Параметрі бар сызықтық теңдеулер. Белгісіздер санына және жүйенің матрицасының және кеңейтілген матрицасының дәрежелеріне байланысты сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің саны Параметрге байланысты теңдеулер жүйесінің шешімі
Теорема. Сызықтық теңдеулер жүйесі кеңейтілген матрицаның дәрежесі жүйелік матрицаның өзінің дәрежесіне тең болған жағдайда ғана сәйкес болады.
Сызықтық теңдеулер жүйесі
Тұрақты r(A)=r() және үйлеспейтін r(A)≠r().
Сонымен, сызықтық теңдеулер жүйелерінің не шексіз саны бар, не бір шешімі бар, не шешімдері мүлдем жоқ.
Жұмыстың аяқталуы -
Бұл тақырып келесі бөлімге жатады:
Элементар матрицалық түрлендірулер. Крамер әдісі. Векторлық анықтама
Орын ауыстырудың екі элементі инверсияны құрайды, егер алмастырудың белгілеуінде үлкен элемент кішінің алдында тұрса.. n санның n-ші дәрежелі n түрлі ауыстыруы бар болса.. ауыстыру тіпті егер деп аталады жалпы саныинверсиялар жұп сан және сәйкесінше тақ сан, егер..
Қажет болса қосымша материалОсы тақырып бойынша немесе сіз іздеген нәрсені таппаған болсаңыз, жұмыстардың дерекқорындағы іздеуді пайдалануды ұсынамыз:
Алынған материалмен не істейміз:
Егер бұл материал сізге пайдалы болса, оны әлеуметтік желілердегі парақшаңызға сақтауға болады:
| Твит |
Осы бөлімдегі барлық тақырыптар:
Кронеккер-Капелли теоремасы
n белгісізі бар сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық: Матрица мен кеңейтілген матрица құрайық.
Сызықтық теңдеулер біртекті жүйесі туралы түсінік
Барлық бос мүшелері 0-ге тең сызықтық теңдеулер жүйесі, яғни. пішін жүйесі біртекті деп аталады
Біртекті SLE ерітінділерінің қасиеті
Біртекті теңдеулер жүйесінің шешімдерінің сызықтық комбинациясы осы жүйенің шешімі болып табылады.
x=және у=
Біртекті және біртекті емес сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдері арасындағы байланыс
Екі жүйені де қарастырайық: I және
Сызықтық кеңістікті анықтауға аксиоматикалық тәсіл
Бұрын n өлшемді векторлық кеңістік ұғымы n-нақты сандардың реттелген жүйелерінің жиынтығы ретінде енгізілген, ол үшін нақты санға қосу және көбейту амалдары енгізілген.
Аксиомалардан алынған қорытындылар
1. Нөлдік вектордың бірегейлігі 2. Қарама-қарсы вектордың бірегейлігі
Салдарын дәлелдеу
1. Осылай делік. -нөл
Анықтама 1. L сызықтық кеңістігінің негізі екі шартты қанағаттандыратын L-ге жататын элементтер жүйесі: 1) жүйе
Өлшемі: px
Беттен көрсетуді бастаңыз:
Транскрипт
1 1 Теңдеулер жүйесінің шешімдерінің саны Графикалық динамикалық әдіс Құрамында параметрі бар теңдеулер жүйесінің шешімдерінің санын табу үшін келесі әдіс пайдалы: Параметрдің белгілі бір тұрақты мәні үшін теңдеулердің әрқайсысының графиктерін тұрғызамыз. және құрастырылған графиктердің ортақ нүктелерінің санын табыңыз. Әр ортақ нүкте жүйенің шешімдерінің бірі болып табылады. Содан кейін біз параметрді ойша өзгертеміз және параметрі бар теңдеудің графигі қалай түрленетінін, графиктердің ортақ нүктелерін елестетеміз. пайда болады және жоғалады. Қиялдарды үйрету үшін осы мәндер сәйкес келетін параметрлердің арнайы мәндерін қарастырайық шешімдер графиктері бір-біріне тиетін немесе графиктердің бірінің бұрыштық нүктесі басқа графқа түсетін жағдайларға, әдетте, ерекше нүкте арқылы өткенде, шешімдер саны екіге өзгереді, ал мұндай нүктенің өзі. параметрі шамалы өзгеретін шешімдердің санынан бір айырмашылығы бар теңдеулер жүйесінің шешімдерінің санын табу керек, олардың біреуі а параметріне тәуелді, ал екіншісі жоқ. x және y жүйелеріндегі айнымалылар әр шешім кезінде теңдеудің графигі мәнін өзгерткен кезде зерттелеміз параметрі содан кейін шешімдер саны туралы қорытынды жасаймыз (құрылған графиктердің ортақ нүктелері интерактивті суретте параметрі жоқ теңдеудің графигі, ал параметрі бар теңдеудің динамикалық графигі). қызыл түспен көрсетілген Тақырыпты оқу үшін (1 7 тапсырма) InMA файлын пайдаланыңыз 11, 5 Параметрі бар жүйенің нөмірлік шешімдері Зерттеу үшін (8-тапсырма) GInMA файлы параметрі бар жүйе шешімдерінің нөмірін пайдаланыңыз. (x x0) + (y y0) = r; 1 Жүйенің шешімдерінің санын табыңыз (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r; y = kx + a (x x0) + (y y0) = r жүйесінің шешімдерінің санын табыңыз; 3 y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r жүйесінің шешімдерінің санын табыңыз; 4 Жүйенің шешімдерінің санын табыңыз (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r ; 5 Жүйенің шешімдерінің санын табыңыз (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r; 6 y = x a + y1 x x0 + y y0 = r жүйесінің шешімдерінің санын табыңыз; 7 Жүйенің шешімдерінің санын табыңыз (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 В.В.Шеломовский жүйесінің шешімдерінің санын табыңыз Тақырыптық жинақтар, cmdru/
2 1 Тегіс қисық теңдеулердің графиктері (x x0) + (y y0) = r; 1 Тапсырма (x x1) + y = a жүйесінің шешімдерінің санын табыңыз Шешуі: Бірінші теңдеудің графигі радиусы r, центрі О(x0; y0) нүктесінде орналасқан шеңбер. Екінші теңдеудің графигі а. радиусы а шеңбері центрі х осінде A(x1 ; 0) нүктесінде шеңбердің центрі стационарлық, радиус параметрді анықтайды параметрдің мәні - бұл түбірлер саны өзгеретін мәндер, яғни екінші графиктің шеңбері біріншінің шеңберіне тиетін параметр мәндері қосындының модуліне тию шарты немесе шеңберлердің радиустары орталық аралық қашықтыққа тең: a ± r = AO a = ± AO ± r Зерттеу: айнымалылар мен параметрдің мәнін өзгерту арқылы жүйенің шешімдерінің санын табу ұсынылады зерттеуді қарапайым жағдайлардан бастау үшін y0 = 0, шеңберлердің ортақ осі көлденең болғанда және х0 = x1, шеңберлердің ортақ осі тік болғанда Жалпы жағдайда Пифагор үшбұрыштарын пайдаланыңыз Мысалы, x0 x1 = 3, y0 = ±4 Әдетте, параметрдің кіші және үлкен модульдік мәндері үшін шешімдер болмайды, өйткені екі дивергентті шеңберде екі ортақ нүктеден аспауы мүмкін, жалпы жағдайда шешімдердің саны артық емес екі. Тангенс нүктелерінде шешімнің саны біреуге тең, бұл параметрдің аралық мәндері екі болады. Үш түрлі нүкте (x 1) + (y y0) = болатын параметрдің мәнін табыңыз 9; (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r теңдеулер жүйесінің шешімдері; Тапсырма y = kx + a жүйесінің шешімдерінің санын табыңыз Шешуі: Бірінші теңдеудің графигі центрі О(x0; y0) нүктесінде болатын радиусы r шеңбер. Екінші теңдеудің графигі: А(0; а) нүктелері арқылы өтетін және тұрақты еңіске ие параллель түзулер Түзу сызықтардың көлбеу бұрышының тангенсі k-ке тең болады Түбірлер саны өзгеретін мәндер, яғни түзу сызықтар шеңберге жанасатын параметрдің мәндері және шеңбердің көлбеу бұрышының жанамаларын теңестіру арқылы жанама шартын табамыз тік сызық В.В.Шеломовский Тақырыптық жиынтықтар, cmdru/.
