Функциялары графика. Arksinus, Arkkkosinus - Сипаттар, графиктер, формулалар диаграммасы arcsin x 2
Кері тригонометриялық функциялармен байланысты тапсырмалар көбінесе мектептегі қорытынды емтихандарда және кейбір университеттердегі түсу емтихандарында ұсынылады. Бұл тақырыпты егжей-тегжейлі зерттеуге тек элективті сабақтарда немесе элективті курстарда қол жеткізуге болады. Ұсынылған курс әр оқушының қабілетін дамыту, оның математикалық дайындығын арттыру үшін толыққанды жобаланған.
Курс 10 сағатқа арналған:
1. ARCSIN X, Arccos X, Arctg X, ArcCTG X функциялары (4 сағат).
2. Кері тригонометриялық функциялар бойынша операциялар (4 сағат).
3. Тригонометриялық функциялар бойынша сән тригонометриялық операциялар (2 сағат).
1-сабақ (2 сағат) Тақырып: Функциялар y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arccc x, y \u003d arcctg x.
Мақсаты: осы мәселені толық қамту.
1. y \u003d arcsin x функциясы.
a) Y \u003d SIN X функциясы үшін y \u003d SIN X функциясы үшін кері (бір мәнді) функциясы бар, ол арксинус шақырылды және келесідей орналастырылған: y \u003d arcsin x. Кері функция графигі BISER I - III үйлесімді бұрыштарына қатысты негізгі функцияның графигімен симметриялы.
Y \u003d arcsin x функциясының қасиеттері.
1) анықтама аймағы: сегмент [-1; бір];
2) өзгерістің ауданы: сегмент;
3) y \u003d arcsin x функциясы тақ: арксин (-x) \u003d - arcsin x;
4) y \u003d arcsin x функциясы монотонды өсіп келеді;
5) кесте координаттардың басында ось осьін кесіп өтеді.
Мысал 1. A \u003d Arcsin табыңыз. Бұл мысалды егжей-тегжейлі тұжырымдауға болады: оның түбінен синусқа тең жатып, осындай дәлелді табу.
Шешім. Мысалы, синусы бірдей сансыз дәлелдер бар, мысалы: 
және т.б. Бірақ бізді тек сегменттегі дәлел қызықтырады. Бұл дәлел болады. Сонымен,.
Мысал 2. табу 
.Шешім. 1 мысалдағыдай дәлелдейді, біз аламыз 
.
б) ауызша жаттығулар. Табы: Arcsin 1, Arcsin (-1), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin 0. Үлгі жауап: 
сондықтан 
. Өрнек мағынасы дегенді білдіре ме :; Арксин 1.5; 
?
в) өсу ретімен өсуді орындаңыз: Arcsin, Arcsin (-0.3), Arcsin 0.9.
Ii. Функциялар y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x (Сол сияқты).
Сабақ 2 (2 с) Тақырып: Кері тригонометриялық функциялар, олардың графигі.
Мақсаты: Осы сабақта құндылықтарды анықтау дағдыларын әзірлеу қажет тригонометриялық функциялар, D (Y), E (Y) және қажетті қайта құру көмегімен кері тригонометриялық функциялардың графигін салу кезінде.
Бұл сабақта, соның ішінде анықтамалық аймақтың негізі, оның ішінде типтік функциялардың негіздері, y \u003d arcsin, y \u003d arccos (x-2), y \u003d arccos (tg x), Y \u003d Arccos.
Функцияның графигі салынуы керек: а) y \u003d arcsin 2x; б) y \u003d 2 arcsin 2x; в) y \u003d arcsin;
г) y \u003d arcsin; E) y \u003d arcsin; E) y \u003d arcsin; g) y \u003d | Арксин | .
Мысал.Біз y \u003d arccos графигін құрамыз
Үй тапсырмасында келесі жаттығулар енгізілуі мүмкін: функциялардың графигін құруға болады: y \u003d arccos, y \u003d 2 arccctg x, y \u003d arccos | X | .
