүруге болады:

Бірақ ең бірінші қадам сізді бірден үмітсіздікке душар етеді - сіз жағымсыз туындыны бөлшек дәрежеден, содан кейін бөлшектен алуыңыз керек.

Сондықтан бұрын«Күрделі» логарифмнің туындысын қалай алуға болады, ол алдымен белгілі мектеп қасиеттерін пайдаланып оңайлатылады:

! Қолыңызда жаттығу дәптері болса, осы формулаларды тікелей сол жерге көшіріңіз. Егер сізде дәптер болмаса, оларды қағазға көшіріңіз, өйткені сабақтың қалған мысалдары осы формулалардың айналасында болады.

Шешімнің өзі келесідей жазылуы мүмкін:

Функцияны түрлендірейік:

Туындыны табу:

Функцияны алдын ала түрлендірудің өзі шешімді айтарлықтай жеңілдетті. Осылайша, дифференциация үшін ұқсас логарифм ұсынылған кезде, оны әрқашан «бөліп тастау» ұсынылады.

Енді өзіңіз шешуге болатын бірнеше қарапайым мысал:

9-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

10-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Барлық түрлендірулер мен жауаптар сабақтың соңында.

Логарифмдік туынды

Егер логарифмдердің туындысы осындай тәтті музыка болса, онда сұрақ туындайды: кейбір жағдайларда логарифмді жасанды түрде ұйымдастыруға болады ма? Болады! Және тіпті қажет.

11-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Жақында біз ұқсас мысалдарды қарастырдық. Не істеу керек? Бөліндіні дифференциалдау ережесін, содан кейін көбейтіндіні дифференциалдау ережесін ретімен қолдануға болады. Бұл әдістің кемшілігі - сіз үш қабатты үлкен фракцияға ие боласыз, онымен мүлдем айналысқыңыз келмейді.

Бірақ теория мен тәжірибеде логарифмдік туынды сияқты керемет нәрсе бар. Логарифмдерді екі жағынан «ілу» арқылы жасанды түрде ұйымдастыруға болады:

Ескерту : өйткені функция теріс мәндерді қабылдауы мүмкін, содан кейін, жалпы айтқанда, модульдерді пайдалану керек: , ол дифференциация нәтижесінде жойылады. Дегенмен, қазіргі дизайн да қолайлы, мұнда әдепкі бойынша ол ескеріледі кешенмағыналары. Бірақ егер қатаң болса, онда екі жағдайда да ескертпе жасау керек.

Енді оң жақтың логарифмін мүмкіндігінше «үзу» керек (көз алдыңыздағы формулалар?). Мен бұл процесті егжей-тегжейлі сипаттаймын:

Дифференциациядан бастайық.
Екі бөлікті де аяқтаймыз:

Оң жақтың туындысы өте қарапайым, мен оған түсініктеме бермеймін, өйткені егер сіз бұл мәтінді оқып жатсаңыз, оны сенімді түрде өңдеуіңіз керек.

Сол жағы ше?

Сол жағында бізде күрделі функция. Мен: «Неге, логарифмнің астында бір «Y» әрпі бар ма?» деген сұрақты алдын ала білемін.

Бұл «бір әріп ойыны» - ӨЗІ ФУНКЦИЯ(егер ол өте анық болмаса, жанама түрде көрсетілген функцияның туындысы мақаласын қараңыз). Демек, логарифм сыртқы функция, ал «y» ішкі функция. Ал күрделі функцияны дифференциалдау үшін ережені қолданамыз :

Сол жағында, сиқырлы сияқты сиқырлы таяқшабізде туынды бар. Әрі қарай, пропорция ережесіне сәйкес, біз «y» таңбасын сол жақтың бөлгішінен оң жақтың жоғарғы жағына ауыстырамыз:

Ал енді дифференциация кезінде қандай «ойыншы» функциясы туралы айтқанымызды еске түсірейік? Шартты қарастырайық:

Соңғы жауап:

12-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Осы үлгідегі үлгі дизайны сабақтың соңында берілген.

Логарифмдік туындының көмегімен №4-7 мысалдардың кез келгенін шешуге болады, тағы бір нәрсе, ондағы функциялар қарапайымырақ, мүмкін логарифмдік туындыны қолдану өте дұрыс емес.

Дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысы

Біз бұл функцияны әлі қарастырған жоқпыз. Дәрежелік-көрсеткіштік функция - бұл функция дәрежесі де, базасы да «х»-қа тәуелді. Кез келген оқулықта немесе дәрісте сізге берілетін классикалық мысал:

Дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысын қалай табуға болады?

Жаңа ғана талқыланған әдістемені - логарифмдік туындыны қолдану қажет. Логарифмдерді екі жағына іліп қоямыз:

Әдетте, оң жақта логарифмнің астынан градус алынады:

Нәтижесінде оң жақта бізде екі функцияның туындысы бар, олар арқылы сараланады стандартты формула .

Мұны істеу үшін туындыны табамыз, біз екі бөлікті штрихтар астына қосамыз:

Қосымша әрекеттер қарапайым:

Соңында:

Егер қандай да бір түрлендіру толық түсініксіз болса, №11 мысалдың түсіндірмелерін мұқият оқып шығыңыз.

IN практикалық тапсырмаларДәрежелік-көрсеткіштік функция әрқашан дәрісте талқыланған мысалға қарағанда күрделірек болады.