3 3 Алынған теңдеуді шешіп, екі жанама нүктенің координаталарын табамыз: kr x = x0 ± ; x0 x 1 + k = k k (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ k Алынған өрнектерді түзудің теңдеуіне қойып, дара нүктелердегі параметрдің мәнін табамыз: a = y 0 kx0 ± r 1 + k Зерттеу : Айнымалылар мен параметрдің мәнін өзгерту арқылы жүйенің шешімдерінің санын табу, зерттеуді сызықтар болған кезде k = 0 ең қарапайым жағдайдан бастаған жөн абсцисса осіне параллель Содан кейін түбір алынған жағдайларды қарастырыңыз (мысалы, k = 3), танымал жағдайға назар аударыңыз k = 1 Параметрдің кіші және үлкен мәндері үшін ешқандай шешім жоқ. сызық пен шеңбердің екіден көп ортақ нүктесі болуы мүмкін, жанамаға сәйкес келетін параметрдің мәндері үшін шешімдердің саны аралық мәндер үшін біреуге тең параметрі, екі Шығармашылық тапсырма екені белгілі бұл жүйетеңдеулердің бірден артық шешімі жоқ Теңдеулер жүйесінің шешімі болатын параметрдің мәнін табыңыз: (x) + (y 3) = r; y = x + a (x x0) + (y y0) = r; 3 y = ax + y1 жүйесінің шешімдерінің санын табыңыз Шешуі: Бірінші теңдеудің графигі центрі О(x0; y0) нүктесінде болатын радиусы r шеңбер. Екінші теңдеудің графигі - бұл А(0; y1) нүктесі арқылы өтетін түзулер (a) түзулерінің көлбеу бұрышының тангенсі параметрдің мәнін анықтайды, параметр өскен кезде график пен х осінің оң бағыты арасындағы бұрыш артады, бұл түбірлер саны өзгеретін мәндер, яғни егер А(0; y1) нүктесінің ішінде орналасқан болса шеңбер , онда кез келген мүмкін түзу шеңберді екі нүктеде қиып өтеді : В.В.Шеломовский Тақырыптық жинақтар, cmdru/
4 4 ar x = x0 ± ; x0 x 1 + a = a a (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ a Түзу сызықтың теңдеуіне алынған өрнектерді қойып, параметрдің мәнін (y1 y 0) табамыз. r ерекше нүктелер Егер x0 = 0 болса, онда а = ± r параметрінің арнайы мәндері Егер y0 = y1, x0 r болса, онда параметрдің арнайы мәндері a = ± (y1 y 0) r r x0 Егер x0 = ± r, онда шеңбер r (y1 y 0) A(0; y1) нүктесі арқылы өтетін тік түзуге жанама және параметрдің мәні a = Басқа жағдайларда x0 (y1 y 0) a= x0 (y 0) y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 Зерттеу: Айнымалылар мен параметрдің мәнін өзгерту арқылы жүйенің шешімдерінің санын табу y0 қарапайым жағдайдан бастау керек = y1, x0< r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/
5 5 абсолютті мәні бойынша бірдей, бірақ абсцисса белгісі бойынша әр түрлі ±x0 Графиктер көк және күлгін түстермен көрсетілген Екінші теңдеудің графигі абсцисса осінің центрі А(x1; 0) нүктесінде орналасқан a радиусы бар шеңбер. параметрдің мәндері - бұл түбірлер саны өзгеретін мәндер, яғни екінші графиктің шеңбері біріншісінің шеңберлеріне тиетін мәндер: қосынды немесе шеңберлердің радиустарының айырмасы орталықтан орталыққа дейінгі қашықтыққа тең: a ± r = AO және ± r = AQ Зерттеу: айнымалылар мен параметрдің мәнін өзгерту арқылы жүйенің шешімдерінің санын табыңыз. Бір орталықтан орталыққа дейінгі қашықтық үшін бүтін мәндерді пайдаланыңыз (мысалы, x0 = 6, y0 = 3, r = 3, x1 =) Әдетте, параметрдің кіші абсолютті және үлкен мәндері үшін шешімдер жоқ. Жанасу нүктелерінде түбірлер саны тақ, басқа нүктелерде түбірлер саны жұп ( x 6) + (y y 0) = r; Шығармашылық тапсырма (x x1) + y = параметрдің белгілі бір мәні үшін теңдеулер жүйесінің дәл екі шешімі бар екені белгілі, бұл параметрдің мәнінде графиктер (x x0) + параметрінің осы мәнін табыңыз y y0 = r; 5 Жүйенің шешімдерінің санын табыңыз (x x0) + (y y0) = a Шешуі: Бірінші теңдеудің графигі у = y0 нүктесінде кездесетін параболалар жұбынан тұрады y = y0 ± (r ( r) параболаларының теңдеулері x x0)) Олардың горизонталь симметрия осі y = y0, вертикаль симметрия осі x = x0 Симметрия нүктесінің центрі (x0, y0) Екінші график центрі центрде орналасқан радиусы а болатын шеңбер. параболалардың симметриясының мәні Екінші графиктің шеңбері параболалардың төбелеріне тиетін параметрдің мәні бойынша өзгереді: x = x0, y = y0 ± r = y = y0 ± a, сондықтан a = ± r Түбірлер саны параболасы бар екінші графиктің шеңбері іштей тиіп тұрған параметрдің мәні бойынша өзгереді. Бұл мәнді табу үшін теңдеулер жүйесінен бір айнымалысы бар теңдеуге өту керек : (y y 0) = a (x x0) = (r (x x0)) Бұл (x x 0) үшін квадрат теңдеу, егер дискриминант нөлге тең болса, оның бір түбірі болады: В.В.Шеломовский Тақырыптық жиындар, cmdru/
6 6 D = (r 0,5) (r a) = 0, a = ± r 1 4 Шеңбер мен парабола бірінші графиктің үзілу нүктелерінде, яғни у нүктесінде қиылысатын параметр мәнінде түбірлер саны өзгереді. = y0 Зерттеу : Айнымалылар мен параметрдің мәнін өзгерту арқылы жүйенің шешімдерінің санын табыңыз r = 1, 4 және 9 мәндерін пайдаланыңыз. x0 және y0 параметрлері жауапқа әсер етпейтінін ескеріңіз. мәселеге параметрдің кіші абсолютті және үлкен мәндері үшін x x0 + y y0 = r шешімдері жоқ; 6 (x x0) + (y y0) = a жүйесінің шешімдерінің санын табыңыз Шешуі: Бірінші теңдеудің графигі координаталық осьтерге 45 бұрыш жасай көлбеу квадрат, диагоналінің жартысының ұзындығы. ол r-ге тең Екінші график радиусы a шеңбері, оның центрі квадраттың центрлік симметриясында орналасқан Шеңбер квадраттың төбелері арқылы өтетін параметрдің мәні бойынша түбірлер саны өзгереді. Бұл жағдайда, y = y0, a = ±r Шеңбердің ішкі жағына жанасатын параметрдің мәні өзгереді. Бұл мәнді табу үшін теңдеулер жүйесінен теңдеуге өтіңіз бір айнымалысы бар: (y y 0) = a (x x0) = (r x x0) Бұл x x 0 үшін квадрат теңдеу, егер дискриминант нөл болса, оның бір түбірі болады. Сонымен қатар, а = ± r Бұл шеңбердің радиусы жағдай алдыңғы жағдайдағы радиусқа жатады, күнә 45: 1 В.В.Шеломовский Тақырыптық жинақтар, cmdru/
7 7 (x x0) + (y y0) = r ; 7 y = x a + y1 жүйесінің шешімдер санын табыңыз Бірінші теңдеудің графигі центрі O(x0; y0) болатын шеңбер. Екінші теңдеудің графигі бастары ортақ екі сәуледен тұрады: «құс, қанаттар жоғары», графтың төбесі A(a; y1) нүктесінде орналасқан. Түбірлер саны екінші графтың «қанаты» шеңберге тиген немесе графиктің шыңы орналасқан параметр мәніне қарай өзгереді. бұл шеңбер «оң қанаттың» х осіне көлбеу бұрышының тангенсі 1-ге тең, бұл түзу сызықты білдіреді, r x = x ±, осы қанаттың құрамындағы k 0 нүктелерде шеңберге тиеді. yk), r yk = y0 Байланыс шарты yk = xk a + y1 a = xk yka + y1= x0 y0 + y1 ± r «Қанат» жоғары қарай бара жатқан сәуле болғандықтан, ординатаға шарт қосылды. төбесі жанасу нүктесінің ординатасынан аспауы керек, яғни y1 yk y0 y1 ± r «сол қанатпен» жанасу жағдайларын жазамыз. онда оның координаталары шеңбердің теңдеуін қанағаттандырады: (a x0) + (y1 y0) = r Параметрдің мәнін өзгерту арқылы жүйенің шешімдерінің санын, яғни графиктердің ортақ нүктелерінің санын зерттейді. Дара нүктелерде түбірлер саны тақ, басқа нүктелерде түбірлер саны жұп (x) + (y y 0) = r, Шығармашылық тапсырма y = x a + y1 үшін теңдеулер жүйесі белгілі бір мән болатыны белгілі. параметрінің үш шешімі бар, егер екі шешімнің ординаталары f (x, y) = 0 сәйкес келетіні белгілі болса, параметрдің осы мәнін табыңыз. g (x, y, a) = 0 8 Жүйе шешімдерінің санын табыңыз Мысалға сәйкес функцияларды өзіңіз анықтаңыз және шешімдер санын В.В.Шеломовский зерттеңіз Тақырыптық жинақтар, cmdru/
