Арифметикалық прогрессияның а1 формуласы. Алгебралық қосындылар арқылы кері матрицаны есептеу алгоритмі: қосымша матрицалық әдіс

табу жолдары кері матрица. Квадрат матрицаны қарастырайық

Δ = det A деп белгілейік.

А квадрат матрицасы деп аталады бұзылмаған,немесе ерекше емес, егер оның анықтауышы нөлге тең емес болса, және азғындау,немесе арнайы, ЕгерΔ = 0.

B квадрат матрицасы бірдей ретті А квадрат матрицасы үшін, егер олардың көбейтіндісі A B = B A = E болса, мұндағы E - A және B матрицалары сияқты бірдей ретті сәйкестік матрицасы.

Теорема . А матрицасының кері матрицасы болуы үшін оның анықтауышы нөлден өзгеше болуы қажет және жеткілікті.

А матрицасының кері матрицасы, А деп белгіленген- 1, сондықтан B = A - 1 және формула бойынша есептеледі

, (1)

Мұндағы A i j – А матрицасының a i j элементтерінің алгебралық толықтауыштары.

Матрицалар үшін (1) формуланы пайдаланып А -1 есептеу жоғары тәртіпөте еңбекті қажет етеді, сондықтан тәжірибеде элементар түрлендірулер (ЭТ) әдісін қолданып А -1 табу ыңғайлы. Кез келген сингулярлық емес матрицаны Е сәйкестік матрицасына тек бағандардың (немесе тек жолдардың) көмегімен келтіруге болады, егер А матрицасы бойынша жетілдірілген ED бірдей тәртіпте Е ​​сәйкестік матрицасына қолданылса, нәтиже шығады. кері матрица. А және Е матрицаларында бір мезгілде EP орындау ыңғайлы, екі матрицаны қатар сызық арқылы қатар жазады. тапқанда тағы бір рет атап өтейік канондық пішінМатрицаларды табу үшін жолдар мен бағандарды түрлендіруді пайдалануға болады. Егер матрицаның кері мәнін табу қажет болса, түрлендіру процесінде тек жолдарды немесе тек бағандарды пайдалану керек.

1-мысал. Матрица үшін A -1 табыңыз.

Шешім.Алдымен А матрицасының анықтауышын табамыз
Бұл кері матрица бар екенін білдіреді және оны формула арқылы таба аламыз: , мұндағы A i j (i,j=1,2,3) бастапқы матрицаның a i j элементтерінің алгебралық қосындылары.

Қайда .

2-мысал. Элементар түрлендірулер әдісін қолданып, матрица үшін А -1 табыңыз: A = .

Шешім.Оң жақтағы бастапқы матрицаға бірдей реттегі сәйкестендіру матрицасын тағайындаймыз: . Бағандардың элементарлық түрлендірулерін пайдалана отырып, біз сол «жартысын» сәйкестікке дейін азайтамыз, бір уақытта оң жақ матрицада дәл сол түрлендірулерді орындаймыз.
Ол үшін бірінші және екінші бағандарды ауыстырыңыз: ~ . Үшінші бағанға бірінші, ал екіншісіне -2-ге көбейтілген біріншіні қосамыз: . Бірінші бағаннан екінші еселенгенді, ал үшіншіден - екіншісін 6-ға көбейтеміз; . Бірінші және екінші бағанға үшінші бағанды ​​қосамыз: . Соңғы бағанды ​​-1-ге көбейтіңіз: . Тік жолақтың оң жағында алынған квадрат матрица берілген А матрицасының кері матрицасы болып табылады. Сонымен,
.

Сонымен, онлайн матрицаларды шешу қызметтері:

Матрицалармен жұмыс істеу қызметі матрицалардың элементарлық түрлендірулерін орындауға мүмкіндік береді.
Егер сізде күрделі түрлендіруді орындау тапсырмасы болса, онда бұл қызметті конструктор ретінде пайдалану керек.

Мысал. Берілген матрицалар АЖәне Б, табу керек C = А -1 * Б + БТ,

1. Алдымен табу керек кері матрицаA1 = А-1, кері матрицаны табу қызметін пайдалану;
2. Келесі, біз матрицаны тапқаннан кейін A1қанекей мынаны істейік матрицаны көбейтуA2 = A1 * Бматрицаны көбейту қызметін пайдалану арқылы;
3. Қанекей мынаны істейік матрицаны ауыстыруA3 = Б T (транспозицияланған матрицаны табу қызметі);
4. Соңында матрицалардың қосындысын табайық МЕН = A2 + A3(матрицалардың қосындысын есептеу қызметі) - және біз ең егжей-тегжейлі шешімімен жауап аламыз!;

Матрицалардың туындысы

Бұл онлайн қызмет екі қадам:

• Бірінші фактор матрицасын енгізіңіз А
• Екінші фактор матрицасын немесе баған векторын енгізіңіз Б

Матрицаны векторға көбейту

Матрицаны векторға көбейтуді сервистің көмегімен табуға болады Матрицаны көбейту
(Бірінші фактор осы матрица болады, екінші фактор осы вектордың элементтерінен тұратын баған болады)

Бұл онлайн қызмет екі қадам:

• Матрицаны енгізіңіз А, ол үшін кері матрицаны табу керек
• Кері матрицаны табудың егжей-тегжейлі шешімімен жауап алыңыз

Матрицалық анықтауыш

Бұл онлайн қызмет бір қадам:

• Матрицаны енгізіңіз А, ол үшін матрицаның анықтауышын табу керек

Матрицаны ауыстыру

Мұнда сіз матрицаны ауыстыру алгоритмін орындай аласыз және ұқсас есептерді өзіңіз шешуге болады.
Бұл онлайн қызмет бір қадам:

• Матрицаны енгізіңіз А, ол ауыстырылуы керек

Матрицалық дәреже

Бұл онлайн қызмет бір қадам:

• Матрицаны енгізіңіз А, ол үшін разрядты табу керек

Матрицаның меншікті мәндері және матрицаның меншікті векторлары

Бұл онлайн қызмет бір қадам:

• Матрицаны енгізіңіз А, ол үшін табу керек меншікті векторларжәне меншікті мәндер (меншікті мәндер)

Матрицалық дәрежеге шығару

Бұл онлайн қызмет екі қадам:

• Матрицаны енгізіңіз А, оны сіз билікке көтересіз
• Бүтін санды енгізіңіз q- дәреже

Неде негізгі нүктеформулалар?

