Геометриялық пішіндер. Пирамида

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе онымен байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерді білдіреді.

Сізден өзіңізді қамтамасыз ету сұралуы мүмкін жеке ақпараткез келген уақытта бізбен байланысыңыз.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
• Кейде біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария етуге. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалтудан, ұрлаудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

• апотема- дұрыс пирамиданың оның төбесінен тартылатын бүйір бетінің биіктігі (бұдан басқа, апотема - дұрыс көпбұрыштың ортасынан оның бір қабырғасына түсірілген перпендикуляр ұзындығы);
• бүйір беттері (ASB, BSC, CSD, DSA) - шыңында кездесетін үшбұрыштар;
• бүйір қабырғалары ( AS , B.S. , C.S. , Д.С. ) — бүйірлік беттердің ортақ жақтары;
• пирамиданың жоғарғы жағы (т. С) - бүйір қабырғаларды қосатын және табан жазықтығында жатпайтын нүкте;
• биіктігі ( SO ) - пирамиданың төбесінен оның табанының жазықтығына жүргізілген перпендикуляр кесінді (мұндай кесіндінің ұштары пирамиданың төбесі және перпендикуляр табаны болады);
• пирамиданың диагональ қимасы- пирамиданың табанының төбесі мен диагоналы арқылы өтетін қимасы;
• негіз (ABCD) - пирамида шыңына жатпайтын көпбұрыш.

Пирамиданың қасиеттері.

1. Барлық бүйір жиектер бірдей өлшемде болса, онда:

• пирамида табанының жанындағы шеңберді сипаттау оңай, ал пирамиданың төбесі осы шеңбердің ортасына проекцияланады;
• бүйір қабырғалары негіз жазықтығымен тең бұрыштар құрайды;
• Оның үстіне, керісінше де дұрыс, яғни. бүйір қабырғалары негіз жазықтығымен түзілгенде тең бұрыштар, немесе пирамида табанының жанында шеңберді сипаттауға болатын кезде және пирамиданың жоғарғы жағы осы шеңбердің ортасына проекцияланады, яғни пирамиданың барлық бүйір жиектері бірдей өлшемде болады.

2. Бүйірлік беттердің бірдей мәндегі табан жазықтығына көлбеу бұрышы болған кезде:

• пирамида табанының жанындағы шеңберді сипаттау оңай, ал пирамиданың төбесі осы шеңбердің ортасына проекцияланады;
• бүйір беттерінің биіктігі бірдей ұзындықта;
• бүйір бетінің ауданы негіздің периметрі мен бүйір бетінің биіктігінің ½ көбейтіндісіне тең.

3. Пирамиданың төңірегінде шарды сипаттауға болады, егер пирамиданың табанында айналасында шеңберді сипаттауға болатын көпбұрыш болса (қажетті және жеткілікті шарт). Шардың центрі пирамиданың шеттерінің ортасынан оларға перпендикуляр өтетін жазықтықтардың қиылысу нүктесі болады. Осы теоремадан шарды кез келген үшбұрыштың айналасында да, кез келген дұрыс пирамиданың айналасында да сипаттауға болады деген қорытындыға келеміз.

4. Пирамиданың ішкі екі қырлы бұрыштарының биссектриса жазықтықтары 1-ші нүктеде қиылысатын болса, шарды пирамидаға сызуға болады (қажетті және жеткілікті шарт). Бұл нүкте сфераның орталығына айналады.

Ең қарапайым пирамида.

Бұрыштардың санына қарай пирамиданың табаны үшбұрышты, төртбұрышты және т.б.

Пирамида болады үшбұрышты, төртбұрышты, және т.б., пирамиданың негізі үшбұрыш, төртбұрыш және т.б. Үшбұрышты пирамида – тетраэдр – тетраэдр. Төртбұрышты - бесбұрышты және т.б.

Төртбұрышты пирамидатабаны квадрат және оның барлық бүйір беттері бірдей көпбұрыш тең қабырғалы үшбұрыштар.