13-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Логарифмдік туындыны қолданамыз.

Оң жақта тұрақты шама және екі фактордың көбейтіндісі бар - «x» және «х логарифмінің логарифмі» (басқа логарифм логарифм астында орналасқан). Дифференциалдау кезінде, есімізде қалғандай, тұрақтыны бірден туынды таңбадан шығарған дұрыс, ол кедергі жасамас үшін; және, әрине, біз таныс ережені қолданамыз :

Дифференциациялау кезінде ол индикативті болып табылады қуат функциясынемесе көлемді бөлшек өрнектерЛогарифмдік туындыны қолдану ыңғайлы. Бұл мақалада біз оны егжей-тегжейлі шешімдермен қолдану мысалдарын қарастырамыз.

Әрі қарай презентация туындылар кестесін, дифференциалдау ережелерін және күрделі функцияның туындысының формуласын білуді пайдалана білуді болжайды.

Логарифмдік туындының формуласын шығару.

Алдымен логарифмдерді e негізіне аламыз, логарифмнің қасиеттерін пайдалана отырып, функцияның формасын жеңілдетеміз, содан кейін жасырын көрсетілген функцияның туындысын табамыз:

Мысалы, дәрежелік х функциясының х дәрежесіне туындысын табайық.

Логарифмдерді алу . Логарифмнің қасиеттері бойынша. Теңдіктің екі жағын да саралау нәтижеге әкеледі:

Жауап: .

Сол мысалды логарифмдік туындыны қолданбай-ақ шешуге болады. Кейбір түрлендірулерді орындауға және экспоненциалды дәреже функциясын дифференциалдаудан күрделі функцияның туындысын табуға өтуге болады:

Мысал.

Функцияның туындысын табыңыз .

Шешім.

Бұл мысалда функция бөлшек болып табылады және оның туындысын дифференциалдау ережелері арқылы табуға болады. Бірақ өрнектің ауырлығына байланысты бұл көптеген өзгерістерді қажет етеді. Мұндай жағдайларда логарифмдік туынды формуланы қолданған дұрыс . Неліктен? Енді түсінесіз.

Алдымен тауып алайық. Түрлендірулерде логарифмнің (бөлшек логарифмінің) қасиеттерін қолданамыз айырмашылығына теңлогарифмдер және туындының логарифмі сомасына теңлогарифмдерді, сондай-ақ логарифм таңбасының астындағы өрнек дәрежесін логарифм алдындағы коэффициент ретінде шығаруға болады):

Бұл түрлендірулер бізді әбден жетеледі қарапайым өрнек, оның туындысын оңай табуға болады:

Алынған нәтижені логарифмдік туындының формуласына ауыстырамыз және жауапты аламыз:

Материалды бекіту үшін біз егжей-тегжейлі түсіндірместен тағы бірнеше мысал келтіреміз.

Мысал.

Көрсеткіштік дәреже функциясының туындысын табыңыз

Кестенің ең бірінші формуласын шығарғанда, біз нүктедегі туынды функцияның анықтамасынан шығамыз. Қайдан алайық x– кез келген нақты сан, яғни, x– функцияның анықталу облысындағы кез келген сан. Функция өсімінің аргумент өсіміне қатынасының шегін мына жерде жазайық:

Шектеу белгісінің астында нөлдің нөлге бөлінуінің белгісіздігі емес өрнек алынғанын ескеру керек, өйткені алымда шексіз аз мән жоқ, дәл нөл болады. Басқаша айтқанда, тұрақты функцияның өсімі әрқашан нөлге тең болады.

Осылайша, тұрақты функцияның туындысыанықтаудың барлық аймағында нөлге тең.

Дәрежелік функцияның туындысы.

Дәрежелік функцияның туындысының формуласы пішінге ие , мұндағы көрсеткіш б– кез келген нақты сан.

Алдымен натурал көрсеткіштің, яғни үшін формуласын дәлелдеп алайық p = 1, 2, 3, …

Туынды анықтамасын қолданамыз. Дәрежелік функцияның өсімшесінің аргумент өсіміне қатынасының шегін жазайық:

Алымдағы өрнекті жеңілдету үшін Ньютон биномдық формуласына жүгінеміз:

Демек,

Бұл натурал көрсеткіш үшін дәрежелік функцияның туындысының формуласын дәлелдейді.

Көрсеткіштік функцияның туындысы.

Анықтамаға негізделген туынды формуланың туындысын ұсынамыз:

Біз белгісіздікке жеттік. Оны кеңейту үшін біз жаңа айнымалыны енгіземіз және -де. Содан кейін. Соңғы көшуде біз жаңа логарифмдік негізге көшу формуласын қолдандық.

Бастапқы шекке ауыстырайық:

Екінші керемет шекті еске түсірсек, көрсеткіштік функцияның туындысының формуласына келеміз:

Логарифмдік функцияның туындысы.

Барлығы үшін логарифмдік функцияның туындысының формуласын дәлелдеп көрейік xанықтау доменінен және базаның барлық жарамды мәндерінен алогарифм Туынды анықтамасы бойынша бізде:

Өздеріңіз байқағандай, дәлелдеу кезінде логарифмнің қасиеттері арқылы түрлендірулер жүргізілді. Теңдік екінші керемет шегіне байланысты дұрыс.

