Геометриялық прогрессия қалай табылады? Геометриялық прогрессияның бөлгіші: формулалары мен қасиеттері

«Сандар тізбегі. Геометриялық прогрессия» тақырыбына сабақ және презентация.

Қосымша материалдар
Құрметті қолданушылар, өз пікірлеріңізді, пікірлеріңізді, тілектеріңізді қалдыруды ұмытпаңыздар! Барлық материалдар антивирустық бағдарлама арқылы тексерілді.

9-сыныпқа арналған Integral интернет-дүкеніндегі оқу құралдары мен тренажерлар
Дәрежелер мен түбірлер Функциялар және графиктер

Балалар, бүгін біз прогрессияның тағы бір түрімен танысамыз.
Бүгінгі сабағымыздың тақырыбы геометриялық прогрессия.

Геометриялық прогрессия

Анықтама. Әрбір мүшесі екіншісінен бастап алдыңғы және кейбір тіркелген санның көбейтіндісіне тең болатын сандық тізбек геометриялық прогрессия деп аталады.
Рекурсивті түрде ретімізді анықтайық: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
мұнда b және q анықталған берілген сандар. q саны прогрессияның бөлгіші деп аталады.

Мысал. 1,2,4,8,16... Бірінші мүшесі бірге тең және $q=2$ болатын геометриялық прогрессия.

Мысал. 8,8,8,8... Бірінші мүшесі сегізге тең геометриялық прогрессия,
және $q=1$.

Мысал. 3,-3,3,-3,3... Бірінші мүшесі үшке тең геометриялық прогрессия,
және $q=-1$.

Геометриялық прогрессияның монотондылық қасиеті бар.
Егер $b_(1)>0$, $q>1$,
содан кейін реттілік артады.
Егер $b_(1)>0$, $0 Тізбек әдетте келесі түрде белгіленеді: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Арифметикалық прогрессиядағы сияқты, геометриялық прогрессияда элементтер саны ақырлы болса, онда прогрессия ақырлы геометриялық прогрессия деп аталады.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Егер тізбек геометриялық прогрессия болса, онда мүшелердің квадраттарының тізбегі де геометриялық прогрессия болатынын ескеріңіз. Екінші қатарда бірінші мүшесі $b_(1)^2$, ал бөлгіш $q^2$ тең.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы

Геометриялық прогрессияны аналитикалық түрде де көрсетуге болады. Мұны қалай жасау керектігін көрейік:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Біз үлгіні оңай байқаймыз: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Біздің формуламыз «геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы» деп аталады.

Мысалдарымызға оралайық.

Мысал. 1,2,4,8,16... Бірінші мүшесі бірге тең геометриялық прогрессия,
және $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Мысал. 16,8,4,2,1,1/2… Бірінші мүшесі он алтыға тең геометриялық прогрессия және $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Мысал. 8,8,8,8... Бірінші мүшесі сегізге тең және $q=1$ болатын геометриялық прогрессия.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Мысал. 3,-3,3,-3,3... Бірінші мүшесі үшке тең және $q=-1$ болатын геометриялық прогрессия.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Мысал. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ геометриялық прогрессиясы берілген.
а) $b_(1)=6, q=3$ екені белгілі. $b_(5)$ табыңыз.
б) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ екені белгілі. n табыңыз.
в) $q=-2, b_(6)=96$ екені белгілі. $b_(1)$ табыңыз.
г) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$ екені белгілі. q табыңыз.

Шешім.
а) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, өйткені $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Мысал. Геометриялық прогрессияның жетінші және бесінші мүшелерінің айырмасы 192, прогрессияның бесінші және алтыншы мүшелерінің қосындысы 192. Осы прогрессияның оныншы мүшесін табыңыз.