Бұл көпбұрыштың әртүрлі қасиеттері бар:

• Оның бүйір қырлары мен көршілес екібұрышты бұрыштары бір-біріне тең;
• Бүйірлік беттердің аудандары бірдей;
• Тұрақты төртбұрышты пирамиданың негізінде шаршы орналасқан;
• Пирамиданың төбесінен түсірілген биіктік табанының диагональдары қиылысатын нүктемен қиылысады.

Барлық осы қасиеттер табуды жеңілдетеді. Дегенмен, көбінесе, бұған қоса, көпбұрыштың көлемін есептеу қажет. Ол үшін төртбұрышты пирамиданың көлемінің формуласын қолданыңыз:

Яғни, пирамиданың көлемі пирамида биіктігі мен табанының ауданы көбейтіндісінің үштен біріне тең. Ол оның тең жақтарының көбейтіндісіне тең болғандықтан, біз бірден көлем өрнекіне квадраттың ауданы формуласын енгіземіз.
Төртбұрышты пирамиданың көлемін есептеудің мысалын қарастырайық.

Табаны а = 6 см болатын төртбұрышты пирамида берілсін, пирамиданың бүйір беті b = 8 см.

Берілген көпбұрыштың көлемін табу үшін оның биіктігінің ұзындығы қажет. Сондықтан оны Пифагор теоремасын қолдану арқылы табамыз. Алдымен диагоналдың ұзындығын есептейік. Көк үшбұрышта ол гипотенуза болады. Сондай-ақ, шаршының диагональдары бір-біріне тең және қиылысу нүктесінде екіге бөлінгенін есте ұстаған жөн:


Енді қызыл үшбұрыштан қажетті h биіктігін табамыз. Ол мынаған тең болады:

Қажетті мәндерді қойып, пирамиданың биіктігін табайық:

Енді биіктікті біле отырып, пирамида көлемінің формуласына барлық мәндерді ауыстырып, қажетті мәнді есептей аламыз:

Осылайша, бірнеше қарапайым формулаларды біле отырып, біз кәдімгі төртбұрышты пирамиданың көлемін есептей алдық. Мұны ұмытпа берілген мәнтекше бірлікпен өлшенеді.

Анықтама 1. Пирамида дұрыс деп аталады, егер оның табаны дұрыс көпбұрыш болса және мұндай пирамиданың төбесі табанының ортасына проекцияланса.

Анықтама 2. Пирамида дұрыс деп аталады, егер оның табаны дұрыс көпбұрыш болса және биіктігі табанының ортасынан өтетін болса.

Дұрыс пирамиданың элементтері

• Оның төбесінен тартылған бүйір бетінің биіктігі деп аталады апотема. Суретте ол ON сегменті ретінде белгіленген
• Бүйір қырларын қосатын және табан жазықтығында жатпайтын нүкте деп аталады пирамиданың жоғарғы жағы(ТУРАЛЫ)
• Табанымен ортақ қабырғасы және төбелерінің бірі төбемен сәйкес келетін үшбұрыштар деп аталады. бүйір беттері(AOD, DOC, COB, AOB)
• Пирамиданың төбесінен табанының жазықтығына жүргізілген перпендикуляр кесінді деп аталады пирамида биіктігі(Жарайды)
• Пирамиданың диагональ қимасы- бұл табанның шыңы мен диагоналы арқылы өтетін қима (AOC, BOD)
• Пирамиданың төбесі жоқ көпбұрыш деп аталады пирамиданың негізі(ABCD)

Базада болса тұрақты пирамидаүшбұрыш, төртбұрыш және т.б. жатыр. содан кейін ол аталады дұрыс үшбұрыш , төртбұрыштыт.б.

Үшбұрышты пирамида – тетраэдр – тетраэдр.

Тұрақты пирамиданың қасиеттері

Есептерді шешу үшін әдетте шартта түсіріліп тасталатын жеке элементтердің қасиеттерін білу қажет, өйткені студент мұны басынан білуі керек деп есептейді.