Тригонометриялық функциялардың туындылары.

Тригонометриялық функциялардың туындыларының формулаларын шығару үшін біз кейбір тригонометрия формулаларын, сондай-ақ бірінші тамаша шекті еске түсіруіміз керек.

Синус функциясының туындысының анықтамасы бойынша бізде бар .

Синустардың айырымы формуласын қолданайық:

Бірінші керемет шекке көшу қалады:

Осылайша, функцияның туындысы күнә xСонда бар cos x.

Косинустың туындысының формуласы дәл осылай дәлелденген.

Демек, функцияның туындысы cos xСонда бар – sin x.

Дәлелденген дифференциалдау ережелерін (бөлшек туындысы) пайдалана отырып, тангенс пен котангенс үшін туындылар кестесінің формулаларын шығарамыз.

Гиперболалық функциялардың туындылары.

Дифференциалдау ережелері және туындылар кестесінен көрсеткіштік функцияның туындысының формуласы гиперболалық синусының, косинусының, тангенстің және котангенстің туындыларының формулаларын шығаруға мүмкіндік береді.

Кері функцияның туындысы.

Презентация кезінде шатастырмау үшін дифференциалдау орындалатын функцияның аргументін төменгі таңбамен белгілейік, яғни ол функцияның туындысы f(x)Авторы x.

Енді тұжырымдап көрейік кері функцияның туындысын табу ережесі.

Функцияларға рұқсат етіңіз y = f(x)Және x = g(y)өзара кері, аралықтарда және сәйкесінше анықталады. Егер нүктеде функцияның соңғы нөлдік емес туындысы болса f(x), онда нүктеде кері функцияның ақырлы туындысы болады g(y), және . Басқа постта .

Бұл ережені кез келген адам үшін қайта құруға болады xинтервалынан , содан кейін аламыз .

Осы формулалардың дұрыстығын тексерейік.

Біз табамыз кері функциянатурал логарифм үшін (Мұнда жфункциясы болып табылады және x- аргумент). Бұл теңдеуді шешу үшін x, біз аламыз (мұнда xфункциясы болып табылады және ж– оның дәлелі). Яғни, және өзара кері функциялар.

Туындылар кестесінен біз мұны көреміз Және .

Кері функцияның туындыларын табу формулалары бізді бірдей нәтижелерге әкелетініне көз жеткізейік:

Көріп отырғаныңыздай, біз туындылар кестесіндегідей нәтиже алдық.

Енді бізде кері тригонометриялық функциялардың туындыларының формулаларын дәлелдейтін білім бар.

Арксинустың туындысынан бастайық.

. Содан кейін кері функцияның туындысының формуласын қолданып, аламыз

Трансформацияларды жүзеге асыру ғана қалады.

Арксинус диапазоны интервал болғандықтан , Бұл (негізгі элементар функциялар, олардың қасиеттері және графиктері бөлімін қараңыз). Сондықтан біз оны қарастырмаймыз.

Демек, . Арксинус туындысының анықталу облысы интервал болып табылады (-1; 1) .

Доғалық косинус үшін бәрі дәл осылай жасалады:

Арктангенстің туындысын табайық.

Кері функция үшін .

Алынған өрнекті жеңілдету үшін арктангенсті арккосинуспен өрнектеп көрейік.

Болсын arctgx = z, Содан кейін

Демек,

Доға котангенсінің туындысы ұқсас жолмен табылады:

Есте сақтау өте оңай.

Ал, алысқа бармай-ақ, бірден кері функцияны қарастырайық. Қандай функция көрсеткіштік функцияға кері функция? Логарифм:

Біздің жағдайда негіз сан болып табылады:

Мұндай логарифм (яғни негізі бар логарифм) «табиғи» деп аталады және біз ол үшін арнайы белгілерді қолданамыз: орнына жазамыз.

Ол неге тең? Әрине.

Натурал логарифмнің туындысы да өте қарапайым:

Мысалдар:

1. Функцияның туындысын табыңыз.
2. Функцияның туындысы дегеніміз не?

Жауаптары: Көрмеге қатысушы және табиғи логарифм- функциялар туындылары жағынан ерекше қарапайым. Кез келген басқа базасы бар көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың басқа туындысы болады, біз оны кейінірек талдаймыз. ережелерімен өтейікдифференциация.

Дифференциация ережелері

Ненің ережелері? Тағы да жаңа термин, тағы?!...

Дифференциациятуындыны табу процесі болып табылады.

Бар болғаны. Бұл процесті бір сөзбен тағы қалай атауға болады? Туынды емес... Математиктер дифференциалды функцияның бірдей өсімі деп атайды. Бұл термин латын тіліндегі дифференция – айырмашылық сөзінен шыққан. Мұнда.

Осы ережелердің барлығын шығарған кезде біз екі функцияны қолданамыз, мысалы, және. Бізге олардың өсімдері үшін формулалар қажет болады:

Барлығы 5 ереже бар.

Тұрақты шама туынды таңбадан алынады.

Егер - кейбір тұрақты сан (тұрақты), онда.

Әлбетте, бұл ереже айырмашылық үшін де жұмыс істейді: .

Дәлелдейік. Бұл болсын, немесе қарапайымырақ.

Мысалдар.

Функциялардың туындыларын табыңыз:

1. нүктеде;
2. нүктеде;
3. нүктеде;
4. нүктесінде.