Кері функция кестелері
№ 3 сабақ (2 с.) Тақырыбы:
Кері тригонометриялық функцияларды пайдалану.Мақсаты: Математикалық білімді кеңейту (бұл математикалық дайындыққа қойылатын талаптарға үміткерлер үшін, математикалық дайындыққа қойылатын талапкерлер үшін маңызды), кері тригонометриялық функцияларды енгізу арқылы негізгі қатынастарды енгізу.
Сабақ материалы.
Кері тригонометриялық функциялар бойынша бірнеше қарапайым тригонометриялық операциялар: күнә (arcsin x) \u003d x, i xi? бір; Cos (assos x) \u003d x, i xi? бір; Tg (arctg x) \u003d x, x i r; CTG. (Arcctg x) \u003d x, x i r.
Жаттығулар.
a) TG (1.5 + ArctG 5) \u003d - CTG (ARCTG 5) \u003d 
.
cTG (arctg x) \u003d; Tg (arcctg x) \u003d.
б) cos (+ arcsin 0.6) \u003d - cos (арксин 0.6). Арксин 0,6 \u003d A, SIN A \u003d 0,6;
cos (arcsin x) \u003d; күнә (arccos x) \u003d.
ЕСКЕРТПЕ: Түпнұсқадан бұрын «+» белгісін алыңыз, өйткені a \u003d arcsin x қанағаттандырады.
в) күнә (1,5 + арксин). Жауап :;
г) CTG (+ arctg 3). Жауап :;
д) TG (- Arcctg 4). Жауап :.
д) cos (0,5 + Arccos). Жауап :.
Есептеу:
а) күнә (2 arctg 5).
Arctg 5 \u003d a, содан кейін SIN 2 A \u003d болсын 
немесе күнә (2 arctg 5) \u003d 
;
б) Cos (+ 2 Arcsin 0.8). Жауап: 0.28.
в) ArctG + Arctg.
A \u003d arctg, b \u003d arctg,
содан кейін tg (a + b) \u003d 
.
г) күнә (арксин + арксин).
д) x i [-1; -1; 1] True Arcsin x + Arccos x \u003d.
Дәлелдері:
arcsin x \u003d - arccos x
күнә (арксин x) \u003d Күнә (- Arccos x)
x \u003d cos (Arccos x)
Өздігінен шешімдер үшін:sIN (Arccos), Cos (Arcsin), Cos (Arcsin ()), Sin (ArctG (- 3)), TG (Arccos), CTG (Arccos)).
Үйде шешуге арналған: 1) күнә (арксин 0.6 + Arctg 0); 2) арксин + арксин; 3) CTG (- Arccos 0.6); 4) cos (2 ARCCTG 5); 5) күнә (1,5 - арксин 0.8); 6) ARCTG 0.5 - ArctG 3.
№ 4 сабақ (2H.) Тақырып: Кері тригонометриялық функциялар бойынша операциялар.
Мақсаты: Осы сабақта, бұл көп күрделі өрнектерді түрлендіруде арақатынас-қатынені пайдалануды көрсету.
Сабақ материалы.
Ауызша:
а) күнә (Arccos 0,6), Cos (Arcsin 0.8);
б) TG (ARCSTG 5), CTG (ARCTG 5);
в) күнә (ArctG -3), Cos (ArcStg ());
d) TG (Arccos), CTG (Arccos ()).
Жазу:
1) Cos (Arcsin + Arcsin + Arcsin).
2) Cos (ArctG 5-Arccos 0.8) \u003d cos (arctg 5) cos (Arccos 0.8) + sin (arccos 5) sin (Arccos 0.8) \u003d
3) TG (- Arcsin 0,6) \u003d - TG (Arcsin 0,6) \u003d 
4) 
Өздік жұмыс материалды игеру деңгейін анықтауға көмектеседі
| 1) TG (ArctG 2 - ArctG) 2) Cos (- ArctG2) 3) Arcsin + Arccos |
1) Cos (Arcsin + Arcsin) 2) Күнә (1.5 - ArctG 3) 3) Arcctg3 - ArctG 2 |
Үй тапсырмасы үшін сіз мыналарды ұсына аласыз:
1) CTG (Arctg + ArctG + ArctG); 2) SIN 2 (ArctG 2 - ArcCTG ()); 3) күнә (2 ArctG + TG (Arcsin)); 4) күнә (2 ARCTG); 5) TG ((Arcsin))
№ 5 сабақ (2H) Тақырып: Тригонометриялық функциялар бойынша кері тригонометриялық операциялар.