Бұл формула табуға мүмкіндік береді кез келген НОМЕРІ БОЙЫНША» n» .

Әрине, бірінші терминді де білу керек а 1және прогрессияның айырмашылығы г, жақсы, бұл параметрлерсіз сіз белгілі бір прогрессияны жаза алмайсыз.

Бұл формуланы жаттау (немесе бесікке жату) жеткіліксіз. Оның мәнін түсініп, формуланы әртүрлі есептер шығаруда қолдану керек. Сондай-ақ керек сәтте ұмытпау керек, иә...) Қалай ұмытпау- мен білмеймін. Ал міне қалай есте сақтау керекҚажет болса, мен сізге міндетті түрде кеңес беремін. Сабақты соңына дейін аяқтағандар үшін.)

Сонымен, арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын қарастырайық.

Жалпы формула дегеніміз не? Айтпақшы, оқымаған болсаңыз, қараңыз. Онда бәрі қарапайым. Оның не екенін анықтау қалады n-ші тоқсан.

Жалпы прогрессияны сандар қатары түрінде жазуға болады:

а 1, а 2, а 3, а 4, а 5, .....

а 1- арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесін білдіреді; а 3- үшінші мүше, а 4- төртінші және т.б. Егер бізді бесінші тоқсан қызықтырса, біз жұмыс істеп жатырмыз делік а 5, егер жүз жиырмасыншы - с а 120.

Оны жалпылама түрде қалай анықтауға болады? кез келгенарифметикалық прогрессияның мүшесі, с кез келгенсаны? Өте оңай! Бұл сияқты:

а п

Бұл солай Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесі. n әрпі барлық мүше нөмірлерін бірден жасырады: 1, 2, 3, 4 және т.б.

Ал мұндай рекорд бізге не береді? Ойлап көріңізші, олар санның орнына хат жазыпты...

Бұл белгілеу бізге арифметикалық прогрессиямен жұмыс істеу үшін қуатты құрал береді. Белгілеуді қолдану а п, біз тез таба аламыз кез келгенмүшесі кез келгенарифметикалық прогрессия. Және көптеген басқа прогресс мәселелерін шешіңіз. Әрі қарай өзіңіз көресіз.

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласында:

a n = a 1 + (n-1)d

а 1- арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі;

n- мүше нөмірі.

Формула кез келген прогрессияның негізгі параметрлерін байланыстырады: a n ; a 1; гЖәне n. Барлық прогресс мәселелері осы параметрлердің айналасында болады.

n-ші мүше формуласын белгілі прогрессияны жазу үшін де пайдалануға болады. Мысалы, мәселе прогрессияның шартпен көрсетілгенін айтуы мүмкін:

a n = 5 + (n-1) 2.

Мұндай мәселе тұйыққа тірелуі мүмкін... Қатар да, айырмашылық та жоқ... Бірақ шартты формуламен салыстыра отырып, бұл прогрессияда екенін түсіну оңай. a 1 =5, және d=2.

Және бұл одан да нашар болуы мүмкін!) Егер біз бірдей шартты алсақ: a n = 5 + (n-1) 2,Иә, жақшаны ашып, ұқсас жақшаларды беріңіз? Біз жаңа формула аламыз:

a n = 3 + 2n.

Бұл Жалпы емес, белгілі бір прогресс үшін. Бұл жерде тұйыққа тіреледі. Кейбір адамдар бірінші термин үштік деп ойлайды. Шындығында бірінші термин бес болса да... Біраз төменірек біз осындай өзгертілген формуламен жұмыс істейміз.

Прогрессия есептерінде тағы бір белгі бар - a n+1. Бұл, сіз ойлағандай, прогрессияның «n плюс бірінші» мүшесі. Оның мағынасы қарапайым және зиянсыз.) Бұл саны n санынан бір есе артық прогрессияның мүшесі. Мысалы, қандай да бір мәселеде біз қабылдаймыз а понда бесінші мерзім a n+1алтыншы мүше болады. Және т.б.

Көбінесе белгілеу a n+1қайталану формулаларында кездеседі. Бұл қорқынышты сөзден қорықпаңыз!) Бұл арифметикалық прогрессияның мүшесін өрнектеу тәсілі ғана. алдыңғы арқылы.Қайталанатын формуланы пайдалана отырып, бізге осы пішінде арифметикалық прогрессия берілді делік:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Төртінші - үшінші арқылы, бесінші - төртінші арқылы және т.б. Жиырмасыншы мүшені қалай бірден санауға болады? а 20? Бірақ амал жоқ!) 19-шы тоқсанды білмейінше, біз 20-ны санай алмаймыз. Бұл қайталанатын формула мен n-ші мүшесінің формуласының негізгі айырмашылығы. Қайталанатын тек арқылы жұмыс істейді алдыңғымүшесі, ал n-ші мүшесінің формуласы арқылы біріншіжәне мүмкіндік береді лезденөмірі бойынша кез келген мүшені табыңыз. Сандардың барлық қатарын ретімен есептемей.