Шешімдер:

1. (туынды барлық нүктелерде бірдей, өйткені бұл сызықтық функция, есіңізде ме?);

Өнімнің туындысы

Мұнда бәрі ұқсас: жаңа функцияны енгізіп, оның өсімін табайық:

Туынды:

Мысалдар:

1. және функцияларының туындыларын табыңыз;
2. Функцияның нүктедегі туындысын табыңыз.

Шешімдер:

Көрсеткіштік функцияның туындысы

Енді сіздің біліміңіз көрсеткішті ғана емес, кез келген экспоненциалды функцияның туындысын табуды үйрену үшін жеткілікті (сіз оның не екенін әлі ұмыттыңыз ба?).

Сонымен, қай сан.

Біз функцияның туындысын бұрыннан білеміз, сондықтан функциямызды жаңа негізге келтіруге тырысайық:

Ол үшін қарапайым ережені қолданамыз: . Содан кейін:

Жақсы, бұл жұмыс істеді. Енді туындыны табуға тырысыңыз және бұл функция күрделі екенін ұмытпаңыз.

Бұл жұмыс істеді ме?

Міне, өзіңізді тексеріңіз:

Формула дәреже көрсеткішінің туындысына өте ұқсас болып шықты: бұрынғыдай, ол өзгеріссіз қалады, тек қана фактор пайда болды, ол жай ғана сан, бірақ айнымалы емес.

Мысалдар:
Функциялардың туындыларын табыңыз:

Жауаптары:

Бұл калькуляторсыз есептелмейтін сан, яғни оны бұдан былай жазу мүмкін емес. қарапайым түрде. Сондықтан жауапта оны осы формада қалдырамыз.

Назар аударыңыз, мұнда екі функцияның бөлігі берілген, сондықтан біз сәйкес дифференциалдау ережесін қолданамыз:

Бұл мысалда екі функцияның туындысы:

Логарифмдік функцияның туындысы

Бұл жерде ұқсас: сіз табиғи логарифмнің туындысын білесіз:

Сондықтан, басқа негізі бар ерікті логарифмді табу үшін, мысалы:

Біз бұл логарифмді негізге келтіруіміз керек. Логарифмнің негізін қалай өзгертуге болады? Бұл формуланы есте сақтайсыз деп үміттенемін:

Оның орнына енді ғана жазамыз:

Бөлгіш жай ғана тұрақты (айнымалысы жоқ тұрақты сан). Туынды өте қарапайым түрде алынады:

Көрсеткіштік және туындылары логарифмдік функцияларБірыңғай мемлекеттік емтиханда ешқашан көрінбейді, бірақ оларды білу зиян тигізбейді.

Күрделі функцияның туындысы.

«Күрделі функция» дегеніміз не? Жоқ, бұл логарифм емес, арктангенс емес. Бұл функцияларды түсіну қиын болуы мүмкін (бірақ сіз логарифмді қиын деп тапсаңыз, «Логарифмдер» тақырыбын оқып шығыңыз және сіз жақсы боласыз), бірақ математикалық тұрғыдан «күрделі» сөзі «қиын» дегенді білдірмейді.

Кішкентай конвейерді елестетіңіз: екі адам отырады және кейбір заттармен кейбір әрекеттерді жасайды. Мысалы, біріншісі шоколадты қаптамаға орап, екіншісі оны таспамен байлайды. Нәтиже – композициялық нысан: лентамен оралған және байланған шоколадты батончик. Шоколадты жеу үшін кері әрекеттерді кері ретпен орындау керек.

Ұқсас математикалық құбырды құрайық: алдымен санның косинусын табамыз, содан кейін алынған санның квадратын аламыз. Сонымен, бізге сан (шоколад) беріледі, мен оның косинусын (орауын) табамын, сосын менің алғанымды шаршылайсың (лентамен байлаңыз). Не болды? Функция. Бұл күрделі функцияның мысалы: оның мәнін табу үшін біз бірінші әрекетті тікелей айнымалымен орындаймыз, содан кейін бірінші әрекеттің нәтижесімен екінші әрекетті орындаймыз.

Басқаша айтқанда, күрделі функция - аргументі басқа функция болатын функция: .

Біздің мысал үшін, .

Біз бірдей қадамдарды кері ретпен оңай жасай аламыз: алдымен сіз оны квадраттайсыз, содан кейін алынған санның косинусын іздеймін: . Нәтиже әрдайым дерлік басқаша болатынын болжау оңай. Күрделі функциялардың маңызды белгісі: әрекеттер реті өзгергенде, функция да өзгереді.

Екінші мысал: (сол нәрсе). .

Соңғы орындайтын әрекетіміз шақырылады «сыртқы» функция, ал бірінші орындалатын әрекет – сәйкесінше «ішкі» функция(бұл бейресми атаулар, мен оларды материалды қарапайым тілмен түсіндіру үшін ғана қолданамын).

Қандай функция сыртқы, қайсысы ішкі екенін өзіңіз анықтап көріңіз:

Жауаптары:Ішкі және сыртқы функцияларды бөлу айнымалыларды өзгертуге өте ұқсас: мысалы, функцияда

1. Алдымен қандай әрекетті орындаймыз? Алдымен синусты есептейік, содан кейін ғана оны текшелейміз. Бұл ішкі функция, бірақ сыртқы функция екенін білдіреді.
   Ал бастапқы қызметі олардың құрамы: .
2. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .
3. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .
4. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .
5. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .

Біз айнымалыларды өзгертеміз және функция аламыз.

Енді біз шоколадты батончиктен шығарып, туындысын іздейміз. Процедура әрқашан кері болады: алдымен сыртқы функцияның туындысын іздейміз, содан кейін нәтижені ішкі функцияның туындысына көбейтеміз. Бастапқы мысалға қатысты келесідей көрінеді:

Тағы бір мысал:

Сонымен, соңында ресми ережені тұжырымдаймыз:

Күрделі функцияның туындысын табу алгоритмі:

Бұл қарапайым сияқты, солай ма?

Мысалдармен тексерейік:

Шешімдер:

1) Ішкі: ;

Сыртқы: ;

2) Ішкі: ;

(әзірше оны кесуге тырыспаңыз! Косинустың астынан ештеңе шықпайды, есіңізде ме?)

3) Ішкі: ;

Сыртқы: ;

Бұл үш деңгейлі күрделі функция екені бірден түсінікті: бұл қазірдің өзінде күрделі функция, біз одан түбірді де шығарамыз, яғни үшінші әрекетті орындаймыз (шоколадты қаптамаға салыңыз. және портфельдегі лентамен). Бірақ қорқудың қажеті жоқ: біз бұл функцияны әдеттегідей тәртіпте: соңына дейін «ораймыз».

Яғни, алдымен түбірді, содан кейін косинусты, содан кейін ғана жақшадағы өрнекті ажыратамыз. Сосын барлығын көбейтеміз.

Мұндай жағдайларда әрекеттерді нөмірлеу ыңғайлы. Яғни, не білетінімізді елестетейік. Осы өрнектің мәнін есептеу үшін әрекеттерді қандай ретпен орындаймыз? Мысал қарастырайық:

Әрекет неғұрлым кеш орындалса, сәйкес функция соғұрлым «сыртқы» болады. Әрекеттер тізбегі бұрынғыдай:

Мұнда ұя салу әдетте 4 деңгейлі. Әрекет бағытын анықтайық.

1. Радикалды өрнек. .

2. Түбір. .

3. Синус. .

4. Шаршы. .

5. Барлығын біріктіру:

ТУЫНДЫ. НЕГІЗГІ НӘРСЕЛЕР ТУРАЛЫ ҚЫСҚА

Функцияның туындысы- функция өсімінің аргументтің шексіз аз өсімшесінің аргументінің өсіміне қатынасы:

Негізгі туындылар:

Дифференциация ережелері:

Тұрақты шама туынды таңбадан алынады:

Қосындының туындысы:

Өнімнің туындысы:

Бөлімшенің туындысы:

Күрделі функцияның туындысы:

Күрделі функцияның туындысын табу алгоритмі:

1. Біз «ішкі» функцияны анықтаймыз және оның туындысын табамыз.
2. «Сыртқы» функцияны анықтаймыз және оның туындысын табамыз.
3. Бірінші және екінші нүктелердің нәтижелерін көбейтеміз.

Осы бейне арқылы мен туындылар бойынша ұзақ сабақтар топтамасын бастаймын. Бұл сабақ бірнеше бөлімнен тұрады.

Ең алдымен, мен туынды сөздердің не екенін және оларды қалай есептеу керектігін айтамын, бірақ күрделі академиялық тілде емес, мен оны қалай түсінемін және оны студенттеріме қалай түсіндіремін. Екіншіден, есептерді шешудің ең қарапайым ережесін қарастырамыз, онда қосындылардың туындыларын, айырмалардың туындыларын және дәрежелік функцияның туындыларын іздейміз.

Біз неғұрлым күрделі аралас мысалдарды қарастырамыз, олардан сіз үйренесіз, атап айтқанда, бұл ұқсас тапсырмалар, құрамында түбірлері мен жұп бөлшектері бар, дәреже функциясының туындысының формуласы арқылы шешуге болады. Сонымен қатар, әрине, көптеген мәселелер мен күрделілік деңгейі өте әртүрлі шешімдердің мысалдары болады.

Жалпы, мен бастапқыда 5 минуттық қысқа видео түсіремін деп едім, оның қалай болғанын көре аласыздар. Әннің сөздері жеткілікті - іске кірісейік.

Туынды дегеніміз не?

Олай болса, алыстан бастайық. Көптеген жылдар бұрын, ағаштар жасыл болып, өмір қызық болған кезде, математиктер бұл туралы ойлады: қарастырыңыз қарапайым функция, оның графигі бойынша берілген, оны $y=f\left(x \right)$ деп атаймыз. Әрине, график өздігінен жоқ, сондықтан $x$ осьтерімен қатар $y$ осін салу керек. Енді осы графиктің кез келген нүктесін, мүлдем кез келген нүктесін таңдайық. Абциссаны $((x)_(1))$ деп атаймыз, ордината, сіз болжағандай, $f\left(((x)_(1)) \right)$ болады.

Сол графиктің тағы бір нүктесін қарастырайық. Қайсысы маңызды емес, бастысы оның түпнұсқадан айырмашылығы. Оның тағы да абсциссасы бар, оны $((x)_(2))$ деп атаймыз, сонымен қатар ордината - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Сонымен, бізде екі нүкте бар: олардың әртүрлі абсциссалары бар, демек, әр түрлі функция мәндері бар, бірақ соңғысы қажет емес. Бірақ шын мәнінде маңыздысы, біз планиметрия курсынан білеміз: екі нүкте арқылы түзу сызық жүргізуге болады, сонымен қатар тек бір ғана. Ендеше орындайық.