• бүйір қабырғалары теңөз араларында
• апотемдер тең
• бүйір беттері теңөз араларында (бұл жағдайда олардың аудандары, жақтары және табандары тиісінше тең), яғни олар тең үшбұрыштар
• барлық бүйір беттері бірдей тең қабырғалы үшбұрыштар
• кез келген кәдімгі пирамидаға оның айналасындағы шарды сыйғызуға және сипаттауға болады
• егер іштей сызылған және сызылған сфералардың центрлері сәйкес келсе, онда пирамиданың жоғарғы жағындағы жазық бұрыштардың қосындысы π, ал олардың әрқайсысы сәйкесінше π/n, мұндағы n - негізгі көпбұрыштың қабырғаларының саны.
• Дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы табан мен апотеманың периметрінің көбейтіндісінің жартысына тең
• шеңберді дұрыс пирамиданың табанының айналасында сызуға болады (сонымен қатар үшбұрыштың шектелген шеңбер радиусын қараңыз)
• барлық бүйір беттері дұрыс пирамида табанының жазықтығымен тең бұрыштар құрайды
• бүйірлік беттердің барлық биіктіктері бір-біріне тең

Есептерді шешуге арналған нұсқаулар. Жоғарыда аталған қасиеттер көмектесуі керек практикалық шешім. Егер беттердің көлбеу бұрыштарын, олардың бетін және т.б. табу қажет болса, онда жалпы әдістемебүкіл көлемдік фигураны бөлекке бөлуге келеді жалпақ фигураларжәне пирамиданың жеке элементтерін табу үшін олардың қасиеттерін пайдалану, өйткені көптеген элементтер бірнеше фигураларға ортақ.

Бүкіл үш өлшемді фигураны жеке элементтерге - үшбұрыштарға, шаршыларға, сегменттерге бөлу керек. Әрі қарай, планиметрия курсынан алынған білімді жеке элементтерге қолданыңыз, бұл жауапты табуды айтарлықтай жеңілдетеді.

Тұрақты пирамиданың формулалары

Көлемді және бүйір бетінің ауданын табу формулалары:

Белгілер:
V - пирамиданың көлемі
S – базалық аудан
h – пирамиданың биіктігі
Sb - бүйір бетінің ауданы
a - апотема (α-мен шатастырмау керек)
P - базалық периметр
n – негіздің жақтарының саны
b - бүйір қабырғасының ұзындығы
α – пирамиданың жоғарғы жағындағы жазық бұрыш

Бұл көлемді табу формуласын қолдануға болады текүшін дұрыс пирамида:

, Қайда

V – дұрыс пирамиданың көлемі
h – дұрыс пирамиданың биіктігі
n – дұрыс көпбұрыштың қабырғаларының саны, ол дұрыс пирамиданың негізі болып табылады
a - дұрыс көпбұрыштың қабырғасының ұзындығы

Кәдімгі кесілген пирамида

Пирамиданың табанына параллель кесінді жүргізсек, онда осы жазықтықтар мен бүйір бетінің арасына қоршалған дене деп аталады. кесілген пирамида. Кесілген пирамидаға арналған бұл бөлім оның негіздерінің бірі болып табылады.

Бүйір бетінің биіктігі (ол тең қабырғалы трапеция) - деп аталады. кәдімгі кесілген пирамиданың апотемасы.

Кесілген пирамида дұрыс деп аталады, егер ол алынған пирамида дұрыс болса.

• Қиық пирамиданың табандарының арасындағы қашықтық деп аталады кесілген пирамиданың биіктігі
• Барлығы кәдімгі кесілген пирамиданың беттерітең қабырғалы трапециялар болып табылады

Ескертпелер

Сондай-ақ қараңыз:кәдімгі пирамида үшін ерекше жағдайлар (формулалар):

Мұнда берілгендерді қалай пайдалануға болады теориялық материалдар мәселеңізді шешу үшін: