«Параллелограмм және оның қасиеттері» ғылыми жобасы. Параллелограмм теоремалары Параллелограммда қандай бұрыштарды қарама-қарсы бұрыштар деп атайды

Берілген фигураның параллелограмм екенін анықтау үшін бірқатар белгілер бар. Параллелограмның үш негізгі белгісін қарастырайық.

1 параллелограмм белгісі

Егер төртбұрыштың екі қабырғасы тең және параллель болса, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.

Дәлелдеу:

ABCD төртбұрышын қарастырайық. AB және CD қабырғалары параллель болсын. Және AB=CD болсын. Оған BD диагоналін салайық. Ол берілген төртбұрышты екіге бөледі тең үшбұрыш: ABD және CBD.

Бұл үшбұрыштар екі қабырғасында бір-біріне және олардың арасындағы бұрышқа тең (BD - ортақ қабырға, AB = шарты бойынша CD, бұрыш1 = бұрыш2 АВ және CD параллель түзулерінің көлденең BD көлденең бұрыштары ретінде.), сондықтан бұрыш3. = бұрыш4.

Және бұл бұрыштар BC және AD түзулері BD бөлгішімен қиылысқанда көлденең орналасады. Осыдан BC және AD бір-біріне параллель болатыны шығады. Бізде бұл ABCD төртбұрышында бар қарама-қарсы жақтарыжұп параллель, сондықтан ABCD төртбұрышы параллелограмм болып табылады.

Параллелограмм белгісі 2

Егер төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары жұпта тең болса, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.

Дәлелдеу:

ABCD төртбұрышын қарастырайық. Оған BD диагоналін салайық. Ол осы төртбұрышты екі тең үшбұрышқа бөледі: ABD және CBD.

Бұл екі үшбұрыш үш жағынан бір-біріне тең болады (BD – ортақ қабырға, шарт бойынша AB = CD және BC = AD). Бұдан бұрыш1 = бұрыш2 деген қорытынды жасауға болады. Бұдан АВ CD-ге параллель болатыны шығады. Ал АВ = CD және АВ CD-ге параллель болғандықтан, онда параллелограмның бірінші шарты бойынша ABCD төртбұрышы параллелограмм болады.

3 параллелограмм белгісі

Егер төртбұрыштың диагональдары қиылыса және қиылысу нүктесімен екіге бөлінсе, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.

ABCD төртбұрышын қарастырайық. Оған О нүктесінде қиылысатын және осы нүктеге екіге бөлінген екі AC және BD диагональдарын салайық.

Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісіне сәйкес AOB және COD үшбұрыштары бір-біріне тең болады. (АО = OC, BO = OD шарты бойынша, бұрыш AOB = бұрыш COD тік бұрыштар ретінде.) Демек, AB = CD және бұрыш1 = бұрыш 2. 1 және 2 бұрыштардың теңдігінен АВ CD-ге параллель болады. Сонда бізде ABCD төртбұрышында АВ қабырғалары CD және параллельге тең, ал параллелограмның бірінші критерийі бойынша ABCD төртбұрышы параллелограмм болады.

Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары жұппен параллель болатын төртбұрыш.

Бұл анықтама қазірдің өзінде жеткілікті, өйткені параллелограмның қалған қасиеттері одан туындайды және теоремалар түрінде дәлелденеді.

• Параллелограмның негізгі қасиеттері:
• параллелограмм дөңес төртбұрыш;
• Параллелограмның жұптары тең қарама-қарсы қабырғалары болады;
• Параллелограммда қарама-қарсы бұрыштар жұпта тең;

Параллелограммның диагональдары қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінеді.

Параллелограмм – дөңес төртбұрыш Алдымен бұл теореманы дәлелдейікпараллелограмм - дөңес төртбұрыш

. Көпбұрыш дөңес болады, егер оның қай жағы түзу сызыққа дейін созылса, көпбұрыштың барлық басқа қабырғалары осы түзудің бір жағында болады.

ABCD параллелограммы берілсін, онда АВ CD үшін қарама-қарсы қабырға, ал ВС AD үшін қарама-қарсы қабырға. Сонда параллелограммның анықтамасынан АВ || шығады CD, BC || А.Д.