Арифметикалық прогрессияда қайталанатын формуланы қалыптыға айналдыру оңай. Тізбектелген мүшелерді санау, айырмасын есептеу d,қажет болса, бірінші мүшені табыңыз а 1, формуланы әдеттегі түрінде жазып, онымен жұмыс істеу. Мұндай міндеттер Мемлекеттік ғылым академиясында жиі кездеседі.

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын қолдану.

Алдымен формуланың тікелей қолданылуын қарастырайық. Өткен сабақтың соңында мәселе туындады:

Арифметикалық прогрессия (a n) берілген. a 1 =3 және d=1/6 болса, 121-ді табыңыз.

Бұл есепті ешқандай формулаларсыз, жай ғана арифметикалық прогрессияның мағынасына сүйене отырып шешуге болады. Қосу және қосу... Бір-екі сағат.)

Ал формула бойынша шешім бір минуттан аз уақыт алады. Оған уақыт бере аласыз.) Шешеміз.

Шарттар формуланы пайдалану үшін барлық деректерді береді: a 1 =3, d=1/6.Ненің тең екенін анықтау қалады n.Проблема жоқ! Біз табуымыз керек а 121. Сонымен, біз жазамыз:

Назар аударыңыз! Көрсеткіштің орнына nбелгілі бір сан пайда болды: 121. Бұл өте қисынды.) Бізді арифметикалық прогрессияның мүшесі қызықтырады. саны жүз жиырма бір.Бұл біздікі болады n.Мағынасы осы n= 121 формуланы әрі қарай жақшаға ауыстырамыз. Барлық сандарды формулаға ауыстырып, есептейміз:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Міне бітті. Бес жүз оныншы мүшесін және мың және үшінші мүшесін кез келгенін тез табуға болады. Оның орнына қоямыз nәріптің индексіндегі қажетті сан « а»және жақшада және біз санаймыз.

Еске сала кетейін: бұл формула табуға мүмкіндік береді кез келгенарифметикалық прогрессияның мүшесі НОМЕРІ БОЙЫНША» n» .

Мәселені қулықпен шешейік. Келесі мәселеге тап болайық:

Арифметикалық прогрессияның (a n) бірінші мүшесін табыңыз, егер a 17 =-2 болса; d=-0,5.

Егер сізде қандай да бір қиындықтар болса, мен сізге бірінші қадамды айтамын. Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын жазыңыз!Иә Иә. Дәптеріңізге қолыңызбен жазыңыз:

a n = a 1 + (n-1)d

Ал енді формуланың әріптеріне қарап, бізде қандай деректер бар және не жетіспейтінін түсіндік? Қол жетімді d=-0,5,он жетінші мүше бар... Солай ма? Егер сіз солай деп ойласаңыз, онда сіз мәселені шешпейсіз, иә...

Бізде әлі нөмір бар n! Жағдайда a 17 =-2жасырын екі параметр.Бұл он жетінші мүшенің (-2) мәні де, оның саны да (17). Анау. n=17.Бұл «ұсақ-түйек» көбінесе басынан өтіп кетеді және онсыз («ұсақ-түйек» болмаса, бас емес!) мәселені шешу мүмкін емес. Дегенмен... және де басы жоқ.)

Енді біз деректерімізді формулаға жай ғана ақымақпен алмастыра аламыз:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Иә, а 17-2 екенін білеміз. Жарайды, ауыстырайық:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Негізінде бәрі осы. Формуладан арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесін өрнектеп, оны есептеу қалды. Жауап мынадай болады: a 1 = 6.

Бұл әдіс - формуланы жазу және белгілі деректерді жай ғана ауыстыру - қарапайым тапсырмаларды орындауда үлкен көмек. Әрине, формуладан айнымалы мәнді өрнектей білу керек, бірақ не істеу керек!? Бұл дағдыларсыз сіз математиканы мүлдем оқымауыңыз мүмкін ...

Тағы бір танымал басқатырғыш:

Арифметикалық прогрессияның (a n) айырмасын табыңыз, егер a 1 =2 болса; a 15 =12.

Біз не істеп жатырмыз? Сіз таң қаласыз, біз формуланы жазып жатырмыз!)

a n = a 1 + (n-1)d

Білетінімізді қарастырайық: a 1 =2; a 15 =12; және (Мен ерекше атап өтемін!) n=15. Мұны формулаға ауыстыруға болады:

12=2 + (15-1)d

Арифметика жасаймыз.)

12=2 + 14күн

г=10/14 = 5/7

Бұл дұрыс жауап.

Сонымен, тапсырмалар a n, a 1Және гшешті. Санды қалай табуға болатынын білу ғана қалады:

99 саны арифметикалық прогрессияның (a n) мүшесі болып табылады, мұндағы a 1 =12; d=3. Осы мүшенің нөмірін табыңыз.

Өзімізге белгілі шамаларды n-ші мүшесінің формуласына қоямыз:

a n = 12 + (n-1) 3

Бір қарағанда, мұнда екі белгісіз шама бар: a n және n.Бірақ а п- бұл санмен прогрессияның кейбір мүшесі n...Ал біз бұл прогрессияның мүшесін білеміз! Бұл 99. Біз оның нөмірін білмейміз. n,Сондықтан бұл санды табу керек. 99 прогрессияның мүшесін формулаға ауыстырамыз:

99 = 12 + (n-1) 3

формуладан өрнектейміз n, ойлаймыз. Біз жауап аламыз: n=30.