Енді олардың біріншісі арқылы абсцисса осіне параллель түзу жүргізейік. аламыз тікбұрышты үшбұрыш. Оны $ABC$, тік бұрыш $C$ деп атаймыз. Бұл үшбұрыштың бір өте қызықты қасиеті бар: $\alpha $ бұрышы, шын мәнінде, бұрышқа тең, оның астында $AB$ түзу абсцисса осінің жалғасымен қиылысады. Өзіңіз бағалаңыз:

1. $AC$ түзу сызығы құрылысы бойынша $Ox$ осіне параллель,
2. $AB$ сызығы $AC$ $\alpha $ астында қиылысады,
3. демек, $AB$ $Ox$-мен бірдей $\alpha $ астында қиылысады.

$\text( )\!\!\альфа\!\!\text( )$ туралы не айта аламыз? $ABC$ үшбұрышында $BC$ катетінің $AC$ катетіне қатынасы дәл осы бұрыштың тангенсіне тең екендігін қоспағанда, ерекше ештеңе жоқ. Ендеше жазып алайық:

Әрине, бұл жағдайда $AC$ оңай есептеледі:

Сол сияқты $BC$ үшін:

Басқаша айтқанда, біз келесідей жаза аламыз:

\[\оператор аты(tg)\text( )\!\!\альфа\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \оңға))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Енді осының барлығын алып тастаған соң, диаграммамызға оралайық және жаңа $B$ нүктесін қарастырайық. Ескі мәндерді өшіріп, $B$ мәнін $((x)_(1))$ мәніне жақынырақ алайық. Оның абсциссасын тағы да $((x)_(2))$, ал ординатасын $f\left(((x)_(2)) \right)$ деп белгілейік.

Кішкентай үшбұрышымызды $ABC$ және оның ішіндегі $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ тағы бір рет қарастырайық. Бұл мүлдем басқа бұрыш болатыны анық, жанама да әртүрлі болады, себебі $AC$ және $BC$ кесінділерінің ұзындықтары айтарлықтай өзгерді, бірақ бұрыштың жанамасының формуласы мүлде өзгерген жоқ. - бұл әлі де функцияның өзгеруі мен аргументтің өзгеруі арасындағы қатынас .

Соңында, $B$ нүктесін $A$ бастапқы нүктесіне жақындатуды жалғастырамыз, нәтижесінде үшбұрыш одан да кішірейеді, ал $AB$ кесіндісін қамтитын түзу барған сайын графигіне жанама тәрізді болады. функциясы.

Нәтижесінде, егер нүктелерді бір-біріне жақындата берсек, яғни арақашықтықты нөлге дейін азайтатын болсақ, онда $AB$ түзу шынымен берілген нүктедегі графикке жанамаға айналады және $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ қалыпты үшбұрыш элементінен графикке жанама және $Ox$ осінің оң бағыты арасындағы бұрышқа түрлендіреді.

Ал мұнда біз $f$ анықтамасына бірқалыпты көшеміз, атап айтқанда, функцияның $((x)_(1))$ нүктесіндегі туындысы $\alpha $ бұрышының жанамасының арасындағы жанама болып табылады. $((x)_( 1))$ нүктесіндегі график және $Ox$ осінің оң бағыты:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\оператор аты(tg)\text( )\!\!\альфа\!\!\text( )\]

Графикке қайта оралсақ, графиктің кез келген нүктесін $((x)_(1))$ ретінде таңдауға болатынын атап өткен жөн. Мысалы, дәл осындай табыспен біз суретте көрсетілген нүктедегі штрихты алып тастай алдық.

$\beta$ осінің жанама мен оң бағыты арасындағы бұрышты атаймыз. Сәйкесінше, $((x)_(2))$ ішіндегі $f$ осы $\beta $ бұрышының тангенсіне тең болады.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Графиктегі әрбір нүктенің өзіндік тангенсі болады, демек, өз функциясының мәні болады. Осы жағдайлардың әрқайсысында айырманың немесе қосындының туындысын немесе дәрежелік функцияның туындысын іздейтін нүктеден басқа, одан біршама қашықтықта орналасқан басқа нүктені алып, содан кейін тікелей бұл бастапқыға нұсқайды және, әрине, процесте мұндай қозғалыстың көлбеу бұрышының тангенсін қалай өзгертетінін біліңіз.

Дәрежелік функцияның туындысы

Өкінішке орай, мұндай анықтама бізге мүлдем сәйкес келмейді. Барлық осы формулалар, суреттер, бұрыштар бізге нақты есептердегі нақты туындыны қалай есептеу керектігі туралы кішкене түсінік бермейді. Сондықтан, ресми анықтамадан сәл шегініп, нақты мәселелерді шешуге болатын тиімдірек формулалар мен әдістерді қарастырайық.