Параллель кесінділердің ортақ нүктелері жоқ және қиылыспайды. Бұл ықшам диск AB-нің бір жағында орналасқанын білдіреді. ВС кесіндісі АВ кесіндісінің В нүктесін CD кесіндісінің С нүктесімен, ал AD кесіндісі басқа AB және CD нүктелерін қосатындықтан, ВС және AD кесінділері де CD жатқан АВ түзуінің бір жағында жатыр. Сонымен, үш жағы да - CD, BC, AD - АВ-ның бір жағында жатыр.

Сол сияқты параллелограмның басқа қабырғаларына қатысты қалған үш қабырғасы бір қабырғасында жататыны дәлелденді.

Қарама-қарсы қабырғалары мен бұрыштары тең Параллелограмның бір қасиеті мынадаПараллелограммда қарама-қарсы қабырғалар мен қарама-қарсы бұрыштар жұпта тең

. Мысалы, ABCD параллелограммы берілсе, онда оның AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D болады. Бұл теорема келесідей дәлелденеді.

Бұл үшбұрыштардың ортақ бір қабырғасы бар - AC. BCA бұрышы бұрышқа тең CAD параллель BC және AD сияқты тік. BAC және ACD бұрыштары да АВ және CD параллель болғанда вертикаль бұрыштарға тең. Демек, екі бұрышта ∆ABC = ∆ADC және олардың арасындағы қабырға.

Бұл үшбұрыштарда АВ қабырғасы CD қабырғасына, ал ВС қабырғасына AD сәйкес келеді. Демек, AB = CD және BC = AD.

B бұрышы D бұрышына сәйкес келеді, яғни ∠B = ∠D. Параллелограммның А бұрышы екі бұрыштың қосындысы - ∠BAC және ∠CAD. С бұрышы ∠BCA және ∠ACD тең. Бұрыштардың жұптары өзара тең болғандықтан, ∠A = ∠C болады.

Сонымен параллелограммда қарама-қарсы қабырғалар мен бұрыштардың тең болатыны дәлелденді.

Диагональдар екіге бөлінеді

Параллелограмм дөңес төртбұрыш болғандықтан, оның екі диагоналы бар және олар қиылысады. ABCD параллелограмы берілсін, оның AC және BD диагональдары Е нүктесінде қиылысатын болсын. Олармен құрылған ABE және CDE үшбұрыштарын қарастырайық.

Бұл үшбұрыштардың АВ және CD қабырғалары параллелограмның қарама-қарсы қабырғаларына тең. ABE бұрышы AB және CD параллель түзулерімен көлденең жатқан CDE бұрышына тең. Дәл сол себепті, ∠BAE = ∠DCE. Бұл екі бұрышта ∆ABE = ∆CDE және олардың арасындағы жағы дегенді білдіреді.

Сондай-ақ, AEB және CED бұрыштары тік, сондықтан да бір-біріне тең екенін байқай аласыз.

ABE және CDE үшбұрыштары бір-біріне тең болғандықтан, олардың барлық сәйкес элементтері тең болады. Бірінші үшбұрыштың AE қабырғасы екіншісінің CE қабырғасына сәйкес келеді, бұл AE = CE дегенді білдіреді. Сол сияқты BE = DE. Бірдей кесінділердің әрбір жұбы параллелограммның диагоналін құрайды. Осылайша бұл дәлелденді Параллелограмның диагональдары олардың қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінеді.

Анықтама

Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары жұппен параллель болатын төртбұрыш.

Теорема (параллелограммның бірінші белгісі)

Егер төртбұрыштың екі қабырғасы тең және параллель болса, онда төртбұрыш параллелограмм болады.

Дәлелдеу

\(AB\) және \(CD\) қабырғалары \(ABCD\) және \(AB = CD\) төртбұрышында параллель болсын.