Шешім.
Біз мынаны білеміз: $b_(7)-b_(5)=192$ және $b_(5)+b_(6)=192$.
Біз сондай-ақ білеміз: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Содан кейін:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Біз теңдеулер жүйесін алдық:
$\begin(жағдайлар)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(жағдайлар)$.
Теңдеуімізді теңестірсек, мынаны аламыз:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Бізде екі шешім q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Екінші теңдеуді ретімен ауыстырыңыз:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ шешімдер жоқ.
Біз мынаны алдық: $b_(1)=4, q=2$.
Оныншы мүшесін табайық: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Ақырлы геометриялық прогрессияның қосындысы

Шекті геометриялық прогрессия болсын. Арифметикалық прогрессия сияқты, оның мүшелерінің қосындысын есептейік.

Ақырлы геометриялық прогрессия берілсін: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Оның мүшелерінің қосындысы үшін белгілеуді енгізейік: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ болған жағдайда. Геометриялық прогрессияның барлық мүшелері бірінші мүшесіне тең, сонда $S_(n)=n*b_(1)$ екені анық.
Енді $q≠1$ жағдайын қарастырайық.
Жоғарыдағы соманы q-ға көбейтейік.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Ескерту:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Біз ақырлы геометриялық прогрессияның қосындысының формуласын алдық.

Мысал.
Бірінші мүшесі 4-ке, ал бөлгіші 3-ке тең геометриялық прогрессияның алғашқы жеті мүшесінің қосындысын табыңыз.

Шешім.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Мысал.
Геометриялық прогрессияның белгілі бесінші мүшесін табыңыз: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Шешім.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Геометриялық прогрессияның сипатты қасиеті

Балалар, геометриялық прогрессия беріледі. Оның үш қатарынан мүшелерін қарастырайық: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Біз мұны білеміз:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Содан кейін:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Прогрессия ақырлы болса, онда бұл теңдік бірінші және соңғыдан басқа барлық мүшелер үшін орындалады.
Егер реттілік қандай формада болатыны алдын ала белгілі болмаса, бірақ белгілі болғаны: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Сонда бұл геометриялық прогрессия деп сенімді түрде айта аламыз.

Әрбір мүшенің квадраты прогрессияның көршілес екі мүшесінің көбейтіндісіне тең болғанда ғана сандар тізбегі геометриялық прогрессия болып табылады. Ақырғы прогрессия үшін бұл шарт бірінші және соңғы мүшелер үшін орындалмайтынын ұмытпаңыз.

Мына сәйкестікті қарастырайық: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ орташа деп аталады геометриялық сандара және б.

Геометриялық прогрессияның кез келген мүшесінің модулі оның көршілес екі мүшесінің геометриялық ортасына тең.

Мысал.
$x+2 болатындай x табыңыз; 2x+2; 3x+3$ геометриялық прогрессияның қатарынан үш мүшесі болды.

Шешім.
Сипаттама қасиетін қолданайық:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ және $x_(2)=-1$.
Шешімдерімізді бастапқы өрнекке ретімен ауыстырайық:
$x=2$ арқылы біз тізбекті алдық: 4;6;9 – $q=1,5$ болатын геометриялық прогрессия.
$x=-1$ үшін біз тізбекті аламыз: 1;0;0.
Жауабы: $x=2.$

Өз бетінше шешілетін мәселелер

1. 16;-8;4;-2… геометриялық прогрессияның сегізінші бірінші мүшесін табыңыз.
2. 11,22,44... геометриялық прогрессияның оныншы мүшесін табыңыз.
3. $b_(1)=5, q=3$ болатыны белгілі. $b_(7)$ табыңыз.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$ екені белгілі. n табыңыз.
5. 3;12;48... геометриялық прогрессияның алғашқы 11 мүшесінің қосындысын табыңыз.
6. $3x+4 болатындай х-ті табыңыз; 2x+4; x+5$ – геометриялық прогрессияның қатарынан үш мүшесі.

Геометриялық прогрессияның мысалы: 2, 6, 18, 54, 162.

Мұнда біріншіден кейінгі әрбір мүше алдыңғысынан 3 есе үлкен. Яғни, әрбір келесі мүше алдыңғы мүшені 3-ке көбейтудің нәтижесі болып табылады:

2 · 3 = 6

6 3 = 18

18 3 = 54

54 3 = 162 .