Енді сол тақырыптағы мәселе, бірақ одан да шығармашылық):

117 саны арифметикалық прогрессияның (a n) мүшесі екенін анықтаңыз:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Формуланы қайта жазайық. Не, параметрлер жоқ па? Хм... Неліктен бізге көз берілген?) Прогрессияның бірінші мүшесін көреміз бе? Біз көріп тұрмыз. Бұл -3,6. Сіз қауіпсіз жаза аласыз: a 1 = -3,6.Айырмашылық гсериядан анықтай аласыз ба? Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы неде екенін білсеңіз оңай:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Сонымен, біз ең қарапайым нәрсені жасадық. Белгісіз санмен күресу қалады nжәне түсініксіз саны 117. Алдыңғы есепте, кем дегенде, прогрессияның мүшесі берілгені белгілі болды. Бірақ бұл жерде біз тіпті білмейміз... Не істеу керек!? Ал, не істеу керек, не істеу керек... Қосыңыз Шығармашылық дағдылар!)

Біз делікбұл 117 біздің прогрессіміздің мүшесі. Белгісіз нөмірмен n. Ал, алдыңғы есептегідей, осы санды табуға тырысайық. Анау. формуланы жазамыз (иә, иә!)) және сандарымызды ауыстырамыз:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Тағы да формуладан өрнектеймізn, біз санаймыз және аламыз:

Ой! Нөмір шықты бөлшек!Жүз бір жарым. Ал прогрессиядағы бөлшек сандар болмайды.Біз қандай қорытынды жасай аламыз? Иә! 117 саны емеспрогрессіміздің мүшесі. Бұл жүзден бірінші және жүз екінші мүшелердің арасында. Егер сан табиғи болып шықса, яғни. натурал сан болса, онда сан табылған санмен прогрессияның мүшесі болады. Ал біздің жағдайда мәселенің жауабы келесідей болады: Жоқ.

GIA нақты нұсқасына негізделген тапсырма:

Арифметикалық прогрессия шартпен беріледі:

a n = -4 + 6,8n

Прогрессияның бірінші және оныншы мүшелерін табыңыз.

Мұнда прогресс әдеттен тыс түрде орнатылады. Қандай да бір формула... Бұл болады.) Дегенмен, бұл формула (жоғарыда жазғанымдай) - сонымен қатар арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы!Ол да рұқсат береді прогрессияның кез келген мүшесін оның саны бойынша табыңыз.

Біз бірінші мүшені іздейміз. Ойланатын адам. бірінші мүшесі минус төрт деген қате қате!) Өйткені есептегі формула өзгертілген. Ондағы арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі жасырын.Жарайды, қазір табамыз.)

Алдыңғы есептердегідей, біз ауыстырамыз n=1В бұл формула:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Мұнда! Бірінші мүше -4 емес, 2,8!

Біз оныншы мүшені дәл осылай іздейміз:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Міне бітті.

Ал енді осы жолдарды оқығандар үшін уәде етілген бонус.)

Мемлекеттік емтиханның немесе Бірыңғай мемлекеттік емтиханның қиын жауынгерлік жағдайында сіз арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің пайдалы формуласын ұмыттыңыз делік. Менің есімде бірдеңе, бірақ әйтеуір белгісіз... Немесе nсонда немесе n+1 немесе n-1...Не істейін!?

Тыныш! Бұл формуланы шығару оңай. Өте қатаң емес, бірақ сенімділік үшін және дұрыс шешімәрине жеткілікті!) Қорытынды жасау үшін арифметикалық прогрессияның элементар мағынасын есте сақтау және бір-екі минут уақыт бөлу жеткілікті. Сізге тек сурет салу керек. Түсінікті болу үшін.

Сан түзуін сызып, оның біріншісін белгілеңіз. екінші, үшінші және т. мүшелері. Және біз айырмашылықты атап өтеміз гмүшелері арасында. Бұл сияқты:

Суретке қарап ойланамыз: екінші мүше неге тең? Екінші бір г:

а 2 =a 1 + 1 г

Үшінші мүше дегеніміз не? Үшіншітермин бірінші қосылғыш плюсқа тең екі г.

а 3 =a 1 + 2 г

Түсінесіз бе? Кейбір сөздерді қою қаріппен белгілеуім бекер емес. Жарайды, тағы бір қадам).

Төртінші мүше дегеніміз не? Төртіншітермин бірінші қосылғыш плюсқа тең үш г.

а 4 =a 1 + 3 г

Бұл бос орындардың саны, яғни. г, Әрқашан сіз іздеген мүшенің санынан бір кем n. Яғни, санға n, бос орындар саныерік n-1.Демек, формула болады (өзгеріссіз!):

a n = a 1 + (n-1)d

Жалпы, математиканың көптеген есептерін шешуде көрнекі суреттердің көмегі зор. Суреттерді назардан тыс қалдырмаңыз. Бірақ егер сурет салу қиын болса, онда... тек формула!) Сонымен қатар, n-ші мүшесінің формуласы математиканың барлық қуатты арсеналын шешуге қосуға мүмкіндік береді - теңдеулер, теңсіздіктер, жүйелер және т.б. Суретті теңдеуге кірістіру мүмкін емес...

Өз бетінше шешуге арналған тапсырмалар.

Жылыту үшін:

1. Арифметикалық прогрессияда (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. 3 табыңыз.

Нұсқау: сурет бойынша мәселені 20 секундта шешуге болады... Формула бойынша қиынырақ болып шығады. Бірақ формуланы меңгеру үшін бұл пайдалырақ.) 555-бөлімде бұл мәселе сурет пен формула арқылы шешілген. Айырмашылықты сезініңіз!)