Мақсаты: студенттердің тригонометриялық функцияларды үстінен кері тригонометриялық операциялар туралы презентациясын қалыптастыру, соның аяғы зерттеудегі теорияның мағынасын арттыруға бағытталған.
Осы тақырыпты зерттеген кезде, есте сақталатын теориялық материалдың көлемін шектеу қабылданады.
Сабаққа арналған материал:
Жаңа материалды зерттеу Y \u003d Arcsin (SIN X) функциясынан басталуы мүмкін және оның кестесін құруды бастауға болады.
3. Әр X i r-ге сәйкес келеді, I, I.e.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Функция тақ: күнә (-x) \u003d - sin x; Arcsin (Sin (-x)) \u003d - Арксин (SIN X).
6. y \u003d arcsin кестесі (SIN X):
а) 0.<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
б)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sin y \u003d SIN (- x) \u003d Sinx, 0<= - x <= .
Солай 
Y \u003d arcsin (sin x) қосулы, координаттардың басталуына симметриялы түрде салыстырмалы түрде жалғасады [-; 0], осы функцияның дұрыстығын ескере отырып. Жиілікті пайдалану үшін біз бүкіл сандық осьті жалғастырамыз.
Содан кейін бірнеше арақатынас жазыңыз: арксин (SIN A) \u003d A Егер<= a <= ; arccos (cos А. ) \u003d A Егер 0 болса<= a <= ; arctg (tg a) \u003d A Егер< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
Және келесі жаттығуларды орындаңыз: а) Arccos (SIN 2). Нәтижесі: 2 -; б) Arcsin (Cos 0,6). Нәтижесі: - 0,1; в) arctg (tg 2). Жауап: 2 -;
г) Arcctg (TG 0.6). Жауап: 0.9; д) Arccos (cos (- 2)). Жауап: 2 -; д) арксин (күнә (- 0,6)). Жауап: - 0,6; g) arctg (tg 2) \u003d arctg (TG (2 - 2)). Жауап: 2 -; h) Arcctg (TG 0.6). Жауап: - 0,6; - arctg x; д) Arccos + Arccos
Функциялар графика
Функцияны синус
- көп Р.барлық жарамды сандар.
Көптеген функциялардың мәні - сегмент [-1; 1], И.Э. Sinus функциясы - шектеу шектеулі.
Функция тақ: Күнә (-x) \u003d - барлық X ∈ үшін SIN X Р..
Мерзімді функция
күнә (X + 2π 2) \u003d sin x, мұндағы k ∈ З. барлық x ∈ үшін Р..
sin x \u003d 0 x \u003d π π π π π π π, k ∈ З..
sin x\u003e 0 (2π k) үшін (2π k, π + 2ππ k), ∈ (∈) З..
күнә X.< 0 (negative + ∈) үшін теріс (π + 2π 2π k, 2π + 2π 2π), k З..
Косинус функциясы
Функцияны анықтау аймағы- көп Р.барлық жарамды сандар.
Көптеген функциялардың мәні - сегмент [-1; 1], И.Э. Косинус функциясы - шектеу шектеулі.
Функция Тінса да: Cos (-x) \u003d Cos x барлық X ∈ Р..
Мерзімді функция Ең кіші оң кезеңмен 2π:
cos (x + 2 2) к.\u003d Cos x, онда к. ∈ З. барлық x ∈ үшін Р..
| cos x \u003d 0үшін |  |
| cos x\u003e 0 барлығына |  |
| cos x.< 0 барлығына |  |
| Функция өсуде -1-ден 1-ге дейін: | |
| Функциясы төмендейді -1-ден 1-ге дейін: | |
| SIN X \u003d 1 функциясының ең үлкен мәні Ұпайлар бойынша: |  |
| SIN X \u003d -1 функциясының ең кіші мәні Ұпайлар бойынша: |
Тангент ерекшелігі
Көптеген функциялардың мәні - барлық сандық, и.e. Тангент - функция шектеусіз.
Функция тақ: Tg (-x) \u003d - x x
Функцияның графигі - Ой осьіне қатысты симметриялы.
Мерзімді функция Ең кішкентай оң кезеңмен π, I.E. Tg (x + π π к.) \u003d Tg x, к. ∈ З. Динеция аймағынан барлық х үшін.
Котаненс ерекшелігі
Көптеген функциялардың мәні - барлық сандық, и.e. Kotangent - функция шектеусіз.
Функция тақ: CTG (-x) \u003d - CTG x Динеция аймағынан X үшін X үшін.Функцияның графигі - Ой осьіне қатысты симметриялы.
Мерзімді функция Ең кішкентай оң кезеңмен π, I.E. CTG (x + · · к.) \u003d Ctg x, к. ∈ З. Динеция аймағынан барлық х үшін.
Арксинус ерекшелігі
Функцияны анықтау аймағы- сегмент [-1; бір]
Көптеген функциялардың мәні - кесу -π / 2 arcsin x / 2, i.e. Арксинус - функция шектеу шектеулі.
Функция тақ: Arcsin (-x) \u003d - arcsin x x ∈ үшін ∈ Р..
Функцияның графигі координаттардың басында симметриялы.
Бүкіл анықтамалық аймақта.
ArkkoSinus функциясы
Функцияны анықтау аймағы- сегмент [-1; бір]
Көптеген функциялардың мәні - 0 арккос x π, яғни I.E. Арккосинус - функция шектеу шектеулі.
Функция өсуде Бүкіл анықтамалық аймақта.
ARCTGERNERS функциясы
Функцияны анықтау аймағы- көп Р.барлық жарамды сандар.
Көптеген функциялардың мәні - 0 π, I.e. Арктанэк - функция шектеу шектеулі.
Функция тақ: arctg (-x) \u003d - arctg x барлық x ∈ Р..
Функцияның графигі координаттардың басында симметриялы.
Функция өсуде Бүкіл анықтамалық аймақта.
Аркотогенс функциясы
Функцияны анықтау аймағы- көп Р.барлық жарамды сандар.
Көптеген функциялардың мәні - 0 π, I.e. Arkotangent - функция шектеу шектеулі.
Функция тіпті де, тақ емес емес.
Функцияның графигі асимметриялы немесе координаттардың басталуына қатысты немесе Ось осіне қатысты.
Функция түсіп жатыр Бүкіл анықтамалық аймақта.
Анықтама және белгі
Арксинус (y \u003d arcsin x.) - Бұл функция, синусқа (x \u003d) күнә y. -1 ≤ x ≤ 1 және көптеген құндылықтар --π / 2 ≤ y ≤ π / 2.күнә (arcsin x) \u003d x ;
arcsin (sin x) \u003d x .
Арксинус кейде білдіреді:
.
Арқымsinus функцияларының кестесі
Y \u003d функциясының кестесі arcsin x.
ARKSINUS кестесі Sinus графигінен алынады, егер сіз абсцисса мен осьтік осьтерін өзгертсеңіз. Көп сананы жою үшін, құндылықтар ауқымы монотонна жұмыс істейтін аралықты шектейді. Мұндай анықтама «Арксинустың басты мәні» деп аталады.
ArkkoSinus, Arccos.
Анықтама және белгі
Arkkosinus (y \u003d arccos x.) косинусқа кері функция (x \u003d) cos y.). Оның анықтамасы бар -1 ≤ x ≤ 1 және көптеген құндылықтар 0 ≤ y ≤ π.cos (arccos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .
Арккосинус кейде мыналарды көрсетеді:
.
Арккосинустың функциясының кестесі
Y \u003d функциясының кестесі arccos x.
ARKKOSINUS-тің графигі ABSCISSA және ABSCISSA және оссінің орнын өзгертсеңіз, косиндік графиктен алынған. Көп сананы жою үшін, құндылықтар ауқымы монотонна жұмыс істейтін аралықты шектейді. Мұндай анықтама Арккосиннің негізгі мәні деп аталады.
Тең титрі
Арқансин функциясы тақ:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (Sin (-Arcsin x)) \u003d - arcsin x.
Arcowinus функциясы біркелкі немесе тақ емес:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x) \u003d π - arccos x ± arccos x
Қозғалмайтын мүлік - шектен тыс, арматурал
Аркскосинустың функциялары және Аркскоинустың функциялары олардың анықтамасы бойынша үздіксіз болып табылады (сабақтастықтың дәлелі). Үстелде Arksinus және Arkkosinus негізгі қасиеттері келтірілген.
| y \u003d. arcsin x. | y \u003d. arccos x. | |
| Анықтама және үздіксіздік аймағы | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Құндылықтар аймағы | ||
| Көтерілу, кему | Монотонды ұлғайту | Монотоникалық азаю |
| Максимум | ||
| Минима | ||
| Зерос, y \u003d 0 | x \u003d. 0 | x \u003d. 1 |
| Орнату осіндегі қиылысу нүктесі, x \u003d 0 | y \u003d. 0 | y \u003d π / 2 |
Арккосинусов атындағы Аркқозинустар кестесі
Бұл кестеде арксинустар мен арксинустардың, градус, радиандардағы, кейбір дәлелдермен, кейбір мәндер көрсетілген.
| Х. | arcsin x. | arccos x. | ||
| Град. | қуан. | Град. | қуан. | |
| - 1 | - 90 ° | - | 180 ° | π |
| - | - 60 ° | - | 150 ° | |
| - | - 45 ° | - | 135 ° | |
| - | - 30 ° | - | 120 ° | |
| 0 | 0° | 0 | 90 ° | |
| 30 | 60 | |||
| 45 | 45 | |||
| 60 | 30 | |||
| 1 | 90 ° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Формулалар
Сондай-ақ қараңыз: Кері тригонометриялық функциялар формулаларының шығуыСоманың формулалары және айырмашылық
немесе
I-де.
I-де.
немесе
I-де.
I-де.
үшін
үшін
үшін
үшін
Логарифма арқылы, күрделі сандар арқылы өрнектер
Сондай-ақ қараңыз: Формулалар туралы қорытындыГиперболалық функциялар арқылы өрнектер
Туындылар
;
.
Арккосинус туындыларының туындыларын қараңыз \u003e\u003e\u003e
Жоғары тапсырыс туындылары:
,
көпмүшелік дәреже қайда. Ол формулалармен анықталады:
;
;
.
Arksinus және Arkkosinus және «Арккосин» және «Мерзімдері» бөлімінің туындыларын қараңыз \u003e\u003e\u003e
Интегралдар
Алмастыруды x \u003d жасаңыз күнә т.. Біз осы бөлшектерге біріктіреміз, 2 ≤ t ≤ π / 2,
cos t ≥ 0:
.
Арккосинусты Arksinus арқылы жеткізіңіз:
.
Сандағы ыдырау
| X |< 1
Келесі ыдырау орын алады:
;
.
Кері функциялар
Арккосинусқа оралу сәйкесінше синус және косинус.
Келесі формулалар бүкіл анықтамалық өрісінде жарамды:
күнә (arcsin x) \u003d x
cos (arccos x) \u003d x .
Келесі формулалар тек Arcsinus және ArcSinus мәндер жиынтығында жарамды:
arcsin (sin x) \u003d x үшін
arccos (cos x) \u003d x -та.
Қолданылған әдебиет:
И.н. Бронштейн, К.А. Семендияев, режиссерлер менеджерлер мен студенттердің студенттері үшін анықтамалық «LAN», 2009 ж.