Ең қарапайым конструкциялардан бастайық, атап айтқанда, $y=((x)^(n))$ түріндегі функциялар, яғни. қуат функциялары. Бұл жағдайда келесіні жазуға болады: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Басқаша айтқанда, көрсеткіште болған дәреже алдыңғы көбейткіште көрсетіледі, және көрсеткіштің өзі бірлікке азайтылады.

\[\бастау(туралау)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\соңы(туралау) \]

Міне, тағы бір нұсқа:

\[\бастау(туралау)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\сол(x \оңға))^(\prime ))=1\cdot ((x) )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \оң))^(\prime ))=1 \\\соңы(туралау)\]

Бұларды пайдалану қарапайым ережелер, келесі мысалдардың штрихын алып тастауға тырысайық:

Сонымен, біз аламыз:

\[((\left(((x)^(6)) \оң))^(\қарапайым ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Енді екінші өрнекті шешейік:

\[\бастау(туралау)& f\left(x \оңға)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \оңға))^(\ негізгі ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\соңы(туралау)\]

Әрине, бұл өте болды қарапайым тапсырмалар. Дегенмен, нақты мәселелер күрделірек және олар тек функция дәрежесімен шектелмейді.

Сонымен, №1 ереже - егер функция қалған екеуі түрінде ұсынылса, онда бұл қосындының туындысы туындылардың қосындысына тең болады:

\[((\left(f+g \оң))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Сол сияқты екі функцияның айырмасының туындысы туындылардың айырмасына тең:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \оң))^(\ негізгі ))+((\сол(x \оң))^(\жай ))=2x+1\]

Сонымен қатар, тағы бір маңызды ереже бар: егер кейбір $f$-дың алдында бұл функция көбейтілетін тұрақты $c$ болса, онда осы құрылыстың $f$ мәні келесідей есептеледі:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \оң))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \оң))^(\ жай ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Соңында, тағы бір өте маңызды ереже: есептерінде $x$ мүлдем жоқ жеке термин жиі кездеседі. Мысалы, біз мұны бүгінгі өрнектерімізден байқаймыз. Тұрақтының туындысы, яғни $x$-ға ешқандай тәуелді емес сан әрқашан нөлге тең және $c$ тұрақтысы неге тең болатыны мүлдем маңызды емес:

\[((\left(c \оң))^(\prime ))=0\]

Мысал шешім:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \оң))^(\prime ))=0\]

Тағы да негізгі нүктелер:

1. Екі функцияның қосындысының туындысы әрқашан туындылардың қосындысына тең: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Ұқсас себептерге байланысты екі функцияның айырмасының туындысы екі туындының айырмасына тең: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Егер функцияның тұрақты коэффициенті болса, онда бұл тұрақтыны туынды белгі ретінде шығаруға болады: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. Егер бүкіл функция тұрақты болса, оның туындысы әрқашан нөлге тең болады: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Мұның бәрі нақты мысалдармен қалай жұмыс істейтінін көрейік. Сонымен:

Біз жазамыз:

\[\бастау(туралау)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \оңға))^(\prime ))=((\сол) (((x)^(5)) \оң жақ))^(\қарапайым ))-((\сол(3((x)^(2)) \оң))^(\қарапайым ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\сол(((x)^(2)) \оң))^(\қарапайым ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\соңы(туралау)\]

Бұл мысалда қосындының туындысын да, айырманың туындысын да көреміз. Жалпы алғанда туынды $5((x)^(4))-6x$ тең.

Екінші функцияға көшейік:

Шешімін жазайық:

\[\бастау(туралау)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \оң))^(\prime ))=((\left(3((x))^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\соңы(туралау)\]

Міне, біз жауапты таптық.

Үшінші функцияға көшейік - бұл маңыздырақ:

\[\бастау(туралау)& ((\сол(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \оң жақ)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \оң))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \оң ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(() (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\соңы(туралау)\]

Жауабын таптық.

Соңғы өрнекке көшейік - ең күрделі және ең ұзын:

Сонымен, біз қарастырамыз:

\[\бастау(туралау)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \оңға))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \оң))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x) )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\соңы(туралау)\]

Бірақ шешім мұнымен бітпейді, өйткені бізден штрихты алып тастау ғана емес, оның мәнін белгілі бір нүктеде есептеу сұралады, сондықтан өрнекке $x$ орнына −1 мәнін қоямыз:

\[(y)"\left(-1 \оң)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Әрі қарай, одан да күрделі және қызықты мысалдарға көшейік. Мәселе мынада, $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) дәреже туындысын шешу формуласы. )$ әдетте сенетіннен де кең ауқымға ие. Оның көмегімен сіз бөлшектерді, түбірлерді және т.б. бар мысалдарды шеше аласыз. Енді біз осылай істейміз.

Алдымен, қуат функциясының туындысын табуға көмектесетін формуланы тағы да жазып алайық:

Ал енді назар аударыңыз: осы уақытқа дейін біз тек натурал сандарды $n$ деп қарастырдық, бірақ бөлшектерді және тіпті теріс сандарды қарастыруға ештеңе кедергі келтірмейді. Мысалы, біз келесідей жаза аламыз:

\[\бастау(туралау)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \оң))^(\ негізгі ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \оң))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\соңы(туралау)\]

Күрделі ештеңе жоқ, сондықтан күрделі есептерді шешуде бұл формула бізге қалай көмектесетінін көрейік. Сонымен, мысал:

Шешімін жазайық:

\[\бастау(туралау)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \оң))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \оң))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \оң))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\соңы(туралау)\]

Мысалға оралайық және жазайық:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4) \sqrt(((x)^(3))))\]

Бұл сондай қиын шешім.