Осы төртбұрышты екі тең үшбұрышқа бөлетін \(AC\) диагоналын салайық: \(ABC\) және \(CDA\) . Бұл үшбұрыштар екі қабырғасында тең және олардың арасындағы бұрыш (\(AC\) ортақ қабырға, \(AB = CD\) шарты бойынша, \(\бұрыш 1 = \бұрыш 2\) қиылысындағы көлденең бұрыштар ретінде. параллель түзулердің \ (AB\) және \(CD\) секант \(AC\) ), сондықтан \(\бұрыш 3 = \бұрыш 4\) . Бірақ \(3\) және \(4\) бұрыштары \(AD\) және \(BC\) түзулерінің қиылысында \(AC\) секантымен көлденең жатады, сондықтан \(AD\параллель BC) \) . Сонымен, \(ABCD\) төртбұрышында қарама-қарсы қабырғалар жұптық параллель, демек, \(ABCD\) төртбұрышы параллелограмм болады.

Теорема (параллелограмның екінші белгісі)

Егер төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары жұпта тең болса, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.

Дәлелдеу

Осы \(ABCD\) төртбұрышының \(ABC\) және \(CDA\) үшбұрыштарына бөлетін \(AC\) диагоналын салайық.

Бұл үшбұрыштар үш жағында тең (\(AC\) – ортақ, \(AB = CD\) және \(BC = DA\) шарты бойынша), сондықтан \(\бұрыш 1 = \бұрыш 2\) – көлденең жатқан \(AB\) және \(CD\) және секант \(AC\) . Бұдан шығатыны \(AB\параллель CD\) . \(AB = CD\) және \(AB\параллель CD\) болғандықтан, параллелограмның бірінші шартына сәйкес \(ABCD\) төртбұрышы параллелограмм болады.

Теорема (параллелограммның үшінші белгісі)

Егер төртбұрыштың диагональдары қиылыса және қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінсе, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.

Дәлелдеу

\(AC\) және \(BD\) диагональдары \(O\) нүктесінде қиылысатын және осы нүктемен екіге бөлінген \(ABCD\) төртбұрышын қарастырайық.

\(AOB\) және \(COD\) үшбұрыштар шарты бойынша үшбұрыштардың теңдігінің бірінші белгісіне сәйкес тең (\(AO = OC\), \(BO = OD\), \(\ бұрыш AOB = \бұрыш COD\) тік бұрыштар ретінде), сондықтан \(AB = CD\) және \(\бұрыш 1 = \бұрыш 2\) . \(1\) және \(2\) бұрыштарының теңдігінен (\(AB\) және \(CD\) көлденең жатқан және \(AC\) секант) \(AB\параллель CD) шығады. \) .

Сонымен, \(ABCD\) төртбұрышында \(AB\) және \(CD\) қабырғалары тең және параллель болады, яғни параллелограмның бірінші шарты бойынша \(ABCD\) төртбұрышы параллелограмм болады. .

Параллелограммның қасиеттері:

1. Параллелограммның қарама-қарсы қабырғалары тең, ал қарама-қарсы бұрыштары тең.

2. Параллелограммның диагональдары қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінеді.

Параллелограммның биссектрисасының қасиеттері:

1. Параллелограмның биссектрисасы одан тең қабырғалы үшбұрышты қиып алады.

2. Параллелограммның көршілес бұрыштарының биссектрисалары тік бұрыш жасап қиылысады.

3. Қарама-қарсы бұрыштардың биссектрисасының кесінділері тең және параллель.

Дәлелдеу

1) \(ABCD\) параллелограмм болсын, \(AE\) \(BAD\) бұрышының биссектрисасы болсын.

\(1\) және \(2\) бұрыштары тең, олар параллель түзулер \(AD\) және \(BC\) және \(AE\) секантымен көлденең жатады. \(1\) және \(3\) бұрыштары тең, өйткені \(AE\) биссектриса. Соңында \(\бұрыш 3 = \бұрыш 1 = \бұрыш 2\), одан \(ABE\) үшбұрыш тең ​​қабырғалы болып шығады.

2) \(ABCD\) параллелограмм болсын, \(AN\) және \(BM\) сәйкесінше \(BAD\) және \(ABC\) бұрыштарының биссектрисалары болсын.

Параллель түзулер мен көлденең сызықтар үшін бір жақты бұрыштардың қосындысы \(180^(\circ)\-ге тең болғандықтан, онда \(\DAB бұрышы + \ABC бұрышы = 180^(\цирк)\).