Бұл енді қыздыру емес.)

2. Арифметикалық прогрессияда (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. 3-ті табыңыз.

Не, сурет салғың келмей ме?) Әрине! Формула бойынша жақсырақ, иә...

3. Арифметикалық прогрессия шартпен беріледі:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Осы прогрессияның жүз жиырма бесінші мүшесін табыңыз.

Бұл тапсырмада прогресс қайталанатын түрде көрсетіледі. Бірақ жүз жиырма бесінші мүшеге дейін санасақ... Мұндай ерлік әркімнің қолынан келе бермейді.) Бірақ n-ші мүшесінің формуласы әркімнің қолында!

4. Арифметикалық прогрессия (a n) берілген:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Прогрессияның ең кіші оң мүшесінің санын табыңыз.

5. 4-тапсырманың шарты бойынша прогрессияның ең кіші оң және ең үлкен теріс мүшелерінің қосындысын табыңыз.

6. Өсіп келе жатқан арифметикалық прогрессияның бесінші және он екінші мүшелерінің көбейтіндісі -2,5-ке тең, ал үшінші және он бірінші мүшелерінің қосындысы нөлге тең. 14 табыңыз.

Ең оңай тапсырма емес, иә...) Мұнда «саусақ ұшы» әдісі жұмыс істемейді. Формулаларды жазып, теңдеулерді шешуге тура келеді.

Жауаптар (ретсіз):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Болды ма? Бұл жағымды!)

Бәрі ойдағыдай емес пе? Болады. Айтпақшы, соңғы тапсырмада бір нәзік нүкте бар. Мәселені оқу кезінде мұқият болу керек. Және логика.

Барлық осы мәселелердің шешімі 555-бөлімде егжей-тегжейлі талқыланады. Ал төртінші үшін қиял элементі, ал алтыншы үшін нәзік нүкте және n-ші мүшесінің формуласымен байланысты кез келген есептерді шешудің жалпы тәсілдері - барлығы сипатталған. Мен ұсынамын.

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)

Функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Олай болса, отырып, сандарды жазуды бастайық. Мысалы:
Сіз кез келген сандарды жаза аласыз және олардың саны қалағаныңызша болуы мүмкін (біздің жағдайда олар бар). Қанша сан жазсақ та, қайсысы бірінші, қайсысы екінші және т.б. соңғыға дейін айта аламыз, яғни нөмірлей аламыз. Бұл сандар тізбегінің мысалы:

Сан тізбегі
Мысалы, біздің реттілік үшін:

Тағайындалған нөмір тізбектегі бір ғана санға тән. Басқаша айтқанда, тізбекте үш секундтық сан жоқ. Екінші сан (бірінші сан сияқты) әрқашан бірдей.
Нөмірі бар санды қатардың үшінші мүшесі деп атайды.

Біз әдетте бүкіл тізбекті қандай да бір әріппен атаймыз (мысалы,) және бұл тізбектің әрбір мүшесі осы мүшенің нөміріне тең индексі бар бірдей әріп: .

Біздің жағдайда:

Бізде бар делік сандар тізбегі, онда көршілес сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең.
Мысалы:

және т.б.
Бұл сандар тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады.
«Прогрессия» терминін римдік автор Боэций 6 ғасырда енгізген және кең мағынада шексіз сандық тізбек ретінде түсінілген. «Арифметика» атауы ежелгі гректер зерттеген үздіксіз пропорциялар теориясынан көшірілді.

Бұл сан тізбегі, оның әрбір мүшесі бір санға қосылған алдыңғысына тең. Бұл сан арифметикалық прогрессияның айырымы деп аталады және белгіленеді.

Қандай сандар тізбегі арифметикалық прогрессия, қайсысы емес екенін анықтауға тырысыңыз:

а)
б)
в)
г)

Түсіндім? Жауаптарымызды салыстырайық:
Бұларифметикалық прогрессия – b, c.
Емесарифметикалық прогрессия – a, d.

Берілген прогрессияға () оралайық және оның ші мүшесінің мәнін табуға тырысайық. Бар екіоны табу жолы.

1. Әдіс

Прогрессия нөмірін прогрессияның үшінші мүшесіне жеткенше алдыңғы мәнге қосуға болады. Бізде қорытындылайтын көп нәрсе жоқ - тек үш мән:

Сонымен, сипатталған арифметикалық прогрессияның ші мүшесі тең.

2. Әдіс

Прогрессияның үшінші мүшесінің мәнін табу керек болса ше? Қорытындылау бір сағаттан артық уақытты алады және сандарды қосқанда қателеспейтініміз шындық емес.
Әрине, математиктер алдыңғы мәнге арифметикалық прогрессияның айырмасын қосудың қажеті жоқ әдісті ойлап тапты. Салынған суретке мұқият қараңыз... Сіз белгілі бір үлгіні байқадыңыз, атап айтқанда:

Мысалы, осы арифметикалық прогрессияның ші мүшесінің мәні неден тұратынын көрейік:


Басқа сөздермен айтқанда:

Осы жолмен берілген арифметикалық прогрессияның мүшесінің мәнін өзіңіз тауып көріңіз.

Сіз есептедіңіз бе? Жазбаларыңызды жауаппен салыстырыңыз:

Алдыңғы мәнге арифметикалық прогрессияның мүшелерін дәйекті түрде қосқанда, алдыңғы әдістегідей сан алғаныңызды ескеріңіз.
Бұл формуланы «жекешелендіруге» тырысайық - оны жалпы түрде келтіріп, мынаны алайық:

Арифметикалық прогрессияның теңдеуі.