8 8 Б.Б.Шеломовский Тақырыптық жинақтар, cmdru/
9 9 С5 тапсырмалары (Семёнов Ященко) 1-нұсқа а-ның барлық мәндерін табыңыз, олардың әрқайсысы үшін 4 x 1 x+ 3 a 3 теңсіздігінің шешімдер жиыны 3 а 4 кесіндісі болып табылады x Ойлау x b түрлендірулерді орындаймыз. 1, 1 x b 1, 4 x 1 x+ 3 a x b 3=, b=3 a 3 a 4 x x (x) 0, (x +1) b 1 0 x 3a жазықтығының шекаралық сызықтары: x = 0, x =, x= 3a, x=± 3 a a= (x+ 1) 1 4 Егер 0 x болса, онда b< 4x, b (x +1) 1 Так как 4x >(x +1) 1, онда b (x +1) 1 Егер 0 > x онда b > 4x, (x +1) 1 b 1 b үшін шешімі бар Мысалы, x = 1 Егер x > болса, онда b > 4x, (x +1) 1 b 4x-тен бастап< (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а >8, онда x [ 3 a+ 1 1,0] [, 3 a +1 1] Егер 3a = 8 болса, онда x [ 4,0] x [3 a +1 1,0] [ 3 a+1 1, ] 0 болса< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 >3a, содан кейін х Шешуі 1 3a болсын Сонда x = 1 теңсіздікті қанағаттандырады, 4 x 1 x+ 3 a 16+3 a 3 a 3 = 3 =, қайшылық, бұл сан 3 a 4 x 3 a+ 4 3 интервалынан тыс. a +4 1 > 3a болсын, онда x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a< 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, онда бірінші теңсіздік орындалмайды В.В.Шеломовский Тақырыптық жинақтар, cmdru/
10 10 Егер 0 > x, онда b (x +1) 1 болса, екінші теңсіздік орындалмайды Жауабы: 1 > 3a 3-нұсқа Әрқайсысы үшін a +7 x x + x +5 теңдеуі берілген а-ның барлық мәндерін табыңыз. кем дегенде бір түбірі бар = a+ 3 x 4 a +1 Ойлау f (a, x)=a +7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 функциясының дара нүктесі x + 1 = 0 Егер x = 1, онда теңдеу a +10 a 1 a =0 түрінде болады. Оның төрт шешімін табу оңай. Бастапқы функция әрқашан осыдан үлкен екенін дәлелдеу керек Шешім f (a, x)=a + 7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Теңдеу f (a, x)=0 Сонда f (a, 1)=a +10 a 1 a =0 Айырма f (a, x) f (a, 1)=7 x +1 +5(x + x +5)+ 3 4 a 3 x 4 a+1 3(x a 4 a x 1) 0 Бұл f (a, x)=0 теңдеуінің f (a) болғанда ғана түбірі бар екенін білдіреді. , 1) 0 f (a, 1)=0 теңдеуінің төрт түбірі бар a 1= , a = , a 3= , a 4 = a үшін f (a, 1) 0 (оң емес) функциясы Мысалы, егер a = 10, онда түбір бар a басқа мәндері үшін x = f (a, x) f (a, 1)>0 Түбірлер жоқ Жауап: [ 5 15, 5+ 15] 5-нұсқа Барлық мәндерді табыңыз a санының әрқайсысы үшін a +11 x+ +3 x + 4 x + теңдеуінің кем дегенде бір түбірі бар 13=5 a+ x a + Біз f (a,)=a +9 5 a 4 a =0 функциясын қолданамыз. және f (a, x) f (a,) (x+ + a x a+) теңсіздігі 0 Жауабы: [ , ] 9-нұсқа x + 4x 5 3a = x + a теңдеуінің түбірлерінің санын табыңыз 1 Ойланайық келесі (айқын) мәлімдеме белгілі f(x) және g(x) функциялары белгілі бір аралықта берілсін Бірінің туындысы интервалда екіншісінен үлкен болсын Функциялардың мәндерінің айырмасы сол жақтың бір белгісі, оң жағындағы басқа белгісі бар. Сонда f(x) = g(x) теңдеуінің дәл бір түбірі бар Шешімі f(x, a) = 3a + x + a, g( деп белгілейік. x) = x + 4x f(x, a) = g(x) теңдеуі В.В.Шеломовский Тақырыптық жинақтар, cmdru/
11 11 g(x) функциясының ерекше нүктелері x = 1 және x = 5 кезінде минимумдар және x = мәндерінде максимум болады g(1) = g(5) = 1, g() = 10 Функцияның симметрия осі x = 3 шамасы үлкен x мәндері болғанда квадраттық функция g(x) сызықтық f(x, a) [ 5,1] интервалынан тыс функцияның көлбеулігі (x + 4x 5)" = x үшін x > 1 туындысымен анықталады g(x) функциясы ) x > 1 үшін 6-дан үлкен коэффициентпен монотонды түрде артады Симметрияға байланысты g(x) функциясы x кезінде 6-дан үлкен коэффициентпен монотонды түрде кемиді.< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а >0 нүктелер санындағы мәндер f(а, a) = 3а, f(5, a) = 3а + 5 a, f(, a) = 3а + a, f(1, a) = 3а + 1 + a f (x, a) және g(x) графиктері, егер олардың көлбеулері тең болса, жанасу x = 5 кезінде мүмкін. Сонымен қатар, g(x) = 39/4 f(x, a) = 4a + x =. 39/4, 4a = 49 /4, a = 49/16 f(x, a) = g(x) теңдеуінің түбірлерін талдаңыз, егер a<, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x >1, g(x) f(x, a) қарағанда жылдам өседі, яғни f(x, a) барлық жерде< g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 >1, f(1, a) = 4a + 1< 1f(, a) = а + < 10 При x >f(x, a)< g(x), корней нет При x < f(1,a) >1 x кезінде< 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x >a = 3, f(3, 3) = 8 = g(3), f(, 3) = 10 = g() болса, f(x, a) тармағының сол тармағында бір немесе екі 4 түбір бар. x кезінде< 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x >1 болса 3< a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x >1 Егер a = 49/16 болса, онда түбірлер саны 3-ке тең, f(x, a)-ның сол жақ тармағында х нүктесінде бір.< 5, один в точке касания при x = 5, один при x >1 Егер a > 49/16 болса, онда f(x, a) тармағының сол жағындағы бір түбір саны х нүктесінде.< 5, один на правой при x >1 Жауап: а үшін түбірлер жоқ< ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/
12 1 10-нұсқа а параметрінің барлық мәндерін табыңыз, олардың әрқайсысы үшін 4x 3x x + a = 9 x 3 теңдеуінің екі түбірі бар Шешуі f(x, a) = 4x 3x x + a, g(x) деп белгілеңіз. ) = 9 x 3 g(x) функциясының сингулярлық нүктесі x = 3 Функция х ретінде 9 көбейткішпен монотонды түрде кемиді.< 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x >3 f(x, a) функциясы 8, 6 немесе 0 коэффициенттерімен бөлшек сызықты. Бұл оның х-де кемімейтінін, оның өсу жылдамдығы 9 x 3 f( функциясының оң тармағының өсу қарқынынан аз екенін білдіреді. 3, a) = a Бұл өрнектің графигі төбелері (1, 1), (3, 3), (6, 1) болатын сынық сызық болып табылады) a (4, 18) үшін функцияның мәндері оң. Бұл табылғандардан шығады, егер f(3, a)< 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) >f(x, a) f(3, a) = 0 болса, теңдеудің дәл бір түбірі болады x = 3 Басқа x үшін g(x)> f(x, a) f(3, a) > 0 болса, теңдеудің дәл екі түбірі бар, біреуі х< 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x >3, жылдам өсетін g(x) тармағы баяу өсетін f(x, a) тармағын қиып өткенде Жауабы: a (4, 18) 11-нұсқа а параметрінің барлық мәндерін табыңыз, олардың әрқайсысы үшін кез келген мән үшін. b параметрінің кем дегенде бір шешімі бар (1+ 3 x)a +(b 4 b+5) y =, x y +(b) x y+ a + a=3 Ойлан Жүйенің пішіні бар (1+ 3 x)a +(1+(b) ) y =, Ыңғайлы x y +(b) x y=4 (a+ 1) a (1+3 x) =1, Шешімі x = y = 0 және x y =4 (a +1) көрінеді, a = 1 және a = 3 параметрінің сәйкес мәндері сингулярлық нүктені талдайды b = Сонда (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, x y +(b) x y=4 (a+ 1) Шешім Жүйені түрінде жазамыз Шешімі x = y = 0 әрқашан a = 1 немесе a = 3 үшін бар Егер b = болса, жүйеде (1+ 3) пішіні болады. x)a +1 y =, немесе x y =4 (a +1) (1+3 x)a=1, x y =4 (a +1) Егер a > 1 немесе a< 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x >0, біріншіден a = 0 табамыз a = 0 болсын Сонда b = 4 үшін бірінші теңдеуден у = 0 екенін аламыз Сонымен қатар, екінші теңдеудің шешімі жоқ Жауабы: 1 немесе 3 В.В.Шеломовский Тақырыптық жинақтар, cmdru/