Екінші мысалға көшейік – екі ғана термин бар, бірақ олардың әрқайсысында классикалық дәреже де, түбір де бар.

Енді біз дәрежелік функцияның туындысын қалай табуға болатынын үйренеміз, оның құрамында қосымша түбір бар:

\[\бастау(туралау)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+(x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \оң))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \оң жақ))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \оң жақ))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3) )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(туралау)\]

Екі термин де есептелді, соңғы жауапты жазу ғана қалды:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Жауабын таптық.

Бөлшектің дәреже функциясы арқылы туындысы

Бірақ дәрежелік функцияның туындысын шешу формуласының мүмкіндіктері мұнымен бітпейді. Оның көмегімен сіз тек түбірлері бар мысалдарды ғана емес, сонымен қатар бөлшектерді де есептей аласыз. Дәл осындай мысалдарды шешуді жеңілдететін сирек мүмкіндік, бірақ көбінесе студенттер ғана емес, мұғалімдер де елемейді.

Сонымен, біз бірден екі формуланы біріктіруге тырысамыз. Бір жағынан, дәрежелік функцияның классикалық туындысы

\[((\сол(((x)^(n)) \оң))^(\бастапқы ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Екінші жағынан, $\frac(1)(((x)^(n)))$ пішінінің өрнегі $((x)^(-n))$ түрінде ұсынылуы мүмкін екенін білеміз. Демек,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \оң))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)((x)^(2)))\]

Осылайша, туындылар жай бөлшектер, мұнда алым тұрақты, ал бөлгіш дәреже болып табылады, сонымен қатар классикалық формула арқылы есептеледі. Бұл іс жүзінде қалай жұмыс істейтінін көрейік.

Сонымен, бірінші функция:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \оң))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ оң жақ))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Бірінші мысал шешілді, екіншісіне көшейік:

\[\бастау(туралау)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \оң жақ))^(\қарапайым ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \оң))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(() x)^(3))) \оңға))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \оң))^(\prime ))-((\left() 3((x)^(4)) \оң))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \оң))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)((x)^(4))) \оң))^(\prime ))=\frac(7) )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \оң))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \оң) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)) (3))) \оңға))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)((x)^(3))) \оңға) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left() \frac(5)(2)((x)^(2)) \оң))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \оң))^(\қарапайым ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\) left(3((x)^(4)) \right))^(\ Prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ аяқтау(туралау)\]...

Енді біз осы терминдердің барлығын бір формулаға жинаймыз:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Біз жауап алдық.

Дегенмен, әрі қарай көшпес бұрын, түпнұсқа өрнектердің өзін жазу формасына назар аударғым келеді: бірінші өрнекте $f\left(x \right)=...$, екіншісінде: $y деп жаздык. =...$ Көптеген оқушылар көргенде адасып қалады әртүрлі пішіндержазбалар. $f\left(x \right)$ мен $y$ арасындағы айырмашылық неде? Шынымен ештеңе. Олар бір мағыналы әр түрлі жазбалар ғана. Бұл жай ғана $f\left(x \right)$ дегенде, содан кейін туралы айтып отырмыз, ең алдымен, функция туралы және $y$ туралы айтқанда, біз көбінесе функцияның графигін айтамыз. Әйтпесе, бұл бірдей нәрсе, яғни екі жағдайда да туынды бірдей деп саналады.

Туындылармен күрделі есептер

Қорытындылай келе, мен бүгін қарастырғандардың барлығын қолданатын бірнеше күрделі біріктірілген есептерді қарастырғым келеді. Олардың құрамында түбір, бөлшек және қосынды бар. Дегенмен, бұл мысалдар бүгінгі бейне оқулықта ғана күрделі болады, өйткені шын мәнінде күрделі туынды функциялар сізді алда күтеді.

Ендеше бүгінгі екі біріктірілген тапсырмадан тұратын бейнесабақтың қорытынды бөлімі. Олардың біріншісінен бастайық:

\[\бастау(туралау)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \оңға))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \оң))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \оң жақ))^(\қарапайым ))=((\ left(((x)^(-3)) \right))^(\ Prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\соңы(туралау)\]

Функцияның туындысы:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)) (2))))\]

Бірінші мысал шешілді. Екінші мәселені қарастырайық:

Екінші мысалда біз осылай әрекет етеміз:

\[(((\left(-\frac(2)((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \оң))^(\prime ))+((\left) (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \оң жақ))^ (\prime ))\]

Әр терминді бөлек санайық:

\[\бастау(туралау)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \оңға))^(\prime ))=-2\cdot ((\left() ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8) )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac) 1)(4))) \оң жақ))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1) )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\) left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \оң))^(\бастапқы ))=((\сол(\frac(4)((x)^(1\frac(3) )(4)))) \оңға))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \оңға))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\соңы(туралау)\]

Барлық шарттар есептелді. Енді біз бастапқы формулаға ораламыз және барлық үш мүшені қосамыз. Соңғы жауап келесідей болатынын түсінеміз:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7) )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Бұл бәрі. Бұл біздің бірінші сабағымыз болды. Келесі сабақтарда біз күрделірек конструкцияларды қарастырамыз, сонымен қатар туынды сөздердің бірінші кезекте не үшін қажет екенін анықтаймыз.