Арифметикалық прогрессиялар өсу немесе кему болуы мүмкін.

Көбеюде- терминдердің әрбір келесі мәні алдыңғысынан үлкен болатын прогрессиялар.
Мысалы:

Төмендеу- терминдердің әрбір келесі мәні алдыңғысынан кіші болатын прогрессиялар.
Мысалы:

Туынды формула арифметикалық прогрессияның өсу және кему мүшелерінің мүшелерін есептеуде қолданылады.
Мұны тәжірибеде тексеріп көрейік.
Бізге келесі сандардан тұратын арифметикалық прогрессия берілген: оны есептеу үшін формуланы қолдансақ, осы арифметикалық прогрессияның № неше болатынын тексерейік:

Сол уақыттан бері:

Осылайша, формуланың арифметикалық прогрессияның кемуінде де, өсуінде де жұмыс істейтініне сенімдіміз.
Осы арифметикалық прогрессияның ші және ші мүшелерін өзіңіз тауып көріңіз.

Нәтижелерді салыстырайық:

Арифметикалық прогрессияның қасиеті

Есепті күрделендіріп көрейік – арифметикалық прогрессияның қасиетін шығарамыз.
Бізге келесі шарт қойылды делік:
- арифметикалық прогрессия, мәнін табу.
Оңай, сіз өзіңіз білетін формула бойынша айтасыз және санай бастайсыз:

Мейлі, а, онда:

Өте дұрыс. Алдымен табамыз, сосын бірінші санға қосып, іздегенімізді аламыз. Егер прогрессия шағын мәндермен ұсынылса, онда бұл туралы күрделі ештеңе жоқ, бірақ шартта сандар берілсе ше? Келісіңіз, есептеулерде қателесу мүмкіндігі бар.
Енді ойланыңыз, бұл мәселені кез келген формула арқылы бір қадаммен шешуге бола ма? Әрине, иә, және біз қазір шығаруға тырысамыз.

Арифметикалық прогрессияның қажетті мүшесін былай деп белгілейік, оны табу формуласы бізге белгілі – бұл біз басында шығарған формула:
, Содан кейін:

• прогрессияның алдыңғы мүшесі:
• прогрессияның келесі шарты:

Прогрессияның алдыңғы және кейінгі мүшелерін қорытындылайық:

Прогрессияның алдыңғы және кейінгі мүшелерінің қосындысы олардың арасында орналасқан прогрессия мүшесінің қосарланған мәні болып шығады. Басқаша айтқанда, белгілі алдыңғы және кейінгі мәндері бар прогрессия мүшесінің мәнін табу үшін оларды қосып, бөлу керек.

Дұрыс, бізде бірдей нөмір бар. Материалды бекітейік. Прогресстің мәнін өзіңіз есептеңіз, бұл қиын емес.

Жарайсың! Сіз прогресс туралы барлығын дерлік білесіз! Аңыз бойынша, барлық уақыттағы ең ұлы математиктердің бірі, «математиктердің патшасы» Карл Гаусс өзі үшін оңай шығарылған бір ғана формуланы табу керек ...

Карл Гаусс 9 жаста болғанда, басқа сыныптардағы оқушылардың жұмысын тексерумен айналысқан мұғалім сабақта келесі есепті қойды: «Барлық есептердің қосындысын есептеңдер. натурал сандардейін (басқа дереккөздерге сәйкес) қоса алғанда». Бір минуттан кейін оның шәкірттерінің бірі (бұл Карл Гаусс) тапсырмаға дұрыс жауап берген кезде мұғалімнің таңданысын елестетіп көріңізші, ал батыл сыныптастарының көпшілігі ұзақ есептеулерден кейін қате нәтиже алды ...

Жас Карл Гаусс сіз де оңай байқайтын белгілі бір үлгіні байқады.
--ші мүшелерінен тұратын арифметикалық прогрессия бар делік: Арифметикалық прогрессияның осы мүшелерінің қосындысын табу керек. Әрине, біз барлық мәндерді қолмен қоса аламыз, бірақ егер тапсырма Гаусс іздегендей оның шарттарының қосындысын табуды талап етсе ше?

Бізге берілген прогрессті бейнелеп көрейік. Ерекшеленген сандарды мұқият қарап шығыңыз және олармен әртүрлі математикалық амалдарды орындауға тырысыңыз.


Сіз оны қолданып көрдіңіз бе? Сіз не байқадыңыз? Дұрыс! Олардың қосындылары тең

Енді айтыңызшы, бізге берілген прогрессияда барлығы неше жұп бар? Әрине, барлық сандардың дәл жартысы, яғни.
Арифметикалық прогрессияның екі мүшесінің қосындысы тең, ал ұқсас жұптары тең екендігіне сүйене отырып, жалпы қосындының мынаған тең екенін аламыз:
.
Сонымен, кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысының формуласы:

Кейбір есептердегі біз үшінші мүшесін білмейміз, бірақ прогрессияның айырмашылығын білеміз. Қосынды формуласына ші мүшесінің формуласын қойып көріңіз.
Сіз не алдыңыз?

Жарайсың! Енді Карл Гауссқа қойылған мәселеге қайта оралайық: -ыншыдан басталатын сандардың қосындысы неге тең және -іншіден басталатын сандардың қосындысы неге тең екенін өзіңіз есептеңіз.

Қанша алдың?
Гаусс мүшелерінің қосындысы тең, ал мүшелерінің қосындысы тең екенін анықтады. Сіз шешкеніңіз бе?