Біздің мысалда екінші мүшені біріншіге, үшінші мүшені екіншіге бөлгенде т.б. біз 3 аламыз. 3 саны осы геометриялық прогрессияның бөлгіші.

Мысал:

2, 6, 18, 54, 162 геометриялық прогрессиямызға оралайық. Төртінші мүшесін алып, оның квадратын шығарайық:
54 2 = 2916.

Енді 54 санының оң және сол жағына мүшелерді көбейтейік:

18 162 = 2916.

Көріп отырғаныңыздай, үшінші мүшенің квадраты көршілес екінші және төртінші мүшелердің көбейтіндісіне тең.

1-мысал: Бірінші мүшесі 2-ге, ал геометриялық прогрессияның бөлімі 1,5-ке тең болатын белгілі бір геометриялық прогрессияны алайық. Бұл прогрессияның 4-ші мүшесін табуымыз керек.

Берілген:
б 1 = 2

q = 1,5
n = 4

————
б 4 - ?

Шешім.

Формуланы қолданыңыз б н= b 1 · q n- 1 , оған сәйкес мәндерді енгізіңіз:
б 4 = 2 1,5 4 - 1 = 2 1,5 3 = 2 3,375 = 6,75.

Жауап: Берілген геометриялық прогрессияның төртінші мүшесі 6,75 саны.

2-мысал: Бірінші және үшінші мүшелері сәйкесінше 12 және 192-ге тең болса, геометриялық прогрессияның бесінші мүшесін табыңыз.

Берілген:
б 1 = 12
б 3 = 192
————
б 5 - ?

Шешім.

1) Алдымен геометриялық прогрессияның бөлгішін табу керек, онсыз есепті шығару мүмкін емес. Бірінші қадам ретінде формуламызды пайдаланып, b 3 формуласын аламыз:

б 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2

Енді геометриялық прогрессияның бөлгішін таба аламыз:

б 3 192
q 2 = —— = —— = 16
б 1 12

q= √16 = 4 немесе -4.

2) Мәнді табу қалады б 5 .
Егер q= 4, онда

б 5 = б 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.

Сағат q= -4 нәтиже бірдей болады. Осылайша, мәселенің бір шешімі бар.

Жауап: Берілген геометриялық прогрессияның бесінші мүшесі 3072 саны.

Мысал: Геометриялық прогрессияның алғашқы бес мүшесінің қосындысын табыңыз ( б н), оның бірінші мүшесі 2-ге, ал геометриялық прогрессияның бөлімі 3-ке тең.

Берілген:

б 1 = 2

q = 3

n = 5
————
С 5 - ?

Шешім.

Жоғарыдағы екеуінің екінші формуласын қолданамыз:

б 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
С 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2

Жауап: Берілген геометриялық прогрессияның алғашқы бес мүшесінің қосындысы 242-ге тең.

Шексіз геометриялық прогрессияның қосындысы.

«Шексіз геометриялық прогрессияның қосындысы» және «қосынды» ұғымдарын ажырата білу керек nгеометриялық прогрессияның мүшелері». Екінші концепция кез келген геометриялық прогрессияға, ал біріншісі – абсолютті мәнде бөлгіш 1-ден аз болатынға ғана қатысты.

Геометриялық прогрессия – бірінші мүшесі нөлге жатпайтын және әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесінің сол нөлдік емес санға көбейтіндісіне тең болатын сандық тізбек. Геометриялық прогрессия b1,b2,b3, …, bn, … деп белгіленеді.

Геометриялық прогрессияның қасиеттері

Геометриялық қатенің кез келген мүшесінің оның алдыңғы мүшесіне қатынасы бірдей санға тең, яғни b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Бұл арифметикалық прогрессияның анықтамасынан тікелей шығады. Бұл сан геометриялық прогрессияның бөлгіші деп аталады. Әдетте геометриялық прогрессияның бөлгіші q әрпімен белгіленеді.

Геометриялық прогрессияны анықтау тәсілдерінің бірі оның бірінші мүшесі b1 және q геометриялық қатесінің бөлгішін көрсету болып табылады. Мысалы, b1=4, q=-2. Бұл екі шарт геометриялық прогрессияны анықтайды 4, -8, 16, -32, ….

Егер q>0 (q 1-ге тең емес), онда прогрессия монотонды тізбек болады. Мысалы, 2, 4,8,16,32, ... тізбегі монотонды өсетін тізбек (b1=2, q=2).

Егер геометриялық қателіктегі бөлгіш q=1 болса, онда геометриялық прогрессияның барлық мүшелері бір-біріне тең болады. Мұндай жағдайларда прогрессия тұрақты тізбек деп аталады.

Прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы

Сан тізбегі (bn) геометриялық прогрессия болуы үшін оның әрбір мүшесі екіншісінен бастап көршілес мүшелердің геометриялық ортасы болуы керек. Яғни, келесі теңдеуді орындау қажет - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), кез келген n>0 үшін, мұндағы n жиынтыққа жатады. натурал сандарН.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы:

bn=b1*q^(n-1), мұндағы n N натурал сандар жиынына жатады.

Қарапайым мысалды қарастырайық:

Геометриялық прогрессияда b1=6, q=3, n=8 bn табыңыз.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын қолданайық.

Геометриялық прогрессия – бірінші мүшесі нөлге жатпайтын және әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесінің сол нөл емес санға көбейтіндісіне тең болатын сандық тізбек.

Геометриялық прогрессия белгіленеді b1,b2,b3, …, bn, … .

Геометриялық қатенің кез келген мүшесінің оның алдыңғы мүшесіне қатынасы бірдей санға тең, яғни b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Бұл арифметикалық прогрессияның анықтамасынан тікелей шығады. Бұл сан геометриялық прогрессияның бөлгіші деп аталады. Әдетте геометриялық прогрессияның бөлгіші q әрпімен белгіленеді.

Монотонды және тұрақты реттілік

Геометриялық прогрессияны анықтау тәсілдерінің бірі оның бірінші мүшесі b1 және q геометриялық қатесінің бөлгішін көрсету болып табылады. Мысалы, b1=4, q=-2. Бұл екі шарт геометриялық прогрессияны анықтайды 4, -8, 16, -32, ….

Егер q>0 (q 1-ге тең емес), онда прогрессия болады монотонды реттілік.Мысалы, 2, 4,8,16,32, ... тізбегі монотонды өсетін тізбек (b1=2, q=2).

Егер геометриялық қателіктегі бөлгіш q=1 болса, онда геометриялық прогрессияның барлық мүшелері бір-біріне тең болады. Мұндай жағдайларда олар прогресс деп айтады тұрақты реттілік.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы

Сан тізбегі (bn) геометриялық прогрессия болуы үшін оның әрбір мүшесі екіншісінен бастап көршілес мүшелердің геометриялық ортасы болуы керек. Яғни, келесі теңдеуді орындау керек
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), кез келген n>0 үшін, мұндағы n N натурал сандар жиынына жатады.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы:

bn=b1*q^(n-1),

мұндағы n N натурал сандар жиынына жатады.

Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы

Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы келесідей болады:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), мұндағы q 1-ге тең емес.

Қарапайым мысалды қарастырайық:

Геометриялық прогрессияда b1=6, q=3, n=8 Sn табыңыз.

S8 табу үшін геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын қолданамыз.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19,680.

>>Математика: Геометриялық прогрессия

Оқырманға ыңғайлы болу үшін бұл абзац алдыңғы абзацта ұстанған жоспарға сәйкес жасалған.

1. Негізгі ұғымдар.

Анықтама.Барлық мүшелері 0-ден ерекшеленетін және әрбір мүшесі екіншісінен бастап алдыңғы мүшесінен оны бірдей санға көбейту арқылы алынатын сандық тізбекті геометриялық прогрессия деп атайды. Бұл жағдайда 5 саны геометриялық прогрессияның бөлгіші деп аталады.

Сонымен, геометриялық прогрессия - бұл қатынастар арқылы қайталанатын (b n) сандық тізбек.