\(AN\) және \(BM\) биссектриса болғандықтан, онда \(\ бұрыш BAN + \ бұрыш ABM = 0,5(\ бұрыш DAB + \ бұрыш ABC) = 0,5\cdot 180^\цирк = 90^(\цирк)\), қайда \(\АОБ бұрышы = 180^\цирк - (\БАН бұрышы + \АБМ бұрышы) = 90^\цирк\).

3. \(AN\) және \(CM\) параллелограммның бұрыштарының биссектрисалары болсын \(ABCD\) .

Параллелограммдағы қарама-қарсы бұрыштар тең болғандықтан \(\бұрыш 2 = 0,5\cdot\бұрыш BAD = 0,5\cdot\бұрыш BCD = \бұрыш 1\). Сонымен қатар, \(1\) және \(3\) бұрыштары тең, олар параллель түзулер \(AD\) және \(BC\) және секант \(CM\), содан кейін \(\бұрыш 2) болады. = \бұрыш 3\) , бұл \(AN\параллель CM\) дегенді білдіреді. Сонымен қатар, \(AM\параллель CN\) , онда \(ANCM\) параллелограмм болып табылады, демек \(AN = CM\) .

Осы тақырып бойынша есептерді шығарғанда, қоспағанда негізгі қасиеттері параллелограммжәне сәйкес формулалар, сіз мыналарды есте сақтай аласыз және қолдана аласыз:

1. Параллелограмның ішкі бұрышының биссектрисасы одан тең қабырғалы үшбұрышты кесіп тастайды
2. Параллелограмның қабырғаларының біріне іргелес жатқан ішкі бұрыштардың биссектрисалары өзара перпендикуляр
3. Параллелограмның қарама-қарсы ішкі бұрыштарынан шығатын биссектрисалар бір-біріне параллель немесе бір түзуде жатыр.
4. Параллелограмның диагональдарының квадраттарының қосындысы оның қабырғаларының квадраттарының қосындысына тең
5. Параллелограммның ауданы диагональдар мен олардың арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісінің жартысына тең

Осы қасиеттер қолданылатын есептерді қарастырайық.

1-тапсырма.

ABCD параллелограмының С бұрышының биссектрисасы M нүктесінде AD қабырғасын және Е нүктесінде А нүктесінен кейінгі АВ қабырғасының жалғасын қиып өтеді. Егер AE = 4, DM = 3 болса, параллелограмның периметрін табыңыз.

Шешім.

1. CMD үшбұрышы тең қабырғалы. (1-қасиет). Демек, CD = MD = 3 см.

2. EAM үшбұрышы тең қабырғалы.
Демек, AE = AM = 4 см.

3. AD = AM + MD = 7 см.

4. Периметрі ABCD = 20 см.

Жауап. 20 см.

2-тапсырма.

Диагональдары дөңес ABCD төртбұрышында сызылған. ABD, ACD, BCD үшбұрыштарының аудандары тең екені белгілі. Осы төртбұрыштың параллелограмм екенін дәлелдеңдер.

Шешім.

1. ABD үшбұрышының биіктігі BE, ACD үшбұрышының биіктігі CF болсын. Есептің шарттарына сәйкес үшбұрыштардың аудандары тең және олардың ортақ AD табанына ие болғандықтан, бұл үшбұрыштардың биіктіктері тең болады. BE = CF.

2. BE, CF AD-ге перпендикуляр. В және С нүктелері AD түзуіне қатысты бір жағында орналасқан. BE = CF. Сондықтан BC түзу || А.Д. (*)

3. ACD үшбұрышының биіктігі AL, BCD үшбұрышының биіктігі BK болсын. Есептің шарттарына сәйкес үшбұрыштардың аудандары тең және олардың ортақ CD негізі болғандықтан, бұл үшбұрыштардың биіктіктері тең болады. AL = BK.

4. AL және BK CD-ге перпендикуляр. В және А нүктелері CD түзу сызығына қатысты бір жағында орналасқан. AL = BK. Демек, түзу АВ || CD (**)

5. (*), (**) шарттарынан ABCD параллелограмм екені шығады.

Жауап. Дәлелденген. ABCD — параллелограмм.

3-тапсырма.

ABCD параллелограмының ВС және CD жақтарында BM және HD кесінділері О нүктесінде қиылысатындай етіп сәйкесінше M және H нүктелері белгіленген;<ВМD = 95 о,

Шешім.

1. DOM үшбұрышында<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. DHC тікбұрышты үшбұрышында
(

Содан кейін<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Тік бұрышты үшбұрышта 30° бұрышқа қарама-қарсы жатқан катет гипотенузаның жартысына тең болғандықтан).

Бірақ CD = AB. Сонда AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Жауабы: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

4-тапсырма.

Ұзындығы 4√6 параллелограммның диагональдарының бірі табанымен 60° бұрыш жасайды, ал екінші диагональ сол табанымен 45° бұрыш жасайды. Екінші диагональды табыңыз.

Шешім.

1. AO = 2√6.

2. AOD үшбұрышына синустар теоремасын қолданамыз.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОД = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Жауабы: 12.

5-тапсырма.

Қабырғалары 5√2 және 7√2 болатын параллелограмм үшін диагональдар арасындағы кіші бұрыш параллелограмның кіші бұрышына тең. Диагональдардың ұзындықтарының қосындысын табыңыз.

Шешім.

Параллелограммның диагональдары d 1, d 2 болсын, ал диагональдар мен параллелограмның кіші бұрышы арасындағы бұрыш φ-ке тең болсын.

1. Екі түрлі санайық
оның аумағын анықтайды.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f немесе теңдігін аламыз.

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Параллелограмның қабырғалары мен диагональдары арасындағы байланысты пайдаланып, теңдігін жазамыз

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Жүйені құрайық:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Жүйенің екінші теңдеуін 2-ге көбейтіп, біріншісіне қосайық.

Біз (d 1 + d 2) 2 = 576 аламыз. Демек, Id 1 + d 2 I = 24.

d 1 болғандықтан, d 2 параллелограмның диагональдарының ұзындықтары, онда d 1 + d 2 = 24.

Жауабы: 24.

6-тапсырма.

Параллелограмның қабырғалары 4 және 6. Диагональдардың арасындағы сүйір бұрыш 45 градус. Параллелограмның ауданын табыңыз.

Шешім.

1. АОБ үшбұрышынан косинустар теоремасын пайдаланып, параллелограммның қабырғасы мен диагональдары арасындағы қатынасты жазамыз.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Сол сияқты AOD үшбұрышының қатынасын жазамыз.

Соны ескерейік<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 теңдеуін аламыз.

3. Бізде жүйе бар
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Екінші теңдеуден біріншісін алып тастасақ, 2d 1 · d 2 √2 = 80 немесе

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Ескерту:Осы және алдыңғы есепте жүйені толығымен шешудің қажеті жоқ, бұл есепте ауданды есептеу үшін диагональдардың көбейтіндісі қажет екенін болжаймыз.

Жауабы: 10.

7-тапсырма.

Параллелограмның ауданы 96, қабырғалары 8 және 15. Қысқа диагональдың квадратын табыңыз.

Шешім.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВАД. Формулада алмастыруды жасайық.

Біз 96 = 8 · 15 · sin ВАД аламыз. Демек, күнә ВАД = 4/5.

2. cos VAD табайық. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25.

Есептің шарты бойынша кіші диагоналдың ұзындығын табамыз. Егер ВАD бұрышы сүйір болса, ВD диагоналы кішірек болады. Сонда cos VAD = 3/5.

3. ABD үшбұрышынан косинустар теоремасын пайдаланып, BD диагоналының квадратын табамыз.

ВD 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАД.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Жауабы: 145.

Әлі де сұрақтарыңыз бар ма? Геометрия есебін шешуді білмейсіз бе?
Тәрбиешіден көмек алу үшін тіркеліңіз.
Бірінші сабақ тегін!

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде бастапқы дереккөзге сілтеме қажет.

Евклид геометриясында нүкте мен түзу жазықтықтар теориясының негізгі элементтері болғаны сияқты, параллелограм да дөңес төртбұрыштардың негізгі фигураларының бірі болып табылады. Одан шардың жіптері сияқты «тіктөртбұрыш», «шаршы», «ромб» және басқа геометриялық шамалар ұғымдары шығады.

Параллелограммның анықтамасы

дөңес төртбұрыш,Әрбір жұбы параллель болатын түзу кесінділерінен тұратын, геометрияда параллелограмм ретінде белгілі.

Классикалық параллелограмның қалай көрінетінін ABCD төртбұрышы бейнелейді. Қабырғалары табандар (AB, BC, CD және AD), кез келген төбеден осы төбеге қарама-қарсы жаққа жүргізілген перпендикуляр биіктік (BE және BF), AC және BD түзулері диагональдар деп аталады.

Назар аударыңыз!Шаршы, ромб және тіктөртбұрыш параллелограмның ерекше жағдайлары болып табылады.

Қабырғалары мен бұрыштары: қатынас ерекшеліктері

Негізгі қасиеттер, жалпы алғанда, белгілеудің өзі алдын ала белгіленеді, олар теорема арқылы дәлелденеді. Бұл сипаттамалар келесідей:

1. Қарама-қарсы жақтары жұпта бірдей.
2. Бір-біріне қарама-қарсы бұрыштар жұпта тең.

Дәлелдеу: ABCD төртбұрышын АС түзу сызығына бөлу арқылы алынған ∆ABC және ∆ADC қарастырайық. ∠BCA=∠CAD және ∠BAC=∠ACD, өйткені АС олар үшін ортақ (тиісінше BC||AD және AB||CD үшін тік бұрыштар). Бұдан шығатыны: ∆ABC = ∆ADC (үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі).

∆ABC-тегі АВ және ВС кесінділері ∆ADC-тегі CD және AD түзулеріне жұппен сәйкес келеді, бұл олардың бірдей екенін білдіреді: AB = CD, BC = AD. Осылайша, ∠B ∠D сәйкес келеді және олар тең. ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD болғандықтан, олар да жұп бойынша бірдей, онда ∠A = ∠C. Меншік дәлелденді.

Фигураның диагональдарының сипаттамасы

Негізгі ерекшелігіПараллелограмның осы түзулерінің: қиылысу нүктесі оларды екіге бөледі.

Дәлелдеу: ABCD фигурасының АС және BD диагональдарының қиылысу нүктесі болсын. Олар екі пропорционал үшбұрыш құрайды - ∆ABE және ∆CDE.

AB=CD, өйткені олар қарама-қарсы. Жолдар мен секантқа сәйкес ∠ABE = ∠CDE және ∠BAE = ∠DCE.

Екінші теңдік критерийі бойынша ∆ABE = ∆CDE. Бұл ∆ABE және ∆CDE элементтері: AE = CE, BE = DE және сонымен бірге олар AC мен BD пропорционалды бөліктері екенін білдіреді. Меншік дәлелденді.

Көршілес бұрыштардың ерекшеліктері

Көрші қабырғалардың бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең, өйткені олар параллель түзулер мен көлденең сызықтардың бір жағында жатады. ABCD төртбұрышы үшін:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

биссектрисаның қасиеттері:

1. , бір жағына түсірілген, перпендикуляр;
2. қарама-қарсы төбелердің параллель биссектрисалары болады;
3. биссектрисасын салу арқылы алынған үшбұрыш тең ​​қабырғалы болады.

Теореманы пайдаланып параллелограмның сипаттамалық белгілерін анықтау

Бұл фигураның сипаттамалары оның келесі теоремасынан туындайды: төртбұрыш параллелограмм болып саналадыоның диагональдары қиылысатын жағдайда және бұл нүкте оларды тең кесінділерге бөледі.

Дәлелдеу: ABCD төртбұрышының AC және BD түзулері i.e. ∠AED = ∠BEC, және AE+CE=AC BE+DE=BD болғандықтан, ∆AED = ∆BEC (үшбұрыштар теңдігінің бірінші шарты бойынша). Яғни, ∠EAD = ∠ECB. Олар сонымен қатар AD және BC сызықтары үшін АС секантының ішкі көлденең бұрыштары болып табылады. Сонымен, параллелизмнің анықтамасы бойынша – AD || б.з.б. BC және CD сызықтарының ұқсас қасиеті де шығарылады. Теорема дәлелденді.

Фигураның ауданын есептеу

Бұл фигураның ауданы бірнеше әдіс арқылы табылдықарапайымдардың бірі: ол тартылатын биіктік пен негізді көбейту.

Дәлелдеу: В және С төбелерінен BE және CF перпендикулярларын салыңыз. ∆ABE және ∆DCF тең, өйткені AB = CD және BE = CF. ABCD өлшемі бойынша EBCF тіктөртбұрышына тең, өйткені олар сәйкес сандардан тұрады: S ABE және S EBCD, сондай-ақ S DCF және S EBCD. Бұдан шығатыны, бұл геометриялық фигураның ауданы тіктөртбұрыштың ауданымен бірдей:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Параллелограмм ауданының жалпы формуласын анықтау үшін биіктікті былай деп белгілейік hb, және жағы - б. Тиісінше:

Ауданды табудың басқа жолдары

Аудандық есептеулер параллелограммның қабырғалары мен бұрышы арқылы, олар қалыптастырады, екінші белгілі әдіс болып табылады.

,

Spr-ma - аймақ;

a және b - оның қабырғалары

α – a және b кесінділерінің арасындағы бұрыш.

Бұл әдіс іс жүзінде біріншіге негізделген, бірақ ол белгісіз жағдайда. әрқашан параметрлері тригонометриялық сәйкестіктер арқылы табылған тікбұрышты үшбұрышты кесіп тастайды, яғни. Қатысты түрлендіру арқылы аламыз. Бірінші әдістің теңдеуінде биіктікті осы көбейтіндімен ауыстырамыз және осы формуланың жарамдылығының дәлелін аламыз.

Параллелограммның диагональдары мен бұрышы арқылы,олар қиылысқан кезде жасайды, сіз ауданды да таба аласыз.

Дәлелдеу: AC және BD төрт үшбұрышты құру үшін қиылысады: ABE, BEC, CDE және AED. Олардың қосындысы осы төртбұрыштың ауданына тең.

Осы ∆ әрқайсысының ауданын өрнек арқылы табуға болады, мұндағы a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. болғандықтан, есептеулер бір синус мәнін пайдаланады. Яғни . AE+CE=AC= d 1 және BE+DE=BD= d 2 болғандықтан, аудан формуласы келесіге азайтылады:

.

Векторлық алгебрада қолданылуы

Осы төртбұрыштың құрамдас бөліктерінің ерекшеліктері векторлық алгебрада, атап айтқанда екі векторды қосуда қолданыс тапты. Параллелограмм ережесі бұл туралы айтады векторлары берілген болсаЖәнеЖоқколлинеар болса, онда олардың қосындысы осы фигураның диагоналіне тең болады, олардың негіздері осы векторларға сәйкес келеді.

Дәлелдеу: ерікті түрде таңдалған бастаудан - яғни. - векторларды және . Әрі қарай, OA және OB сегменттері қабырғалар болып табылатын OASV параллелограммын саламыз. Осылайша, ОЖ векторда немесе қосындыда жатыр.

Параллелограммның параметрлерін есептеу формулалары

Сәйкестендірулер келесі шарттарда беріледі:

1. a және b, α - қабырғалары және олардың арасындағы бұрыш;
2. d 1 және d 2, γ - диагональдар және олардың қиылысу нүктесінде;
3. h a және h b - a және b жақтарына түсірілген биіктіктер;

Параметр	Формула
Жақтарды табу
диагональдардың бойымен және олардың арасындағы бұрыштың косинусы
диагональдар мен қабырғалар бойымен
биіктік пен қарама-қарсы шың арқылы
Диагональдардың ұзындығын табу
жақтарында және олардың арасындағы шыңның өлшемі
қабырғалары мен диагональдарының бірі бойымен	 Қорытынды Параллелограмм геометрияның негізгі фигураларының бірі ретінде өмірде, мысалы, құрылыста учаскенің ауданын немесе басқа өлшемдерді есептеу кезінде қолданылады. Сондықтан оның әртүрлі параметрлерін есептеудің ерекше белгілері мен әдістері туралы білім өмірдің кез келген уақытында пайдалы болуы мүмкін.