Шындығында, арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысының формуласын сонау 3 ғасырда ежелгі грек ғалымы Диофант дәлелдеген және осы уақыт ішінде тапқыр адамдар арифметикалық прогрессияның қасиеттерін толық пайдаланған.
Мысалы, елестетіңіз Ежелгі Египетал сол кездегі ең үлкен құрылыс жобасы – пирамида құрылысы... Суретте оның бір жағы көрсетілген.

Бұл жерде прогресс қайда дейсіз бе? Мұқият қарап, пирамида қабырғасының әр жолындағы құмды блоктар санының үлгісін табыңыз.


Неліктен арифметикалық прогрессия емес? Негізге блокты кірпіш қойылса, бір қабырғаны тұрғызу үшін қанша блок қажет екенін есептеңіз. Саусағыңызды монитор арқылы жылжытқанда санамайсыз деп үміттенемін, соңғы формуланы және арифметикалық прогрессия туралы айтқанымыздың барлығын есте сақтадыңыз ба?

Бұл жағдайда прогрессия келесідей болады: .
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің саны.
Соңғы формулаларға деректерімізді ауыстырайық (блоктардың санын 2 әдіспен есептеңіз).

1-әдіс.

2-әдіс.

Енді сіз мониторда есептей аласыз: алынған мәндерді біздің пирамидадағы блоктар санымен салыстырыңыз. Түсіндім? Жарайсыңдар, арифметикалық прогрессияның n-ші мүшелерінің қосындысын меңгердіңдер.
Әрине, сіз базадағы блоктардан пирамида сала алмайсыз, бірақ? Осы шартпен қабырғаны салу үшін қанша құм кірпіш қажет екенін есептеп көріңіз.
Сіз басқардыңыз ба?
Дұрыс жауап блоктар:

Тренинг

Тапсырмалар:

1. Маша жазға дайын. Күн сайын ол скват санын көбейтеді. Маша бірінші жаттығуда еңкейген болса, аптасына неше рет скват жасайды?
2. Құрамындағы барлық тақ сандардың қосындысы неге тең.
3. Журналдарды сақтау кезінде тіркеушілер оларды әрбір жоғарғы қабатта алдыңғысынан бір журнал аз болатындай етіп жинайды. Тауардың іргетасы бөрене болса, бір кірпіште қанша бөрене бар?

Жауаптары:

1. Арифметикалық прогрессияның параметрлерін анықтайық. Бұл жағдайда
   (апта = күн).

   Жауап:Екі аптадан кейін Маша күніне бір рет скват жасауы керек.

2. Бірінші тақ сан, соңғы сан.
   Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
   Тақ сандар саны жарты, дегенмен арифметикалық прогрессияның ші мүшесін табу формуласы арқылы бұл фактіні тексерейік:

   Сандардың құрамында тақ сандар бар.
   Қолда бар деректерді формулаға ауыстырайық:

   Жауап:Құрамындағы барлық тақ сандардың қосындысы тең.

3. Пирамидалар туралы мәселені еске түсірейік. Біздің жағдайда, a , өйткені әрбір үстіңгі қабат бір журналға азаяды, онда барлығы қабаттар шоғыры бар, яғни.
   Мәліметтерді формулаға ауыстырайық:

   Жауап:Кірпіште бөренелер бар.

Жинақтау

1. - көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандар тізбегі. Ол ұлғаюы немесе азаюы мүмкін.
2. Формула табуАрифметикалық прогрессияның ші мүшесі - формуласымен жазылады, мұндағы прогрессиядағы сандар саны.
3. Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қасиеті- - мұндағы прогрессиядағы сандар саны.
4. Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысыекі жолмен табуға болады:
   
   , мұндағы – мәндер саны.

АРИФМЕТИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ. ОРТАША ДЕҢГЕЙ

Сан тізбегі

Орнымызға отырып, сандарды жазуды бастайық. Мысалы:

Сіз кез келген сандарды жаза аласыз және олардың саны қалағаныңызша болуы мүмкін. Бірақ біз әрқашан қайсысы бірінші, қайсысы екінші және т.б. айта аламыз, яғни біз оларды нөмірлей аламыз. Бұл сандар тізбегінің мысалы.

Сан тізбегі— әрқайсысына бірегей нөмір берілуі мүмкін сандар жиыны.

Басқаша айтқанда, әрбір санды белгілі бір натурал санмен және бірегеймен байланыстыруға болады. Және біз бұл нөмірді осы жиынтықтағы басқа нөмірге бермейміз.

Нөмірі бар сан қатардың ші мүшесі деп аталады.

Біз әдетте бүкіл тізбекті қандай да бір әріппен атаймыз (мысалы,) және бұл тізбектің әрбір мүшесі осы мүшенің нөміріне тең индексі бар бірдей әріп: .

Тізбектің үшінші мүшесін қандай да бір формуламен көрсетуге болатын болса, бұл өте ыңғайлы. Мысалы, формула

ретін орнатады:

Ал формула келесі реттілік:

Мысалы, арифметикалық прогрессия – тізбек (мұндағы бірінші мүшесі тең, ал айырмасы). Немесе (, айырмашылық).

n-ші мүше формуласы

Формуланы қайталанатын деп атаймыз, онда 3-ші мүшені білу үшін алдыңғы немесе бірнеше алдыңғыларын білу қажет:

Мысалы, осы формуланы пайдаланып прогрессияның үшінші мүшесін табу үшін алдыңғы тоғызды есептеу керек. Мысалы, рұқсат етіңіз. Содан кейін:

Енді формуланың қандай екені түсінікті ме?

Әрбір жолда біз қандай да бір санға көбейтеміз. Қайсысы? Өте қарапайым: бұл ағымдағы мүшенің саны минус:

Қазір әлдеқайда ыңғайлы, солай ма? Біз тексереміз:

Өзіңіз шешіңіз:

Арифметикалық прогрессияда n-ші мүшесінің формуласын тауып, жүздік мүшесін табыңыз.

Шешімі:

Бірінші мүше тең. Қандай айырмашылық бар? Міне:

(Ол прогрессияның тізбекті мүшелерінің айырымына тең болғандықтан айырма деп аталады).

Сонымен, формула:

Сонда жүзінші мүше мынаған тең болады:

-ден бастап барлық натурал сандардың қосындысы неге тең?

Аңыз бойынша, ұлы математик Карл Гаусс 9 жасар бала кезінде бұл соманы бірнеше минутта есептеген. Ол бірінші және қосындысы екенін байқады соңғы күнтең, екінші мен соңғының қосындысы бірдей, үшінші мен соңынан 3-тің қосындысы бірдей, т.б. Барлығы неше жұп бар? Бұл дұрыс, барлық сандар санының дәл жартысы, яғни. Сонымен,

Кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысының жалпы формуласы:

Мысалы:
Барлық екі таңбалы көбейткіштердің қосындысын табыңыз.

Шешімі:

Мұндай бірінші сан мынау. Әрбір келесі сан алдыңғы санға қосу арқылы алынады. Осылайша, бізді қызықтыратын сандар бірінші мүшесі мен айырмасы бар арифметикалық прогрессияны құрайды.

Осы прогрессияның ші мүшесінің формуласы:

Прогрессияда неше мүше бар, егер олардың барлығы екі таңбалы болуы керек?

Өте жеңіл: .

Прогрессияның соңғы мүшесі тең болады. Сонда сома:

Жауап: .

Енді өзіңіз шешіңіз:

1. Күн сайын спортшы алдыңғы күннен артық метрге жүгіреді. Егер ол бірінші күні км м жүгірсе, ол бір аптада неше километр жүгіреді?
2. Велосипедші күн сайын алдыңғы күнге қарағанда көп шақырым жол жүреді. Бірінші күні ол км жол жүрді. Бір километрді бағындыру үшін ол қанша күн жүруі керек? Саяхатының соңғы күнінде ол неше километр жол жүреді?
3. Дүкендегі тоңазытқыштың бағасы жыл сайын бірдей мөлшерде төмендейді. Егер тоңазытқыш рубльге сатылса, алты жылдан кейін рубльге сатылса, оның бағасы жыл сайын қаншаға төмендегенін анықтаңыз.

Жауаптары:

1. Бұл жерде ең бастысы арифметикалық прогрессияны тану және оның параметрлерін анықтау. Бұл жағдайда, (апта = күн). Осы прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысын анықтау керек:
   .
   Жауап:
2. Мұнда берілген: , табу керек.
   Әлбетте, алдыңғы мәселедегідей қосынды формуласын пайдалану керек:
   .
   Мәндерді ауыстырыңыз:

   Түбір сәйкес келмейтіні анық, сондықтан жауап.
   Үшінші қосылғыштың формуласы арқылы соңғы тәулікте жүріп өткен жолды есептейік:
   (км).
   Жауап:

3. Берілген: . Табу: .
   Бұл қарапайым болуы мүмкін емес:
   (сүрту).
   Жауап:

АРИФМЕТИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ. НЕГІЗГІ НӘРСЕЛЕР ТУРАЛЫ ҚЫСҚА

Бұл көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандар тізбегі.

Арифметикалық прогрессияның өсуі () және кемуі () болуы мүмкін.

Мысалы:

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесін табу формуласы

формуласымен жазылады, мұндағы прогрессиядағы сандар саны.

Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қасиеті

Ол прогрессияның мүшесін оңай табуға мүмкіндік береді, егер оның көрші мүшелері белгілі болса – прогрессиядағы сандар саны мұнда.

Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы

соманы табудың екі жолы бар:

Мәндердің саны қайда.

Мәндердің саны қайда.

Жүйені шешу үшін сызықтық теңдеулер(3) салыстырмалы x 1Гаусс әдісін қолданайық.

Қалған сызықтық теңдеулер жүйелері (2) ұқсас жолмен шешіледі.

Соңында баған векторларының тобы x 1 , x 2 , ..., x nкері матрицаны құрайды A-1.

Орын ауыстыру матрицаларын тапқаннан кейін ескеріңіз P 1 , P 2 , ... , P n-1және ерекшелік матрицалары M 1, M 2, ..., M n-1(Гаусс жою әдісі бетін қараңыз) және матрицаны құру

M=M n-1 P n-1 ...M 2 P 2 M 1 P 1 ,

(2) жүйені пішінге түрлендіруге болады

• Макс 1 =Мен 1,
• Макс 2 =Мен 2,
• ......
• MAX n =Me n .

Осы жерден x 1 ,x 2 , ..., x n, әртүрлі оң жақтары бар Мен 1, Мен 2, ..., Мен n.

Кері матрицаны есептегенде бастапқы матрицаның оң жағына сәйкестік матрицасын қосып, тура және кері бағытта Гаусс әдісін қолданған ыңғайлы.

Мұны мысалмен қарастырайық.

Кері матрицаны есептеу мысалы

Кері матрицаны табу керек делік A-1берілген матрица үшін А:

Оң жағына сәйкестік матрицасын жазайық:

«4» жетекші элементін таңдаңыз (себебі ол абсолютті мәндегі ең үлкен) және бірінші және үшінші жолдарды ауыстырыңыз:

Бірінші бағанға Гауссты жоюды қолданыңыз:

Біз екінші және үшінші жолдарды қайта реттейміз және екінші бағанға Гауссты жоюды қолданамыз.