Мүмкін бе, қарап отыр сандар тізбегі, геометриялық прогрессия екенін анықтаңыз? мүмкін. Егер сіз тізбектің кез келген мүшесінің алдыңғы мүшеге қатынасы тұрақты екеніне сенімді болсаңыз, онда сізде геометриялық прогрессия бар.
1-мысал.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

2-мысал.

Бұл геометриялық прогрессия
3-мысал.

Бұл геометриялық прогрессия
4-мысал.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Бұл b 1 - 8, q = 1 болатын геометриялық прогрессия.

Бұл тізбектің де арифметикалық прогрессия екенін ескеріңіз (§ 15-тен 3-мысалды қараңыз).

5-мысал.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Бұл b 1 = 2, q = -1 болатын геометриялық прогрессия.

Әлбетте, геометриялық прогрессия, егер b 1 > 0, q > 1 болса (1-мысалды қараңыз) өсетін реттілік және b 1 > 0, 0 болса, кему реті.< q < 1 (см. пример 2).

(b n) тізбегі геометриялық прогрессия екенін көрсету үшін кейде келесі жазу ыңғайлы:

Белгіше «геометриялық прогрессия» тіркесін ауыстырады.
Геометриялық прогрессияның бір қызық және сонымен бірге айқын қасиетін атап өтейік:
Егер реттілік геометриялық прогрессия болып табылады, онда квадраттар тізбегі, яғни. геометриялық прогрессия болып табылады.
Екінші геометриялық прогрессияда бірінші мүшесі q 2-ге тең және тең.
Егер геометриялық прогрессияда b n -дан кейінгі барлық мүшелерді алып тастасақ, біз ақырлы геометриялық прогрессия аламыз.
Осы бөлімнің келесі параграфтарында геометриялық прогрессияның ең маңызды қасиеттерін қарастырамыз.

2. Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы.

Геометриялық прогрессияны қарастырайық бөлгіш q. Бізде бар:

Кез келген n саны үшін теңдік ақиқат екенін болжау қиын емес

Бұл геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы.

Пікір.

Алдыңғы абзацтағы маңызды ескертуді оқып, оны түсінген болсаңыз, арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы үшін жасалғандай математикалық индукция әдісін пайдаланып (1) формуланы дәлелдеуге тырысыңыз.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын қайта жазайық

және белгілеуді енгізіңіз: y = mq 2 аламыз немесе толығырақ,
х аргументі дәреже көрсеткішінде болады, сондықтан бұл функция көрсеткіштік функция деп аталады. Бұл геометриялық прогрессияны натурал сандардың N жиынында анықталған көрсеткіштік функция ретінде қарастыруға болатынын білдіреді. Суретте. 96а-суретте функцияның графигі көрсетілген. 966 – функция графигі Екі жағдайда да бізде белгілі бір қисық сызықта жатқан оқшауланған нүктелер (абсциссалары x = 1, x = 2, x = 3 және т. Бұл қисық экспоненциалды қисық деп аталады. туралы толығырақ оқыңыз көрсеткіштік функцияжәне оның графикасы 11-сыныптың алгебра курсында талқыланады.

Алдыңғы абзацтағы 1-5 мысалдарға оралайық.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Бұл b 1 = 1, q = 3 болатын геометриялық прогрессия. n-ші мүшесінің формуласын құрайық.
2) Бұл геометриялық прогрессия, ол үшін n-ші мүшесінің формуласын құрайық

Бұл геометриялық прогрессия n-ші мүшесінің формуласын құрайық
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Бұл b 1 = 8, q = 1 болатын геометриялық прогрессия. n-ші мүшесінің формуласын құрайық.
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Бұл b 1 = 2, q = -1 болатын геометриялық прогрессия. n-ші мүшесінің формуласын құрайық

6-мысал.

Геометриялық прогрессия берілген

Барлық жағдайларда шешім геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласына негізделген

а) Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласына n = 6 мәнін қойып, аламыз

б) Бізде

512 = 2 9 болғандықтан, біз n - 1 = 9, n = 10 аламыз.

г) Бізде

7-мысал.

Геометриялық прогрессияның жетінші және бесінші мүшелерінің айырмасы 48, прогрессияның бесінші және алтыншы мүшелерінің қосындысы да 48. Осы прогрессияның он екінші мүшесін табыңыз.

Бірінші кезең.Математикалық модель құрастыру.

Мәселенің шарттарын қысқаша былайша жазуға болады:

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын қолданып, мынаны аламыз:
Сонда есептің екінші шартын (b 7 - b 5 = 48) былай жазуға болады

Есептің үшінші шартын (b 5 + b 6 = 48) былай жазуға болады

Нәтижесінде b 1 және q екі айнымалысы бар екі теңдеу жүйесін аламыз:

ол жоғарыда жазылған 1) шартымен бірге есептің математикалық моделін білдіреді.

Екінші кезең.

Құрастырылған модельмен жұмыс. Жүйенің екі теңдеуінің сол жақтарын теңестіріп, мынаны аламыз:

(теңдеудің екі жағын нөлдік емес b 1 q 4 өрнекке бөлдік).

q 2 - q - 2 = 0 теңдеуінен q 1 = 2, q 2 = -1 теңдігін табамыз. Жүйенің екінші теңдеуіне q = 2 мәнін қойып, аламыз
Жүйенің екінші теңдеуіне q = -1 мәнін қойып, b 1 1 0 = 48 аламыз; бұл теңдеудің шешімі жоқ.

Сонымен, b 1 =1, q = 2 - бұл жұп құрастырылған теңдеулер жүйесінің шешімі болып табылады.

Енді қайсы туралы геометриялық прогрессияны жаза аламыз туралы айтып отырмызесепте: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Үшінші кезең.

Проблемалық сұраққа жауап. Сізге b 12 есептеу керек. Бізде бар

Жауабы: b 12 = 2048.

3. Ақырлы геометриялық прогрессияның мүшелерінің қосындысының формуласы.

Ақырлы геометриялық прогрессия берілсін

Оның мүшелерінің қосындысын S n арқылы белгілейік, яғни.

Осы соманы табу формуласын шығарайық.

Ең қарапайым жағдайдан бастайық, q = 1 болғанда. Сонда b 1,b 2, b 3,..., bn геометриялық прогрессиясы b 1-ге тең n саннан тұрады, яғни. прогрессия b 1, b 2, b 3, ..., b 4 сияқты көрінеді. Бұл сандардың қосындысы nb 1.

Енді q = 1 болсын S n табу үшін біз жасанды әдістемені қолданамыз: S n q өрнегін кейбір түрлендірулерді орындаймыз. Бізде бар:

Түрлендірулерді орындау кезінде біз, біріншіден, геометриялық прогрессияның анықтамасын қолдандық, оған сәйкес (ойлаудың үшінші жолын қараңыз); екіншіден, олар қосты және азайтты, сондықтан өрнектің мағынасы, әрине, өзгерген жоқ (төртінші пайымдау жолын қараңыз); үшіншіден, геометриялық прогрессияның n-ші мүшесі үшін формуланы қолдандық:

(1) формуладан табамыз:

Бұл геометриялық прогрессияның n мүшесінің қосындысының формуласы (q = 1 болған жағдай үшін).

8-мысал.

Ақырлы геометриялық прогрессия берілген

а) прогрессияның мүшелерінің қосындысы; б) оның мүшелерінің квадраттарының қосындысы.

б) Жоғарыда (132-бетті қараңыз) егер геометриялық прогрессияның барлық мүшелері квадрат болса, онда бірінші мүшесі b 2 және бөлімі q 2 болатын геометриялық прогрессия алынатынын атап өттік. Сонда жаңа прогрессияның алты мүшесінің қосындысы арқылы есептеледі

9-мысал.

Геометриялық прогрессияның 8-ші мүшесін табыңыз

Шын мәнінде, біз келесі теореманы дәлелдедік.

Сандық тізбек геометриялық прогрессия болып табылады, егер бірінші теореманы қоспағанда, оның әрбір мүшесінің квадраты (және соңғы реттілік жағдайында) алдыңғы және келесі мүшелердің көбейтіндісіне тең болса ғана (а геометриялық прогрессияның сипаттамалық қасиеті).