13 13 14-нұсқа параметрдің барлық мәндерін табыңыз, олардың әрқайсысы үшін x 6x a 4a = 0 теңдеуінің түбірлерінің айырмасының модулі ең үлкен мәнді қабылдайды Шешуі теңдеуді (x 3.) түрінде жазамыз ) = 1 (а) Оның шешімі = 0 синус және косинус функцияларының периодтылығына байланысты, есепті х=3± 1 кесіндісі үшін шешуге болады (а) Түбірлердің ең үлкен айырмасы а-ға тең = Жауабы: Нұсқа 15 Параметрдің барлық мәндерін табыңыз, олардың әрқайсысы үшін (4 4 k) sin t =1 теңдеуінің кесіндісінде кемінде бір шешімі бар [ 3 π ; 5 π ] cos t 4 sin t Шешуі Синус және косинус функцияларының периодтылығына байланысты t [ π ] кесіндісі үшін есепті шығаруға болады; 15 π ], содан кейін алынған әрбір шешімнен 4π шегеріңіз + 4 k sin t cos t =0 cos t 4 sin t t кесіндісінде [ π ; 15 π ] синус нөлден минус бірге дейін монотонды түрде азаяды, косинус минус бірден нөлге дейін азайып 4tgt = 1 кезінде нөлге дейін барады, яғни sin t = 1 4, cos t = t кезінде алым. = π 1-ге тең, t кезінде = 15π 4k-ға тең Егер k 0 болса, алым оң болады және теңдеудің түбірі жоқ Егер k > 0 болса, алымның екі айнымалы мүшесі де азаяды, яғни алым монотонды түрде өзгереді. Бұл алым нөлдік мәнді бір рет қабылдайды, егер k 05 болса және одан кіші мәндер үшін оң болады k Егер алым нөлге тең болса және бөлгіш нөлге тең болмаса, яғни 4k =+ 4 k жағдайында теңдеудің түбірі болады. sin t cos t + k Жауабы: k [ 05,+)\1+ ) 18-нұсқа параметрдің барлық мәндерін табыңыз, олардың әрқайсысы үшін теңдеулер жүйесі (x a 5) +(y 3 a +5) = 16, (x a) +(y a+1)=81 бірегей шешімі бар Ойланайық Әрбір теңдеу шеңберді сипаттайды Шешім жанама шеңберлер жағдайында бірегей болады Шешім Бірінші теңдеу центрі (a +) нүктесінде болатын шеңберді анықтайды. 5, 3a 5) және радиусы 4 Екінші теңдеу радиусы 9 BB (a +, a 1) нүктесінде центрі бар шеңбер Шеломовский Тақырыптық жинақтар, cmdru/
14 14 Егер шеңберлер бір-біріне тиіп тұрса, жүйенің бірегей шешімі бар, бұл жағдайда орталықтар арасындағы қашықтық = 13 немесе 0 4 = 5 центрден орталыққа дейінгі қашықтықтың квадратына тең: ((a + 5) (a +). )) + ((3a 5) (a 1)) = a a + 5 Егер қашықтық 5 болса, онда a = 0 немесе a = 1 Егер қашықтық 13 болса, онда a = 8 немесе a = 9 Жауабы: 8, 0 , 1, 9 1-нұсқа параметрдің барлық мәндерін табыңыз, олардың әрқайсысы үшін дәл екі теріс емес шешімдер теңдеу 10 0,1 x a 5 x + a =004 x Шешім Түрлендірулерді орындаңыз 5 x a 5 x + a =5 x болсын. us t = 5x 1 деп белгілейді монотондылыққа байланысты көрсеткіштік функция 5x, әрбір түбір t 1 дәл бір түбірді x 0 жасайды Теңдеу t a t+ a t =0 пішімінде болады. Егер a t болса, онда t + 3t + a = 0 1-ден үлкен түбірлер жоқ Егер t > a t/ болса, онда t t + 3a = 0 t > 1 кезінде функция монотонды түрде өседі, бір ғана түбір бар Егер 1/ > t/ > a болса, t 3t a = 0 t > 1 кезінде t 3t функциясы t = 1-ден монотонды түрде төмендейді. 5 кезінде t = 15, содан кейін монотонды түрде артады Бұл 5 > a үшін екі түбір бар, кіші а үшін түбір жоқ, а үлкенірек үшін дәл бір түбір бар дегенді білдіреді. жүйенің шешімдер саны x (a+1) x+ a 3= y, y (a +1) y + a 3= x Ойлау Жүйе f(x)= y, f(y)= x пішініне ие. , немесе f(f(x)) = x Шешімдердің бірі f(x)= x Екінші шешімін табамыз, теңдеулерді шегеру Шешімі Бірінші теңдеуден екіншісін алып, (x + y a)(x y) = 0 аламыз. x = y Бірінші теңдеуді ауыстырыңыз, түрлендіріңіз (x a 1) = 4 + a аламыз x + y = a болсын Бірінші теңдеуге ауыстырыңыз, түрлендіріңіз: (x a) = 3 + a Егер a<, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 >a >, яғни шешімдер жұбы x= y =a+ 1± 4+ a Егер a = 15 болса, онда екі шешім: x = y = a, x = y = a + Егер 15< a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, екі шешім, а > 15 төрт шешім В.В.Шеломовский Тақырыптық жинақтар, cmdru/
15 15 4-нұсқа а-ның барлық мәндерін табыңыз, олардың әрқайсысы үшін 7 x 6 +(4 a x)3 +6 x +8 a=4 x Ойлау 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x) теңдеуі. 3 Бұл теңдеу бірдей өрнектердің қосындысы мен кубтарының қосындысын қамтитынын білдіреді. Шешім Теңдеуді (3 x)3 +(4 a x)3+ (3 x + 4 a x) түріне түрлендірейік. )=0 Текшелердің қосындысын кеңейтейік (3 x +4 a x) ( (3 x) 3 x (4 a x)+(4 a x) +)=0 Екінші фактор - көбейтілген айырманың толық емес квадраты. Бірінші көбейткіштегі квадратты бөліп алып, 1 1 3(x) + 4 a = 4 a >0, a > 3 1 болса, бұл теңдеудің түбірі болмайды. Жауабы: 1a > 1 8-нұсқа мәндерін табыңыз. a-ның әрқайсысы үшін x a x функциясының ең үлкен мәні біреуден кем емес Шешім Егер x a болса, f(x,a) = x a x функциясы Ол x = 0,5 кезінде максимум, ең үлкені 0,5 a кезінде a< 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a >0,5 функциясының ең үлкен мәні a + 0,5 1 кезінде 0,75 Жауабы: a 0,75 немесе 075 a Функциялар жұбы a оң мәндерінің диапазонын табыңыз, олардың әрқайсысы үшін b болатындай теңдеулер жүйесі: у = x4 + a, x = 8y + b шешімдерінің жұп саны Шешуі: Бірінші теңдеуден у > 0 болатыны шығады, екінші теңдеуді 8 түріне түрлендіруге болады: y=, x (b; +) Жою. y: x b f (x) = x a = 0; f `(x) = 4 x 3 + x b (x b)3 Алынған теңдеудің әрбір түбірі бастапқы жүйенің дәл бір шешімін жасайды b 0 үшін f(x) функциясы монотонды түрде өседі және теңдеудің дәл бір түбірі болады Теріс үшін b< 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/
16 16 = x1, екі түбірі сәйкес келеді және f(x) = 0 теңдеуінің тек бір түбірі бар f`(x) x b және x үшін оң + f`(x) шарты бойынша ол нөлге тең. = 0 g (x) = x (x b) + 1 = 0 Соңғы теңдеудің бір немесе екі түбірі болуы мүмкін, тек теріс х үшін оларды x1 және x деп белгілейік: g(x1) = g(x) = 0 Жауабы: a (0; 3) В.В.Шеломовский Тақырыптық жинақтар, cmdru/
Бірыңғай мемлекеттік емтихан 013 үшін С5 типті тапсырмаларды шешу мысалдары Жиынтықтағы суреттердің көпшілігі интерактивті. Графиктердің параметрлері мен теңдеулерін өзгертуге болады. түймесін басу арқылы интерактивті файлдарға қол жеткізуге болады
41-тақырып «Параметрі бар тапсырмалар» Параметрі бар тапсырмалардың негізгі тұжырымдары: 1) Әрқайсысы үшін белгілі бір шарт орындалатын параметрдің барлық мәндерін табыңыз.) Теңдеуді немесе теңсіздікті шешіңіз.
1 Функциялар, олардың графиктері және байланысты дәлелдемелер Мазмұны 1 Түбірлер және олардың саны...1 1.1 Теңдеудің түбірі...1 1.1.a Теңдеудің түбірі...1 1. Түбірлер саны... 1. Сан тамырлар... 1.4 Функционалды
18-тапсырма 18-тапсырманы бағалау критерийлері Критерийдің мазмұны Ұпайлар Дұрыс жауап орынды алынды. 4 Дұрыс пайымдауды қолдана отырып, қажетті мәннен соңғы санмен ерекшеленетін a мәндерінің жиынтығы алынды
a x = b сызықтық теңдеуінің: бірегей шешімі, a 0 үшін; шешімдердің шексіз жиыны, a = 0, b = 0; шешімі жоқ, a = 0, b 0. ax 2 + bx + c = 0 квадрат теңдеуінде: екі түрлі
ГРАФИКТЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ Формула: y = kx + b k сызығының көлбеуі b түзудің басына қатысты қанша бірлік жоғары немесе төмен жылжығанын білдіреді k оң болғанда, сызық артады МЫСАЛДАР: y =
C5 Жүйенің шешімін беретін жұптар үшін шарттарды қанағаттандыру керек.
23-тапсырма 314690. - нүктесінде қиылысатын функцияның графигін тұрғызып, үш нүктеде түзудің графигі қандай мәндерде салынғанын анықтаңдар. Функцияның графигін тұрғызайық (суретті қараңыз). Графиктен түзу сызық екені анық
Параметрі бар есептер (графикалық шешім) Кіріспе Параметрлері бар есептерді зерттеуде графиктерді қолдану өте тиімді. Оларды қолдану әдісіне байланысты екі негізгі тәсіл бар.
Студенттерді бейіндік деңгейдегі математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындау жүйесі. (параметрі бар тапсырмалар) Теориялық материалАнықтама. Параметр – тәуелсіз айнымалы, оның мәні есепте қарастырылады
арналған тапсырмалар тәуелсіз шешім. 6x функциясының анықталу облысын табыңыз. Функция графигінің М (;) нүктесі арқылы өтетін жанаманың х осіне көлбеу бұрышының тангенсін табыңыз. Бұрыштың тангенсін табыңыз
Вебинар 5 Тақырып: Қайталау Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық (8-тапсырма) 8-тапсырма a параметрінің барлық мәндерін табыңыз, олардың әрқайсысы үшін a a 0 теңдеуінің жеті немесе сегіз шешімі бар болсын, содан кейін t t Бастапқы теңдеу
Дұрыс жауап Жүйе екі немесе одан да көп шарттарды орындауды талап ететіндіктен, біз барлық шарттарды бірден қанағаттандыратын белгісіз шама мәндерін іздейміз, теңсіздіктердің әрқайсысының шешімін көрсетейік
8-тарау Функциялар және графиктер Айнымалылар және олардың арасындағы тәуелділіктер. Екі шама тура пропорционал деп аталады, егер олардың қатынасы тұрақты болса, яғни = болса, мұндағы өзгерген сайын өзгермейтін тұрақты сан
36-тақырып «Функциялардың қасиеттері» Ерікті функцияның графигінің мысалын пайдаланып функцияның қасиеттерін талдаймыз y = f(x): 1. Функцияның анықталу облысы - барлық мәндердің жиыны. сәйкес келетін х айнымалысы
Жалпы ақпаратПараметрлермен есептер Модуль тапсырмалары бар теңдеулер типті тапсырмалар С 5 1 Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық Дихтяр М.Б. 1. х санының абсолютті мәні немесе модулі х санының өзі, егер x 0 болса; x саны,
Иррационал теңсіздіктер Айнымалы түбір белгісінің астында болатын теңсіздіктер иррационал теңсіздіктерді шешудің негізгі әдісі - түпнұсқаны азайту әдісі
Математика және жоғары математиканың информатика элементтері кафедрасы Оқу-әдістемелік кешенпайдалана отырып оқитын орта кәсіптік білім беру ұйымдарының студенттеріне арналған қашықтағы технологияларМодульдік дифференциалдық есептеулер Құрастырған:
Әртүрлі есептердегі квадраттық функция Дихтяр М.Б. Негізгі мәліметтер Квадраттық функция (квадрат үшмүше) y ax bx c түріндегі функция, мұндағы abc, берілген сандаржәне квадраттық функциялар
«Тангенс теңдеуі» тақырыбына есептер жүйесі y f () функциясының графигіне түсірілген жанаманың еңістігінің таңбасын анықтаңыз, абсциссалары а, b, c а) нүктелерінде б) туынды болатын нүктелерді көрсетіңіз.
МОДУЛЬДЕРІ БАР ТЕҢДЕЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІК Гущин Д.Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Ең қарапайым теңдеулер. Ең қарапайым (міндетті түрде қарапайым емес) теңдеулерге біз келесілердің бірімен шешілетін теңдеулерді жіктейміз:
МОДУЛЬ «Үздіксіздік пен туындының қолданылуы. Туындыны функцияларды зерттеуге қолдану». Үздіксіздікті қолдану.. Интервал әдісі.. Графикке жанама. Лагранж формуласы. 4. Туындының қолданылуы
МӘСЕЛЕНІҢ ШЕШІМІ RE A L N O G O V A R I A N T A E G E - 2001 P O M A T E M A T I K E 1 A1 бөлім. Өрнектің мағынасын табыңыз. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Шешуі. Жауабы: 1. A2. Өрнекті жеңілдету. 1.
Сынып оқушыларының математикалық мәдениетінің құзыреттілік компонентін қалыптастыру әдістемесі Математикадан оқу модульдерін оқу жүйесі Кафедраның аға оқытушысы Сиротина И.К. ақпараттық технология
Алгебра 0 баға Тақырып Тригонометриялық функциялар және түрлендірулер Негізгі ұғымдар Z әрпі бүтін сандар жиынын білдіреді: Z (0; ; ; ; ) [- аралықтарына жататын а санының доғалық синусы; ], деп аталады
111 Функциялар Негізгі деңгей Мазмұны 11101 Координаталық жүйелер 1110 Функция түсінігі 7 1110 Функцияны анықтау облысы 10 11104 Функция мәндерінің облысы (жиыны) 1 11105 Арту және кему функциясы
Тарау ТЕСТ ТАПСЫРМАЛАРЫ Т-0 Т-0 графигін пайдаланып функцияны зерттеу График арасындағы сәйкестік рационал функцияжәне формула T-0 Т-04 қасиеттеріне негізделген графикті құру Т-05 графигін параллель тасымалдау Симметриялы
Бойдақ мемлекеттік емтиханматематикадан, 7 жыл демо-нұсқа А бөлімі 6p p өрнегінің мәнін p = шешімімен табыңыз Дәрежелер қасиетін қолданамыз: Алынған өрнекке ауыстырыңыз Дұрыс
8-сабақ Негізгі тригонометриялық формулалар (жалғасы) Тригонометриялық функциялар Өнімді түрлендіру тригонометриялық функцияларқосындыға Синус пен косинустың көбейтіндісін түрлендіру формулалары
ФУНКЦИЯЛАР. Функция туралы түсінік. Адамның жылдамдығы 5 км/сағ дейік. Егер жол жүру уақытын х сағат, ал жүріп өткен жолды у км деп алсақ, онда жүріп өткен жолдың жүру уақытына тәуелділігі мынандай болады:
Бірыңғай мемлекеттік емтихан туралы жалпы мәліметтер Профиль деңгейі 0-тапсырма Параметрлері бар есептер Квадрат теңдеулер мен квадрат үшмүшелі теңдеулер Дихтяр М.Б. f (a) x + g(a) x + ϕ (a) = 0 теңдеуі, мұндағы f (a) 0,
2017 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханнан 18-тапсырмалар төңірегінде А.В. Шевкин, [электрондық пошта қорғалған]Аннотация: Мақалада қарастырылады әртүрлі жолдарпараметрі бар бірқатар тапсырмаларды шешу. Негізгі сөздер: теңдеу, теңсіздік, параметр, функция,
Екінші ретті қисықтар Шеңбер Эллипс Гипербола Парабола Жазықтықта тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі берілсін. Екінші ретті қисық – координаталары қанағаттандыратын нүктелер жиыны
Есептерді шешудің әртүрлі тәсілдері C C C5 Бірыңғай мемлекеттік емтихан 9 жыл Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық (мұғалімдерге арналған дәрістерге арналған материал) Прокофьев А.А. aaprokof@yaderu Есептер C Мысал (Бірыңғай мемлекеттік емтихан C) y si (si) теңдеулер жүйесін шешу. (7 жас)
1 Билеттер 9 10. Шешімдер 9-билет 1. f(x) сызықтық функциясы берілген. y = x және y = f(x) графиктерінің қиылысу нүктелерінің арақашықтығы 10-ға тең, ал у = графиктерінің қиылысу нүктелерінің арақашықтығы белгілі.
Математика және информатика кафедрасы Математикалық талдау Қашықтықтан технологияларды пайдалана отырып оқитын жоғары оқу орындарының студенттеріне арналған оқу-әдістемелік кешен Модуль 4 Туынды қолданбалар Құрастырған: доцент.
5-дәріс ұшақта. Анықтама. Жазықтықтағы кез келген түзуді бірінші ретті теңдеу арқылы анықтауға болады, ал А және В тұрақтылары бір уақытта нөлге тең емес. Бұл бірінші ретті теңдеу жалпы деп аталады
8 сынып Шешімдер 017-018 Тапсырма 1-тапсырма (x x 7) (x x) 0 теңдеуінің түбірлерінің кубтарының қосындысын табыңыз. Теңдеуді шешу үшін айнымалыларды ауыстыру әдісін қолданамыз. y = x + x 7, содан кейін x + x = (x
ТУЫНДЫ ФУНКЦИЯНЫ ҚОЛДАНУ Тангенс теңдеуі Келесі есепті қарастырайық: нүктедегі функция графигіне сызылған l жанамасының геометриялық мағынасына сәйкес теңдеу құруымыз керек
ФУНКЦИЯЛАРДЫ ЗЕРТТЕУ Функцияның ұлғаюы мен кемуінің жеткілікті шарттары: Егер дифференциалданатын функцияның туындысы белгілі X интервалының ішінде оң болса, онда ол осы аралықта артады.
Вебинар 7 (6-7) Тақырып: Бірыңғай мемлекеттік емтихан параметрлері Профиль 8-тапсырма Параметрдің барлық мәндерін табыңыз, олардың әрқайсысы үшін 5 5 5 функциясының мәндер жиынында барлық мәндерді табу сегменті бар. параметрі, әрқайсысы үшін
5.0. 014 Керемет жұмыс. Параметрлері бар теңдеулер және теңдеулер жүйесі. Тәжірибе қабылдау емтихандарыуниверситеттерге параметрлері бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу үлкен қиындықтар туғызатынын көрсетеді
Л.А. Штраус, И.В. Баринова Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы параметрге қатысты мәселелер Әдістемелік ұсыныстар y=-x 0 -a- -a x -5 Ульяновск 05 Штраус Л.А. Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы параметрге қатысты мәселелер [Мәтін]: әдістемелік ұсыныстар/ Л.А. Штраус, И.В.
13-дәріс Тақырыбы: Екінші ретті қисықтар Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар: эллипс, гипербола, парабола. Екінші ретті қисықтардың геометриялық қасиеттеріне негізделген теңдеулерді шығару. Эллипстің пішінін зерттеу,
Математика 8 сынып 2 БАҒДАРЛАМА МАЗМҰНЫ 1-бөлім. Алгебралық бөлшектер (24 сағат) Алгебралық бөлшек туралы түсінік. Алгебралық бөлшектің негізгі қасиеті. Алгебралық бөлшектерді азайту. Қосу және азайту
Тақырып 10 «Графиктер элементар функциялар" 1. Сызықтық функция f(x) = kx + b. График түзу сызық. 1) анықтау облысы D(f) = R.) мәндер облысы E(f) = R. 3) x = k/b кезінде y = 0 функциясының нөлдері. 4) Төтенше жағдайлар
П0 Туынды Аргументке байланысты кейбір f () функциясын қарастырайық
Параметрлермен есептер (10-11 сыныптар) Параметрлер бірдей сандар, тек алдын ала белгілі емес 1 Сызықтық теңдеулержәне параметрлері бар теңсіздіктер Сызықтық функция: - бұрыштық коэффициенті бар түзудің теңдеуі.
Нұсқа Функцияның анықталу облысын табыңыз: y + Бұл функцияның анықталу облысы теңсіздікпен анықталады Сонымен қатар, бөлгіш нөлге бармауы керек Бөлінгіштің түбірлерін табайық: Нәтижелерді біріктіру
БИЛЕТ 15 Phystech 017. Билеттер 15 16. Шешім 1. Аргументтің қатарынан үш натурал мәні үшін f(x) квадраттық функциясы сәйкесінше 1, 1 және 5 мәндерін қабылдайтыны белгілі. Ең кішісін табыңыз
Функциялардың графиктерін құру 1. График құру кезінде функцияны зерттеу жоспары 1. Функцияның анықталу облысын табыңыз. Функцияның бірнеше мәндерін қарастыру жиі пайдалы. Функцияның ерекше қасиеттерін зерттеңіз:
Геометриялық мағынасытуынды y=f(x) функциясының графигін және P 0 (x 0 ; f(x 0)) нүктесіндегі жанаманы қарастырайық. Осы нүктедегі графқа жанаманың еңісін табайық. Тангенстің көлбеу бұрышы P 0
Туындының геометриялық мағынасы, жанама 1. Суретте y=f(x) функциясының графигі және абсцисса х 0 нүктесінде оған жанама көрсетілген. f(x) функциясының туындысының мәнін табыңыз. x 0 нүктесінде. Мән
Білім және ғылым министрлігі Ресей ФедерациясыМәскеу физика-техникалық институты ( мемлекеттік университеті) Сырттай физика-техникалық мектеп МАТЕМАТИКА Параметрлері бар есептерді шығару (01 015)
КВАДРАТ ТЕҢДЕЛЕР Мазмұны КВАДРАТ ТЕҢДЕЛЕР... 4. Квадрат теңдеулерді зерттеу... 4.. Сандық коэффициенттері бар квадрат теңдеу... 4.. Шешу және зерттеу квадрат теңдеулерсалыстырмалы
Теңдеулер, теңсіздіктер, параметрі бар жүйелер - бұл сөз, сөз тіркесі, сан немесе сөздер тізбегі, сандар. Жауабыңызды бос орын, үтір немесе басқа қосымша таңбаларсыз жазыңыз.
БӨЛІМ ПАРАМЕТРЛЕРДІҢ МӘСЕЛЕЛЕРІ Түсініктеме Параметрлерге қатысты мәселелер дәстүрлі түрде күрделі тапсырмалар болып табылады. Бірыңғай мемлекеттік емтиханның құрылымы, өтініш берушіден әртүрлі мәселелерді шешудің барлық әдістері мен әдістерін білуді ғана емес талап етеді
Математика. Тапсырмалар жинағы (14, 01 сәуір). - параметріне қатысты мәселелер. Есеп 1. а параметрінің қандай мәндері үшін 4 + 1 = + a ax x x x a Есеп теңдеуінің бірегей шешімі бар. Барлығын жарамды деп табыңыз
И.В.Яковлев Математика бойынша материалдар MathUs.ru Интервалдық әдіс Интервал әдісі – рационал теңсіздіктер деп аталатындарды шешу әдісі. Жалпы түсінікРационал теңсіздікті кейінірек талқылаймыз, бірақ қазір
Дифференциалдық есептеулерге кіріспе математикалық талдауТізбектілік пен функцияның шегі. Шектеулердегі белгісіздіктерді ашу. Функцияның туындысы. Дифференциация ережелері. Туындыны қолдану
І бөлім (609-нұсқа) A Түбір белгісінің астына көбейткішті енгізіңіз 8 q A) q 8) q 8) q 8) q 8 8 8 q q Дұрыс жауап) Өрнектің мәнін табыңыз),5) Дұрыс жауап) 9 a = a a)) 8 A log 8 мәнін табыңыз
Шешімі А Осы сандарды барлығының сол жағында орналасқан және ең кішісі 4 Жауап: 5 А. Сан түзуінде теңсіздікті талдап көрейік қанағаттандыратын сандар
6..Н. Туынды 6..N. Туынды. Мазмұны 6..0.N. Туынды Кіріспе.... 6..0.Н. Туынды күрделі функция.... 5 6..0.Н. Модульдері бар функциялардың туындылары.... 7 6..0.N. Көтерілу және төмендеу
Дегенмен, іс жүзінде тағы екі жағдай кең таралған:
– Жүйе сәйкес емес (шешімдері жоқ);
– Жүйе дәйекті және шексіз көп шешімдері бар.
Ескерту : «Жүйелілік» термині жүйеде кем дегенде қандай да бір шешім бар екенін білдіреді. Бірқатар мәселелерде алдымен жүйенің үйлесімділігін тексеру керек, мақаланы қараңыз; матрицалардың дәрежесі.
Бұл жүйелер үшін барлық шешу әдістерінің ең әмбебаптары қолданылады - Гаусс әдісі. Шын мәнінде, «мектеп» әдісі де жауап береді, бірақ жоғары математикаБелгісіздерді дәйекті түрде жоюдың Гаусс әдісін қолдану әдетке айналған. Гаусс әдісінің алгоритмін білмейтіндер алдымен сабақты оқып шығуларыңызды сұраймыз Манекендерге арналған Гаусс әдісі.
Элементар матрицалық түрлендірулердің өзі де дәл солай, айырмашылық шешімнің аяқталуында болады. Алдымен жүйеде шешімдер болмаған кездегі бірнеше мысалды қарастырайық (үйлесімді емес).
1-мысал
Бұл жүйеде сіздің көзіңізге бірден не түседі? Теңдеулер саны айнымалылар санынан аз. Егер теңдеулер саны айнымалылар санынан аз болса, онда жүйе не сәйкессіз, не шексіз көп шешімдері бар деп бірден айта аламыз. Ал тек анықтау ғана қалады.
Шешімнің басы мүлдем кәдімгі - біз жүйенің кеңейтілген матрицасын жазамыз және элементар түрлендірулерді қолдана отырып, оны сатылы пішінге келтіреміз:
(1) Жоғарғы сол жақ қадамда +1 немесе –1 алу керек. Бірінші бағанда мұндай сандар жоқ, сондықтан жолдарды қайта реттеу ештеңе жасамайды. Бөлім өзін ұйымдастыруға мәжбүр болады және мұны бірнеше жолмен жасауға болады. Мен осылай жасадым: Бірінші жолға –1-ге көбейтілген үшінші жолды қосамыз.
(2) Енді бірінші бағанда екі нөл аламыз. Екінші жолға 3-ке көбейтілген бірінші жолды қосамыз. Үшінші жолға 5-ке көбейтілген бірінші жолды қосамыз.
(3) Трансформация аяқталғаннан кейін, алынған жолдарды оңайлатуға болатын-болмайтынын әрқашан көру ұсынылады? мүмкін. Біз екінші жолды 2-ге бөлеміз, сонымен бірге екінші қадамда қажетті –1 аламыз. Үшінші жолды –3-ке бөліңіз.
(4) Үшінші жолға екінші жолды қосыңыз.
Қарапайым түрлендірулер нәтижесінде пайда болған нашар сызықты бәрі байқаған шығар: 
. Бұлай болуы мүмкін емес екені анық. Шынында да, алынған матрицаны қайта жазайық 
сызықтық теңдеулер жүйесіне қайта келу: 
Егер элементар түрлендірулер нәтижесінде форма тізбегі алынса, мұндағы нөлден басқа сан болса, онда жүйе сәйкес емес (шешімдері жоқ).
Тапсырманың соңын қалай жазуға болады? Ақ бормен сурет салайық: «элементар түрлендірулер нәтижесінде , мұндағы » түрінің жолы алынады және жауап беріңіз: жүйеде шешімдер жоқ (сәйкес емес).
Егер шартқа сәйкес жүйені үйлесімділік үшін ЗЕРТТЕУ қажет болса, онда тұжырымдаманы қолдана отырып, шешімді неғұрлым берік стильде ресімдеу қажет. матрицалық ранг және Кронекер-Капелли теоремасы.
Мұнда Гаусс алгоритмін өзгерту жоқ екенін ескеріңіз - шешімдер жоқ және табу үшін ештеңе жоқ.
2-мысал
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу 
Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Толық шешімжәне сабақтың соңында жауап береді. Мен сіздің шешіміңіздің менің шешімімнен ерекшеленуі мүмкін екенін тағы да еске саламын, Гаусс алгоритмі күшті «қаттылыққа» ие емес;
Шешімнің тағы бір техникалық ерекшелігі: элементарлық түрлендірулерді тоқтатуға болады дереу, сияқты сызық ретінде, қайда. Шартты мысалды қарастырайық: бірінші түрлендіруден кейін матрица алынды делік 
. Матрица эшелондық түрге әлі қысқартылған жоқ, бірақ одан әрі элементар түрлендірулердің қажеті жоқ, өйткені форманың сызығы пайда болды, мұнда . Жүйенің үйлесімсіздігі туралы дереу жауап беру керек.
Сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдері болмаған кезде, бұл қысқа шешімнің кейде 2-3 қадаммен сөзбе-сөз алынуына байланысты сыйлық дерлік.
Бірақ бұл дүниеде бәрі теңдестірілген және жүйеде шексіз көп шешімдер бар мәселе ұзағырақ.
3-мысал
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу 
4 теңдеу және 4 белгісіз бар, сондықтан жүйенің не жалғыз шешімі болуы мүмкін, не шешімі жоқ, не шексіз көп шешімдері болуы мүмкін. Қалай болғанда да, Гаусс әдісі бізді жауапқа әкеледі. Бұл оның әмбебаптығы.
Басталуы қайтадан стандартты. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық және элементар түрлендірулерді қолдана отырып, оны сатылы түрге келтірейік: 
Бар болғаны, сен қорқтың.
(1) Бірінші бағандағы барлық сандар 2-ге бөлінетінін ескеріңіз, сондықтан жоғарғы сол жақ қадамда 2 дұрыс. Екінші жолға –4-ке көбейтілген бірінші жолды қосамыз. Үшінші жолға –2-ге көбейтілген бірінші жолды қосамыз. Төртінші жолға –1-ге көбейтілген бірінші жолды қосамыз.
Назар аударыңыз!Көпшілік төртінші жолға азғырылуы мүмкін шегеріңізбірінші жол. Мұны істеуге болады, бірақ бұл қажет емес, тәжірибе көрсеткендей, есептеулердегі қателік ықтималдығы бірнеше есе артады; Жай ғана қосыңыз: төртінші жолға бірінші жолды –1 – көбейтіндісін қосыңыз. дәл солай!
(2) Соңғы үш жол пропорционалды, олардың екеуін жоюға болады.
Мұнда тағы да көрсетуіміз керек назарын арттырды, бірақ сызықтар шынымен пропорционалды ма? Қауіпсіз жақта болу үшін (әсіресе шәйнек үшін) екінші жолды –1-ге көбейтіп, төртінші жолды 2-ге бөлген дұрыс, нәтижесінде үш бірдей сызық пайда болады. Содан кейін ғана олардың екеуін алып тастаңыз.
Элементар түрлендірулер нәтижесінде жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: 
Тапсырманы дәптерге жазғанда, түсінікті болу үшін қарындашпен бірдей жазбаларды жасаған жөн.
Сәйкес теңдеулер жүйесін қайта жазайық: 
«Қарапайым» жалғыз шешіммұнда жүйенің иісі жоқ. Жаман сызық та жоқ. Бұл дегеніміз, бұл үшінші қалған жағдай - жүйеде шексіз көп шешімдер бар. Кейде, шартқа сәйкес, жүйенің үйлесімділігін зерттеу қажет (яғни, шешімнің бар екенін дәлелдеу), бұл туралы мақаланың соңғы абзацында оқи аласыз. Матрицаның дәрежесін қалай табуға болады?Бірақ әзірше негіздерге тоқталайық:
Жүйе шешімдерінің шексіз жиынтығы қысқаша деп аталатын түрінде жазылған жүйенің жалпы шешімі .
Жалпы шешімГаусс әдісінің кері әдісін қолданып жүйені табамыз.
Алдымен бізде қандай айнымалылар бар екенін анықтау керек негізгі, және қандай айнымалылар тегін. Сызықтық алгебра шарттарымен өзіңізді алаңдатудың қажеті жоқ, тек олардың бар екенін есте сақтаңыз негізгі айнымалыларЖәне еркін айнымалылар.
Негізгі айнымалылар әрқашан матрицаның қадамдарында қатаң түрде «отырылады»..
IN бұл мысалданегізгі айнымалылар және
Еркін айнымалылар - бәрі қалдықадамды қабылдамаған айнымалылар. Біздің жағдайда олардың екеуі бар: – бос айнымалылар.
Енді сізге керек Барлығы негізгі айнымалыларэкспресс арқылы ғана еркін айнымалылар.
Гаусс алгоритмінің кері жағы дәстүрлі түрде төменнен жоғарыға қарай жұмыс істейді.
Жүйенің екінші теңдеуінен негізгі айнымалыны өрнектейміз:
Енді бірінші теңдеуге қараңыз: 
. Алдымен оған табылған өрнекті ауыстырамыз: 
Негізгі айнымалыны еркін айнымалылар арқылы өрнектеу қалады: 
Соңында біз қажет нәрсені алдық - Барлығынегізгі айнымалылар ( және ) өрнектеледі арқылы ғанаеркін айнымалылар: 
Жалпы шешім дайын: 
Жалпы шешімді қалай дұрыс жазуға болады?
Еркін айнымалылар жалпы шешімге «өздігінен» және қатаң түрде өз орындарында жазылады. Бұл жағдайда бос айнымалылар екінші және төртінші позицияларда жазылуы керек: 
.
Негізгі айнымалылар үшін нәтижелі өрнектер 
және бірінші және үшінші позицияларда жазылуы керек екені анық: 
Еркін айнымалыларды беру ерікті мәндер, сіз шексіз көп таба аласыз жеке шешімдер. Ең танымал мәндер нөлдер болып табылады, өйткені нақты шешімді алу оңай. Жалпы шешімге ауыстырайық: 
- жеке шешім.
Тағы бір тәтті жұп біреулер, оларды жалпы шешімге ауыстырайық: 
– басқа жеке шешім.
Теңдеулер жүйесі бар екенін көру оңай шексіз көп шешімдер(өйткені біз бос айнымалыларды бере аламыз кез келгенқұндылықтар)
Әрбірнақты шешім қанағаттандыруы керек барлығынажүйенің теңдеуі. Бұл шешімнің дұрыстығын «жылдам» тексеруге негіз болады. Мысалы, белгілі бір шешімді алыңыз және оны бастапқы жүйенің әрбір теңдеуінің сол жағына қойыңыз: 
Барлығы бірге болуы керек. Сіз алатын кез келген нақты шешіммен бәрі де келісуі керек.
Бірақ, қатаң айтқанда, белгілі бір шешімді тексеру кейде алдау болып табылады, яғни. кейбір нақты шешім жүйенің әрбір теңдеуін қанағаттандыруы мүмкін, бірақ жалпы шешімнің өзі шын мәнінде қате табылған.
Сондықтан жалпы шешімді тексеру мұқият және сенімдірек. Алынған жалпы шешімді қалай тексеруге болады 
?
Бұл қиын емес, бірақ өте жалықтырады. Біз өрнектерді алуымыз керек негізгіайнымалылар, бұл жағдайда 
және , және оларды жүйенің әрбір теңдеуінің сол жағына ауыстырыңыз.
Жүйенің бірінші теңдеуінің сол жағында: 
Жүйенің екінші теңдеуінің сол жағына: 
Бастапқы теңдеудің оң жағы алынады.
4-мысал
Жүйені Гаусс әдісімен шешіңіз. Жалпы шешімді және екі ерекше шешімді табыңыз. Жалпы шешімді тексеріңіз. 
Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Бұл жерде, айтпақшы, тағы да теңдеулер саны белгісіздер санынан аз, яғни жүйе не сәйкес келмейтіні, не шешімдерінің шексіз болатыны бірден белгілі болады. Шешім қабылдау процесінің өзінде не маңызды? Назар аударыңыз және тағы да назар аударыңыз. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.
Материалды бекіту үшін тағы бірнеше мысал
5-мысал
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу. Егер жүйеде шексіз көп шешімдер болса, екі нақты шешімді тауып, жалпы шешімді тексеріңіз 
Шешім: Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып алайық және элементар түрлендірулерді қолданып, оны сатылы түрге келтірейік: 
(1) Бірінші жолды екінші жолға қосыңыз. Үшінші жолға 2-ге көбейтілген бірінші жолды қосамыз. Төртінші жолға 3-ке көбейтілген бірінші жолды қосамыз.
(2) Үшінші жолға –5-ке көбейтілген екінші жолды қосамыз. Төртінші жолға –7-ге көбейтілген екінші жолды қосамыз.
(3) Үшінші және төртінші жолдар бірдей, олардың біреуін өшіреміз.
Бұл сұлулық: 
Негізгі айнымалылар қадамдарда отырады, сондықтан - негізгі айнымалылар.
Қадам алмаған бір ғана бос айнымалы бар:
Кері:
Негізгі айнымалыларды еркін айнымалы арқылы өрнектеп көрейік:
Үшінші теңдеуден: 
Екінші теңдеуді қарастырып, оған табылған өрнекті ауыстырайық: 
Бірінші теңдеуді қарастырып, табылған өрнектерді оған ауыстырайық: 
Иә, қарапайым бөлшектерді есептейтін калькулятор әлі де ыңғайлы.
Сонымен, жалпы шешім: 
Тағы да, бұл қалай болды? Еркін айнымалы өзінің заңды төртінші орнында жалғыз отырады. Негізгі айнымалыларға арналған нәтижелі өрнектер де реттік орындарын алды.
Бірден жалпы шешімді тексеріп көрейік. Жұмыс қара нәсілділерге арналған, бірақ мен мұны істеп қойдым, сондықтан оны ұстаңыз =)
Жүйенің әрбір теңдеуінің сол жағына үш кейіпкерді , , ауыстырамыз:
Теңдеулердің сәйкес оң жақтары алынады, осылайша жалпы шешімі дұрыс табылды.
Енді жалпы шешімнен 
біз екі нақты шешім аламыз. Мұнда жалғыз еркін айнымалы - аспазшы. Миыңызды қағудың қажеті жоқ.
Солай болсын 
- жеке шешім.
Солай болсын 
– басқа жеке шешім.
Жауап: Жалпы шешім: 
, жеке шешімдер: 
, .
Мен қара нәсілділер туралы есіме түспеуі керек еді... ...себебі менің басыма түрлі садистік мотивтер кіріп, ақ халат киген ку-клюкс-клансмендер қара футболшының соңынан далада жүгіріп келе жатқан атақты фотошопты есіме түсірдім. Мен тыныш отырамын және күлемін. Сіз қаншалықты алаңдататыныңызды білесіз ...
Көптеген математика зиянды, сондықтан өз бетінше шешуге болатын ұқсас соңғы мысал.
6-мысал
Сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін табыңыз. 
Мен жалпы шешімді тексердім, жауапқа сенуге болады. Сіздің шешіміңіз менің шешімімнен өзгеше болуы мүмкін, ең бастысы, жалпы шешімдер сәйкес келеді.
Көптеген адамдар шешімдердегі жағымсыз сәтті байқаған болуы мүмкін: Гаусс әдісін қайтарған кезде біз жиі араласуға тура келді. жай бөлшектер. Тәжірибеде бұл шынында да, фракциялар жоқ жағдайлар әлдеқайда аз кездеседі; Ақыл-ой, ең бастысы, техникалық дайын болыңыз.
Шешілген мысалдарда табылмаған шешімнің кейбір ерекшеліктеріне тоқталамын.
Жүйенің жалпы шешімі кейде тұрақтыны (немесе тұрақтыларды) қамтуы мүмкін, мысалы: . Мұнда негізгі айнымалылардың бірі тұрақты санға тең: . Бұл жерде экзотикалық ештеңе жоқ, бұл орын алады. Әлбетте, бұл жағдайда кез келген нақты шешім бірінші позицияда бестіктен тұрады.
Сирек, бірақ мұндай жүйелер бар теңдеулер саны көбірек мөлшерайнымалылар. Гаусс әдісі ең ауыр жағдайларда жұмыс істейді, стандартты алгоритмді қолдана отырып, жүйенің кеңейтілген матрицасын қадамдық пішінге дейін тыныштандыру керек; Мұндай жүйе сәйкес келмеуі мүмкін, шексіз көп шешімдерге ие болуы мүмкін және, бір таңқаларлығы, жалғыз шешім болуы мүмкін.
Жүйе болса
a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2,
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m. (5.1)
үйлесімді болып шықты, яғни А жүйесінің матрицалары мен кеңейтілген жүйенің матрицасы (бос мүшелер бағанымен) A|b бірдей рангқа ие, онда екі мүмкіндікті ұсынуға болады - а) r = n; б) р< n:
а) егер r = n болса, онда бізде n белгісізі бар n тәуелсіз теңдеу бар және бұл жүйенің D анықтаушысы нөлге тең емес. Мұндай жүйенің алынған бірегей шешімі бар;
б) егер r< n, то число независимых уравнений саны азбелгісіз.
Әдетте бос деп аталатын артық x r+1 , x r+2 ,..., x n белгісіздерді оң жаққа жылжытайық; Біздің сызықтық теңдеулер жүйесі келесідей болады:
a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r = b 1 - a 1 , r+1 x r+1 -... - a 1n x n,
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2 - a 2 , r+1 x r+1 -... - a 2n x n,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
a r1 x 1 + a r2 x 2 +... + a rr x r = b r - a r , r+1 x r+1 -... - a rn x n.
Оны x 1, x 2,..., x r-ге қатысты шешуге болады, өйткені бұл жүйенің анықтауышы (r-ші рет) нөлге тең емес. Бос белгісіздерді ерікті түрде беру сандық мәндер, Крамер формулалары арқылы x 1 , x 2 ,..., x r үшін сәйкес сандық мәндерді аламыз. Осылайша, r үшін< n имеем бесчисленное множество решений.
(5.1) жүйесі шақырылады біртекті, егер барлығы b i = 0 болса, яғни оның келесі формасы болады:
a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0, (5,5) ... ... . .. ... ... ... a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = 0.
Кронекер-Капелли теоремасынан оның әрқашан дәйекті болатыны шығады, өйткені нөлдер бағанасын қосу матрицаның дәрежесін арттыра алмайды. Алайда бұл бірден көрінеді – (5.5) жүйенің нөлдік немесе тривиальды шешімі бар x 1 = x 2 =... = x n = 0. (5.5) жүйенің А матрицасы r дәрежесіне ие болсын. Егер r = n болса, онда нөлдік шешім (5.5) жүйенің жалғыз шешімі болады; r< n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае ерікті жүйетеңдеулер. Кез келген нөлдік емес вектор – баған X= (x 1 , x 2 ,..., x n) T деп аталады. меншікті вектор сызықтық түрлендіру(квадрат матрицаА ), теңдік болатындай λ саны болса
λ саны шақырылады сызықтық түрлендірудің меншікті мәні (матрицаА ), X векторына сәйкес. А матрицасы n ретті. Математикалық экономикада деп аталатын өнімді матрицалар. А матрицасының барлық меншікті мәндері абсолютті мәнде біреуден кіші болған жағдайда ғана А матрицасының өнімді болатыны дәлелденді. А матрицасының меншікті мәндерін табу үшін AX = λX теңдігін (A - λE)X = 0 түрінде қайта жазамыз, мұндағы E - n-ші ретті сәйкестік матрицасы немесе координаталық түрдегі:
(a 11 -λ)x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n =0,
a 21 x 1 + (a 22 -λ)x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.6)
... ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + (a nn -λ)x n = 0 .Біз сызықтық жүйені алдық біртекті теңдеулер, егер бұл жүйенің анықтауышы нөлге тең болса және тек қана нөлдік емес шешімдері бар, яғни.
деп аталатын белгісіз λ-ға қатысты n-ші дәрежелі теңдеу алдық матрицаның сипаттамалық теңдеуі A, көпмүше деп аталады матрицаның сипаттамалық полиномыА және оның түбірлері матрицаның сипаттамалық сандары немесе меншікті мәндері A. А меншікті матрицаларын табу үшін векторлық теңдеу(A - λE)X = 0 немесе табылған λ мәндерін сәйкес біртекті теңдеулер жүйесіне (5.6) ауыстырып, әдеттегі әдіспен шешу керек. 2.16-мысал. Теңдеулер жүйесін зерттеп, егер ол сәйкес болса, оны шешіңіз.
x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 =1, 3x 1 - x 2 + x 3 + 4x 4 + 3x 5 =4, x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 + x 5 =0 .
Шешім. A және A|b матрицаларының қатарларын элементар түрлендіру әдісін қолданып, бір уақытта жүйені сатылы түрге келтіреміз:
Әлбетте, r(A) = r( A|b) = 2. Бастапқы жүйе келесіге тең, сатылы түрде келтірілген: x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4 = 1. Белгісіздер үшін анықтауыш болғандықтан x 1Және x 2нөлден өзгеше болса, онда олар негізгі ретінде қабылданады және жүйені келесі түрде қайта жазуға болады: x 1 + x 2 = 2x 3 + x 4 - x 5 + 1, - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1, Мұндағы x 2 = 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 = 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - жүйенің жалпы шешімі шешімдердің шексіз саны. Тегін белгісіздерді беру x 3 , x 4 , x 5нақты сандық мәндер, біз нақты шешімдерді аламыз. Мысалы, x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 1 = 5/4 болғанда, x 2 = - 1/4. С(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) векторы осы жүйенің нақты шешімі болып табылады. 2.17-мысал.Теңдеулер жүйесін зерттеп, параметр мәніне байланысты жалпы шешімін табыңыз А.
2x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2, x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a. Шешім.Бұл жүйе матрицаға сәйкес келеді сондықтан бастапқы жүйе мынаған тең: x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2, 5x 2 - 3x 3 + 7x 4 = a-2,
. Бізде A ~ бар 
Бұл жүйенің тек a=5 үшін үйлесімді екенін көрсетеді. Бұл жағдайда жалпы шешім:
x 2 = 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4, x 1 = 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.
Мысал 2.18. Векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болатынын анықтаңыз:а 1 =(1, 1, 4, 2),
а 2 = (1, -1, -2, 4),
а 3 = (0, 2, 6, -2),
а 4 =(-3, -1, 3, 4),
а 5 =(-1, 0, - 4, -7),
Шешім.Векторлар жүйесі, егер мұндай сандар болса, сызықтық тәуелді болады x 1, x 2, x 3, x 4, x 5,кем дегенде біреуі нөлге тең емес(1-тармақты қараңыз. I бөлім) векторлық теңдік орындалады:
x 1 а 1+x2 а 2+x3 а 3+x4 а 4+x5 а 5 = 0.
Координаталық белгілерде ол теңдеулер жүйесіне тең:
x 1 + x 2 - 3x 4 - x 5 = 0, x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = 0, 4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0, 2x 1 + 4x 2 - 2х 3 + 4х 4 - 7х 5 = 0.
Сонымен, біз сызықтық біртекті теңдеулер жүйесін алдық. Біз оны белгісіздерді жою арқылы шешеміз:
Жүйе 3-ке тең сатылы түрге келтірілді, бұл біртекті теңдеулер жүйесінің нөлден (r) басқа шешімдері бар екенін білдіреді.< n). Определитель при неизвестных x 1 , x 2 , x 4нөлден ерекшеленеді, сондықтан оларды негізгі ретінде таңдауға және жүйені келесі түрде қайта жазуға болады:
x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5, -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5, - 3x 4 = - x 5.
Бізде: x 4 = 1/3 x 5, x 2 = 5/6x 5 +x 3, x 1 = 7/6 x 5 -x 3. Жүйеде сансыз шешімдер бар; тегін болса белгісіз x 3Және x 5бір уақытта нөлге тең емес, онда негізгі белгісіздер де нөлден ерекшеленеді. Демек, векторлық теңдеу
x 1 а 1+x2 а 2+x3 а 3+x4 а 4+x5 а 5 = 0
